nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím mkppříklady nelineárních problémů...
TRANSCRIPT
Nelineární úlohy při
výpočtu konstrukcí s
využitím MKP
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Obsah přednášky
Lineární a nelineární úlohy
Typy nelinearit (geometrická, materiálová, kontakt,..)
Příklady nelineárních problémů
Teorie kontaktu, Hertzova teorie
Kontaktní úloha
Příprava modelu pro kontaktní úlohu, okrajové podmínky
Dostupné výsledky u softwarových nástrojů pro řešení kontaktu
Tření v kontaktu
Příklad na výpočet kontaktního napětí
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Lineární versus nelineární
Historické nazírání na jevy v přírodě – prvotní lineární
vztahy. Pojem nelineární vznikl druhotně
Leonardo da Vinci – první uvažoval lineární vztah
mezi dvěma veličinami
Newtonův druhý zákon – lineární vztah mezi silou a
zrychlením
Hookeův zákon - lineární vztah mezi napětím a
přetvořením σ = E ε
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Lineární versus nelineární
Svět v němž žijeme je obecně nelineární řešení
mechaniky kontinua (oblast pevných těles) vede obecně
na nelineární úlohu
Lineární modely jsou stále užitečným nástrojem pro
řešení většiny úloh
Pokud jsou lineární modely užity mimo oblast platnosti
dávají zpravidla nesmyslné výsledky
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Lineární a nelineární úlohy
konstruktér se musí rozhodnout, co chce počítat a
posoudit fyzikální chování zkoumaného děje, lineární
předpoklady, případné zdroje nelinearit
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Lineární a nelineární úlohy
Nelineární modely jsou složité. Aby výsledek analýzy byl věrohodný je
třeba znát:
Zkoumaný fyzikální jev
Matematický model a předpoklady pro jeho sestavení
Matematické nástroje pro řešení úlohy a jejich omezení
Zdroje nelinearit
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Lineární a nelineární úlohy
Předpoklady na nichž je postavena lineární mechanika kontinua pro
oblast pevných těles
Malé posuvy
posuvy ui jsou malé vůči rozměrům tělesa
Malá přetvoření (řádu 10-2 a menším)
platí Cauchyho kinematické vztahy
Platnost Hookeova zákona
Podmínky rovnováhy se vztahují k nedeformované konfiguraci
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Lineární a nelineární úlohy
Často předpokládáme další podmínky pro kontinuum
Homogenní kontinuum – identické materiálové vlastnosti v celém
objemu tělesa
Isotropní kontinuum – materiálové vlastnosti jsou nezávislé na
směru
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Lineární a nelineární úlohy
Platnost Hookeova zákona
F = K u F ≠ K u
Lineární závislost síla – posunutí nelineární závislost síla - posunutí
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Lineární a nelineární úlohy
Princip superpozice – výsledné posunutí, napětí, deformace způsobené
několika zatěžujícími silami je algebraický součet jejich hodnot pokud
působí samostatně
+ =
Pro nelineární úlohy nelze aplikovat princip superpozice
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Lineární a nelineární úlohy
Podmínky rovnováhy
Po výpočtu posuvů následuje výpočet sil z podmínky rovnováhy pro
nedeformovanou konstrukci
Fx – R1 - R2 cos α = 0
Fy – R2 sin α = 0
Napětí se též vztahuje k nedeformované konstrukci
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Typy nelinearit
geometrická nelinearita - velká posunutí, malá přetvoření
např. deformace nosníků, skořepin, porušení stability u namáhání
na vzpěr
materiálová nelinearita – nelineární jsou pouze konstitutivní vztahy
např. plasticita, viskoelasticita
materiálová a geometrická nelinearita
např. rázové děje, tváření
nelinearita v okrajových podmínkách
např. kontakt, šíření trhliny
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Příklady nelineárních problémů
Kontakt čep-pánev
Tváření plechů Tažení trubek
Zatížená skleněná
deska
Namáhání pneumatiky
Crash testy –čelní
náraz
Deformace plechovky
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Teorie kontaktu, Hertzova teorie
1,2 jsou Poissonova čísla
E1, E2 moduly pružnosti v tahu
Znaménko + pro konvexní stykové plochy, - pro konkávní stykové plochy
• kontaktní úloha řeší problém interakce těles, které se navzájem
dotýkají a působí na sebe silami.
• vztah mezi zatěžující silou a vypočtenými deformacemi a
napětími není lineární
• kontaktní plocha se zvětšuje nelineárně s rostoucím zatížením
– kontaktní plocha závisí na deformaci modelu
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Teorie kontaktu, Hertzova teorie
Kontaktní procesy pevných těles
Dva základní případy:
• v dotykovém bodě např. koule-koule
• v dotykové přímce např. válec-válec
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Teorie kontaktu, Hertzova teorie
Příklad na kontaktní namáhání
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Typickou úlohou modelování mechanických soustav je kontaktní
problém
Kontaktní vazba dvou těles je nelineární, přenáší sílu ve směru
tlaku ale nikoliv ve směru tahu. Přenáší-li vazba tlak, pak není
dopředu známo rozložení kontaktního tlaku a není známa ani
velikost a tvar kontaktní plochy.
