A Dirac-egyenlet új egzakt megoldásai extrém nagyintenzitású lézertérbene t é agy te tású é e té be

Varró SándorWigner Fizikai Kutatóközpont

MTA Szilárdtestfizikai és Optikai IntézetBudapest

Fizikus Vándorgyűlés Debrecen Fizikus Vándorgyűlés, Debrecen, 2013. augusztus 21-24. [9.2.]

9 2 A Dirac-egyenlet új egzakt megoldásai extrém nagyintenzitású lézertérben9. 2. A Dirac egyenlet új egzakt megoldásai extrém nagyintenzitású lézertérben

VARRÓ Sándor MTA Wigner FK SZFI, 1525 Budapest pf. 49. E-mail: varro.sandor@wigner.mta.hu

Kivonat. A plazmában terjedő extrém nagyintenzitású lézersugárzással kölcsönható töltések Dirac- ésKl i G d l té k új kt ldá it h tá t k l k é ót h ál t úKlein–Gordon-egyenletének új egzakt megoldásait határoztuk meg, amelyek a régóta használatos ún.Volkov-féle állapotok [1-3] általánosításának is tekinthetők. Ezek a megoldások trigonometrikus polinomokkétszeresen végtelen halmazával fejezhetők ki, amelyek két egész kvantumszámmal indexelhetők. Klein-Gordon esetben azonosak az ún. Ince-féle polinomokkal [4]. Dirac részecske esetében a kapott megoldásokeddig a matematikában sem ismert új komplex polinomokat tartalmaznak [5]. A kapott eredményekfelhasználhatók az intenzív lézerterekben lejátszódó elektron-pozitron párkeltés, magasrendűfelharmonikusok és attoszekundumos impulzusok generálásának elméleti elemzéséhez. Szerepetjátszhatnak a plazmás lézeres gyorsítók alapfolyamatainak tisztázásában is [6].Köszönetnyilvánítás. A jelen kutatást részben az OTKA K 104260 számú projekt keretében végeztük.

[1] Fedorov M V, Atomic and Free Electrons in a Strong Laser Field (World Scientific, Singapore, 1997)[2] Gordon W , Der Comptoneffekt nach der Schrödingerschen Theorie Zeits. für Phys. 40 117-133 (1927);

ÜWolkow D M, Über eine Klasse von Lösungen der Diracschen Gleichung. Z. Physik 94, 250-260 (1935)[3] Bergou J and Varró S, Wavefunctions of a free electron in an external field and their application in intense field interactions: II. Relativistic treatment. J. Phys. A: Math. Gen. 13, 2823-2837 (1980); Nonlinear scattering processes in the presence of a quantized radiation field: II. Relativistic treatment. ibid. 14 2281-2303 (1981)[4] Varró S, A new class of exact solutions of the Klein-Gordon equation of a charged particle interacting with an electromagnetic wave in a medium. Las. Phys. Lett.- submitted (2013). E-print: arXiv:1306.0097 [ t h] 2 J 2013[quant-ph]. 2 June 2013.[5] Varró S, New exact solutions of the Dirac equation of a charged particle interacting with an electromagnetic wave in a medium. Laser Phys. Lett 10, 095301 (2013). arXiv:1305.4370 [quant-ph]. May 17.[6] Varró S, New exact solutions of the Dirac equation of a charged particle propagating in a strong laser field in an underdense plasma. 1st European Advanced Accelerator Concepts Workshop (2-7. June 2013. La Biodola, Isola d’Elba, Italy) Talk in Working Groups 1 + 6. Abstract and slides see at: https://indico.cern.ch/

Vázlat

1. Bevezetés. Volkov-állapotok. Mathieu-diagramok.

2. A Dirac- (Klein–Gordon-) egyenlet új megoldásai.

3 S á ű ill t á iók ( l I l kt )3. Számszerű illusztrációk (pl. Impulzusspektrum).

4. Lehetséges ‘alkalmazások’ alapfolyamatok leírásához, megértéséhez. Pl. plazmás gyorsítóknál

Gordon megoldása [ 1927 ][ ]

0][ 22 )(xAi rad

)()( 0 fAeA xrad )/( cztxk

)()( eNxSi

ppp

})({exp

)()( dIxpiN pp

pp

)()(2)[2/1()( 22)( AAppkI p

Varro_ECLIM_2010

Gordon W, Der Comptoneffekt nach der Schrödingerschen Theorie. Zeitschriftfür Physik 40, 117-133 (1927). [ Application to strong-field: ~1960..]

