tuyỂn tẬp 599 bÀi toÁn lƯỢng giÁc chỌn lỌc - nguyỄn ĐỨc ĐỒng

8/21/2019 TUYỂN TẬP 599 BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC CHỌN LỌC - NGUYỄN ĐỨC ĐỒNG

1/365

BAN GV NNG KHIẾU THƯỜNG THI NGUYỄN oức ĐỒNG ( Cbủ bi )

CHỌN LỌC

PHÂN LOẠI VÃ PHƯƠNG PHÁP GIẢI THEO 23 CHUYÊN ĐỀ

♦ BỒỊ DƯỠNG NÂNG GAO MÔN TOÁN 12

♦ CHUẨN BỊ THI TÚ TÀI

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC Quốc GiA HÀ NỘI

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU

B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N

W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú


2/365



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




3/365

LỜI NÓI ĐẨU

Chúng tôi xin giới thiệu đến đọc giả bộ sách : Tuyển tập các bài toán

dành cho học sinh lớp .12, chuẩn bị thi vào các trường Đại học & Cao đẳng.

Bộ sách gồm 7 quyển :

• TUY ỂN TẬP 546 BÀI TOÁN TÍCH PHÂN

• TUYỂN TẬP 540 BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM s ố

• TUYỂN TẬP 500 BÀI TOÁN HÌNH GIẢI TÍCH

• TUYỂN TẬP 500 BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN

• TUYỂN TẬP 696 BÀI TOÁN ĐẠI SỐ

• TUYEN TẬP 599 BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC

. TUYỂN TẬP 670 BÀI TOÁN RỜI RẠC VÀ c ự c TRỊ

Nhằm phục vụ cho việc rèn luyện và ôĩì thi vào Đại học bằng phương

pháp tìm hiểu các đề thì đại học đã ra, để tự nâng cao và chuẩn bị kiến thức

cần thiết.

Để phục vụ cho các đối tượng tự học : Các bài giải luôn chi tiết và đầy

đủ, phân nỉaỏ từng loại toán và đưa vào đó các phương pháp hợp li. c

Mặc dù chúng tôi đã cố gắng hết sức trong quá trình biên soạn, song vẫn

không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi mong đón nhận mọi gópý, phê

binh từ quý đồng nghiệp cùng đọc giả để lần xuất bản sausách được hoànthiện hơn.

Cuối cùng, chún g tói x in cảm Ơ11 NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

đã giúp đỡ chúng tôi mọi mặt để bộ sách được ra đời.

NGVYỀN ĐỨC ĐỒNG

3



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




4/365

r̂n , o . 3C i 3A -3 B . z c )VT(1) = 1 - 2sin —1 cos---- ----- + sin —-2 ^ . 2 2 )

, _ . 3C f 3A -3 B 3A + 3BÌVT(1)= 1 - 2sin !cos-------------COS------ ——

2 Y 2 2 J

_ . 3A . f '3BYỊ'- 2 sin —— Slid - ——

2 \ 2 I

VT{1)= 1 - 4 s i n s i n — s in — (đpcm).2 2 2

Bài 3 (ĐẠI HỌC TỔNG HỢP TP.HCM-1995)

__ 2C VT(1) —1 - 2sin —

v 2

Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn và A > B > c.

1. Chứng minh rằng : tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC.

2.- Đặt tgAtgB = p, tgAtgC - q. Chứng minh rằng : (p - 1)( q - 1) s 4.

Giải .

1. Trong AABC:A + B + C = rt => A =7Ĩ ~ (B + C)

=> tgA = tg[ji - (B + C)]= -tg(B +C)=■ tg A = - tgB + tgC ' _tgB t̂g_C (Anhọn)

1 - tgBtgC tgBtgC - 1

=> tgAtgBtgC - tgA = tgB + tgC => tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC (đpcm),

2. Thay giá trị của p và q ở giả thiẹt vào bất đẳng thữc :

(p - lXq - 1) > 4 o (tgAtgB - lXtgAtgC - 1) > 4

( s*n ̂ s*p ̂ _ i ) ( ^ ^ l ì ' 4Vcos A cos B J V,cosAcosC ) '

-cosCA + B)') ( - cos(A + C).^ >̂ 4 (1)cosAcosB ) ^ cosAcosC

f- cos(A + B) = COSc , , ,Ta có : ị ' (tínhchat góc bù)

Ị - cos(A + C) = cosB

(1) 1 1 !> 1 1Lúc đó : ------ ------- > 4 o — ^— > 4 o COS A < — cosA< — COS A COSA COS A 4 2

o A > — 3A>^ = A + B + C o 2A > B + c3

o (A -B) + (A - C) > 0 (2)

Để ý (2) đúng với giả thiết A > B > c có sẵn

Vậy : (p - l)(q - 1) > 4 (đpcm).

Bài 4 (ĐẠI HỌC DƯỢC HÀ NỘI-1995)

Cho 3 ạố dương X, y, z thỏa mân xy + yz + zx = 1. Tính giá trị của biểu thức :

M _ J a + y 2 x i + z2) (1 + Z2X1 + X2) _ (1 + X2)(1 + y2)

■ y 1 + X* >1 1 + y i 1 + Z2

6



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




5/365

Do đó : xy + yz + zx = 1 tgatgP + tgptgy + tgytga = 1

tgatgp + tgptgý = 1 - tgy tga o tg|3(tga + tgy) = 1 - tgytga

^ = 7~ = cotgp c=> tg(a + y) = cotgp1 - tgytga tgp B

a ' JI a + p + Ỵ = —

(1)

Lúc đó

2 '

. I a + y 2)a + z 2) |a+t*%)ơ+tg*y)1 1 + x2 = t ^ i 1 + tg V

r| (l + y2)(l + z2) _ sin a I t .cos a _ sin a

V 1 + X2 c o sa ]Ị COS2 p co s2 7 ~ COSpcosy

(1 + 3^X1 + z2) -cos(p + Y) , . '"ir „2----- = .7 . = 1 - tgptgy = 1 - yz1.+ X cospcosy _ - . Cl + 3^X1 + z2) - COS(p -ry) , '"ia T l ^ = ̂ ^ = l - t g p tg r = l - y z

Tương t ự : x2> J - j g g • - ' * ! ? ' - = 1 —xz\[ x + y cos p YCOSa COSY cosacosy

| (l + x2)(l + y2) _siny I COS2 Ỵ siay _

V ■1 + z2 cos y y cos2 a cos? p COSa COS(3

Do đó : M = (l-y z)+ (l-x 4+ (l-x y) = 3-(yz+zx+xy)=3-1 = 2 ,

Vậy : M = 2 (ycbt).

B ả i 5 (BẠI HỌC QUỐC GĨA HÀ NỘI-1995)

Chứng minh rằ ng: tg30° + tg40° + tg50° + tg60° = COS20°. (1)...... 3

Giải

VT(1) = (tg30° + tg60°)+ (tg40° + tg50°) = - S—90°---- + ----- ^ 22!----u cos30° cos60° cos40°COS50°

VT 1 ...1 ... - : : =. _4_ 2 _ 4COS10° + 2V3

" + -(co^90° + coslO°Ị ^ + cosl°Ũ " >/3 COS10°

í Vãi4 cosl0°+ — ,/• * „„0\

VT [ 2 ; 4(cosl0° +COS30 ) ^ 4.2cos20°coslO°

w VScoslO'* ~ V3cosl0° TỈẽcoslO0



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




6/365

Bài 6 (BẠI HỌC MỎ-ĐỊA CHAT-1995)Cho hàm số : fix) = acosx + bcos2x + ccos3x; trong đỏ a, b, c là các hằng

số . Ch ứng inữứi r ằng nếu f lx) = 0 vđ i m ọi X th ì a = b =: c = 0 .

GiảiGiả sử : f(x) = ac os x + bc os2 x -+ cc os3 x = 0 (1) trê n tập Df = R ..

• Đ iề u kiện cần : Chọn ngẫu n hiên thec thứ tự : X = —; X. = Oy X = — th ay. 2 6

vào (1)r - b = 0

=> ia + b + c = 0 . = ^ a = b = c = 0

aVã b _ 0 . 2 . + 2

• Đ iề u kiện đả : Với a = b = C- 0 => f(x) = 0; Vx .Vậy : í(x) = 0 o a = b = c = 0 (đpcm).

B à i 7 (ĐẠI HỌC HÀNG HẢI.CƠ SỞ H-1996)Tam giác PQR có các góc p, Q, R theo thứ tự lập thành cấp sô' nhân với

công bôi q = 2. Chứng minh rằng : — = - i - + - ì _ ... s V 4 - s QE PQ PR

Ta có :

Giảip + Q + R = 71

Q = 2 P , •> ¥ - ; E = |R = 2Q = 4P

4ĩi

1 1 1 ' 1 1X ét" + ___ — + ■■■— — = —— PQ PR2RsinR 2RsinQ 2R . 4t7 ĩl . 2tĩ

sin--- sin— 7 7 ,

2H

. 4 7t 2rcsin-—- + sin—

• 7 7, 4tt 2t ĩ

.sin-—-sin—— . 7 . 7

\

1 . . . . . t o c o M

0 0 0 3

^

1

X

2 R . 471 . 2 tis i n s i a

/ l 7. 7 J

J .

