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2º ESOSoluciones de tareas 14/04/2020 - 24/04/2020
Página 170:
1. Resuelve gráficamente.
a) x+ y=1x−2 y=−5}
b) x−2 y=43 x−y=−3}
Solución:
a) x+ y=1x−2 y=−5}
Como ya sabemos, tenemos dos rectas de las cuales tenemos que obtener dos
puntos en cada una para poder representarlas. Vamos a hacer la siguiente
asignación:
r 1 : x+ y=1
r 2 : x−2 y=−5
Calculemos dos puntos de la recta r 1 :
Si x = 0 → 0+ y=1 ⇔ y=1 . Por tanto, el punto (0, 1) es un punto de la
recta r 1 .
Si y = 0 → x+0=1 ⇔ x=1 . Por tanto, el punto (1, 0) es otro punto de la
recta r 1 .
Representamos estos puntos y la recta gráficamente:
Calculamos dos punto de la recta r 2 :
Si x=1 → 1−2 y=−5 ⇔ −2 y=−5−1 ⇔ −2 y=−6 ⇔
⇔ y=−6−2
⇔ y=3 . Por tanto, el punto (1, 3) es un punto de la recta r 2 .
Si x=−1 → −1−2 y=−5 ⇔ −2 y=−5+1 ⇔ −2 y=−4 ⇔
⇔ y=−4−2
⇔ y=2 . Por tanto, el punto (-1, 2) es un punto de la recta r 2 .
Representamos estos puntos y la recta gráficamente:
Finalmente, representamos el sistema (que no es más que colocar ambas rectas
dentro de una misma gráfica):
El ejercicio sólo nos pide la representación gráfica, pero como comentario adicional
vemos que la solución del sistema es el punto (-1, 2).
b) x−2 y=43 x−y=−3}
Hacemos la siguiente asignación:
r 1 : x−2 y=4
r 2 :3 x−y=−3
Calculemos dos puntos de la recta r 1 :
Si x = 0 → 0−2 y=4 ⇔ y=4
−2⇔ y=−2 . Por tanto, el punto (0, -2)
es un punto de la recta r 1 .
Si y = 0 → x−2⋅0=4 ⇔ x=4 . Por tanto, el punto (4, 0) es otro punto de
la recta r 1 .
Representamos estos puntos y la recta gráficamente:
Calculemos dos puntos de la recta r 2 :
Si x = 0 → ⇔ 3⋅0−y=−3 ⇔ −y=−3 ⇔ y=3 . Por tanto, el punto
(0, 3) es un punto de la recta r 2 .
Si y = 0 → ⇔ 3⋅x−0=−3 ⇔ x=−1 . Por tanto, el punto (-1, 0) es un
punto de la recta r 2 .
Representamos estos puntos y la recta gráficamente:
Finalmente, representamos el sistema.
Como comentario adicional decimos que podemos intuir a través de la
representación gráfica que la solución será (-2, -3).
2. Observa el gráfico y responde.
a) Escribe un sistema cuya solución sea x=2, y=4.
b) Escribe un sistema cuya solución sea x=0, y=5.
c) Escribe un sistema sin solución.
Solución:
Para la resolución de este ejercicio, vamos a presentar dos métodos. El primero, el
método gráfico, el cual consistirá en seleccionar aquellas rectas que se cortan en el punto
que nos pidan. El segundo método será un método analítico, en el que evaluaremos las
diferentes ecuaciones en los puntos que nos pida cada apartado.
a) Método gráfico
Buscamos aquellas rectas que se cortan en el punto (2, 4).
