Szakdolgozat

Nemlinearis jelensegek vizsgalata retegzett

rendszerekben szamıtogepes szimulacioval

Boschan Julia

Fizika BSc., fizikus szakirany

III. evfolyam

Temavezetok:

Dr. Tel Tamasegyetemi tanar

Elmeleti Fizikai Tanszek

Vincze Miklosdoktorandusz

Komplex Rendszerek Fizikaja Tanszek

Eotvos Lorand Tudomanyegyetem2011

Tartalomjegyzek

1. Bevezetes 1

2. Elmeleti alapok 2

2.1. A ketretegu sekely folyadek dinamikaja . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2. Belso hullamok a kozeghatarokon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1. Felszıni es belso hullamok terjedesi sebessege . . . . . . . . . . 7

2.2.2. A tolenges jelensege, peremfeltetelek . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.3. Az aljazati akadalyok szerepe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.4. Belso hullamok ket akadaly eseten, rezonancia . . . . . . . . . 12

2.2.5. Folytonosan retegzett kozegek, Boussinesq-kozelıtes . . . . . . 14

2.3. Numerikus modszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.1. A numerikus algoritmus alapjai . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Sajat eredmenyek 18

3.1. A numerika kalibralasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.1. Hibaszamolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2. Numerikus eredmenyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.1. A surusegprofil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.2. Adatok gyujtese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.3. Az eredmenyek es a linearis elmelet osszevetese . . . . . . . . 35

3.3. Kıserleti eredmenyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.1. A meresi elrendezes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.2. Az adatgyujtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3.3. A feszultsegprofil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3.4. A kıserlet elvegzese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.5. A kıserlet eredmenyei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4. Osszefoglalas 48

ii

1. Bevezetes

Minden nap megfigyelhetjuk, hogy peldaul a meglokott poharban a folyadek lengesbe

jon es csak sok lengesi periodus mulva csillapodik. Ez a jelenseg nagy kiterjedesu,

zart allovizek eseten is fellep. Ha peldaul egy to felett hosszabb idon keresztul

fuj a szel, akkor a szel kovetkezteben a vızfelszın egy kisse megdontott egyensuly

helyzetben stabilizalodik. Ha a szel elall, akkor ez az allapot elveszti egyensuly

szerepet, es ezt kompenzalva a felszın igyekezik visszaterni eredeti allapotaba. A

folyadek tehetetlensege miatt viszont a nyugalmi szinten tullendul, tehat a to lengesbe

jon.

A tolengesek vizsgalata a XIX. szazadban vegen a svajci Francois-Alphonse Forel

munkassagaval kezdodott [1], aki elsokent a Genfi-to lengeseit vizsgalta, es ennek

folyaman bevezette a szakirodalomba a tolengesre hasznalatos”seiche” kifejezest.

Hazankban hasonlo megfigyeleseket tett Cholnoky Jeno [2], a magyar foldrajztu-

domany egyik legnagyobb alakja, aki a Balaton lengeseit vizsgalta. A vizsgalatok

soran figyeltek a tolengesek amplitudojat, periodusidejet es csillapodasat. Kiderult,

hogy altalaban a lenges amplitudoja nehany decimeteres, es a hullamok lecsengesi

ideje akar 10-20 periodus is lehetett. A periodusidoket vizsgalva megallapıthato,

hogy a Genfi-to eseteben, melynek vızszintes kiterjedese osszemerheto a Balatoneval,

de melysege annak mintegy szazszorosa, a lenges ideje 70 perc, ezzel szemben a bal-

atoni lengesek periodusideje 12 ora.

Legegyszerubb esetben a jelenseg harom hosszusagjellegu parameterrel jellemez-

heto: az allovız L vızszintes kiterjedese es H melysege, valamint a lengesek A

amplitudoja. Az idojellegu parameterek a lengesek T periodus ideje es a lenges

csillapodasi ideje. A hosszusag- es az idojellegu parameterek kozott nyilvanvaloan a

terjedesi sebesseg teremt kapcsolatot. A hullamok c terjedesi sebessege sekely kozeg-

ben, amikor is a λ hullamhossz sokkal kisebb mint a H melyseg, a kozeg melysegenek

gyokevel aranyos:

c =√gH, (1.0.1)

ahol g a gravitacios gyorsulas. Ennek megfeleloen a lengesido L/c -vel becsulheto.

Ezen osszefugges fenyeben erthetove valik a tolenges periodusidejenek feljebb emlıtett

erzekenysege a medence melysegere es kiterjedesere.

Bonyolultabb a jelenseg, ha a to surusege valtozik a melysegevel, azaz a kozeg

retegezett (sztratifikalt). A termeszetben elofordulo retegezett kozegekben (peldaul

1

a legkor vagy az oceanok) sok esetben a lenyeges surusegvaltozas csak egy vekony

retegben (a termoklin zonaban) megy vegbe. Ez a tartomany altalaban a teljes

kozeghez kepest keskeny, ıgy kiterjedeset elhanyagolhatjuk, es egy olyan hatarnak

tekintjuk, amely a teljes kozeget egy also, nagyobb surusegu es egy felso, kisebb

surusegu retegre osztja. Ilyenkor a reteghataron surusegugrasrol beszelunk. Ez

a kozelıtes a szakirodalomban ketretegu kozelıteskent ismert. A fizikai problema

gazdagabb, mint homogen kozegben, mivel a ket folyadekreszt elvalaszto felulet

menten is terjedhetnek hullamok, melyek jelentos energiat tarolhatnak. Ezenkıvul

ujabb mozgasformak jelentkezhetnek, ıgy peldaul lehetseges, hogy hullamzas eseten

az also es a felso retegek egyutt mozognak (barotrop modus) de az is elofordulhat,

hogy a ket reteg egymassal ellentetes fazisban (baroklin modus) mozog. Az utobbi

esetben az elvalaszto hatar mozgasa sokkal jelentosebb a felulet hullamzasanal, tehat

a mozgas energiajat csaknem teljes egeszeben a belso hullammozgas tarolja.

Amikor a medence aljzata nem sima, hanem egy belso akadalyt elhelyezunk, ame-

lynek magassaga egyenlo az elvalaszto belso hatarretegevel, akkor ott a hullamzas

lenyegesen megvaltozik. A belso hullam periodikusan valtakozo iranybol atbukik

az akadaly folott, es ıgy baroklin hullamok alakulnak ki. Ennek a jelensegnek

vizsgalatakor felmerult az a gondolat, hogy ket aljazati akadaly jelenletekor, az

altaluk kozbezart tartomanyban kialakulnak-e belso allohullamok.

Szakdolgozatomban numerikus szimulacioval vizsgaltam a hatarreteg hullamzasat

ket aljazati akadaly jelenlete eseten. A ket akadaly magassaga mindig megegyezik

a nyugalmi reteghatar szintjevel. A felszıni tolenges altal keltett belso mozgas a

reteghatar akadalyok kozotti szakaszan tenylegesen allohullamokat gerjeszt, ame-

lyek hullamhosszat, es ezen keresztul a frekvenciajat, az akadalyok tavolsaga szabja

meg.

2. Elmeleti alapok

Az altalunk vizsgalt jelenseg targyalasahoz a hidrodinamikaban megismert alap-

egyenleteket (Navier–Stokes-egyenlet, kontinuitasi egyenlet) hasznaljuk. Ezeknek

nincs a vizsgalt jelenseget leıro egzakt megoldasuk, ezert fontos olyan esszeru kozelı-

teseket tenni, melyek segıtsegevel az egyenletek kezelhetoek lesznek, de nem veszıtik

el fizikai hitelesseguket.

Ugyanakkor fontos megjegyeznunk, hogy az itt bemutatasra kerulo kozelitesekbol

2

szarmazo analıtikus eredmenyeket eppen ezert csupan kiindulasnak tekinthetjuk,

nem pedig a jelen dolgozatban vizsgalt fizikai problema helyes leırasanak. Numerikus

modszerekkel ezzel szemben a teljes, nemlinearis egyenletrendszer megoldasa lehet-

seges, ıgy a kozelıtesek pontossaga, majd mind az analitikus, mind a numerikus

eredmenyek kiserlettel valo egyezese is megviszgalhato.

2.1. A ketretegu sekely folyadek dinamikaja

Altalanos esetben a suruseg a magassaggal valtozik. Amikor a retegzett folyadekban

van egy keskeny reteg, melyben a surusegvaltozas feltunoen eros, akkor lokalis suru-

segugrasrol beszelhetunk. A legegyszerubb alkalmazhato kozelıtesben a folyadek ket

homogen, osszenyomhatatlan reszre oszlik. Feltetelezzuk, hogy a ket reteg kozotti

∆ρ surusegkulonbseg lenyegesen kisebb, mint az atlagos ρ0 suruseg,

∆ρ

ρ0

� 1. (2.1.1)

Feltesszuk tovabba, hogy mind a ket reteg megfeleloen keskeny ahhoz, hogy a hid-

rosztatikai kozelıtes alkalmazhato legyen. Ez azt jelenti, hogy a nyomas a suruseg

magassag szerinti integraljakent allıthato elo. Nyilvanvaloan a rendszer akkor stabil,

ha az also reteg a surubb.

A viszkozitast elso kozelıtesben elhanyagolhatonak tekintjuk, es megallapıtjuk,

hogy a tehetetlensegi erok az altalunk vizsgalt problemaban nem jatszanak szerepet.

Igy a mozgasegyenlet a surlodasmentes Euler-egyenletre redukalodik:

dv

dt= − 1

ρgradp− g, (2.1.2)

ahol v = (u, v, w) az aramlas sebessege, p a nyomas es g a gravitacios gyorsulas.

A mozgasegyenlet mellett az anyagmegmaradast leıro kontinuitasi egyenletet is fi-

gyelembe kell venni:

∂ρ

∂t+ div(ρv) =

∂ρ

∂t+ v grad ρ+ ρ divv = 0. (2.1.3)

Mivel a ρ suruseg a helynek es az idonek fuggvenye, a ∂ρ∂t

+v grad ρ megfelel a suruseg

3

teljes derivaltjanak. Ez a hidrodinamikai derivalt, aminek reven:

∂ρ

∂t+ div(ρv) ≡ dρ

dt+ ρ divv = 0 (2.1.4)

Ha a folyadekot osszenyomhatatlannak es a ket reteget kulon-kulon homogennek

tekintjuk, akkor egy kiszemelt folyadekreszecske ugy mozog, hogy mozgasa kozben

a surusege ne valtozzon, tehat mozgasa kozben igaz:

dρ

dt= 0. (2.1.5)

(2.1.4) es (2.1.5) ertelmeben ezt ırhatjuk:

divv = 0. (2.1.6)

Ez a sebessegter divergenciamentessegenek feltetele, ami tehat az osszenyomhatat-

lansag kovetkezmenye.