2R

lĩ cos-r

7. TT ^SIII3COS3

. 7 1)(

_1_

2R . 7tsin--7)

2R sin P

Jiai góc ̂ .v à — bù nhau ì

1QR

Vây : + - ỉ~ (đpcrrì).QR PQ PR

3



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




7/365

Bài 8 (ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI-BAN C-1996)

Chứng minìx rằng với mọi á * — (k là sô' nguyên), ta đều có :

sin4 a + COS4 a -1 2

sin6 a + cos6 a - 1 3

Xét:

Giải

s in 4 a + co s4 a - 1 s in 4 a + COS4 a - (s in 2 a + COS2 a )2

s in6 a + co s6 a - 1 s in 6 a + COS6 a - (s in 2 a + COS2 a)3

sin4 a + cos4 ạ - (sin4 a +2sin 2 acos2 a + cos4 a) _____

sin6 a + cos6 a - [sin6 a + COS6 a + 3 sin2 aCOS2 a(sin2 a + COS2 a)]

- 2 sin2 a cos2 a 2 ___ v= 0 . 2 2 " o ■—

■J 2 1• A B

tg§

. A + B g 2 =COgI

B

9



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




8/365

, c A B c _ B A=> tg —tg — + tg—tg— = .1 - tg —tg ~

2 2 2 2 2 2 _ A B ■ ‘B c A _ >=> ^ 2 tg 2 + g 2 g 2 + 2 2 = ^ P ^ -

Bài 11 (HỌC VIỆN KỶ THƯẬT MẬT MẬ-1997)

Cho A, B, là 3 góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng : ___ cos2A + COS2B + cos2C + 4cosAcosBcosC + 1 = 0. (1)

Giải

Để ý trong (1) có :

cos 2A + cos 2B + COS2C = 2cos(A + B)co^A - B) + 2coề c -1

= -2cosCcos(A - B) + 2c o s2C - 1 - -2cosC[cos(A - B) - cosC] - 1

= - 2 c o sC[cos(A-B) +cos(A + B)]-1 = -2cosC Ị2cosAcos(-B)] - 1

= -4cosAcosBcosC - 1 (2)

Lúc đó, thay (2) vào (1), ta đứợc :

-4cosAcosBcosC - 1 + 4cosAcosBcosC + 1 = 0 => cos2A + cos2B + cos2C + 4cosẠcosBcosC + 1= 0 (đpcm).

B à i 12 (ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG-KHỐI B-1998)

Chứng minh rằng : COS ̂ - COS~ + COS = —.7 7 7 2

G i ả ỉ

Đ ă t: T = co s — “ COS — + COS — 7 7 7 (1)

Nhân 2 vế của (1) với nhân tử phu trơ 2sin-^ . ta có :7

om n _ o : n n o : X 2ĩt _ . %3:t 2Tsm-r = 2s in-cos — - 2 sin 3-cos-3- + 2 sin 7rCOS-z-7 7 7 7 7

r r . 3k . ( ĩiYỊ r . 4n . ( 2 jtỴỊ- - s in— + s ir i- - + sin— + sin

7 1 7jJ |_ 7 \ 1 )\

ĩĩ . 3n . . 71 4ti . 2ti

o 2T sin -. 2tt

= sin— -' . 3k . sin— + sinÍ - - T +

7 7 7 T)\

„ orr. 2tĩ : 3h .7 1 . 4tĩ ■. 2tĩ o 2T sin -r = sin ~ - sill —- + sin -- + sin - sin —-7 7 7 7 7 . 7

o 2T sin- = sin - ív ì:— và — bùnhauỊ T = — (đpcm).7 7 V 7 7 ) 2

Bài 13 (ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHỆ TP.HCM-1998)

Chứng tỏ rằng : 1 6s inl 0c>sin 30 osìn 50 osin7 0o = 1 . (1)

Giải

VT(1) = 16cos80° cos60° cos40° cos20° - (tính cỉiất goc phụ)sin20°

10



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




9/365

VT(H = 8cos80° cos60° cos40° sin 40 °— —— sin20°

4cos80°cos60osin80° _ 4sm80ocos80ocos60°

sin20° sin20°

2sinl60°cos60° .^ s iu ^ COS609 1 ___ = “----------------- = ------- -------- —= 2,— = 1 (đpcm).

sin20° sm20° 2

Bài 14 (ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG HÀ NỘI-KHỐI A.D-1998)

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC, ta ỉuôn có :

1 , 1 \ 1 A * B c . A + B ^ c) n s — —+ — —+.----- -- H tg-r + tg—+ tg—+ cotg— cotg—cotg— . (1)sinA sinB sinC 2Ỉ, 2 .^ 2 2 2 2 ^ 2 j

Giải

1 1 1 VTm =■

. 2 A 2 Ả 2® _2® _•2^ 2^si n -— + COS - - si n — + COS —si n — + COS -- _ 2 - 2 . 2 2 2 2

A A ; B ' ' c c2sin-rC0s:-■ 2sm-rCos— 2sin—COS—

2 2 2 2 2 2

if . A 'A B B c CY= 11 ^ 2 + g 2 + s 2 +C0^ 2 ^ 2 +cotgfJ (2)

A + B ..... cTrongAABC => ———và — là hai goc phụ nhau

- -' 2 • 2 ......................

A B

, . / Ạ B) tgf + tgf _ c 1~ - y g cotg2

A . B \ c _ , , A -B2 2J . 2 2 2

= gf ẩf +gf gf + g2 g; = :l ^ 2 ̂ 2 r ^ 2 °°^ 2 °°^ 2 J ^ 2 ̂ 2 2 ̂ 2 ̂ 2 J +, c A f + A ■ B + CY ■ A B c

■+tg'~ts 2 1c ^ �̂� ° 2 " cotgycotg^ -cotg^-

, A B c _ . ■A : B , c=> co tg^ tc o tg ^ + cotg^- = cộtg^cotg.^cotg-ị- ........ (4)

A i

11



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




10/365

Thay (4) vào (2), ta được :

VT(1) =+ t g | ■+t g | + cotg^ co tg |c o tg |j = VPU) => (đpcm).

Bài 15 (ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠĨ-1998)

s in X = 2 sin(x + y )

/oi , ì n 1 _ 7 / th i : '"tgfa + y ) - - - m y - X + y 5* (2k + 1 )— ;k e z c o s y -

G i â i

{sin x = 2sin(x + y) (l)

X + y * (2k + 1 ) | ; k e Z (2)

Ta có o sin[(x + y) -y ]= 2sia(x + y)

sin(x + y)cos y - sin y cos(x + y) = 2 sỉn(x + y) (3)

Chia 2 vế của (3) cho cos(x + y) * 0; đo giả thiết (2) :

tg(x + y)cos y - sin y = 2tg(x + y) tg(x + yXcos y - 2) = sin y

Hay : tg(x + y) = Sĩn^ - (đpcm) (để ý : cosy - 2 5*0; Vy). cosy - 2

Bài 16 (ĐẠI HỌC Y KHOA HÀ NỘI-1999)

Rút gọn biểu thức : A = 1 - COS6 a - sin® a .

Giải

A = 1 - cos6 a - sin6 a = 1 - (cos6 a + sin6 a) = 1 - Ị ĉos2 aj +|sin5 aj

A = 1 - jjcos2 a + sin2 a^cos4 a - sin2 a COS2a + sin4 ajj

A = 1 - ( s in2 a + cos2 aJ - 3 sin2 a COS2 a = 1 - 11 - —sin2 2aA = —sin 2a (ycbt).

4B à i 17 (ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘĨ-1999)

12



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




11/365

Giảỉ

' :■ As i n —

VT =

Bs i n —

2B c C A

cos—cos— COS—COS—2 2 2 2 .

. A + B A - B

A + B 1sin— —(sin A + sinB) COS

2 _ 2 2A B

COS— COS—2 2

_ A B c A Bcos1—cos—cos— COS— COS—

2 2 2 2 2

s m - -COS'

A B Cc o s — COS—COS—

2 2 2

.. A B : _ A ' B cos—cos—- sin—-sin—

2 2 2 2A BCOS— COS—

2 2

A - B A B A Bcos—r— A o cos—cos— + sin—sin—

2 _ I 1 tgAt ; B = ___ ẵ ___ 2 _2 2B 2 2 À BA

COS— COS—2 2

co s— COS—2 2

1 * A f B + 1 - ts 7 tgI

= 1 + tg—tg—+ 1 - tg—tg— = 2= VP (đpcm).2' 2 2 2

B à i 18 (ĐẠI HỌC ĐÂN LẬP KỲ THUẬT CÔNG NGHỆ-2000)

Trong tam giác ABC tùy ý, chứng mình rằng :

A B c A B c cotg J + cotg J + cotg ̂ = cotg J cotg J cotg J .

Giải

_ _ t ____ . , . A B 7Ĩ Trong tam giác ABC => — H— = ——

5 2 2 2 2

cotg^ + co tg - c o tg ị

A B C c A Bcotg—cotg—cotg---- cotg— = cotg— + cotg—

2 - 2 2 2 2 2

* A * B * c _ * -A * B '* c /=> cotg — + cotg —+ cotg — = cotg—cotg —coíg — (đpcm).2 2 2 2 2 2

B à i 1 9 (ĐẠI HỌC GIAO THỔNG VẬN TẢI TP.HCM-2000)

AGoi A, B, là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng nếu cotg— ,

2

B c A Ccotg — , cơtg— lập thành một cấp số cộng (theo thứ tự đó) th ì: cotg — cot g — = 3 .

Giải

A B c Từ (-Ỉ-) cotg— ;cotg—;cotg— ta có :

Á

13



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




12/365

B. fA + c i2~J 2cosA c B I 2 J 2Ct>teI + C0t« i = 2c0tBf ° - A" P ' T b

sin — sin — sin — 2 2 2

B _ Bcos — 2 cos — _ . ^

^ 2 _ 2 _ : B A co ----- 7------ —= ----- =r- sill —= 2 sin - f sin — A ■‘C . B 2 2 2

s in --s in — sin —

2 2 2 A + ") A ; A ; 0 : _ A , _ Co cos —-— = COS— COS T - sin — sin — = 2 sin --sin —

( 2 J 2 2 2 2 2 2

A C A C A Co cos — cos —= 3 sin — sin — o cote — cotg —= 3 (đpcm).

2 2 2 2 2 2 -

B à i 2 0 (ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI-KHỐI A-2000)

Chứng minh đẳng thức : 8sín3 18° + 8 sin218° = 1.

Giải

Để ý : cos72° = sin l8 ồ (tính chất góc phụ)

o 2COS2 36° - 1 = sin 18° o 2(1 - 2sin2 18° f -1 = sin!8c

8sin418° - 8sin218° - sínl8° +1 = 0 (a+b + c + d - o )

o 8 sin3 18° + 8 sin2 18° =1 (dpcm).osinl8° = 1 (vô lí) „ „ ■' J — o - : . . 3 io0 , o - : - 2 io o

L8sin318° + 8sin218° - 1 = 0

Bài 21 (ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI-KHỐI B-2000)

(2)

(*)

Chứng minh rằng : '8 + 4 tg ^ + 2 t g ^ = cotg-^;. (1) ________________________ 8 16 32 ^ 32

Giải

( lĩ ĨI ''ì 71 71 H ẫ ‐ gẫ j ‐ 2gẫ ‐ 4g

^ ■ cos2X -sin2X cos2x'Với đê ý : cotgx - tgx = — ------------- -- - • = 2cotg2x

sinxcosx 1 . 0.-sin2x. 2 • .

