những bài toán chọn lọc lượng giác - hồ sĩ vinh (trích Đoạn)

8/20/2019 Những Bài Toán Chọn Lọc Lượng Giác - Hồ Sĩ Vinh (Trích Đoạn)

1/96

HỒ s ĩ VINH(GV. Đ ại học Sư phạm Hà N ội I I)

N H ã N G B À I T O Á N C H Q N L Ọ C■ ■

L ú Ợ n g g i á c

Dành cho HS lớp 11,12 chưclng trình cd bản - phân ban và nâng cao.

y Kiến thức cơ bán .■S Phươ ng ph áp g iả i từng loại bà i t ập .•/ Các dạn g bà i tập đ ién h ình , ha y và đa dạng .ự Bá m sá t c h u ẩ n k i ế n th ức v à k ĩn ă n g .•/ Giớỉ thiệu các đề ửii lượng giác cứá

các trưồ ng v à Bộ GD&ĐT.

m NHÀXUẤT BẢN ĐẠI HỌC Qllốc GIAHÀNỘI

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY

WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


2/96





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


3/96





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


4/96

LỜI GIỚI THIỆU

ìỵẦiốn sách "Những bài toán chọn lọc Lượng giác" nhằm giúp họcsinh t rung học phổ thông hệ thông toàn bộ kiến thức môn lượng giác đãđược học trong chương trình phổ thông hiện hành. Trên cơ sở đó giúpcho các em ôn thi, chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh vào các trường đạihọc, cao đẳng. Với mục đích đó cuốn sách được chia làm 4 phần:

Phần I : Các kiến thức cơ bẳn về lượng giác và các Ibài toán về chứng minh, rút gọn, tính toán các biểu thức liíỢng giác.

Phần 17: Các bài tập về phương trinh liíỢng giác được chia

làm 8 loạỉ. Phần III: Các hệ thức trong tam giác và nhận dạng tam giác đều, cân, vuông...

Phần TV. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức lượng giác. Phần Phụ lụ c: Các đề thỉ lượng giác trong kỳ thỉ tuyển sinh

vào đạỉ học từ năm 2002 đến năm 2009.Cuốn sách được chọn lọc, biên soạn bắt đầu từ lý thuyết, phương

pháp g iả i từ n g lo ạ i b à i tậ p và các b à i tậ p m in h ho ạ, các b à i tậ p tựluyện, có hướng dẫn, hy vọng sẽ g iúp ích nhiều cho v iệc học tập mônlượng giác, đặc biệt là chuẩn bị tốt cho các em thi vào các t rường đạihọc, cao đẳng.

Tác giả dã cô' gắng chọn các bài tập hay, đa dạng và lời giải ngắngọn, t r ình bày cẩn th ận , nhưng chắc là không t rán h khỏi sa i só t.

Trong quá t r ình biên soạn, cuô 'n sách có thể còn những khiếmkhuyết rấ t mong nhận được những góp ý chân thành của quý đồngnghiệp và các em học sinh.

Mọi ý k iến đóng góp xin l iên hệ:

- Trung tàm sách giáo đục Anpha225C Nguyễn Tri Phương, P.9, Q.5, Tp. HCM.

- Công ti sách - th iết bị giáo dục ANPHA50 Nguyễn Văn Sàng, Quận Tân Phứ, TP.HCM

ĐT: 08.62676463, 38547464.Em ail: [email protected]

Xin trân t rọng cảm ơn!

Những bài toán chọn lọc Luợng giác r a 3





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


5/96





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


6/96

PHẦN THÚ' NHẤT

A. KIẾN THỨC Cơ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC

I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

. a) ta n a = ——— vớia ^ —+ kĩu (k ez )cos a

b) cota = COS- với a kĩt (k z )sin a

c) sin 2oc + cos2a = 1, Va

sin a = - cos a

cos a = —sin a

sin a = ± v l —cos a

cos a = ±V —sin a

d) tana.cota = 1 Va Ế (k e Z)2

ta n a =

e) + tan a =

ta n a =

f) + cot2a =

cot a

cota =t a n an

với a í —+ ỵ.n (k e Z)cos a

cos a

‐

sin a s in a ‐

. sin(a + b) = sinacosb + cosasinbsin(a —b) = sinacosb —cosasinbcos(a - b) = cosacosb + sinasin bcos(a + b) = cosacosb - sinas inb

tan a + tan btan(a + b) =

tan(a - b) =

- t an a t an b

tan a —tan b + tan a tan b

3. sin2a = 2sinacosacosa = cos2a - sin2a

cosa = cos2a - + cos a = cos2a cos2a = + cosa

Những bài toán chọn lọc Lượng giác íFi 5





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


7/96

. ' i-k - . - ' 'X —COS 2occos2a = — s in a —cosza = 2 sin a sin a = -------------2

feuứa= 2tana —ta n a

___o . - _ . 3 s i n a - s i n 3 asm 3a = 3 sin a - 4 sin a sin a = — -------- - — ------

4. __ „ ____ __ COS3a + 3 cos a

co s3a = 4c os a —3c osa COS à = ---------- -----------4

4. Đã t ta n — = t với a * 71+ 2kn2

_ t - t Ta đươc s ina = — — -, cosa = - — V

+ t + t

tana = — (t i ±1) ‐

_ __ _______ _ x + y __ X —y5. sm x + srny = 2s in — —̂ -cos----- —

X+ V X _ Vs inx —s iny = 2cos — — sin——

__ ______ „ X+ y . X - y

cosx —cosy = —2 s in — -^ -sin ------ —

___ ____ „ __ x + y ___ x - ycosx + cosy = 2cos— —̂ COS-

tans + tany =

tanx —tany =

2 2 sin(x + y)cosx cosy

sin(x - y)cosx cosy

- . , sin(x +■y)cotx + coty = ------------ — s i n x s i n y

. . sin(y - x)eotx —coty =-^r

s in x s i n y

6. sin x sin y = — [cos(x —y) —cos(x + y)]

cosx cosy= — [cos(x + y) + cos(x - y)]2

sinx cosy = — [sin (x + y) + sin(x - y)]2

6 Q S H S s r V M i





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


8/96

1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT

y

Ỳ Chú ý: Học sinh ghi nhớ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt trên đường tròn lượng giác đều có chung mẫu số bằ ng , tử số chạy từ S ' , yỊĩ ,%/2 , Vã ,VĨ và nhận các giá trị dương âm trên trục cô sin

(trục ho ành ), trục sin (trục tung). Khi b iế t si n a v à COS a. t a tín h đượctana và eota. Đó là cách nhớ hiệu quả nhất,

n. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC MÊN QUAN ĐẶC MỆT Hiểu và vận dụng th à n h thạo m ệnh đề.

"Cos đối, sin bù, phụ chéo, kh ác 71 tan g cotang".

a) "Cos đối"

- Hai góc a v à —a đối nhau kh i và chĩ khi a + (-a ) = 0.

- Hai góc đối nhau thì chỉ có côsin của nó bằng nhau, còn sin,tang, cotang của nó đô'i dấu.

Những bài toán chpri lọc UQHg giác Í3: 7





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


9/96

ỉãVí d ụ í cos(-30°) = cos30° = —

2

sin(—30°) = —sin30° = - -2

tan (—30°) = -tan3 0° = - y -

cot(-30°) = -cot30° = - Vã°) = cos60° = -

2

■ ỉã sin(—60° + k360°) = sin(-60°) = -sin60° =

2

tan(-60° + kl80°) = taứ(-60°) = -tan6 0° = -

cot(—60° + kl80°) = cot(-60°) = -cot60° = — %,-v/3

ỊẸ Ví đ u 3: Giải PT: cosx = —— = cos45°

2

Ví d ụ 2: cos(-60° + k360°) = cos(-60°) = cos60° = -2

X. = 45° + k360°(vì COS đổi)

x = -45° + k360°

b) "Sin bù"

Hai góc bù nhau là 2 góc có tổng bằng 180° (hay bằng %).

Hai góc bù nhau chỉ có sin của chúng bằng nhau còn côsin, tang,

cotang của chúng đối dấu nhau. v

Ví d u í sin 150° = sin30° = - tan l50 ° = - tan30° = — ^ V3

cosl50° = -cos30° = cotl50° = -cot30° = -V ã2

Ví d ụ 2: Giải phượng trình sinx = -----= sin45° Â

L11A—— -- —°”

X. = 45° + k360°„ (keZ)x =180° - 45° + k360°

(Vì có 2 góc cơ bân: 45° và 135° bù nhau nên có 2 góc lượng giác

mà s in của chúng đều bằng— ).2

8 r a Hổ Sĩ Vinh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


10/96

Ví d ụ 3: Cho A ABC ta được A + B + = 180°

Trong mọi tam giác: tổng cửa 2 góc này bù với góc thứ 3 nên ta có:tan(A + B) = -tanCtan(A + C) = -tan Btan(B + C) = -tanA

cos(A + B) = -cosCcos(B + C) = -cosAcos(A + C) = -cosB

sin(A + B) = sinCsin(B + C) = sinAsin(A + C) = sinBcot(A + B) = -cotc

cot(B + C) = -cotAcot(A + C) = —cotBc) "Phụ chéo"

Hai góc phụ nhau là 2 góc có tổng bằng 90° (hoặc —).2

- Cách ghi nhớ: nếu 2 góc phụ nhau th ì sin và cosin của chúng,tan g và cotang của chúng bằng nhau nên có từ "phụ chéo".

Áp dụng:

- Để biến' đổi tổng th àn h tích.V í d ự sina + cosa= sin a + sin Ị —- a Ị = 2 s in —COS (a - —)

\2 ) 4 4

= Vcos(a - —)4

= Vsin (a + —)4

hay biến đổi sina - cosa, tan a ± cota ra tích.

- Dùng để giải các phương trình lượng giác sinx = cosx , tanx = cotx, ...- Cho A ABC ta được A + B + = n hay - + - + £ = -

2 2 2 2Trong mọi tam giác ABC nửa tổng của 2 góc này thì phụ với nửa

góc thứ 3 nê n t a có:. ( A B"ị_ c

sin -r- + — = cos —{2 2j 2

. fB C ) Asin — + — = cos —

2

sin i-A = cos-B

fACOS — H— = s in — 2 )

f B c \ _ . Acos — I — = s in —

\ 2 2) 2C i . B(A

cos -r- + , = sin-1.2 2J

ta n — + — = cot—

{ 2 2 j . 2

, f B C"|_ Ata n — + — = cot—

V 2 J 2

J A c n _ Bcot -=cot—

{ 2 ) 2c

2J

d) "Khác 71 tang và cotang"Tức là nếu 2 góc hơn kém nhau 180° (hay 71) thì tang của chúng bằng nhau, cotang của chúng bằng nhau.

Những bài toán chọn lọc Luợng giác 9





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


11/96

Chú ý sử dụng: sin( a + k.t ) = sin a

cos(a +2k7t) = cosa

t a n ( a + k 7t) = t a n a

co t(a + k ĩ i ) = . co ta

B. CÁC LOẠI BÀI TẬP VỀ- Tĩnh giá bị cùa biổa thức lượng giác;

— Dútgọn biểu thức lượng giác;

-■ơ/ãqg minh biéu thác lượng giác' - ---- - ..- ■— .. ....................

B à i 1: Tính M = In(tanl°.tan2°.tan3° ......... tan88°.tan89°)

Vì

“S á c eu d i

tan89° = cotl°, ta n ° = cot2°...nên

Ị,

t a n ltan2 .tan3°.tan4 .... tan ° tan89°

= ( tanl°co tl)(tan2°cot20).... (tan44°cot44°)tan45

= l x l x l ........X 1 = 1

ĩ

Vậy M = In 1 = 0

Đáp số M = 0.

B ài 2: Tĩnh = cos20° + cos40° + ... + coslếO + cosl60° + 180°

Vi

“S è u

cos2p° = -co sl60°, cos40° = -co sl40° v

Nên - Ỉcosl60° - COS160°) + (cos 140° - cosl40°) + .......

+ (coslOO - coslOO0) + cosl80° = cosl80° = -1 .

B ài 3: Tỉnh = 4cosl0°.cos50°.cos70°

S o l

M = 2cos 10°(2cos7 0°.cos50°) = 2cosl0°(cosl20° + cos20°).

= 2co sl0°.cosl20° + 2cos20°.cosl0°

= 2 c o s l0 ° í- —1 +cos30° + coslO = cos30° =l j

B à i 4: Tin h A = tan2 0o.tan4 0o.tan60o.tan80°

1 0 2SHỔ Sĩ Vinh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


12/96

Ta có A = yjầ

ỌỈẲi

sin 20° sin 40° sin 80°COS20° cos 40° cos 80°

Đ ăt M = sin20° sin40° sin80° = — sin20° (2sin80°.sin40°)2

= —sin20°(cos40° - cosl°) = —sin60°+ —sin(— °) + ỉ ã n ơ'2 4 4

. cno_V3= —sữi60 = ——

4

và đă t N= cos20° cos40° cos80° = ---------------------------------------------------------— — sin °

- ị (2sin400cos400)cos80° = —Ạ — r sín 80’cos80"2 sin 20° 2 4 sin 20°

^ (2sin80°cos80°) = — ------sinl60° = — 4 sin 20° 2 sin 20°

Vậy A = S — =B

Đáp sô' A = 3.

Bài 5: Không dùng bảng sô' m áy tính sinl5°, s in l°, ta n — 8

a) Tính sinl5°.

C á c h 1: sin 15° = sin(45° - 30°) = sin45°cos30° - cos45°sm3Cr

2 2 2 2 4

C á c h 2: cos30° = 1 - 2sin215°

o sinl5° = - ( 7 3 - 1 )4

t a n — b) Tính ta n —. Ta có: ta n —= --------- . Do tan—e (0, 1)

8 4 l - t a n » v 8

Những bằĩ toán chọn Igc Lupng giác &đi 11





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


13/96

nên - ta n —= t a n — ta n Q+ ta n —- = 8 8 s 8

tan —= yỈ2

c) Tính sinl °. Ta CÓ: sin36° = cos54° sin(2.18°) = cos(3.18°)

2 sinl°.cosl° = 4cos318° - 3 cosl ° (chia 2 vế cho co sl° * 0).

«■ 2 sin 18° = 4c o s2Ì8° - 3 o 2sinl8°=4(1 - sin218°) - 3.

4 sin 218° + 2sinl8 ° - 1 = 0(1)coi phương trình ( ) là bậc của sinl° (với sinl ° e ( ; )) nên

giải phương trình ( ) ta đươc s in l ° = — —-4

(Chú ý: Từ đây tính được cost °; tanl °).

Bà i : Rút gọn không còn dấu căn

M = V W T c o sa v ớ i < a < jt

‘S à i f t íU

Ta có M = V + 'J 2 + 2 cos a =

cos-a Do < - < t

THI: Xét < a < i o 0 < — < — nên COS — > 0 /

Vậy M I. ' OL= ./4 COS —V • 4

Do 0 < — 0 . Vây M = 2cos — w ■

TH2: Xét n < a < 2n —< — 0

4 4 2 4

Vậy M = s in— 4

12 / Hổ Sĩ Vinh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


14/96

aĐáp số: Với 0 < a < n th ì M = 2cos —

4a

C< a < 2n thì M = 2sin—.4

TI V• ■_ m * "1 n /r ^ 2 71 3lCB à i 7: T ính M = COS —- COS-- + COS-—7 7 7

S à i ẹ tả i

N hân 2 vế với 2 sin — * 07

~ _ . n , , „ . 71 71 _ 271 . 7t _ 3rcĐươc 2 sin— M = 2sin —COS —- 2 COS —- sin —+ 2 COS 7 7 7 7 7 7

71sin —

7. 271 . 3ti . n . 4n . 2n

= sin -—- s in——+ sin —+ sin —- - s in —7 7 7 7 7

. 371 . 471.

(Do sin —- = s in —-)7 7

= s in— chia v ế cho sin — 7 7

Ta đươc M = —.

B à i : Tính N = tan9° - tan27° - tan63° + tan81°

N = (tan81° + tan9°) - (tan63° + tan27°) _ sin 90° sin 90°

COS81° cos 9° cos 63° COS27°

—(cos 90° + cos 72°) —(cos 90° + COS36°)

cos72° cos 36°

_ 2(cos36° - cos72°) _ -4sin54sin(-18°)cos 72°. cos 36°

sin(-18°) = - sin 18°

Do


15/96

tan30° + tan40° + tan50° + tan60° = ——— COS20° (1)o

4S à i f l ả i

Ta có vế trái (1) = (tan60° + tan30°) + (tan50° + tan40°)

- J ă J L sin 90° 47 3 1.2+ V3 + COS 50° cos 40° 32sin40°

_ 4V | 2 _ 2

B ài 9: Chứng m inh rằng:

sin 80° 3 cos 10°

— — ------- ——ỤUO£i

3cosĐẳng* thức (1) được chứ ng minh.