Fontos meg kikotni, hogy a sekely folyadekokat az jellemzi, hogy a kozeg L

vızszintes kiterjedese sokkal nagyobb mint a H magassaga,

L� H. (2.1.7)

Ez nyilvanvaloan teljesul a tavak, illetve tengerek eseteben. E feltetel alapjan a

folyadek aramlasi sebessegenek vızszintes komponense mellett a fuggoleges kom-

ponens elhanyagolhato. A vızszintesen retegzett kozeg vizsgalatakor lattuk, hogy

fuggoleges iranyban alakulnak ki sıkbeli strukturak, ıgy mondhato, hogy a jellemzo

tavolsag a magassag (H).

A ketretegu folyadek dinamikajanak vizsgalatakor bevezetjuk a mozgast jellemzo

h1(x, y, t) es h2(x, y, t) valtozokat,melyek rendre a folso, illetve az also kozeg pillanat-

nyi vastagsagat jellemezik egy olyan koordinata-rendszerben, melyben a vızszintes

iranyokat az x, y, es a fuggolegeset a z jeloli, ahogyan a 2.1.1. abran lathato. Legyen

H1 es H2 rendre a folso, illetve az also kozeg nyugalmi magassaga es H = H1 +H2

a teljes magassag. A reteghatarok nyugalmi helyzetehez kepesti ingadozasat a

vızfelszın eseten az η(x, y, t), a belso hatarreteg eseten pedig a χ(x, y, t) valtozo

fejezi ki. Igy a ket kozeg pillanatnyi vastagsaga tehat a kovetkezokeppen adhato

4

2.1.1. abra. A ketretegu sekely folyadek elrendezese(forras: [7])

meg:

h1 = H1 + χ− η (2.1.8)

h2 = H2 + χ. (2.1.9)

Konnyen belathato, hogy a hatarretegek hullamzasakor a p(z) nyomas az η(x, y, t)-

tol, illetve a χ(x, y, t)-tol fugg, ıgy :

p =

p0 + ρg(η +H − z), ha z > h2(x, y, t),

p0 + ρgh1 + (ρ0 + ∆ρ)g(h2 − z), egyebkent,(2.1.10)

ahol p0 az allando felszıni nyomas. A (2.1.2) egyenletbe visszaırva a fenti nyo-

masra vonatkozo osszefuggeseket, latjuk, hogy a nyomasgradiens helyett a felszıni

ingadozas gradiensetol fugg a mozgas. Tovabba a (2.1.7) ertelmeben a sıkbeli

fuggoleges aramlasi sebesseg elhanyagolhato a vızszintes mellett, ezert bevezetjuk

a magassagtol fuggetlen ui(x, y, t) (i = 1, 2) vızszintes sıkbeli aramlasi sebessegeket.

Igy az Euler-egyenlet a kulonbozo kozegekben a kovetkezo alakot olti:

du1

dt= −g gradη, (2.1.11)

du2

dt= −g gradη − g′ gradχ, (2.1.12)

ahol g′ = g∆ρρ0

a redukalt gravitacios gyorsulas, amely a reteghatar surusegugrasa

5

miatt lep fel. A surusegkulonbseg kicsinysege miatt ez sokkal kisebb a felszıni gravi-

tacios gyorsulasnal. A belso kozeghataron torteno fuggoleges mozgasokat a redukalt

gravitacios gyorsulas szabalyozza, tehat azok sokkal lassabbak a vızfelszınen torteno

mozgasoknal.

A folyadek osszenyomhatatlansaga miatt az aramlas teljes terbeli divergenciaja

nulla, viszont figyelembe kell venni, hogy az ui vızszintes sıkbeli divergenciajara ez

nem feltetlenul tejesul, mivel a folyadekban az ingadozasok reven fel- es learamlasok

indulhatnak meg. Ha egy A alapteruletu es h magassagu henger alaku tartomany

mozgasat kovetjuk a folyadekban, akkor az anyagmegmaradas miatt terfogatanak

idoben allandonak kell lennie (d(Ah)/dt = 0), tehat, ha a felszın ingadozasa mi-

att a retegvastagsag lokalisan csokken, illetve no akkor a henger osszehuzodik vagy

szelesebb lesz (lasd a 2.1.2. abran). Az allando terfogatu henger h magassaganak,

2.1.2. abra. Egy vızoszlop a folyadek aramlasa kozbeni alakvaltozasa a vız lokalismelysegetol fuggoen (forras: [7])

illetve A alapteruletenek valtozasa tehat, az (x, y) sıkbeli forraserosseget hatarozza

meg, azaz definıcio szerint az ui vızszintes sıkbeli sebesseg divergenciajat. Az anyag-

megmaradast ıgy a folyadekoszlop terfogatanak allandosaga fejezi ki es mindket

i = 1, 2 folyadekretegben igaznak kell lennie, hogy:

dhidt

= −hidivui (2.1.13)

Vizsgalataink soran az elobb bemutatott modell alkalmazasakor az aramlast y

iranyban eltolasinvariansnak tekintettuk, ıgy tehat a mozgas ketdimenzios elren-

dezesben zajlik. Ha raadasul figyelembe vesszuk a fuggoleges sebesseg elhanyagol-

6

hatosagat, akkor a vızszintes sıkbeli sebesseg csak az x iranyban valtozik, azaz

ui = uiex ahol ex az x iranyu egysegvektor. Igy a (2.1.11) es a (2.1.12) egyenletek

a kovetkezokepen modosulnak:

du1

dt= −g ∂η

∂x, (2.1.14)

du2

dt= −g ∂η

∂x− g′ ∂χ

∂x, (2.1.15)

es a (2.1.13) anyagmegmaradasi feltetel ıgy ırhato:

dhidt

= −hi∂ui∂x

, i = 1, 2. (2.1.16)

2.2. Belso hullamok a kozeghatarokon

2.2.1. Felszıni es belso hullamok terjedesi sebessege

A sekely folyadek dinamikat leıro egyenleteket olyan ertelemben tovabb egyszerusıt-

hetjuk, hogy a reteghatar ingadozasat jellemzo η es χ fuggvenyeket a retegvastagsag

mellett kicsinek tekintjuk, es ıgy az elozo fejezetben targyalt egyenletek a hi = Hi

atlagos retegvastagsaghoz tartozo nyugalmi helyzet korul linearizalhatok.

A belso hullamok leırasahoz a vızszintes sebessegmezot, valamint a felszın es a

kozeghatar ingadozasat jellemzo differencialegyenletek megoldasat x-iranyba halado

sıkhullam alakban keressuk, mikozben az elrendezest y iranyban eltolasinvariansnak

feltetelezzuk:

ui = ui0 exp(iωt− ikxx) (2.2.1)

(η, χ) = (η0, χ0)exp(iωt− ikxx), (2.2.2)

ahol az i = 1, 2 index rendre a felso, illetve az also reteget, es a 0 index az amplitudot

jelzi. A kx a hullamszam vektor x-komponense, ω pedig a sıkhullam frekvenciaja.

A (2.1.14), (2.1.15) es (2.1.16) egyenletekbe visszahelyettesıtve negy egyenletet

kapunk, amelyeknek kombinalasaval osszefugges letesıtheto a felszıningadozas amp-

litudoi es a ket reteg vızszintes sebessegkomponenseinek amplitudoja kozott:

χ0 = η0

(1− gH1

kx2

ω02

), (2.2.3)

7

u10 = u20

(1− g′H2

kx2

ω02

). (2.2.4)

Az egyenletekben csak az ω es kx aranya szerepel, ıgy bevezethetjuk a

c ≡ ω0

kx(2.2.5)

terjedesi sebesseget.

A fenti egyenletek osszeferhetosegenek feltetelebol a c terjedesi sebessegre egy

masodfokura visszavezetheto egyenletet kapunk [7]:

c4 − c2(gH + g′H2) + gg′H1H2 = 0. (2.2.6)

Az egyenlet konnyen kezelheto, de erdekesebb eredmenyre jutunk, ha figyelembe

vesszuk, hogy g′ � g, es ıgy ket hataresetet vizsgalunk. Egyreszt, ha a sebesseg

nagy, akkor a g′ vel aranyos tagok elhanyagolhatok es ıgy vezeto rendben a hullam

terjedesi sebessege:

c0 =√gH. (2.2.7)

Ekkor az aramlasi sebesseg a ket retegben kozel azonos es a felszıningadozas a

retegvastagsaggal aranyos. Ez a fajta hullammozgast a szakirodalomban barotrop

moduskent ismert.

Masreszt, amikor a c4 tagot hanyagoljuk el, a terjedesi sebesseg:

c1 =

√g′H1H2

H. (2.2.8)

Ezt a megoldast baroklin modusnak nevezzuk, amely megadja a belso hullam moz-

gasat ketszintu retegezett kozegben. Ilyenkor a sebesseg a ket retegben ellenkezo

elojelu, es a belso hatarfelulet ingadozasa lenyegesen erosebb a felszıni ingadozasnal,

ahogyan a 2.2.1. abran lathato.

2.2.2. A tolenges jelensege, peremfeltetelek

Megfelelo peremfeltetelek mellett, az elozokben targyalt sekelyfolyadek-egyenletek-

nek megjelenhetnek idofuggetlen megoldasai. Pelda erre egy to feletti tartos, egy-

iranyu szelnyıras, melynek hatasara a to vıztukre a vızszinteshez kepest elferdult

helyzetben stabilizalodik. A felszın megdolesenek hatasara a folyadekretegekben

8

2.2.1. abra. Kis amplitudoju linearis hullamok ketretegu sekely vız eseten. (a)Barotrop modus: azonos fazis, azonos terjedesi irany es sebesseg, a hullam terjedesisebessege (2.2.7) (b) Baroklin modus: ellentetes fazis, ellentetes irany es kulonbozoaramlasi sebesseg, a hullam terjedesi sebessege (2.2.8)

olyan aramlas indul meg, aminek reven a belso reteghatar is elferdul, ıgy a kozeg

egy masik egyensulyi helyzetbe kerul. Ezt a stacionarius allapotot fenntartva az

Euler-egyenletekben az idoderivalt eltunik es azt a feltetelt kapjuk, hogy a kiteresek

gradiensei ellentetes elojellel aranyosak egymassal. Tovabbra is csak az x-iranyu

mozgast vizsgalva az elferdult hatarfeluletek egyensulyi feltetele:

∂χ

∂x≈ − g

g′∂η

∂x. (2.2.9)

Tehat ha a felszıni hatarreteg egy iranyba dontott, akkor a belso hatarreteg a sta-

bilitas fenntartasa miatt az ellenkezo iranyba dol, nagyobb meredekseggel, ahogyan

a 2.2.2. abran lathato.

Amikor a szel elall, megszunik a stabil egyensulyi helyzet, es a ket hatarfelulet

igyekszik visszaallni az eredeti, vızszintes egyensulyi allapotaba. Azon, a tehetet-

lenseguk miatt tullendulnek, es felszıni, illetve belso allohullamok alakulnak ki. Ez

a jelenseg felszıni, illetve belso tolengeskent ismert.

Hogy milyen allohullam alakul ki, az a medencegeometriatol fugg. Tavak esete-

ben, kozelıtoleg sima aljzat mellett, a to partja az egyenletekre nezve zart perem-

felteteleket jelent, mivel a to nem lephet ki szamottevoen a medrebol, es ıgy a

vızszintes sebessegnek a peremen el kell tunnie. Tehat zart peremfeltetelek mellett

a 2.2.3. abran lathato modon, olyan n hullammodusok valasztodnak ki, melyekre

9

2.2.2. abra. A szelnyıras altal fenntartott egyensulyi helyzet egy ketretegufolyadekban

igaz, hogy a medence L hossza a λ hullamhossz felenek egesz szamu tobbszorose.

L =nλ

2n = 1, 2, 3... (2.2.10)

A hullamok elmeletebol tudjuk, hogy a frekvencia, zart peremfeltetelek mellet:

ω = cik, ahol ci, i = 0, 1, rendre a (2.2.7) felszıni, illetve a (2.2.8) belso hullamok ter-

jedesi sebessege es k a hullamszam. Tovabba a periodusido: T (i) = λci

. Felhasznalva

a (2.2.10) osszefuggest, a zart medenceben kialakulo allohullamok periodusideje:

T (i)n =

2L

nci, (2.2.11)

ahol L a medence hosszat, n = 1, 2, 3... a modus sorszamat fejezi ki. A ci a terjedesi

sebesseget es az i = 0, 1 index rendre a felszıni (2.2.7), vagy belso (2.2.8) hullamokat

jelzi.

2.2.3. Az aljazati akadalyok szerepe

Eddigi meggondolasaink soran felteteleztuk, hogy a medence alja kozelıtoleg sima, de

sok esetben ez nem teljesul. Az aljazati akadalyok jelenleteben folytatott vizsgalatok

10

2.2.3. abra. Felszıni allohullamok modusai zart, fuggoleges falak esteben. A a duz-zadohelyeket, N pedig a csomopontokat jeloli. A vızszintes nyilak a vızaramlashelyi iranyat mutatjak, mıg a fuggoleges nyilak a vızfelszın helyi mozgasiranyat, afolytonos vonalnak megfelelo esetben. (a) Az alapharmonikus (n = 1) (b) az elsofelharmonikus (n = 2) (c) a masodik felharmonikus (n = 3)

soran szamos erdekes, uj jelensegekkel talalkozunk.

A Karman Laboratoriumban mar korabban vegeztek kıserleteket a belso hullamok

egy aljazati kuszob jelenleteben valo viselkedesenek tanulmanyozasara. A meresek

elvegzesehez egy teglalap keresztmetszetu kad aljan egy, a kad magassaganak feleig

ero muanyag lapot rogzıtettek, mint akadalyt. Ezutan a lap ket oldalara azonos

surusegu, kekre szınezett sos vizet toltottek. Ezt kovetoen az akadaly fole egy

ujabb, kihuzhato muanyaglapot helyezve, es ezaltal a teljes kadat ket reszre os-

ztva, a sos vızre lassan raretegeztek kisebb sokoncentracioju csapvizet, ugy hogy a

kad ket feleben minimalis folyadekmagassag-kulonbseg legyen.

A felso elvalaszto muanyaglapot kirantva, az elozetes vızszint-kulonbseg miatt

a folyadek lengesbe jon. A ket reteg egyuttesen lengene, azonban megfigyelheto,

hogy a belso aramlas periodikusan jobb, majd bal iranybol atbukik az akadalyon

(lasd 2.2.4. abra), es ıgy eroteljes hullamzast kelt a reteghataron. Tehat a kıserlet

11

mutatja, hogy a felszın csekely lengese egy aljzati akadaly reven jelentos nagysagu

belso hullamzast kelt [8].

2.2.4. abra. A kad kozepen keszult felvetel 4 masodperces idokozokkel egymastkoveto negy kepkockaja. A nyilak a kicsiny felszıni tolenges kovetkezteben bein-dulo belso aramlas aktualis iranyat jelolik.

Erre az elrendezesre kituno termeszeti pelda a svedorszagi Gullmar-fjord. Ott,

az olvado gleccser edes vize lassan raretegzodik a tenger sos vizere, kozel keveredes

nelkul. Az arapaly hatasara tolengesek keletkeznek, amelyek tanulmanyozasaval a

sved Anders Stigebrandt foglalkozott [6]. A 30 km hosszu es 2 km szelessegu fjord

tenger feloli vegen egy olyan kuszob talalhato, melynek magassaga jo kozelıtessel

megegyezik reteghatar szintjevel, ahogyan azt a 2.2.5. abra vazolja.

2.2.5. abra. A Gullmar-fjord sematikus rajza, (forras: [6])

2.2.4. Belso hullamok ket akadaly eseten, rezonancia

Erdekes ezutan megvizsgalni, hogy ket aljzati akadaly eseten mi tortenik. Elmeleti

meggondolasok alapjan a ket akadaly kozott is allohullamok alakulnak ki, tehat a

12

belso tolenges jelensege megfigyelheto. Egy akadaly eseten tapasztaltuk, hogy az

aljzati kuszob jelenlete a hullamzast gerjeszti. Tehat az akadalyok kozotti belso

tolenges varhatoan gerjesztodik es a felszın hullamzasaval rezonal.

A rezonancia fugg a felszıni tolenges hullamhosszat meghatarozo L vertikalis

kadkiterjedestol, a mindket lenges szempontbol fontos H = H1 +H2 teljes vızmely-

segtol, ahol H1,2 rendre a folso, illetve az also reteg magassagat jelenti, es a retegek

kozotti ∆ρ surusegkulonbsegtol. Az elrendezest a 2.2.6. abra mutatja.

2.2.6. abra. Belso allohullam kialakulasa a felszın alapmodusu lengese eseten

A rezonancia feltetele az, hogy az ω frekvenciaju kulso tolenges gerjeszti a belsot,

azaz a ket periodusido azonos. Tehat ha a kulso tolenges az m-edik modus, a belso

pedig az n-edik, akkor T(0)m = T

(1)n , azaz:

λ(0)m

c0

=λ

(1)n

c1

, m, n = 1, 2, 3 . . . . (2.2.12)

A 0, 1 felso indexek a felszıni, illetve a belso hullamhoz tartoznak.

Mivel a peremfeltetelek zartak, a λ(0)m hullamhossz a mar korabban emlıtett

modon a fel medence m-szerese, tehat a felszıni hullamzas eseten λ(0)m = 2L/m.

Keressuk azokat az l akadalytavolsagokat, amelyekre rezonanciat varhatunk. Ezek

ıgy szamolhatok:

l = Ln

m

c1

c0

. (2.2.13)

13

A (2.2.7), (2.2.8) egyenletek felhasznalasaval ırhato:

l = Ln

m

√g′H1H2

H

gH= L

n

m

√∆ρ

ρ0

H1H2

H2. (2.2.14)

Latszik, hogy a gravitacios gyorsulas kiesik es csak a ∆ρ/ρ0 normalt surusegkulonbseg

befolyasolja a rezonanciahoz tartozo akadalytavolsagokat. A legnagyobb rezonan-

ciat annal a gattavolsagnal varjuk, ahol a ket allohullam alapmodusa rezonal, tehat

m,n = 1 eseten:

l = L

√∆ρ

ρ0

H1H2

H2. (2.2.15)

A belso hullamzas felharmonikusainak megfelelo rezonanciahosszak ennek egesz

szamu tobbszorosei. Numerikus es kıserleti vizsgaltaink soran a rezonanciakhoz

tartozo gattavolsagokat kerestuk, es ellenoriztuk az eredmenyek es a fenti elmeleti

meggondolasok osszeferhetoseget.

2.2.5. Folytonosan retegzett kozegek, Boussinesq-kozelıtes

A sekelyfolyadek-modellben megismerkedtunk a belso hullamokat jellemzo ossze-

fuggesekkel. A termeszetben gyakrabban elofordulo folytonosan retegzett kozeget

ertelmezhetjuk ugy, mint tobb, egymas folott elhelyezkedo keskeny reteg osszesseget.

A tapasztalatok szerint a termeszetben elofordulo folytonosan retegzett kozegek-

ben a surusegingadozas csekely, ezert erdemes az elmeletben a teljes suruseget egy

helytol es idotol fuggetlen, azaz konstans, referenciasuruseg korul sorba fejteni. Az

egyenletekben a suruseget csak vezeto rendben vesszuk figyelembe. Ez a Boussinesq-

kozelıtes, amelynek kereteben a teljes suruseg tehat ıgy fejezheto ki:

ρ(r, t) = ρ0 + ρ′(r, t), |ρ′(r, t)| � ρ0. (2.2.16)

A ρ′(r, t) jelenti a surusegnek a referenciatol valo eltereset, amely fugg a helytol

es az idotol is. Latszik, hogy a kozelıtes egyszerusıti a folytonosan retegzett kozeg

targyalasat.

Ebben a kozelıtesben a (2.1.3) anyagmegmaradas a kovetkezokepen kezelendo:

dρ

dt+ ρdivv =

dρ′

dt+ ρ0divv + ρ′divv = 0. (2.2.17)

14

Az elozo felteteleket figyelembe veve a ρ′-t tartalmazo tagok a mennyiseg ρ0-hoz

viszonyıtott kicsinysege miatt elhanyagolhatok, es ıgy az anyagmegmaradasbol to-

vabbra is a kovetkezo feltetelt kapjuk:

divv = 0. (2.2.18)

Tehat az aramlas divergenciamentessege a kis surusegingadozas ellenere is meg-

marad. Raadasul a (2.2.17) kepletbol szarmaztathato, hogy dρ′/dt kicsi a divv

tagokhoz kepest, ıgy nagylepteku folyamatokban igaz, hogy:

dρ′

dt= 0. (2.2.19)

Ebben a kozelıtesben a mozgasegyenlet minden tagjaban, amelyben a teljes ρ suruseg

szerepel, azt a (2.2.16) ertelmeben a ρ0 referencia-suruseggel helyettesıthetjuk. A

fuggoleges iranyu sebesseg egyenleteben ez a kozelıtes azonban nem jogos, ugyanis

az egyenletben szereplo felhajtoero erzekenyen fugg a suruseggradienstol. Ezert

erdemes a teljes nyomasbol levalasztani a referenciasuruseggel kapcsolatos reszt:

p(r, t) = p0(z) + p′(r, t); p0(z) = p0 − ρ0gz, (2.2.20)

ahol p0 a hidrosztatikai nyomas. A Navier–Stokes-egyenlet ismert formajaban, a

viszkozitasi tag figyelembevetelevel:

ρdv

dt= −gradp+ ρg + µ4v, (2.2.21)

ahol µ a dinamikai viszkozitas. A (gradp) tagban a (2.2.20)-ban felırt egyenletet

behelyettesıtve lathato, hogy ervenyes:

− gradp+ ρg = −gradp′ + ρ0g + ρg = −gradp′ − ρ′g. (2.2.22)

Tehat a Boussinesq-kozelıtesben a Navier–Stokes-egyenlet a kovetkezo formaban sze-

repel:dv

dt= − 1

ρ0

gradp′ + gρ′

ρ0

+ ν4v, (2.2.23)

ahol ν = µ/ρ0 kinematikai viszkozitas es latjuk, hogy megjelenik a g′ = g (ρ′/ρ0)

redukalt gyorsulas.