Thì

=> VT(2) = 2 .2 co tg | - 4 t g | = 4^cotg| - t g | j = 4.2tg^- = 8 = VP(

Vậy : 8 + 4tg^ + 2 tg ^ + = cotể ^ (đpcm).

(2)

14



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




13/365

Bài 22 (ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI-KHỐI D-2000)

Với A, B, c là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng :

sinA + sinB - siuC .A ^ B „ C= tg^tg^-cotg-f - (1)

cosA + cosB - cosC + 1 2 2 2

Giảỉ

_ . A + B A - B _ c c2sm—■ —cos-:. —- —2sm—cos—

■T 2 2 2 2V 1(l)

-

9. " 9. 9.

0 A + B A - B . 0 . 2 c2cos - —COS. + 2sm — 2 2 2

„ c A -B 0 A + B c rn„A + B)2cos—COS—2 cos——— cos— zcos~ cos Õ cos Õ

2 2 --- -- - 2 2 _ 2 l 2 2 J- ;_ e A - B 0 A + B * c c f A + B , A - B'l2sin—cos-—-—7+ 2cos-------- sin — 2sin— COS— ■— + COS—-—

2 2 - 2 . 2 2Ỉ, 2 2 7

-2sin-r-sin| ' ■ ■■ ■.

■ COt82 - * "~A B~ =4COS—cos~““2 2 . -

sin A -Ĩ- sinB - sinC A ____ ^Vậy : ; - = tg ^tg -c otg -^ (dpcm).

cosA + cọsB - cosC + 1 2 2 2

B à i 23 (HỌC VIỆN NGÂN HÀNG HÀ NỘI-KHỔI A-2000)

Chứng minh đấng thức : 8 sin318° + 8 sin2 18° = 1 ■ _____

Giải

(X em bài 20 Đ ề ĐH QUỐC GĨA HÀ NỘI-KHỐI A-2000).B à i 2 4 (ĐẠI HỌC HÀNG HẢI- 2000)

Cho A + B + c = — và các số’cotgA, cotgB, cotgC theo thứ tư lạp thành cấp2 ■"

số cộng. Tính giá trị của biểu thức : cotgA.cotgC. _____ _______

Giải

Ta có : cotgA + cotgC - 2cotgB (ị ) (tính chất (+))

(1) sin(A + C) 0 cosB _ cosB _ 0 cosB . . n _ %

■■ -ị - = 2 .-7— o — 7 —T-TT= 2-7-— (do A + c = -r -C )sinAsinC sinB siaAsm C sinB , 2sinB cos(À + C) _ Tí ...

o 2 - ----- — - = — “ (do B = ~ - (A + C))sin Asm c sin A sin c 2

cos A cos c - sin A sin c . •A ,-« 2 = ----------------- —— ---------= cotgAcotgC -1

sin A sin c

o cotgAcotgC = 3 (ycfat).

15



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




14/365

eí« 0 (1)

[sin 2x > 0

Lúc đó, phương trình đã cho tương đương :3 /s in x + cosx^. 3 fs.ìnx + co sxV /ĩr~T~ 7:

cosJ X -------- --------- .+ si n id ------------------ = V 2 s iu 2 xV c o sx ) . \ s i n x }

cos2x (sinx + cosx) + sin 2x(sinx + cosx) = V 2sin 2x

I — 7----- (sinx + cos.x > Ọo V 2 s i n 2 x = s in x + COSX o <

[(sinx + cosx) = 4sinxcosx

ísin. X > 0 A cos X > 0 (v i s in X co s X > 0)o \

sin x + cos x + 2s in xcosx = 2sin2x

16



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




15/365

j s i n X > 0 A COS X > 0 J s in x > 0 A COS X > 0

I s i n 2 X + co s2 X = s i n 2 x { s i n 2x = 1

isinx > 0;cosx > 0

1Ĩ

2x = —+ k 2 n

Bài 26 (ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM - KHỐI A - 1996)

o X = — + m7i (với m = 2k v à k € Z) (ycbt). 4

Giải phương trình : tgSc - tgxtg3x = 2, (1)

T i - j c o s x ^ o Đíẽu kiên : A oCOS 3 x ^ 0

Giải

X * - + kj! 2n krc

■X * + —-6 3

; k e Z

(1) , c in fv __ 3 y ÌLúc đó :;■ tgx(tgx:- tg3x) = 2 o tg x---- = 2

cosxcosSx

- s i n x f - 2 s i n x c o s x V - - 2 s i n 2 x= 2 . 0 — 1' ----- — —— - 1 = 2 o ------- ------ — - 2

' ( " s in 2xo . t g x ———------ .

^cosxcos3xy cosx^ cosxcos3x ) cosxcos3x

o -2s in2x = 2cosxcos3x o cos2x - 1 = cos4x + cos2x o cos4x = -1

o 4 x = 7Ĩ + m 2 x X = — + ; m € Z ‘ (y cb t).4 2

Bà i 27 (ĐẠI HỌC HẠNG HẢI, cơ sờ II - 1996)

Giải phương trình :-v Võ - 3 sin2 X - 4 COS X = 1 - 2cosx. (1)

Giải(1) Í1 - 2cosx > 0

Ịộ - 3 sin 2 X - 4 cos X = (1 - 2 COS x)2

ocosx < -

2

5 - 3(1 - co^ x) - 4cosx = 1 -4 co sx -ỊrẢcoề X

Ỉcosx X = n + k2 n; k £ z (y cb t).

C0S2 X = 1

Bài 28 (ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẲI - 1996)

Giải phương trình : cos3xtg5x = sin7x.(1)

G i ả i

Điều kiên : cos5x 0 o X í — + — ; k e Z (2)10 5

(1) I . I o cos 3x sin 5x = sin 7x COS5X 0 —(sin 8 x + sin 2x) = —(sin 12x + sin 2x)

17



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




16/365

o sinl2x = sin8x o12x - 8x + m27i

12x =-7t - 8x + m2no

(4)20 10 w

(m € Z

Kiểm tra điều kiến mà (3) và (4> phậi thõa (2);~ rrTT nttTĩ 7t k7i ■ _ 01 T 5m - 1 ~ m - 1□ TH ị x é t : —- = —- + — o 5m - 2k = 1 o k = ----= 2m + ■—----------- (5

2 10 5 2 2

, m -1 í5> ím = 2t + l( s ố lẻ )Đ ặt: t = ,■e Z t ìù ' o r ■ : t € z2 [k = 2 (2t + 1) + 1 = 5t + 2

Vậ y trong các ngh iệm X = , chỉ có ngh iệm ứng với m chẵn (m = 2t2

t € z là thỏa mãn hay X= trc; t e 2 là một họ nghiệm của (1).

□ TH2 xét : — + í — = — + — o 2m - 4k = 1 o 2(m - 2k) = ỉ (vô lí vì v20 10 10 5

trái là số chẵn, còn'vế phải lá sõ' lẻ Vk; m e Z)

Vậy : X= — + — ; m e z là họ nghiệm của phương trình (1).

íi ' nm .'ra,-X = ——H— —J m Z

Kết luận : Phưcfng trình (1) có hai họ nghiệm : 20 10 (ycbtX ‐ a;

B à i 2 9 (ĐẠI HỌC AN NINH - ĐH CẢNH SÁT - KHỔĩ A -1 9 9 7 ) _____

. (1

1

Giải phương trình : tgx +. cotgx = 4.

Gỉải

ísinx * 0 « kũ ,Điếu kiên : < ^ sinxcosx í 0 6 sm2x 0 . X í — ; k e

[cosx * 0 2

,, (1) s i n x cosx . sin2x + cos2x .Lúc đó : o ——— + ------ = 4 o ----- - — :------ = 4

co sx s in x s in X COS X

o 1 = 4sinxcosx o sin2x = Ặ = sin ̂2 6

2x = (- l)m—+ II1JI o X = (- l)m. — + ; m e z (ycbt).6 v; 12 2

Bài 30 (ĐẠI HỌC HƯỂ -KHỐI Đ - CPB - 1997)

Giải phương trình :sin ̂ x + 2cosx = 0.1 + sin X

(1

Giải

Điều kiện : ĩ + sinx * 0 => -X * + 2kiĩ; k s z2

(1) ■ . \Lúc đó : o sin2x + 2cọisx + 2sinxcosx = 0 2(sin.2x + cosx) = 0

18



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




17/365

o c os x . = - s i n 2 x ■o c os x = COS I + 2xV2

x = -~ + 2x+ 2rm2

x = --.-2x+ 2jm 2

o

X - - 2m n (loại vì m = -k )2 '

71 2m n ...X —— ■H— —— ( m . e Z )

6 3

Vậy : X = - ~ + m e Z là nghiệm phương trình (1) (ycbtj. 6 3

Bài 31 (ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG TPHCM - KHỐI D - 1997)

Giải phựcmg trình : 2tgx + cotgx = Về" + — sin2x

(1)

Giải

.V . . . [ s iạ x * 0 II17I . 7 TĐiệu ki ện : { . o . X * —— : m € z í

[cos X * 0 2 ' 1

T - . / ■ s i n x c o sx s in 2 X + c os 2 XLúc đó tgx + cọtgx = ———+ ——— = --------- ----------c o sx s in x SỈH.X COS X

t> tgx + cotgx = —^sin 2x

(1)Đến đây : c> tgx + tgx. + cotgx = Vã + —

sin 2x

o tgx +■ 7 7 2n = Vã + . tgx =: sin 2x sin 2x

Bài 32 (ĐẠI HỌC DÂN LẬRpÔNG ĐÕ - 1997)

Giải phương tr ìn h tg x + cotgx = 2(sin2x + cos2x). (1)

Giải

_ íc ò sx * 0 _ . o - . tot . ~ Điếu kiên : ị '■ o . sin2x * ơ o X * — : k € z

' [sin X * 0 2

T , ^ sinx cosx _ o, . „ - .Lúc đó : o ------ + = 2(sìn2x + cos2x)

c o s x ‘ s i n x

s in 2 X + co s2 X= 2(sin2x +■cos2x)

s i n X cos X . sin2x

o sin2x(sin2x+ cos2x) = 1 s i n 2 2x + sin2xcos2x = 1

o —(1 - cos4x) + Ậsin4x = 1 o sin4x - cos4x =12 2 ■ ■ ■' ■ .. .

o V2 s in ^ 4 x - - j =. Ị - •C5> s in ^ 4x - —j - — - s in — .

