nguy„nhçng˚i»p · · 2015-07-27nguçn t€i li»u kh¡c nhau v€ bŒ xung th¶m mºt sŁ...

Nguyễn Hồng Điệp

Bài tập

Hình học không gian

'

&

$

%'

&

$

%'

& %

$

%��

abbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbcdddd

Nguyễn Hồng ĐiệpVĩnh Bình - Gò Công Tây - Tiền Giang

eeeefgggggggggggggggggggggggggggggh

www.MATHVN.com

mathvn.com

Lời mở đầu• Quyển sách nhỏ này không cung cấp lại các kiến thức cơ bản về hìnhkhông gian. Xuyên suốt tài liệu là các dạng bài tập và phương pháp đểgiải chúng 1. Đa phần là các dạng bài tập được biên soạn lại từ nhiềunguồn tài liệu khác nhau và bổ xung thêm một số vấn đề người soạncảm thấy cần thiết.

• Tài liệu được soạn bằng LATEX phiên bản LATEX2ε . Muốn biết cụthể LATEX là gì các bạn lên google là có ngay kết quả, sau đây là một sốđiều mà tác giả tâm đắc 2 :

• Người soạn thảo văn bản không có kiếu thường mắc phải sai lầmnghiêm trọng vì quan điểm: “Nếu một tài liệu trông sắc sảo thìnó đã được thiết kế tốt”. Tuy nhiên các tài liệu được in ấn để đọcchứ không phải để trưng bày trong phòng triển lãm nghệ thuật.

• Tính rõ ràng, dễ đọc, dễ hiểu của tài liệu phải được đặt lện hàngđầu. LATEX làm rất tốt điều này, LATEX yêu cầu người soạn địnhnghĩa cấu trúc logic của tài liệu, và chương trình sẽ lựa chọn cáchtrình bày tốt nhất. Nhờ đó tài liệu soạn thảo trông thật chuyênnghiệp. Các bạn sẽ thấy một số trang trong tài liệu này có nhiềuphần trắng hơn các trang khác, tất cả đều do LATEX.

• Tác giả gởi lời cám ơn đến tất cả mọi người đã giúp đỡ trong thờigian qua; nhờ có bạn Võ Nguyễn Hoàng Tâm và Lê Thanh Chung màtác giả bắt đầu học cách sử dụng LATEX và cảm thấy ngày càng hứngthú.

Ngày 21 tháng 10 năm 2013.

1Một số phương pháp được người biên soạn tài liệu này đưa ra, tự tác giả cũngthấy còn nhiều hạn chế, mong được sự đóng góp thêm của các bạn.

2Đáng lẽ phần Lời mở đầu không có chú thích cuối trang nhưng trong TEXfootnote thật hấp dẫn (ˆ.ˆ).

♥ Nguyễn Hồng Điệp 3

www.MATHVN.com

mathvn.com

MỤC LỤC MỤC LỤC

Mục lục

I Mở đầu 7

1 Mở đầu về hình không gian 7

1.1 Mở rộng mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Giao tuyến của hai mặt phẳng 11

2.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 15

3.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng 19

4.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 23

5.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6 Chứng minh ba đường thẳng đồng qui 25

6.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

II Quan hệ song song 26

7 Giao tuyến của hai mặt phẳng 27

7.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 ♥ Nguyễn Hồng Điệp

www.MATHVN.com

mathvn.com


8 Đường thẳng song song mặt phẳng 298.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

9 Hai đường thẳng song song 319.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

10 Bài toán thiết diện 1 3310.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

10.1.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3310.1.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

10.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

11 Hai mặt phẳng song song 3811.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3811.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

12 Bài toán thiết diện 2 3912.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

12.1.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3912.1.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

12.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

13 Hình lăng trụ - Hình hộp 41

14 Chứng minh 4 điểm đồng phẳng 4414.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4414.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

15 Chứng minh sự thẳng hàng của 3 điểm 4515.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4515.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

16 Chứng minh ba đường thẳng đồng qui 4716.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4716.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47


www.MATHVN.com

mathvn.com


17 Bài tập tổng hợp 48


www.MATHVN.com

mathvn.com

1 MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHÔNG GIAN

Phần I

Mở đầu

1 Mở đầu về hình không gian

1.1 Mở rộng mặt phẳng

Trong phần bài tập mặt phẳng thường bị “thu gọn” thành tam giác, tứgiác. . . khi “mở rộng” mặt phẳng thì ta sẽ có cách nhìn rõ ràng hơn đốivới một số dạng toán (không có quan hệ song song, vuông góc trongkhông gian) như : giao tuyến hai mặt phẳng, giao điểm đường và mặt,bài toán thiết diện . . . .

• Lưu ý:

1. “Mở rộng” bằng cách kéo dài các “đoạn thẳng giới hạn mặt phẳng”.

2. Khi mở rộng ta nên tìm tất cả các giao điểm có thể có.

3. Hai đường thẳng cắt nhau thì chúng phải đồng phẳng, tức chúngcắt nhau trong mp (α) nào đó.

b

α

a

Ví dụ: Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng hình thang ABCD(AB ‖ CD, AB > CD). Tìm giao tuyến (SAD) và (SBC).

Phân tích

• Dựa vào tên gọi ta có ngay giao điểm thứ nhất là S.


www.MATHVN.com

mathvn.com

1.1 Mở rộng mặt phẳng 1 MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHÔNG GIAN

• Ta chọn (SAD) để “mở rộng” : nhận xét : nếu kéo dài SA, SDcũng chưa thấy giao điểm mới.

• Kéo dài AD sẽ cắt BC (do cùng nằm trong (ABCD) và AD khôngsong song BC) nên giao điểm AD và BC là giao điểm thứ hai cầntìm. Khi ta nối SI,BI thì DC bị khuất.

A

B

C

D I

S

GiảiTa có:

S ∈ (SAD)S ∈ (SBC)

}⇒ S ∈ (SAD) ∩ (SBC) (1)

Trong mặt phẳng (ABCD) gọi I là giao điểm AD và BC

⇒{I ∈ ADI ∈ BC

⇒{I ∈ (SAD)I ∈ (SBC)

⇒ I ∈ (SAD) ∩ (SBC) (2)

Từ (1), (2)⇒ SI = (SAD)∩ (SBC) Khi đó (SAD) “mở rộng” ra thành(SAI).

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD; gọi I, J, K là các điểm trên cạnh AB, BC,CD sao cho AI = 1

3AB, BJ = 2

3BC, CK = 4

5CD. Tìm giao điểm

của (IJK) với AD.


www.MATHVN.com

mathvn.com

1 MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHÔNG GIAN 1.1 Mở rộng mặt phẳng

Phân tích

• Tỉ số CKCD6= CJ

CB(trong ∆CBD) nên JK không song song BD.

• Kéo dài AD ta chưa thấy giao điểm mới. Tránh nhầm lẫn ADcắt IK, các điểm A, D, I cùng thuộc mặt phẳng (ABD) nhưng Kkhông thuộc (ABD) nên AD và IK không đồng phẳng.

• "Mở rộng" mặt phẳng (IJK) :

– Kéo dài IJ cắt BD ở E (trong mp (BCD)), khi đó (IJK) “mởrộng” thành (IJE).

– E ∈ BD ⇒ E ∈ (ABD)

– Gọi F là giao điểm IE và AD thì F là điểm cần tìm.

B

E

C

D

A

I

J

K

F

Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là điểm tùy ý trong tam giác SCD.Tìm thiết diện 3 tạo bởi mặt phẳng (ABM) với hình chóp.

Phân tích

• AB kéo dài cắt CD ở E (trong mp(ABCD)). Lúc này (ABM) trởthành (AEM).

• ME cắt SC và SD lần lượt tại K, H (trong mp(SCD)). Lúc này(ABM) trở thành (HAE).

3Thiết diện sẽ nói rõ hơn ở những phần sau


www.MATHVN.com

mathvn.com

1.2 Bài tập 1 MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHÔNG GIAN

• Khi đó giao thiết diện là tứ giác AHKB.

AD

E

S

BC

H

M

K

1.2 Bài tập

1. Cho tứ diện SABC. Gọi M, N, P là điểm thuộc SA, SB, SC.

(a) Kéo dài NM cắt AB ở H, H thuộc các mp nào?

(b) MP cắt AC không? Vì sao?

(c) MP có thể cắt đường thẳng nào? Gọi giao điểm (nếu có) làJ, J thuộc mp nào?