15

Numerikus szimulacioinkban a (2.2.18), (2.2.19) es (2.2.23) altal meghatarozott

Boussinesq-kozelıtest alkalmaztuk.

2.3. Numerikus modszerek

A 2.2.3. fejezetben vazolt belso es kulso allohullamok rezonanciajelenseget a 2.2.5.

fejezetben leırt kozelıtesben fogjuk vizsgalni. Az ehhez tartozo parcialis differen-

cialegyenleteket egy numerikus algoritmus segıtsegevel oldjuk meg. A kornyezeti

jelensegek numerikus szimulalasanak ereje abban rejlik, hogy egy mukodo algo-

ritmusnak egyszeruen valtoztathatok a parameterei, es ıgy ugyanazt a jelenseget

konnyen kulonbozo kornyezeti feltetelek mellett tudjuk vizsgalni. Programunkat

Jochen Kampf szabad hozzaferesu Advanced Ocean Modelling [3] c. konyvehez tar-

tozo programcsomag modszerei es algoritmusai hasznalataval epıtettuk fel.

2.3.1. A numerikus algoritmus alapjai

A feladat numerikus megoldasahoz az aramlast egy ketdimenzios elrendezesben

vizsgaljuk, ahol a vızszintes tengely az x es z a fuggoleges. Ebben a rendszerben az

elozoekben targyalt mozgasegyenletek a kovetkezokepen ırhatok:

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ w

∂u

∂z= − 1

ρ0

∂P

∂x+ ν

(∂2u

∂x2+∂2u

∂z2

), (2.3.1)

∂w

∂t+ u

∂w

∂x+ w

∂w

∂z= − 1

ρ0

∂P

∂z− ρ′

ρ0

g + ν

(∂2w

∂x2+∂2w

∂z2

), (2.3.2)

∂ρ′

∂t+ u

∂ρ′

∂x+ w

∂ρ′

∂z= 0, (2.3.3)

∂u

∂x+∂w

∂z= 0. (2.3.4)

Az u,w rendre a sebesseg vızszintes, illetve fuggoleges komponenset, ν a pedig di-

namikai viszkozitas erteket jeloli. Ezen egyenletek megoldashoz a program felracsoz-

za a vizsgalt tartomanyt egyenletes nagysagu, (∆x ·∆z) cellakkal. Egy cella helyet

a racson belul a (k, i) szamok jellemzik, ahol k, az x tengelyen balrol jobbra haladva

no, es az i a z tengelyen fentrol lefele haladva a negatıv iranyba novekszik. Ezek

szerint egy 2h0 melysegu kad aljat a (k, nz), k = 0, 1, 2, ...nx koordinatak jellemzik.

Emellett az itt hasznalt koordinatarendszer reszben eltero ez eddigiekben hasz-

nalttol, amelyben a kad tetejet 2h0-val jeloltuk. A 2.3.1. abra mutatja az eddigiekben

16

es az ezentul hasznalt koordinatarendszert.

2.3.1. abra. (a) Az eddigiekben hasznalt koordinatarendszer, amelyben a magassagota kad aljatol mertuk folfele (b) A numerikaban hasznalt koordinatarendszer, amelyika kad tetejet veszi nulla szintnek es onnan lefele meri a magassagot

A (k, i) = (nx, nz) a kad jobb also sarkaban levo utolso kocka parameterei, tehat

ezekbol a koordinatakbol leolvashato, hogy horizontalis, illetve vertikalis iranyban

hany kockabol all a racs, azaz mennyi a racsfelbontas. Igy a teljes kadmeret a

kovetkezokepen szamolhato:

(nx∆x) · (nz∆z). (2.3.5)

Szamolaskor, a racson vegig futva, a nyomast es suruseget (illetve mas skalar erteket)

az u es w sebesseg racspontjai kozotti pontokban olvassuk le. Ezt az elrendezest

hıvjak Arakawa C-racsnak, amelynek sematikus rajza lathato a 2.3.2. abran.

A parcialis differencialegyenletek megoldashoz a program olyan modszert hasznal,

amely iteratıv modon hatarozza meg az egy cellahoz tartozo sebessegkomponense-

ket az elozo cellaban kapott nyomasertekbol. Az ıgy kapott elso becslest az algo-

ritmus tovabb korrigalja ugy, hogy eleget tegyen a (2.3.4) kontinuitasi feltetelnek,

majd ezzel konzisztensen a nyomas erteket is korrigalja. Az iteraciok szamat a

programban egy ε parameter szabja meg, amely egy hatarerteket ad a sebesseg di-

vergenciajanak pontossagara. Ez a modszer Successive Over Relaxation-kent (SOR)

ismert az irodalomban [3].

A numerikus vizsgalatainkban egy tovabbi fontos feladat a numerika stabilitasa-

nak beallıtasa. Ehhez a szimulacio ido- es helyskalajanak osszehangolasa szukseges.

A feltetel erre, hogy a jelenseg fizikai v sebesseg mellett: ∆t � ∆xv

, ha ugyanis az

aramlas gyorsabban teszi meg a ∆x racstavolsagot a ∆t numerikus idointervallumnal,

akkor ez numerikus instabilitast okoz es a program nem fut le.

17

2.3.2. abra. Arakawa C-racs ketdimenzios modellekre. A kereszt jeloli a P nyomast,a csillag az u vızszintes iranyu sebesseget, es a szivescske a w fuggoleges sebesseget

Ha a Navier–Stokes-egyenletben csak a viszkozitasi tagot vizsgaljuk, akkor a

kovetkezo nagysagrendi becslest adhatjuk a viszkozitasi tagra: v/T ∼ (νv)/x2. Ezt

atrendezve az idore: T ∼ x2/ν. Az a jo idolepes-valasztas, amelyik sokkal kisebb

mint T , a jelenseg karakterisztikus ideje, azaz ∆t � T Ebbol egy viszkozitastol

fuggo stabilitasi feltetelt kapunk, es mivel ket dimenzioban dolgozunk, a kriterium

ıgy fogalmazhato meg [3]:

∆t� min

{∆x2

ν,∆z2

ν

}. (2.3.6)

A viszkozitas stabilizalja a numerikat. Ezt tapasztaltuk is a program keszıtese

kozben.

3. Sajat eredmenyek

3.1. A numerika kalibralasa

A numerikus szamıtasaink soran az emlıtett konyv egy szubrutinjat modosıtottuk.

Ez az alprogram az aramlasi teret a (2.3.1–2.3.4) egyenletek alapjan, az SOR iteracios

modszerrel az Arakawa – C racson oldja meg. Ahhoz, hogy a felhasznalt program a

18

celjainknak megfeleloen mukodjon, eloszor kalibralni kellett a kovetkezo numerikus

parameterek beallıtasaval:

• az egyes racs cellak nagysaga (dx · dz),

• a kad merete: (nz · dz)(nx · dx),

• a numerikus idolepes: dt (a (2.3.6) stabilitasi kriterium figyelembevetelevel),

• a felszıni gerjeszto tolenges amplitudoja, A,

• a fuggoleges surusegprofil.

A szimulacioban hasznalt kad mereteit ugy valasztottuk, hogy eredmenyeink

a Karman Laboratoriumban rendelkezesre allo berendezessel elvegzett kıserlettel

osszehasonıthatok legyenek. A kesobb bemutatando megfontolasok alapjan az alabbi

parameterertekeket valasztottuk:

dx = 0, 0128 m (3.1.1)

dz = 0, 0064 m (3.1.2)

nx = 201 (3.1.3)

nz = 26. (3.1.4)

Tehat a kadban a vız magassaga H = nz · dz = 16, 64 cm, a kad hossza pedig L =

nx · dx = 2, 57 m. Ezen parameterek beallıtasa egy hosszabb folyamat volt, mivel a

numerikus stabilitas es az egyenletek megoldasa kozben fellepo hiba nagy mertekben

fugg az egyes ertekektol. A 3.1.1. fejezetben, tobbfele racsbeallıtas vizsgalatan

keresztul, mutatjuk be a modszert, amely ezen parameterertekek valasztasat ered-

menyezte.

A kinematikai viszkozitas erteke vızre igen csekely: ν = 10−6 m2

s2, de figyelembe-

vetele megis lenyeges, mert javıtja a numerikus stabilitast. A (2.3.6) osszefuggessel

osszhangban van a

dt = 0, 01 s (3.1.5)

idolepes-valasztas.

A jelenseg hajtoereje, az elobbi fejezetekben targyaltaknak megfeleloen, a felszıni

tolenges. Ennek erosseget az a felszıni nyomasgradiens jellemzi, ami kifejezheto a

19

felszın η(x, t) ingadozasanak gradiensevel:

a = −g ∂η∂x, (3.1.6)

ahol g a gravitacios gyorsulas.

A felszın t = 0 idopillanati η(x, 0) alakjat ugy allıtottuk be, hogy a medence

egyik oldalan maximalis, a masik oldalan minimalis legyen a vızszint, mikozben a

peremeken a hullamnak duzzadohelye van.

A szimulaciok soran a felszıni tolenges elso modusat hasznaltuk, tehat a vızfelszın

ugy mozog, hogy a keletkezo allohullamnak egy csomopontja van, a kad kozepen.

Ezen feltetelek alapjan a felszıni tolenges ıgy ırhato le:

η(x, t) = A cos(

2π · xL

)cos

(2π

t

T 10

), (3.1.7)

ahol a kiteres amplitudoja A, es mivel az alapmodust hasznaljuk, a (2.2.11) ossze-

fugges szerint a lenges periodusideje:

T 10 =

2L√gH

=2(nx · dx)√g(nz · dz)

= 3, 9 s. (3.1.8)

Ezt tekintjuk a jelenseg karakterisztikus idejenek.

A hullam amplitudojat szinten a laboratoriumban beallıtott erteknek megfeleloen

valasztottuk:

A = 0, 005 m. (3.1.9)

A (3.1.6) szerint a gyorsulast a felszıningadozas gradiense adja meg:

a = −g2π

LA sin

(2π · x

L

)cos

(2π

t

T 10

). (3.1.10)

A Boussinesq-kozelites referenciasurusege:

ρ0 = 1000kg

m3, (3.1.11)

a vız surusege 4◦C -on es 1 atm nyomason.

20

Azt a surusegeloszlast, melyet eloszor vizsgaltunk a 3.1.1. abra mutatja a melyseg

fuggvenyeben, es a (2.3.1) ertelmeben ıgy parametrizalhato:

ρ(z) = ρ0 +∆ρ

2

(1 + tanh

(z − h0

∆h

)), (3.1.12)

ahol a h0 = 8, 6 cm a fuggveny inflexios pontja, ahol a suruseg ρ(8, 6 cm) = 1012, 5 kgm3

es ∆h = 1, 3 cm az atmeneti reteg vastagsaganak fele. A kad alja es teteje kozotti

teljes surusegkulonbseg:

∆ρ = 25kg

m3. (3.1.13)

A 2.3.1. abranak megfeleloen a (3.1.12) osszefuggesben a z = 0 a kad tetejet jelenti.