= -4^ - (cos 10° + — ) = — (cos30° + COS10°)3cos10° X 2 3cos10

cos 20° cos 10° = COS20° = VP(1)

3

B à i :sTinh ‐ ‐ ‐ 1sin 10° sin 20° sin 40° COS 45°

T e r n o sin ° + s i n ° , sin 20°. sin 10° sin 40°

sin 40°. sin 20° + sin 40°. sin 10° + sin 20°.sin 10° “ ~ T sin 240°. sin 20°. sin 10° T

= ^ - 9N

* Tính

1 - cos 80° 1 - COS400M =

1 —cos 80° 1 - cos 20° 1 —cos 40° 1 - COS 20°+ -------r------.------ --------+ ------ — -----.------ rr------

M = —[3 -2 s in 1 0 °-2 cos 2 0 °- 2 cos 40°4

+ sin 10° cos 40° + cos 20° COS 40° + s in 10° COS 20° 3

14íaHỔSTVinh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


16/96

— - —(sin ° - cos ° + cos 40°)4 2

— - - (sin 10° - 2 sin 30° sin 10°)4 2

1116

N '= —-(1 —cos20°)(l - cos40°)(l —cos80°) với cos80° =: sinlO°8

= — (1 + co s 20 ° - COS 40° - co s 20° COS40°(1 - s in 10°)]

— - —(sin 10° - cos 20° + cos 40°)8 2

_3̂64

Vậy

ĐS:

s M n ạ = 4 4 = ạ N 16 3 3 3

383 ■

B à i : Tính M = 16 sinl0osin30osin50osin70°‘Sài

M = 16.sinl0°.sin30°.sin50 .sin70°

= 8sinl0°cos200.cos40°

cosl0°M = 4(2 sin l0 0cosl0°).cos200.cos40°

= 2(2sin20°.cos20°).cos40°

= 2sin40°cos40° = sin80°= COS10°

Vậy M = 1.

x>'" ‐ s i n ( x - a ) a c o s (x - a) A „Bài 12: Cho ----- — ------ = —: ---- — ------= — với aB + bA * 0s in(x -p) b cos(x-p) B

Chứng m ìn h rằng: cos(oc - (3) = —̂ —--- (1)aB + bA

S à lẹ u U

aA + bB

Ta có V P(l) = +-k f- = (với b.B * 0)• aRj-KA aB + bA

a A _ b 'B = sin(x - 13)' cos(x - P) x TDo sin(x - p) * 0^

a + A s i n ( x - q ) [ c o s ( x -a ) [ c o s ( x - p ) * v b B sin(x —p) cos(x - p)

bBs i n (x -a ) c o s (x -a )

+ 1

Những bài toán chọn lọc Lượng giác f.j'i 15





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


17/96

_ 2 sin(x —a) cos(x - a) + 2 sin(x —p) cos(x —13) [sin(x - a)cos(x - p) + cos(x - a)sin (x - p)]

_ sin 2(x —a) + sin 2(x —13)2 sin[2x —(a + P)]

2 sin[2x - (a + p)] COS(P - a) sin[ x —(a + p)]

= cos(p - a) =- cos(a - P) = VT (1).Đẳng thức (1) được chứng minh.

(Do sin2x - ( a - P)] * 0)

B ài 13: Cho msin(a + b) = cos(a - b) trong đó a - b * kĩu ( k e Z ) v á m * ± l .

Chứng minh rằng: M = -------— —- + ------- ------- không phu thuôc - m sin a - m s in b

vào a và b. -Ị

Ta có:* . - m sín a = - msin[(a + b) + (a - b)]- - m [sin(a + b) cos(a - b) + cos(a + b).sin(a - b)]= -*■m sin(a + b) cos(a - b) - mcos(a + b) s in(a - b)= - cos (a - b)] - m cos(a + b) sin(a - b) (do giả th iế t)= sin2(a - b) - mcos(a + b) sừi(a - b) = sin(a - b) [sin(a - b) —mcos(a + b

* - ms in b = - m sin[(a + b) - (a - b)]= - m[sin(a + b) cos(a - b) - cos(a + b) sin(a - b)]

= 1 - m sin(a + b) cos(a - b) + mcos(a + b) sin(a - b)= 1- cos2(a - b) + mcos(a + b) sin(a - b) V= sinl a - b)[sin(a - b) + mcos(a + b)]

Vậy M := sin(a - b)[sin(a - b) - m cos(a + b)]

1+ .. . .... — * ——— .sin(a - b)[sin(a - b) + mcos(a + b)]

Do a - b * k ĩt nê n sin(a —b) 0y . _ sin(a - b) + m cos(a + b) + sin(ạ - b) - m cos(a + b)

sin(a - b) [sin2(a - b) - m cos2(a + b)]

M = ___________ - ____ - ______ sin2(a - b )- m .cos2(a + b)

2M - —-— -' không phụ thuộc vào a và b.

- m '

16 ■' Hổ Sĩ Vinh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


18/96

a * — + k rc , b * 71 + 2 n n ( k , n e z ) t h ì:2

, cp + a . q>- a , b Xta n — — ta n —-----= tan —( )2 2 2

Bài 14: Chứng minh rằng nếu coscp = cosa cosb với điều kiện

;_

COS a + COS a COS b COS a ( l + COS b)

(Do a + krc nên cosa * 0)2

,b2 s in 2 - V — ——p- = tan - = V P ( ).2 cos2 — 2

(Do b ^ T+ 2iwt Ci> — * — + nrc nên COS — É0)2 2 2

Vậy dẳng thức (1) được chứng minh.

Bài 15: Chứng minh rằng:

cosl2° + cosl° - 4cos 15°cos2l°cos24° = - ^ +1- (1)

Ta có VT (1) = cosl2° + cosl p —2cos24°(cos36° + cos°)= cosl2° + cosl°- cos60° - cosl2° - cos30° - co sl°

= -(cos60° + cos30°) = + - = VP (1) _______________________ _______________________

B à i 16: Chứng m inh biểu thức

F = 3(sin4x + cosx) - 2(sin6x + cosx) không phụ thuộc vào X.

Ta có F = 3sin4x + 3cos4x - 2(sin2x + cosx)(sin4x + C S4X - sin2xcos2x). F = 3s in4x + 3 c o s 4x - 2sin 4x - 2cos4x + 2s in2xcos2x

= (sin2x + cosx = 1 Vx. Vậy F không phụ thuộc vào X.

Những bài toán chọn lọc Lượng giác ĩẵì 17





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


19/96

B ài 17: Cho f(x) = 3(sin8x —cosx) + 4 (cos6x —2sinx) + sin4x.. Chứng m inh rằ ng f (x) = 0 v ới mọi X. ______

ẹU i

Ta có f(x) = 3(sin4x + cosx)(sin4x - cosx) + 4 cos6x - sin6x + sin4x

= 3(sin2x + cosx)(sin2x - cosx)

(sin 4x + cos4x) + 4cos6x - 8s in6x + 6sin4x = -5 s in 6x + cos6x + 6 sin 4x - 3s in 4xcos2x + 3 sin 2xcos4x

= (sin6x + cosx) + (6sữi4x - 3sin4xcos2x + SsinSccos'Si - 6sin6x)

. = 1 - 3 sin2xcos2x + 6sin4xcos2x + 3sin 2xcos4x- 3s in4xcos2x

' ~ = 1 - 3sin xcos2x + 3sinxcos2x + 3sinxcos4x

= 1 - 3sin xcos2x + 3ẹinxcos2x (sin2x + cosx) = lVxVậy f'(x) = 0, Vx.

Bài 18: Chứng minh biểu thức:KM = 2(sin4x + cos4x + sinxcosx - (sin8x + cosx) độc lập với X.

