Nerovnice

Čo sú to nerovnice Riešenie kvadratickej a bikvadratickej

nerovnice Riešenie lineárnych nerovníc

KoniecKoniec

Marek Balušík

3.B2010/2011

Nerovnice sú tvorené dvoma matemaickými výrazmi, ktoré sú spojené znakmi: <,>,≤ alebo ≥.

Nerovnica je algebraická úloha, pri ktorej sa hľadajú všetky čísla danej množiny, ktoré spĺňajú danú nerovnosť.

Pri nerovniciach sa často používa grafické riešenie, pretože je názorné.

Riešiť nerovnosť znamená nájsť množinu všetkých jej riešení.

ĎalejĎalejSpäťSpäť KoniecKoniecZačiatokZačiatok

Ekvivalentné úpravy nerovníc: vzájomná výmena strán nerovnice so súčasnou zmenou znaku nerovnosti na

obrátený; nahradenie ľubovoľnej strany nerovnice výrazom, ktorý sa jej rovná v celom

obore riešenia nerovnice, pričom znak nerovnosti sa nezmení; pripočítaním toho istého čísla alebo výrazu s neznámou, ktorý je definovaný v

celom obore riešenia, k obom stranám nerovnice, pričom znak nerovnosti sa nemení;

vynásobenie oboch strán nerovnice kladným číslom alebo výrazom s neznámou, pričom znak nerovnosti sa nemení;

vynásobenie oboch strán nerovnice záporným číslom nebo výrazom s neznámou, pritom znak nerovnosti sa zmení v obrátený;

umocnenie oboch strán nerovnice prirodzeným mocniteľom, ak sú obe strany nerovnice nezáporné, pritom znak nerovnosti sa nemení;

odmocnenie oboch strán nerovnice prirodzeným odmocniteľom, ak sú obe strany nerovnice nezáporné, pričom znak nerovnosti sa nemení;

zlogaritmovaní oboch strán nerovnice pri tom istom základe väčšom ako 1, ak sú obe strany nerovnice kladné, pritom znak nerovnosti sa nemení.

KoniecKoniecZačiatokZačiatok SpäťSpäť ĎalejĎalej

KoniecKoniecZačiatokZačiatok SpäťSpäť ĎalejĎalej

Riešenie kvadratickejRiešenie kvadratickej

Majme nerovnicu: 3x2 – 7x + 4 ≤ 0

 

V prvom rade si zistíme korene kvadratickej rovnice 3x2 – 7x + 4 = 0.

Dostávame: x1 = 1 a x2 = 4/3

Z týchto koreňov dostaneme nerovnicu 3*(x – 1)*(x – 4/3) ≤ 0

Z prvej časti dostávame riešenie x1 <1, 4/3>. Riešením druhej časti je prázdna množina. Zjednotením týchto dvoch intervalov

dostávame riešenie tejto nerovnice a je to: x <1, 4/3>.

KoniecKoniecZačiatokZačiatok SpäťSpäť ĎalejĎalej

tabuľka

Korene vyššie uvedenej rovnice nám rozdelia interval riešenia na tri časti,

t.j.: 1. x (- ∞ , 1), 2. x (1, 4/3) a 3. x (4/3, ∞ )

(- ,1) (1,4/3) (4/3, )

- 7x +4 > 0 4 -0,07 234

+ - +

Bikvadratická nerovnica

KoniecKoniecZačiatokZačiatok SpäťSpäť ĎalejĎalej

x4 – 5x2 + 4 < 0

Metóda nulových bodov:

Koreňmi tejto rovnice sú čísla -2; -1; 1; 2. Tieto nám rozdelia interval na 5 častí:

1. x (- ∞, - 2), 2. x (-2, - 1), 3. x (- 1, 1), 4. x (1, 2) a 5. x (2, ∞)

2. Z jednotlivých intervalov boli vybrané čísla (postupne ako idú intervaly) -3; -1.5; 0; 1.5; 3. Riešenie je zobrazené v tabuľke:

(-∞ ,-2) (-2,-1) (-1,1) (1,2) (2,∞ )

40 -2,19 4 -2,19 40

+ - + - +

Výsledné rišenie dostávame prienikom čiastkových riešení (intervalov). To si zakreslíme graficky:

