TUGASALJABAR LINEAR

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

ELVA YEZITA14205013NITA PUTRI UTAMI14205034SHERLY ADRILA FITRI14205051

Dosen Pembimbing:Drs. HENDRA SYARIFUDDIN, M. Si, Ph. D

PENDIDIKAN MATEMATIKAPROGRAM PASCASARJANAUNIVERSITAS NEGERI PADANG 2015NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Pada pembahasan berikut ini kita hanya akan memperhatikan transformasi linear dimana adalah ruang vektor. Sebagaimana transformasi linear, dengan fungsi dari ruang vektor terhadap transformasi linear itu sendiri, disebut dengan operator linear. Sering kali disebut juga dengan operator. Jika adalah dimensi terbatas, untuk setiap basis pada , kita tunjukkan matriks dengan .Operator linear adalah bagian terpenting dari transformasi linear yang terbentuk dalam berbagai situasi. Contohnya, turunan didefinisikan dengan adalah sebuah operator linear. Dimanapun adalah fungsi diferensial untuk setiap poin , matriks jacobi didefinisikan sebagai operator linear pada . Hal tersebut mengubah sifat dari operator linear yang memiliki hubungan tertutup terhadap sifat di sekitar poin . Pada bagian ini kita akan mempelajari vektor eigen dan nilai eigen untuk operator linear. Vektor eigen dan nilai eigen memiliki peran khusus dalam menentukan sifat dari operator linear.

Definisi 3.4.1Misalkan adalah operator linear. Jika adalah vektor taknol dan terdapat skalar sehingga , kita katakan sebagai vektor eigen dari . Skalar disebut sebagai nilai eigen dari yang berhubungan dengan vektor eigen . Sering kita menemukan istilah nilai karakteristik dan vektor karakteristik untuk urutan nilai eigen dan vektor eigen. Jika adalah matriks , kemudian dengan nilai eigen (urutan vektor eigen) dari diartikan sebagai nilai eigen (urutan vektor eigen) dari .

Sebagai contoh, perhatikan matriks

karena =

dan =

maka operator linear memiliki vektor eigen yaitu

dan

dengan nilai eigen dan . Jika kita perhatikan matriks

Kita dapat memeriksa bahwa .

Perhatikan bahwa

Diperoleh . Dengan demikian merupakan vektor eigen untuk dengan nilai eigen .

Kalkulus elementer juga memberikan contoh dari vektor eigen dengan nilai eigen Fungsi memiliki turunan . Ini menunjukkan bahwa merupakan vektor eigen untuk turunan operator linear dengan nilai eigen . Jika menunjukkan ruang vektor untuk semua polinom real, dapat diperiksa bahwa didefinisikan dengan adalah operator linear. Karena , selanjutnya , dengan demikian merupakan vektor eigen dari dengan nilai eigen . Akan diberikan secara singkat pada Lemma 3.4.5, prosedur untuk menghitung semua nilai eigen dari operator linear pada dimensi terbatas ruang vektor menggunakan matriks dengan menggunakan operator. Untuk melakukan hal ini, terlebih dahulu perlu didefinisikan penjumlahan dan perkalian skalar untuk operator. Untuk setiap adalah operator linear dan merupakan skalar, dapat didefinisikan operator linear baru dandengan untuk setiap dan untuk setiap Kita mengabaikan bahwa dan adalah operator linear.

Dalam pembahasan operator linear, kita akan menggunakan untuk menunjukkan identitas operator linear . (dimana untuk setiap ). Dengan notasi ini, kita memperoleh Lemma berikutnya, yang memberikan karakter pilihan dari vektor eigen.

Lemma 3.4.2Misalkan adalah operator linear. Maka adalah vektor eigen dari dengan nilai eigen jika dan hanya jika Jika adalah nilai eigen dari , maka vektor eigen dari dengan nilai eigen bersama dengan vektor merupakan subruang dari