A ket akadaly kozel 8 cm magas, tehat az elozoekkel osszhangban a kad feleig er fol.

1000

1005

1010

1015

1020

1025

0 2 4 6 8 10 12 14 16

ρ [k

g/m

3 ]

z [cm]

3.1.1. abra. A (3.1.12) -nek megfelelo ρ suruseg a z melyseg fuggvenyeben.

Ezen beallıtasok mellett a gatak tavolsagat valtoztatva futtattunk tobb szimula-

ciot, es jellemeztuk a belso hullammozgast, vizsgalva, hogy a vart rezonancia meg-

figyelheto-e.

3.1.1. Hibaszamolas

Ahhoz, hogy meggyozodjunk a szimulacio numerikus pontossagarol, a futtatas koz-

ben keletkezett hibat vizsgaltuk. A hibat egy olyan algoritmuson keresztul szamoltuk,

amely minden cellaban meghatarozta a teljes sebessegerteknek a divergenciajat, ıgy

vizsgalva, hogy a (2.3.4) altal megszabott feltetel mennyire teljesul. Ez a numerikus

hibak szempontjabol kulcsfontossagu, mivel a cellabeli parameterek es sebessegek

21

az iteracio soran a fent emlıtett feltetelhez lesznek kalibralva. A δcella dimenziotlan

divergenciat az egyes cellakban kiszamolo algoritmus a kovetkezo osszefuggest tar-

talmazza:

δcella = T 10

(∆u

dx+

∆w

dz

), (3.1.14)

ahol ∆u a vızszintes es ∆w a fuggoleges sebesseg komponens ket szomszedos racscella

kozti valtozasa. A sebesseg divergenciajat itt beszoroztuk a jelenseget meghatarozo

karakterisztikus idovel, azaz a felszıni tolenges periodusidejevel. Igy erjuk el, hogy

a hiba egy dimenziotlan mennyisegen keresztul legyen merheto.

A (3.1.14) osszefugges szerint tehat a racs minden cellajaban egy dimenziotlan

szamerteket kapunk, amelyeket a program egy adatfajlba ır ki. Ezekbol egy olyan

adatsort keszıtettunk, melyben minden racsoszlopban szereplo legmagasabb hibaer-

teket ırattuk ki, amelyek kozul a legnagyobbat kivalasztottuk. Igy minden futtatast

a legrosszabb divergencia ertekkel jellemeztuk.

Eloszor azt figyeltuk meg, hogy az altalunk valtoztatni kıvant parameterek,

hogyan befolyasoljak a hibaertekeket. Ehhez egy adott kadban valtozo racsfel-

bontasban vizsgaltuk a dt idolepes fuggvenyeben a maximalis divergenciat. Az

eredmenyt a 3.1.2. abra mutatja. Latjuk tehat, hogy nagyobb felbontas eseten a

hiba lenyegesen megno.

A kovetkezokben megvizsgaltuk, hogyan viselkedik a hibaertek, amikor kulon-

kulon csak a racscellak szamat, illetve csak az egyes cellak nagysagat valtoztattuk,

allando idolepes mellett, vagyis amikor a kad meretet is valtoztattuk. Amikor a

racscellak szamat noveltuk vagy csokkentettuk, az allando cellameret dx = 0, 0064

m, dz = 0, 0064 m es az allando idolepes dt = 0, 01 s volt. A 3.1.3. abra mutatja a

cellaszam fuggvenyeben a legnagyobb divergencia erteket.

Lathato, hogy a divergencia nem csak attol fugg, hogy milyen finom a racsfelbon-

tas, hanem attol is, hogy a racs vızszintes iranyaban azonos szamu cella van-e mint a

fuggoleges iranyaban. Kovetkezokben a racscellak szamat (nx = 101 , nz = 101) es

az idolepest (dt = 0, 01 s) valtozatlanul hagytuk, majd a cellanagysagot valtoztattuk

es ennek fuggvenyeben abrazoltuk a divergenciaerteket. Az eredmenyt a 3.1.4. abra

mutatja. Teglalap alaku racscellak eseten, amikor az oldalak aranya kozel van

az 1 : 1-hez, a divergencia minimalis. Azt tapasztaltuk, hogy a cellak mertenek

valtoztatasara sokkal erzekenyebb a numerika, mint a cellaszam valtoztatasara.

Mivel numerikus vizsgaltainkat a laboratoriumi berendezeshez szeretnenk kalib-

22

0.00000

0.00001

0.00001

0.00002

0.00002

0.00003

0.00003

0.00004

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

δ cel

la

dt [s]

201:101/5:2.5101:51/2.5:1

51:26/10:4

3.1.2. abra. A legnagyobb hibaertekek az idolepes fuggvenyeben, kulonbozoracsfelbontasok eseten. A kek pontok az nx = 51, nz = 26, dx = 10 m, dz = 4 m,a fekete nx = 101, nz = 51, dx = 5 m, dz = 2 m es a pirosak az nx = 201, nz =101dx = 2, 5 m, dz = 1 m felbontast jelolik (az abran a jelmagyarazat a nx : nz/dx :dz aranyokra vonatkozik)

0

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.001

0.0012

0.0014

0.0016

0.0018

401:26 201:26 101:101

δ cel

la

nx:nz

3.1.3. abra. A legnagyobb dimenziotlan divergencia a cellak szama fuggvenyeben,mikozben egy cella nagysaga dx = 0, 0064 m, dz = 0, 0064 m es az idolepes dt =0, 01s allando

23

0

5e-005

0.0001

0.00015

0.0002

0.00025

0.0003

0.00035

0.0004

0.00045

0.0064:0.0064 0.0128:0.0064 0.0064:0.0032 0.0032:0.0032

δ cel

la

dx:dz

3.1.4. abra. A legnagyobb divergencia a cellaarany fuggvenyeben, mikozben a cellakszama nx = 101, nz = 101 es az idolepes dt = 0, 01 s allando

ralni, ahol a kad ket iranyu kiterjedese kozott egy nagysagrendi kulonbseg van,

a szimulacioban hasznalt kad sem lehet negyzetes keresztmetszetu, ami a hibak

ertekere nezve a legelonyosebb lenne, hanem kompromisszumkent el kell fogadnunk

egy csekely hibaerteket. Igy a dx : dz es nx : nz aranyok kozul azokat valasztottuk,

amelyek beallıtasainknak megfelelnek, es emellett a hiba erteke a leheto legkisebb.

Ez tehat egyertelmuen meghatarozta azt a felbontast, aminek alapjan olyan meretu

kadat szimulalunk, ami tenylegesen talalhato a laboratoriumban. Igy dontottunk

a (3.1.1– 3.1.4) beallıtasok mellett.

Eddigi vizsgalataink soran a hiba erzekenyseget vizsgaltuk, bizonyos parameterek

valtoztatasa mellett. Az abran mindig a legmagasabb hibaerteket tuntettuk fel. A

hatart, amely alatt a hibaerteket elfogadhatonak tekintettuk, egy ezreleknek va-

lasztottuk, es altalaban a cellabeli hibak 10−4 nagysagrendbe esnek, ıgy tejesıtve a

feltetelt. Kivetelt csak azok a cellak kepeznek, amelyek kozvetlen a perem, illetve az

akadaly mellett talalhatok. Ott, a hibak elfogathatatlan nagy ertekeket veszek fol.

Ezektol a cellaktol a tovabbiakban eltekintunk, hiszen a programban nem foglalkoz-

tunk a peremek melletti hatarreteg mozgasaval, ıgy ezen racsnegyzetbeli ertekek

ugysem tukrozik helyesen a fizikai problemat.

A megfelelo cellak kihagyasaval a meghatarozott parameterhez azt az idolepest

24

kerestuk, aminel a hiba meg az altalunk megkıvant ezerlekes tartomanyba esik.

Ehhez a kad mereteit es a felszıni tolenges kezdeti amplitudojat valtozatlanul hagy-

va tobb futtatast vegeztunk, kulonbozo dt idolepesek mellett. Minden esetben az

adatfajlbol meghataroztuk a legnagyobb hibaerteket, es azokat az idolepes fuggve-

nyeben abrazolva (lasd 3.1.5. abra) valasztottuk a (3.1.5)-nek megfelelo erteknek.

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0.003

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05

δ cel

la

dt [s]

3.1.5. abra. A legnagyobb hibaertekek az idolepes fuggvenyeben a vegleges nx =201, nz = 26 dx = 0, 0128 m, dz = 0, 0064 m es dt = 0, 01 s parameter beallıtasokmellett. Az egyenes jelzi a hibaertek egy ezrelekes elfogadasi hatarat.

Latszik, hogy ilyen idolepes valasztas mellett a maximalis hiba meg nem eri el a

kiszabott ezrelekes korlatot es a numerika stabilitasat tekintve sem okoz gondot.

25

3.2. Numerikus eredmenyek

Az elore beallıtott felszıni tolenges altal ket aljazati akadaly kozott gerjesztett belso

hullamok vizsgalata soran nyert eredmenyeket fogjuk ebben a fejezetben bemutatni.

A jelenseg megfigyelesehez a futasok fizikai idejet 5 perc = 300 s-nak valasztottuk,

es a futtatasok kozott valtoztattuk a ket akadaly kozotti tavolsagot.

A kapott numerikus eredmenyek kiertekelesi folyamatat egy konkret peldan mu-

tatjuk be, amikor az akadalyok kozotti tavolsag l = 20 cm-nek felel meg. A 3.2.1.

kepen lathato a szimulacio egy pillanatkepe.

3.2.1. abra. Szimulacio t = 42 s -beli pillanatkepe. Az akadalyok tavolsaga l = 20cm, a skala mutatja a szınezesnek megfelelo surusegerteket [kg/m3]

3.2.1. A surusegprofil

A szınezes tukrozi a 3.1.1. abran a surusegeloszlast, tehat a voros szın az elrendezes

legsurubb reszet mutatja, a kek pedig a legkonnyebbet. Tovabba jol elkulonıthe-

to a gatak magassagahoz felero 1-2 centimeter vastagsagu tartomany, amelyben

a surusegertek hirtelen, kozel 2% -kal ugrik. Ha ketretegunek tekintjuk az elren-

dezest, akkor ezt a tartomanyt mondhatjuk a ket reteg kozotti hatarnak, amely a

gatak magassagaba esik. A belso allohullamok lengesenek jellemzesere a nyugal-

mi helyzethez kepesti kiterest abrazoljuk az ido fuggvenyeben. A szimulacioban a

surusegingadozast tudjuk merni, es a profilon keresztul ebbol szamolhato a keresett

kiteres. A kad felenek magassagat jeloli a h0, ami eppen a nyugalmi reteghatar

magassaga, es a mintavetelezes helye. A (3.1.12) osszefugges atrendezesevel megha-

26

tarozhato egy mert surusegertekhez tartozo magassagingadozas:

z − h0 = ∆h · arth

(2 · (ρ− ρ0)

∆ρ− 1

). (3.2.1)

A tovabbiakban atterunk egy olyan surusegprofilra, ahol az atmenti reteget

egy kicsit szelesebb tartomanyra kihuztuk, ıgy a valosagban tapasztalt folytonos

surusegprofilt jobban megkozelıtjuk, de megsem terunk el nagyon a ketretegu folyadek

kozelıtestol. Ezenkıvul a kiertekeles szempontjabol fontos, hogy a magassag es

a suruseg kozott egyertelmu megfeleltetes legyen, ezert nem szerencses peldaul a

ketretegu elrendezesnek a legjobban megfelelo, lepcsosfuggvenyes surusegprofilt hasz-

nalni.