(d) HJ có thuộc mp(ABC), mp(MNP) không?

2. Cho hình chóp SABC, gọi M, N là các điểm thuộc SA, SB, P làđiểm nào trong mp(SBC)

(a) Các đường thẳng qua MN, MP, SP có thể cắt các đườngthẳng nào?

(b) MP cắt AB, BC không? Vì sao?


www.MATHVN.com

mathvn.com

2 GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG

2 Giao tuyến của hai mặt phẳng

2.1 Phương pháp giải

Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta tìm hai điểm chung phânbiệt của hai mặt phẳng. Khi đó giao tuyến là đường thẳng đi qua haiđiểm chung đó.

M ∈ (α) ∩ (β)N ∈ (α) ∩ (β)

}⇒MN = (α) ∩ (β)

α

β

M

N

2.2 Bài tập

1. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thang (AB song songDC và AB > CD). Tìm giao tuyến các mp:

(a) (SAB) và (ABCD).

(b) (SAD) và (SBC).

(c) (SAC) và (SBD).

2. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là tứ giác lồi (AD > CD)

(a) Tìm giao tuyến các mặt phẳng sau:

i. (SAC) và (SBD).


www.MATHVN.com

mathvn.com

2.2 Bài tập 2 GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG

ii. (SBC) và (SCD).

iii. (SAD) và (SBC).

(b) Gọi N là trung điểm BC. Tìm giao tuyến của (SAN) và:

i. (ACD).

ii. (SCD).

(c) Gọi H là điểm thuộc SD (H nằm gần S), K là điểm thuộc SC(K nằm gần C). Tìm giao tuyến của (AHK) và

i. (SCD).

ii. (ABCD).

iii. (SAB).

3. Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng hình bình hành ABCD.

(a) Tìm giao tuyến mp(SAC) và mp(SBD).

(b) Gọi N là trung điểm BC. Tìm giao tuyến mp(SAN) và mp(ACD).

4. Cho hình bình hành ABCD và điểm M không nằm trong mặtphẳng chứa hình bình hành

(a) Tìm giao tuyến (MAC) và (MBD)

(b) Gọi N là trung điểm BC. Tìm giao tuyến của (AMN) và

i. (ACD)

ii. (MCD)

5. Cho hình chóp SABCD có hai cạnh đối diện không song song. Lấyđiểm M thuộc miền trong tam giác SCD. Tìm giao tuyến các mpsau:

(a) (SBM) và (SCD)

(b) (AMB) và (SCD)

(c) (ABM) và (SAC)

(d) (ABM) và (SAD)


www.MATHVN.com

mathvn.com

2 GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG 2.2 Bài tập

6. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang nhận cạnhAB làm đáy lớn. Gọi E, F là trung điểm SA, SC. M là một điểmtùy ý trên SD. Tìm giao tuyến các mp sau:

(a) (SAC) và (SBD)

(b) (SAD) và (SBC)

(c) (SAB) và (SDC)

(d) (MEF) và (MAB)

7. Cho tứ diện ABCD với I là trung điểm BD. Gọi E, F là trọng tâmcác tam giác ABD và CBD. Tìm giao tuyến của:

(a) (IEF) và (ABC)

(b) (IAF) và (IEC)

8. Cho tứ diện ABCD với I là trung điểm cạnh AD. Cho M, N là haiđiểm tùy ý trên AB, AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN).

9. Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi M, N lần lượtlà trung điểm AD và BC.

(a) Xác định giao tuyến (MBC) và (DNA)

(b) Cho I, J lần lượt là hai điểm nằm trên AB và AC. Xác địnhgiao tuyến (MBC) và (IJD).

10. Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong tam giác ACD.Gọi I, J tương ứng là 2 điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ khôngsong CD

(a) Tìm giao tuyến (IJM) và (ACD); (IJM) và (ACD)

(b) Lấy N thuộc miền trong tam giác ABD sao cho JN cắt ABtại L. Tìm giao tuyến của (MNJ) và (ABC).

11. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD có AB cắt CD tại E, AC cắtBD tại F


www.MATHVN.com

mathvn.com


(a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD),(SAC) và (SBD).

(b) Tìm giao tuyến của (SEF) với các mặt phẳng (SAD), (SBC).

12. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là các điểm nằm trên AB, AD vớiAI = 1

2IB, AJ = 3

2JD .Tìm giao tuyến của (CIJ) và (BCD).

13. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J và K lần lượt là các điểm trên cạnhAB, BC và CD sao cho AI = 1

3AB, BJ = 2

3BC, CK = 4

5CD.

Tìm giao tuyến của (IJK) với (ABD).

14. Cho hình bình hành ABCD và S không nằm trong mặt phẳng chứahình bình hành. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm các đoạn AB,BC, SD. Tìm giao tuyến của (MNE) với các mp (SAD), (SCD),(SAB), (SBC).

15. Cho hình bình hành ABCD và điểm S không nằm trong mp chứahình bình hành. Gọi M, E lần lượt là trung điểm các đoạn AB,SD. N là điểm đối xứng với B qua C. Tìm giao tuyến (MNE) vớicác mp (SCD), (SBD), (SAD) và (SAB).

16. Cho một tứ giác lồi ABCD nằm trong mp(P) có các cạnh đốikhông song song. M là một điểm không nằm trong (P). Tìm giaotuyến các cặp mp sau :

(a) (MAB) và (MCD)

(b) (MAD) và (MBC)

17. Cho tứ diện (ABCD). M là một điểm bên trong tam giác ABD,N là một điểm bên trong tam giác ACD. Tìm giao tuyến của cáccặp mặt phẳng (AMN) và (BCD), (DMN) và (ABC).

18. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là trung điểm của AD, BC

(a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (JAD).

(b) M là một điểm trên cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC.Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (DMN).


www.MATHVN.com

mathvn.com

3 GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

19. Cho hình chóp SABC. Gọi N là điểm nằm trên cạnh SB.

(a) M là điểm nằm trên SA, P là điểm nằm trong (SBC). Tìmgiao tuyến của (MNP) với (SAC).

(b) M là điểm nằm trong mp(SAB), P là điểm nằm trong mp(SBC).Tìm giao tuyến của mp(MNP) với mp(SAC).

20. Cho hình chóp SABCD. Gọi M, N, P là các điểm trên SA, SB BP.Tìm giao tuyến của mp(MNP) với:

(a) mp(ABCD)

(b) mp(SBC)

(c) mp(SCD)

(d) mp(SAD)

21. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành tâmO. M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, SO. Tìm giaotuyến của mp(MNP) với các mặt phẳng (SAB), (SAD), (SBC) và(SCD).

3 Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng


F Trong (α) có sẵn đường thẳng b cắt a tại I thì giao điểm là I

I ∈ a ∩ bb ⊂ (α)

}⇒ I ∈ a ∩ (α)

α

a

b

I


www.MATHVN.com

mathvn.com

3.1 Phương pháp giải3 GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

F Trong (α) không có sẵn đường thẳng cắt a ta thực hiện :

• Chọn mặt phẳng (β)4 chứa a

• Tìm giao tuyến c của (α) và (β)

• Tìm giao điểm I của a và c. Khi đó I là điểm cần tìm.

α

β

Ic

a

F Định lí Thalet: Trong tam giác ABC nếu M, N chia AB, ACtheo cùng tỉ lệ thì MN song song BC.

AM

MB=AN

NB⇒MN ‖ BC

B

C

A

M N

4a nằm trong nhiều mặt phẳng, chọn (β) sao cho tìm giao điểm được dễ dàng.


www.MATHVN.com

mathvn.com

3 GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 3.2 Bài tập

3.2 Bài tập

1. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là các điểm nằm trên AB, AD vớiAI = 1

2IB, AJ = 3

2JD. Tìm giao tuyến của IJ và (BCD).

2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J và K lần lượt là các điểm trên cạnhAB, BC và CD sao cho AI = 1

3AB, BJ = 2

3BC, CK = 4

5CD.

Tìm giao tuyến của (IJK) với AD.

3. Cho tứ diện ABCD có các điểm M, N lần lượt là trung điểm ACvà BC. Lấy K thuộc BD (K không là trung điểm BD). Tìm giaotuyến của AD và (MNK).