Bukti:(i) Perhatikan bahwa jika dan hanya jika . Sama artinya dengan . Akibatnya, (i) terbukti.(ii) Ini merupakan akibat dari (i), karena kernel dari setiap transformasi linear selalu merupakan subruang. Lemma terbukti.Kumpulan dari vektor eigen dengan nilai eigen secara rinci bersama dengan merupakan subruang yang penting. Sebagai contoh, perhatikan operator linear didefinisikan sebagai , dimana . Selanjutnya dapat diperiksa bahwa dan . Berdasarkan Lemma 3.4.2, bahwa setiap fungsi dari bentuk dengan (keduanya tidak nol) adalah vektor eigen dari dengan nilai eigen . Cara lain untuk melihat masing-masing dari fungsi adalah solusi dari persamaan diferensial linear homogen . (Bukti dari Lemma 3.4.2 pada kasus ini menyatakan bahwa terdapat vektor eigen pada kernel dari operator linear dengan menggunakan fungsi untuk fungsi .)Ketepatan untuk memilih sebarang dan sangat penting dalam teori persamaan diferensial, artinya bahwa persamaan diferensial memiliki solusi yang memenuhi setiap pasangan kondisi awal dari bentuk dan dimana . Sebagai akibat dari Lemma 3.4.2 (ii) memberikan makna untuk memberikan definisi berikutnya.

Definisi 3.4.3, Misalkan r merupakan nilai eigen dari T : . Subruang dari V dari semua vektor eigen yang menghubungkan nilai eigen r dengan vektor disebut ruang eigen yang dihubungkan dengan r. Ruang eigen yang dihubungkan dengan r dinotasikan Er.

Harus ditekankan bahwa jumlah dua vektor eigen dengan nilai eigen yang berbeda bukanlah vektor eigen. Jumlah dari dua vektor eigen dengan nilai eigen yang sama merupakan vektor eigen lainnya.

Contoh, diberikan matriks A

Dapat dicari bahwa vektor :

Merupakan vektor eigen untuk . dan memiliki nilai eigen 1 dan memiliki nilai eigen 2. Sehingga vektor tidak nilai eigen untuk . Ini disebabkan:

Yang bukan kelipatan skalar dari . Lemma 3.4.2 menunjukkan bahwa ruang eigen E1 memuat ruang vektor span { dua dimensi dan ruang eigen E2 memuat ruang vektor span { satu dimensi. Sebenarnya E1 harus dua dimensi jika itu lebih besar, semua berada pada F3. Hal ini tidak mungkin karena tidak semua vektor merupakan vektor eigen untuk TA. Selain itu, E2 hanya satu dimensi, jika dua dimensi, itu harus memiliki vektor umum nol dengan E1. Hal ini tidak mungkin karena vektor eigen tidak dapat memiliki dua nilai eigen yang berbeda. Dengan demikian E1 = span {v1, v2} dan E2 = span {v3 }.Untuk mempelajari lebih banyak contoh kita harus meunjukkan bagaimana menentukan nilai eigen dari operator linear dari matriks reprensentasi ( Dimensi Terbatas). Kita melihat, pada lemma 3.4.2 (i) bahwa sebuah vektor v memiliki vektor eigen untuk T dengan nilai eigen r dengan tepat jika v ker (rI T). Hal ini menunjukkan bahwa dalam kasus dimana T = TA untuk beberapa matriks A, vektor eigen v untuk TA memenuhi (rIn A)v = . Untuk menentukan nilai yang mungkin dari r untuk v memiliki suatu solusi. Dalam definisi ini kita mempertimbangkan matriks dengan entri polinom dan memanfaatkan determinannya. Sebenarnya, kita mendefinisikan determinan hanya untuk matriks dengan entri skalar. Namun, sebuah polinom f(X) dapat dilihat sebagai unsur dari field F(X), yang definisi memuat persamaan dari polinom dimana h(X)0. Karena, polinom bisa diperhatikan sebagai skalar dimana skalar merupakan elemen field F(X).

Definisi 3.4.4Untuk setiap matriks Ann di tetapkan sebagai karakteristik polinom dari A, CA (X), untuk menjadi polinom (dalam variable X) yang merupakan determinan dari matriks (XIn A) dengan kata lain :CA (X) = det (XIn A)

Contoh:Misalkan A = Maka berdasarkan definisi CA (X) = det (XIn A)= det (X= det (= (X1) (X4) 6 = X2 5X 2Catatan bahwa CA(X) merupakan polinom berderajat 2. Secara umum, jika A merupakan polinom berderajat n. Alasan untuk ini adalah bahwa determinan dari (XIn A) merupakan jumlah dari entri produk matriks, dimana masing-masing peubah acak terdiri dari produk entri mewakili tepat satu baris dan tepat satu kolom. Hanya entri dari (XIn A) yang memuat variable X pada diagonal. Dengan demikian, tepat satu peubah acak yaitu produk dari entri diagonal dengan polinom berderajat n. semua perintah lain yang polinom derajat kurang n-1 karen harus menghilangkan setidaknya dua entri diagonal. Sebagai entri dari (XIn A) merupakan X aii, ini juga menunjukkan koefisien dari Xn pada CA(X) merupakan 1. Dengan demikian A merupakan matriks n n, CA (X) merupakan monik polinom berderajat n.Polinom karakteristik adalah invariant aljabar yang paling penting dari matriks. Lemma berikutnya menunjukkan bahwa akar dari karakteristik polinom dari A adalah nilai eigen TA.

Lemma 3.4.5Jika V merupakan ruang vektor yang berdimensi n. Misalkan A = [T]B, dengan B merupakan basis untuk V dan T : merupakan operator linear.Sebuah skalar r merupakan nilai eigen dari T jika dan hanya jika CA (r) = 0Jika r merupakan nilai eigen dari T, dimensi dari ruang eigen Er dan nilai eigen r merupakan null (rI

Bukti:i. Misalkan r merupakan nilai eigen dari T, maka terdapat beberapa vektor taknol v . Sehingga T(v) = rv. Terlihat (T(v))B = r (v)B . secara khusus, r(v)B A(v)B= rIn(v)B A(v)B=( rIn A)(v)B. Namun v 0 sehingga (v)B 0 dan ( rIn A)(v)B = , kita tentukan rk( rIn A)< n. Berdasarkan Teorema 0.6.9 (iii) ( rIn A) tidak dapat dibalik dan berdasarkan teorema 2.1.12 bahwa 0 = det ( rIn A)= CA (r). Dan sebaliknya, pada kasus CA (r)= 0, kita akan menentukan bahwa det ( rIn A) = 0, karena ( rIn A) tidak dapat dibalik maka rk(rIn A) < n. Berdasarkan corollary 0.58 (i) ada beberapa solusi w tidak nol memenuhi persamaan (rIn A)w = . Sehingga sebuah solusi w memenuhi Aw = rw, sehingga w merupakan koordinat dari vektor eigen taknol dari TA yang memuat nilai eigen r.ii. Dengan memperhatikan bukti dari bagian (i) v Er jika dan hanya jika ( rIn A)(v)B= . Berdasarkan teorema 1.5.5 bahwa setiap basis untuk ker(rIn A) akan menjadi koordinat dari vektor pada basis untuk Er. Akibatnya dim (Er) = dim (ker (rIn )) = null (rIn )Contoh :1. Tentukanlah nilai-nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian dari matriks

Penyelesaian CA (r) = 0 det (X = 0det ( = 0(X3) (X+2) 6 = 0 X2 X 2 = 0Jadi nilai-nilai eigen dari A adalah X = 4 dan X = -3

Untuk menentukan vektor eigen yang dimiliki oleh X = 4, kita harus menentukan kernel (ruang nol) dari A 4I

A-4I= Dengan menyelesaikan (A-4I) X = 0, kita mendapatkan X = (2X2, X2)TJadi semua kelipatan taknol dari (2,1)T adalah vektor eigen milik X = 4 dan {(2,1)T} adalah suatu basis untuk ruang eigen yang bersesuain dengan X = 4. Dengan cara yang sama, untuk mendapatkan vektor eigen bagi X = -3, kita harus menyelesaikan (A+3I) X = 0 dan {(-1,3)T} adalah suatu basis untuk ruang eigen yang bersesuain dengan X = -3

2. Carilah basis-basis untuk ruang eigen dari

Penyelesaian CA (r) = 0 (-1) ( -5)2 = 0Jadi diperoleh 1 = 5 dan 2,3 = 5, ruang eigen dari A didefinisikan sebagai :

adalah vektor eigen A yang bersesuaian dengan jika dan hanya jika X adalah pemecahan taktrivial dari ( I A) X = 0, yaitu:

Jika maka menjadi

Dengan memecahkan sistem ini maka akan menghasilkanX1 = - s X2 = s X3 = tJadi, vektor- vektor eigen A yang bersesuain dengan adalah vektor-vektor taknol yang berbentuk X = + tKarena dan adalah vektor-vektor bebas linear, maka vektor-vektor tersebut akan membentuk basis untuk ruang eigen yang bersesuain dengan .

Jika maka menjadi

Dengan memecahkan sistem ini maka akan menghasilkanX1 = t X2 = t X3 = 0Jadi, vektor- vektor eigen A yang bersesuain dengan adalah vektor-vektor taknol yang berbentuk X = Karena adalah basis untuk ruang eigen yang bersesuain dengan

Corollary 3.4.6 Jika V adalah dimensi n ruang vektor, maka memiliki paling banyak n beda nilai eigen.

Bukti :Perhatikan bahwa adalah matriks untuk memerintahkan basis B untuk V. seperti yang diamati diatas, tingkat polinomial hasilnya sesuai dengan Lemma 3.4.5, karena dapat memiliki paling banyak n akar yang berbeda.Contoh 3.4.7 (i) Perhatikan Diperoleh

Yang memiliki 2 akar yaitu -1 dan 5. Karena memiliki dua nilai eigen yaitu -1 dan 5. Untuk menemukan ruang eigen yang terkait, kita harus menghitung ruang null untuk I-A dan 5I-A.Ruang eigen yang terkait dengan -1 adalah:

Dan ruang eigen yang terkait dengan 5 adalah:

(ii) Perkiraan

Maka polinomial karakteristik

Jadi nilai eigen dari . Ruang eigen yang terkait dengan 1 adalah:

Dan ruang eigen yang terkait dengan 2 adalah:

(iii) Kadang-kadang lebih mudah untuk menggunakan operasi baris ketika menghitung determinan yang memberikan karakteristik polinomial. Perhatikan

Maka diperoleh

Untuk dengan menggunakan rumus abc

dan

Untuk

Jadi, matriks D memiliki 3 nilai eigen yaitu : 1, , dan .

Lemma 3.4.8Misalkan V adalah ruang vektor terbatas dimensi dan adalah operator linear. Buktikan dan diperintahkan dasar V. Jika .Menurut Lemma sebelumnya menunjukkan bahwa jika adalah sebuah operator linear dan B adalah basis yang diperintahkan untuk V, maka akar polinomial karakteristik dari persis dengan nilai eigen dari T. Sehingga tidak mater yang diperintahkan untuk B dipilih, akar polinomial karakteristik dari tetap tidak berubah. Pada kenyataannya, lebih benar. polinomial karakteristik itu sendiri tetap tidak berubah. Dengan kata lain, jika B dan C adalah dua memerintahkan berdasarkan untuk dimensi ruang vektor V terbatas dan adalah operator linear, maka polinomial karakteristik dari dan adalah sama. Ini adalah bukti untuk Lemma berikutnya. Sebagai konsekuensi dari hasil ini adalah bahwa karakteristik polinomial untuk operator linear pada setiap terbatas ruang vektor dimensi. seseorang dapat menentukan polinomial karakteristik dari operator linear menjadi polinomial karakteristik dari setiap matriks yang merepresentasikan operator.

Bukti :Seperti disebutkan sebelumnya, hasil chap. Ada 2 yang berlaku untuk penentu dari matriks yang entri adalah polinomial. kita tahu dari teorema 3.3.7 bahwa ada suatu matriks P dibalik yang Sehingga dapat menghitung bahwa:

Maka lemma terbukti.

Definisi 3.4.9Jika adalah operator linear pada dimensi ruang vektor V yang terbatas, maka , polinomial karakteristik dari T, didefinisikan sebagai di mana A= dan B adalah beberapa dasar diperintahkan untuk V.Mengingat lemma kita sekarang dapat menentukan polinomial karakteristik dari operator linear.

Contoh 3.4.10(i) Buktikan menjadi nyata (n + 1) ruang vektor dimensi semua polinomial derajat paling banyak n. Perhatikan , operator diferensiasi. kita buktikan menjadi basis standar . mudah untuk melihat (menggunakan fakta bahwa () =

Akibatnya, polinomial karakteristik dari D adalah . mengamati bahwa pangkat D-0 adalah n. dengan demikian, menurut lemma 3.4.5 (ii), dimensi adalah 1, sehingga khususnya = span . Kita memperoleh (melalui teori ruang eigen) fakta diketahui bahwa turunan dari polinomial adalah 0 jika dan hanya jika polinomial adalah konstant.(ii) Mengingat operator linear Perhatikan sebelumnya di bagian ini dan didefinisikan oleh T

Akibatnya kita mendapatkan itu. ini menegaskan apa yang kita amati sebelumnya ketika kita melihat bahwa setiap nomor 0,1,2, ..., n adalah nilai eigen untuk T.