M = 2[(sin2x + cosx - sin2x cosx - [(sin4x + cosx - 2sinxcosx]= - s inxcosx - - sin xcosx - sin xcosx]= 2(1 + sin xcos4x - 2s inxcosx) - (1 + 2sinxcos4x - 4s inxcosx)= 1 + 2sin4xcos4x —4sin2xcos2x —2sin4xcos4x + 4sin2xcos2x

= 1 Vx.

Vậy f(x) độc lập đối với X.11,1 r—r

B ài 19. Chứng minh rằng:

a) cos2a + cos2(a + b) - cosa.cosb.cos(a + b) = sin2b ( ), . sin(a - b) sin(b - c) sin(c - a) _ _ w , TC , _ b) — —-------+ ----- —— —+ ------------------------- — ------ = 0 (2) V a, b, c ^ —+

cos a cos b cos b COS c COS c COS a 2

S à i ỹlẦi

a) VT(1) = cos2a + COS (a + b) - [cos(a + b) + cos(a - b)] cos(a + b)= cos2a + cos (a + b) [cos (a + b) - cos (a + b) - cos (a - b )]

= cos2a - cos(a + b).cos(a - b) = cos2a - —[cos 2a + COS 2b]2

= cos2a - —(2cos a - 1 + 1 - 2sin b) = sin b = VP(1).2

Đẳng thức (1) được chứng minh.

18 S ì Hổ Sĩ Vinh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


20/96

b) Theo giả th iết:

cosa, cosb, cosc 0 . Áp dụng công thức tan x —tan y = s-n -̂ — — co s X cos y

Ta được VT (2) = tan a - tanb + tanb - tanc + tanc - tan a =

Va, b, c *■ — + k t (keZ)

Vậy đẳng thức ( ) được chứng minh.

B ài 20: Chứng m inh đẳn g thức2(Sn 'l

cos — - a / _ \a) - ị + Co (~-^ = 1 (1)

tan (a - 2n) tan2(a._3ĩ)

sin(Tt + a) tan(a —Tt) cos( it —a)

c o t ^ - a ý cot(u + a ) ‘cosp _ a j 'b) -------r------- ---------- ----------.------ T— ------ =r=sina (2)

- cot2(b - — )r) _______ 2 V. _ = 1

cot(b + - ) - cot2(b -2%)

s « / eUẦ6

a) Ta có: COS2 - aj= ( - s ina = sina,cos(-a) = cos2a

ta n ^ a - — j = ta n [(a- —) -71]= ta n —-a^Ị = cot a

tan (a - 2 t) = tan a

Vậy v ế trá i (1) =sin a cos ata n a cot a

= cos2a + sin2a = = VP (1)


21/96

BÀI TẬP LUYỆN ĨẬP• • •nv A (cot44° + ta n 226°)COS406°

Bài 1: Tính A = ----------------- : ------------------co t72 co tloCOS 316

Đáp số A = 1.

B ài 2: Không dùng bảng số, m áy tính

Tính M = sin l° + sin2° + ... + sin 359° + sin2360°

Hướng dẫn biến đổi M dùng giá trị lượng giác của các góc liên quanđặc biệt và áp dụng sin2a + cos2a = 1 được kết quả M = 180.

B à i 3: Tính p = COS — + co s^ ^ + COS — 7 7 V 7

7t 1Hướng dẫn: Nhân 2 vế với s in 0 biế n đổi được p = .

B ài 4:T)hứng minh rằng cot—— tan — - 2 tan — - 4 ta n —= 4s e 32 32 16 8

Hướng dẫn: Chứng minh cotx - tan x = 2cot2x (a) sau đó áp dụng côngthức (a) để chứng minh.

B ài 5: T ính M = cosl0°cos3Oocos5Oocos7O°./g

Hướng dẫn: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng và cos30° =2

3

được đáp sô' M = ——.32' • e ra A _ 3 s in X - 4 COS X r p , , • - . • •» A V -a i L x 1B ài : Cho A = -— -------- ------ . Tính giá tri của A biế t ta n —= —

; sin x + cosx

Hướng dẫn áp dụng công thức:

sinx = ——- „ ■co sx = -- với ta n —= t đươc đáp số A = . + + *

B ài 7: Chứng minK rằng:

a) sin 4x + c os4x = — + — c o sế x4 4. (; __ g _ Ỏ 3 __ .

b) sin X + cos X = — + —cos4x8 8

c) sin4x - cos4x = - cos2x

« 1 5 d) sin X - cos X = —— c o s 2 x ----^-cosx16 16

20 0 ) Hổ Sĩ Vinh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


22/96

B à i : Biến đổi các biểu thức sau về dạng tính được bằng logarit (biếnđổi tổng th àn h tích).a) sina + sin2a + sin3a + sin4a

b) sina + sin2a + sin 3a + cosa + cos2a + cos3ac) cosa + cos2a + cos3ad) sina + sinb + sin(a + b)

e) + —-— + ta n acos af) 1 - 4 sin2ag) cot2a - cot2b

Hưởng dẫn

a) 4co sasin^r-cos — 2 2

b> 4 V c o s (J + c o s ( j - ) s i n ( a + i j

c)4“ s2acos( f +? ) c°s(f~ t) ... . . a + b a _ _ b

d) 4sin — :— c o s — COS— 2 2 2

f) 4sin^a + —j.sin ^ —- a j

g)sin(a + b) sin (b - a)

sin a. sin b

Bài 9: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào X.

a) A = yjsin4a +4 COS2a +yJcos4 a + 4 sin a

b) B = cos _ x )̂ + cos + x ĵ + cos2(~£~ ~ + cos ~̂g~ + x j — sin2x

^ ‐ 2 c o ta + 1 .. k7t , K , _ „ r 7 i\c) = ----- — ------ ----------- - với a * — v à a * — + k7T (k e Z)tana —1 c o ta - 1 2 4

d) D = sin2(30° —a) + sin2(30° + a) —sin2aĐáp số: a) A = 3 c) = -1

b) B = 1 d) Đ = -

Những bài toán chọn lọc Lượng giác 21





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


23/96

PHẦN THỨ II PH Ư ƠN G TRÌNH LUỢNG G I Á C

A. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG CHÍNH TẮC

Loại I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC c ơ BẢN

1. Phương trình cosX = m:a) riếu ịm| > phương trình vô nghiệm

b) nếu ị/w| <

Ta được: cosX = m = cosa, phuơng trình có 2 họ nghiệm

hoặc

XL= a + 2kn

X = —a + 2kir

Xj = arecos m + 2kn

X = -arccos m + 2kĩi

(k e Z) hoặc

(k € Z)

Xi =a°+ k36 0°

= -a ° + k360°

c) Đặcbiệt

* m = 0 phương trì n h cosX = 0 có 1 họ nghiệm X = — + kji

hoặc X = 90° + k l80°* m = 1 phương trìn h cosX = 1 X = 2kji

* m = ‐ phương trìn h cosX = - 1 > X = n + 2krc^ Chứ ý : khi viết X = a + 2kn từ đây trở đi ta hiểu là k e \ z .2. Phương trình sinX = m

a) nếu |m| > phương trìn h vô nghiệm

b) nếu \m\


24/96

3. Phương trình tanX ss m = tanaPhương tr in h có 1 họ ng hiệ m X = a + kiĩ (hoặc X = a° + k L80°)

Hoặc X = arctan m + kít

4. Phương trình cotx = m = cota Phương trìn h có m ột họ n ghiệm X = a + kít

(Hoặc X = a° + kl80°, hoặc arccotm + kn).Ví dụ: Giải các phương trình lượng giác sau

B à i 1: 2cos3x + 1 = 0

Phương trình tương đương

2ncos3x = COS —— 3

ỉ ĩè u c u ả t

với phương tr ình COS

3x = — + k t

3x = - — + 2kix3

3x = —-

2 71 2k?r X = ——+ ——

9 32 71 2k7tX = ----- —+ ———

9 3

B à i 2: 2sin(2x + 1) + y/2 = 0

Phương t

‘ẫ

rình tương đương vói si

2x +1 = + k iK.JJ-

x + l = — + k t4

ĩ à i ỷ i Ẵ i

(n \ N/2 . n . ( 7t"ìn(x + ) = —-— = - s i n —= sin - —

4 l 4 J

%,

X -------- —+ kĩt 1 5 71 .

