nem korlÁtos diffÚziÓs folyamatok egzakt...

EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM

TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR

NEM KORLÁTOS DIFFÚZIÓSFOLYAMATOK EGZAKT MEGOLDÁSA

BSc Szakdolgozat

Készítette: TémavezetoVárai Anita Pröhle Tamás

matematika szakos tanársegédhallgató

Budapest

2015

Tartalomjegyzék

Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Motiváció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Tartalmi összefoglaló . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1. Sztochasztikus folyamatok 61.1. Wiener-folyamat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2. Sztochasztikus differenciálegyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Diffúziós és Itô folyamat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Ito formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5. Lamperti transzformáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Elfogadás-elvetés módszere 122.1. Suruségarányok diffúziós folyamatokhoz . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Az elfogadási valószínuséghez vezeto gyakorlati út . . . . . . . . . . . . 142.3. Lokalizációs eljárás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. Implementáció 213.1. Lokalizációs eljárás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2. ς választása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3. I mintavételezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4. ς < T − ζi−1 eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.5. ς > T − ζi−1 eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.5.1. Megfelelo szint választása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.6. Összegzés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4. Tesztelés 354.1. Ornstein-Uhlenbeck Mean-Reverting folyamat . . . . . . . . . . . . . . . 354.2. Szinuszos drift tag hatása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3. Double-Well Potential Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4. Eredmények összefoglalása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5. Függelék 435.1. A program forráskódja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1.1. Beérkezési idok generálása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.1.2. I mintavételezése, ajánlott skeleton tesztelése . . . . . . . . . . . 445.1.3. Összefoglaló muködés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Irodalomjegyzék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2

Bevezetés

MotivációA pénzügyi elmélet, a pénzügyi tervezés – angolul: financial engineering – ma már

multidiszciplináris tudománynak tekintheto, mely a matematikai eszközök, mérnöki mód-szerek és a programozási gyakorlat tudományát ötvözi.

Ezt a szakdolgozatot egy olyan kutatás-fejlesztési projekt hívta életre, melynek cél-ja a pénzügyi tervezés témaköréhez kapcsolódik. A szakdolgozat célja, hogy bemutassahogyan kaphatjuk meg a sztochasztikus d ifferenciál-egyenletek (késobiekben: SDE) re-alisztikusan bejárt útjait és a megoldáshalmazát. Célom bemutatni egy módszert, mely aSDE-k megoldását reális, nem ido-diszkretizált utakon közelíti.

A probléma megközelítheto hagyományos, ido-diszkretizációs módszerekkel is, úgymint az Eule vagy Runge-Kutta típusú módszerek [1]. Természetesen ezek a megköze-lítési módszer is generálnak idosorokat (trajektóriákat) xi = (xi [1] , xi [2] , . . . , xi [t]) ,i = 1, . . . , n , ám ezen módszerek megoldását terheli egy adott hibatag (bias), melynekelfogadható szintre való csökkentése egyes esetekben számítógépigényes feladat. Ez azoka annak, hogy az egzakt szimulációs módszerek magukra vonták a figyelmet az elmúltévekben. Az egzakt módszerek abban az értelemben pontosak, vagyis egzaktak, hogyaz általuk leírt idosorok pontosan az adott SDE eloszlásából következik, így a szimuláltértékeke együttes eloszlása egybeesik a folytonos ideju folyamatéval.

Ebben a szakdolgozatban szeretném bemutatni az elfogadás-elvetés módszerét alkal-mazva egy egy-dimenziós, nem korlátos Ito diffúziós folyamat egzakt megoldását. Ezt ameglepoen egyszeru algoritmust eloször 2005-ben Beskos és Roberts [2] alkalmazta kor-látos diffúziós folyamat esetére, majd késobb általánosított, nem korlátos esetre Burq ésJones [3] és Chen [4]. Az egyik legújabb fejlesztés a pénzügyi elemzés ezen a területén,amikor egy olyan SDE-re alkalmazzuk az egzakt módszert, mely egy Poisson eloszlású,úgynevezett "jump", magyarul úgró tagot is tartalmaz. Ezt eloször Giesecke és Smelov[5] vezetette be.

3

TARTALOMJEGYZÉK

Tartalmi összefoglalóA dolgozat felépítését tekintve három nagy részre osztható. Elso rész az ELMÉLETI

ÖSSZEFOGLALÓ, melyben a szükségesnek megfeleloen részletezem az sztochasztikus fo-lyamatok matematikáját [6] [7] és az elfogadás-elvetés módszerét [8] [9] [10]. Még ezena részen belül összefuzöm a két elméleti hátteret, tehát megmutatom, hogyan lehet alkal-mazni az elfogadás-elvetés módszerét adott sztochasztikus differenciálegyenletek megol-dására. A második rész az IMPLEMENTÁCIÓ, melyben bemutatom, hogy hogyan épül felmatematikailag és programozástechnikailag egy nem korlátos diffúziós folyamat megol-dása. A harmadik rész pedig a program TESZTELÉSÉROL szól, melyben bemutatom né-hány egyszerubb példafüggvényen keresztül, hogy milyen a futási ido és összehasonlítomhagyományos, numerikus módszerek eredményével.

4

TARTALOMJEGYZÉK

IntroductionOur research and development project was triggered by the general need in financial

engineering to obtain realistic path solutions for stochastic differential equations (SDEs).Naturally, the most conventional approach to generate sample time series is the usageof standard time-discretization methods (e.g. Euler, Runge-Kutta, etc.). Such schemesintroduce a certain bias to the simulations which can be computationally expensive toreduce to an acceptable accuracy level. This is the reason why the so-called exact simu-lation schemes attracted much attention in the recent years. These methods are exact inthe sense that they draw sample paths „exactly” from the distributions corresponding tothe SDEs, therefore, by definition, the joint distributions of the simulated values coincidewith that of the continuous-time process on the simulation time grid.

In the present report we discuss the application of the acceptance-rejection samplingmethod to the general type of one-dimensional unbounded Itô diffusion processes. Thecore of this surprisingly simple algorithm has first been applied by Beskos and Roberts in2005 [2] for bounded diffusions, and was further generalized for the unbounded case byBurq and Jones [?] and Chen [4]. As a more recent development in this field Giesecke andSmelov [5] introduced a Poissonian random jump term to the standard diffusion SDE, anddiscussed the implementation of exact sampling in that case. As the treatment of jumpsis quite straightforward and well documented in [5], we intended to focus merely on theunbounded Itô diffusion process in this work.

The paper is organized as follows: Section I gives a brief introduction to the mathe-matical basics of the problem, Section II describes the implementation itself with MatLabexample scripts, and Section III discusses the results of the numerical testing.

5

1. fejezet

Sztochasztikus folyamatok

A sztochasztikus folyamat [6], vagy más néven véletlenszeru folyamat, melyet rész-ben vagy teljesen valószínuségi változók jellemeznek. Ennek az ellentéte a determinisz-tikus folyamat, ahol a folyamat nem véletlenszeruen változik. A sztochasztikus folyamatidoben végbemeno folyamat. A folyamat lehet diszkrét ideju, ahol a valószínuségi vál-tozók egy idosornak felelnek meg, vagy folytonos ideju folyamatról beszélünk, amikoregy adott idotartományban folytonosan változhatnak a folyamatot részben, vagy teljesenjellemzo valószínuségi változók. Az folytanos változás nem jelentti, hogy a tarjektória isfolytonos.

1.1. Wiener-folyamatA folymatok elméletének egyik nagyon fontos fogalma a Wiener-folyamat, amelyet

Brown-mozgásként említ még a szakirodalom [11]. Az elso elnevezés a fogalom elsomatematikailag precíz bevezetojére, Norbert Wienerre (1894 -1964), amerikai matemati-kusra, a második pedig Robert Brown (1773-1858), angol botanikusra utal, aki egy fo-lyadékban levo, egymással ütközo apró részecskék (virágpor) mozgását tanulmányozta.A Wiener-folyamat nagyon fontos szerepet játszik a sztochasztikus folyamatok elméleté-ben, és tulajdonképpen úgy tekintheto, mint a standard normális eloszlású valószínuségiváltozók megfeleloje a sztochasztikus folyamatok körében. Több módja is van, hogy de-finiáljuk egy W = {W (t), t > 0} Wiener-folyamatot. Én a következoekben a késobbleghasznosabb definíciót mutatom be.

1.1. Definíció. A Wiener-folyamat, vagy Brown-mozgás olyan folytonos ideju, függet-len stacionárius növekményu W(t) Gauss-folyamat, melyre W (0) = 0, EW (t) = 0 ésV ar(W (t)−W (s)) = t− s, ∀0 ≤ s ≤ t.

1.2. Definíció. A független növekményuség azt jelenti, hogy ha 0 ≤ t1 < t2 < . . . < tk,akkor W (ti)−W (ti+1) és W (tj)−W (tj+1) független valószínuségi változók ∀1 ≤ i <j < k esetén.

A gyakorlatban, a mi szempontunkból fontos, hogy W (t) − W (s) ∼ N(0, t − s) ,∀0 ≤ s ≤ t és a független növekményuség. Mivel, ha adva van egy adott t > 0 idolé-pés könnyen szimulálni tudjuk a Wiener-folyamat trajektoriáját [0, T ] idointervallumon,hiszen az elozoekbol következik, hogy

6

FEJEZET 1. SZTOCHASZTIKUS FOLYAMATOK

W (t−∆t)−W (t) ∼ N(0, ∆t) ∼√∆t ·N(0, 1) (1.1)

A Wiener-folyamat fontos tulajdonsága, hogy trajektóriája minden pontban folytonos1 valószínuséggel, de sehol sem differenciálható. Ennek a bizonyításától itt eltekintek.

1.2. Sztochasztikus differenciálegyenletekEloször heurisztikusan fogom bevezetni a sztochasztikus differenciálegyenletek vi-

lágát [6]. Tegyük fel, hogy van egy olyan S(t) t > 0 függvény, mely reprezentálja afolyamatot t idopontban. Tekintsük most S változását ∆S = S(t+∆t)− S(t) egy rövid[t, t + ∆t) idobenintervallumon. A visszatérési értékét a folyamatnak, melynek dinami-káját az S függvény írja le, definiáljuk úgy, mint ∆S/S, tehát mint az S függvény relatívváltozása. Ekkor a modell, úgy néz ki hogy

∆S/S = determinisztikustag + sztochasztikustag. (1.2)

Míg a determinisztikus tag kapcsolható valamely nem kockázatos tevékenységhez, folya-mathoz és így leírható, mint például az idoegység lineáris függvénye:

determinisztikustag = µ∆t, (1.3)

ahol a µ egy konstans, de késobb látni fogjuk, hogy ez lehet S(t) függvénye is lehet. Asztochasztikus tag pedig egy zajforrást ad hozzá, mely például a tozsdei kereskedelem ter-mészetes változékonyságát jelezheti. Így a változékonysága megadható úgy, mint egy vé-letlen folyamat, ∆W = W (t+∆t)−W (t), melyrol feltételezzük, hogy ∆W ∼ N(0, 1),tehát Wiener-folyamat. A folyamat intenzitása pedig egy σ szorzótényezon keresztül rea-lizálódik, melyrol késobb szintén látni fogjuk, hogy függhet a folyamat állapotától (S-tol)vagy az idotol (t-tol) is. Tehát

sztochasztikustag = σ∆W. (1.4)

Az elozoeket figyelembe véve megkapjuk, hogy

∆S/S = µ∆t+ σ∆W. (1.5)

Engedve az ördögi kísértésnek, még mindenféle matematikailag pontos bevezeto elott,szeretném felírni a fenti egyenletet infinitezimális idointervallumokra (∆t → 0). Tehát asztochasztikus alakja a következo:

dS(t) = µS(t)dt+ σS(t)dW (t). (1.6)

Már az elozo fejezetben említésre került, hogy a Wiener-folyamat differenciája, dW (t)nem véges és W(t) folyamat folytonos, de sehol sem differenciálható. Írjuk fel tehát azintegrál formáját

S(t) = S(0) + µ

∫ t

0

S(u)du+ σ

∫ t

0

S(u)dW (u). (1.7)

7


Ezzel bevezetésre is került a sztochasztikus integrálás, mely a következoképp néz ki:

I(X) =

∫ T

0

X(u)dW (u). (1.8)

Nem megyek bele részletesen a sztochasztikus integrálás felépítésébe, hiszen ez nemférne bele egy szakdolgozat kereteibe, illetve elterelné a figyelmet a dolgozat célkitu-zésétol, így csak felhasználásra kerül. De mindenképp összefoglalnám a tudnivalókat,ami a szimulálás szempontjából fontos lehet. A sztochasztikus integrálás vagy más né-ven Itó-kalkulus a valószínuségszámítás és az analízis határterülete, amely a klasszikusanalízisbeli függvénykalkulus (differenciál- és integrálszámítás) módszereit kiterjeszti asztochasztikus folyamatokra. A Brown-mozgás pályái nem elégítik ki azon feltételeket,melyek a kalkulus hagyományos eszközeinek használatához szükségesek. Például egyikpontban sem differenciálhatóak és végtelen variációjuk van minden idointervallumon. En-nek eredményeként az integrál nem definiálható a hagyományos módon. Fo meglátás,hogy az integrál definiálható mindaddig, míg X adaptált. Ez azt jelenti, hogy a t ido-pillanatban felvett értéke csak az addig rendelkezésre álló információktól függ. Ekkor asztochasztikus integrált egy valószínuségi változóként kezelhetjük.

