nilai eigen, vektor eigen, dan diagonalisasi
TRANSCRIPT
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
1/47
Y
XXX
y
yX
AX=X
O
NILAI EIGEN DAN VEKTOR
EIGEN
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
2/47
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
3/47
NILAI EIGEN DAN VEKTOR
EIGEN
Definisi
Jika A adalah matrks nxn, maka vektor tak nol xdi Rndisebut vektoreigen dari A dan skalar disebut nilai eigen dari A jika terpenuhi
persamaan Ax= x
Menemukan nilai eigen A
Untuk menemukan nilai eigen dari matriks A nxn, tuliskan Ax= x
menjadi Ax= Ix
atau (I-A)x=0
Harus terdapat solusi tak-nol dari (I-A)x=0. sistem persamaantersebut memiliki solusi tak-nol jika
det(I-A)=0 Persamaan karakteristik
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
4/47
Teorema 4. 1.Jika A adalah suatu matriks n x n dan adalah suatu
bilangan real,
maka pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen
(a) adalah nilai-nilai eigen dari matriks A.
(b) Sistem persamaan ( I A)x = 0 mempunyaipenyelesaian tak trivial (non trivial)
(c) ) Ada vektor x yang tidak nol dalam Rn sedemikian
sehingga Ax = x.
(d) adalah suatu penyelesaian real dari persamaankarakteristik det (IA) = 0
(hal 8)
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
5/47
Contoh soal :
1. Buktikan vektor adalah vektor eigen dari
dan tentukan nilai eigennya!
Jawab :
Untuk membuktikannya dilakukan dengan cara
mengali-kan matrik dengan vektor, sehingga
diperoleh hasil kelipatan dari vektor iatu sendiri.
1 4
2 3A
2
-1x
1 4 2 -2 21
2 3 -1 1 -1Ax
vektor eigen
nilai eigen
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
6/47
EIGEN VALUE and EIGEN
VECTOR
6
Contoh
Temukan nilai eigen dari
Solusi
Persamaan karakteristik det(I-A)=0
=(-2) ((-3)+2)
=(-2) (-2) (-1) = 0 Nilai eigen : 1,dan 2
301
121
200
A
301
121
200
100
010
001
det)det( AI
301
121
20
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
7/47
EIGEN VALUE and EIGEN
VECTOR
7
Menemukan vektor eigen dari A
Untuk tiap nilai eigen, kita dapat menemukan vektor eigen dari Adengan mensubtitusi nilai eigen ke sistem persamaan (I-A)x=0
dan selesaikan persamaan tersebut. Ruang solusi persamaantersebut disebut ruang eigen yang berpadanan dengan .Vektor-vektor eigen yang berpadanan denganadalah vektor-vektor tak nol dalam ruang eigen
Contoh
Temukan basis bagi ruang eigen dari
Solusi
Nilai eigen dari A adalah 1 dan 2 (lihat halaman 3)
301
121
200
A
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
8/47
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
9/47
EIGEN VALUE and EIGEN
VECTOR
9
Solusi (lanjutan)
Dengan mensubtitusi =2 ke persamaan: (I-A) x = 0, diperoleh
=2 (I-A) x = 0
Basis bagi ruang eigen yang berpadanan dengan =2 adalah
0
301
121
20
x
0
101
101
202
x
0
0
0
|
|
|
101
101
202
0|A
0
0
0
|
|
|
000
000
101
~ ts
t
s
t
x
0
1
0
1
0
22
0
1
0
,
1
0
2
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
10/47
2. Carilah nilai-nilai eigen dan basis-basis
untuk ruang eigen dari :
Jawab :
Persamaan karakteristik :
det (IA)= 0(-3)()(1)(-2)=0
2- 3 + 2 = 0 Nilai eigen : 1= 2, 2= 1
3 2
-1 0A
1 0 3 2 -3 -2
0 1 -1 0 1I A
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
11/47
Ruang vektor :
Untuk 1= 2 diperoleh :
-x12x2= 0x1+ 2x2= 0
Jadi vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan
adalah vektor tak nol:
Jadi untuk =2, basisnya adalah :
1
2
-3 -2 0
1 0
x
x
1
2
-1 -2 0
1 2 0
x
x
x1=2x2
-2s -2
s 1x s
-2
1
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
12/47
3. Tentukan eigenvaluesdan
eigenvectors dari matriks
Jawab:Persamaan karakteristik: det (A I ) = 0
311
242
113
A
0
311
242
113
078304433
0323242243
2
2
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
13/47
3102+ 2824 = 0
(2)(8 + 12) = 0
(2)(6)(2) = 0
= 2 v = 6
Jadi, eigenvaluesnya adalah 2 dan 6, sedangkan untuk mencari
eigenvectornya maka eigenvaluenya dapat disubstitusikan ke
dalam persamaan tersebut,
Untuk = 2,
Ax = 2x 0
200
020
002
311
242
113
3
2
1
x
x
x
0
111
222
111
3
2
1
x
x
x
321
321 0
xxx
xxx
1
0
1
0
1
1
32
3
2
1
xx
x
x
x
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
14/47
Jadi, untuk eigenvalue2 mempunyai
2 eigenvectorsyakni dan
0
1
1
1
0
1
Untuk = 6,
Ax = 6x 0311
222
113
3
2
1
x
x
x
0
000
210101
3
2
1
x
x
x 32
31
2xx
xx
1
2
1
3
3
2
1
x
x
x
x
Jadi, untuk eigenvalue6 mempunyai 1
Eigenvectors yaitu
1
2
1
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
15/47
4. Tentukan eigenvaluedari matriks
lower triangular di bawah ini.
44434241
333231
2221
11
0
00000
aaaa
aaa
aa
a
A
Jawab: Persamaan karakteristik
0
000
0
00
000
44
333231
2221
11
a
aaa
aa
a
044332211
aaaa
1= a11 2= a22 4= a443= a33v v v
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
16/47
Catatan :
Untuk kasus yang khusus, jika A memiliki n buah
nilai eigen = , maka akan memiliki nilai eigen
k.
Jika banyaknya nilai eigen dari Ak sebanyak njuga, maka basis ruang eigennya tetap sama.
Tetapi jika jumlah nilai eigennya kurang dari n
(terjadi jika ada nilai eigen yang saling
berlawanan tanda), maka salah satu nilai
eigennya akan memiliki basis ruang eigen yang
berbeda.
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
17/47
Misalkan :
Maka nilai eigen untuk B adalah: -12, 12, 22dengan
basis ruang eigen untuk
B = A2=
201212
203
= 1, basis ruang eigennya: dan
1
0
1
0
1
0
= 4, basis ruang eigennya:
1
2
2
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
18/47
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
19/47
Pada contoh ini, untuk =1 memiliki dua basis ruangeigen yang berasal dari nilai eigen -1 dan 1.
Karena berasal dari dua nilai eigen yang berbeda, makabasis ruang eigennya juga mengalami sedikit perubahanbasis yaitu basis ruang eigen dengan = -1
Basis ruang eigen ini merupakan vektor proyeksi
dari terhadap vektor
Dalam hal ini basis ruang eigen untuk = -1 dibuat saling
orthogonal
1
0
1
1
-1
1
1
0
1
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
20/47
Diagonalisasi
Definisi : Suatu matrik A berukuran n x n disebut dapatdidiagonalisasi jika terdapat matrik P yang
memiliki invers sehingga diperoleh matrik
diagonal :
Pmatrik n x n disebut matrik yang mendiago-
nalisasiAdengan kolom-kolomnya merupakan
kolom dari basis ruang eigen A .
Dmerupakan matrik diagonal yang elemen
dia-gonalnya merupakan semuanilai eigen
dariA
D = P-1AP
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
21/47
Cara menentukan P
Jika matrik A ukuran n x n mempunyai n vektor eigen
bebas linier {x1, x2, ., xn} berhubungan dengan n nilaieigen {1, 2, .., n} kemudian didiagonalisasi matrik P,
maka formulasi matrik P adalah:
Jika D adalah matrik diagonal ukuran n x n dan D = P-1AP,maka :
Nilai 1, 2, .., ntergantung pada nilai x1, x2, ., xn
P=[x1, x2, ..,xn]
1
2
n
0 0 0
0 0 0
0 0 0
D
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
22/47
Langkah-langkah yang digunakan untuk mendia-gonalisasi suatu matrik adalah sebagai berikut :
1. Tentukan n buah vektor eigen yang saling bebas linier
dari A, misalkan p1, p2, ., pn
2. Bentuk matrik P yang isinya adalah p1, p2, ., pn
sebagai vektor kolomnya.
3. Hasil kali P-1AP adalah matrik diagonal dengan 1, 2,
., nadalah nilai eigen yang sesuai dengan vektor
eigen p1, p2, ., pn
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
23/47
Teorema 4. 2.Jika v1, v2, v3, ... , v adalah vektor-vektor eigen dari
matriks A yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen 1, 2,
3, ... , k yang berbeda, maka {v1, v2, v3,... , vk} adalah
himpunan yang bebas linear. (hal 31)
Teorema 4. 3.
Jika suatu matriks A berukuran n x n mempunyai nilai-nilai
eigen yang berbeda-beda, maka A dapat didiagonalisasi.(hal 32)
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
24/47
Catatan :
Tidak semua matrik bujur sangkar dapat didiagonali-sasi, tergantung
dari jumlah basis ruang eigen yang dimiliki.
Jika matrik n x n :
basis ruang eigen yang bebas linier = n, dapat didiagonalisasi.
< n, tidak dapat.
Saat matrik n x n memiliki nilai eigen sejumlah n, maka basis ruangeigennya juga berjumlah n.
Saat matrik n x n jumlah nilai eigen kurang dari n, maka ada 2
kemungkinan yaitu basis ruang eigen juga berjumlah n atau kurang
dari n
Jadi pada saat jumlai nilai eigen sama dengan n, maka matrik dapatdidiagonalisasi, sedangkan pada saat nilai eigen kurang dari n,
maka matrik belum bisa ditentukan bisa atau tidak didiagonalisasi.
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
25/47
Contoh soal :
1. Diketahui matrik = 1 06 1 Carilah a) matriks P yang mendiagonalisasi A.
b) matriks diagonal D = A.PPenyelesaian:
a) Persamaan karakteristik matriks A
det ( IA) = 0
1 0
6 + 1
( 1)( + 1) = 01 = 1 dan 2 = -1 (nilai-nilai eigen A)
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
26/47
Untuk 1 = 1, sistem persamaan linear homogennya( IA )x = 0
0 0
6 2
1
2=
0
0
-6 + 2= 0 =
=t = t
=
t
1=
1t
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
27/47
Jadi, basis untuk ruang eigen yang
bersesuaian dengan 1 = 1 adalah p1 = 1
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
28/47
Untuk 2= -1, sistem persamaan
linear homogennya
( IA )x = 0
2 06 012 =
00
-2= 06= 0
=
0
= t
= 01 = 0
1 t
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
29/47
Jadi, basis untuk ruang eigen yangbersesuaian dengan 1 = -1 adalah p2 = 01
Dengan demikian kita dapatkan bahwa (p1,p2)adalah bebas linear, sehingga
akan mendiagonalkan matriks A. = 13 01 1
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
30/47
Mencari matriks diagonal sekaligus sebagaipemeriksaan bahwa D = A P.D =
A P = 3
1 0
1
1 06 1
01 1
=3 0
3 11 06 1
01 1
= 3 03 1 01 1 =
1 0
0 1
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
31/47
Catatan: Dalam contoh ini tidak ada urutan yangdiistimewakan untuk kolom- kolom P. Karena unsur-unsur
diagonal ke-i dan D = A P adalah nilai-nilai eigen untukvektor kolom dari matriks P, maka dengan mengubah
urutan kolom-kolom matriks P hanyalah mengubah
urutan nilai-nilai eigen pada diagonal untuk D = A P.Jadi seandainya matriks Pnya ditulis seperti berikut:
= 0
1
31 1 Maka kita akan memperoleh
matriks diagonal D =
A P = 1 0
1 0
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
32/47
2. Carilah matrik P yang dapat mendiagonalisasi matrik
Jawab :Dari perhitungan sebelumnya diperoleh bahwa :
Basis ruang eigen yang berhubungan dengan = 1 adalah:
Basis ruang eigen yang berhubungan dengan = 2 adalah :
dan matrik diagonalnya !
0 0 -2
1 2 1
1 0 3
A
-2
1
1
-2 0
0 1
1 0
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
33/47
Diperoleh basis ruang eigen dari A :
Maka :
Dan matrik diagonal : D=P-1
AP=
-2 -2 01 , 0 , 1
1 1 0
-2 -2 0
1 0 1
1 1 0
P
1 0 0
0 2 0
0 0 2
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
34/47
3. Diketahui :
Tentukan matrik yang mendiagonalisasi A dan matrik
diagonalnya !
Jawab :
Dari perhitungan sebelumnya didapatkan nilai eigen :
- 1, 1 dan 2 dengan basis ruang eigen yang
bersesuai-an berturut-turut adalah :
1 0 -2
0 1 2
-1 0 0
A
1 0 -2
-1 , 1 , 2
1 0 1
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
35/47
Jadi matrik pendiagonal P bisa ditentukan sebagai :
Kolom-kolom pada matrik P bisa diubah-ubah urutannya
sehingga terdapat 6 matrik yang memenuhi jawaban. Matrik
D tentu saja juga mengikuti urutan dari matrik P
1 0 -2
-1 1 2
1 0 1
P
dengan matrik diagonal:
-1 0 0
0 1 0
0 0 2
D
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
36/47
Apakah matrik C dapat didiagonalisasi ?
4. Diketahui C=
210
010
201
Jawab:
Persamaan karakteristik: det (IC) = 0
210
010
201
Det = (1)2(2) = 0
Jadi nilai eigen: 1, 2
Karena hanya ada dua nilai eigen maka belum bisa ditentukan apakah C
Dapat didiagonalisasi ataukan tidak. Untuk itu akan diperiksa banyaknya
Basis ruang eigen.
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
37/47
Untuk = 1, substitusi nilai = 2 ke persamaan (IC) 0x
0
110
000
200
x
110
000
200
000
100
010
~
Ruang eigen:
0
0
s
x
Jadi untuk = 1, ada satu basis ruang eigen yaitu:
0
0
1
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
38/47
Untuk = 2, substitusi nilai = 2 ke persamaan (IC) 0x
0
010
010
201
x
010
010
201
000
010
201
~
Ruang eigen:
s
s
x 0
2
Jadi untuk = 1, ada satu basis ruang eigen yaitu:
1
0
2
Karena hanya ada dua basis ruang eigen yang bebas linear,
maka C tidak dapat didiagonalisasi.
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
39/47
Diagonalisasi ortogonal
Definisi :matrik bujursangkar P disebut matrik
ortogonal apabila berlaku
PT
= P-1
Matrik A dapat didiagonalisasi secara ortogonal jika
terdapat matrik P yang ortogonal sehingga :
P-1AP=D
dengan D adalah matrik diagonal.
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
40/47
Berbeda dengan diagonalisasi sebelumnya, matrik yangdapat didiagonalisasi atau tidak dijabarkan sebagai berikut :
P-1AP = D
PDP-1= A
PDPT= A (dari sifat PT= P-1) (1)
(PDPT)T= AT (kedua ruas ditransposekan)
PDPT= AT
.(2)
Dari persamaan 1 dan 2 disimpulkan bahwa agar supaya
matrik A dapat didiagonalisasi secara ortogonal, maka
matrik A harus memenuhi sifat A = AT( A harus matrik
simetri).
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
41/47
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
42/47
Teorema 4. 4.
Jika A adalah suatu matriks n x n, maka pernyataan berikut
adalah ekuivalen.
(a) A dapat didiagonalisasi secara ortogonal.
(b) A merupakan suatu himpunan n vector eigen yang
ortonormal.
(a) A adalah matriks simetrik. (hal 35)
Teorema 4. 5.
Jika A matriks simetris, maka vektor-vektor eigen dari
ruang eigen yang berbeda akan ortogonal. (hal 36)
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
43/47
Contoh Soal
Diketahuimatriks = 7 2424 7 a) Carilahmatriks P yang mendiagonalisasi A secaraortogonal.
b) Tentukanmatriks P-1AP.
Penyelesaian:
a) Persamaankarakteristikmatriks A adalah
det = 0
d et 7 2424 7 6 2 5 = 0 = 2 5.Jadinilai-nilaieigendarimatriks A adalah1=25 dan2= -25.
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
44/47
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
45/47
Jadi vektoreigen A yang bersesuaiandengan = 2 5adalah =341
Membentuk basis untukruangtiga. Denganmenerapkan proses Gram-
Schimdtakanmenghasilkanvektoreigenortonormal, yaitu
= =
,sebab =
Untuk =25, akandidapatkanvektoreigen yang merupakan basisuntukruangeigen, yaitu
= =
,sebab = .
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
46/47
Akhirnyadenganmenggunakan
dan
sebagaivektor-vektorkolom,
makakitadapatmatriks yang mendiagonalisasi A secaraortogonal, yaitu:
=35
454
5
3
5
-
8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi
47/47
b) Menentukanmatriks =
7 2424 7 .
= 15 20
20 15.
35
45
45 35
= 15 2020 15
Matriksiniadalahmatriks diagonal denganunsur-unsur diagonal
utamanyaadalahnilai-nilaieigendarimatriks A.