Volkov-állapotok [ 1935 ]p [ ]

)(0][ 0 V

)()( 0 fAeA xrad )/( cztxk

2

)]()[(1)( )( upkAkx pp

])([exp

2)( dIxpi

pk

p p

)]()(2)[2/1()( 22)( AAppkI p

Varro_ECLIM_2010

Wolkow D M, Über eine Klasse von Lösungen der Diracschen Gleichung. Zeitschrift für Physik 94, 250-260 (1935). [Application to strong-field: ~1960..]

Modulált de Broglie síkhullám g

xipp e )( )/( cztxk

p

22 pd

k 1n 1n1n

2222

2

pdd

k

1mn 1mn1mn

0)2(2 2222

pp AApp

dd

pik

Vákuumban:02 k

ö b á d dű diff iál l

Első rendű differenciál egyenlet p-re.

Azonnal integrálható, a „skalár Volkov-állapotot” adja.

Varro_ECLIM_2010

Közegben:0)1()/( 222 mnck

Másodrendű differenciál-egyenlet p-re.

Pl. Mathieu típusú megoldások )/( cyntxk m

0)2cos2( 2 wzhw

m

peAhpk 02, 0

Disposable parameter; band structure

Fundamental parameter.

Varro_ECLIM_2010[ Figure taken from Arscott F M, Periodic differential equations (Pergamon Press, Oxford, 1964) p.123. ] . Nikishov & Ritus (1967), Nikishov (1970), Narozhny & Nikishov (1974), Becker (1977), Fedorov, McIver … FEL theories.

Új egzakt megoldás. p.1. )/( cyntxk m j g g

0])[( 2122 FAi

41

)()(s spsp u

m

0)2sin24cos22cos2( )()(2

ps zizz

d

2/z

0)2sin24cos22cos2( 12102 pszizzdz

)2cosexp( 2/1)( zf Hill-egyenlet. Magasabb transzcendens megoldások...)2cosexp( 2 zfps

0)2cos(2sin2

fzqaifdfzafd

04 peF

a

g

Narozhny and Nikishov (1974) for nm=0

0)2cos(2sin2

fzqaifdz

zadz

)(42 /)(2 kkk2kqp )1(2

0

Varro_ECLIM_2010

)(42 /)(2 knpkpk 2

0 1 mp nkk px kqp )1(2

Új egzakt megoldás. p. 2. )/( cyntxk m j g g

0])[( 2122 FAi

m

px knp )( 21

)|,(cos)4/()(2,1 agee k

naxpie

p

k)1(20)2()(2i i

)(42 /)(2 knpkpk

px kqp )1(2 0)2cos()(2sin gzqaiggzag

nn DDan 11

2

2 000)1()1(4

n

nk

n

n

n

D

D

D

D

annanan

nan

1

2)(

1

2

2

2

)12()1(4000)22()22(000)2(4)12(

n

kk iDf )( )()2|()|(

n

n

n

n

DDna11

24)1(000)()(

04 peF

Véges tagszámú polinomok

Varro_ECLIM_2010

nr

kr

kn irnaDagf

1

)( )exp()2|()|,( 0

04

pa

Új egzakt megoldás. p. 3. )/( cyntxk m j g g p

px nkp

m

cnkk pmp /1 20 px knp )( 2

1p

)(42 /)(2 knpkpk

cnkk pmp /10 p

20

20

2 /1)( pmn

p mceFa

2

00 224

22 )()( ypy ckk p 0

100 1058 IeF 000

0 105.8

Imc

Optikai frekvenciákra az új paraméter “ a ” 6 nagyságrenddel nagyobb mint a

Varro_ECLIM_2010

Optikai frekvenciákra az új paraméter a 6 nagyságrenddel nagyobb mint a szokásos intenzitás paraméter ( ‘dimenziótlan vektorpotenciál’ )

)|,(cos)4/()(2,1 agee k

naxpie

p

p

p mceFa

2

00

0 224

n

kr

kn irnaDagf )( )exp()2|()|,(

nr 1

‘Üres tartományok’ a periódus közepén. [ ‘Kvantum buborék’? ]

Impulzusspektrum a hullám terjedési irányában

a = 14, n = 20 ; hnk

1000

1500

0

500

h

Dirac Klein-Gordon

10 20 30 40-500

eigenvalue index k

A longitudinális impulzus-spektrum ‘hiperfinom felhasadása’.

Dirac Klein-Gordon

g p p p

Magasrendű felharmonikus spektrumok

Dirac: kettős, aszimmetrikus csúcsszerkezet. Klein-Gordon: Egyes

Dirac Klein-Gordon

, gycsúcsszerkezet, és ez is oszcillálóba megy át. (következő oldal).

M dű f lh ik kt kMagasrendű felharmonikus spektrumok

Di Kl i G dDirac. Klein-Gordon.