X = - —+ — + K7C

B à ỉ 3: sin2x = cos3x

Phương trìn h tương đương vớ i phương trình : cosâx = COS - 2x

(Hoặc phương tr ìn h sin2x = sin^——3x^j)

3x = —- 2x + 2kn 2

3x = + 2X+ 2kit

n k ĩr X = — + ——

10 5

X= ——+ 2k7i

Những bài toán chọn lọc Lượng giác rỉ; 23





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


25/96

Bài 4: tan ^2 x - —j = cot:

Phương trì n h tương dương với phương trình :

tan ̂ x - —j = tan

2x — —= —- X+ kn4 2

K ku■Ị X = —+ -=f-

4 3

B à i 5: sinx - cosx = 0 (1)

Cách 1) sin = s in ^—-

‘Bàẻ ạ&u

oX = —- X + 2k %

X = X + —+ 2k7i

_ 7t , __ X = — + K7C

4

Cá ch 2: (1) cosx = cosị —- X

(vô nghiệm)

X = —- X + 2k %■ 2

X = X - —+ 2kn

(vô nghiệm )

X = -y + kiĩ 4

Cách 3: ( ) « s in^x j = 0

X — — = kĩt4

X = — + kĩt4

24 ká Hổ Sĩ Vinh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


26/96

Cách 4: Do sinx và cosx không đồng thời bằng 0: tức là cosx = 0 khônglà nghiệm của phương trìn h ():

Với cosx vt 0 :

(1) ta nx = 1 = ta n — o X = — + kít4 4

r __ Ị ----------------------------------- ,-----------------------------------------------:------------Bài 6: sinx + cosx = - V2

Gàlỷ tả l Phương trìn h tương đương vđi phương trình :

yỈ2 COS = - >/2

X - — = 7t + 2kĩt

4Cĩ> X = — + 2k7t A4

Bài 7: 3sin4x + 1 = 0

‘S à i ọù ỉi

Phương trin h tương đương với phương t rìn h : sin4x = —

Bài : cot2x + tan3x = 0 (1)

Điều kiện để phương trìn h (1) có nghiệm là:[sin 2x^0

ICOS3x ^ 0(a)

Những bài toán chọn lọc LUỢng giác 2 5





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


27/96

Với điều kiện (a), phương trì n h (1) tương đương với phương trình :ta n3x = —cot2x

tan3x = —ta n K2

tan 3x = ta n 2 x - —

V. 2

3x = 2x —— + kĩi

n X = + kít

■! 2 ? * 71

Với X = + kĩt thì cosx = 0 nên sin2x = 0 không thỏa m ãn điều kiện (a). 4

Vậy phương tri n h (1) vô nghiệm .

B à i 9: s in4x - cos4x = 1

Phương trìn h tương đương với (sin2x + cosx)(sin2x - cosx) = 1ị

Tí -cos2x = 1 cos2x = -1 2x = ít + 2kjt X = — + kĩt

_ gB à i 10: s in4x + cos4x = —

^ ỹSsỉ/

Phương trì n h tương đương với phương trình :

(sin2x + ;cos - sin xcos2x = — 4

1 - ì s i n 2x = —1 - —(1 - cos4x) = — 2 4 4 ' 4

n . n . ___ Jt kĩtcos4x = 04x = TT+ kJtx = -rH— —

2 8 4 5 3Bài 11: sin X + cos X = —+ —cos2x

8 8

5 3Đ ã c h ứ n g m in h : sin6x + cos6x = —+ —cos4x8 8

26 20 Hổ Sĩ Vinh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


28/96

Vậy phương trìn h đã cho tương đương với phương trình:5 3 „ 5 3 _ tr + —cos4x = —■H— cos2X 8 8 8 8

cos4x = cos2x 4x = 2x + 2kĩt4 x = - 2 x + 2k ji

X = kĩtkít

kir X = ^r- X = 3

3

Bài 12: 4 c o s 2x - 1 = 0

^Sèb6 GỈẲi

Phương trìn h tương đương với 2(1 + cos2x) - 1 = 0° „ _ _ *

cos2x = ------= COS—-2 3

2x = + 2ku

3

2 x = — + 2k?t3

X = — + krt

3

X = — — + kít3

B à i 13: 4 c o s 34 x = —V2

/* Ta có: cos34 x = — o cos34x = - -~f=

4 \ J 2

„ - y/2 _ 3n c o s4 x = — -— = COS —— 2 4

4x = — + 2kĩc

4

4x =3 7C

«•+ 2krc

3 tt kítX = —- +

16 2

371 k7tX = - ——+

16 2

B ài 14: sin3x = cos2x

Phưcfng trin h đã cho tương đương với phương trình :

- cos x _ + cos4x2 “ 2 cosx = -cosếx cosx = cos(u - 4x)

o x = n —4x + 2kn

x = 4x - 71+ 2kno

n k7tX = — + — -

10 5

_ X = - + ktt

Những bài toán chọn lọc Lượng giác 7£: 27





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


29/96

B ài 15: tan 2(2x - 30°) = 3

«í>

c>

‘Sèu ạ tả l

tan 2(2x - 30°) = 3

tan(2x - 30°) = Vã = tan 60°

tan(2x - 30°) = -yỉã = tan(-60°)

X = 45° + k90°

X= -15° + k90°

2x - 30° = 60° + kl8 0°

2x - 30° = -60° + kl80 °

B ài tl : cot2(2x + 1) = 1

cot2(2x + 1) = 1

V

2x + 1 = —+ krc 4

2 x + 1 = - — + k7i 4

ỹứU

cot(2x + 1) = 1 = cot—

cot(2x + !) = - ! = cot j

ii k iX= — —+ —+ —

2 8 2

1 71 kĩi

X~ ~ 2 ~ 8 +~2

Bài 17: C0S257IX= 1

2 2 v k COS 5ĩtx = 1 1 - COS 5nx = 0 sin57ix = 0 Õ7tx = k7T X = —

5

Bài 18: tan(sinx) = V3

tan(sinx) = yỈ3 = ta n ^ sinx - + kn

3 3Vì Vx thì ịsĩn jc| < 1 mà ■+ k7t >l,VkeZ

Vậy phương trìn h đã cho vô nghiệm.

Bài 19: Sin2010x = 2X+ 1(1)

28 / Hổ Sĩ Vinh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


30/96

Vì Vx th ì ịsin2010xỊ < l,V x,2x > 0 nê n VP(1) = 2X+ 1 lớn hơn 1, Vx.

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

Bài 20: cos2(2ji + a / ẽ > )x = ln Ịs in —+ e j (1)

Vx thì 0 < c o s2(2 jt + V5 )x < 1Mà s ìn ^ = 1 nên e + s in — > e. Vậy ln( sin —+ e Ị > 1.

2 2 V 2 Do đó phương trình (1) vô nghiệm.

BÀI TẬP Tự LUYỆN

Bài 21: 2cos2x + >/2=0. Đáp sô': X = ±— + krt8

B à i 22: 3cos2x + 1 = 0. Đáp số: X = ± —arccos^ -—j + kic

B à i 23. cos2x = —. Đáp sô': X = ± —+ k K 4 6

dì; (ìyí. 2o„ _ 1

B à i 23. cos2x = —. Đáp sô': X = +—+ kít4 6

Bàỉ 24: sỉn 3x =

Hướng dẫn: Giải phương trĩnh : „ „ _ n kítCOSOX = 0 o x = —

12 6

Bài 25: tan x = 1

Hướng dẫn: Giải phương trình:

^ _L. n , k7tĐáp so: X = ± — -H— — p 12 2

tan x =

tan x =

7 3

1

&

B ài 26: sin^õx + —j = sinỊ^2x j

Đáp sô':

7n kĩcx ~ “ 3 6 + i r

13k 2krcX = ------ — + - E -

84 7

Những bài toán chọn lọc Lượng giác £5 29





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


31/96

B à i 29: cos(2x - 30°) + sin(x-60°) = 0. Đáp số:X = 60° + k360°

X = kl20°

Bàỉ 30: tan(3x + — ) + cos(2x - — )= 0. Đáp sô': X = - ^ + k7t 3í; 3

B ài 31: itan(3x - 60°) - cot(30° - 2x) = 0. Đáp số: X s= 120° + kl80°

Bài 32: 5cos2x + 2 = 0. Đáp sô': COS = + —arcc os(-^) + k t~ 2 5

5 krcBài 33: COS (4x - 5) = 1. Đáp sô': X = — +

ị 4 4

B ài 34: 4sin3x - 3 = 0. Đáp số: X = ±—+-TK 9 3

Bài 35a: c o s22010 tcx = 0. Đáp số: X =

B ài 35b: sinrx = —. Đáp sô: X = — +2 24 12

B ài 36: cot4x =£ —. Đáp số: X = ± — + —

4020 2010

k

12 4

271,B à i 37: co s(x—) + cos3x = . Đáp sô':

5t i , _ X = — r- + K7t

_ 5n kíi X ~ ~ Ĩ 2 +~2

B ài 38: cos(4x - 36°) + sin( x - 60°) = . Đáp sô':X= 61° + k60°

x = - 57° + kl80°

B à i 39: tan(4 x - 60°) = cot(30° - 4x). Đáp sô': PT vô nghiệm

Bài 40: sinxcosx = —— . Đáp số: PT vô nghiệm.





