Řešení nerovnic

Soustava lineárních nerovnic

Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Šárka Macháňová.Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.

Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).

Opakování ‒ Řešení nerovnic:

Řešit lineární nerovnici s jednou neznámou znamená určit všechny hodnoty x R, pro které platí ten uvedený vztah, který byl zadán.

Zkouška není nutnou součástí řešení, pokud použijeme pouze ekvivalentních úprav. Zkoušku dosazením všech kořenů do dané nerovnice nelze provést, neboť jich je zpravidla nekonečně mnoho. Dosazením náhodně vybraného čísla nemusíme zjistit případnou chybu při řešení.

352 xx

xxx4

313

2

1210

6

23312

3

15,1

yyy

y

Princip řešení nerovnic ‒ hledání kořenů nerovnice:

Hledání kořenů nerovnice je, stejně jako u rovnic, opět proces, při kterém místo dané nerovnice píšeme novou nerovnici, většinou takovou, která má stejné řešení jako původní nerovnice.

O takové nové nerovnici řekneme, že je s tou naší původní nerovnicí ekvivalentní.

Úpravy, které provádíme s příslušnou nerovnicí se nazývají ekvivalentní úpravy. Jsou to takové úpravy nerovnice, při nichž žádný kořen neztratíme, a také obráceně, žádný kořen nedostaneme navíc.

Množiny kořenů původní nerovnice a nové nerovnice jsou si rovny.

Ekvivalentní úpravy využívané při řešení nerovnic:

1. Vzájemná výměna obou stran nerovnice se současnou záměnou znaku nerovnosti.

2. Přičtení čísla nebo výrazu k oběma stranám nerovnice.

6. Odmocnění obou stran nerovnice přirozeným odmocnitelem, jen když jsou obě strany kladné.

3. Vynásobení obou stran nerovnic stejným kladným číslem nebo výrazem.

4. Vynásobení obou stran nerovnice záporným číslem se záměnou znaku nerovnosti.

5. Umocnění obou stran nerovnice přirozeným mocnitelem, jen když jsou obě strany rovnice kladné.

POZOR!

Podstatnou a zásadní změnou při řešení nerovnic je násobení nebo dělení nerovnice záporným číslem nebo výrazem, který nabývá záporných hodnot.MUSÍME POTÉ ZMĚNIT ZNAMÉNKO V OPAČNÉ!

2

5:10

5:/105

x

x

x

POZOR!

Podstatnou a zásadní změnou při řešení nerovnic je násobení nebo dělení nerovnice záporným číslem nebo výrazem, který nabývá záporných hodnot.MUSÍME POTÉ ZMĚNIT ZNAMÉNKO V OPAČNÉ!

3

44

3

4/4

3

4

x

x

x

Opakování ‒ Lineární nerovnice

Lineární nerovnice s neznámou x je nerovnice, kterou lze vyjádřit ve tvaru:

Jejím řešením je podmnožina množiny R, kterou lze zapsat například pomocí intervalu.

0bax

0bax

0bax

0bax

Opakování ‒ Řešení lineárních nerovnic

Řešme v R nerovnici: 232 xx

3//232 xxx

5;K

322 xx

5x

Opakování ‒ Řešení lineárních nerovnic

Řešme v R nerovnici: 10266 xx

6/2/10266 xxx

;4K

61026 xx

4:/164 x4x

Soustava lineárních nerovnic

Jak se řeší lineární nerovnice, už tedy víme. Někdy však potřebujeme najít i čísla, která vyhovují zároveň několika nerovnicím s jednou neznámou – soustavě nerovnic.

Postup řešení soustavy nerovnic pro nás nyní už bude v podstatě velmi jednoduchý. Spočívá totiž jen ve dvou základních krocích, které by nám již dnes neměly činit žádné potíže:

1. Vyřešíme postupně jednotlivé nerovnice.

2. Určíme průnik množin všech řešení jednotlivých nerovnic soustavy.

Pojďme si tedy celý postup ukázat opět na nějakých konkrétních soustavách nerovnic.

Soustava lineárních nerovnic

Řešme v R soustavu nerovnic:

xx

xx

332

1123

5213

V souladu s na předchozím snímku uvedeným postupem

řešení soustavy nerovnic, vyřešíme nejprve obě

nerovnice samostatně.

5213 xx xx 332

1123

Soustava lineárních nerovnic

Řešme v R soustavu nerovnic:

xx

xx

332

1123

5213

5213 xx xx 332

1123

5233 xx 3/2/ x

3523 xx2x

xx2

3

2

336 2/

xx 33612 6/3/ x63312 xx

99 x 9:/1xNo a nyní v souladu s druhým

krokem výše uvedeného postupu při řešení soustavy

nerovnic určíme průnik množin všech řešení jednotlivých

nerovnic soustavy, v našem případě tedy dvou.

;2... 1K

1;... 2 K

Soustava lineárních nerovnic

Řešme v R soustavu nerovnic:

xx

xx

332

1123

5213

5213 xx xx 332

1123

5233 xx 3/2/ x

3523 xx2x

xx2

3

2

336 2/

xx 33612 6/3/ x63312 xx

99 x 9:/1x

1;21;;221 KKK

Samozřejmě doporučuji grafické znázornění, které

oceníte především při větším počtu nerovnic.