4. Cho hình chóp S.ABCD. Lấy M, N, P lần lượt là các điểm trênSA, AB và BC sao cho chúng không trùng với trung điểm các đoạnấy. Tìm giao điểm (nếu có) của mp(MNP) với các cạnh của hìnhchóp, với AC, BD.

5. Cho hình chóp S.ABCD, M, N tương ứng là các điểm thuộc cáccạnh SC và BC. Tìm giao điểm của SD với (AMN).

6. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, CB, BD lần lượt lấy M,N, P tùy ý. Tìm giao điểm của CD, AB, AD với (MNP).

7. Cho tứ diện SABC. Trên cạnh SA, SB lấy hai điểm M, N tùy ý.Gọi O là điểm thuộc miền trong tam giác ABC. Tìm giao điểmcủa (OMN) với các cạnh của tứ diện.

8. Cho 4 điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi M, N lần lượt làtrung điểm AC, BC. Trên đoạn BD lấy P sao cho BP = 2PD.

(a) Tìm giao điểm của CD với (MNP)

(b) Tìm giao tuyến của (MNP) và (ABD).

9. Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi I, K theo thứtự là hai điểm trong của các tam giác ABC và BCD. Giả sử IKcắt (ACD) tại J. Xác định J.


www.MATHVN.com

mathvn.com

3.2 Bài tập 3 GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

10. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy M,N, P. Gọi O là điểm tùy ý trong tam giác BCD.

(a) Tìm giao điểm BC và (ADO), giao tuyến (ABC) và (ADO)

(b) Tìm giao điểm OA và (MNP), giao tuyến (MNP) và (ADO)

11. Cho hình bình hành ABCD và điểm S nằm ngoài mp(ABC)

(a) Trên SC lấy M. Tìm giao điểm của AM và (SBD)

(b) Giả sử M là trung điểm SC. Gọi G là trọng tâm tam giácSAD. Tìm giao tuyến cảu MG và (ABCD), (SAB).

12. Cho hình chóp SABCD

(a) Trên SA lấy M. Tìm giao điểm của BM và (SCD)

(b) Trên phần kéo dài của BC về phía C ta lấy N. Gọi G làtrọng tâm tam giác SAD. Tìm giao điểm của NG với các mp(SCD), (SBD), (SAB).

13. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy I và lấy J, K lần lượt làcác điểm thuộc miền trong các tam giác BCD và BCD. Gọi L làgiao điểm của JK và (ABC)

(a) Xác định điểm L

(b) Tìm giao tuyến (IJK) và các mặt của tứ diện ABCD.

14. Cho tam giác ABC và điểm S không thuộc mặt phẳng (ABC).Gọi M là trung điểm AC, N là trung điểm SA, Glà trọng tâm tamgiác SBC

(a) Tìm giao điểm NG và (ABC)

(b) Tìm giao điểm NG với (SBM)

15. Trong mp(P) cho tứ giác lồi ABCD có các cặp cạnh đối khôngsong song và ngoài (P) cho điểm S.

(a) Trên SA lấy M. Tìm giao điểm BM và (SCD)


www.MATHVN.com

mathvn.com

4 THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP VỚI MẶT PHẲNG

(b) Trên phần kéo dài của BC về phía C ta lấy N. Gọi G là trọngtâm tam giác SAD. Tìm giao điểm của đường thẳng NG vớicác mặt phẳng (SCD), (SBD), (SAB).

4 Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng


• Thiết diện (hay mặt cắt) là phần chung của hình chóp với mặtphẳng đang xét (cắt hình chóp bởi mặt phẳng).

• Lưu ý : tất cả các cạnh của thiết diện phải nằm trên các mặt củahình chóp.

AB

CD

E

F

G

H

I

4.2 Bài tập

1. Cho tứ diện ABCD. Hãy xác định thiết diện của tứ diện ABCDkhi cắt bởi mặt phẳng (MNI) trong các trường hợp sau :


www.MATHVN.com

mathvn.com

4.2 Bài tập 4 THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP VỚI MẶT PHẲNG

a) b) c) M2 ∈ (A2B2D2)

B

D

C

A

N

I

M

B1

D1

C1

A1

N1

I1

M1

B2

D2

C2

A2

N2

I2

M2

2. Cho tứ diện ABCD gọi E là điểm đối xứng của A qua C. Xác địnhthiết diện khi cắt bởi mặt phẳng (BEF) troong các trường hợpsau :

(a) F nằm trên CD và không trùng với C và D.

(b) F nằm trong tam giác ACD

(c) F nằm trong DD’ (D’ là trọng tâm tam giác ABC).

3. Cho hình chóp SABC. Các điểm M, N, E lần lượt trên các cạnhSA, BC, SC thỏa mãn SM = MA, BN = NA, SE

SC= 2

3. Tìm thiết

diện tạo bởi (MNE) cắt hình chóp.

4. Cho hình chóp SABC. Các điểm M, N, E lần lượt trên cạnh SA,BC, SC thỏa SM = MA, BN = NA và SE

SC= 1

3. Tìm thiết diện tạo

bởi (MNE) và hình chóp.

5. Cho hình chóp SBCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M làtrung điểm SC, H là điểm trên đường chéo AC (không trùng vớigiao điểm các đường chéo hình bình hành), và N là trung điểmSH. Tìm thiết diện tạo bởi (BMN) và hình chóp.

6. Cho hình chóp SABC gọi M, N là các điểm trên SA, SB, P là điểmtrong mp(SBC). Tìm thiết diện tạo bởi (MNP) và hình chóp.


www.MATHVN.com

mathvn.com

4 THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP VỚI MẶT PHẲNG 4.2 Bài tập

7. Cho hình chóp SABC. Gọi N là điểm trên cạnh SB, M, P là cácđiểm thuộc miền trong (SAB) và (SBC). Tìm thiết diện tạo bởi(MNP) với hình chóp.

8. Cho hình chóp SABCD. Gọi M, N, P là các điểm trên SA, SB,BD. Tìm thiết diện tạo bởi (MNP) với hình chóp.

9. Cho hình chóp SABCD. Gọi M là điểm tùy ý trong tam giác SCD.Tìm thiết diện tạo bởi (ABM) và hình chóp.

10. Cho hình chóp SABCD. Trên cạnh SA, SB, SC, SD lấy các điểmO, G, P tùy ý. Tìm thiết diện tạo bởi (GOP) và hình chóp.

11. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Gọi M,N, E lần lượt là trung điểm AB, BC, SD. Tìm thiết diện tạo bởi(MNE) và hình chóp.

12. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Gọi Mlà trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAD. Tìm thiết diệntạo bởi (MGC) và hình chóp.

13. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi Hlà giao điểm các đường chéo đáy và M, N là trung điểm AH, BH.Gọi M’, N’ là trung điểm SM, SN. Tìm thiết diện tạo bởi (AM’N’)cắt hình chóp.

14. Cho hình chóp ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G làtrọng tâm tam giác SAD. H là giao điểm các đường chéo đáy, Mlà trung điểm BH, K là điểm trên SM, N là trung điểm AG. Tìmthiết diện tạo bởi (BKN) và hình chóp.

15. Cho hình chóp S.ABCD. Trong tam giác SBC, lấy một điểm M.Trong tam giác SCD, lấy một điểm N.

(a) Tìm giao điểm của MN và (SAC).

(b) Tìm giao điểm của SC với (AMN).

(c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (AMN).


www.MATHVN.com

mathvn.com

4.2 Bài tập 4 THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP VỚI MẶT PHẲNG

16. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M,N, P lần lượt là trung điểm của SB, SD và OC.

(a) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC), và giao điểm của(MNP) với SA.

(b) Xác định thiết diện của hình chóp với (MNP) và tính tỉ sốmà (MNP) chia các cạnh SA, BC, CD.

17. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi M là trungđiểm của SB, G là trọng tâm tam giác SAD.

(a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD). Chứng minh (CGM)chứa CD.

(b) Chứng minh (CGM) đi qua trung điểm của SA. Tìm thiếtdiện của hình chóp với (CGM).

(c) Tìm thiết diện của hình chóp với (AGM).

18. Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh BC, N là mộtđiểm trên cạnh SD.

(a) Tìm giao điểm I của BN và (SAC) và giao điểm J của MNvà (SAC).

(b) DM cắt AC tại K. Chứng minh S, K, J thẳng hàng.

(c) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng(BCN).

19. Cho hình chóp S.ABC. M là một điểm trên cạnh SC, N và P lầnlượt là trung điểm của AB và AD. Tìm thiết diện của hình chópvới mặt phẳng (MNP).