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


32/96

LOẠI II . PHƯ ƠN G TR ÌNH BẬC NHẤT Đ ố i VỚI SINX VÀ

Dạng tổng quát: asinx + bcosx = c (1)

(a, b, c € R)

Phương pháp giải

THI: Nếu a = b = 0 PT (1) có dạng Osinx + Ocosx = c

+ Nếu c = 0 PT(1) nghiệm đúng Vx+ Nếu c * 0 PT(1) vô nghiệm

TH : Nếu a và b kh ông đồ ng thờ i bằng 0 tức a + b > 0

Khi đó chia v ế phương trình ( ) cho yỊa.2 + b *

a ... b c- sinxH—= = = = co sx = - = =ự a + b -Ja2 + b yja2 + b

( 1 ) 0

Do

sao cho

/ \ a

Ụ a ' + V )

>= cosa th ì-

= 1 nên 3 góc a e (0, 90°)

=̂ sina\ y + b 2

(Hoăc: = Ì L = = cos p th ì ■-p k =s - = sin p )■yj a + b -y/a + b

( ) cosxcosa + sin xsin a = ■'

cos(x - a ) = = ( ) yfẽf + ĩ?

Do Vx th ì Ị cos(x - a) I < 1 N ên PT(1) có nghiệ m khi và chỉ khic < a + b khi đó giải PT(2) tìm được nghiệm của PT(1)

Tóm lại: PT(1) có nghiệm khi và chỉ khi c2 < a2 + b2 (a)

PT(1) vô 'nghiệm khi và chỉ khi c2 > a2 + b2

ngoài ra kh i giải PT(1) có thể đ ặt ta n —= t

m , . 2t 1 — t V T}rp , .Thay sinx = — -V : co sx = ---- V vào PT (1)

J + t + t

rồi giải PT tìm t, sau đó giải PT tan —= t để tìm ngh iệm của PT(1)

Những bài toán chọn lọc l.ượng giác *.?: 31





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


33/96

Các ví dụ áp dụng

Phần này chỉ làm nhữn g ví dụ áp dụng trực tiếp cách giải loại 2:

Giải các phương trình lượng giác sau:

Bài 41: a/3 cos 7x + sin 7x = V

ẹ i ả t Chú ỷ : Khi giải PT loại acosx + bsinx = c, độc giả trước hết kiểm tra

xem điều kiện (a) có thỏ a m ãn không.

Phương trìn h tương đương với PT:

V3cos7x + ỉs in 7 x = —— (chia 2 vế PT cho J a 2+ b = J 3 + I = 2)

V M

» c o s 7x c o s -Ẹ + s in7xsin— = ——o cos(7x - = COS — 2 4

7 x - - = - + 2kjĩ

6 4

7 x - - = - - + 2kn 4

V

5tc 2kn 84 7

71 2knX = — — + -

84 7

Bài 42: 3sinx + 2cosx = 4

PT đã cho có dạng: asinx + bcosx = c ở đây a + b = 9 + 4 = 13 < 16 = c

Vậy PT đã cho vô nghiệm. V

Bài 43: SỈ2 (sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x

“Sài f&u

PT tương đương với PT: 2 V sinxcosx + 2 \Ỉ2 cos2x = 3 + cos2x

o V sin2x + V (1 + cos2x) = 3 + cos2x

V sin2x + (\Ỉ2 - l)cos2x = 3 - V (1)

PT () dạng acos2x + bsin2x = c có a + b = 2 + 3 - 2 \Ỉ2 < 1 1 - 6 ^ 2 = c

Vậy PT(1) vô nghiệm nên PT đã cho vô nghiệm

B ài 44: cos3x - sin3x = — = ( )V

3 2 3 ; Hổ Sĩ Vinh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


34/96

PT ( ) dạng acosx + bsinx = c thỏa mãn điều kiện (a) chia 2 vế của

PT (1) cho y ja 2 + b = a / 2 .

(1) —̂ COS3 x — ^ sin 3x = - — V

cos3xcos— - sin3xsin— = -Ậ4 4 2 tt

cos(3x +— ) = COS4 3

„ Ít n _3x +—=— + 2kn

4 3„ 7t 2rt _ 3x+ —= - — + 2kit

4 3

5n 2knx= -r-r+ —r—

36 3 _ l l n 2kn x = — — + — -

36 3

'Bài 45: 3siiix + 4cosx = ~ (1)

Kiểm tr a điều kiện (a). PT(1) có nghiệm

Chia 2 v ế PT(1) cho J a 2 +b = 5

( ) o —sinx + 5

3 4nên tồ n ta i góc a g (0; 90°) sao cho —= cosa th ì —= sin a5 5

( ) sinxcosa + cosxsina = —

sin(x + a ) = sin -r

x + a = -r + 2krt

Õ7lx + a = ——+ kn

X = - a + ~ + 2kĩĩ

5 t i „ _ X = - a + —- + 2kn

Với a = arc sin- ị.5

Những bài toán chọn lọc Lượng giác ££ 3 3





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


35/96

Bài 46: 3sin3x - -v/3cos9x = 1 + 4sin3x (1)

ĐH MỎ địa chất

( ) 3sin3x - 4sin 3x - Vã cos9x = 1 (PT có nghiệm)

o sin9x - V3 cos9x = 1Chia 2 v ế cho -yja2 +b = 2

1 Vã 1(1) —s in 9 x ---- —cos9x = —

2 2 2

' - sin9xcos Ị- - COS9x. sin —= Ậ3 3 2

sin(9x - —) = sin — ■3

*' 9x =—+ 2kit3 - n 5n 01 _ 9 x - —=— + 2krc

3

71 2krcX =T^ +18 97n 2kn54 + ~ ì r

Bài 47: cosx + \Ỉ3 sinx = 3cos X + 's/s sin X + 1

( )

S à i ẹ ù U

ì - - ĨỊtỊ < 2

Đ ặt cosx + V3 sinx = t Điều kiện của t /3 : — COSX + —— sin x =02 21 Vã .,

— COSX+-1— s i n x = l2 2

cos(x ——) 3

CO S(x- —) = 13

7Ĩ 71 , _ X——= —+ K7C

3 2

X ——= 2 k ĩi 3

Õ7C , _ x = -r- + kjr

x = —+ 2k7i3

3 4 Hổ Sĩ Vinh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


36/96

Bài 48: 2cos3x + y/ầ sinx + cosx = 0

ĐH Huế

Phương trình tương đương với phương trình:

^3 . _ _ —cosx + —— sin x = —cos3x2 2

COSXCOS — + sinxsin-r = —cos3x3

COS cos(t —3x)

X —— = 7c - 3 x + 2kĩt3

X —̂ = 3x — n + 2hn

3

71 krcX = —+ —

3 271 . _

X = -f + K7I

3Bài 49: sin x —cos x = V3(sin x + COS x) (1)

( ) sin x —V3 cosx = cosx + sin x

_ • Q Vã _ _ Vã —s in 8 x ------ cosox = —COSDX + —— sin x2 2 2 2

sin xcos— —cos xsin-^ = sin-^ cosx + COS -Ẹ sin x6 6

sin xcos— —cos xsin-r =

3 3o s in ^ 8 x -—̂ = s in^6x + —j

x ——= x + —+ kiĩ

x - —= x + —+ kiĩ3

x - — = — — x + k n 3

X = —+ ku

4n kíi

X = •— + _12 7

B ài 50: \Í3 COS 5x - 2 sin 3x COS 2x - sin X = 0 (1)

ĐH 2009

(1) V3 cosõx —sinõx - sin x —sin x = 0

_ s _ . _ _ . COSOX — — s in o x = s in x

Những bài toán chọn lọc Lượng giác 3 5





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


37/96

«• sin -r- —5x = sinxv 3 J

K r .

cos5x.sin— —sin5xcos — = sinx3 3

—- 5x = X + 2k7t3

—5x = ĨI —x + 2kit3

71 kitX = — + —

18 3n krc

X = - — + —-6 2

B ài SI: sin x + co sx sin 2x + %/3cos3x = 2(cos4x + sin x) ( )

ĐH 2009

ẹ iẻu

(1) sin x(l —2s in x) + cosxsin2x + -v/s cos3x = 2cos4x

sin2xcosx + cos2xsinx + cos3x = 2cos4x

* -J3 1 4^- cos3x + 4- sin3x = cos4x2 2

■ •» cos3xcos ̂ + sin3xsin — = cos4x6 6

1Ĩ o COSI 3x - —I = cos4x

3x ——= 4x + 2krc

3x ——= —4x + 2kĩt . 6

oX = —— + 2k.n

71 2k7CX = —r- +42 7

Bài 52: COS2x —V3 sin 2x —V3 sin X —COSx + 4 = 0 (1)

HVKTQS

(1) ■;=>cos2x — >/3 sin2x —( y/3 sinx + cosx) + 4 = 0

1 Vã

Chia vế cho : ( ) Ci> -- cosx ---- r~ sinx — 2 2 1 - I o _ n-Ịcosx + -sinx = .2 2

o cosxcos ̂ —sin xsin^ —(cosxcos ~ + sinx sin —) + = 3 3

cos

^xcos — —s in zx sm —icosxcoi3 3

[ 2 x + | ] - c o s ( x - | ) + 2 = 0

3 6 ® HỔ Sĩ Vinh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


38/96

B à i 53: 9sinx + cosx - 3sin2x + cos2x = (1)

ĐH Ngoại thương

N hận xét bài 53: dạng giông bài 52 nhưng không áp dụng được cáchgiải của bài 52.

(1) 9sinx + cosx - sinxcosx+ 2cos2x - 1 - 8 = 0

6cos x(l - sinx) - 9(1 - sinx) + 2(1 - sin2x) = 0

(1 - sinx)(6cosx - 9 + 2 + 2sinx) = 0

1 - sin X = 0 (2)

cos X + 2 sin X = 7 (3)Phương trình (3) có dạng

ac osx + b sin x = c vớ i a2 + b2 = 36 + 4 = 40 < c2 = 49

Vậy phương trình (3) vô nghiệm nên phương trình (1) có nghiệm của

phương trìn h (2): sinx = 1 X - — + 2kn2

Bài 54: 4sinsxcos3x + 4cosxsin3x + 3 V3 cos4x = 3

Phương trì n h tương đương với:

(3sinx-sin3x)cos3x + sin3x(cos3x + 3cosx) + 3 cos4x = 3

3smxcos3x + 3sin3xcosx - cos3xsin3x + cos3xsin3x + 3 yfầ cosếx = 3

3(sin3xcosx + cos3xsinx) + 3 yỈ3 cos4x = 3





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


39/96

o ^ậcos4x + —sin4x = — 2 2 2

cos4xcos-^ + sin 4xs in— = — 6 6 2

-s/3 cos4x + sin4x = 1

COSil) ? Jl

4x - — = COS — K 6 ) 3

4x - ^ + 2kir

o

71 krcX= -r + — ~

8 2

X = -71 krt

24 + ~2~

B ài S5: sin2x - cos2x = 3sinx + cosx - 2

Phương tr ìn h tương đương với:

y 2sinxcosx - cosx - (1 - 2sinx) - 3sinx + 2 = 0

cosx(2sinx - 1) + (2sin2x - 3sinx + 1) = 0

cosx( s inx - ) + (sinx - l)(sinx - —) =

( sinx - l)(cosx + sinx - ) =

2:SÌn X - 1 = 0

cos X + sin X - 1 = 0o

1 71sin X = —= s in — 2 6

cos| X - — 1 = COS—4 ) 4

o

X = —+ 2kĩt

X = — + 2k7i

X = —+ 2kn

X = 2kit

B à i 56: 2cos3x + cos2x + sin x = 0 ĐHNT

eUcli

Phương trình tương đương với phương trình :

- s in x)cosx + - sin x) + sinx =

(1 — sinx)(2cosx + 2sinxcosx) + (— 2sin2x + sinx + 1) = 0

3 8 S ì Hỗ Sĩ Vinh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


40/96

(1 - sinx)(2cosx + 2sinxcosx + 2sinx + 1) = 0

(1 - s inx) [2 (cosx + sinx) + (sinx + cosx)2] = 0

(1 - s in x ) ( si n x + cosx)(sinx + cosx + 2) = 0

sinx = 1

sinx + cosx = 0

s i n x + cosx = - 2Phương trình:

sinx + cosx = -2 dạng acosx + bsinx = c CÓa2 + b2 = l 2 + l 2 = 2 < c2 = 4 nên vô nghiệm.

Phương trình (1) có nghiệm của 2 phương trình:71

sin X = 1

COS I X —— I = 0

X = —+ 2kíi

3rc , _ X = ——+ kJt

4B à i 57: s in3x + cos3x = sinx—cosx

S à ly tã i

Phương trình tương đưofng với phương trình:

Sinx —sin3x - cosx —cos3x = 0

sin x(l - sin x) - cosx - cos3x =

sinxcos2x - cosx - cos3x =

cosx(sinxcosx - cos2x - ) =

. „ + cos x ", —s in 2 x ------------------- 1.2 2

= 0

cosx(sin2x - cos2x - 3) = 0

cosx = sin2x - cos2x = 3

Vì phương tr ìn h: sin2x - cos2x = 3 vô nghiệm (a + b < c2) nen phưcíng

trình đã cho có nghiệm của phương trình cosx =

' _ 71 1 _ X = -T + kn2

B ài 58: + sinx + cos x = —sin4x

ĐHGTVT

Những bài toán chợn (ọc LuỢrig giác 39





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


41/96

Phương trình tương đương với phương trình:(sỉnx + cos x)(l - sinxcosx) + - sinxcosx =

- sin xcosx)(sinx + cosx + ) =

- sin xcosx)(sin x + cosx + ) =

(2 - sin4x)(sin2x + cos2x + 1) = 0

sỉn x + cosx + =

(2 - 2sin2xcos2x )(sin2x + cos2x + 1) = 0

(2 - s in4x) ( s in2x + cos2x + 1 ) = 0

sỉn2x + cos2x + 1 = 0

sin4 x = 2 > 1 vô nghiệm vì |sin4x| < 1, Vx

sin2x + cos2x = -1 COS [ 2x - — I = — =l 4 ) 72

2 x - — = — + 2kn ■>, X = — + kít4 4 » 2 (k 6 Z)

2x - — = + 2kn X =+krc

4 4 . 4

cos-3n

Bài 59: sinx + cosx = cos2x

Ị “Sòu

Phương tr ìn h tương đưcmg với phương trình : sinx + cosx = cos2x - sinScsinx + cosx -

(sinx + cosxKcosx - sinx - ) = cos X - s in X = 1

cosíx ‐ = o

- ( 71̂ 7t COS X + — = COS—

4J 4

371 ,X

= ——+kjt

4X = 2kn

X = —— + 2kn

Bài 60: 4sin2x - 3cos2x = 3(4sinx - 1) (1)

(1) sinxcosx - 3(1 - 2sinx) - 12sinx + 3 = 0

sinx(3sinx + 4cosx - ) = 0sinx = C5>

3sinx + 4cosx =

(Phương trình 3sinx + 4cosx = vô nghiệm vì ạ + b = 25 < c = 36)o sinx = X = kjr

40 S ỉ Hổ Sĩ Vinh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


42/96

BAI TẬP LOẠI II

Giải các phương tr ìn h lượng giác sau:

B ài 61: sin3x + cos3x = sin2x + cosx + sinx

Đáp so: X = ——

B àỉ 62: tanx —3cotx = 4(sinx + V3 cosx)

Đáp sô':X = ——+ kĩc

34n 2k.n9 3

B ậ i 63: 4sin3x - 1 = 3sinx - -Js cos3x

Đáp sô':

n 2kn

X = — + — 18 3n 2kn

X ==— + —— 2 3

B à i 64: V ĩõ cosi - -v/fjsin— = V2 2

Đáp sô': X = + 4kĩt3

tB ài 65: sinl3x + cosl3x :