= 2(sin2x + cos2x)



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




18/365

Ỉ . . . o __ 4 x -- = - +2tm

4 4 _ / \ • ^

4 x - - = ^ - - j + 2 r a ĩ

7Ĩx = - + — ; m e Z

8 27Ĩ HXl r-jjr

x = “ +— : m eZ . 4 2 ’

(ycbt ) .

Bài 33 (ĐẠI HỌC TỔNG HỢP HÀ NrỘI - KHỐI A, B - 1992)

Giải phương trình : 2 sin 3x ( l - 4sin 2 x) - 1.(1)

GiảiĐể ý : cosx = 0 không là nghiệm cửa (1)

c=> 2 si n 3 x [l - 4( 1 - COS2 xỊ jc osx = cosx

2sin3x(- 3cosx + 4 COS3 x) = cosx

o- 2sin3x.cos3x = cosx o sin6x = sin Ị —- X

6x = —- X + 2 k n 2

6 x = 71 - — + X + 2h t 2

_ Jĩ_ 2kĩi 14 017 ;k e z (ycbt). _ 71 2k ji

x ~ ĩõ + ~~5~

Bài 34 (ĐẠI HỌC GIAO THÒNG VẬN TẢI - 1998)

Giải phương trình : cpt§ x te x _ IQ̂ I + C0S4x). cos2x

(1)

Giải

Điều kiện : cos2x * 0 o 2x * - + k*


19/365

16sinx.cosx.cos2x.cos4x.cos8x = 8sin2x.cos2x.cos4x.cos8x

= 4sin4xcos4xcos8x = sinl6x

sinx 5*0

Luc đó : o I ị [sial6x = sinx

16x = X+ m2it o ị

16x = 7Ĩ - X+ ih2ti

X -m2n

U (m € Z)71 m27i

X- _ +——•17. 17

2mn , 15k k • = kĩt m = 1 = 7k + ^

15 2 2

Vì k € z, nên đ ặ t: —= p e z o m = 14p + p = 15p 2

ĨĨ m27T . _ _ 17k - 1 o1 k - 1• -r = kĩĩ o m = —— ---- = 8k + —-—

17 17 2 2

Vi k e z, nên đ ặ t : - = q e Z o k = 2q + 1

o m = 8(2q + 1) + q = 17q + 8

Vậy (1) có 2 họ nghiệm :X =

2m7ĩ

n r71 2mrc

(với m * 15p; p € X)(ycbt ) .

X - — + ------ (với m * 17q + 8; q e Z)17 17.

Bà i 36 (ĐẠI HỌC VÁN HÓA HÀ NỘI, ĐH TÀI CHÍNH KẾ TOÁN HÀ NỘI - 1998)

Giải phương trình :

cos lOx + 2 COS24X + 6COS 3x COS X = COS X + 8 COS X COS3 3x . (1)

G i ả i(1) ' 9 { * \ c o s lO x + 2 COS 4 X = COS X -f- 2 COS x(4 COS 3 x - 3 c o s 3 x ]

o co s 10% + 1 + COS 8 x = c os X + 2'cos xjcOS 9x

o cos lOx + 1 + c o s 8 x = c o s X + COS lO x + COS 8x

o cosx = 1 X = k27i; k € z (ycbt).

Bài 37 (ĐẠI HỌC VÃN HÓA HÀ NỘI - 1998)

Giải phương trình : sin3x c o s x = — + COS3 xsinx .

Gỉải

o sin X cos x(sin2 X - COS2 x )= ỉ « 4 sin X COS x (- COS 2x ) = 1

(1)

-2sin 2xc os2x = 1 o sin4x = ~1

4x = + 2kĩt 2

X= ——+ —— ;k e z (ycbt).8 2

21



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




20/365

Bài 38 (HỌC VIỆN NGÂN HÀNG - 1998)

Giải phương trình : sin6 X + COS6 X = cos4x . 7 (1

Giải

Ta có : sin6 X + COS6 X = (sin2 X + COS2 x)3 - 3 sin 2 X cos2 x(sin2 X + COS2 x)

, 3 . 2 o ' 1 3 f l - co s 4 x ' \ _ 5 3 A= 1 - —sin 2x = 1 - - ---- — ----- = —+ —cos4x (24 2 ) 8 8

So sánh vế trái của (1) và (2), ta được : cos4x = 1 o x = ^ ; k e Z (ycbt)2

Bài 39 (ĐẠĨ HỌC GĨÀO THÒNG VẬN TẢĨ - 1999) __________ ____________

Giải phương tr ìn h : sin 4 X+ COS4 X= —cótg^x + —jcotg^—- x j . (

Điều kiện :

sinị^x + —1*0

sinỊ—- X I * 0

o

Giảỉ

sin^x + —ì * 0

cosl x + í | , 0

. f n „ ■ 71 Ĩ Ĩ 1 7 Ĩ _______ o s í n 2x + — * 0 .X * m e

L 3 J 3 2

Lúc đó, phương trinh (1) tương đương với :

(sin2 X + cos2 x f - 2s in2 xcos2X = —cotgf X+ ? itgf X+ —] = — v } 8 \ 3J \ 3J 8

1 - —sin2 2x = —o 1 - —(l - cos4x) = —«- COS4x = — 2 8 4 ' 8 2

o 4x = ± —+ 2k7ĩ o x = ±— + “ j k e Z (ycbt).3 12 -2

Bải 40 (ĐẠI HỌC HUẾ - 1999) __________ .

Giải phương trình lượng giác : sm x CQfrg5x _ ^COS 9x

(1

Giải

r ■ e ^ o Í5x 5*krcsinox^ŨĐiẽu kiên : ị K o

COS 9x # 0 9x * -T + kĩtV - 2

X *kít

X- *

(k s Z)

Lúc đó : sinxcotgõx = cos9x o sin X C0S = COS9xsinõx

o sinxcosõx = sìn5xcos9x o sin6x - sin4x = sinlểx - sin4x

14x = 6x + in27ĩ

14x = 7C- 6x + m2ĩto sịn l4x = sin6x

22



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




21/365

o8x = m27i

20x = 7T+ m2ĩĩn

Bài 41 (ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG - Cơ sở n - KHOI A, D - 1999)

mn . 4k ™ X = m * m e £

4 57Ĩ m.7T _

X = —- + — , m € z 20 10 .1

(ỷcbt).

Giải phương trình : sin3 xcos3x + COS3 xsin3x = sin3 4x. (1)

Giảio s i l l3 x(4 cos3 X - 3 co sx )+ COS3 x(3 s inx - 4 s in 3 x) = s in3 4x ■

o 3 sin X COSxỊcos2 X - sin2 x) = sin3 4x o —sin 2x.cos 2x = sin 3 4x■ . ■ 2

o 3 s i n 4 x = 4 s i n 3 4 x o s i n l 2 x = 0 o X = ——; k € X (y cb t).

B ài 42 (ĐẠI HỌC THƯỚNG MẠI - 1999)1 ■' 1

Giải phương trinh : 2s in3x - . = 2cos3x + —-sinx cosx

(1)

Giải •

Điều kiên : j sin x ^ ̂ sin2x 5*0 o X* — ; k e z . Lúc đó :Icos X* 0 2v ! ■

'-.L . ■ ■ y : . 2-72cosíx~—)

s 2 ( s m 3 s - c o s 3 x ) = o ' - 2 ^ s i n j 3 x - ĩ ì « - ^sm XCOS X ^ 4J sin2x

o sinf 3x - —ì sin 2x - cosíX- —ìI ■ 4 J . V 4 ; • , -

o ì cosíx - —ì - cosíõx - —ì"Ị -cos íX - —ì .2 [ I; 4J l 4 j j ' { 4 )o cos^5x - —j +v cosị̂ x - —j =0o cos^5x - —j = cosị^— + x j

r_ 71 3it _ . r 71 rtiTĩ . ị ỗ x - + x + m2n \ X= —+

o 4 4 0 -4 2 (m € Z) (ycbt)t 71 3ti „ _ _ 7Ĩ m n .5x - —= - - X+ 2 x = - - r + —-

4 4 ■ , . 12. ■ 34 4

Bài 43 (VIỆ-N ĐẬI HỌC MỞ HÀ NỘI - 2000)

o 2 V2Giải phương trình : COS xcòs 3x + s i n xsía3x = —-.

4(1)

Giải

(1) COS3x + 3 cos X _ - 3 sin X - sin 3x . - V2o --------- —T----- cos3x + ■— -----------------sin 3x =

4 •' ■ T - 4 4

o COS2 3x + 3cos3xcosx + 3 sin 3x sin X - sin2 3x = V2 .

23



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




22/365

o (cos2 3x - sin2 3x)+ 3(cos3xcosx + sin 3xsin x) - >/2

o cos6x + 3 cos 2x = nÍ2 o 4 COS3 2x = V2 COS3 2x = i■ s . V

V2 I 71COS2x = — o X = ± —+_krc; k € z (ycfct).

2 I 8

Bài 44 (ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - KHỐI A, D - 2000)

Giải phương trình : sm ỉ - — ?os x = ỉ (tgx + cotgx).s i n 2 x 2

(1)

Điều kiện : sin2x * 0 (*)

a) 1 - 2 si n 2 xc os 2 X 1 o «

sln2x sin2x 2

Vậy : phương trình (1) vô nghiệm (ycbt).