Az atmenti reteg kiszelesedesehez a korabbi ∆h = 0, 64 cm helyett ∆h = 1, 9 cm-

t valasztottuk. A kulonbseg jol lathato a 3.2.2. abran.

1000

1005

1010

1015

1020

1025

0 2 4 6 8 10 12 14 16

ρ [k

g/m

3 ]

z [cm]

első sűrűségprofilmásodik sűrűségprofil

3.2.2. abra. A ket surusegprofil jellege. A masodik szelesebb atmeneti tartomanyu.

A profil tobbi jellemzoje nem valtozott. Az elkentebb surusegprofilhoz tartozo

szimulalt pillanatfelvetelt a 3.2.3. abra mutatja. A jelenseg ezen a kepen mar sza-

bad szemmel nem figyelheto meg, ezert a kovetkezokben inkabb a nyert szamszeru

eredmenyeket vizsgaljuk.

27

3.2.3. abra. A masodik surusegprofilhoz tartozo szimulacio t = 24 s-beli pillanatkepe,ismet l = 20 cm akadalytavolsagnal. A skala a surusegerteket jeloli.

3.2.2. Adatok gyujtese

A belso hullammozgast a lokalis surusegvaltozason keresztul merjuk. A program

rogzıti egy adatfajlban a cellabeli surusegertekeket a futtatas ideje alatt, amibol egy

C++-ban ırt programmal olyan adatsorokat tudunk gyartani, amik egy kivalasztott

cellabeli surusegingadozast az ido fuggvenyeben tartalmazzak. Mar lattuk, hogy a

surusegingadozas egy viszonylag egyszeru osszefuggessel atvalthato kiteresre.

Az altalunk vegzett numerikus kıserletben a kad egy valasztott pontjan a gatak

kozott, a bal oldalitol szamolva a masodik, a reteghatarban elhelyezkedo cellat

hasznaltunk meresi pontnak, aminek helyet a 3.2.4. abra mutatja. Valasztasunkat

a laboratoriumi meresek nagy mertekben befolyasoltak, hiszen a belso hullamzast

ott is a lokalis surusegingadozassal jellemezzuk es a kivaltozott cellank a kıserletben

hasznalt merofej mintavetelezesi helyenek felel meg.

A kivalasztott cellaban mert surusegingadozasokat a jobb szemlelhetoseg kedveert

a (3.2.1) osszefugges hasznalataval atvaltottuk kiteresertekekre, majd az ido fugg-

venyeben abrazoltuk, es ıgy a 3.2.5. abran lathato eredmenyhez jutottunk.

Az adatsorok kiertekelesenel varatlanul egy erdekes jelenseg lepett fel. A kiteres-

ido grafikonok keszıtesekor lattuk, hogy ha a szimulacio fizikai ideje elegendoen

hosszu, egy rovid lecsenges utan a belso hullamok ujbol gerjesztodnek, ahogyan

a 3.2.6. abran lathato.

Az effektus onnan ered, hogy a felszıni tolenges, melyet egy peremfeltetelkent

kezelunk, az eddig leırtak szerint nem csillapodik, ami ertelemszeruen nem felel meg

28

3.2.4. abra. A kereszt jeloli a mintavetelezeshez hasznalt cella helyet.

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0 50 100 150 200 250 300

z-h 0

[cm

]

t [s]

3.2.5. abra. A kiteres az ido fuggvenyeben l = 24 cm gattavolsag eseten

a fizikai valosagnak. Tehat a (3.1.7) felszıni hullamzast egy csillapodasi tenyezovel

kiegeszıtjuk.

ηcsill(x, t) = η(x, t) · e(−t/τ), (3.2.2)

ahol τ = 10 s, kıserleti tapasztalatok alapjan. Az ıgy kapott idosorok egy tipikus

29

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0 200 400 600 800 1000 1200

z-h 0

[cm

]

t [s]

3.2.6. abra. Csillapodas nelkuli adatsor abraja, l = 24 cm gattavolsag eseten. Ahullamzas eloszor csillapodni latszik, majd t = 450, 600, 800, 900, 1000 s-nal ujbolfelerosodik

peldaja l = 20 cm gattavolsag eseten a 3.2.7. abran lathato, ahol mar ujabb ger-

jesztesek nem figyelhetok meg.

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 50 100 150 200 250 300

(z-h

0)m

ax [

m]

t[s]

3.2.7. abra. A belso hatarreteg kiterese az ido fuggvenyeben. Az akadalyok tavolsagal= 20cm

30

Minden egyes gattavolsagra mert ido-kiteres adatsorokat jellemeztuk a maximalis

kitereshez tartozo (z − h0)max ertekkel, illetve az adatsor atlagos kiterese koruli

(z − h0)szor szorassal. A kiertekelest lenyegesen megkonnyıto XmGrace abrazolo-

program segıtsegevel meghataroztuk ezeket az ertekeket, peldaul a l = 20cm-es

gattavolsagnal:

(z − h0)max(l = 20 cm) = 0, 042 cm,

(z − h0)szor(l = 20 cm) = 0, 0008 cm.

A 3.2.8. abra mutatja a (z − h0)max pont helyet.

3.2.8. abra. Az abra mutatja a maximalis kiteresnek helyet

A gatak tavolsagat l = 5 es l = 60 cm kozott valtoztatva a programot tobb-

szor is lefuttattuk. A 3.2.9. abran lathatok az l = 13 cm-es es az l = 20 cm-es

gattavolsagokra mert idosorok.

Mar itt eszreveheto, hogy bizonyos gattavolsagok eseten a kiteresek lenyegesen

nagyobbak a tobbihez kepest az egesz idointervallum soran. Ennek szemleltetesehez

a 3.2.1. tablazatban feltuntettuk a kulonbozo gattavolsagok eseten mert maximalis

kiterest, illetve az adatsort jellemzo szorast. A 3.2.1. tablazatban szereplo adatokat

latjuk a 3.2.10., illetve a 3.2.11. abran.

31

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0 50 100 150 200 250 300

z-h 0

[cm

]

t [s]

20cm gáávolság13cm gáávolság

3.2.9. abra. A l = 13 cm l = 20 cm gattavolsagok esten kapott adatsorok

32

l [cm] (z − h0)max [cm] (z − h0)szor [cm]5 0,024 0,000710 0,086 0,02112 0,133 0,04413 0,11 0,02614 0,11 0,02616 0,068 0,014717 0,051 0,01220 0,042 0,000823 0,034 0,01227 0,049 0,01929 0,054 0,02030 0,06 0,02231 0,06 0,02233 0,055 0,0236 0,042 0,01539 0,033 0,0142 0,04 0,01445 0,042 0,01648 0,041 0,01550 0,055 0,01851 0,055 0,01852 0,042 0,01554 0,039 0,01657 0,037 0,01560 0,034 0,013

3.2.1. tablazat. A kulonbozo gattavolsagok kozott letrejovo allohullamok maximaliskiterese, illetve az atlagos kiteres szorasa

33

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 10 20 30 40 50 60

(z-h

0)m

ax [

cm]

l [cm]

3.2.10. abra. A belso hullamok lengesenek maximalis kiterese a gatak tavolsaganakfuggvenyeben

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0 10 20 30 40 50 60

(z-h

0)sz

or [

cm]

l [cm]

3.2.11. abra. A belso hullamok atlagos kiteresetol valo kozepes elteresi adatok agattavolsagok fuggvenyeben

34

A gorbe mutatja, hogy a felszıni es a belso hullamok kozott a feltetelezett rezo-

nancia tenyleg letrejon. Az alapmodushoz tartozo rezonanciacsucs az l = 13 cm-es

gattavolsaghoz kozel jon letre. Ezenkıvul nem csak az alapmodust latjuk, hanem

l = 30 cm-nel az elso, illetve l = 50 cm-nel a masodik felharmonikust is. A legna-

gyobb rezonanciahoz tartozo gattavolsag eseten keszult szimulacio egy pillanatkepe

lathato a 3.2.12. kepen.

3.2.12. abra. Az alapmodusu rezonanciahoz tartozo szimulacio egy pillanatkepe.Lathato a berajzolt vonalak segıtsegevel a ket akadaly kozotti eros megdoles. Agatak tavolsaga l = 13 cm.

3.2.3. Az eredmenyek es a linearis elmelet osszevetese

Az elmeleti meggondolasaink folyaman a (2.2.14) osszefugges alapjan hataroztuk

meg a rezonanciahoz szukseges gattavolsagot. Mivel esetunkben L = 2, 5 m a teljes

medence hossz, H = 16, 64 cm a teljes vızmelyseg, ∆ρ/ρ0 = 0, 025 es a ket reteg

azonos magassagunak tekintjuk, H1 = H2 = 8, 34 cm, a ket hullam elso modusai

kozotti legnagyobb rezonanciahoz tartozo gattavolsagot a (2.2.15) osszefugges ıgy

adja meg:

l = 2, 5 ·

√0, 025 · 8, 342

16, 642= 0, 198 m = 19, 8 cm (3.2.3)

A (2.2.14) szerint az elso (m = 1, n = 2), illetve a masodik (m = 1, n = 3) felhar-

monikushoz tartozo rezonanciacsucsot

l1felharmonikus = 39, 8cm,

l2felharmonikus = 59, 4cm

35

gattavolsagoknal talalnank. Ezeket az eredmenyeket szaggatott vonallal jeloltuk

a 3.2.13. abran. Ez az eredmeny lathatoan elter a szimulacioban mert l = 13

3.2.13. abra. A szimulacioban eredmenyezett rezonancia gorbe es az elmeletbolszamolt ertekek (szaggatott vonal)

cm rezonancia-gattavolsagtol. Ertheto is, hiszen a szamolasban hasznalt ketreteges

kozelıtes a 3.2.2. abran lathato surusegprofil ertelmeben nem alkalmazhato. Ha

a suruseget a szimulacioban nem a folyadek teteje es alja kozott merjuk, hanem

azt a ket hatart vizsgaljuk, amelyek kozott a suruseg hirtelen valtozik akkor a

kapott eredmeny jobban egyezik az elmelettel. Ez a meggondolas helyes, mivel

a suruseget ezen ket hatar kozott mertuk. A 3.2.2. abrat vizsgalva mondhato, hogy

7 cm es 9, 5cm kozott a suruseg 1020 kgm3 -tol 1007 kg

m3 -ig linearisan csokken, tehat

∆ρ/ρ0 = 0, 013. Ezt a tartomanyt a 3.2.14. kepen bejeloltuk es ennek bevezetesevel:

l = 2, 5 ·

√0, 013 · 8, 342

16, 642= 0, 142 m = 14, 2 cm (3.2.4)

A felharmonikusok az elmelet szerint ennek egesz szamu tobbszorosei, es ezzel mar

lenyegesen jobban osszeferheto a mert ertek. Az elmeleti ertekeket mutatja a 3.2.15.

abra.