Riešením je žlto vyšráfovaná plocha, a teda: x  (1/2 , 2>

Riešením je žlto vyšráfovaná plocha, a teda: x  (1/2 , 2>

KoniecKoniecZačiatokZačiatok SpäťSpäť

Sústava lineárnych nerovníc s jednou neznámou

5x – 3 ≤ 3x + 1 < 5x

Rozdelíme si nerovnicu na dve časti a riešíme samostatne:

 5x – 3 ≤ 3x + 1 3x + 1 < 5x

2x ≤ 4 1 < 2x

x ≤ 2 x > ½

KoniecKoniecZačiatokZačiatok SpäťSpäť

Lineárne nerovnice s jednou neznámou a metóda nulových bodovLineárne nerovnice s jednou neznámou a metóda nulových bodov Majme nerovnicu: (2x – 3) / (3x – 7) > 0

 Ako prvú vec, ktorú pri riešení nerovníc spravíme je to, že zistíme D(f) nerovnice.

 Výsledný hľadaný interval dostávame spojením čiastkových intervalov.

Teda: x = x1 x2 = (-∞ , 3/2) (7/3,∞ )

2x – 3 > 0 a 3x – 7 > 0 2x – 3 < 0 a 3x – 7 < 0

x > 3/2, x > 7/3 x < 3/2, x < 7/3

x1 (7/3, ) x2 (- , 3/2)

Tento istý príklad si teraz vyriešime metódou nulových bodov:

1. Celú nerovnicu si upravíme do takého tvaru, aby na jej pravej strane bola nula, tzn. všetko, čo je na pravej strane úpravami prehodíme na stranu ľavú (naša nerovnica je už do takéhoto tvaru upravená, preto to robiť nemusíme)

 2. Prirovnáme menovateľa aj čitateľa k nule a vyriešime:

2x – 3 = 0 → x = 3/2

3x – 7 = 0 → x = 7/3

KoniecKoniecZačiatokZačiatok SpäťSpäť

 3. Toto riešenie nám celý interval rozdelí na podintervaly: 1. (- , 3/2), 2. (3/2, 7/3) a 3. (7/3, )

 4. Pre každý jeden interval určíme, či je menovateľ a čitateľ kladný alebo záporný. To spravíme tak, že si vyberieme nejakú hodnotu z daného intervalu a dosadíme do nerovnice, napríklad z prvého intervalu si vezmem „-1“

2*(-1) – 3 = -5

3*(-1) – 7 = -10

 5. Riešenia si pre prehľadnosť zapíšeme do tabuľky:

(-∞ , 3/2) (3/2, 7/3) (7/3,∞ )

2x - 3 - + +

3x - 7 - - +

Pri riešení nerovnice s dvomi neznámymi stačí upraviť rovnicu na tvar

y < ax + b napríklad y 2x – 5 potom to jednoducho znázorníme

graficky na osi. V tomto prípade je výsledok vyznačený ružovou farbou

a je to rovina ktorá ide do nekonečna.

KoniecKoniecZačiatokZačiatok SpäťSpäť

túto nerovnosť riešime takou istou metódou ako kebz sme riešili rovnicu 4. stupňa :

Po dosadzovaní získame 1 koreň rovnice x1=2

Týmto sa nám podarilo znížiť stupeň rovnice o 1 dostali sme kubickú rovnicu:

Druhý koreň je: x2=3

):(x-3)= +4x+3

= =x3= -1 x4= -3

KoniecKoniecZačiatokZačiatok SpäťSpäť ĎalejĎalej

= 0

Riešenie nerovnice s 1 neznámouRiešenie nerovnice s 1 neznámou

(x-2).(x-3).(x+1).(x+3)≥0(x-3).(x-2).(x+1).(x+3) ≥0(x+3).(x+1).(x-2).(x-3) ≥0(-∞-3>,(-3,-1>, (-1,2>,(2,3),<3,∞)x€(- ∞,-3> (-1,2> <3, ∞)

KoniecKoniecZačiatokZačiatok SpäťSpäť

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-30

-20

-10

0

10

20

30

y = (x+3)(x+1)(x-2)(x-3)

x

y

13

Ďakujem za pozornosť