Az Itó-integrált definiálhatjuk a Riemann-Stieltjes integrálhoz [12] hasonló módon,azaz mint Riemann-összegek mértékben való határértékét.

1.3. Definíció. Tegyük fel, hogyW (t) egy Wiener-folyamat ésX(t), 0 ≤ t ≤ T , egy balrólfolytonos, adaptált és

∫ T0E(X(t)2)dt < ∞. Ha Πn a [0, t] intervallum partícióinak egy

minden határon túl finomodó sorozata, akkor a X Itó-integrálja a W szerint a t idopontigegy valószínuségi változó

I(X) =

∫ T

0

X(u)dW (u) = lim‖Πn‖→0

n−1∑t=0

X(ti)(W (ti + 1)−W (ti), (1.9)

ahol ti ∈ Πn.

Ha egy folyamat Itô integrálható, akkor

E

(∫ T

0

X(t)dW (t)

)= 0 (1.10)

és

V ar

(∫ T

0

X(t)dW (t)

)=

∫ T

0

EX2(t)dt (1.11)

illetve

E

((∫ T

0

X(t)dW (t)

)2)

= E

(∫ T

0

X2(t)dt

)(1.12)

Ezt nevezzük Itô-izometriának.

8


1.3. Diffúziós és Itô folyamatA diffúziós folyamatokat a következo formában írhatjuk fel, mint SDE:

dX(t) = ν(t,X(t))dt+ σ(t,X(t))dW (t), (1.13)

adott T és X0 kezdeti értékkel. A ν(t,X(t)) és σ(t,X(t)) az idotol és a folyamat ál-lapotától függo függvények, W (t), pedig a standard Wiener-folyamat. Integrál alakbanírva:

X(t) = X(0) +

∫ T

0

ν(t,X(t))dt+

∫ T

0

σ(t,X(t))dW (t). (1.14)

E munka központjába az Itô diffúziós folyamatok állnak, melyek tulajdonképpen nemmások, mint idoben homogén diffúziós folyamatok:

dX(t) = ν(X(t))dt+ σ(X(t))dW (t), (1.15)

adott T és X0 kezdeti értékkel. A ν(x) az úgynevezett drift (várható érték) tag, σ(x) > 0pedig a volatilitás (szórás változása) tag. Mindketto csak a folyamat állapotától függ a fo-lyamat idejétol, vagy a az addig bejárt úttól nem. W (t), pedig a már megszokott standardWiener-folyamat. Ez a modell elterjedten használt a pénzügyi modellezés témakörébenpiaci változók leírására. Hiszen egy minimálmodellt tekintve a folyamat adott értéke hatá-rozza meg, hogy mennyivel no vagy csökken átlagosan egy piaci változó értéke és annaka várható kilengése. Innentol kezdve tehát ezzel a modellel foglalkozom.

1.4. Ito formulaEgy fontos eredménye az Ito-folyamatok kutatásának az Itó-lemma, mely igen hasz-

nos a szimulálás szempontjából is. Erre a formulára tulajdonképpen úgy érdemes tekin-teni, mint sztochasztikus változata az f(X) függvény Taylor sorfejtésének másodrendig,ahol X egy diffúziós folyamat.

1.4. Lemma. Az Ito lemma kimondja, hogy ha f(t,x) egy kétszer differenciálható függvénymindkét változója szerint, akkor

f(t,Xt) = f(0, X0) +

∫ t

0

ft(u,Xu)du+

∫ t

0

fx(u,Xu)dXu +1

2

∫ t

0

fxx(u,Xu)(dXu)2,

(1.16)ahol

ft(t, x) =∂f(t, x)

∂t, fx(t, x) =

∂f(t, x)

∂x, fxx(t, x) =

∂2f(t, x)

∂x2. (1.17)

Differenciál formában:

df(t,Xt) = ft(t,Xt)dt+ fx(t,Xt)dXt +1

2fxx(t,Xt)(dXt)

2. (1.18)

Nézzünk egy példát az Ito formula alkalmazására. Legyen f(t, x) = f(x) = x2 ésalkalmazzuk ezt a Wiener-folyamatra, vagyis f(Wt), ekkor

W 2t = 02 +

∫ t

0

2WudWu +1

2

∫ t

0

2du,

9


ebbol következik, hogy ∫ t

0

WudWu =1

2W 2t −

1

2t, (1.19)

1.5. Lamperti transzformációAz egyszeruség kedvéért, de az általánosság elvesztése nélkül, szeretném transzfor-

málni a Ito diffúziós SDE-t egy egységnyi volatilitású diffúziós-folyamattá. Ezt oldja mega Lamperti-transzformáció:

F (x) =

∫ x

X0

1/σ(u)du, (1.20)

ahol, F (x) egy szigorúan növekvo függvény (amíg σ > 0) és invertálható: ∃F−1. Átíromaz eddig ismert SDE-t egységnyi volatilitásúra, ez lesz Yt folyamata:

dYt = νY (Yt)dt+ dWt,

ahol

νY (y) =ν(F−1(y))

σ(F−1(y))− 1

2

∂σ(F−1(y))

∂x,

Annak érdekében, hogy belássuk, hogy ha a Lamperti-transzformációt alkalmazva a1.15 egyenleten, akkor egy egységnyi volatilitású SDE-t kapok, szükségünk van az Ito-formula, 1.18 alkalmazására. Tehát alkalmazzuk a 1.18 a 1.15-n. Ehhez szükségünk lesza következo deriváltakra 1.17 alapján:

f(t, x) = F (x) =

∫ x

X0

1/σ(t)dt,

ft(t, x) =∂f(t, x)

∂t= 0,

fx(t, x) =∂f(t, x)

∂x=

1

σ(x),

fxx(t, x) =∂2f(t, x)

∂x2=−1

σ2(x)

∂σ(x)

∂x.

Használva a differenciál alakot a következot kapom:

df(t,Xt) = ft(t,Xt)dt+ fx(t,Xt)dXt +1

2fxx(t,Xt)(dXt)

2

= 0 · dt+ν(Xt)dt+ σ(Xt)dWt

σ(Xt)+

1

2

−1

σ2(Xt)

∂σ(Xt)

∂Xt

(ν(Xt)dt+ σ(Xt)dWt)2.

(1.21)

Felhasználva a következo feltevéseket:

• a (dt)2 elhanyagolható,

• azok a tagok ahol a (dtdWt) szerepel szintén elhanyagolhatók,

10


• a standard Brown-mozgás statisztikai tulajdonságából ered?en a (dWt)2 dt-vel he-

lyettesíthet?,

megkapjuk az eredeti dYt-t leíró egyletet az új drift taggal:

df(t,Xt) = dF (Xt) =

(ν(Xt)

σ(Xt)− 1

2

∂σ(Xt)

dXt

)dt+ dWt = dYt. (1.22)

11

2. fejezet

Elfogadás-elvetés módszere

Az elfogadás-elvetés módszere egy egyszeru és elegáns metódus arra, hogy mintamegfigyelés sort generáljunk egy adott suruségfüggvényhez - következoekben: PDF, Pro-bability Density Function - még akkor is ha a hagyományos véletlen generátorok nem al-kalmasak arra, hogy kezeljék az eloszlást. Hagyományos mód alatt értem, hogy ha kiszá-moljuk az inverzét a suruségfüggvénynek (IPDF), Q(x) =

∫f és generálunk egy random

számot zi egyenletes eloszlásból a [0, 1] intervallumon, majd vesszük az xi = Q−1(zi) ér-tékeket és így mintázni tudjuk az f eloszlást. Probléma akkor merülhet fel, ha Q(x)-t nemlehet felírni zárt formában, vagy az inverz függvényt Q−1 nem lehet egyszeruen kezelni.Ha nem szeretnénk alkalmazni olyan közelíto eljárásokat, amikor például Q−1-t egy poli-nommal approximálunk, akkor célszeru ezt a módszert választani. A módszer folyamatapontokba szerve:

1. Keressünk egy suruségfüggvényt, g(y)-t, amit könnyu kezelni (könnyen invertál-ható, stb..) és egy 0 < c ∈ R, amire igaz, hogy g(y) > c · f(y), ∀y-ra. LegyenH(y) = cf(y)

g(y), ahol H(y) ∈ [0, 1] az elfogadási valószínuség függvény. Ekkor

tulajdonképpen majoráljuk a g(y) függvénnyel a c · f(y)-t.

2. Generáljunk egy Y -t g(y) suruségfüggvénybol.

3. Legyen I egy független Bernoulli indikátor, melynek elfogadási valószín?ségH(Y ).Vagyis valószínuségekkel elmondva: p(I = 1) = H(Y ) és p(I = 0) = 1−H(Y ).

4. Amennyiben I = 1-et kaptunk, Y értékét elfogadhatjuk, mint az f(y) cél-eloszlásbólszármazó változót. I = 0 esetén újabb Y -et generálunk és kezdjük az eljárást újra.

A H(y) elfogadási ráta függvényt úgy is interpertálhatjuk, mint geometriai valószí-nusége c · f(y) alatti terület eltalálásának, lásd: 2.1 ábra. Nyilván az olyan g(y) próba-suruségfüggvény a jó választás, ami minél közelebb van az c·f(y) cél-suruségfüggvényhez,mert akkor minél kevesebbszer kapunk I = 0-t és minimalizálni lehet az iterációk számát.

12

FEJEZET 2. ELFOGADÁS-ELVETÉS MÓDSZERE

2.1. ábra. Az elfogadás-elvetés módszerének sematikus ábrázolása

2.1. Suruségarányok diffúziós folyamatokhozBeskos és Roberts [2] megvizsgálták, hogy hogyan alkalmazható az elfogadás-elvetés

módszer olyan diffúziós folyamtokra, mint 1.15:

dYt = µY (Yt)dt+ dWt, (2.1)

Feltételezzük, hogy a drift tag, µY kielégíti a Novikov feltételt [13] [2]. Ennek pontosleírása és bizonyítása szintén nem férne bele a szakdolgozat kereteibe, így átemelem afent említett cikkbol. Az érdeklodo olvasó a hivatkozásokon utánanézhet. A Novikovfeltétel:

E

[exp

{1

2

∫ T

0

µY (Wt)dt] < +∞ (2.2)

A fent említett cikkben[2] a szerzok megadják az elfogadási arányát a cél-suruségfüggvénynekfYT (y) (ami tulajdonképpen annak a valószínusége, hogy az Y Ito diffúziós folyamat a Tidopontban éppen y-ba jut). Ehhez be kell vezetniük az A(y) integrált driftet:

A(y) =

∫ y

0

µY (u)du. (2.3)

Vegyük észre, hogy az integrál u változója nem a diffúziós folyamatot futja végig,hanem egyedül az y értékkészletét, így A(y) könnyen kiszámítható a folyamat idofejlo-désérol szóló bármilyen eloismeret nélkül. Célszeruen választott próba-suruségfüggvény,g(y) legyen a következo:

g∗(y) = exp(A(y)− y2/2T )/c, (2.4)

ahol a c =∫

exp(A(u)− u2/2T )du normalizációs konstansnak köszönhetoen g∗(u) nemmás, mint egy Gauss eloszlás suruségfüggvénye, amely így megfelel egy T idopontbeli

13


standard Brown-mozgás PDF-jének σ =√T szórással, eltolva és torzítva az integrált

driftnek megfeleloen. [2] alapján, a suruségarány a következo formában írható le:

fYT (y)

g∗(y)∝ E

[exp

{−∫ T

0

φ(Wt)dt

} ∣∣∣∣WT = y

], (2.5)

ahol φ(u) ≡ 12µ2Y (u) + 1

2µ′Y (u) − k1 ≥ 0, µ′Y pedig a drift tag állapot változó szerinti

deriváltja. Az egyenlet tehát azt jelenti, hogy egy adott y értékre a H(y) elfogadási aránytúgy kell számolni, hogy megadjuk az exponenciális funkcionálnak a várható értékét azok-ra a Brown-mozgásokra, amik T ido alatt pont y-ba érkeznek meg. Ennek a numerikuskiszámítása több problémát is felvet, ezeket a következo fejezetben részleteiben is meg-vizsgálom.