20. Cho hình chóp SABC. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm nằmtrong các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SAC). Tìm thiết diện tạobởi (MNP) và hình chóp.

21. Cho hình chóp SABC, các điểm A’, B’, C’ nằm trên SA, SB, SC

nhưng không trùng với S, A, B, C. XÁc định thiết diện của hìnhchóp khi cắt bởi mặt (A’B’C’).


www.MATHVN.com

mathvn.com

5 CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

22. Cho hình chóp SABC D. Gọi M là một điểm nằm trong tam giácSCD

(a) Tìm giao tuyến của (SBM) và (SAC)

(b) Tìm giao điểm của BM và (SAC)

(c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (AMB).

23. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, Elà trung điểm của AB, Bc, SD. Tìm thiết diện tạo bởi (MNE) cắthình chóp.

24. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi Mlà trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAD. Tìm thiết diệntạo bởi (MGC) cắt hình chóp.

25. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi Glà trọng tâm tam giác SAD. H là giao điểm các đường chéo đáy,M là trung điểm BH, K là điểm trên SM, N là trung điểm AG.Tìm thiết diện tạo bởi (BKN) và hình chóp.

5 Chứng minh ba điểm thẳng hàng


Ta chứng minh ba điểm ấy cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt. (Tạisao? 5)(ˆ.ˆ)

5Phần chung (nếu có) của hai mặt phẳng là đường thẳng, điểm chung thứ 3 phảinằm trên đường thẳng này, do đó ta có ba điểm thẳng hàng.


www.MATHVN.com

mathvn.com

5.2 Bài tập 5 CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

5.2 Bài tập

1. Cho ba điểm A, B, C không thuộc mặt phẳng (Q) và các đườngthẳng BC, CA, AB cắt (Q) lần lượt tại M, N, P. Chứng minh M,N, P thẳng hàng.

2. Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB, SC lấy D, E, F sao cho DE cắtAB tại I, EF cắt BC tại j, cắt CA tại K. Chứng minh I, J, K thẳnghàng.

3. Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC và ngoài (P) cho điểm S.Giả sử A’, B’, C’ là các điểm nằm trên SA, SB, SC sao cho A’B’cắt AB tại M, A’C’ cắt AC tại N và B’C’ cắt BC tại E. Chứngminh M, N, E thẳng hàng.

4. Cho (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến d. Trong (α) lấy hai điểmA và B sao cho AB cắt d tại I. Điểm O nằm ngoài (α) và (β) saocho OA và OB cắt (β) tại A’ và B’

(a) Chứng minh I, A’, B’ thẳng hàng.

(b) Trong (α) lấy C sao cho A, B, C không thẳng hàng. Giả sửOC cắt (β) tại C’, BC cắt B’C’ tại J, CA cắt C’A’ tại K.Chứng minh I, J, K thẳng hàng.

5. Cho tứ diện SABC có D, E lần lượtlà trung điểm AC, BC và Glà trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (α) qua AC cắt SE, SBở M, N. Một mặt phẳng (β) qua BC cắt SD, SA tại P và Q

(a) Gọi I là giao điểm của AM và DN, J là giao điểm BP và EQ.Chứng minh S, I, J, G thẳng hàng.

(b) Giả sử K là giao điểm An và DM, L là giao điểm BQ và EP.Chứng minh S, K, L thẳng hàng.

6. Cho tứ diện OABC. Trên OA, OB, OC lấy A’, B’, C’ khác O saucho các đường thẳng sau đây cắt nhau: BC cắt B’C’ tại I, CA cắtC’A’ tại J, AB cắt A’B’ tại H. Chứng minh I, J, H thẳng hàng.


www.MATHVN.com

mathvn.com

6 CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI

7. Trong mặt phẳng (P) cho tứ giác lồi ABCD và ngoài (P) cho điểmS. Gọi O là giao điểm hai đường chéo ABCD. Trên đoạn SO lấyđiểm I. Một đường thẳng đi qua I cắt SA, SC của tam giác SACtại A’ và C’. Một đường thẳng khác đi qua I cắt SB, SD của tamgiác SBD B’, D’. Giả sử A’B’ cắt AB tại M, C’D’ cắt CD tại N,A’C’ cắt AC tại K và B’D’ cắt BD tại H. Chứng minh M, N, H,K thẳng hàng.

8. Trong mặt phẳng (P) cho tứ giác lồi ABCD và ngoài (P) cho điểmS. Giả sử C’, D’ là các điểm trên SD, SC sao cho hai đường thẳngAD’ và BC’ cắt nhau tại M. Giả sử A’, B’ là hai điểm trên SA,SB sao cho hai đường thẳng DA’ và CB’ cắt nhau tại N. Chứngminh M, N, S thẳng hàng.

9. Cho hình bình hành ABCD và tam giác ABM nằm trong hai mặtphẳng khác nhau. Trên MA, MB, MC, MD lấy A’, B’, C’, D’. GọiI là giao điểm AC’ và A’C, K là giao điểm của BD’ và B’D. Chứngminh I, K, M thẳng hàng.

6 Chứng minh ba đường thẳng đồng qui


Cách 1: Chứng tỏ ba đừng thẳng đó cắt nhau từng đôi một và chúngkhông cùng nằm trong một mặt phẳng.

Cách 2: Chỉ ra rằng hai trong ba đường thẳng đó cắt nhau tại M.Chứng minh M nằm trên đường thẳng còn lại, nghĩa là đường thẳngcòn lại là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng đi qua M.

Ví dụ: Cho tam giác ABC và ABD nằm trong hai mặt phẳng khácnhau. Gọi M, E là trung điểm của CA, CB. Trên cạnh DB, DA của tamgiác ABD lấy N, F sao cho Mn và EF cắt nhau. Gọi G là trọng tâmtam giác ABC. Chứng minh MN, EF, DG đồng qui.

Giải


www.MATHVN.com

mathvn.com

6.2 Bài tập 6 CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI

Cách 1: Rõ ràng G là giao điểm của BM và AE. Mà M khôngthuộc (ADE) do đó MN không nằm trong (ADE). Do đó MN, EF, DGkhông nằm trong cùng một mặt phẳng. Hơn nữa MN và DG cắt nhauvì chúng thuộc tam giác MBD. tương tự EF và GD cắt nhau và MN cắtEF (giả thuyết). Từ đó suy ra các đường thẳng đó đồng qui.

Cách 2: Rõ ràng hai mặt phẳng (MBD) và (AED) cắt nhau theogiao tuyến DG. Các mặt phẳng đó cùng đi qua giao điểm của MN vàEF. Do đó giao điểm của MN và EF nằm trên DG.

AB

C

D

M EG

N

H

F

6.2 Bài tập

1. Cho tứ giác lồi ABCD và tam giác ABM nằm trong hai mặt phẳngkhác nhau. Trên cạnh MA, MB của tam giác MAB lấy A’, B’ saocho CA’ và B’D cắt nhau. Gọi H là giao điểm hai đường chéo củaABCD. Chứng minh MH, CA’ và DB’ đồng qui.

2. Cho hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳngkhác nhau. Trên đoạn EC lấy M, trên DF lấy N sao cho AM vàBN cắt nhau. Gọi I, K là giao điểm các đường chéo của hai hìnhbình hành. Chứng minh IK, AM, BN đồng qui.


www.MATHVN.com

mathvn.com

7 GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG

Phần II

Quan hệ song song

7 Giao tuyến của hai mặt phẳng


"Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giaotuyến (nếu có) sẽ song song với hai đường thẳng ấy."

Tìm giao tuyến của (α) và (β):• Tìm điểm chung S.• Tìm trong (α) và (β) hai đường thẳng a, b song song nhau.• Giao tuyến là đường thẳng Sx qua S và song song cả a và b.

α

β

a

b

xS

7.2 Bài tập

1. Cho hình bình hành ABCD và S là một điểm không thuộc mặtphẳng hình bình hành. Tìm giao tuyến của :

(a) (SAD) và (SBC)

(b) (SAB) và (SDC)

2. Cho tứ diện ABCD. Trên AB, AC lần lượt lấy M, N sao choAMAB

=AN

AC. Tìm giao tuyến của (DBC) và (DMN).


www.MATHVN.com

mathvn.com


3. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là trung điểm BC và AC, M là điểmtùy ý trên AD.