Como podemos comprobar, las rectas que nos proporcionan el sistema que
buscamos son la recta roja y la recta azul. Por tanto, el sistema es
3 x−y=2x+2 y=10}
Método analítico:
Evaluamos en el punto (2, 4) las diferentes ecuaciones:
◦ x+2 y=10 → (2)+2(4)=2+8=10=10 La ecuación se verifica. Por
tanto, esta ecuación estará en el sistema. ✔
◦ 2 x−3 y+15=0 → 2(2)−3(4)+15=4−12+15=−8+15=7≠0 La
ecuación no se verifica. Por tanto, esta ecuación no estará en el sistema. ✘
◦ 2 x−3 y+1=0 → 2(2)−3(4)+1=4−12+1=−7≠0 La ecuación no se
verifica. Por tanto, esta ecuación no estará en el sistema. ✘
◦ 3 x−y=2 → 3(2)−(4)=6−4=2=2 La ecuación se verifica. Por tanto,
esta ecuación estará en el sistema. ✔
Como vemos, tanto el método analítico como el método gráfico nos apuntan a la
misma solución, que no es más que
3 x−y=2x+2 y=10}
Representación gráfica del sistema:
b) Método gráfico:
Buscamos aquellas rectas que se cortan en el punto (0, 5).
Vemos, por tanto, que las ecuaciones que verifican esta condición son la recta azul
y la recta violeta. Por tanto, el sistema de ecuaciones que buscamos es
x+ 2 y=102 x−3 y+15=0}
Método analítico
Evaluamos en el punto (0, 5) las diferentes ecuaciones:
◦ x+2 y=10 → (0)+2(5)=0+10=10=10 La ecuación se verifica. Por
tanto, esta ecuación estará en el sistema. ✔
◦ 2 x−3 y+15=0 → 2(0)−3(5)+15=0−15+15=−15+15=0=0 La
ecuación se verifica. Por tanto, esta ecuación estará en el sistema. ✔
◦ 2 x−3 y+1=0 → 2(0)−3(5)+1=0−15+1=−14≠0 La ecuación no se
verifica. Por tanto, esta ecuación no estará en el sistema. ✘
◦ 3 x−y=2 → 3(0)−(5)=0−5=−5≠2 La ecuación no se verifica. Por
tanto, esta ecuación no estará en el sistema. ✘
Como vemos, tanto el método analítico como el método gráfico nos apuntan a la
misma solución, que no es más que
x+ 2 y=102 x−3 y+15=0}
Representación gráfica del sistema:
c) Para este caso particular, sólo vamos a contemplar el método gráfico, puesto que
el método analítico implicaría contenidos de cursos posteriores.
Método gráfico
Como explicamos en los vídeos, un sistema no tiene solución cuando las rectas
que representan las ecuaciones son paralelas. Vemos, entonces, que las rectas
que verifican esto son la violeta y la verde. Es decir, que el sistema que buscamos
es
2 x−3 y +1=02 x−3 y+15=0}
Representación gráfica del sistema:
3. Resuelve por sustitución despejando la incógnita más adecuada.
c) x+ 4 y=12 x−y=−7}
d) 5 x−2 y=−54 x−3 y=3 }
Solución:
Para resolver este ejercicio, vamos a realizar los pasos que hemos explicado en los
vídeos.
c) Paso 1: Despejamos una de las incógnitas de una de las ecuaciones. En nuestro
caso, escogemos la variable x de la primera ecuación:
x+4 y=12x−y=−7} → x=1−4 y
Paso 2: Sustituímos en la segunda ecuación:
x+4 y=12x−y=−7} → x=1−4 y
2(1−4 y )−y=−7⇔2−8 y−y=−7⇔
⇔2−9 y=−7⇔−9 y=−7−2⇔−9 y=−9⇔ y=−9−9
⇔ y=1
Paso 3: Una vez obtenido el valor de una de las incógnitas, volvemos a la
"incógnita inicial".
x=1−4 y → x=1−4(1)⇔ x=1−4⇔x=−3
Paso 4: Agrupamos la solución: (-3, 1).