A standard Brown-mozgás határeloszlásához ugyan ilyen módon használhatjuk, ag(y) = exp(−y2/2T )/c függvényt. Ekkor természetesen a 2.5 egyenlet jobb oldalánugyan úgy megjelenik az A(u) integrál drift tag.

fYT (y)

g(y)∝ exp(A(y))E

[exp

{−∫ T

0

φ(Wt)dt

} ∣∣∣∣WT = y

]≡ H(y), (2.6)

Annak, hogy ilyen szép eredményeket kapjanak, persze ára volt. Fel kellett tételezni-ük, hogy:

0 ≤ φ(u) ≤ φmax ∀u (2.7)

Sajnos a legtöbb pénzügyi modellnél nem tudunk optimális felso korlátot mondaniφ-re, ezért nem korlátos φ függvénnyel írják le a változók viselkedését. De még nem kor-látos esetben is van lehetoségünk kezelni a folyamatokat azzal a megkötéssel, ha idoben"feldaraboljuk". Tehát felosztjuk véges sok idointervallumra és ekkor már minden in-tervallumhoz találhatunk olyan lokális korlátot, hogy a 2.7 megkötést alkalmazva oldjukmeg a feladatot. Ezt a következo fejezetben látni fogjuk.

2.2. Az elfogadási valószínuséghez vezeto gyakorlati útHa az implementáció során, az eddig bemutatott analitikus utat szeretnénk követni,

akkor komplikációt okoz, hogy egy adott H(y) érték meghatározásához 2.6 szerint végigkell integrálnunk azon folytonos Brown-mozgás trajektóriái mentén, amik y-ban érnekvéget T idopontban. Ezt nyilván nem tudjuk megcsinálni. Numerikusan csak a trajektó-riák vázát, skeletonját, tudjuk megadni diszkrét idopontokra, de az nem elég az integrálegzakt kiszámításához. De szerencsére ez az egész áthidalható.

Az áthidaláshoz szükségünk lesz a Poisson folyamat definíciójára. Legyen λ(t, )t ≥ 0olyan nem-negatív, monoton nemcsökkeno, balról folytonos függvény, melyre λ(0) = 0

2.1. Definíció. Az N(t), 0 ≤ t ≤ T sztochasztikus folyamatot a [0, T ] intervallumon λ(t)várható érték-függvényu Poisson-folyamatnak nevezünk, ha

1. N(0) = 0

2. N(t) szeparábilis, független növekményu folyamat

14


3. Tetszoleges 0 ≤ s ≤ t esetén N(t)-N(s) Poisson eloszlású λ(t− s) paraméterrel.

A homogén Poisson-folyamatot egy idofüggetlen λu paraméter jellemzi (intenzitás).A valószínusége, hogy t ideig "nincs esemény" a következoképp írható le:

P (N(t)−N(0) = 0) = exp(−λut).

Inhomogén Poisson folyamat, vagyis idofüggo λ(t), estén a következoképp írható le:

P (N(t)−N(0) = 0) = exp

(−∫ t

0

λ(t′)dt′

). (2.8)

A λ(t) intenzitás-függvény lehet determinisztikus, vagy szintén sztochasztikus függ-vény is. A duplán sztochasztikus folyamatok lényegüket tekintve olyan Poisson folyama-tok, melyeknél az intenzitásfüggvény véletlenszeruen változhat. Számos példa van ilyenfolyamatokra a fizika területén is, mint például fotondetektálásnál, sugárterápia alkalma-zásában, stb. A duplán sztochasztikus Poisson-folyamatokat szokás Cox-folyamatoknakis nevezni.

2.2. Definíció. LegyenXt, t ≥ t0 balról folytonos sztochasztikus folyamat. AzN(t), t ≥ t0folyamatot duplán sztochasztikus λt(Xt), t ≥ t0 intenzitású Poisson-folyamatnak nevez-zük, ha azXt, t ≥ t0 folyamat tetszoleges realizációja mellett azN(t) folyamat λt(Xt), t ≥ t0intenzitású Poisson-folyamat. Az Xt, t ≥ t0 folyamatot - mely meghatározza az N(t) fo-lyamat intenzitását - információs folyamatnak nevezzük.

Jelenleg a legnépszerubb módszer inhomogén Poisson-folyamatok generálására egyaz elfogadás-elvetés módszerével analóg metódus, melyet vékonyításnak, angolul thin-ning-nek mondanak [15]. Az eljárás röviden a következo, melyet Lewis és Shadler [16]dolgozott ki: keresünk egy λu(t) ≡ λu alkalmas konstanst, mely majorálja a λ(t) függ-vényt. Ezután tegyük fel, hogy ν1, ν2, ..., νn λu paraméteru homogén Poisson-folyamatbólvett reprezentációk (0, T ] intervallumon. λ(t) intenzitás függvényrol tudjuk, hogy 0 ≤λ(t) ≤ λu minden t ∈ [0, T ] esetén. Ha minden i-edig eseményt, νi függetlenül kitö-röljük 1 − λ(νi)/λu valószínuséggel, akkor maradék események felfoghatók, mint egyinhomogén Poisson-folyamat reprezentációja λ(t) paraméterrel (0, T ] intervallumon.

Ezzel a tudással felfegyverkezve már készen állunk, hogy megkapjuk fYT (y) megfe-lelo suruségfüggvényt a következo módon nem korlátos folyamatokra [2]):

1. Választunk egy y-t g(y)-ból, mint egy lehetséges értéke a folyamatnak T idopont-ban. Következo pontokban pedig vizsgáltjuk, hogy el is fogadhatjuk e annak.

2. Generálunk beérkezési idoket ν1, ..., νN egy K > φmax intenzitású inhomogénPoisson-folyamatból.

3. Ha az elozo halmaz üres, vagyis nincs "beérkezés" (N = 0) állítsuk Bernoulliindikátor értékét I = 1 és ugurjunk a 9. lépésre.

4. Legeneráljuk egyW Brown-mozgás trajektóriáját (Brown-hidak generálásával, lásdkésobb: 3 fejezet) Y0 = 0-tól YT = y-ig: νi (Wν1 , ...,WνN ).

5. Kiszámítjuk a φνi értékét az elozo pontban generált Brown-mozgás lépéseibol.

15


6. Generálunk véletlen értékeket Ui egyenletes eloszlásból (0; 1) intervallumon ∀νi-hez.

7. Tartsuk meg νi, ha Ui ≤ φ(Wνi)/K, különben töröljük.

8. Ha nem maradt "beérkezés" (0;T ] idointervallumon, legyen I = 1. KülönbenI = 0.

9. Fogadjuk el y-t, ha I = 1 és utasítsuk vissza, ha I = 0.

Geometriai értelmezése a ritkítás (thinning) algoritmusnak a 2.2 ábrán látható. Ve-gyük észre, hogy egy Ui független indikátor változó generálása ugyan az, mintha egyegyenletes eloszlásból vennénk véletlen pontokat 0 és K között νi Poisson eloszlású ido-pontokba. Megfelelo átskálázás mellett: T × K := 1, könnyen beláthatjuk, hogy egyvéletlen pont φ(Wt) görbe alá kerülésének valószínusége megegyezik p =

∫ T0φ(Wt)dt.

Ez garantálja, hogy Ui ≤ φ(Wνi)/K feltétel teljesülése esetén a kapott "beérkezések" in-tenzitása pont a kívánt lesz, annak ellenére, hogy az integrál kiszámítása nem lehetséges.A 2.2a. ábrán ennek egy példája látható, ahol két "beérkezés" esetén is(ν1 és ν3 idopilla-natokban) teljesült ez a feltétel, de ennek ellenére ez a 3 pontból álló Brown-trajektóriaWνi elvetésre kerül ν2 pont miatt.

2.2. ábra. A ritkító algoritmus geometriai értelmezése.

Vegyük észre, hogy nagyobb K érték esetén a geometriai valószínusége alacsonyabb,hogy φ(Wt) görbe alá kerül a véletlen pont. Ez azt jelenti, hogy átlagosan kevesebbBrown-trajektória lesz generálva. A ritkító algoritmus olyan esetben is használható, haφ(Wt) negatív értékeket is felvesz. Így tehát még hatásosabbá tudjuk tenni a numerikát:

• Legyen m a φ(Wt) függvény minimuma és M pedig a maximuma a folyamat teljeshosszán.

• Használjuk a thinning algoritmust ahogy eddig, de az alsó korlátja legyen φ(Wt)−m, a felso pedig M −m (ahogy a 2.2b. ábrán láthatjuk)

• Habár már nem maradt több beérkezés az elozo lépésben, de számolnunk kell annaka valószínuségével, hogy lehet néhány esemény, mely am alsó intenzitáskorlát alattérkezett be. Ezért be kell vezetnünk egy újabb független Bernoulli indikátort, I2-t, olyan elfogadási valószínuséggel, mely arányos exp(−mT ), vagyis azzal, hogynincs beérkezo esemény T -ig egy m intenzitású Poisson-folyamat esetén.

16


• Az y jelölt értéket elfogadjuk, ha mind I = 1, mind I2 = 1 egyszerre teljesül.

Habár egy negatív intenzitású Poisson-folyamatnak nincs igazán értelme, a thinning algo-ritmus képes kezelni m negatív értékként is. Ezért nincs már szükség a φ definíciójábanleírt k1 konstansra. Mostantól kezdve a következo formulát használom az intenzitásra:

φ(u) ≡ 1

2µ2Y (u) +

1

2µ′Y (u). (2.9)

Ha ezt a formulát használjuk a 2.6 egyenletben az elfogadási valószínuség a következo-képp néz ki:

H(y) = c exp(A(y)) exp(−mT )E

[exp

{−∫ T

0

(φ(Wt)−m)dt

} ∣∣∣∣WT = y

]. (2.10)

Az A(y) integrált drift tagot viszonylag könnyu kiszámolni, hiszen ez csak y egy függvé-nye. Ennek ellenére az egyenlet jobb oldalának kiszámítása korán sem egyszeru feladat,hiszen összességében három független Bernoulli indikátort kell kezelnünk. Egyet-egyetminden szorzófaktor szerint:

A(y), exp(−mT ), exp−intT0 (φ(y)−m)dt.Annak érdekében, hogy kiszámoljuk a 2.10 egyenletet, még hátra van a skálázási

prefaktor c meghatározása. Mivel biztosítani szeretnénk az iterációk minimalizálását,szükség lesz az optimális c majoráns prefaktor kiválasztására, vagyis egy maximális c-re. Hiszen ha c a leheto legnagyobb, az elfogadási valószínuség H(y) is ettol függoena leheto legnagyobb lesz, így leheto legtöbb trajektória kerül elfogadásra és ezzel mini-malizáljuk az iterációk számát. Ne feledkeznünk el a 2.10 egyenletben szereplo többitagról sem. Már tudjuk, hogy három Bernoulli indikátorra lesz szükségünk az egyenletmeghatározásához. Ha H(y) elfogadási valószínuséget tekintem és azt szeretném maxi-malizálni, akkor mind a három független Bernoulli indikátor elfogadási valószínuségétmaximalizálnom kell.

Már tudjuk, hogy egy Bernoulli indikátor elfogadási valószínusége arányos az adottérték felso korlátjával. Így vegyük sorrendben a használt indikátorok elfogadási valószí-nuségét. A harmadik ilyen, az integrállal szereplo φ(y)−m tag, melyrol már láttuk, hogya felso korlátja M −m, így tehát az ehhez kapcsolódó Bernoulli indikátor elfogadási va-lószínusége (φ(y) −m)/(M −m). A második exp(−mT ) tag pozitív m esetén felülrolkorlátos 1-gyel. Tehát az elfogadási valószínusége: exp(−mT )/1. Ami az elso faktort,az A(y) integrált driftet illeti, ha létezik egy Amax felso korlát, akkor ezt lehet használni,mint az adott Bernoulli indikátorhoz tartozó elfogadási valószínuség nevezoje.

Ám nagyon sok esetben ilyen nem létezik, még korlátos drift esetén sem. Ez az egyikoka, hogy érdemes bevezetni egyfajta lokalizációt, vagyis részekre darabolást, ami csakegy DY véges tartományra koncentrál, amiben viszont már létezik egy felso korlátja azA(y) integrált drift tagnak is. A következo részben ezt fogom bemutatni.