Bài 45 (ĐẠI HỌC M ỏ - ĐỊA CHẤT - 1999)

Giải

c> 1 - —sin22x = 1 o sin22x =: 0 (vô lí với (*))

Giải phương trình : 1 + tgx = J sinx . (1)

Giải

Điều ỉdện : cosx * 0.

o C0S X + sin x = 2V2 sin.XCOSX o 4 2 sin^x + —j = V2 sin 2x

K , ̂ r JC

o

2x = x+-+k2rc 4

2x = J ĩ - X - - + k2rc 4

o

X - - + k2*4

II k2?ĩ X - — + — -. 4 3

o •X = — + ; k e z (thỏa cosx * 0) (ycbt).

Bài 46 (ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - ĐỘT I - KHỐI A - 2000) -

Giải phương trình : cosx - sinx = V2 cos3x,

Giải

-v/2 cosị^x + — j = -n/2 co s 3x o c o s 3x = cosỊ^x + —j

(1)

(1)o

3x = X + — + k.2ĩt 4

3x = -X - — + k2ĩt 4

oX = —+ kn :k e z

8..........7T kTT ,

x = _ 16 2

(ycbt).

Bài 4 7 (ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI - 2000)

Giải phương trình.: V3 sin 2x - 2 COS2 X = 2V2 + 2cos2 x. (1)

24



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




23/365

Giải

o V3 sin 2x - 2 cos2 X = 2^2(1 + COS2x) o V3 sin 2x - 2 COS2 X = 2v4cos2 X

o 2V3 SÌEXCOSX - 2 cos2 X = 4|cosx| V3 1

—— sin X - —cos X2 2

cos X = COS X

° 4 ' « )co s x = co s x (2)

71̂Biều kiện : siixị X - —Jc osx > 0 . Do đó, xét hai khả năng cho (2) như sau :

cosx > 0

sinị X - — Ị > 0

s in X - -Z co s x = co s x 6

cos X > 0

s i n [ x - ĩ ] > 0

COSX - 0

sinf X - —1 = 1 (loại ) ( h .l) ’

Tương ứng sin^x - — j = 1

(h.l)

cos X < 0

sin| X - —I< 0

sin X - — cosx = -cosx 6.

K xi ) £0cos X = 0

sinỊx - ^ j = -1; (loại); (h.2)

A (h.2)

Tương ứng sinỊx - —j = -1

cosx = 0 X = ~ + ktt; k e z (ycbt).2

B à i 4 8 (ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI - 2000)Giải phương trình : sin3 X+ COS3 X+ sin3 xcotgx + COS3xtgx = V2sin2x . Cl) I

Giải _ .v . .. f s in x * 0 A c o s x * 0 .Điẽu kiện :< sin2x > 0

1sin 2x > 0

Để ý : VT^) =ísinx+cosx)(l-sinxcosx)4-sin2 xcosx+co^xsinx

= (sinx + cosx)(l - sinx c osx + sinx cosx) = si n x + CGSX

25



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




24/365

(1) Í2 s i n x c o s x > 0Lúc đó : o ị ---------------■

sin x + cosx = 2 v s i n x c o s x

s i n x c o s x > 0

0

sin x + cosx = 2vsmxcosx

s i n x > 0

cosx > 0

sin x + cosx = 2-v/sinxcosx

SỈHX > 0

cosx > 0

sin x = cosx Ịdo BĐT Cauchy : sin x + cosx > 2Vsinxcosxj

sin X > 0

» 0

7ĨX = — + k7i;k e z

1 4

o X = —+2 m 7 i;V m e z ^loại X = —+( 2 m +1)71;V m e z z + 9.TMĨ • m


25/365

sin|^3x + - I> 0

1- co s 6x + = 1 + 8 sin 2x COS22x

o \ 4)

2 + 2 s i n 6 x = 1 + 8 s i n 2 x ( l - s i n 2 2 x )

sin^3x + —j > 0

2 + 2(3 sin 2x - 4 sin3 2x) = 1 + 8 sin.2x - 8 sin 3 2x

■ sinỈ3x + —I > 0 (*)

sm fsx + —i > 0 ^ 4 ' '

^ ‘ X = — + mu; m s Z (2). o 1 12

s in 2x = — ■

X= — + mvi; m € z (3)i 12

• Thay (2) vào (*), ta CO : sir^3x + —j = s^ 2 + = cos(̂ rn7ĩ) - ®

=> 3m = 2q; q € z thỏa (3m chẵn)=>‘ X= — + 2qĩĩ; q e z ỉà một họ nghiệm của (1)

12

Thay (3) vào (*), ta có : sir^3x + — j = SÌD̂7T+ - + 3nmj = - cos(3irư:) > 0

=> 3m = 1 + 2q; q s z thỏa (3m lẻ)*5ĩt /„ \ _____ ~ , ___________ , , , ,=> X = — + (1 + 2q)rc; q


26/365

Dạng chuẩn Công thức nghiệm; vk € za sin2{f(x)] = sin2[g(x)] jf(x) = ±g(x) + kít . ’1 b cos2[f(x)] = C0S2[g(x)j |f(x ), g(x j xác định

. Ịf(xj = ±g(x) + kTT

2 tg2[f(x)] = tg2[g(x)] jf(x )* —;+kjrỊ 2[f(x),g(xj xác định

3 cotg 2[f(x)] = cotg2[g (x)3Ịf{x) = ±g(x)-i-kn-

' Ịf(x), g(x) xác định

B. GỈẲĨTOÁNTBX

/ Bài 51 (ĐẠI HỌC TỔNG HỢP HÀ NỘI - KHỐI A - 1993)

Giải phương trình : 3tg2x - 4tg3x = tg23xtg2x. _________ _____________(1)

-..V , íCOS2 x * 0Điẽu kiên : < o 4cos3x * 0

Giải' l ĩ ’k j i

X * _ -I-

4 2 K kx

X * + —-6 3

; k e z (*) .

(1) 'o 3tg2x - 3tg3x = tg3x + tgf3xtg2x

o 3(tg2x -tg 3x ) - tg3x (l + tg3xtg2x)

• 1+ ,tg3xtg2x = 0 (2) o tg2x = tg3x

• => 1 + tg3xtg2x = 1 + tg22x = 0 (vô lí)

• 1+ tg3xtg2x 0 (2) o tg3x =—3 tgffx - tg2x 0 t g 3 x = -3tgx

-. . 1 + tg3xtg2x

—— -* = -3tgx 10tg3x - 6tgx = 0 o 2tgx (õtg2x - 3) = 0 l - 3 tg * x

'tgx = 0 fx = m* 2 _ 3 ^tg X = -

. 5 'X = iarctg —+ ĩi%

; ra, n e z (ycbt)

(2)

Ba họ nghiêm trêu thỏa điều kiện


27/365

(* )í tg x + ~ eoigx ì = ị ịcgị + ^ ỊcotgxỊ j > 2" • l^otgxỉ = 1

. ■ . V /

Dấu đẳng thức, trong (*) xay ra khi và chỉ kh i tgx = —cotgx o tgfx = ỉ4 4

o X= arct^± —j + mít; m € z là nghiệm phương trình (1).

*Ghi chú :

• ị (Ỉ) =ă + = đ (Ỉ) =Ị̂ tgx+-cotgxj ĩ Ị̂±—j + ĩ

COSn X < COS2 XỈỉ ỈỈ

COS xị < cos X

ịsin0 xị < sin2 X

icosnx + sin"x Ị


28/365

(si'nx - cosx)(sin2x - 3cos2x) = 0 (s in x c o sx X l - cos2x - 3cos2x) = 0

(sinx - cosxXl - 4 c o s2x ) = 0

Xét hai khả năng xảy ra cho phương trình (*):


29/365

Bậi 57 (ĐẠI HỌC HÀNG HẢI - CPB - 1997)

G iải phư ớng tr ìn h : cosx = COS2 Ị — Ị.

Xét : cosx = cos2| — ì


30/365

' i -r 2. —smz4x = co s44x 1 — —(1 — C0d24 x ) ~ cos44x 4 2 ■

1 + c o s 24 x = 2 c o s44x 2cos44 x - c os 24 x - 1 = 0

.2 ""..............................COS 4x ~ 1

COS2 4 x = “ (v ô l í )

o X = ; a i e Z (ycbt).4

Bài 59 (ĐẠI HỌC Y Dược TP-HCM- 1997)

Bằng cách dùng t = tgx, giải phương trinh.: sinxsm2x + sm3x = 6cos3x.

GiảiX ét: s inxs in2x + s ia 3 x ■=6 c o s 3x

o 2sin2xcosx + 3sinx - 4sin3x = 6cossx Nhận thấy : cosx = 0 không thỏa mãn. (1), nên cosx * 0 trong (1). Chia 2 vế của (1) cho cos3x 5*0, ta được :

2tg2x + '3tgx(l + tg^x) - 4tgsx “ ’6o -tg3x + 2tg2x + 3tgx = ổ o (tgx - 2Xtg2x “ 3) = 0

tgx = 2

tg2x = t g * |

X = arctg2 + k n ; k e 2

- i t . ■. ~X = + —+ mrc: m € z ■

3

Bài 60 (ĐẠI HỌC CÒNG ĐOÀN - 1998)

Giải phương trình :sin x -2 , jX

• 2 , 2* ” 2 ’s i n X - 4C 0 S —

íl )

(1)

Với để ý : sin2x - 4 COS2 — = 4 sin2 — COS2 — - 4 COS2 — 2 2 2 2 .