(a) Tìm giao tuyến d của (MIJ) và (ABD)

(b) Gọi N là giao điểm của BD với giao tuyến d, K là giao điểmcủa IN và JM. Tìm tập hợp điểm K khi M di động trên AD(M không là trung điểm AD).

4. Cho tam giác ABC và ABD nằm trong hai mặt phẳng khác nhau.Gọi M, N là trung điểm của AD, BD. Gọi G là trọng tâm tamgiác ABC. Tìm giao tuyến (ABC) và (MNG).

5. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành

(a) Trên cạnh SC lấy M. Tìm giao tuyến (ABM) và (SAD)

(b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABD, N là trung điểm SG. TÌmgiao tuyến của (ABN) và (SBC); (ABN) và (SDC)

6. Cho hai hình bình hành ABCD và CDEF nằm trong hai mặtphẳng khác nhau. Gọi I, K là tâm của ABCD và CDEF. Tìm giaotuyến :

(a) (ABK) và (CDEF)

(b) (BCF) và (ACE)

7. Cho hình bình hành ABCD và tam giác MCD nằm trong hai mặtphẳng khác nhau. Gọi I là trung điểm MD, và K thuộc cạnh MCsao cho MK

MC= 1

3. Mặt phẳng (P) đi qua IK và song song AC cắt

mặt (ABCD) theo một giao tuyến. Tìm giao tuyến đó.

8. Cho hình bình hành ABCD và tam giác CDM nằm trong hai mặtphẳng khác nhau. Trên cạnh AB và BC lấy I, K tùy ý. Mặt phẳng(P) đi qua IK và song song trung tuyến CE của tam giác MCDcắt (MCD) theo giao tuyến d. Tìm d.

9. Cho hai hình vuông ABCD, ABEF nằm trên mặt phẳng khácnhau. Trên AC, BF lấy M, N sao AM = BN. Mặt phẳng (P) qua


www.MATHVN.com

mathvn.com

8 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG

MN và song song AB cắt AD và AF tại P, Q. Tìm giao tuyến của(P) và :

(a) (BCE)

(b) (ADF)

10. Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt nằm trên AB,CD, BC. Xác định giao điểm S của (PQR) với AD nếu

(a) PR ‖ AC(b) PR cắt AC.

11. Cho hình bình hành ABCD và tam giác CDM nằm trong hai mặtphẳng khác nhau. Trên các cạnh AB và BC lấy các điểm I và K.Mặt phẳng (P) qua IK và song song đường trung tuyến CE củatam giác MCD cắt (MCD) theo một giao tuyến. Tìm giao tuyếnđó.

12. Cho hình bình hành ABCD và CDEF nằm trong hai mặt phẳngkhác nhau. Trên AE lấy M. Tìm giao tuyến của (P) qua M vàsong song với AC và DE cắt đồng thời hai mặt phẳng chứa hìnhbình hành đó.

8 Đường thẳng song song mặt phẳng


Ta chứng minh đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và song vớiđường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng.

α

a

b


www.MATHVN.com

mathvn.com

8.2 Bài tập 8 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG

a 6⊂ (α)a ‖ bb ⊂ (α)

⇒ a ‖ (α)

8.2 Bài tập

1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ACD. Gọi M làđiểm trên BC sao cho CM:CB = 2:3, I là trung điểm AD. Chứngminh MG song song BI, MG song song (ABD).

2. Cho tứ diện ABCD gọi E, F là trọng tâm tam giác ACD và BCD.Chứng minh EF song song (ABC) và (ABD).

3. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặtphẳng khác nhau. Gọi O là giao điểm AC và BD, O’ là giao điểmAE và BF

(a) Chứng minh OO’ song song (ADF) và (BCE)

(b) Gọi M, N là trọng tâm tam giác ABD và ABE. Chứng minhMN song song (CEF)

4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi Glà trọng tâm tam giác SAB, I là trung điểm AB. Lấy M trong ADsao cho AD = 3AM

(a) Đường thẳng qua M và song song AB cắt CI tai N. Chứngminh rằng : NG song song (SCD).

(b) Chứng minh MG song song (SCD).

5. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang (AD là đáy lớn) AD= 2BC. Gọi O là giao điểm AC và BD, G là trọng tâm tam giácSCD

(a) Chứng minh OG song song (SBC)

(b) Cho M là trung điểm SD. Chứng minh CM song song (SAB)


www.MATHVN.com

mathvn.com

9 HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

(c) Giả sử I thuộc SC sao cho SC:SI = 3:2. Chứng minh SA songsong (BID).

6. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N, P là trung điểm AB, CD, SA

(a) Chứng minh MN song song (SBC), (SAD)

(b) SB song song (MNP), SC song song (MNP)

7. Cho hình chóp SABC và điểm K là trung điểm SC. M, N là cácđiểm trên SA, BK sao cho : AM:AS = BM:2BK. Chứng minh MNsong song (ABC).

8. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặtphẳng khác nhau. Trên BD, CE lấy M, N sao cho : MD:MB =NE:NC. Chứng minh MN song song (ADE).

9 Hai đường thẳng song song


• Đưa về cùng mặt phẳng và áp dụng các tính chất đã học tronghình học phẳng để chứng minh.

• Áp dụng tính chất6

a ‖ ba ∈ (α) , b ∈ (β)(α) ∩ (β) = c

⇒ a ‖ b ‖ c

α

β

c

a

b

6Thường áp dụng khi chứng minh ba đường thẳng song song nhau


www.MATHVN.com

mathvn.com

9.2 Bài tập 9 HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

• Tìm (chứng minh) a ‖ b.• Chọn (α) chứa a và c, chọn (β) chứa b và c.

• Kết luận.

9.2 Bài tập

1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm AB, BC, Q là mộtđiểm trên cạnh AD và P là giao điểm CD với (MNP). Chứng minhPQ ‖MN ‖ AC.

2. Cho tứ diện ABCD có M, N, P là trung điểm BC, BD, AB. GọiI là giao điểm AN và DP, J là giao điểm Am và CP. Chứng minhIJ song song DC.

3. Cho tứ diện SABC. Trên SA, BC lấy M, N sao cho SMSA

= BNBC

= 34.

Qua N kẻ NP song song CA (P nằm trên AB). Chứng minh MPsong song SB.

4. Cho tứ diện ABCD có I, J là trọng tâm các tam giác ABC vàABD. Chứng minh IJ song song CD.

5. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang (AB là đáylớn). Gọi M là trung điểm SA. Mặt (MBC) cắt SD tại N. Chứngminh MN song song AD.

6. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I làtrung điểm SA, O là trung điểm SC. Mặt phẳng (ICD) cắt SB tạiJ.

(a) Xác định J

(b) Tìm giao tuyến (OIJ) và (OCD).

7. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Cácđiểm A’, B’, C’, D’ nằm trên SA, SB, SC, SD sao cho ABCD làhình bình hành. Chứng minh các cạnh của A’B’C’D’ song songvới các cạnh đáy hình chóp.


www.MATHVN.com

mathvn.com

10 BÀI TOÁN THIẾT DIỆN 1

8. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ diện ABCD ta lấy M, N,P, Q sao cho MNPQ là hình bình hành. Chứng minh MN songsong BD và MQ song song AC.

9. Cho hình chóp SABCD có đáy là tứ giác lồi. Gọi M, N là trọngtâm tam giác SAB và SAD, E là trung điểm CB

(a) Chứng minh MN song song BD

(b) Gọi H, L là giao điểm của (MNE) và SB, SD. Chứng minhLH song song BD.

10. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là trung điểm AC và BC. Trên BDlấy K sao cho BK = 2KD

(a) Tìm E là giao điểm của CD và (IJK). Chứng minh : DE =DC

(b) Tìm F là giao điểm của AD và (IJK). Chứng minh : FA =2FD

(c) Chứng minh: FK song song IJ

11. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang. Biết AD =a, BC = b. Gọi I, J là trọng tâm tam giác SAD và SBC. Mặtphẳng (ADJ) cắt SB, SC tại M, N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SDtại P, Q.

(a) Chứng minh MN song song PQ.

(b) Giả sử AM cắt BP tại E; CQ cắt DN tại F. Chứng minh EFsong song MN và PQ. Tính EF theo a và b.