2.3. Lokalizációs eljárásA fent említett módszert általánosította Burq és Jones [3] és Chen [4], illetve tették

hatásosabban kezelhetové azokban az esetekben, amikor µY drift tag és / vagy φ intenzitásnem korlátos.

17


Eddigieket összefoglalva elmondható, hogy amíg µY és φ függvények folytonosakés folytonosan deriválhatóak, mindig létezik egy olyan K felso határ adott T idopontig,hogy az eddig leírt algoritmus alkalmazható legyen. Habár ez a K felso határ nem jelentia leghatékonyabb eljárást. Érdemes észrevenni, hogy adott Wt trajektória esetén a φ(Wt)intenzitás mutathat éles növekedést, ahogy az a 2.3 ábrán is látjuk. Ilyen esetben nemhatékony egy egyszeri K értéket használni, ami nagyobb, mint φ(Wt) maximuma (0, T ]intervallumon, mivel ez nagyon nagy mennyiségu elvetett beérkezést jelentene. Érdemeskisebb részekre osztani ezt az intervallumot a numerika hatékonyságának érdekében. Erread példát a 2.3 ábra.

2.3. ábra. Az (a) ábra egy nem optimális esetet mutat be, ahol a φ(Wt) függvénybenbekövetkezo növekedés miatt a Bernoulli indikátor nem hatékony, a (b) ábra pedig máregy hatékonyabb eset (0, ζ] intervallumon.

Ebben a fejezetben szeretném bemutatni a localizációs folyamat alapjait, melyet ké-sobb alkalmazok. A lokalizáció tulajdonképpen azt jelenti, hogy a Brown-mozgás trajek-tóriáit szabdaljuk kisebb részekre. Az ötlet alapja, hogy a helyett, hogy YT egy lépésbenszimulálnánk le, generálunk (ζi, Yζi) kilépési ido és érték párokat egymás után T -ig. En-nek az elgondolásnak egy sematikus megjelenítése látható a 2.4 ábrán.

Eloször is vezzessünk be egy lokális korlátot: L > 0. Feltéve, hogy Y0 = W0 = 0,vegyünk egy elérési idot (hitting time) ζ1, amely a legelso idopontnak felel meg, amieloször eléri az L küszöböt, vagyis |Wζ1| ≥ L. Ekkor alkalmazzuk a ritkító algorit-must (0; ζ1] intervallumon. Ezzel az eljárással már megkapjuk a φ(Wt) intenzitást, hakiszámítjuk a lokális minimum m és maximum M értékeket [−L;L] korlátos folyamatra.Innentol kezdve ugyanezt a lokalizációs módszert lehet alkalmazni a következo interval-lumokra is. Vagyis a következo kilépési ido és értékpár (ζ2, Yζ2) feltéve, hogy (ζ1, Yζ1) akezdo érték. Ezt meg lehet tenni, mivel az Ito diffúziós folyamat rendelkezik a Markov-tulajdonsággal, vagyis a feltételes eloszlása a folyamat következo állapotának csak a jelenállapotától függ, az azt megelozo eseményektol nem.

Ám nem feltétlenül szükséges konstansL kilépési sugárral dolgoznunk. AzLi függheta folyamat aktuális értékétol Yζi−1

-tol, ahogy ennek sematikus árbáját láthatjuk, 2.5.Az L érték vagy értékek választása esetén legalább két komplikációt okozó hatást

számításba kell vennünk számítási hatékonyság szempontjából:

• Annak érdekében, hogy minimalizálni tudjuk az Li választások számát, az az elo-nyös, ha ζi idoközök olyan hosszúak amennyire csak lehet.

18


• Fontos még, hogy akkora legyen az ajánlott skeleton elfogadási aránya amekkoracsak lehetséges.

2.4. ábra. Példa a lokalizációs algoritmusra fix küszöb, L esetén. Eloször ezt az Lküszöböt ζ1 idopontban éri el, és az értékét most Yζ1-el jelölhetjük. A következo estet,amikor kiér a folymat a [0,−2L] tartományból az ζ2 idopontba Yζ2 = 0 értékkel.

19


2.5. ábra. Példa a lokalizációs algoritmusra nem fix küszöbök, Li(µ) esetén. Eloször eztaz L1 küszöböt ζ1 idopontban éri el, és az értékét most Yζ1-el jelölhetjük. A következoestetben már választunk egy L2-t melyre igaz hogy y > L1 − L2 abszolutértékben. Afolymat a [0,−L2] tartományból az ζ2 idopontba Yζ2 = 0 értékkel.

20

3. fejezet

Implementáció

Ezen fejezet célja az eddig ismeretett matematikai leírás egy alkalmazásának ismerte-tetése. Szeretném bemutatni, hogy milyen gyakorlati lépések vezetnek el egy ilyen egzaktszimuláció megvalósításához. A fejezet minden alfejezete egy-egy újabb kiterjesztéselesz az alkalmazásnak. Eloször is be fogom mutatni a lokalizációs algoritmus muködését.Ez a rész fogja számunkra megalapozni, hogy meghatározzuk a beérkezések idejét és en-nek helyét. A lokalizációs algoritmussal tulajdonképpen mi (ζi, Yi) értékpárokat akarunkgenerálni, mely elso értéke a beérkezési ido a második pedig a folyamat értéke.

Mivel az utolsó beérkezési idot külön generáljuk le, így szükséges meghatároznunkazt az idopontot, mely elott „általános” módon folyik a folyamat generálása, utána pedigmár számítunk az utolsó beérkezésre. Ez az idopont lesz ς . A ς választása sok gyakorlaiproblémát vettett fel, ezek megoldásának tárgyalását nem a teljesség erejével vetettem pa-pírra a dolgozat terjedelme miatt. Az esetleg kérédéses részeket a behivatkozott cikkekrevisszavezetve írtam meg.

Minden alfejezet tartalmazni fog összegzést, mely a száraz matematikát igyekszikalgoritmusbeli lépésekbe foglalni. Illetve szintén mindenhol található egy matlab rész,mely a függelékben található kódrészletre mutat, mely kód az adott alfejezethez tartozómatematikát valósítja meg. Ezen felül az utolsó alfejezet itt önmagában is egy összegzés,mely lépésrol lépésre végigvezet minket az algoritmuson.

3.1. Lokalizációs eljárásA most leírásra kerülo lokalizációs eljárás általánosan kezelheto a DY (−∞,∞) és a

DY

(y,∞

)vagy a DY

(−∞, y

)estekben is, ahol y-ról feltételezzük, hogy nem érhetjük

el. Pénzügyi modelleknél éreklodés a DY

(y,∞

)felé irányul. De eloször célszeru a

DY (−∞,∞) esetet vizsgálni és csak azután adaptálni az SDE szimulációját aDY

(y,∞

)tartományon.

Nos akkor kezdjük a DY (−∞,∞) esetet. Vegyünk egy fix, pozitív L konstanst ésvezessük be az elso beérkezési idot, úgy mint:

ζ1 = inf{t ≥ 0 : |Yt| ≥ L} and ζi = inf{t ≥ ζi−1 : |Yt − Yζi−1| ≥ L}

minden i ≥ 1.

21

FEJEZET 3. IMPLEMENTÁCIÓ

Vegyük észre, hogy ζ1 az elso idopont, amikor Y eléri [−L,L] határt és ζi pedig azelso idopont, amikor Yt − Yζi−1

- folyamat újabb növekménye- eléri a következo [−L,L](Lásd Fig. 2.4).

Eloször ∆ζi := ζi − ζi−1 szimulálása szükséges, hogy legeneráljuk (ζi, Yζi) pártlépésrol lépésre T idopontig. Osszuk a szimulációt két részre attól függoen, hogy ∆ζi :=ζi − ζi−1 igaz vagy sem. Így az elso rész tartalmazza azt a generált ∆ζi-ket, ahol ∆ζi ≤T − ζi−1 vagyis még nem érjük el T idopontot. A második rész pedig a szimuláció utolsólépése, ahol ∆ζi > T − ζi−1.

Ha tehát ∆ζi < T − ζi−1, akkor válasszunk egy ∆Yζi := Yζi − Yζi−1, majd állítsuk

ζi := ζi−1 + ∆ζi és Yζi := Yζi−1+ ∆Yζi értékekre. Definíció szerint, két lehetséges érték

lehet ∆Yζi-ra: vagy ∆Yζi = L vagy ∆Yζi = −L. Eután hasonlóképp generálhatjuk akövetkezo (ζi, Yζi−1

) értéket. Kivétel ha ∆ζi > T − ζi−1, ekkor válasszunk egy ∆Yζi :=Yζi−Yζi−1

. Ne felejtsük el, ez az érték muszáj, hogy [−L,L] tartományon belül maradjon.Az algoritmus megáll a YT := Yζi−1

+ ∆Yζi visszatérési értékkel.Tegyük fel, hogyW egy standard Brown-mozgás azzal a feltétellel, hogy ς := inf{t ≥

0 : |Wt| ≥ L} és Wς tudott. Ezeket a feltevéseket Beskos-Roberts exakt szimulációjáraalapozhatjuk [2].

Y értéke [0, ζ1] tartományon [−L,L]-en belül található definíció szerint. Most márgenerálhatjuk az elso Y -t az elfogadás-elvetés módszerét alkalmazva a standard Brown-mozgásból vett értékeken. Közben ne felejtsük el, hogy ς = inf {t ≥ 0 : |Wt| ≥ L}.(ζ1, Yζ1) feltételes valószínosége (ς,Wς)-re nézve a következo arányként írhatjuk fel,Burq and Jones [3] alapján:

fY (ζ1, Yζ1)

fW (ς,Wς)∝ exp (A (Y0 +Wu))E

[exp

(−∫ ς

0

φ (Y0 +Wu) du

) ∣∣∣∣ς,Wς

](3.1)

Érdemes észrevenni, hogy ez a felírás igen hasonló (2.6) egyenletben felírt suruség-arányhoz.

A lokalizációs algoritmussal tulajdonképpen mi (ζi, Yi) párokat akarunk generálni.Ehhez eloször is szükségünk van egy (ζ1, Yζ1) párra. Ezután számításra kerülo növek-mény, {Yt − Yζ1 , t ≥ ζ1} független ζ1 elozményeitol Y Markov tulajdonságának köszön-hetoen. Most következhet (∆ζ2,∆Yζ2) és (ς,Wς) valószínuségi aránya, melyrol tudjuk,hogy arányos exp

(−∫ ς

0φ (Yζ1 +Wu) du

)-val. Azt megint feltehetjük, hogy φ (Y +Wu)

határos, hiszen φ folytonos és Wu ∈ [−L,L] minden u ≤ ς . Ha alkalmazzuk a elfogadás-elvetés módszerét a (ς,Wς)-ra megkaphatjuk (∆ζ2,∆Yζ2)-t majd (ζ2, Yζ2)-t. A fenti eljá-rást kell folytatni YT eléréséig.

Feltesszük, hogy a Novikov feltétel: 2.2 egyenlet teljesül, akkor:

P[∆ζi ∈ ds,∆Yζi = y|Yζi−1

= x, ζi-1 = t]

P [ς ∈ ds,Wς = y]

∝ exp (A (x+ y)) · E[exp

(−∫ s

0

φ (x+Wu) du

)|ς = ds,Wς = y

](3.2)

ha s ≤ T − t, y = ±L és

P[∆ζi ∈ ds,∆Yζi ∈ dy|Yζi−1

= x, ζi-1 = t]

P [ς ∈ ds,WT−t ∈ dy]

22



(−∫ T−t

0

φ (x+Wu) du

)|ς = s,WT−t = y

](3.3)

ha s > T − t, y ∈ [−L,L].Szükséges két random szám bevezetése, H1 andH2, annak érdekében, hogy használni

tudjuk a elfogadás-elvetés módszerét a 3.4 és 3.5.1 alfejezetekben. H1 és H2 teljesíti akövetkezo feltételeket:

P [ς ∈ ds,H1 = y] ∝ exp (A (x+ y)) · P [ς ∈ ds, 1Wς = y] (3.4)

minden s ≤ T − t, y = ±L esetén és és

P [ς ∈ ds,H1 ∈ dy] ∝ exp (A (x+ y)) · P [ς ∈ ds, 1WT−t ∈ dy] (3.5)

minden s > T − t, y ∈ [−L,L] esetén.A módszer, mellyel H1-t és H2-t mintavételezzük már a következo alfejezet témáját

képezi. Most nézzük, meg hogy a fent leírt egyenletek hogyan tudjuk együtt használni: al-kalmazzuk 3.4-t 3.2-re és 3.5-re, így mintavételezni tudjuk (ζi, Yζi) egy adott (ζi−1, Yζi−1

)pár alapján a következo módon:

P[∆ζi ∈ ds,∆Yζi = y|Yζi−1 = x, ζi-1 = t

]P [ς ∈ ds,H1 = y]

∝ E[exp

(−∫ s

0

φ (x+Wu) du

)|ς = s,Wς = y

](3.6)

ha s ≤ T − t, y = ±L és

P[∆ζi ∈ ds,∆Yζi ∈ dy|Yζi−1 = x, ζi-1 = t

]P [ς ∈ ds,H2 ∈ dy]

∝ E[exp

(−∫ T−t

0

φ (x+Wu) du

)|ς = s,WT−t = y

](3.7)

és s > T − t, y ∈ [−L,L].