Representación gráfica del sistema:
d) Paso 1: Despejamos una de las incógnitas de una de las ecuaciones. En nuestro
caso, escogemos la variable x de la primera ecuación:
5 x−2 y=−54 x−3 y=3 } → x=
−5+2 y5
Paso 2: Sustituímos en la segunda ecuación:
5 x−2 y=−54 x−3 y=3 } →
x=−5+2 y
5
4 (−5+2 y
5)−3 y=3
⇔−20+8 y
5−3 y=3⇔
⇔−20+8 y−15 y=15⇔−20−7 y=15⇔−7 y=15+20⇔−7 y=35⇔ y=35−7
⇔ y=−5
Paso 3: Una vez obtenido el valor de una de las incógnitas, volvemos a la
"incógnita inicial".
x=−5+2 y
5→ x=
−5+2(−5)
5⇔x=
−5−105
⇔ x=−15
5⇔ x=−3
Paso 4: Agrupamos la solución: (-3, -5).
Representación gráfica del sistema:
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2. Resuelve por sustitución y comprueba las soluciones que se ofrecen.
a) x+2 y=113 x− y=5 }
b) 2 x−y=15 x−3 y=0}
c) x+2 y=12 x+3 y=4 }
d) x−y=37 x−3 y=5 }
Solución:
a) Paso 1: Despejamos una de las incógnitas de una de las ecuaciones. En nuestro
caso, escogemos la variable x de la primera ecuación:
x+2 y=113 x−y=5 } → x=11−2 y
Paso 2: Sustituímos en la segunda ecuación:
x+2 y=113 x−y=5 } → x=11−2 y
3(11−2 y )−y=5⇔33−6 y−y=5⇔33−7 y=5⇔
⇔−7 y=5−33⇔−7 y=−28⇔ y=−28−7
⇔ y=4
Paso 3: Una vez obtenido el valor de una de las incógnitas, volvemos a la
"incógnita inicial".
x=11−2 y → x=11−2(4)⇔x=11−8⇔ x=3
Paso 4: Agrupamos la solución: (3, 4).
Representación gráfica del sistema:
b) Paso 1: Despejamos una de las incógnitas de una de las ecuaciones. En nuestro
caso, escogemos la variable y de la primera ecuación:
2 x−y=15 x−3 y=0} → y=2 x−1
Paso 2: Sustituímos en la segunda ecuación:
2 x−y=15 x−3 y=0} → y=2 x−1
5 x−3(2 x−1)=0⇔5 x−6 x+3=0⇔−x+3=0⇔
⇔−x=−3⇔x=3
Paso 3: Una vez obtenido el valor de una de las incógnitas, volvemos a la
"incógnita inicial".
y=2 x−1 → y=2(3)−1⇔ y=6−1⇔ y=5
Paso 4: Agrupamos la solución: (3, 5).
Representación gráfica del sistema:
c) Paso 1: Despejamos una de las incógnitas de una de las ecuaciones. En nuestro
caso, escogemos la variable x de la primera ecuación:
x+2 y=12x +3 y=4} → x=1−2 y
Paso 2: Sustituímos en la segunda ecuación:
x+2 y=12x +3 y=4} → x=1−2 y
2(1−2 y )+3 y=4⇔2−4 y +3 y=4⇔2−y=4⇔−y=2⇔
⇔ y=−2
Paso 3: Una vez obtenido el valor de una de las incógnitas, volvemos a la
"incógnita inicial".
x=1−2 y → x=1−2(−2)⇔ x=1+4⇔ x=5
Paso 4: Agrupamos la solución: (5, -2).
Representación gráfica del sistema:
d) Paso 1: Despejamos una de las incógnitas de una de las ecuaciones. En nuestro
caso, escogemos la variable x de la primera ecuación:
x−y=37x−3 y=5} → x=3+ y
Paso 2: Sustituímos en la segunda ecuación:
x−y=37x−3 y=5} → x=3+y
7(3+ y )−3 y=5⇔21+7 y−3 y=5⇔21+4 y=5⇔
⇔4 y=5−21⇔4 y=−16⇔ y=−4
Paso 3: Una vez obtenido el valor de una de las incógnitas, volvemos a la
"incógnita inicial".
x=3+ y → x=3+(−4)⇔ x=3−4⇔ x=−1
Paso 4: Agrupamos la solución: (-1, -4).
Representación: