nilai dan vektor eigen -...

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Nilai dan Vektor Eigen


Mengingat kembali: perkalian matriks• Diberikan matriks A2x2 dan vektor-vektor u, v, dan w

• Hitunglah Au, Aw, Av. Manakah dari hasil kali tersebut yang hasilnya adalah vektor yang sejajar dengan vektor semula

2 0 1 0 54 1 4 4 4

A v w u

2 0 1 2 12 2

4 1 4 8 4Av v

2 0 5 104 1 4 24

untuksemua

Au k u

k R

2 0 0 01.

4 1 4 4Aw w

v dan Av sejajar Jawab:

w dan Aw sejajar

u dan Au TIDAK sejajar


Mengingat kembali: SPL homogen dan determinan1. A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian trivial saja.

Apa kesimpulanm tentang A?

2. A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian TIDAK trivial. Apa kesimpulanmu tentang A dan det(A)?

Jawaban: A mempunyai inverse. Det(A) ≠ 0

Jawaban: A tidak mempunyai inverse. Det(A) = 0


Ax

Perkalian vektor dengan matriks

A x = xλ

x

Axx

x dan Ax sejajar


Perkalian vektor dengan matriks

y

x

14

y

x

y

x

28

04

14

= 22 04 1

14

2 04 1

04

=1 04

2 04 1

54

= 1024

54

k

54

1024

Au = 2u Av = v Aw ≠ kw


Definisi: Nilai dan Vektor EigenDefinisi: Diberikan matriks A nxn, vektor tak nol v di Rn disebut vektor eigen

dari A jika terdapat skalar sedemikian hingga Av = λv.λ disebut nilai eigen, x adalah vektor eigen dari A yang

bersesuaian dengan λ .

Syarat perlu: v ≠ 0

(1) λ ≥ 1 (2) 0 ≤ λ ≤ 1 (3) -1 ≤ λ ≤ 0 (4) λ ≤ - 1


Masalah Vektor Eigen

Diberikan matriks persegi A,

Temukan semua vektor tidak nol x sedemikian hingga Ax adalah kelipatan skalar x (Ax sejajar dengan x).

atau

Temukan semua vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = λx untuk suatu skalar λ

A x sejajar x

A x = xλ


Masalah Nilai EigenDiberikan matriks persegi A.

A =

Temukan semua skalar λ sedemikian hingga Ax = λx untuk suatu vektor tak nol x.

atau

Temukan semua vektor skalar λ sedemikian hingga persamaan

Ax = λx mempunyai penyelesaian tak nol

x λ xx vektor tak nol

Ax = λx


Pernyataan-pernyataan ekuivalenJika A matriks persegi nxn, maka kalimat-kalimat berikut ekuivalen

1. nilai eigen A

2. terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = x

3. SPL (A – I)x = 0 mempuyai solusi tidak nol (non-trivial)

4. adalah penyelesaian persamaan det(A – I) = 0

Mencari nilai eigen A sama saja mencari penyelesaian persamaan det(I-A) = 0


Persamaan KarakteristikJika diuraikan, det((A - λI) merupakan suku banyak berderajat n dalam λ, p(λ ) = λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0 suku banyak karakteristik

Persamaan det((A - λI) = λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0 = 0 disebut persamaan karakteristik

Persamaan dengan derajat n mempunyai paling banyak n penyelesaian, jadi matriks nxn paling banyak mempunyai n nilai eigen.

A-λIdet λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0

λIA -

= = 0

•persamaan karakteristik

A-λI=


Contoh Mencari semua nilai eigen A=

2 04 1

Mencari semua penyelesaian persamaan

Mencari penyelesaian persamaan karakteristik

Nilai eigen A adalah 1

2

2,1

det2 - λ 0

= 04 1 - λ

( )( ) = 0

2 - λ1 - λ4

0

2 - λ 1 - λ


Prosedur: menentukan nilai eigenDiberikan matriks persegi A. Nilai-nilai eigen A dapat diperoleh sebagai berikut:1. Tentukan persamaan karakteristik det((A - λI) = 0 tuliskan A dan matriks yang elemen diagonal utamanya dikurangi λ

2. (Jika diperlukan) uraikan persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak karakteristik:

λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0 = 0

3. Selesaikan persamaan yang diperoleh pada langkah di atas. Nilai-nilai eigen merupakan penyelesaian persamaan tersebut.


Contoh: Menentukan nilai eigen

Diberikan matriks persegi

1. Tentukan persamaan karakteristik det(A - λI) = 0

2. Ubahlah persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak karakteristik:

3. Selesaikan persamaan di atas untuk memperoleh nilai-nilai eigen

1 1 10 3 32 1 1

A

2

1 1 1det( ) det 0 3 3

2 1 1

(1 ) (3 ) 6 2(3 ) 3(1 )

A I

2(1 ) (3 ) (3 ) 0

2(1 ) (3 ) 6 2(3 ) 3(1 ) 0

( 2)(3 ) 0 Nilai-nilai eigen A:

λ1 = 0 λ2 = 2 λ3 = 3


Nilai eigen matriks diagonal Diberikan matriks diagonal

2 0 0 00 5 0 00 0 6 00 0 0 1

A

Nilai-nilai eigen matriks diagonal adalah elemen diagonal utamanya.

•Persamaan karakteristik:

•Nilai-nilai eigen 2, 6, 5, 1 (merupakan entri diagonal utama)

2 0 0 00 5 0 00 0 6 00 0 0 1

A I

(2 )(5 )(6 )(1 ) 0


Bagaimana menentukan apakah suatu skalar merupakan nilai eigen?

• Tentukan apakah 2, 0, 4 merupakan nilai eigen A.

Jawab:Bentuk det(A-λI) untuk λ = 2, 0, 4. Jika det(A-λI) ≠ 0, maka merupakan nilai eigen, kalau = 0,

maka bukan nilai eigen. Kunci: 2, 4 nilai eigen A, 0 bukan nilai eigen A.

2 adalah nilai eigen A

0 bukan nilai eigen A

4 nilai eigen A

2 2 00 4 00 1 0

A

2 2 2 0det( 2 ) det 0 4 2 0 0

0 1 0 2A I

2 4 2 0det( 4 ) det 0 4 4 0 0

0 1 0 4A I

2 0 2 0det( 0 ) det 0 4 0 0 8 0

0 1 0 0A I


Kelipatan skalar vektor eigen• Diberikan A. Diketahui bahwa x adalah vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai

eigen 2. Selidiki apakah 1/2x, 10x, 5x juga vektor-vektor eigen A

1 1 10 3 3 ,2 1 1

A

1 1 1 4 80 3 3 6 12 22 1 1 2 4

Ax x

1 1 1 40 80(10 ) 0 3 3 60 120 2(10 )

2 1 1 20 40A x x

12

23

1x

46

2x

20

5 3010

x

4010 60

20x

Ax = 2 x A(10x) = 2 (10x)

A =x λ x

A =(10) λ (10) xx


Kelipatan skalar vektor eigen1 1 10 3 3 ,2 1 1

A

1 1 1 4 80 3 3 6 12 22 1 1 2 4

Ax x

1 12 2

1 1 1 2 4( ) 0 3 3 3 6 2( )

2 1 1 1 2A x x

12

23

1x

46

2x

Ax = 2 x A(1/2 x) = 2 (1/2 x)

A =x λ x

Kelipatan skalar (tak nol) dari vektor eigen adalah vektor eigen terhadap nilai eigen yang sama

A =(1/2) λ (1/2) xx


Menentukan semua vektor eigen Eλ

• Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ. Tentukan semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ.

• Vektor-vektor eigen A yang bersesuaian dengan λ = 3 dapat diperoleh dengan menyelesaikan SPL (A - λ I)x = 0. Vektor eigen adalah anggota Null(A - λ I)

Null(A - λ I)

Null(A - λ I)-{0}

Himpunan semua penyelesaian SPL (A - λ I)x = 0

Himpunan semua vektor eigen

bersesuaian dengan λ 0


Ruang Eigen

0

Ruang penyelesaian SPL (A - λ I)x = 0

Null(A - λ I)x

Ruang Eigen

Eλ

Ruang eigen A yang bersesuaian dengan λ terdiri atas semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ dan vektor nol

Null(A - λ I) = Eλ

Menentukan Eλ sama dengan menentukan himpunan penyelesaian SPL (A - λ I)x = 0


Menentukan ruang eigen Eλ

• Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ = 3. Tentukan semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 3.

1 2 3

3

1 2 3

2 03 0

2 2 0

x x xx

x x x

12 ,0

a a R

1

2

3

1 3 1 1 0( 3 ) 0 3 3 3 0

2 1 1 3 0

xA I x x

x

SPL (A - 3 I)x = 0

Penyelesaian 1

2

3

20

x ax ax

Himpunan vektor eigen A bersesuaian dengan λ =3 :

Himpunan penyelesaian

12 , 0,0

a a a R

1 3 1 10 3 3 32 1 1 3

A I

1 1 10 3 32 1 1

A


Nilai eigen matriks pangkat• Nilai eigen dari A adalah 0, 2, dan 3.

• Tentukan nilai eigen untuk

• Diberikan sembarang matriks A dan diketahui bahwa λ adalah nilai eigennya. Maka terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga

Ax = λx kalikan kedua ruas dengan matriks A A.Ax = A λx A2x = λ(Ax) substitusi Ax dengan λx A2x = λ2x jadi, λ2 merupakan nilai eigen A2

• Teorema: Jika n adalah bilangan bulat positif, λ nilai eigen matriks A, maka λn

adalah nilai eigen An

1 1 10 3 32 1 1

A

2 13 201 5 56 12 12 , ,4 2 1

A A A


Nilai eigen matriks singular• Misalkan = 0 merupakan nilai eigen dari A.

Maka 0 merupakan penyelesaian persamaan karakteristik: dengan menganti dengan 0, diperoleh c0 = 0.Padahal det(A- I) = 0, dengan = 0, maka det(A) = c0 = 0.Karena det(A) = 0 maka A tidak mempunyai inverse.

• Sebaliknya, det(A) = det(A - I) dengan mengambil = 0.Jadi det(A) = c0. Jika A tidak mempunyai inverse, maka det(A) = 0 = c0. Sehingga = 0 merupakan salah satu penyelesaian persamaan karakteristik; = 0 merupakan salah satu nilai eigen dari A.

0 adalah nilai eigen A jika dan hanya jika A tidak mempunyai inverse.


Nilai eigen matriks transpose

Misalkan = 0 merupakan nilai eigen dari A, maka det(A- I)= 0

Karena matriks dan transposenya mempunyai determinan yang sama, maka det(A- I)T= 0

Karena (A- I)T = (AT- I) , maka det(AT- I)= 0

Jadi, adalah nilai eigen dari AT

A dan AT mempunyai nilai eigen yang sama

det(B) = det(BT) (A- I)T = (AT- I)

A dan A-1 mempuyai nilai eigen yang sama


DiagonalisasiDefinisi: Matriks persegi A dapat didiagonalkan jika terdapat matriks yang mempunyai inverse sedemikian hingga P-1AP = D adalah matriks diagonal.

5 63 4

A

Contoh:

1 1 11 2

P

2 11 1

P

2 00 1

D P-1AP=

2 11 1

1 11 2

5 63 4

Matriks diagonal

A dapat didiagonalkan


Kapan matriks A dapat didiagonalkan?

• Teorema: Jika A adalah matriks nxn, maka kalimat-kalimat berikut ini ekuivalen:1. A dapat didiagonalkan2. A mempunyai n vektor-vektor eigen yang bebas linier

Bukti (1) (2)Diberikan A

Misalkan A dapat didiagonalkan, maka terdapat matriks P yang mempunyai inverse

Sedemikian hingga P-1AP = D matriks diagonal

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

p p pp p p

P

p p p

11 12 1

21 22 2

1 2

AP=PD

n

n

n n nn

p p pp p p

p p p

1

2

0 00 0

0 0 n

D

1 11 2 12 1

1 21 2 22 2

1 1 2 2

n n

n n

n n n nn

p p pp p p

p p p


Kapan matriks A dapat didiagonalkan? (lanjt)

P-1AP = D, kalikan dengan P-1,AP = PD

AP = PD, jadi

Karena P mempunyai inverse, maka kolom-kolmnya bukan kolom nol. Berdasarkan deinisi nilai eigen, maka λ1, λ2, λ3, …,λn merupakan nilai-nilai eigen A, dan kolom-kolom P adalah vektor-vektor eigen A yang bebas linier (karena P mempunya inverse)

Bukti untuk (2) (1) kerjakanlah sebagai latihan untuk memperdalam pemahaman.

1

2

0 00 0

0 0 n

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a aa a a

AP

a a a

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

p p pp p p

p p p

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

p p pp p p

PD

p p p

1 1 2 2 n np p p

1 11 2 12 1

1 21 2 22 2

1 1 2 2

n n

n n

n n n nn

p p pp p p

p p p

1 2 nAp Ap Ap

1 1 1 2 2 2 n n nAp p Ap p Ap p


Prosedur mendiagonalkan matriks • Diberikan matriks Anxn. Akan dicari P sedemikian hingga PAP-1 = D.

Prosedur1. Tentukan n vektor eigen A yang bebas linier, misalkan p1, p2, p3, …, pn

2. Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah p1, p2, p3, …, pn

3. Mariks D = P-1AP adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya adalah λ1, λ2, λ3, …,λn dengan λj adalah nilai eigen bersesuaian dengan pj untuk j = 1, 2, 3, …, n


Contoh: mendiagonalkan matriks • Diberikan matriks Anxn. Akan dicari P sedemikian hingga PAP-1 = D.

Prosedur1. Tentukan 2 vektor eigen A yang bebas linier. Pertama kita tentukan nilai-nilai eigennya

yaitu λ1= 2 dan λ2= -1 (telah dihitung sebelumnya). Tentukan vektor eigen bersesuaian dengan nilai eigen, dengan menyelesaiakn SPL (A - λ I)x =0. Diperoleh

2. Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor eigen di atas.

3. Matriks D = P-1A P adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya adalah λ1, λ2 berturut-turut

2 11 1

P

1 1 11 2

P

5 63 4

A

121

p

2

11

p

2 00 1

D


Masalah Diagonalisasi dan masalah vektor eigen • Masalah vektor eigenDiberikan matriks Anxn, apakah terdapat basis di Rn terdiri atas vektor-vektor eigen?

• Masalah diagonalisasiDiberikan matriks Anxn apakah terdapat matriks yang mempunyai inverse P

sedemikian hingga nP-1AP adalah matriks diagonal?

Teorema:Anxn dapat didiagonalkan jika dan hanya jika terdapat n vektor eigen yang bebas

linier.

Padahal, setiap n vektor yang saling bebas linier di Rn merupakan basis Rn.

Kesimpulan: masalah vektor eigen sama dengan masalah diagonalisasi

nilai dan vektor eigen -...

Documents