Pro vybrané úlohy je známo Hertzovo řešení, s tím se však pro
modelování praktických úloh nevystačí.
Komerční programové balíky, určené pro modelování mechaniky
kontinua metodou konečných prvků, dnes již nabízí řadu nástrojů
pro řešení tohoto problému.
Kontaktní úloha
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Kontaktní úloha
Kontaktní úloha popisuje interakci mezi tělesy z hlediska
vzájemného silového působení a dodržení podmínek kompatibility
a nepropustnosti. Na obrázku je znázorněn jednoduchý příklad
možného uspořádání kontaktní úlohy.
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Kontaktní úloha
• Kontaktní úlohy jsou úlohy vysoce nelineární a tudíž velmi náročné
jak z hlediska zkušeností výpočtáře, tak z hlediska SW a HW
vybavení.
• V praxi se vyskytují dva základní typy kontaktů těles: tuhá tělesa -
poddajná tělesa a poddajná tělesa - poddajná tělesa.
• Kontakt se může definovat buďto jako kontakt dvou ploch, které
působí vzájemně na sebe jako kontaktní pár, nebo jako self-kontakt,
který interaguje sám se sebou
• K definování kontaktu je potřeba vybrat plochy, které interagují mezi
sebou. Tento proces je u některých komerčních softwarů realizován
automaticky.
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Kontaktní úloha
Klasifikace kontaktních úloh
Klasifikace podle způsobu diskretizace kontaktních ploch.
Tři základní kontaktní algoritmy:
• node-to-node,
• node-to-surface,
• surface-to-surface.
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Kontaktní úloha
Výhody algoritmu surface-to-surface
• Podporuje kontakt elementů vyšších řádů
• Podporuje úlohy s velkými deformacemi
• Poskytuje větší přesnost výsledků a hladší rozložení napětí
• Významná penetrace se u tohoto algoritmu objevuje výjimečně
a je případně rovnoměrně rozložena.
• Nemá žádná významnější omezení pro geometrii kontaktních
povrchů
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Příprava modelu pro kontaktní úlohu
• definice kontaktu - manuální nebo automatický výběr
kontaktních ploch
• přizpůsobit hustotu sítě v předpokládaných kontaktních
plochách
• využít symetrie modelu
• vytvořit co nejjednodušší model - potlačit detaily
• pro analýzu uvažovat pouze část modelu pokud je to možné
• okrajové podmínky – stupeň volnosti
• zvážit potřebu vyšetření vzájemného pohybu kontaktních ploch
• zvážit využití dokonale tuhého tělesa
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Příprava modelu pro kontaktní úlohu
Využití dokonale tuhého tělesa
•Přinese zkrácení výpočtového času.
•Tuhé těleso je soubor uzlů, elementů a ploch,
•Pohyb dokonale tuhého tělesa může být předepsán v jediném uzlu -
referenční uzel tělesa.
•Referenční uzel má šest stupňů volnosti. Relativní pozice uzlů a
ploch, jako částí dokonale tuhého tělesa, zůstávají během simulace
stejné. Proto se příslušné elementy nedeformují, mohou se jen
pohybovat.
•Tuhá tělesa mohou interagovat jak mezi sebou, tak i s poddajnými
tělesy.
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Příprava modelu pro kontaktní úlohu
Využití dokonale tuhého tělesa
• Tuhá tělesa mohou být použita pro velmi tuhé komponenty.
• Mohou být použita k modelování vazeb mezi ideálními tělesy a
poskytnout výhodnou metodu k určení kontaktní interakce.
• Dají se s výhodou aplikovat při zjednodušování modelů v místech,
která nejsou z hlediska analýzy stěžejní.
• Největší výhodou tuhých těles je jejich výpočetní nenáročnost.
Výpočet není proveden pro elementy tohoto tělesa, pouze se
přepočítá pohyb referenčního uzlu.
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Dostupné výsledky při kontaktní analýze
• výsledná síla přenesená přes kontaktní plochu
• velikost kontaktní plochy
• maximální kontaktní tlak
• průměrná hodnota kontaktního tlaku
• tečná síla při uvažování tření
• parametr deklarující pohyb v tečném směru
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Tření v kontaktu
• v kontaktu obvykle dochází ke tření
• Coulombův model tření
• koeficient tření statický, dynamický
• vyšetření vzájemného pohybu kontaktních ploch
pro F ≤ mN: Ff=F
Fs=0
pro F > mN: Ff=0
Fs=F
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Příklad: výpočet kontaktního napětí v axiálním ložisku vřetena
• software Mechanica Structure (CREO)
• kontaktní plochy: kulová a rovinná
• využití osové symetrie modelu –
rovinná úloha
• zadání okrajových podmínek symetrie
• zahuštění sítě v kontaktu
Kontaktní plochy
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Zahuštění sítě v kontaktních plochách
Příklad: výpočet kontaktního napětí v axiálním ložisku vřetena
Průběh kontaktního napětí