36

3.2.14. abra. A linearis elmelet alkalmazasahoz felhasznalt surusegtartomany

3.2.15. abra. A mert rezonanciagorbe a berajzolt elmeleti ertekekkel. A narancs-sarga szaggatott vonal a ketretegu elrendezeshez tartozo elmeleti ertekeket, a lilaszaggatott vonal pedig az altalunk tett korrekciohoz tartozo ertekeket jeloli

3.3. Kıserleti eredmenyek

A Karman Laboratoriumban a szimulaciokkal parhuzamosan folyo kıserletekbe be-

kapcsolodva, a rendelkezesre allo berendezessel elvegeztuk a merest, hogy ıgy ossze-

vethessuk a szimulacioban nyert eredmenyekkel.

3.3.1. A meresi elrendezes

A Laboratoriumban rendelkezesre allo kad tobb 1, 125 m-es kis rekeszbol osszer-

akhato. A mi esetunkben ket reszt hasznaltunk, ami megfelel 2, 25 m-nek, de a

teljes kad megnagyobbıthato akar 9 m-re. Ezt a kadat feltoltottuk eloszor felig a

suru vızzel. Ehhez csapvızbe belekevertunk 1 kg konyhasot, es a latvany kedvert kek

festeket, ıgy a surubb folyadek jol elkulonıtheto. Ekkor a ket akadalybol az egyiket

a kad kozepetol jobbra korulbelul 5 cm tavolsagra elhelyeztuk es a meres folyaman

37

tobbet nem mozgattuk. Az akadaly egy kis plexi lapocska, amely H1 = 8 cm maga-

ssaga az also vızreteg szintjevel megegyezik. A lapocska harom szele korul van veve

gumi-szeru anyaggal, ami fokozza a lapnak a kad szelehez valo tapadasat.

Ezutan a surubb vızre finoman raretegeztunk ujbol csapvizet, ugy, hogy a kadba

folyo vizet egy szivacson at engedtuk, amely fekezte a vızsugarat es ıgy megelozte a

retegzes folyamat kozbeni keveredest. A folso reteg magassaga H2 = 7, 9 cm es ıgy

a teljes vızszintmagassag kezdetben H = 15, 9 cm. Miutan a kadat feltoltottuk, a

masik akadalyt is elhelyeztuk, olyan tavolsagba amely mellett szerettuk volna meg-

figyelni a jelenseget. Eloszor 10 cm-es, majd 13, 17, 20, 23, 27, 30 cm-es tavolsagokar

allıtottunk be. A berendezes lehetove teszi, hogy a medence kozepen folulrol konnyen

becsusztathato legyen egy plexilap, amely a kadat hossziranyba ket fele osztja, es

az akadalyokat is elkulonıti egymastol. A meresi elrendezest a 3.3.1. abra mutatja.

3.3.1. abra. A meromuszer blokkvazlata

3.3.2. Az adatgyujtes

A hullammozgast a kıserletben, epp ugy mint a szimulaciokban, a suruseghatar

lokalis ingadozasan keresztul merhetjuk, kihasznalva, hogy a sosabb vıznek az ionos

vezetokepessege nagyobb mint a kevesbe surubb retege. Tehat ha elektrodakat

helyezzunk el a folyadekban, akkor a vezetokepessegnek megfelelo feszultseg ke-

letkezik az anod es a katod kozott. Ha a suruseg, es ezzel egyutt a vezetokepesseg,

ingadozik akkor ertelemszeruen a feszultsegertek is valtozik. Ezen mennyisegek

osszefuggesen alapszik a meroberendezes es a kıserlet szamszerusıtesenek folyamata.

A meroberendezes ugy van kalibralva, hogy szobahomersekletu levegoben −5 V -ot

mutat. Ezenkıvul miutan az also vızretegbe kevertuk a konyhasot, megmertuk an-

38

nak suruseget, ami most ρ + ∆ρ = 1023 kgm3 -nek adodott. Igy a feszultseg a suruseg

egyertelmu fuggvenye es ennek tudataban a tovabbiakban csak a mert feszultseger-

tekeket hasznaljuk.

A kıserlet elvegzeshez egy ilyen mero muszert hasznaltunk, amely az oldatok

vezetokepessegenek nagy idobeli felbontasu meresen alapszik, blokkvazlatat a 3.3.2.

abra mutatja. A merofejen1 kialakulo jel felerosıtve egy NI-DAQ-USB-6009 tıpusu

AD-konverterhez jut, amely digitalizalja a jelet, amely ıgy egy USB-porton keresztul

eljut egy szamıtogepbe.

A szamıtogepen a National Instruments LabView Signal Express szoftver tet-

szoleges idotartamon keresztul, elore beallıtott 10Hz-es mintavetelezesi frekvenciaval

rogzıti az adatokat egy manualisan beallıthato idotartomanyon.

3.3.2. abra. A meromuszer blokkvazlata

3.3.3. A feszultsegprofil

Vegso eredmenykent a belso hullamok kiteresenek idobeli viselkedeset szeretnenk

vizsgalni. Ehhez arra volt szukseg, hogy a meres kezdeten keszıtsuk egy feszultseg-

profilt ami osszefuggest add a mert feszultsegertek es a magassag kozott. Felvetelehez

a merofejet a kad aljatol a tejeig mozgattuk es korulbelul 1 cm-es lepeskozonkent a

programmal rogzıtettunk egy feszultsegerteket. Az ıgy felvett profilt a 3.3.3. abra

1PME MicroScale Conductivity Temperature Instrument - Model 125 MSCTI SN 167 – SEN-SOR 5202-273

39

mutatja. Az abran lathato, hogy egy negyedfoku polinom tokeletesen illeszkedik a

pontokra, es hogy a feszultseg egy eleg szeles magassagtartomanyban - 3 es 9 cm

kozott – linearis. A meresi pontokra negyedfoku polinomot illesztve az osszefugges a

0

2

4

6

8

10

12

14

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

h [

cm]

U [V]

3.3.3. abra. A kıserlet elvegzese elott felvett feszultsegprofil es a pontokra illesztettnegyedfoku polinom

feszultseg es a magassag kozott nagy pontossaggal letesıtheto. A kıserlet vegzesekor

az a szokatlan lehetosegunk nyılt, hogy a kad feltoltese es a meres elvegzese kozott 12

orat varjunk. Ez azert elonyos, mert a retegzodes idovel stabilizalodik, es a kıserelt

vegzese kozben elkerulhetetlen keveredesek (peldaul az akadalyok mozgatas kozben)

utan csekely hibaval visszaall az egyensuly. A 3.3.4. abra mutatja a kıserlet elott es

utan felvett feszultsegprofilt. Latszik, hogy a profil tenyleg alig mosodott el.

3.3.4. A kıserlet elvegzese

Az akar 1 orat is igenybe vevo kadfeltoltesi folyamat utan az akadalyok tavolsagat

beallıtva a kadat elfelezo plexilapot csusztattuk be a neki megfelelo helyre. Ezutan

a kad jobb feleben 5 mm-el megemeltuk a vızszintet, ıgy tehat magassagkulonbseg

lett a kad ket resze kozott. Ilyenkor a szamıtogepen elindıtottuk az adatrogzıtest,

majd kirantottuk a koztes plexilapot, es ıgy a magassagkulonbseg miatt egy felszıni

tolenges alakult ki. Ez befolyasolja a mar ismert modon a belso reteghatar mozgasat,

amit a merofej segıtsegevel vizsgaltunk. A kıserlet kozeben keszult pillanatfelvetelt

40

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-4 -2 0 2 4

h [

cm]

U [V]

3.3.4. abra. A kıserlet elott es utan felvett feszultsegprofil. A piros vonal a kıserletelvegzese elott, a fekete vonal a kıserlet elvegzese utan keszult feszultsegprofil

a 3.3.5. kep mutatja. Az adatrogzıtest korulbelul 2 perc elteltevel leallıtottuk.

3.3.5. abra. A kıserlet vegzese kozeben, a plexilap kihuzasa utan keszult egymastkoveto pillanat felvetelek, amikor l = 27 cm volt a gatak tavolsaga. Az akadalyokkozott lathato a kezdetben nagy amplitudoju hullamzas, majd a vegen a csillapodottallapot

41

Kezdetekben a plexilapot kezzel huztuk ki, de miutan ugyanazt a merest elvegez-

tuk ketszer egymasutan, azzal a kulonbseggel, hogy valtoztattuk a lap kirantasanak

modjat, lattuk, hogy ez nagy mertekben befolyasolja az eredmenyt. A 3.3.6. abra

mutatja az egymasutan ketszer azonos beallıtasok mellett elvegzett merest. A je-

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 10 20 30 40 50 60

U [

V]

t [s]

gyorsabb inditáslasabb inditás

3.3.6. abra. Ketszer egymasutan elvegzett meres ugyanolyan beallıtasok mellet, ajelenseg indıtasahoz hasznalt plexi-lap kihuzasanak modjat valtoztatva.

lenseg egyseges indıtasahoz egy mechanikai eszkozokon alapulo berendezest allıtot-

tunk ossze. A plexilaphoz erosıtett fonalat csigakon atvettve, sulyok segıtsegevel

mozgattuk ezek utan. Az elrendezes a 3.3.7. kepen lathato.

42

3.3.7. abra. Az kıserlet egyseges indıtasahoz hasznalt berendezes. A kihuzando plex-ilaphoz egy fogon keresztul egy fonal van erosıtve, aminek a masik vegen sulyoklognak, melyek a csigak hasznalataval mozgatjak a lapot.