10 Bài toán thiết diện 1


10.1.1 Bài toán

Xác định thiết diện của (α) với hình chóp biết (α) qua một số điểm (M,N,...) và song song một số cạnh (SA, SB, SC,...)


www.MATHVN.com

mathvn.com

10.2 Bài tập 10 BÀI TOÁN THIẾT DIỆN 1

10.1.2 Phương pháp giải

Ta có thể làm như sau:

1. Chọn

{1 điểm ∈ (α) . Ví dụ: M1 đường thẳng ‖ (α) .Ví dụ: d

2. Tìm mặt phẳng (β) chứa M và d ở bước 1.

3. Xác định giao tuyến d’ của (α) và (β)

α

β

d′d M

4. Tìm giao điểm (nếu có) của d’ với các cạnh hình chóp.

5. Lập lại cho đến khi xác định được thiết diện.Lưu ý tính chất song song (có thể có) của các cạnh thiết diện đểđịnh tính thiết diện.

10.2 Bài tập

1. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành

(a) Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD)

(b) Xác định thiết diện của hình chóp SABCD khi cắt bởi mặtphẳng (MCB) trong đó M là một điểm nằm giữa S và A.

2. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K,G là trong tâm tam giác SBC và SCD. Trên cạnh AB lấy M. Tìmthiết diện tạo bởi (MGK) và hình chóp.


www.MATHVN.com

mathvn.com

10 BÀI TOÁN THIẾT DIỆN 1 10.2 Bài tập

3. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là từ giác lồi. Gọi M, N làtrung điểm SB, SD. Trên đường chéo AC lấy K. Tìm thiết diệntạo bởi (KMN) và hình chóp.

4. Cho tứ diện ABCD, lấy M thuộc BC, N thuộc AC. Qua M, N vẽ(P). Tìm thiết diện của (P) với hình chóp biết :

(a) (P) song song CD

(b) (P) song song CD và AB

5. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành, O là giao điểmAC và BD, M là trung điểm SA. Tìm thiết diện tạo bởi (P) vớihình chóp biết (P) qua M và song song SC, AD.

6. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

(a) Mp(P) qua AD cắt SC, SB tại M, N. ADMN là hình gì?

(b) Gọi I là giao điểm của AN và DM. Chứng minh I thuộc đườngthẳng cố định.

(c) Gọi J là giao điểm AM và DN. Tìm quĩ tích J khi M thayđổi trên AC.

7. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang (đáy lớn AB). M làtrung điểm CD. Xét (P) qua M và (P) song song SA, BC

(a) Tìm thiết diện của (P) và hình chóp

(b) Tìm giao tuyến (P) và (SAD)

8. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O.Lấy M thuộc AC. Mp(P) qua M và song song SA, BD. Xác địnhgiao tuyến (P) và hình chóp.

9. Hình chóp SABCD có đáy là hình thang ABCD, AB song songCD

(a) Tìm giao tuyến d của (SAB) và (SCD).

(b) Trên đường chéo BD ta lấy M. Tìm thiết diện tạo bởi mặtphẳng qua d và M.


www.MATHVN.com

mathvn.com


10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K, G làtrọng tâm tam giác SBC và SCD. Trên AB ta lấy M. Tìm thiếtdiện tạo bởi (MGK) cắt hình chóp.

11. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi M, N làtrung điểm SB, SD. Trên đường chéo AC ta lấy điểm K. Tìm thiếtdiện tạo bởi (KMN) cắt hình chóp.

12. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang ABCD (AD songsong BC). Gọi O là giao điểm hai đường chéo hình thang, M làtrung điểm SA, N là điểm tùy ý trên SD.

(a) Tìm giao điểm SC và (OMN)

(b) Tìm thiết diện (OMN) và hình chóp

13. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N làtrung điểm BC, CD, lấy I tùy ý trên SA

(a) Tìm giao điểm (IMN) và SD, SB

(b) Tìm thiết diện của (IMN) và hình chóp.

14. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi M, N làtrọng tâm SAB, SAD, E là trung điểm CB

(a) Chứng minh MN song song BD

(b) Xác định thiết diện (MNE) và hình chóp

(c) Gọi H, L là giao điểm (MNE) với SB, SD. Chứng minh HLsong song BD.

15. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm AB, N là một điểmthuộc CD (không trùng với C,D). Mp(P) qua MN và song songBC

(a) Xác định thiết diện của (P) và hình chóp

(b) Định vị trí N để thiết diện là hình bình hành.


www.MATHVN.com

mathvn.com

10 BÀI TOÁN THIẾT DIỆN 1 10.2 Bài tập

16. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là trung điểm BC, AD; G là trungđiểm IJ. Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi (P) trong cáctrường hợp :

(a) (P) qua G và điểm E thuộc BC; song song với AD

(b) (P) qua G và song song với BC, AD.

17. Cho hình chóp SABCD

(a) Gọi M, N là trung điểm SB, SC; E là điểm tùy ý trên AB.Tìm thiết diện tạo bởi mp(P) cắt hình chóp biết (P) qua E,song song AM, BN.

(b) Tìm thiết diện tạo bởi (Q) và hình chóp biết (Q) qua BN,song song với AM.

18. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành ABCD

(a) Gọi H là giao điểm hai đường chéo đáy, M là điểm tùy ý trênAC. Mp(P) qua M và song song SA, DB. Xác định thiết diệntạo bởi (P) và hình chóp.

(b) Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Mp(Q) qua BQ và songsong SA. Tìm thiết diện tạo bởi (Q) và hình chóp.

19. Cho hình chóp SABC

(a) Gọi M, N là trung điểm SB, SC; và E là điểm tùy ý trên AB.Tìm thiết diện tạo bởi (P) qua E và song song với AM, BNcắt hình chóp.

(b) Tìm thiết diện tạo bởi (Q) đi qua BN, song song AM cắthình chóp.

20. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành

(a) Gọi H là giao điểm cảu hai đường chéo ở đáy và M là điểmtùy ý trên AC (khác H). Tìm thiết diện tạo bởi (P) qua Mvà song song với các đường thẳng SA, BD cắt hình chóp đó.

21. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Tìm thiết diện tạo bởi (Q) quaBG song song SA, cắt hình chóp.


www.MATHVN.com

mathvn.com

11 HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

11 Hai mặt phẳng song song


Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượtsong song với mặt phẳng kia.

a, b ⊂ (α)a ∩ b = {0}a ‖ (β) , b ‖ (β)

⇒ (α) ‖ (β)

α

β

a

bO

11.2 Bài tập

1. Cho hình bình hành ABCD và ABEF thuộc hai mặt phẳng khácnhau

(a) Chứng minh (ADF) song song (BCE)

(b) Gọi M, N, P là trung điểm các cạnh BC, BA, BE. Chứngminh (MNP) song song (CAE).

2. Cho hình chóp SABC. Gọi I, J, K là trọng tâm các tam giác SAB,SBC, SCA. Chứng minh (IJK) song song (ABC).

3. Hai hình bình hành ABCD và CDEF nằm trong hai mặt phẳngkhác nhau. Trên các đoạn BD, CE, BE lấy M, N, K sao cho BM

MD=

CNNE

= BKKE

.Chứng minh (MNK) song song (ADE).


www.MATHVN.com

mathvn.com

12 BÀI TOÁN THIẾT DIỆN 2

4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I,J, K là trung điểm SA, SB, SC

(a) Chứng minh (HIK) song song (ABCD)

(b) Gọi J là giao điểm của SD và (HIK). Chứng minh HIJK làhình bình hành.

(c) Gọi M là giao điểm của AI và DK; N là giao điểm của DHvà CI. Chứng minh (SMN) song song (ABCD).

5. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang (AB là đáy lớn).Trên SA, BD lấy M, N sao cho SM:SA = DN:DB = 2:3. Kẻ NIsong song AB (I thuộc AD)

(a) Chứng minh MI song song (SBD); (MIN) song song (SCD),Mn song song (SCD)

(b) Tìm giao điểm P của (MNI) và SB. Chứng minh : PJ songsong SC.

6. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khácnhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, Nsao cho: AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M,N lần lượt cắt AD, AF tại M’, N’.

(a) Chứng minh: (CBE) // (ADF).

(b) Chứng minh: (DEF) // (MNN’M’).

(c) Gọi I là trung điểm của MN, tìm tập hợp điểm I khi M, Ndi động.