Lokalizációs algoritmus muködése: DY (−∞,∞) és adott (ζi−1, Yζi−1) pár esetén.

Cél: mintavételezzük (ζi, Yζi)-t:

1. Vegyünk egy ς-t standard Brown mozgásból generálva.

2. Ha ς ≤ T − ζi−1, szimuláljuk le H1-et a következoképpen:

Generáljuk le egy I Bernoulli indikátort a következo valószínuséggel:

P [I = 1|y] ∝ E[exp

(−∫ s

0φ (x+Wu) du

)|ς = s,Wς = y

];

Ha I = 0, térjünk vissza az 1-es lépéshez;

Ha I = 1, legyen (∆ζi,∆Yζi) = (ς,H1), majd frissítsük ζi = ζi−1 + ∆ζi ésYζi = Yζi-1 + ∆Yi. Térjünk vissza az 1-es lépéshez.

3. Ha ς > T − ζi−1, vegyünk egy H2-t a következo képpen:

Generáljuk le egy I Bernoulli indikátort a következo valószínuséggel:P [I = 1|y] ∝ E

[exp

(−∫ T−t

0φ (x+Wu) du

)|ς ∈ ds,WT−t = y

];


Ha I = 1, frissítsük YT = Yζi-1 +H2. Az algoritmus megáll YT visszatérési értékkel.

23


Most már elkezdhetjük vizsgálni a DY

(y,∞

)esetet. Látható, hogy a fo különbség

az eddig ismertetettekhez képest y, DY értékkészlet alsó határára lesz. Most már ahe-lyett, hogy elore fixálnánk L konstanst végig a lokalizációs muvelet során, adaptívanszeretnénk a változtatni ezt a határt a különbözo (ζi, Yζi) párokkal egy idoben. Tehátmost legyen adott egy Li sorozat és a hozzá tartozó beérkezési idok egy sorozata: ζ1 =inf {u ≥ 0 : |Yu| ≥ L1} és ζi = inf {u ≥ ζi−1 : |Yu − Yζi-1| ≥ Li} ha i ≥ 1.

Emlékezzünk vissza a 2.4 és 2.5 ábrára, mely a különbséget szemlélteti. Kezdjünk egyL1-t úgy, hogy −L1 > y. Használjuk az elozo, DY (−∞,∞) esetben alkalmazott tech-nikát é generáljuk egy (ζ1, Yζ1)-t. Ha Yζ1 = −L1 ,akkor L1 nyilvánvalóan nem alkalmas,hogy generáljuk a következo elemet, vagyis (ζ2, Yζ2)-t, mert ez annak a lehetoségéhezvezetne, hogy Yζ2 = Yζ1 − L1 = −2L1 < y, amelyrol feltettük, hogy nem lehetséges.Ezért szükséges egy L1-nél kisebb L2-t választanunk, úgy, hogy −L1 − L2 > y, annakérdekében, hogy a megakadályozzuk a y határ elérését. Az SDE megoldása szerencséreMarkov tulajdonságú, így ζ1 szimulált értékek függetlenek a ζ1 elotti értékektol.

Most érdeklodésünk célpontjában (∆ζi,∆Yζi) pár valószínuségi aránya áll. Az eddigiesethez hasonlóan próbáljuk megkapni ezt az arányt, ám itt már figyelembe kell vennünk(ςi,Wςi)-t. Definiáljuk ςi := inf {u ≥ 0 : |Wu| ≥ Li}. Ha adott Yζi−1

= x, ζi−1 = t és egyLi pozitív szám, melyre igaz, hogy x − Li > y. Ekkor a valószínuségi arányt következomódon kaphatjuk meg:

P[∆ζi ∈ ds,∆Yζi = y|Yζi−1

= x, ζi-1 = t]

P [ς ∈ ds,Wς = y]


(−∫ s

0

φ (x+Wu) du

)|ς = ds,Wς = y

](3.8)

ha s ≤ T − t, y = ±Li és

P[∆ζi ∈ ds,∆Yζi ∈ dy|Yζi−1

= x, ζi-1 = t]

P [ς ∈ ds,WT−t ∈ dy]


(−∫ T−t

0

φ (x+Wu) du

)|ς = ds,WT−t = y

](3.9)

ha s > T − t, y ∈ [−Li, Li].Annak érdekében, hogy konstruálni tudjuk H1,ςi-t és H2,ςi-t vegyünk egy I , Bernoulli

indikátort és alkalmazzuk (3.4) egyenletet (3.8)-re és (3.5)-et (3.9)-re. Így már tudunkadni egy értéket (ζi, Yζi)-nek, ha adva van (ζi−1, Yζi−1

) pár:

P[∆ζi ∈ ds,∆Yζi = y|Yζi−1 = x, ζi-1 = t

]P [ςi ∈ ds,H1,ςi = y]

∝ E[exp

(−∫ s

0

φ (x+Wu) du

)|ςi = s,Wςi = y

]ha s ≤ T − t, y = ±Li, és

P[∆ζi ∈ ds,∆Yζi ∈ dy|Yζi−1 = x, ζi-1 = t

]P [ςi ∈ ds,H2,ςi ∈ dy]

∝ E[exp

(−∫ T−t

0

φ (x+Wu) du

)|ςi = s,WT−t = y

]ha s > T − t, y ∈ [−Li, Li].

Lokalizációs algoritmus muködése: DY

(y,∞

)és adott (ζi, Yζi) pár esetén. Cél,

hogy mintavételezzünk (ζi−1, Yζi−1) párokat:

24


1. Konstruáljunk egy Li értéket, mely megfelel a Yζi−1− Li > y feltételnek.

2. Vegyünk egy ςi-t standard Brown mozgásból generálva.

3. Ha ςi ≤ T − ζi−1, szimuláljuk H1,ςi-et a következoképpen:

Generáljunk egy I Bernoulli indikátort

P [I = 1|y] ∝ E[exp

(−∫ s

0φ (x+Wu) du

)|ςi = s,Wςi = y

]valószínuséggel.


Ha I = 1, legyen (∆ζi,∆Yζi) = (ςi, H1,ςi) és frissítsük ζi = ζi−1 + ∆ζi, Yζi =Yζi-1 + ∆Yi, majd térjünk vissza az 1-es lépéshez.

4. Ha ς > T − ζi−1, vegyünk egy H2-t a következoképpen:

Generáljunk egy I Bernoulli indikátort

P [I = 1|y] ∝ E[exp

(−∫ T−t

0φ (x+Wu) du


]valószínuség-

gel.


Ha I = 1, frissítsük YT = Yζi-1 + H2,ςi . Az algoritmus megáll YT visszatérésiértékkel.

3.2. ς választásaA standard Brown mozgás önhasonló tulajdonsága miatt {LWt/L2 , t ≥ 0} és {Wt, t ≥

0} eloszlása azonos és igaz, hogy ς d= L2ς1.

A ς1 = inf{t ≥ 0 : |Wt| = 1} suruségfüggvénye expliciten megadható a következovégtelen sor formájában:

h(t) =1√

2πt3e−

12t +

∞∑j=1

(−1)j√2πt3

[(2j + 1) exp

(− (2j + 1)2

2t

)− (2j − 1) exp

(− (2j − 1)2

2t

)].

Burq és Jones [3] alapján már tudjuk, hogy ez felülrol korlátos egy Gamma suruség-függvény által. Pontosabban léteznie kell a, b, γ állandóknak, úgy hogy teljesüljön:

h(t) ≤ ag(t; b; γ) := aγbtb−1e−γt

Γ(b),

ahol az optimális értékek: a = 1.243707, b = 1.088870 és γ = 1.233701, melyeketnumerikus kísérletekbol kaptak[3]. Ez azt jelenti, hogy veszünk egy ς1-t az elfogadás-elvetés módszer (ARM) segítségével h1-bol, majd generálunk egy v értéket g(t; b; γ) el-oszlásból és elfogadjuk v-t mint ς1 értéke ha aUg(v; b; γ) ≤ h(v), ahol U ∼ U(0; 1).Azt tudnunk kell, hogy h suruségfüggvénye nem számítható egzakt módon. Ámbár ki-számítható egy speciális (oszciláló) összeg segítségével. Ezt a számítást itt nem mutat-nám be, megtalálható a fentebb említett munkában, melyben Burq és Jones bebizonyítot-ta, hogy véges számú muvelet elegendo n megtalálásához, ahol n az oszciláló összegtagjának számát jelöli, melytol kezdve igaz az egyenlotlenség. Ráadásul ez az értékn ≥ max( t(log 3)

4, 3).

25


MatLab kód:

A függelék 5.1.1 alfejezete tartalmazza.

3.3. I mintavételezéseAdott ς-hoz szükségünk van egy Wς generálására. Ez triviálisan megoldható, mivel

P (Wς = L) = P (Wς = −L) = 1/2. Következoleg már adott (ς,Wς) és generálhatunk(Wt1 , . . . ,Wtn) minden ti < ς-hez. Ahhoz, hogy ezeket a (Wt1 , . . . ,Wtn) értékeketmegkapjuk szimulálunk Poisson beérkezéseket:

{t1 < · · · < tN}

méghozzá M − m intenzitással, ahogy azt már szerepel az 3.1 fejezetben. Itt m :=miny∈[−L,L]φ(x+ y), M := maxy∈[−L,L]φ(x+ y).

Vegyük észre, hogy m ≤ (x + Wu) ≤ M minden u ≤ ς-ra. Figyelembe véve Wt

önhasonló tulajdonságát és adott (ς1,Wς1) minden 0 ≤ t ≤ ς1 esetén, így megállapíthatóminden 0 < t1 < . . . < tn < ς= ς1L2 esetén,

(Wt1 , . . . ,Wtn|ς,Wς)d= L(Wt1/L2 , . . . ,Wtn/L2|ς1,Wς1).

Adva van (ς1,Wς1) értékpár és (Wt)t≤ς1 folyamat, mely tulajdonképpen egy idotükrö-zéses Brown-meander.

3.1. Definíció. A Brown-meander, vagy más néven Bessel híd (Bessel bridge) egy olyansztochasztikus idosor, melynek statisztikus tulajdonságai megegyeznek a standard Brownmozgáséval, de e mellett biztosítja, hogy egy adott végso értéket ér el adott kilépési idovelaz elso alkalommal a folyamat során.

Egy Brown meandert így fel lehet bontani 3 független Brown-hídra Bi, ahol mindeni érték esetén 0-tól 0-ig megy [0, ς1] intervallumon. Kihasználjuk ezt a felbontást, ahogyChen [4] cikkeben olvasható, hogy mintavételezzünk Wt értékét adott (ς1,Wς1) párhoz.Formálisabban leírva: Vezessünk be egy új folyamatot :

Wt :=

{1−Wς1−t Wς1 = 1

1 +Wς1−t Wς1 = −1(3.10)

t ≤ ς1 és jegyezzük meg, hogy Bit , 1 ≤ i ≤ 3, 3 független Brown híd.

Egy Brown híd létrehozésa a következoképp írható le:

Bt :=√

(t/ς1 +B1ς1−t)

2 + (B2ς1−t)

2 + (B3ς1−t)

2. (3.11)

Ne felejtsük el, hogy t/ς1 biztosítja, hogy Bt végso értéke 1 lesz.Most vizsgáljuk meg W és B valószínuségi arányát minden 0 = t0 < t1 < . . . < tn <

tn+1 = ς1 és y1, . . . , yn > 0 esetén és nézzük meg hogyan írható le explicit formában. A(Wt1 , . . . , Wtn) és (Bt1 , . . . , Btn) kapcsolt feltételes eloszlása következoképp írható fel:

26


P[Wt1 ∈ dy1, . . . , Wtn ∈ dyn|ς1,Wς1

]P[Bt1 ∈ dy1, . . . , Btn ∈ dyn

] ∝

∏ni=1 p(ti, yi; ti+1, yi+1)q(t1, y1) yi ∈ (0, 2)

0 egybknt.(3.12)

Mind p-nek, mind q-nek van zárt formája minden 0 < s < t < ς1 és x, y ∈ (0, 2)esetén,

p(s, x; t, y) =1−

∑∞j=1(θj − ϑj)

1− exp(−xy/(t− s)), (3.13)

ahol

θj(s, x; t, y) = exp

(−2(2j − x)(2j − y)

t− s

)+ exp

(−2(2(j − 1) + x)(2(j − 1)− y)

t− s

), (3.14)

ϑj(s, x; t, y) = exp

(−2j(4j + 2(x− y))

t− s

)+ exp

(−2j(4j − 2(x− y))

t− s

); (3.15)

és

q(s, x) = 1− 1

x

∞∑j=1

(ρj − %j), (3.16)

ahol

ρj = (4j − x) exp(−4j(2j − x)

s

), (3.17)

%j = (4j + x) exp

(−4j(2j + x)

s

). (3.18)

A valószínuségi arány elosegíti az elfogadás-elvetés módszerének (ARM) alkalma-zását úgy, hogy javaslatot teszünk egy szkeletonra (proposal sceleton), (Bt1 , . . . , Btn).Habár a fenti kifejezést nem lehet pontosan leírni, Chen [4] cikkben megmutatják a szer-zok, hogy p(s, x; t, y) és q(s, x) -ben a véges summák oszcilláló tulajdonsága lehetovéteszi az ARM alkalmazásást, mivel így véges számú tagból álló összegeként kezelheto. Aszummák száma:

(i) Ha x, y ∈ (0, 2) és 0 < s < t, minden egész esetén

J ≥ (log 3)(t− s)8

max

(1

x,

1

y

)+ 1,

akkor pJ(s, x; t, y) kielégíti a következo egyenletet:

0 < p2J+1-p2J ≤2

3(p2J-1-p2J) ≤

(2

3

)2

(p2J-1-p2J-2).

(ii). Ha x ∈ (0, 2) és 0 < s, minden egész esetén

J ≥ (log 4)s

8

1

x+ 2,

akkor qJ(s, x) kielégíti a következo egyenletet:

0 < q2J+1-q2J ≤1

2(q2J-1-q2J) ≤ 1

4(q2J-1-q2J-2).

27


Összegezük a szükséges lépéseket (Wt1 , . . . ,Wtn|ς,Wς) generálásához:

1. Mintavételezzünk Wς1 P (Wς1 = 1) = P (Wς1 = −1) = 1/2 felhazsnálásával ésvegyük Wς1 = H1,ς .

2. Generáljunk Brown hidakat: (Bit, . . . , B

itn) i = 1, 2, 3.

3. Konstruáljuk meg (Bς1−tn , . . . , Bς1−t1).

4. Generáljunk n + 1 darab Bernoulli indikátort: Uj ∼ U(0, 1), 0 ≤ j ≤ n.

5. Fogadjuk el (Bς1−tn , . . . , Bς1−t1) mint egy mintája a (Wς1−tn , . . . , Wς1−t1)-nek ha

U0 < q(ς1 − tn, Bςi−tn) és Uj < p(ς1 − tj, Bς1−tj ; ς1 − tj+1, Bς1−tj+1)

minden 1 ≤ j ≤ n estén.

6. Alakítsuk át (Wς1−tn , . . . , Wς1−t1) (Wt1 , . . . ,Wtn)-á 3.10-es egyenlet szerint.

MatLab kód:


28


3.4. ς < T − ζi−1 esetA cél itt is az, hogy legeneráljuk Wς-t, ehhez az elozo lépésekben már szimuláltunk

Poisson beérkezéseket {t1 < · · · < tn < ς}méghozzáM−m intenzitással és (Wt1 , . . . ,Wtn)értékekkel. Adott (ςi, H1,ςi) pár lesz az ajánlott érték az ARM-hez. Ekkor el kell dönte-nünk, hogy ez a proposal(ajánlott értékpár) megfelelo mintája-e (∆ζi,∆Yζi)-nak vagysem. Ha alkalmazzuk az ARM-et a localizációs algoritmussal karöltve, ahogy a 3.1 feje-zetben le van írva.

Az elfogadási arány függvénye:

P [I = 1] ∝ exp (A (x+ y)) · E[exp

(−∫ s

0

φ (x+Wu) du

)|ς = s,Wς = y

],

ahogy az a 2.10 egyenletben is láthatjuk.Ahogy azt a 2.2 fejezetben már leírtam, itt egyszerubb szétszedni ezt az egyenletet

három részre és független Bernoulli indikátorok segítségével alkalmazni a ARM tesztet aajánlott szkeletonon. Bontsuk tehát szét a várható értéket tartalmazó tagot két tényezore:az elso rész tartalmazza az m alatti értékeket, a második rész pedig m és φ (x+Wu)közötti intervallumot.

Vizsgáljuk meg a beérkezések valószínuségét ezen két intervallumon. Annak a va-lószínusége, hogy nincs több beérkezés m alatt s intervallumon exp(−ms)-vel egyenlo.Annak a valószínusége pedig, hogy nincs több beérkezés m és φ (x+Wu) között s inter-vallumon:

E[exp

(−∫ s

0[φ (x+Wu)−m] du

)|ς = ds,Wς = y

]. Ezekebol már levezetheto, hogy

az elfogadási arány egyenlete a következoképp néz ki:

P [I = 1] ∝ exp (A (x+ y))·exp(−ms)·E[exp

(−∫ s

0

[φ (x+Wu)−m] du

)|ς = s,Wς = y

](3.19)

A homogén Poisson folyamat valószínuségi eloszlása egy fix intervallum P{interarrival time >s} = exp(−λs)-vel írható le, ha egy konstans λ lambda intenzitást feltételezünk és a ki-

induló egyenletünk: P{interarrival time > s} = exp

(−∫ s

0λ(t)dt

), ahogy az a 2.8

egyenletbol következik, ha a λ(t) idofüggo.A fontosabb valószínuségen ennek függvényében:

1. Annak a valószínusége, hogy megtartjuk ezt a beérkezésti idot:

P{interarrival time > s} = exp

(−∫ s

0[φ (x+Wu)−m] du

)

2. Annak a valószínusége, hogy nem történt beérkezés m alatt: exp(−mς)max(1,exp(−m(T−t)) .

3. Annak a valószínusége, hogy megtartunk egy beérkezést mely m fölött, de termé-szetesen M alatt történt pedig: φ(x+Wu)−m

M−m .

Ezen tudás mellett már alakalmazhatjuk az ARM-et (elfogadás-elvetés methodusát).Ehhez eloször is generálhatunk n+ 2 random random számot. Majd elfogadjuk (ςi, H1,ςi)

29


jelöltet, mint egy mintavétele (∆ζi,∆Yζi) -nek, akkor és csak akkor ha a következo felté-telek fennállnak:

Uj >φ(y+Wτj )−m

M−m ; minden 1 ≤ j ≤ n;Un+1 ≤ exp(−mς)

max(1,exp(−m(T−t)) ;

Un+2 ≤ exp(A(y+Wς)maxy∈[−L,L] exp(A(x+y))

.

Összegezzük a szükséges lépéseket (Wt1 , . . . ,Wtn|ς,Wς) legenerálásához és a (ςi, H1,ςi)ARM tesztjéhez, mellyel (∆ζi,∆Yζi)-t mintavételezzük:

1. Szimuláljuk a Poisson beérkezéseket {t1 < · · · < tn < ς} M − m intenzitással.Ehhez felhasználjuk W önhasonló tulajdonságát, ami azt jelenti, hogy 0 < t1 <

. . . < tn < ς= ς1L2,(Wt1 , . . . ,Wtn|ς,Wς)d= L(Wt1/L2 , . . . ,Wtn/L2 |ς1,Wς1).

2. Mintavételezzük Wς1 úgy, hogy felhasználjuk P (Wς1 = L) = P (Wς = −L) = 1/2és Wς = H1,ς .

3. Generáljunk Brown hidakat (Bit, . . . , B

itn) minden i = 1, 2, 3-hez.

4. Konstruáljuk (Bς1−tn , . . . , Bς1−t1)-t.

5. Generáljunk n + 1 darab Uj ∼ U(0, 1), 0 ≤ j ≤ n.

6. Fogadjuk el (Bς1−tn , . . . , Bς1−t1)-t mint egy mintavétele (Wς1−tn , . . . , Wς1−t1)-nak,ha


minden 1 ≤ j ≤ n.

7. Transzformáljuk (Wς1−tn , . . . , Wς1−t1)-t (Wt1 , . . . ,Wtn)-vé a 3.10 egyenlet alapján.

8. Generáljunk n + 2 darab Uj ∼ U(0, 1), 1 ≤ j ≤ n+ 2.

9. Fogadjuk el (ς,H1,ς)-t, mint egy minatvétele (∆ζi,∆Yζi)-nak ha

Uj >φ(y+Wτj )−m

M−m , minden 1 ≤ j ≤ n-hez,

Un+1 ≤ exp(−mς)max(1,exp(−m(T−t)) ,


.

MatLab kód:


30


3.5. ς > T − ζi−1 esetEbben az esetben is – csak úgy mint elozoleg – szükséges Poisson beérkezéseket szi-

mulálni M −m intenzitással, hogy javasolt értékeink legyenek. De most már szükségünklesz egy jelölt generálására, ami YT , a folyamat végso értéke lehet. Ez az érték az, amiWT−ζi−1

, Brown meander értéke T − ζi−1, eloírt bérkezési idoben. Ennek érekében szi-mulálunk Poisson beérkezéseket:

{t1 < · · · < tn−1 < T − ζi−1}

T − ζi−1 idopontig és aztán hozzá vesszük még ς- az utolsó beérkezésnek:

{t1 < · · · < tn−1 < T − ζi−1 < ς} .

Az ezt követo lépések alapvetoen hasonlóak az elozo szakaszban leírtakéval. Generá-lunk Brown hidakat és konstruálunk Brown meandereket ajánlott szkeleton céljából. Haelfogadjuk mint (Wt1 , . . . ,WT−ζi−1

|ς,Wς) mintavétele, akkor lesz egy ajánlott értékünk,(T − ζi−1,WT−ζi−1

), mint (∆ζi,∆Yζi) mintája. Ehhez ismét alkalmazzuk az elfogadás-elvetés módszerét lokalizációs algoritmus taglaló fejezetben leírtaknak megfeleloen. Azelfogadási arány függvénye a következo:

P [I = 1] ∝ exp (A (x+ y)) · E[exp

(−∫ T−t

0

φ (x+Wu) du

)|ς = s,WT−t = y

].

Ez hasonló, mint a 3.9 egyenlet.A különbség a két eset metódusa között (vagyis ς < T − ζi−1 és ς > T − ζi−1 között),

hogy ebben az esetben egyszeruen csak hozzáadunk egy új beérkezési idot, mégpedigT − ζi−1-t. Ezután ugyan úgy járunk el, mint az elozo esetben, egészen az utolsó ARM-ig, amikor is tesztteljük WT−ζi−1

-t mint H2 mintavétele.Ám ezen a ponton is célszeru összegezni a szükséges lépéseket, azért hogy lássuk az

eltérést az eddigi esettol.

Összegezzük a szükséges lépéseket a (Wt1 , . . . ,WT−ζi−1|ς,Wς) generálásához és az

ARM lépéseit, mellyel teszteljük (T−ζi−1,WT−ζi−1)-t mint egy mintavétele (∆ζi,∆Yζi)-

nak:

1. Szimuláljunk Poisson beérkezéséket M − m intenzitással: {t1 < · · · < tn < ς}.Használjuk ki W önhasonló tulajdonságát, mely azt jelenti, hogy 0 < t1 < . . . <

tn < ς= ς1L2,(Wt1 , . . . ,Wtn|ς,Wς)d= L(Wt1/L2 , . . . ,Wtn/L2|ς1,Wς1).

2. Mintavételezzük Wς1-t, úgy hogy P (Wς1 = 1) = P (Wς1 = −1) = 1/2.

3. Generáljunk Brown hidakat (Bit, . . . , B

itn) minden i = 1, 2, 3 esetén.

4. Konstruáljuk meg (Bς1−tn , . . . , Bς1−t1)-t.

5. Generáljunk n+1 darab Uj ∼ U(0, 1), 0 ≤ j ≤ n.

31


6. Fogadjuk el (Bς1−tn , . . . , Bς1−t1)-t mint egy mintája (Wς1−tn , . . . , Wς1−t1)-nak ha,


minden 1 ≤ j ≤ n esetén.

7. Transzformáljuk (Wς1−tn , . . . , Wς1−t1) (Wt1 , . . . ,Wtn)-á a 3.10 egyenlet alapján.

8. Generáljunk n + 2 darab Uj ∼ U(0, 1), 1 ≤ j ≤ n+ 2.

9. Fogadjuk el WT−ζi−1-t mint egy mintája H2-nek ha

Uj >φ(y+Wτj )−m

M−m , minden 1 ≤ j ≤ n esetén,



.