= 4 cos2 - r í sin2 4 - l ì = - 4 COS2 77 COS2 = - 4 COS4 ^

Giải. 2 x 2 X ^ 2 x

Điều kiện :co^ —* 0

2 X• O C O S~*0 o X * TỊ+ 2krt; k € z

:_2 , 2 X 2 .sm X - 4 cos —^ 0

2• 2 X

^ s i n 2 x - 2 s m 2 ^ 2 - s i n 2 x . 2 Xúc đó : ----- ----------- — - = —— ^ ---------------------- —=

, 4 X 2 x ^ 2 X • 2- 4 cos T cos "

o 2 - sin X= 4 sin — COS — 2 - sin X = sin X2 2 •

o sin̂ = 1=sin2 —o X s=± —+m̂ o x =. —+mít; me z.2 2 2

32



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




31/365

Bài 61 (ĐẠI HỌC QUỐC GIA HẢ NỘỊ - KHỐĩ A - 1998)

Giải phương trình : 2tgx + C0tg2x = 2sia 2x +s i n 2 x

(1)

ícosx * 0Gỉảỉ

cos X 0 kítĐiều kiện : \ . ọ f o X í — (k e Z)

[sin2x?i0 Ịsinx^O 2

(1) ' 2 _ tsf̂ x XLúc đó : 2tgx + ---- —— = 4 sin XCOSX4------- ----- 2 t g x 2 s i n X c o s X

•o 2tgx + ỉ cot gx - —tgx = 4 sin XCOS X& — —-------2 2 2sinx cosx

Nhân 2 sinxcosx * 0 vào 2 vế của (2), ta được :

4 s in 2 X + c o s2 X - s in 2 X = 8 s in 2 X COS2 X + 1

« 3 si n 2 X + 1 - sin 2 X = 8 sin 2 xc os 2 X + 1 o sin 2 X = 4 sin 2 xc os 2 X

o sin2 x(l - 4 COS2 x) = 0 o COS2 X= —= j = cos2 —̂j (vì sin2 X* o)

o X = ± — + ĨĨ17T; m € z (ycb t) .3

B à i 62 (ĐẠI HỌC MÕ - ĐỊA CHẤT - 1999)

(2)

Giải phương trình : tgxsin2 X - 2 sin2 X = 3(cos 2x + sin X COS x). (1 )

Giải

Điều kiên cosx í 0 o X* —+ k.71; k € z2

Lúc d ó : o S" - - 2 s in2 X = 3ỈC0^ X - s in 2 X+s i n Xcosx)cosxChiá 2 vế của (2) cho cos2x í* 0, ta được :

tg3x - 2tg2x = 3(1 - tg2x + tgx) o tg3x + tg2x - 3tgx - 3 = 0

'tgx = -1

(2)

o

(tgx + l)(tg2x - 3)= 0 otg X = 3

t g x = t g ( ' - |

t g 2X = t g 2 í

X = + m 7 t ; m e z4

X = ± — + n n ; n e z . 3(ycbt ) .

Bà i 63 (ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP I - KHỐI B - 1999)

Giải phương trình : sin2 x(tgx + 1) = 3 sin x(cos X - sin x) + 3 (1)

Gỉảỉ

Điều kiên : cosx 5*0 o x ^ 7 + h ; k s Z2

Chia 2 vế của (1) cho cos2x * 0, ta được :



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




32/365

tg2x(tgx + 1) = 3tgx(l - tgx) + 3(1 + tg2x)

tg3x + tg2x = 3tgx - 3tg2x + 3 + 3tg2x

o tg3x + tg2x - 3tgx - 3 = 0 (tgx + l)(tg2x - 3) = 0

o

tgx = -1

tg2x = tg2 ^ (ycbt).

Bài 64 (ĐẠI HỌC HƯẾ - KHQI RT - CPB - 1999)

Giải phương trình lương giác : COS6X + sin6 X = — .16

7 3

2

7t kĩr — . + -- -

6 2Bài 65 (ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TPHCM - 2000)

o 2x = i - + kít 0 X = ± — + ~ ; k s Z ' (ycbt). 3 6 2

(1)

Giải

1 - 3 sin 2 xcos2 X = — 9 = 12 sin2 2x o si n 2 2x =6

Giải phương trình :

1 1

sin X V1 - cos X 1 + cos X- V 2 = - V 2

+ 3c os 2 XN

sin 2 X(1 )

Giải

ísinx * 0

1+COSX*0Lúc đó, vế trái của (1) được biến đổi như sau :

VTa> =

s i n x * 0Isin x^o , , „

1-cosXỹtO o ^ o x ^ k J T j k e Z[cosx * ±1

1 /1 + c o s x + 1 - c o s x 2 _ 1sin X \ (1 - cos x)(l + COS x) - s in

(1)Với ĐK (2) • c>

sin X Vsin X- -1/2 = — &

sin X sin X

sin X sin X s in X

(2)

- 7 2

(3)

Ta xét hai khả năng õ trong (3) như sau :

rpij A 4.U' 1 1 - 1 - 3 c o s 2 x _ 2 1 ■«□ T H i: sinx > 0 t h i : ——------------------------------------------------------------------1 = --sin X sin X 4

Trường hợp này, (1) vô nghiệm do (3) vô nghiệm.□ TH2 : sinx < 0 thì :

1 , - l - 3 c o s X ' ( V3 — ^---------------------------------------- 1 = ------ ----------- o sin X = Isin X si n X 2

\2V3

(với sinx < 0) o sin X = - — 7-2

1+1 TTVậy : (1) có họ nghiệm duy n hấ t: X= (- ĩỴ+l —+ n.7ĩ; n € z.. 3

34



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




33/365

B à i 6 6 (ĐẠI HỌC THỨY LỢI - 2000)

/-.•Ì- sin3x sin5x ... ■Giải phương trình : ---- —- = ---- — (1)

Gỉảỉ(1)■o 3sin5x = 5sin3x co 3(sin5x - sin3x) = 2sin3x

o 3.2cos4xsinx = 2(3sinx - 4sin3x)

6(1 - cos4x)sinx - 8sin3x = 0 6.2 sin22xsinx —8sin3x = 0o 48 sin 3xcos2x - 8 sin3x = 0 8(6cos2x - l)s in 3x = 0

sinx =0 x = b ; f c e Z

í ì T- *ycbt)X= iarccosi Ự=J + mu; m e £.

Cách khác : {Đại $ố ỉióa phương trình, lượng giác - dạ ng 2)

Đặt : t = sinx => -1 < t < 1; Vx

q > 3 t - 4 t ^ _ 5 1 - 2 0 ^ 1 6 1 * g t . f r , _ B) . 0 0 rt = 0o c V /

osm2x - 0

2 1 COS X= -

X - k n ; k e z

= 4. ÍJ_-X= iarccos [ —=\-Jẽ\

B à i 6 7 (HỌC VĨỆN NGÂN HẢNG - PV TP.HCM - KHQI A - 2000)

Giải phương trình : sin3x + cos3x + 2có§x = ơ. _ _

• Nghĩa là : ocos3x cos3x cos3x cos3x

= 0

•ó 4tg*x - 3(1 + tg^ tg x + (1 + tgSí) - 4 = 0 o tg3x + t^ x - 3tgx - 3 = 0 (tgx + lXtg^ - 3) = 0

t g x = - l = t g ( - |

o

tg2x = (V 3 f = t g ?í ỉ

o X = +prc ;p € z

4

x = ±- | + q7r;qeZ

Vây hai ho nghiêm của (1) là : x = - —+ prc và x=±-+cpc (p; q 6 2 ) (ycbt).4 3

(1)

(2)

GiảiC1>o (3sinx - 4sin x) + (4cos X - 3cosx) + 2cosx = 0

4 sin3 X - 3 sin X + COS X - 4 COS3 X = 0(2)

• Để ý k h i: cosx = 0 : o ± 1 * 0

Nên (1) không có nghiệm x = - + k ĩ r ; k e Z

{2) 4 sin3 X 3 sin X COS X 4 COS3 X



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




34/365

Bài 68 (HỌC VĨỆN NGÂN HÀNG - pv TPHCM - 2000)

Giải phương trình : tg2x + cotg2x + cotg22x.= — . (1)3

G i ả i

Tì-* i r - ị x * ~ ; k e Z nụ ... ■.Đ iễ u k i ệ n : < 2 o X * — n e z

[ 2 x * m n ; m e z ^

^ , sin2 X- cos2X - cos 2xB ể ý t h ê m : t g x - c o tg x = —■— ------- -------sr — ;---------= - 2 co tg 2x

sin X cos X 1 . _ ; “ s in 2x

2

=> (tgx-cotgx)2 = (-2cotg2x)2

=> tg2x - 2tgxcotgx + cotĝ x = 4cotg22x

=i> tg2x + cotg2x = 4cotg22x + 2

L ú c đ ó : o (4 c o t g 2 2 x + 2) + c o tg 2 2 x = — ■3

o C0t ^ 2x = i = [ ^ j = ( c o tg 0

o 2x = ± —+ Zĩt c=> X= ± —+ — ; l e z (ycbt).. 3 6 2

B ả i 6 9 (ĐẠI HỌC LUẬT HÀ NỘI - 2000) _________________

,......... .. v v 1 - sih2x + Vl sin2x “G iả i p h ư o a g t r ìn h : -------------------— ----------------- = 4 c o s x . ( 1 )

.................... . s i n x .............................

G i ả i

Điều kiện : sinx * 0 o X * kn; k e z ' :(vì 1 - sin2x; 1 + sin2x > 0; \/x)

(1) ---- __— ------ -----'Lúc đỏ : o V Ị- sin2x + VITsin2x. = 4s inxcosx

• ^ ■ -

o V l - s i n 2 x + V l + s i n 2 x = 2 s in 2 x

Đ ế n đ â y , (2 ) đ ư ợ c b ổ s u n g t h ê m đ iề u k i ệ n : s in 2 x > 0

fx * k ji , Ít , , -Vo ị , ^ ■ ■ o kTT< X< —+ kĩĩ; k G z (3)

Ịk2 7ĩ < 2 x < 71 + k 2 t ĩ 2

(2) ị ----L ú c đ ó : => 1 - s i n 2 x + 2 v COS. 2 x + 1 ỷ s in 2 x - 4 s ì n 2 x

1 + Ịcos 2xỊ - 2(1 - Ịcos2xỊ2 ) => (1 + Ịcos2x|)(i - 2(1 - ịcos 2xị)) = 0

(2)

(1 + Ịcos2x|)(2lcos2xỊ - 1) = 0

Ịcos2xi = -1 (vô lý)

lcòs 2xỊ = — '• * 2

o lcos 2x| = 4- 1 ' 2

36



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




35/365

=> cos22 x .-iJJ = (c o s | ]

0 ,T t ___ m r i ^o 2 x = ± -f +m7t => X =± —+—1;m e z

3 6 2

So với điều kiện (3) thì nghiệm của (1) là :

x = —+ p7i;peZ (tương ứng Xị , x3) 6 .

X = — + qrc; q e z (tương ứng x6 , x8 ) .3

Bài 70 (ĐẠI HỌC XÂY DựNG HÀ NỘI - 2000) ___

(ycbt)

iX2 ,

^/ỂỊÊẩế +ệmWiTV*

■ 0

-v/l-sin2x + Vl + sin2x .Giải phương trình : --------------- ■--------------- 4 COS X .

s i n X

GiảiXem Đề ĐẠI HỌC LUẬT HA NỘI- 2000 (Bài 69).