43

3.3.5. A kıserlet eredmenyei

A meresben a numerikus eredmenyekhez hasonloan, a suruseg ingadozasra jellemzo

adatsort kaptunk. A mintaveteli frekvenciat 10 Hz-re allıtottuk, tehat ket adat-

pont rogzıtese kozott 0, 1 s telt el. Ennek megfeleloen gyartottuk le a szamıtogepes

program altal rogzıtett adatok idosorat. A numerikus vizsgalatokhoz hasonloan a

hullamzas nyugalmi helyzetehez kepesti kitereset vizsgaljuk. Mivel a 3.3.3. abran

lathato profil azon a reszen, ahol a jelenseget vizsgaljuk, jo kozelıtessel linearisnak

mondhato, eleg volt, ha a korabban vegzett polinomillesztes helyett a 3 es 9 cm

kozotti tartomanyra egyenest illesztettunk (f(x) = a · x + b), ami a 3.3.8. abran

lathato. A mert feszultsegadatok kiteresre valo atvaltasahoz a kovetkezo feszultseg–

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-3 -2 -1 0 1

z [c

m]

U [V]

3.3.8. abra. A kıserletben hasznalt feszultsegprofil 3 es 9 cm kozotti linearis resze

magassag-osszefuggest hasznaltunk:

z = −1, 259cm

V· U + 4, 493 cm (3.3.1)

Ennek az osszefuggesnek a felhasznalasaval a program altal az ido fuggvenyeben

mert feszultsegertekeke, magassag ertekekre valtottuk, es ıgy a 3.3.9. abran lathato

adatsorhoz jutottunk. A kiertekeles soran az adatsorokat egy egyenessel normaltuk,

aminek eredmenyekent a kulonbozo gattavolsagoknal mert idosorok osszehasonlıt-

hatok, minden meresnek a nulla koruli ingadozasat tekintve.

A mar korabban hasznalt XmGrace program segıtsegevel az idosorok (z−h0)max

44

8.3

8.4

8.5

8.6

8.7

8.8

8.9

9

9.1

9.2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

z [c

m]

t[s]

3.3.9. abra. A mert magassag az ido fuggvenyben l = 20 cm -es gattavolsagnal

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 50 100 150 200 250 300 350

(z-h

0)m

ax [

m]

t[s]

3.3.10. abra. A nulla koruli ingadozas az ido fuggvenyben, l = 20 cm-esgattavolsagnal

maximalis kitereset es (z − h0)szor szorasat leolvastuk. A mert feszultsegadatokbol

szamolt kiteresertekeket az l akadalytavolsag fuggvenyeben a 3.3.1. tablazat mutatja

es a 3.3.11.-3.3.12. abrakon lathatok.

45

l [cm] (z − h0)max [cm] (z − h0)szor [cm]10 0,795 0,12413 0,891 0,14917 0,305 0,0720 0,373 0,10323 0,607 0,14727 0,476 0,14930 0,477 0,161

3.3.1. tablazat. A kulonbozo gattavolsagok esten a surusegprofil hasznalatavalszamolt kiteres ertekek (z − h0)max maximuma es (z − h0)szor szorasa

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

10 15 20 25 30

(z-h

0)m

ax [

cm]

l [cm]

3.3.11. abra. Az (z − h0)max legnagyobb kiteres az akadalyok l tavolsaganakfuggvenyeben.

A 3.3.10. abrat vizsgalva gondolhato, hogy a kiteres maximuma, esetleges zajok

hatasa miatt, nem teljesen megbızhatoan jellemzi a fuggvenyt, ellentetben a szoras

ertekevel, ami azonos hosszusagu adatsor esten jol hasznalhato parameter.

A 3.3.12. es 3.2.8. abran latszik, hogy az alapmodusu rezonancia kozel az l =

13cm-es gattavolsagnal jon letre. Tovabba, leginkabb a 3.3.11. abra mutatja, hogy

a kıserletben a masodik felharmonikusnak megfelelo rezonancia is fellep. A csucs

helye pontosan nem olvashato le, mert ritka a tavolsagtartomany mintavetelezese

(tovabbi meresek elvegzeset tervezzuk), annyi azonban talan megallapıthato, hogy

20 es 25 cm kozott talalhato.

46

A csucsok helyenek a linearis elmelet altal josolttol valo elterese mind a kıserlet,

mind a numerika eseteben azzal magyarazhato, hogy a belso hullamzas amplitudoja,

mint az a 3.3.5. abran lathato, osszemerheto a retegvastagsaggal, ıgy a jelenseg

nemlinearis volta lenyeges szerepet kap, a linearis targyalasmod itt valojaban erve-

nyesseget veszıti.

A kıserleti eredmenyek, foleg a feltetelezett felharmonikus eseten, elternek a nu-

merikusan kapottaktol is, mivel szandekunk ellenere a retegzettseg nem teljesen

azonos, az atmeneti sav a kıserletben a numerikahoz kepest vastagabb.

A numerikus szimulaciokkal ellentetben a kiserleteknel az idosor szorasa nem

hasznalhato egyertelmuen jol, mivel minel nagyobb a belso hullamzas amplitudoja,

annal erosebb a ket gat kozott a retegek turbulens keveredese. Tehat a kezedet-

ben nagy amplitudoju belso hullamok ”elrontjak”, homogenizaljak a folyadek suru-

segeloszlasat, tovabba az ıgy nyert idosorok gyorsan csillapodnak. Ez a szisztem-

atikus hiba indokolhatja, hogy a 3.3.12. abran a rezonanciacsucsok, kulonosen az

elso felharmonikus, nem tunik ki eroteljesebben. A rezonanciajelensegenek pon-

tosabb viszgalata nagyobb, illetve reszletesebb kiserleteket igenyelne, vagy estleg

egy masik meresi modszer alkalmaszasaval vizsgalando.

0.07

0.08

0.09

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14

0.15

0.16

0.17

10 15 20 25 30

(z-h

0)sz

or [

cm]

l [cm]

3.3.12. abra. Az (z − h0)szor adatok atlagos szorasa az akadalyok l tavolsaganakfuggvenyeben.

47

4. Osszefoglalas

Ebben a munkaban numerikus modszerekkel vizsgaltuk egy zart retegzett folyadek

rendszerben valamilyen kulso erohatasra kialakult felszıni allohullam altal gerjesztett

belso hullam mozgasat, ket aljzati akadaly jelenleteben. Az erre vonatkozo elme-

letben a Navier–Stokes-egyenletet a sekely folyadek kozelıtesben oldjuk meg. A

hullamok linearis kozelitese azonban csak kiindulopontkent szolgal, hiszen a mi elren-

dezesunkben a belso hullamok amplitudoja osszemerheto a retegek vastagsagaval, es

ekkor a linearis kozelites ervenyet veszti, ıgy nemlinearis hullamokrol beszelhetunk.

Az altalunk vegzett numerikus vizsgalatokban a folytonos retegzettseg esten erve-

nyes, nemlinaris Navier–Stokes-egyenletet kozelito megoldasait kerestuk.

A felszıni allohullamok altal a ket, a belso reteghatarhoz felero, akadaly kozott

belso allohullamok gerjesztodnek. Az utobbi mozgast a reteghatar ingadozasa jol

jellemzi. A kerdes felvetodott, hogy a zart folyadekmedence felszınen es a belsejeben

ıgy kialakult allohullamoknal megfigyelheto-e a fizika mas teruleterol jol ismert

rezonanciajelenseg. Mivel a hullamzas λ hullamhosszat az akadalyok l tavolsaga

meghatarozza, a rezonanciat vizsgalataink soran l valtoztatasaval kerestuk.

A numerikus szimulaciohoz egy Fortan95 nyelven ırt programot hasznaltunk,

amely a jelenseget leıro parcialis differencialegyenletek kozelıto megoldasat tette

lehetove. A jelenseg szempontjabol lenyeges parametereket (ilyen a kad hossza,

illetve melysege) ugy valasztottuk, hogy a kıserlet a laboratoriumban rendelkezesre

allo berendezessel is elvegezheto legyen.

A numerikus vizsgalatok eredmenyeiben a rezonancia jelensege tenylegesen meg-

figyelheto. Az alapmodust a 13 cm-es gattavolsag korul figyeltuk meg. Ezenkıvul

az elso (l = 30 cm) es a masodik (l = 50 cm) felharmonikus is megfigyelheto volt.

A Karman Laboratoriumban elvegeztuk a kıserletet, a numerikus eredmenyekkel

valo osszehasonlıtas vegett. A kıserletben szinten l = 13 cm-es gattavolsag korul

volt megfigyelheto a rezonancia, azonban a felharmonikusok eseteben a kıserletben

tovabbi vizsgalatok szuksegesek.

Elmeleti szamolasok szerint a ket allohullam frekvenciajabol kiszamolhato az a

gattavolsag, aminel a rezonancia varhato. A mert es szamolt eredmenyek kozott,

a kvalitatıv hasonlosag ellenere, lenyeges (kvantitatıv) elteresek is vannak. Ez an-

nak tulajdonıthato, hogy a ketretegu kozelıtes nem teljesen jol alkalmazhato a nu-

merikus, illetve a kıserleti rendszerben. A surusegeloszlas itt nem teljesen felelt meg

48

a ketretegu elrendezesnek.

Munkank fontos eredmenyenek tekintjuk, hogy megvizsgaltuk: mind a numeri-

kabol kapott eredmenyek, mind a kiserleti adatok felhasznalasaval, hogy a ketretegu

linearis sekelyfolyadek-elmelet joslataihoz kepest milyen iranyban es mertekben ter

el az altalunk vizsgalt rendszer viselkedese. A numerikus modellunk alkalmazhato-

sagat tamasztja ala a kiserleti es numerikus eredmenyek hozzavetoleges egyezese.

49

Koszonetnyilvanıtas

Koszonettel tartozom Dr. Tel Tamas professzornak a temavezetesert es az atadott

tudasert, valamint, hogy gondos es figyelmes iranyıtasaval bevezetett a tudomanyos

kutatas oromeibe.

Ugyszinten koszonetemet fejezem ki Vincze Miklosnak, aki a kozos munkaval es

tanacsaival segıtette a dolgozat reszleteinek pontos kidolgozasat.

Hivatkozasok

[1] Francois-Alphonse Forel: Le Leman – Monographie Limnologique, Lausanne,

1892.

[2] Cholnoky J.: Balaton (Franklin, Budapest, 1936)

[3] J. Kampf: Advanced Ocean Modelling (Springer, Berlin, Heidelberg, 2009)

[4] P. K. Kundu, I. M. Cohen: Fluid mechanics (Academic Press, 4. kiadas)

[5] L. D. Landau, E. M. Lifsic, Elmeleti fizika: Hidrodinamika (Tankonyvkiado,

Buda- pest, 1980)

[6] R. Parsmar, A. Stigebrandt, Observed damping of barotropic seiches through

baroclinic wave drag in the Gullmar fjord, Journal of Physical Oceanography,

27, 380-387 (1997)

[7] Tel T.: Kornyezeti aramlasok (kezirat, ELTE, Budapest, 2003)

[8] M. Vincze, P. Kozma, B. Gyure, I. M. Janosi, K. G. Szabo and T. Tel, Amplified

internal pulsations on a stratified exchange flow excited by interaction between

a thin sill and external seiche, Physics of Fluids, 19, 108108 (2007)

50

NYILATKOZAT

Név:

ELTE Természettudományi Kar, szak:

ETR azonosító:

Szakdolgozat címe:

A szakdolgozat szerzőjeként fegyelmi felelősségem tudatában kijelentem, hogy a

dolgozatom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és

idézések standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a

megfelelő idézés nélkül nem használtam fel.

Budapest, 20 _______________________________

a hallgató aláírása

Boschán JúliaFizika BSc.

BOJPABT.ELTE

Nemlineáris jelenségek vizsgálata rétegzett rendszerekben számítógépes szimulációval

11. június 6.

52