3.5.1. Megfelelo szint választásaA legegyszerubb megoldás a megfelelo szint kiválasztásához DY (−∞,∞) interval-

lumon az, ha választunk egy L konstanst. A DY

(y,∞

)esetben az egzakt szimu-

lációs algoritmus efektívebben használható, ha alkalmazunk egy Li adaptív sorozatot.A Chen [4] cikk ajánl egy nagyon egyszeru szabályt a szint körönkénti frissítéséhez:Li+1 = (Yζi − y)/2. Ez lehet az új Li+1 érték, melyet annak érdekében határozunkmeg, hogy legeneráljuk Yζi+1

-t azután, hogy simuláltuk Yζi . Így biztosítani tudjuk, hogya sugár soha nem éri el a y határt.

3.6. ÖsszegzésSzeretném még teljes egészében összegezni a lokalizációs algoritmus lépéseitDY

(y,∞

)-

hoz, mellyel mintázzuk (ζi, Yζi)-t adott (ζi−1, Yζi−1) párhoz:

1. Konstruáljuk Li-t úgy, hogy Yζi−1− Li > y-t.

2. Vizsgáljuk ςi mint ajánlott érték a standard Brown mozgásból.

3. Ha ςi ≤ T − ζi−1

Szimuláljuk le H1,ςi , P (Wς = L) = P (Wς = −L) = 1/2-ból.

Generáljuk le I-t P [I = 1|y] ∝ E[exp

(−∫ s

0φ (x+Wu) du

)|ςi = s,Wςi = y

]valószínuséget feltételezve

(a) Szimuláljunk Poisson beérkezéseket {t1 < · · · < tn < ς}M −m intenzitás-sal. Itt használjuk ki W önhasonlú tulajdonságát, mely azt jelenti hogy 0 <

t1 < . . . < tn < ς= ς1L2,(Wt1 , . . . ,Wtn|ς,Wς)d= L(Wt1/L2 , . . . ,Wtn/L2|ς1,Wς1).

(b) Mintázzuk Wς1-t úgy, hogy használjuk P (Wς = L) = P (Wς = −L) = 1/2és legyen Wς = H1,ς .

(c) Generáljuk Brown hidakat (Bit, . . . , B

itn) minden i = 1, 2, 3 esetén.

32


(d) Konstruáljuk (Bς1−tn , . . . , Bς1−t1)-t.

(e) Generáljunk n + 1 különbözo Uj ∼ U(0, 1), 0 ≤ j ≤ n.

(f) Fogadjuk el (Bς1−tn , . . . , Bς1−t1)-t, mint egy mintája (Wς1−tn , . . . , Wς1−t1)-nak, haU0 < q(ς1 − tn, Bςi−tn)and Uj < p(ς1 − tj, Bς1−tj ; ς1 − tj+1, Bς1−tj+1

)

minden 1 ≤ j ≤ n-hez.

(g) Transzformáljuk (Wς1−tn , . . . , Wς1−t1)-t (Wt1 , . . . ,Wtn)-á a 3.10-es egyenletszerint.

(h) Generáljunk n + 2 különbözo Uj ∼ U(0, 1), 1 ≤ j ≤ n+ 2.

(i) Fogadjuk el (ς,H1,ς)-t, mint egy mintája (∆ζi,∆Yζi)-nak, ha

Uj >φ(y+Wτj )−m




.

Ha I = 0, térjünk vissza a 1-es lépéshez;

Ha I = 1, legyen (∆ζi,∆Yζi) = (ςi, H1,ςi) és frissítsük ζi = ζi−1 + ∆ζi, Yζi =Yζi-1 + ∆Yi, majd menjünk vissza az 1. lépéshez,

4. Ha ς > T − ζi−1, a javasolt érték legyen H2.

Szimuláljuk Wς-t P (Wς = L) = P (Wς = −L) = 1/2-bol.

Generáljuk le I-t P [I = 1|y] ∝ E[exp

(−∫ T−t

0φ (x+Wu) du


]valószínuséggel.

(a) Szimuláljunk Poisson beérkezéseket: {t1 < · · · < tn−1 < T − ζi−1}, withM−m valószínuséggelés adjuk a sorozat végéhezd ς . HasználjukW önhasonló tu-lajdonságát, ami azt jelenti hogy 0 < t1 < . . . < tn < ς= ς1L2,(Wt1 , . . . ,Wtn|ς,Wς)

d=

L(Wt1/L2 , . . . ,Wtn/L2|ς1,Wς1).

(b) Mintázzuk Wς1-t, úgy hogy felhasználjuk P (Wς = L) = P (Wς = −L) =1/2.

(c) Generáljunk Brown hidakat (Bit, . . . , B

itn) minden i = 1, 2, 3-hez.

(d) Konstruáljunk (Bς1−tn , . . . , Bς1−t1).

(e) Generáljunk n + 1 darab Uj ∼ U(0, 1), 0 ≤ j ≤ n.

(f) Fogadjuk el (Bς1−tn , . . . , Bς1−t1)-t mint egy mintája (Wς1−tn , . . . , Wς1−t1)-nak,haU0 < q(ς1 − tn, Bςi−tn) és Uj < p(ς1 − tj, Bς1−tj ; ς1 − tj+1, Bς1−tj+1

)

minden 1 ≤ j ≤ n esetén.

(g) Transzformáljuk (Wς1−tn , . . . , Wς1−t1) (Wt1 , . . . ,Wtn)-á a 3.10-es egyenletszerint.

(h) Generáljunk n + 2 darab Uj ∼ U(0, 1), 1 ≤ j ≤ n+ 2.

33


(i) Fogadjuk el WT−ζi−1-t mint egy mintája H2-nek ha

Uj >φ(y+Wτj )−m




.

Ha I = 0, térjünk vissz az elso lépéshez;

Ha I = 1, frissítsük YT = Yζi-1 +H2. Az algoritmus leáll YT kimenettel.

MatLab kód:


34

4. fejezet

Tesztelés

A következo részben röviden bemutatom a módszert néhány gyakorlati példán ke-resztül. A pontos megértés érdekében válsztottam négy modellt mellyen alkalmazni fo-gom a lokalizációs algoritmust. Az elso folyamat, melyet tesztelek a Ornstein-Unlenbeck„mean-reverting” folyamat. Itt közvetlenül ellenorizheto a numerikus megoldás, mivel aPDF-je analitikusan is levezetheto, ahogy azt a Chen cikkben [4] is láthatjuk. Másod-szor, érdemesnek találtam reprodukálni egy folyamatot, melyben korlátos, szinuszos drifttag van:µ(x), melyet teszteléshez a Beskos and Roberts [2] cikkben is használta. Itt anumerikus módszerünk pontosságát össze lehet hasonlítani a különbözo lépésideju Eulermódszerekével Harmadik teszként pedig – a biztonság kedvéért – a Double-Well potenciálmodellt választottam, ahogy az szintén a Cheh cikkben is szerepelt [4].

4.1. Ornstein-Uhlenbeck Mean-Reverting folyamatA Chen [4] cikk alapján eloször az Orsnstein-Uhlenbeck folyamatatot mutatom be:

dXt = −bXtdt+ dWt, (4.1)

b = 1 esetén. Ez azt jelenti, hogy a drift tag pozitív, ha Xt < 0 és negatív, ha Xt > 0. Ha-bárX = 0 egy taszító (nyereg) fixpontként viselkedik, vagyisX folyamat értékeit mindigelhúzzák ezen a 0 érték környezetében. Azt már tudjuk, hogy XT matringális eloszá-sa (peremeloszlása) normális eloszlású X0 exp(−bT ) átlaggal és (1 − exp(−2bT ))/2bszórással. Ez a példa már egy diffúziós folyamatot ír le, mely egységnyi volatilitássalrendelkezik. A Lamperti traszformáció itt azt eredményezi, hogy Yt = Xt.

A 4.1 ábra mutatja, hogy az analitikai megoldás és az egzact szimuláció szinte teljesenmegeggyezo eredményét ebben a T = 1 és X0 = 0 esetben. Ezenen eredmény PDF-jéhez500,000 mintát generáltam.

35

FEJEZET 4. TESZTELÉS

4.1. ábra. Az elméleti és az 500,000 mintás, T = 1 és X0 = 0 paraméteru egzaktszimuláció összehasonlító eredménye.

4.2. Szinuszos drift tag hatásaBár ebben a konkrét példában a µ(x), drift tag korlátos, mégis hasznos lehet reprodu-

kálni az eredményét, ahogy azt a Beskos and Roberts [2] cikkben publikálták. Hiszen haaz egzakt szimulációnkat például az Euler methodussal vetjük össze, célszeru egy olyanfolyamatot válsztani, amivel az Euler módszer nem bírkózik meg olyan hatékonyan, hogyne érje meg egy nálánál jóval bonyolultabb methódust használni. Ez a folyamat pont ilyenaz eros nem-linaritása miatt. Az SDE a következoképp néz ki:

dXt = sin(Xt)dt+ dWt. (4.2)

Mivel ismét egységnyi volatiritású a folyamat az intenzitásfüggvény:φ(x) = 1/2 sin2(x)+1/2 cos(x), az alsó korlát: m = −1/2 a felso pedig: M = 5/8.

Note, that again, the Brownian term is of unit volatility, therefore no Lamperti trans-form is needed to capture the dynamics. The intensity function then takes the formof φ(x) = 1/2 sin2(x) + 1/2 cos(x), with lower bound m = −1/2 and upper boundM = 5/8.

Bemutatok a 4.2a ábrán három legenerált idosort (Xt) és a4.2b ábrán a leghosszabbfutási ideju idosor intezitását (φ(Xt)).

Ellentétben a fentebbi fejezetben bemutatott esettel ennél a folyamatnál X0 = 0 insta-bil fix pont, ahogy azt a 4.3a ábra muatja. Az elso stabil pontok ennél a folyamatnál−π ésπ. A 4.3b ábrán 10,000 Euler-mintavételezés látszik. Van egy kezdeti csúcs X0 = 0-nálgyulik. T = 1-nál még szintén 0 környezetetében van, ám T = 3-nál már jól látszikakettéválás, vagyis az állandó fixpontok környezetében való gyülekezés.

Ugyan úgy, ahogy azt a [2] cikkben is tették a szerzok én is szeretném összehasonlítania becsült suruségfüggvényt különbozo idolépésu Euler-módszer és az egzakt methódusesetén. A kapott eredményt a 4.4 ábra tartalmazza, melynél a minta-nagyság 500, 000,

36


4.2. ábra. Három különbözo futtatásból kapott idosor azonos kiindulási feltétellel: X0 =0, szinuszos µ taggal. (a) ábra a Xt állapotokat mutatja T = 10; 20 és 30 esetén. A (b)ábra a leghosszabb futási ideju idosorintenzitását, φ. Szintén a (b) ábrán látható szaggatottvonalak mutatják az alsó: m = −1/2, illetve felso korlátot: M = 5/8.

peremfeltétel:X0 = 0, vizsgált idopillanat: T = 1.

37


4.3. ábra. A szinuszos drift tag topográfiája (a) és a PDF-je az XT értékeknek 10,000mintából (b). Idolépés szerint: T = 1 (fekete görbe) and T = 3 (kék görbe).

38


4.4. ábra. Az egzakt methódussal becsült és az Euler módszerrel számolt suruségfüggvé-nyek összehasonlítása. A különbözo lépésközu Euler módszerek börbéjének színezéséta bal felso sarokban lévo legend tartalmazza. Mintaméret: 500, 000, vizsgált idopillanat:T = 1.

39


4.3. Double-Well Potential ModellAz elozo folyamattal ellentétben itt most a drift tag nem korlátos. Az SDE a követke-

zoképp néz ki:dXt = (Xt −X3

t )dt+ dWt, (4.3)

És a megfelelo µ(x) a 4.5 ábrán látható. Látható, hogy van két stabil fix pont x = ±1-nél.Az intenzitásfüggyvény leírható mint:

φ(x) = 1− 2x2 − 2x4 + x6,

az integrált drift tag pedig:A(x) = x2/2− x4/4.

4.5. ábra. A µ(x) függvény Double-Well Potenciál Modell esetén.

Összehasonlításképp itt is elvégeztem a kísérletet, melyben összehasonlítom az Eulermódszer és az egzakt methódus között. Két esetben is: X0 = 0 és X0 = 0.5. Minta-mennyiség: 500, 000, vizsgált idopillanat: T = 1/2. Az eredményeket a 4.6 és 4.7 ábrákmutatják.