Bài 71 (ĐẠI HỌC Y THÁI BÌNH - 2000)

Giải phương trm h-;• 2 s i n 2 3 x f

s i n X + — ----------3 s i n 4 x

(cos 3xsin3 X + sin 3xcos3 x) = sin Xsin2 3x, __ ________________________________ &L

U )

Giải

Điều kiện : sin4x * 0 o X í — ; k e Z . 4 .

Dùng công thức hạ bậc, ta có :(1) 3 * 3«■ COS 3x. sin X + sin 3x. COS X = —sin 4x

4

sin2 X + —sin2 3x = sin xsin2 3x 4

» Ịsin X - ~ sin2 3xj + —(sin2 3x - sin4 3 = 0

o Ị ^ s ín x - i s in 2 3x*j + — s in2 3x( l - SÍĨ12 3x )= 0

I . 1 . 2sin X = — sin 3x

2

sin 2 3x(l - sin2 3x)= 0 (3)Ísin3x = 0□ THi :


36/365

Loại 3 : PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐƯA VỂ MỘT HÀM LUỘNG GIÁC

JL PHUONG PHÁPCơ sơ của phương pháp là biến đổi phương trình ở giả thiết về một trong các dạng ở tron

bảng sau : ________________ _______________________________________________ •

Phương trình bậc hai dối với hàm số lượng giác :

Dạng Điều kiện (a, b, c 6 R; a í ũ) Cách giài

1asin^ + bsinx + c = 0

asin2[fĩx)] + bsin[íĩx)] + c = 0

Đặt sinx = t

sin[fi(x)} = t2

acos2x + bcosx + c =■0

acos^ííĩx)] + bcos[fĩx)] + c = 0

Đặt C0SX = t

cos[f(x)] = t

3atg*x + btgx + c = 0

atg^Kx)]’+ btgííĩx)] + c = 0

Đặt tgx = t tg[f(x)] = t

4acotgTc + bcotgx + c = 0 acot^Eíĩx)] + bcotg[f(x)J + c = 0

Đặt cotgx = t

cotg[f(x)] = t

• Ghi ch ú : Trong dạng 1 : sinrx, sin3[f(x)] ìiay dạng 2 : cosr(x), cos2[f(x)J có thể thay bằncos[(2x)], cos[2f(x )].... muốn đưa về dạng chuẩn trong bảng, ta sử dụng các công thức :

. 2 l-c o s2 a 2 l + cos2a sin a = -----— ----- ; cos a -------— -----

\ /

B. GIẢI TOÁN THI

Bài 72 (ĐẠI HỌC KINH TẾ TP.HCM -1990)

Giải phương trình : i ẹotgạ* t j rn jx = 2 (ĩC0tg2x - cos2x

Giảiícotg2x * cos2x fc os2 x* 0 ku

Đ K : < . ^ ^ c> ị . X* —•; k Ịs in 2x*0 [sin 2X5*0 4

(1)

o COS2x + 3cotg2x + sin 4x = 2cotg2x - 2cos2xc=> 3cos2x + C0tg2x + sin4x = 0 o cos2x |3 + — ^— +2 sin 2x1 =0

^ sin 2x J

o 3 + — -— + 2 sin 2x = 0 (vì cos2x # 0) 2sin2 2x + 3 sin 2x + 1 = 0cỉr» Ovsin 2x

sin2x = -1 (loại vì cos2x 5*0)1 o sin 2x = - —

sin 2x = - -r1 22

o X = ( - l ) m+1 “ + m €z (ycbt).12 2

Bài 73 (ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘĨ - 1994) __________

Giải phưong trinh : l ? ! ? 2-2* + 6 sin' * -9 - 3 c o s 2 * = 0 (1 _________________________ COSX _____ __________________________

Giải

Điều kiên :cosx Í Ũ O X Í — +kĩri.k € z2

38



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




37/365

o

4(1 - cos2 2x)+ 3(1 - cos 2x) - 9 - 3 COS2x = 0 2cos22x + 3cos2x + 1 = 0

cos 2x = -1

« _ 1 0 cos 2x = — 2

X = —+ mTC(loai); ra, n e z

X= ± —+ 11713

Vậy nghiệm phương trình là : X- ± —+ nrc; n € z (ycbt).3

Bài 74 (ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC TP.HCM - 1994)

Giải phương trình.'nh. cosx(2sÌPX + 3 ^ ) - 2cos2 X - 1 _ ^1 + sin 2x

Giải

Xem Đề ĐH KINH TE - 1995 (Bài 76). .

Bài 75 (ĐẠI HỌC AN NINH - 1995)

1 1 2 Giải phương trình : - — + — *— = ~ ~ —

cosx sin2x sin4x

(1)

Giải

Điều k iện :

cosx * 0- k7t

sin 2x 0 o sin4x ̂ 0 O X Í - - ; k € z4

sin4x * 0

Sử dụng thêm : sin4x = 2sin2xcos2x o sin4x = 4sinx cosxcos2x(1) -

Lúc đó o 4sinxcos2x+2cos2x = 2 o 4sinxcos2x = 2(l-cos2xj

o 4sinxcos2x = 4sin2x cos2x = sinx

o 1 - 2sin2x = sinx o 2sin2x + sinx - 1 = 0

sinx = -1 (loai vì tương ứng vđi sin 2x * 0)

(2)

osin X= - —

2

X - (-1 )™ —- + IM o X - ( - l ) m+1 —+ x u t ĩ ; m e z (y c bt) .

Bài 76 (ĐẠI HỌC KINH TẾ TP.HCM - 1995)

Giải phương trình

cosx(2sinx + 3V2 ị - 2cos2 X- ĩ

ình :-

---- ì------- :----

- i -----------------

1 .1 + sin2x (1)

Giải

Điều kiên : sin2x * -1 o X * + k7t; vk e z (2)4

Lúc đó : o 2cosxs iax + 3\/2 cosx - 2C0S2 X -1 = 1 + sin2x

o 2cos2 X - 3V2 cosx + 2 = 0

39



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




38/365

COS X = V2 (loại)

V2.c o sx =s

■ _ V 2o COS X = - — o

2 •

x = -' + m 2 z 4 .

X = - - + Ip27t (khóng thòa(2))

(m e z )

Vậy nghiệm của phương trình. đã cho là : X = - + nj2jr; Vm G z (ycbt).4

Bài 77 (ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC TP.HCM - 1995)

Giải phương trình : ịtgx! = cotgx + —— . (1)• .COS X ........

GiảiTa chia làm 2 trường hợp :. ^irK PACJ? Ị

□ TH i: tgx > õ =——+•— (với sinx; cosx 5*0 (*))COSỈ siĩK cosc

2 s in 2 X - si n X - 1 = 0

sin X - 1 (kh ôn g th ỏ a ■(*))

1 o s in x =sin X —— - 22

o

7t io X = ~ + k2n ; v k e z (thỏa đ i ề u k i ê n t g x > 0 )

6

„ rpr. . „ W sinx cosx 1 . .o .□ TH2: tgx < 0 o = —-— +—— (với điều kiện (*))

cosx sinx cosx

o sinx = -1 (không thỏa (*)) ■ i . ■771

Vậy (1) có ho nghiệm duy nhất : x = — +k2rc; vk e z (ycbt).6

Bài 78 (ĐẠI HỌC NÒNG NGHIỆP ì - 1996)Giải phương trình Iượqg giác : sin4x = tgx. \ (1)

Giải

Điều kiện : cosx * 0 hay X5* — + kír ; k e z2

Để ý thây : sin4x = 2sin2xcos2x = 4sinxcosxcos2x

Lúc đó : o 4sinxcosxcos2x = xcosx

•o 4sinxcos2xcos2x “ sinx = 0 o sinx(4cos2xcos2x - 1) = 0

□ TH j: sinx = 0 o X = m7r; m e z

□ TH2: 4cos X cos2x = 1 o+ co s2 x^ _ ,

— —— cos.2x = 1

2c o s 22x + 2cos2x - 1 = 0 (A' = 3) COS2x -=

V ã - 1

0 _ - V3 - 1 nCOS2x ----- ----- (loai)



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




39/365

B à i 7 9 (HỌC VĨÌỆN QUAN HỆ QUỐC TẾ - 1996)

Giải phương trình : sin— = 5COS3 X sin —.2 2 (1)

Giải

Để ý : cos- =0 không phải là .nghiệm của phương t r ì n h ; 1)2

hay n gh iệm của phương trình (1) là : — * —+ kít o X £ /1+ k2n; k e z2 2

Nhân 2 vế cửa phương trình (1) với 2 COS—, ta có :

2 sin ^ COS —= 5 cos3 X.2 sin — COS — o siu3x + sin2x = 5cos3xsinx2 2 2 23sinx - 4sin3x + 2siiixcosx = 5cossxsinx sinx(3 - 4s in 2x + 2cosx - 5cos3x) = 0

o sinx[3 - 4(1 - cos2x) + 2cosx - 5cos3x] = 0o s inx(-l + 4cos2x + 2cosx - 5cos3x) = 0 (2)Xét 2 khả năng của (2):

X X□ T H i: sinx - 0 2 s i n - “ C 0 s - = 0 o

2 2

s i n - = 0

cos —= 0 (loại) 2

sin = 0 o —= Ĩ17Ĩ «=>. X= n 2 x ; n € z2 2

□ TH2: -1 + 4c os2x + 2cosx - 5cos3x = 0o 5cos3x - 4cos2x - 2cosx + 1 = 0 o (cosx - 1) (5cos2x + cosx - 1) = 0

X = m 2n ; m € zo

c o s x = 1

5cos2 X+ cos X- 1 = 0 ■■ - l ± y Í 2 Ĩ

COS X = -----------10

Để ý nghiệm X =: m2iz trùng với X = n2n trên đường tròn lượng giác X = ĩũ.2n ; m € z

X = ± arcco s- 1 ± M '

10+ 2/71 ; ỉ e Z

Vậy t r o n g m ọ i k h ả n ă n g : X = 2mrt V X = ±arceos — ------

là nghiệm phương trình.