Đáp sô':

71 2k7CX = — — + -

156 13071 2krt

X = — + —— 156 13

Bài 66: 5cos3x + 12sin3x = 1372

n . a . ■ n 2kn _____ 1 2Đáp so: X = —± ——+ —— vớisina = —

3 12 3 13B à i 67: 2 s in ll x + -v/3 sin7x + cos7x - 0

X = — Đáp số:

n kĩcĨÕ8 +_9~

7t i kítX = — - + —

24 2

Những bài toán chọn lọc Lượng giác SE 41





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


43/96

B à i 6 8: c o s 7 x — V 3 sin7x = — \Í2 ___^ 5n 2k7t 1371 2kn

Đáp so: X = — ■+ , X = — 84 7 84 7

B à ỉ 69: >/3sin5x —cos5x = V2

_ n 2 k n

Đáp số: •v U n 2kn

X = — + —— 7 5

B à i 70: 4cos2x = 2 + -^cos2xf Ií Vcosx sin xy

__ n 2k7t n 2knĐáp so: X = —+ —— : X = —+ — F 9 3 ’ - 3

LOẠI n i : P H Ư Ơ N G TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC ; 3; 4 CỦAMỘT HÀM SỐ CỦ A MỘT GÓC

1. Phương trìn h bậc 2 của một hàm số của một góc:

as in2x + bsinx + c =

Dạng tổn g quát:2 u ( 1 )

acos X + bcosx + c = 0

a tan2x + btanx + c = 0 fa,b,c s R í> ( ) với

acot X + bcotx + c = 0 a * 0

Phương pháp giải:

sinx = t

Bước 1: Đ ặt cosx = t Đối với phương t r ình ( ) Ỷà (2) điều kiệntanx = t của t: -1 < t < 1 (A)cotx = t

Bước 2: Giải phương trình đại số: at + bt + c = tìm t, đối với phươngtrình (1) và (2) đối chiếu với điều kiện (A) để chọn t thích hợp.

Bước 3: Giải các phương trình lượng giác cơ bản để tìm nghiệm của phương trìn h lượng giác đã cho.

2. Phương trình lượng giác bậc 3, 4, ... của một hàm số của một góc:Phương pháp giải: áp dụng 3 bước như phương trình lượng giác bậc của một hàm sô' của một góc.

Chú ý: Đối với phương tr ìn h lượng giác bậc 2, 3, 4... của một hàm số của mộtgóc, kh i khuyết b hoặc khuyết c khi giải các loại phươngtrình nà y không nh ất th iết phả i áp dụng cách giải nói trên.

42 m Hổ Sĩ Vinh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


44/96

Ví dự: Giải các phương trình sau:

a) 4sin2x - 3 = 0 2(1 - cos2x) - 3 = 0 cos2x = —Ậ = cos-2.%

X = + kn3

b) 2sin x-3sin x = 0 o sinx(2sinx-3) = 0 sinx = —> vô nghiệm

sinx =

Cĩ> sinx - 0 X = k n

c) 8 co s33 x - 1 = 0 cos3x = — = COS— X = ± — +

d) ta n 2x - 3 = 0 »

2 3

tan2x = V3 = tan— 3

t a n x = -V3 = ta n ^ - —j

:=>sin x(sinx + ) =

7t krt

x _ + ~2

n k nX = - — + — -6 2

e) sin4x + sin3x = sinx(sinx + ) =

Vì Vx: sinx + 2 ^ 0 nê n phương trĩn h có nghiệm của phương trình:

sinx = 0 X = kĩt.

Ví dụ giả i các phươ ng trình lượng giác loại II I

Bài 71: c o s 23x c o s 2 x —cos2x = 0

&à£ỷùiU Phương trìn h tương đương vô i phương tr ình:

1 + cosôxcosx

+ cosx

=

o cos6x.cos2x —1 = 0 —(cosx + cos4x) —1 = 02

2 c o s 24 x + co s 4 x — 3 = 0 ( 1 )

Đặ t cos4x = t, điều kiện là t e [-1; 1] (A)

Phương trình (1) có dạng: 2t + t - 3 = 0t = 1 thỏa mãn điều kiện (A)

t = — không thỏ a m ãn điều kiện (A)2

Vậy phương trình (1) có nghiệm của phương trình:

cosếx = 1 4x = 2kn X = ^

Những bài toán chọn lọc LtiỢng giác í2ì

43





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


45/96

ĐHQG: D-2005

B à i 72: COS4 X + sin4 X + COS j sin ^3x - —j - —= 0

Ta CÓ sin4x + cos4x = (sin2x + cosx - 2 sinxcos2x = 1 - —sin 2x

sin^3x jcos ^x - —j = — sin ̂ 4x - —j + s in2x

= —(sin2x —cos4x) = —[sin2x —(1 —2sin 2x)]2 2

Vậy phương trình đã cho tưarịg đương với phương trình:

——sin x + —[sinx — + sinx] —— = 2 2 2

2 - sin22x + sin2x - 1 + 2sin22x - 3 = 0

sin 2x + sin2x - 2 = 0 (1). Đặt sin2x = t, điều kiện t e [-1; 1] (A)

Phương trình (1) có dang: -t + 3 t —2t = 0 * ^ e .1 s t = -2 Ể (A)

Phương trình (1) có nghiệm của phương trình: sin2x = 1

2 x = — + 2kn X = — + kn 2 4

B ài 73: 3cos4x — cos6x + 2cos2x + 3 = 0(1)

D ự b ị ĐH

(1) 3(1 + cos4x) —(1 + cos2x + 1 + cos2x = 06c o s 22x - 1 - 3cos2x - 3cos2x - cos2x + 1 + cos2x = 0

Đặt cos2x = t e [-1, 1] (A)■ t = 0 (A)

PT (1) có dạng: -t + 3 t - 2 t = 0 » ' t = 1 e (A)

t =2 Ể (A)

Nghiệm của PT (1) là nghiệm của 2PTCOS2x=0cos x = l

2 x = — + krt

2x = 2kĩt

71 kíi

x = — + ̂ -4 2

X = k7t

44 S ì HỔ Sĩ Vinh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


46/96

Bài 74: cosx cosếx + cos2x cos3x = 0

(ĐHNT) (1)

(1) cosx cos4x + c o s2x (4c o s3x - 3cosx) = 0

« • cosx [2cos22x - 1 + cos2x [2.(1 + cos2x) - 3 ] = 0

cosx [2cos2x - 1 + 2cos2x + 2cosz2x - 3cos2x] - 0 cosx [ 4 c o s 2 2 x - cosx - ] =

cosx = ()

4 c o s 22x - cos2x - 1 = 0 (3)

Giải (2): X = — + kít là nghiệm của PT (1)2

Giải (3): Đặt cos2x = t e [-1, 1] (A)

PT (3) có dạng: 4t - t - 1 = 0

PT (3) có nghiệm của 2 PT:

_ _ 1 +VĨ7 _ _ cos x = ----- -----= cos a

_

_ l - y / r ĩ _ O R

COSZX = -----r-----= cos2p

t = ỉ ± ^ ĩ (A)

t =

1 - VĨ7

e (A)

X = ± a + k7t

x=± p + In

Đáp sô": PT (1) có 5 họ nghiệm

x = —+ kju

X = ± a + k7t k , e X=±Ị3 + lít

Với:cos2a =

cos2p =

1 + VĨ7

l - y / Ĩ 7

Bài 75: cos Ị-X+ —I = cos3x (1)

Những bài toán chọn lọc Lượng giác S ì 45





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


47/96

“S à i ẹ íã i

Đăt X + — = t3

X = t - — nên cos3x = cos(3t - n) = - cos3t

PT (1) có dạng: cos3t = - cos3t = -(4cos3t - 3cost)» 12cos3t - 3cost = 0 3cost(4cos2t - 1) = 0

cost =

4 cos2t - 1 = 0o

cost =

(l + cos t ) - l =

cost =

1 _ 2n cos2t = - —= COS—r12 3

t = —+ kji

t = —+ krc th ay X = t - — 3 3

t = —— + k7t

3

Vậy_PT (1) có 3 họ nghi�

những bài toán chọn lọc lượng giác - hồ sĩ vinh (trích Đoạn)

Documents