40


4.6. ábra. Az egzakt methódussal becsült és az Euler módszerrel számolt suruségfüggvé-nyek összehasonlítésa. A különbözo lépésközu Euler módszerek görbéjének színezéséta bal felso sarokban lévo legend tartalmazza. Mintaméret: 500, 000, vizsgált idopillanat:T = 1/2, peremfeltétel: X0 = 0.

4.7. ábra. Az elozo ábrával azonos ám a peremfeltétel:X0 = 0.5.

41


4.4. Eredmények összefoglalásaÖsszefoglalásképp elmondható, hogy az egzakt módszer alkalmazása igen hasznos

lehet bizonyos stochasztikus differenciál egyenletek megoldásánál. Ilyenek a való életbenlegfoképp a pénzügyi elemzés területén fordulnak elo, mint például egy „jump„, azaz ugródrift taggal kibovitett affine diffúzios SED, mellyel már szépen leírható egy piaci indexváltozása, mint például a Federal Funds. Ezt a folyamatot az Affine Jump-Diffusion(AJD)-t implementálta egzakt methódussal Giesecke és Smelov [5]. Így mindenképpmegéri foglalkozni a témával.

Habár mindenképp megemlíteném, hogy több folyamatot is megvizsgálva arra jutot-tam, hogy más esetekben egy egyszerubb Euler módszer is hasonló eredményre vezetkevésbé számítógépigényes módon.

42

5. fejezet

Függelék

5.1. A program forráskódja

5.1.1. Beérkezési idok generálása

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Generating exit times

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% generate next exit time for standard BM, Li: level

function varsigma=GenerateNextExitTime(Li)

V=xing(); % Burq & Jones

varsigma=Li^2*V;

% genrate standard BM exit time according to Burq & Jones

function X = xing

accepted = 0;

while ~accepted

X = gamrnd(1.088870, 0.810570);

Y = rand*1.243707*gampdf(X, 1.088870, 0.810570);

sqrt2piX3 = sqrt(2*pi*X^3);

N = max([ceil(0.275*X), 3]);

K = (1+2*[-N:N]);

fN0 = sum((-1).^[-N:N].*K.*exp(-K.^2./(2*X)))/sqrt2piX3;

N = N + 1;

fN1 = fN0 + (-1)^N*((1-2*N)*exp(-(1-2*N)^2/(2*X)) ...

+ (1+2*N)*exp(-(1+2*N)^2/(2*X)))/sqrt2piX3;

while sign((Y - fN0)*(Y - fN1)) == -1

fN0 = fN1;

N = N + 1;

fN1 = fN0 + (-1)^N*((1-2*N)*exp(-(1-2*N)^2/(2*X)) ...

+ (1+2*N)*exp(-(1+2*N)^2/(2*X)))/sqrt2piX3;

end

43

FEJEZET 5. FÜGGELÉK

if Y <= fN1, accepted = 1;

end

end

% exit value generation

function H=GenerateWsigma(Li)

U=rand;

if U<=0.5

H=-Li;

else

H=Li;

end

%scaling meander to standard BM with exit boundary L

function t=SigmaNormalize(tau,L)

t=zeros(1,length(tau));

for i=1:length(tau)

t(i)=tau(i)/L^2;

end

5.1.2. I mintavételezése, ajánlott skeleton tesztelése

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Testing the proposal from Brownian Meanders

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%meander testing function

function I=TestI(U,tau1,varsigma,BB)

dif=0;

Accepted=true;

Resolved=false;

q=0;

n=0;

x=BB(length(BB)-1);

s=tau1(length(tau1))-tau1(length(tau1)-1);

while ~Resolved

qprev=q;

n=n+1;

if (mod(n,2))

m=ceil(n/2);

q=q-(1/x)*(4*m-x)*exp(-4*m*(2*m-x)/s);

else

m=n/2;

q=q+(1/x)*(4*m+x)*exp(-4*m*(2*m+x)/s);

end

44


if n>=log(4)*(s)/8*1/x+2

if ((qprev<=q)&&(q+1<U(length(U))))

Resolved=true;

Accepted=false;

else

if ((qprev>=q)&&(q>U(length(U))-1))

Resolved=true;

Accepted=Accepted&&true;

end

end

end

end

for i=1:length(U)-1

t=tau1(length(tau1))-tau1(length(tau1)-i-1);

s=tau1(length(tau1))-tau1(length(tau1)-i);

y=BB(length(BB)-i-1);

x=BB(length(BB)-i);

p1=1/(1-exp(-2*x*y/(t-s)));

p=p1;

n=0;

Resolved=false;

while ~Resolved

pprev=p;

n=n+1;

if (mod(n,2))

m=ceil(n/2);

p=p-p1*(exp(-2*(2*m-x)*(2*m-y)/(t-s))...

+exp(-2*(2*(m-1)+x)*(2*(m-1)+y)/(t-s)));

else

m=n/2;

p=p+p1*(exp(-2*m*(4*m+2*(x-y))/(t-s))...

+exp(-2*m*(4*m+2*(x-y))/(t-s)));

end

if n>=log(3)*(t-s)/8*max(1/x,1/y)+1

if ((pprev<=p)&&(p<U(i)))

Resolved=true;

Accepted=false;

else

if ((pprev>=p)&&(p>U(i)))

Resolved=true;

Accepted=Accepted&&true;

end

end

end

end

if ~Accepted

45


break;

end

end

I=Accepted;

%construct meander from triplets

function b=GenerateBB(varsigma,tau,Triplets)

for i=1:length(tau)

b(i)=sqrt(((varsigma-tau(i))/varsigma...

+Triplets(i,1))^2...

+(Triplets(i,2))^2...

+(Triplets(i,3))^2);

end

%generate a triplet of Brownian Bridges used

%in meander construction

function b=GenerateBBTriplets(varsigma,tau)

for j=1:3

b(1,j)=0;

b(length(tau),j)=0;

end

z=randn(3,length(tau));

for i=2:length(tau)-1

for j=1:3

b(i,j)=(varsigma-tau(i))*b(i-1,j)...

/(varsigma-tau(i-1))+z(j,i)...

*sqrt((varsigma-tau(i))*(tau(i)-tau(i-1))...

/(varsigma-tau(i-1)));

end

end

%Poisson arrivals generation for acceptance

function tau=GenerateBrownianThinning(m,M,varsigma)

tau(1)=0;

i=1;

while (tau(i)<varsigma)

dt=exprnd(1/(M-m));

if (tau(i)+dt<varsigma)

tau(i+1)=tau(i)+dt;

else

tau(i+1)=varsigma;

end

46


i=i+1;

end

5.1.3. Összefoglaló muködés

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%This is the ’main’ algorithm!

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function f=generateFinal(x0,T)

currentt=0; %current time

x=x0; %starting x0

H1_past=0;

while currentt<T

restart=true;

y=F(x0,x);

Li=GetLi(H1_past); %selecting new Li based on current Xt and bounds

%THE OPTIMAL m, M, mA SELECTION

%(see section I.F. in the Varai-Vincze report.)

[YMIN fval]=fminbnd(@(x) phi(x0,x),y-Li,y+Li);

[YMAX fval]=fminbnd(@(x) -phi(x0,x),y-Li,y+Li);

[AMIN fval]=fminbnd(@(x) -A(x0,x),y-Li,y+Li);

mA=exp(A(x0,AMIN));

M=phi(x0,YMAX);

m=phi(x0,YMIN);

while restart

restart=false;

%generating exit time with xing (xing is from Burq and Jones, 2008)

varsigma=GenerateNextExitTime(Li);

H1=GenerateWsigma(Li); %generating W_varsigma candidate

H1_past=H1_past+H1;

V=rand;

W=rand;

%if we hit the time horizon

if (T-currentt<varsigma)

vsigma=T-currentt;

I=false;

47


while ~I %until we encounter a qualified meander, we keep on generating it

%generating Poisson arrivals for ARM on DIFFUSION (not JUMP)

tau0=GenerateBrownianThinning(m,M,vsigma);

tau0(length(tau0)+1)=varsigma;

%scaling the times to fit usual meander at hitting time 1

tau1=SigmaNormalize(tau0,Li);

BB=3;

while max(BB)>2

B=GenerateBBTriplets(varsigma/Li^2,tau1);

%generating meander from triplets

BB=GenerateBB(varsigma/Li^2,tau1,B);

end

%now BB is W_{\varsigma_1-t_1},W_{\varsigma_1-t_2} etc

U=rand(1,length(tau1)-1);

%testing meander or not hitting the UPPER Li

I=TestI(U,tau1,varsigma/Li^2,BB);

if I %if it qualifies, scale it back

if (H1<0)

for i=1:length(BB)

BB(i)=Li*(-1+BB(i));

end

else

for i=1:length(BB)

BB(i)=Li*(1-BB(i));

end

end

end

end

I2=TestAll(BB,tau0,x0,y,M,m,1,mA,T-currentt,V,W);

if I2

x=Finverse(x0,y+BB(length(BB)-1));

currentt=T;

restart=false;

else

restart=true;

end

%if we dont hit the time horizon

else

%HERE WE JUST GENERATE EXIT TIME AND VALUE

tau0=GenerateBrownianThinning(m,M,varsigma);

if length(tau0)>2

tau1=SigmaNormalize(tau0,Li);

I=false;

48


while ~I

BB=3;

while max(BB)>2

B=GenerateBBTriplets(varsigma/Li^2,tau1);

%generating meander from triplets

BB=GenerateBB(varsigma/Li^2,tau1,B);

end

U=rand(1,length(tau1)-1);

I=TestI(U,tau1,varsigma/Li^2,BB);

if I

if (H1<0)

for i=1:length(BB)

BB(i)=Li*(-1+BB(i));

end

else

for i=1:length(BB)

BB(i)=Li*(1-BB(i));

end

end

end

end

else

BB=[0 H1];

end

I1=TestAll(BB,tau0,x0,y,M,m,0,mA,T-currentt,V,W);

%disp(’jonapot kedves anita’);

if I1

x=Finverse(x0,y+H1);

currentt=currentt+varsigma;

fprintf(fid, ’%6.12f %12.12f %12.12f\n’, [currentt,x,phi(x0,x)]);

restart=false;

else

restart=true;

end

end

end

end

f=x;

%Here comes the main candidate testing function

function I0=TestAll(B,t,x0,x,M,m,hf,mA,Tb,V,W)

I0=true;

J=false;

49


I=rand(1,length(B));

for i=2:length(t)-1-hf

if (I(i)<((phi(x0,x+B(i))-m)/(M-m)))

I0=false;

break;

end

end

if I0

I0=I0&&(V<exp(-m*t(length(t)-hf))/max(1,exp(-m*Tb)));

if I0

I0=(W<exp(A(x0,x+B(length(B)-hf)))/mA);

end

end

◦

50

Irodalomjegyzék

[1] http://tankonyvtar.ttk.bme.hu/pdf/30.pdf

[2] Beskos, A., Roberts, G., Exact simulation of diffusions. Ann. Appl. Probab., 15(2005), 2422-2444

[3] Burq, Zaem and Jones, O. Simulation of Brownian motion at first passage times.Mathematics and Computers in Simulation, 77 (2008), 64-81

[4] Chen, Nan (2009), Localization and exact simulation of Brownian motion drivenstochastic differential equations. Working Paper, Chinese University of Hong Kong

[5] Kay Giesecke, Dmitry Smelov, Exact Sampling of Jump Diffusions. OperationsResearch, 61(4):894-907, 2013

[6] Stefano M. Iacos, Simulation and Inference for Stochastic Differential Equations,Springer Science+Business Media, LLC, New York, 2008.

[7] D. Frei Tamás, Sztochasztikus folyamatok, Tankönyvkiadó, 1970.

[8] http://www.wikicoursenote.com/wiki/Acceptance-Rejection_Sampling

[9] http://www.columbia.edu/ ks20/4703-Sigman/4703-07-Notes-ARM.pdf

[10] https://en.wikipedia.org/wiki/Rejection_sampling

[11] https://hu.wikipedia.org/wiki/Wiener-folyamat

[12] https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann-Stieltjes_integral

[13] https://en.wikipedia.org/wiki/Novikov’s_condition

[14] John C. Hull, Options, futures, and other derivatives - 8th ed., Edwards Brothers,USA, 2012.

[15] Pasupathy, R., Generating Nonhomogeneous Poisson Processes, working paper, De-partment of Industrial and Systems Engineering, Virginia Tech

[16] Lewis, P., Shedler, G., Simulation of nonhomogenous Poisson processes with log-linear rate function. Biometrika, 63 (1976), 501-505

51

nem korlÁtos diffÚziÓs folyamatok egzakt...

Documents