12 Bài toán thiết diện 2


12.1.1 Bài toán

Xác định thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp khi (P) song song với mặt(Q) nào đó trong hình chóp.


www.MATHVN.com

mathvn.com


12.1.2 Phương pháp giải

Để xác định giao tuyến ta làm như sau :

1. Trong (Q) tìm đường thẳng d

2. Vì (P) song song d nên (P) cắt các mặt phẳng chứa d theo cácgiao tuyến song song với d 7

• Ví dụ: Cho hình chóp SABC, I nằm trên SB. Mặt phẳng (P) quaI và song song (SAC). Khi đó ta có giao tuyến (P) và:

• (SAC) là IM và IM song SA.

• (SBC) là IN và IN song song SC.

• (ABC) là MN và MN song song AC.

Vậy thiết diện là tam giác IMN.

A

C

B

S

I

M N

12.2 Bài tập

1. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi Mlà trung điểm SC, trên AB lấy K. Tìm thiết diện tạo bởi (P) vớihình chóp biết (P) qua K và song song (MBD).

7Bài toán thiết diện 1


www.MATHVN.com

mathvn.com

13 HÌNH LĂNG TRỤ - HÌNH HỘP

2. Cho hai hình bình hành ABCD nằm trong các mặt phẳng khácnhau. Gọi M, N, P là các điểm nằm trên AB, BC, AD của hìnhbình hành. Gọi (P) là mp qua K song song với (MNE). Tìm giaotuyến (P) và (CDEF).

3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm AB, CD. Trên BCta lấy E sao cho BE = 2EC. Trên AM lấy H. Tìm thiết diện tạobởi (P) qua H và song song (MNE). Thiết diện là hình gì?

4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N, E là trung điểm AB, AD, SC. Với K trên AM ta dựng (P) quaK và song song (MNE). Tìm thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp.Thiết diện là hình gì?

5. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O với AC= a, BD = b. Tam giác SBD đều. Một mặt phẳng (P) di độngluôn song song với mp(SBD) và đi qua điểm I trên đoạn AC. Xácđịnh thiết diện của hình chóp với (P).

6. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O.Lấy M thuộc AC. Mặt phẳng (P) qua và song song SA, DB. Xácđịnh giao tuyến (P) và hình chóp.

13 Hình lăng trụ - Hình hộp

1. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm BB’, Glà trọng tâm tam giác ABC, K là trung điểm BC. Tìm thiết diệntạo bởi (A’MG) và hình chóp.

2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi O là trung điểm AB;I, J là tâm các hình vuông ABCD và ABB’A’. Chứng minh IJsong song (ADD’A’) và (OIJ) song song (BCC’).

3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Điểm M thuộc AD, N thuộc D’C’sao cho AM:MD = D’N:NC’

(a) Chứng minh : MN song song (C’BD)


www.MATHVN.com

mathvn.com


(b) Chứng minh : MN song song (C’BD)

4. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm của A’B’.

(a) Chứng minh CB’ // (AHC’).

(b) Tìm giao điểm của AC’ với (BCH).

(c) Mặt phẳng (P) qua trung điểm của CC’ và song song với AHvà CB’. Xác định thiết diện (P) và thiết diện.

5. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

(a) Chứng minh hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song.

(b) Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mp(A′B′G2). Thiếtdiện là hình gì?

6. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’.

(a) Tìm giao tuyến của (AB’C’) và (BA’C’).

(b) Gọi M, N lần lượt là 2 điểm bất kì trên AA’ và BC. Tìm giaođiểm của B’C’ với mặt phẳng (AA’N) và giao điểm của MNvới mp(AB’C’).

7. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm của A’B’

(a) Chứng minh CB’ // mp(AHC’)

(b) Tìm giao điểm của AC’ và mp(BCH)

(c) Mp(P) qua trung điểm I của CC’ và song song với AH vàCB’. Xác định thiết diện.

8. Cho lăng trụ ABCA’B’C’

(a) Tìm giao tuyến của (AB’C’) và (BA’C’)

(b) Gọi M và N là 2 điểm bất kì trên AA’ và BC. Tìm giao điểmcủa B’C’ với mp(AA’N), của MN với (AB’C’)


www.MATHVN.com

mathvn.com


9. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Trên phần kéo dài của AA’ vềphía A ta lấy điểm M sao cho AA’ = 2 AM. Xét N và E nằm trêncác cạnh A’B’ và C’D’ thỏa mãn A’N = 2NB’ và C’E = 3ED’.Tìm thiết diện tạo bởi (MNE) cắt hình hộp.

10. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm BB’, G làtrọng tâm tam giác ABC. Tìm thiết diện tạo bởi (A’MG) cắt hìnhlăng trụ đó.

11. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm cạnh AB.Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) song song (AB’D’) và điqua M cắt hình hộp.

12. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N là giao điểm của haimặt (BCC’B’), (CDC’D’)

(a) Tìm thiết diện tạo bởi (AMD) cắt hình hộp.

(b) Gọi (P) là mặt phẳng qua giao điểm các đường chéo của mặt(ABA’B’) song song (AMN). Tìm thiết diện tạo bởi (P) cắthình hộp.

13. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm BC, N làtrung điểm AB. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) song song(AMC’) và đi qua N cắt hình trụ.

14. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm AB, N làtrun điểm B’C’, K là giao điểm hai đường chéo của hình bình hànhACC’A’. Tìm thiết diện tạo bởi (KMN) cắt hình lăng trụ.

15. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M là trọng tâm tam giácABC và N là trung điểm BB’. Mặt phẳng (P) qua M và song songAN và A’C cắt lăng trụ theo một thiết diện. Tìm thiết diện đó.


www.MATHVN.com

mathvn.com

14 CHỨNG MINH 4 ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG

14 Chứng minh 4 điểm đồng phẳng


Xét 4 điểm A, B, C, D• Nếu chỉ ra AB cắt CD thì 4 điểm đó đồng phẳng.• Nếu chỉ ra được AB ‖ CD thì 4 điểm đó đồng phẳng.

Ví dụ: Cho hình thang ABCD, có AB song song CD và tam giác ABEnằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N là trung điểm của AE,BE của tam giác ABE. Chứng minh C, D, M, N thẳng hàng.

Giải

Rõ ràng MN song song AB và AB song song CD do đó MN songsong CD hoặcMN ≡ CD. Vì M không thuộc (ABCD) và M cũng khôngthuộc (ECD) nên MN không thể trùng với CD. Từ đó suy ra các đườngthẳng MN song song CD và chúng cùng nằm trong một mặt phẳng.

A B

CD

E

M N

14.2 Bài tập

1. Cho hình bình hành ABCD. Ta kí hiệu Ax, By, Cz là các tia nằmcùng phía đối với mặt phẳng (ABCD) và thỏa mãm điều kiệnAx ‖ By ‖ Cz. Trên các tia Ax, By, Cz ta lấy các điểm tương ứng


www.MATHVN.com

mathvn.com

15 CHỨNG MINH SỰ THẲNG HÀNG CỦA 3 ĐIỂM

M, K, N sao cho AM +CN = BK. Chứng minh 4 điểm M, N, K,D thẳng hàng.

2. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh 4 trung điểm của 4 cạnh tứ diệnAB, AC, DB, DC cùng nằm trong một mặt phẳng.

3. Cho hình bình hành ABCD và 4 điểm A’, B’, C’, D’ nằm cùngphía đối với mặt phẳng (ABCD) và thỏa mãn đồng thời các điềukiện AA′//BB′//CC ′//DD′ và AA′ +CC ′ = BB′ +DD′. Chứngminh A’, B’, C’, D’ cùng nằm trong một mặt phẳng.

4. Cho hình chóp SABCD có đáy là tứ giác lồi ABCD. Chúng minhrằng trọng tâm của 4 mặt bên hình chóp nằm trong cùng một mặtphẳng.

5. Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC. Chứng minh rằng các

tia phân giác trong của hai góc ASB, BSC và tia phân giác ngoài

của góc CSA cùng nằm trong một họ mặt phẳng.

15 Chứng minh sự thẳng hàng của 3 điểm


Xem phương pháp giải mục 5.1 ở trang 23.

Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB song song CD) và tam giác CEDnằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi O là giao điểm hai đườngchéo hình thang. Các điểm M, N là trung điểm CE, DE của tam giácCDE. Chứng minh rằng hai đường thẳng AM, BN cắt nhau tại I và bađiểm E, I, O thẳng hàng.