+ ỈĨĨ ; ỉ e z ,



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




40/365

Bà i 80 (ĐẠI HỌC THỬY LỢI - 1996)

Giầỉ phương trình : 4sinx + 3Ỉ cosx Ị= k. (1) vđi k = 3 và k - 4.

Giải

í3 - 4 sin X > 0(1) -a) Khi k = 3 : cr> 31 cosx Ị= 3 - 4sinx

(3ịcos x|)2 = (3 - 4 sin x)2

- 1 < sin X< — 49 co s2 X = 9 - 24 sin X+ 16 sin 2 X

- 1 0; Vx, nên bình phương 2 vế cửa (2) thì :(2) - .

25sin X - 32sinx + 7 = 0

sinx = 17

sinx - — 25

X= — + k2r ;k e 2 2

(ycbt).X= (“l)marcsii^-—j + n m ; m e Z

B à i 8 1 (ĐẠI HỌC HUẾ - KHỐI Á, B CHUYÊN BAN - 1996)

. 1 ___ s in x ( 3 - /2 - 2 c o s x )- 2 s in 2 x - l , ..Giải phương trình lương giác : ------------------ —-------------------=1. (1 _________________ l-sin2x _________ _____

Giải

Điều kiện : 1 - sin2x * 0 o sin2x í 1 o X'#■ — + kfl4

(1)Lúc đó : o 3v2 sinx - sin2x - 2sin X- 1 = 1 - sin2x

o 2sin2x - 3\/2 sin X + 2 = 0

sinx = \Ỉ2 (loại)sin X= -—

2

* & sin X= —- ■»2

X='—+ m-rtim 6 z4 _ 3tt ___

X = — - + m 7 ĩ ;m e JÙ 4

(ycbt

B à i 8 2 (ĐẠI HỌC GIAO THÒNG, cơ SỞ II - 1996)

Giải phương trình : (sin2x + >/3 COS2xf - 5 = cosỊ̂ 2x - —j . (1

42



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




41/365

(1)o

f -

sin 2x +

7TCOS —

6. 71

sin — 6

\2

COS 2x - 5 - cos I 2x - —1= 0

o 4c os2^2x - —j - cos|^2x - —j - 5 = 0 (a + c = b)

c o s | 2 x - - j = - l

1 6 ' ~ C 0 S Í2 X -Ỉ = - 1 ..r o _ 5 - V 6

COS 2x - — = —> 1 (loai)I 6 ) 4

o 2 x - - = n + k2jt o X = — ■+ k rt; V k e Z (y cb t).6 12 .

B à i 83 (SẠI HỌC QUỔC GIA HẢ NỘÌ-I995) ____________

Giải phương trình : tgx - tg2 x = sinx. _______ (1)

ícosx^O Điẽu kiên: { „ ^ o

COS 2x * 0

GỉảỉX * — + kĩt,

2■K krc

X * — H— -4 2

(*)

(1) ( 1Lúc đó : o sinx -

2cosxl^cosx cos2x

□ T H i: sinx = 0 o X = kít (k Ễ Z)

1 2 cos X

- 1 = 0

(2)

□ TH2: -1 = 0 o cosxcos2x = -1 o 2cos X - cosx +1 = 0

cos X cos 2xcos X = -1 (3)

2 cos2 X- 2 cos X+1 = 0 (vô nghiệm)

Vậy kết hợp nghiệm (2) và (3) ta có : X = k ĩ ĩ ( k € Z); thỏa mãn điều kiện

(*) nên X= krc là nghiệm của (1).

Bài 84 (CAO ĐẲNG SƯ PHẠM HÀ NỘỊ - 1997) ______________

Giải phương trình : cos2x + sin X + 2cosx +1 = 0. (1)

Giải

(1) 9 2 ~2c osx - 1 + (1 - COS x) + 2cosx + 1 = 0

2cos2x - cos2x + 2 c o s x + 1 = ọc o s 2 x + 2cosx +1 = 0 (COSX' + l ) 2 = 0 o c o s x = - 1 o X = 71 + k 2 x ; k e z ( y c b t ) .

Bài 85 (ĐẠI HỌC SƯPHẠM 2 HÀ NỘI - 1997) , .

Giải phương trình:: \/5 cosx - cos2x + 2 sin X = 0 .

43



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




42/365

Giải

X ét: v5cosx-cos2x + 2sin x = 0 hay V5cosx-cos2x = -2sinx

[Đạng'S = B o |Ầ = B2• f Đạng VÃ = B o

0) ísinx < 0 Ịsinx < 0

5 cosx - (2 COS2 X - 1) = 4 sin2 X2 COS2 X + 5 còsx - 3 = 0s in x < 0 ■ ■ f. rx r _ o /1 Ị sm x < 0 s i n X -----------co sX = - 3 (loại) ■ ’ 2

i ' 1 1 °1 c o sx = — 1

COS X = — . . ■ , Ị. . 2 cos X = — 2 2

tgx = -V 3 o X = - —+ k ĩĩ ; v k € z íycbt).3

Bài 86 (ĐẠI HỌC ĐÀ NẤNG - KHỐI A - 1997)

(1)

Giải phương trình : sin3x + 2cos2x - 2 = 0. (1)Giải

(1)o 3sinx - 4sin3x + 2(1 - 2sin2x) - 2 - 0

o 3sinx - 4sin3x - 4sin2x = 0 o sinx(4sin2x + 4sinx - 3) = 0

o

sin X = 0

sinx = — 2

o

sin X = -■—(loại)2

X = k7ĩ;k s z

- ™ - Z ( y c b t ) *X = ( - 1 ) — + m 7 i ; m € z 6

Bài 87 (ĐẠI HỌC ĐÀ NẤNG - 1998)

Giải phương trình : 3cos4x - 2cos23x = 1.

o (cos2x - 1)(4cos22x - 2cos2x - 5) = 0 o

j"cos 2 x = 1

COS2x = (nhân) v cos2x = —■ > 1 (loai)L 4 4

X = IM ; m e X

° _ , 1 1 - V2 Ĩ . ■. (ycbt). .X = ± —arc co s----- - — + k vi; k € z

2 4 ■

(1)

Giảio 3còs4x - (1 + cos6x) - l ó cos6x - 3cos4x + 2 = 0C5> 4co s32x - 3co s2x - 3(2cos22x -1 ) + 2 = 0

o 4cos32x - 6cos22x - 3cos2x + 5 = 0 (a+b + c+d = 0)

cos2x - 1 = 0

4 COS2 2x - 2 COS 2x - 5 = 0



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




43/365

B à i 8 8 (ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNỌ NGHỆ TP.HCM £ KHÓI B. D - 1998) ______ ■

G i á i p h ư ơ n g t r ì n h l ư ợ n g g i á c : COS3 X+ s i n X - 3 s i n 2 X COSX = 0 ■ (1 )

Giải

Để ý: cosx = 0 không phải là nghiệm của phương trình.(1).

Chia (1) cho cos3x 5*0, ta được :

o 1 + - m x . — ^ ---------3 t g 2x = 0 1 + t g x í l + t g 2x ) - 3 t g 2x = 0COS X co s X

tg 3x - 3 tg 2x + tgx + 1 = 0' (tgx - l)(tg2x - 2tgx - l) = 0

r' - ~ rtgx = 1o

o

tg x - 1 = 0 tg x = 1

t g 2X - 2tgx - 1 = 0 tgx = 1 ± ỵỈ2

X = — + k ĩ ĩ ; k e z4 (ycbt).

X = a r c t g ( l ± V2 ) + ĨĨ1TI ; m e 2

Bài 89 (ĐẠI HỌC DẰN LẬP NGOẠI NGg TIN HỌC TP-HCM - CPB - 1998) ■ : . V . o ___ 2 3x 1 „ ___ 0

Giải phương trình : 2 COS —- +1 = 3 COS 2x .

o

o

(cos X - 1)(4 co s2 X- 2 COS X - 5 ) = 0 o4 cos X- 2 cos X- 5 = 0

c o s x = 1

1 —V2 Ĩ . , „ . 1 + V21 /.c o s x ------ — (n fa .ậ n)y c o s x = ------ — (loạiJ

X = 2m;i; m € z

f l - V 2 Ĩ ÌX = ± a rc c o s --------7- — + 2k7u; k € z

(ycbt).

à i 9 0 (ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG c ơ SỚ ụ - 1998 - KHỐI A, D) _______

• Giải phương trình lượng giác : cosxcos4x + cos2xcos3x = 0;

(1)

Giải

1 + cos 3x +1 .= 3 COS2x o 4 COS3 X- 3 COS X + 2 = 3(2 COS2 X- 1 )

o 4 cos3 X - 6 cos2 X - 3 COS X+ 5 = 0 ( a + b + c + d = 0)

cos X= 1

(1 )

Giải(1)

o

o

• 0

COS XCOS 4x + cos 2x(4 eos3 X - 3 COS x) = 0

cos x(cos 4x + 4 cos2 X COS2x - 3 COS 2x) =0

c o s X ^ 2 c o s 2 2 x — l j + 2 { 1 + CO S2x)C OS 2 x - 3 C O S2 xj = 0

c o s x (4 c o s2 2 x - c o s 2 x - 1 ) = 0

45



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




44/365

COS X = 0 o X = ^ + mTt (m e z )2

1 + VĨ7 1 f 1 + VĨ7cos2x = ----- - — X = ± —arc cosl ------ —

8

1 - 4 Ĩ 7 _ .1cos 2x ----------- « X = ± - arccos

8 2

l - J Ĩ 7

j + kjr(k e z ) (y cb t).

j + n n(n e z )

B à i 9 1 (HỌC VĨỆN QUAN HỆ QUỔC TẾ - KHỐI A, p - 1998) ___________________ _______

Giải phương trình lượng giác : COS2 X + COS2 2X + COS2 3x + COS2 4x - —. (1)

Giải(1) l + cos2x l + cos4x 1 + cosôx

2 2 2

o cos 6x + cos 2x + COS4x + 2 COS2 4x = 0

o 2

tuyỂn tẬp 599 bÀi toÁn lƯỢng giÁc chỌn lỌc - nguyỄn ĐỨc ĐỒng

Documents