Double peak structure. Single peak structure. Oscillatory spectrum.

llá f é k Új é li kHullámfüggvények. Új és Ince-polinomok

Di Új k l li k Kl i G d I li k

Hullámfüggvények. Lehetséges alkalmazás az ‘önfázismoduláció’

Dirac. Új komplex polinomok. Klein-Gordon. Ince-polinomok

gg y gkifejtéséhez. Magasrendű felharmonikusok, attoszekundumos impulzusok.

H llá fü é k I li kHullámfüggvények. Ince-polinomok

Kl i G d K 15 Kl i G d k 20

A negatív sajátértékekhez tartozó longitudinális impulzusok imagináriusak. 2 é á

Klein-Gordon. K = 15. Klein-Gordon. k = 20.

Ezeket a – mc2 és + mc2 közötti ‘gap-állapotoknak’ nevezhetjük.

Összefoglalás

1. Polinom megoldások kétszer végtelen halmaza. Klein-Gordon részecskére: Ince-polinomok. Diszkrét [ px=nkp vagy px=(n+1/2)kptranszverzális ] és longitudinális részecskeimpulzus.

2. Alapvetően periodikus, de félegész felharmonikusok is (4-periódusú). Csaknem ‘üres tartományok’ a térben; ‘kvantum buborék’ Új intenzitás paraméter ‘a’: a=0 x (2mc2/h)buborék . Új intenzitás paraméter a : a=0 x (2mc /h)

3. Alkalmazások: pl. Párkeltés oszcilláló elektromos térben, Plazmás ‘wake field’ gyorsító proton nyaláb önfázismoduláció

Megjegyzés. A Gordon-Volkov-féle (1927, 1935) egzakt megoldások után ~ 80 évvel ezek az első új típusú, zárt alakban kifejezhető analitikus megoldások elektromágneses síkhullámtérben.

Plazmás wake-field gyorsító, proton-nyaláb önfázismoduláció , kvantum buborék’. Távlat: Lánczos-Proca vektorbozon leírás.

Appendicesppe d ces

A Lánczos – Proca vektorbozonról

)()(1)()(1)( 2 AAFFL )()(2

)()(4

)( 20 xAxAxFxFxL

0)()( 20 xAxF 0)()( 2

02 xA

Gregor Wentzel, Einführung in die Quantentheorie der Wellenfelder. (Wien, Franz Deuticke, 1943) Page 71.Kapitel III. Das vektorielle Mesonfeld. § 12. Komplexes Vakuumfeld.1“ 1 Erstmal untersucht (ohne Quantisierung) von Proca: Journal de Physique 7, S. 347. 1936.”

0)()( 0 xAxF 0)()( 0 xA

Bialynicki-Birula, Iwo and Bialynicki-Birula, Zofia, Quantum Electrodynamics. ( Pergamon Press Ltd. and PWN – Polish Scientific Publisher, Warszawa, 1975)On page 215 footnote: “Proca is usually thought to have been the first to give the classical theory of a vector field with mass (1936) but actually these equations were discovered earlier by Lanczos (1929) although in amass (1936), but actually these equations were discovered earlier by Lanczos (1929), although in a different context.”

References. C. Lanczos, Die tensoranalytischen Beziehungen der Diracschen Gleichung. Zeitschrift für Physik 57, 447 (1929)( )A. Proca, Sur la theorie ondulatoire des ́electrons positifs et negatifs, J. Phys. Radium 7, 347 (1936); A. Proca, Sur la theorie du positon, C. R. Acad. Sci. Paris 202, 1366 (1936).

Some details. )/( cyntxk m m

0][ Ai )( ][ )(

)(exp)( xipp

02122 2222

2

22

p

pp FAAppd

dpik

dd

k

)]ˆˆ(exp[)()(exp)( 2211)(

2)( xpxpxpixk

kpkpi pp

0212/1 )(222222

22

)(2

pp FAAppkp

kdd

Varro_ECLIM_2010

K-G case. Ince polynomials. )/( cyntxk m y

0])[( 22 Ai

m

0eF

kqp )1(2

0)2cos(2sin gzqagzag

knp )( 1 )(42 /)(2 kkk

0

04

peFa

)|(]cos)4/(exp[)]ˆˆ(exp[ aIPazpxpxpi k

px kqp )1(2 px knp )( 2

1 )(42 /)(2 knpkpk

)|(]cos)4/(exp[)](exp[ aIPazpxpxpi nzxp

)s|()c|()|( aaaIP kkk )s,|(),c,|()|( aaaIP nnn

)s,|(),c,|()|( aaaIP kn

kn

kn

Even cosine and sine type

Odd cosine and sine type

Varro_ECLIM_2010

),|(),,|()|( nnn Odd cosine and sine type

PWFA P lPWFA Proposal

PWFA P lPWFA Proposal