Giải

Rõ ràng MN song song CD và CD song AB, M không nằm trênAB, do đó MN song song AB. Tứ giác ABMN có hai đường chéo là


www.MATHVN.com

mathvn.com

15.2 Bài tập 15 CHỨNG MINH SỰ THẲNG HÀNG CỦA 3 ĐIỂM

AM và BN nên chúng cắt nhau. Mặt khác OE là giao tuyến (AEC) và(BED) và I cũng đồng thời thuộc hai mặt phẳng đó nên I nằm trên OE.

A B

CD

E

O

M N

I

15.2 Bài tập

1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Các điểmM, N, E, F là trung điểm AB, CD, AC, BD. Chứng minh MN vàEF cắt nhau tại K và ba điểm D, G, E thẳng hàng.

2. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCDlà hình bình hành. Gọi A’,B’, C’, D’ là trung điểm SA, SB, SC, SD.

(a) Chứng minh BA’ và CD’ cắt nhau tại M; AB’ và DC’ cắtnhau tại N.

(b) Chứng minh M, N, S thẳng hàng.

3. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặtphẳng khác nhau. Gọi I, J là trung điểm CE và DF.

(a) Chứng minh AI và BJ cắt nhau tại P.

(b) Gọi Q, R là trung điểm của DE, AB. Chứng minh rằng B,Q, R thẳng hàng.


www.MATHVN.com

mathvn.com

16 CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI

16 Chứng minh ba đường thẳng đồng qui


Xem phương pháp giải mục 6.1 ở trang 25.

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, I , K , H là trung điểm củaAB, CD, AC, BD, AD, BC. Chứng minh MN, IK, HL đồng qui.

Giải

Cách 1 Rõ ràng tứ giác MINK, MHNL là các hình bình hành vàMN là đường chéo chung của hai hình bình hành. Vì vậy IK, HL cùngcắt MN tại trung điểm của MN.

Cách 2 Rõ ràng MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (MINK) và(MHNL). Gọi O là giao điểm của HL và IK, khi đó O thuộc đồng thờihai mặt phẳng (MINK) và (MHNL). Do đó O thuộc MN.

A

B

C

DK

N

H

I

M

L

16.2 Bài tập

1. Cho hình chóp SABC. Gọi A’, B’, C’ là trung điểm của BC, CA,

AB. Trên SA, SB, SC lấy A1, B1, C1 sao choSA1

SA=SB1

SB=SC1

SC.

Chứng minh rằng các đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy.


www.MATHVN.com

mathvn.com

17 BÀI TẬP TỔNG HỢP

2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặtphẳng khác nhau. Gọi I, J là giao điểm các đường chéo của haihình bình hành đó. Các điểm M, N tương ứng là trung điểm cácđoạn CE và DF. Chứng minh IJ, AM, BN đồng qui.

3. Cho hình thang ABCD (AB song song CD) và tam giác CDE nằmtrong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi O là giao điểm hai đườngchéo hình thang. Các điểm M, N là trung điểm của CE, DE củatam giác CDE. Chứng minh AM, BN, OE đồng quy.

17 Bài tập tổng hợp

1. (Thi học kì I - Tiền Giang - 2012-2013) Cho hình chóp SABC cóG là trọng tâm tam giác ABC. Gọi M, N là điểm trên cạnh SAsao cho SM = MN = NA.

(a) Chứng minh GM song song (SBC)

(b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua G. Chứng minh BG songsong CD và GN song song MD.

2. (Thi học kì I - Vĩnh Bình - 2011-2012) Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm AB.

(a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng

i. (SAC) và (SBD)

ii. (SAD) và (SBC)

(b) Gọi (α) là mặt phẳng qua M và song song BD, SA. Xác địnhthiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α).

3. (Thi học kì I - Chợ Gạo - 2011-2012) Cho hình chóp SBCD cóđáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, K là trung điểm AB,CD, SA.

(a) Chứng minh: MN song song (SBC), SC song song (MNK)

(b) Tìm thiết diện của (MNK) và hình chóp. Thiết diện là hìnhgì.


www.MATHVN.com

mathvn.com


4. (Thi học kì I - Vĩnh Kim - 2011-2012) Cho hình chóp SABCD cóđáy ABCD là hình thang, đáy lớn là AB. Gọi M là một điểm tùyý trên cạnh SB, G1 là trọng tâm tam giác SAD và G2 là trọngtâm tam giác SBC

(a) Tìm giao tuyến mặt phẳng (SAD) và (SBC).

(b) Tìm giao điểm của DM và (SAC).

(c) Chứng minh G1G2 song song (SCD)

5. (Thi học kì I - Nguyễn Văn Côn - 2011-2012) Cho tứ diện ABCD.Gọi M, N, K là trung điểm của AC, BC và BD.

(a) Xác định giao tuyến của:

i. (MNK) và (BCD)

ii. (MNK) và (ABD)

iii. (MNK) và (ACD)

(b) (MNK) cắt AD tại L. Chứng minh ML song song (BCD)

6. (Kiểm tra lần I - HKI - Chợ Gạo ) Cho hình chóp SABCD cóABCD là hình thang, đáy lớn AD. Gọi M, N là trung điểm SC,SD

(a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD). Tìm giao điểm K củaSB và (AMN)

(b) Tìm thiết diện của (AMN) và hình chóp SABCD.

7. (Kiểm tra lần II - HKI - Chợ Gạo ) Cho hình chóp SABCD cóđáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi M, N là trung điểmSA, SB

(a) Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD). Chứng minh MN song song(ABCD)

(b) Tìm giao điểm K của SC và (ADN). Kéo dài AN và DK cắtnhau tại I. Chứng minh SI ‖ AB ‖ CD.


www.MATHVN.com

mathvn.com


8. (Kiểm tra lần II - HKI - Chợ Gạo ) Cho tứ diện ABCD, gọi M, Nlà trung điểm AC, BC. K là điểm bất kì trên BD. Tìm thiết diệncủa (MNK) và tứ diện. Xác định K trên BD để thiết diện là hìnhbình hành.

9. (Kiểm tra lần II - HKI - Chợ Gạo ) Cho hình chóp SABCD cóđáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi M ,N là hai điểm trên AB, CD. Mặtphẳng (P) qua MN và song song SA. Tìm thiết diện tạo bởi (P)và hình chóp. Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.

10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với CD làđáy lớn. Điểm M là trung điểm AD, K là điểm thuộc SM sao choSK = 2KM

(a) Tìm giao tuyến (SBC) và (SAD)

(b) Tìm giao điểm của CK và (SBD)

(c) Mặt phẳng (α) qua K và song song SD, AB. Tìm thiết diệncủa hình chóp cắt bởi mp(α).

11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hnh, O là giaođiểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểmcủa SA, SC.

(a) Tìm giao điểm của SO với mp (MNB). Suy ra thiết diện củahình chóp khi cắt bởi mp (MNB).

(b) Tìm giao điểm E, F của AD, CD với mp(MNB).

(c) Chứng minh rằng E, B, F thẳng hàng.

12. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD l hình bình hành. M, N lầnlượt là trung điểm của AB, SC.

(a) Tìm giao tuyến của (SMN) và (SBD)

(b) Tìm giao điểm I của MN và (SBD)

(c) Tính tỷ số MIMN

13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD l hình thang AD//BC vàđáy lớn AD = 2BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác SCD.


www.MATHVN.com

mathvn.com


(a) Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAC) và (SBD),(SAD) và (SBC), (SAB) và (SCD).

(b) Xác định giao điểm H của BG và mp(SAC). Từ đó tính tỉ sốHBHG

14. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình hành ABCD có tâm là O.Gọi M là trung điểm của SC.

(a) Xác định giao tuyến của mp(ABM) và mp(SCD).

(b) Gọi N là trung điểm của BO, hãy xác định giao điểm I của(AMN) với SD. Chứng minh rằng SI

ID= 2

3.

15. Cho hai hình vuông có chung cạnh AB và nằm trong hai mặtphẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF ta lấy các điẻmM, N sao cho AM = BN. Mặt phẳng (P) chứa MN và song songvới AB cắt AD và AF lần lượt tại M’, N’.

(a) Tứ giác MNM’N’ là hình gì?

(b) Chứng minh M’N’ // EC.

(c) Chứng minh MN // (DEF).


www.MATHVN.com

mathvn.com

nguy„nhçng˚i»p · · 2015-07-27nguçn t€i li»u kh¡c nhau v€ bŒ xung th¶m mºt sŁ...

Documents