;2... 1K

1;... 2 K

Soustava lineárních nerovnic

Řešme v R soustavu nerovnic: 53x37

3315

4423

x

xx

xx

Opět nejprve všechny

nerovnice vyřešíme

samostatně.

4423 xx 3315 xx 53x37 x

Soustava lineárních nerovnic

Řešme v R soustavu nerovnic: 53x37

3315

4423

x

xx

xx

4423 xx 3315 xx 53x37 x

2443 xx

6 x6x

1335 xx

22 x1x

3537 xx

84 x2x

No a nyní určíme průnik množin všech řešení jednotlivých nerovnic

soustavy. Tentokrát tří. Zde již skutečně jistě oceníte přínos

grafického znázornění.

;61K ;12K ;23K

Soustava lineárních nerovnic

Řešme v R soustavu nerovnic: 53x37

3315

4423

x

xx

xx

4423 xx 3315 xx 53x37 x

2443 xx

6 x6x

1335 xx

22 x1x

3537 xx

84 x2x

;2;2;1;6321 KKKK

;61K ;12K ;23K

Soustava lineárních nerovnicŘešme v R soustavu nerovnic: 14x5243 xx

Překvapilo vás zadání? Jedná se o jiný zápis

soustavy dvou nerovnic. Jednotlivé vztahy si tedy nejprve rozepíšeme na samostatné nerovnice

a … dál už vám jistě radit nemusím.

5243 xx 14x52 x

Soustava lineárních nerovnicŘešme v R soustavu nerovnic: 14x5243 xx

5243 xx 14x52 x4523 xx

9x 9;1 K

5142 xx

62 x

3x ;32K

Soustava lineárních nerovnicŘešme v R soustavu nerovnic: 14x5243 xx

5243 xx 14x52 x4523 xx

9x 9;1 K

5142 xx

62 x

3x ;32K

9;3;39;21 KKK

Soustava lineárních nerovnic

Řešme v R soustavu nerovnic: 1025

11

xx

xx

I v případě soustavy nerovnic se můžeme setkat také s jinými typy řešení, než nám prozatím ve všech řešených příkladech vycházely. Podívejme se na ně.

xx 11 1025 xx

11 xx

02 x0x

;01K

2105 xx

84 x2x

2;2 K

Průnik množin řešení jednotlivých nerovnic soustavy je prázdný, a to znamená, že soustava nerovnic nemá řešení!

Soustava lineárních nerovnic

Řešme v R soustavu nerovnic: 1025

11

xx

xx

I v případě soustavy nerovnic se můžeme setkat také s jinými typy řešení, než nám prozatím ve všech řešených příkladech vycházely. Podívejme se na ně.

xx 11 1025 xx

11 xx

02 x0x

;01K

2105 xx

84 x2x

2;2 K

2;;021 KKK Průnik množin řešení jednotlivých nerovnic soustavy je prázdný, a to znamená, že soustava nerovnic nemá řešení!

Soustava lineárních nerovnic

Řešme v R soustavu nerovnic: 322

7623

5412

xx

xx

xx

5412 xx 7623 xx 322 xx

1542 xx

62 x

3x

2763 xx

93 x

3x

232 xx

1 x1x

3;1 K 3;2 K ;13K

Průnik všech tří množin řešení jednotlivých nerovnic soustavy je prázdný, a to znamená, že soustava nerovnic ani v tomto případě

nemá řešení!

Soustava lineárních nerovnic

Řešme v R soustavu nerovnic: 322

7623

5412

xx

xx

xx

5412 xx 7623 xx 322 xx

1542 xx

62 x

3x

2763 xx

93 x

3x

232 xx

1 x1x

3;1 K 3;2 K ;13K

;13;3;321 KKKK Průnik všech tří množin řešení jednotlivých nerovnic soustavy je prázdný, a to znamená, že soustava nerovnic ani v tomto případě

nemá řešení!

Příklady k procvičení

Řešme v R soustavu nerovnic:

323

175

7

1

4542

xx

xx

Příklady k procvičení

Řešme v R soustavu nerovnic:

323

175

7

1

4542

xx

xx

4542 xx 323

175

7

1 xx

4582 xx

8452 xx

123 x

4x

327753 xx

21142115 xx

21211415 xx

0x 4;1 K 0;2 K

0;0;4;21 KKK

Příklady k procvičení

Řešme v R soustavu nerovnic: 2314

7234

6226

xx

xx

xx

Příklady k procvičení

Řešme v R soustavu nerovnic: 2314

7234

6226

xx

xx

xx

6226 xx 7234 xx 2314 xx

2626 xx 3724 xx 1234 xx

84 x 102 x 3x2x 5x

;33K 2;1 K ;52K

2;3;3;52;321 KKKK

Příklady k procvičení

Řešme v R soustavu nerovnic: 35

1

9

1522

2192

4

122

xxx

xx

x

Příklady k procvičení

Řešme v R soustavu nerovnic: 35

1

9

1522

2192

4

122

xxx

xx

x

2

2192

4

122 xx

x

35

1

9

152 xxx

xxx 4388122 xxx 15997510

1238482 xxx 75915910 xxx

5010 x 8414 x

5x 6x

;51K 6;2 K

6;56;;521 KKK

Všechny uveřejněné odkazy [cit. 2010-06-10]. Dostupné pod licencí Public domain na WWW: <http://www.clker.com/clipart-white-board.html>

Použité obrázky: