niverzitet u niˇsu elektronski...

UNIVERZITET U NI SU

ELEKTRONSKI FAKULTET

DIGITALNA OBRADA SIGNALA

Zbirka zadataka

NI S, 2020.

Sadrzaj

1 Kontinualno-diskretne transformacije 5

Literatura 25

Indeks pojmova 25

3

4 Sadrzaj

1

Kontinualno-diskretne transformacije

1. Za kolo sa slike 1.1 odrediti prenosnu funkcijuG =u2

u1u z domenu i simulirati kolo sa slike:

(a) Transformacijom izvoda

(b) Impulsno-invarijatnom transformacijom

(c) Bilinearnom transformacijom;

ako jeT = 0.1 s iL/R= 2 s.

R

L L

Ru1

+

−

u2

+

−

i2

i1

ia

ua

Sl. 1.1:

Resenje:

Kolo resavamo primenom Laplasove transformacije, u frekvencijskom domenu. Usvojicemooznacavanje da npr. promenljivoju1(t) u vremenskom domenu odgovaraU1(s) u frekvencijskomdomenu. Kroz otpornikR i kalemL u desnom delu kola tece ista strujai2, tj. vazi

I2 (s) =U2 (s)

R=

Ua (s)−U2 (s)sL

(1.1)

U2 (s)sL= RUa (s)−RU2 (s)

U2 (s)(sL+R) = RUa (s)

Ua (s) = U2 (s)R+sL

R(1.2)

Struja kroz otpornik ima vrednost

Ia (s) =Ua (s)

R(1.3)

5

6 1. Kontinualno-diskretne transformacije

dok se struja na ulaznom delu kola moze odrediti iz izraza

I1 (s) =U1 (s)−Ua (s)

sL(1.4)

Na osnovu prvog Kirhofovog zakona za centralnicvor vazi

I1 (s) = Ia (s)+ I2 (s) (1.5)

sto dato preko ulaznog i izlaznog napona poprima oblik

U1 (s)−Ua (s)sL

=Ua (s)

R+

Ua (s)−U2 (s)sL

(1.6)

Levu i desnu stranu izraza (1.6) mnozimo sasRL

RU1 (s)−RUa (s) = sLUa (s)+RUa (s)−RU2 (s)

Sred-ivanjem ovog izraza i smenomUa(s) na osnovu (1.2)se dobija

RU1 (s)+RU2 (s) = (2R+sL)U2 (s)R+sL

R(1.7)

Izraz (1.7) mnozimo saR

R2U1 (s)+R2U2 (s) = U2 (s)(

2R2 +2sRL+RsL+s2L2) (1.8)

cime se dobijaR2U1 (s) = U2 (s)

(

R2 +3sRL+s2L2) (1.9)

Prenosna funkcija analognom kola (odnos izlaznog i ulaznognapona, prakticno je rec o naponskompojacanju) je data izrazom

U2 (s)U1 (s)

=R2

R2 +3sRL+s2L2 =1

1+3sLR +s2 L2

R2

odnosno, uzevsi u obzir date vrednosti parametara kola, dobija se

U2 (s)U1 (s)

=1

1+6s+4s2 (1.10)

Amplitudska karakteristika ovog sistema prikazana je na slici 1.2.

Impulsni odziv ovog sistema prikazan je na slici 1.3. Diskretne mreze mogu imati beskonacni impul-sni odziv -IIR (rekurzivni) ili konacni impulsni odziv - FIR (nerekurzivni). FIR sistemi se projektujudirektno uz domenu i ne mogu biti dobijeni transformacijama krenuvsi od prenosne funkcije nekoganalognog sistema. Primenom analogno-diskretnog preslikavanja prenosna funkcija analogne mreze sepreslikava u odgovarajucu IIR prenosnu funkciju. Prakticno se kompleksnas ravan preslikava u kom-pleksnuz ravan.

Preslikavanje iz kontinualnog prostora (s ravan) u diskretni prostor (z ravan) treba da ispuni odred-enezahteve:

• Imaginarna osa (jω osa) izs ravni se preslikava na jedinicni krug uz ravni.

• Levas-poluravan se preslikava u unutrasnjost jedinicnog kruga uz ravni.

7

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ω

|H(jω

)|

Sl. 1.2: Amplitudska karakteristika analognog sistema

0 5 10 15 200

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

t

h(t)

Sl. 1.3: Impulsni odziv analognog sistema

(a) Transformacija izvoda:

Kontinualne mreze su jednoznacno opisane diferencijalnim jednacinama sa konstantnim koeficije-ntima koji zavise od parametara same mreze oblika

N

∑k=0

bN−kdN−ky(t)

dt(N−k)=

M

∑k=0

aM−kd(M−k)x(t)

dt(M−k)(1.11)

gde subi i a j konstantni koeficijenti. Diskretizacija analogne mreze zasniva se na transformacijidiferencijalne jednacine diskretizacijom izvoda unazad na sledeci nacin


dy(t)dt

↔ 1T

[y[n]−y[n−1]]

d2y(t)dt2

↔ 1T

[

dy(t)dt

− dy(t −1)

dt

]

=1T

[

1T

(y[n]−y[n−1])− 1T

(y[n−1]−y[n−2])

]

=1

T2 [y[n]−2y[n−1]+y[n−2]]

...

(1.12)

Zamenom ovih izvoda u diferencijalnu jednacinu (1.11) dobija se rekurzivna diferencna jednacinakoja opisuje diskretnu mrezu sa beskonacnim impulsnim odzivom

N

∑k=0

bky[n−k] =M

∑k=0

akx[n−k] (1.13)

Uzevsi u obzir osobine Laplasove iz transformacije prvoj jednacini iz izraza (1.12) odogovara veza

s=1T

(

1−z−1) (1.14)

odnosno (pogledati osobine Laplasove transformacije: izvod iz vremenskog domena se pretvara umnozenje sasu frekvencijskom domenu)

z=1

1−sT(1.15)

Na osnovu izraza (1.14) i (1.15) se se moze uociti da se imaginarna osa izs ravni preslikava uz ravan na krug poluprecnika 0.5 sa centrom u (0.5,0). Kaosto vidimo preslikavanje izvoda neispunjava prvi od dva uslova koje analogno-diskretne transformacije treba da zadovolje.

Prenosna funkcija diskretne mreze bice dobijena uvod-enjem smene date izrazom (1.14)

U2 (z)U1 (z)

=1

1+6 1T (1−z−1)+4 1

T2 (1−z−1)2 =

1

4 1T2 (1−z−1)2 +6 1

T (1−z−1)+1

=T2

4(1−z−1)2 +6T (1−z−1)+T2

(1.16)

U1 (z)T2 = 4(

1−2z−1 +z−2)U2 (z)+6T(

1−z−1)U2 (z)+T2U2 (z)

= 4U2 (z)−8U2 (z)z−1 +4U2 (z)z−2 +6TU2 (z)−6TU2 (z)z−1 +T2U2 (z)

U2 (z)(

4+6T +T2) = U1 (z)T2 +U2 (z)z−1 (8+6T)−4U2 (z)z−2

smenomT = 0.1 se dobija

U2 (z)U1 (z)

=z2

400−860z+461z2 =1/461

1− 860461z−1 + 400

461z−2(1.17)

Na slici 1.4 je prikazan impulsni odziv diskretnog sistema dobijen preslikavanjem izvoda.

Amplitudska karakteristika diskretnog sistema je prikazana na slici 1.5.

Dobijeni di Uobicajeno je da se prenosna funkcija diskretne mreze daje kao odnos polinomapo promenljivojz−1, s obzirom daclan z−k ima fizicku interpretaciju tj. ukazuje na kasnjenjediskretnog signala zak odbiraka (zak taktnih intervala). Sve naredbe u MATLAB

R©-u koje se

odnose na obradu diskretnih (digitalnih) signala ocekuju da kod navod-enja koeficijenata prenosnefunkcije sistema konstanta polinoma iz imenioca ima vrednost jedan, kao u izrazu (1.17).

9

0 5 10 15 200

0.05

0.1

0.15

0.2

0 50 100 150 2000

0.05

0.1

0.15

0.2

h

th(

t)

n

Sl. 1.4: Impulsni odziv analognog sistema a) i diskretnog sistema b).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

4

5

6

Normalizovana fekvencija

|H(e

jω)|

Sl. 1.5: Amplitudska karakteristika diskretnog sistema.

(b) Impulsno-invarijantna trasnformacija:

Impulsno-invarijantna trasnformacija kontinualne mreze u odgovarajucu diskretnu mrezu se zan-siva na diskretizaciji impulsnog odziva kontinualne mreze. U diskretnim trenucima vremena(celobrojni umnozci perioda odabiranjakTs) impulsni odziv diskretne mreze ima vrednost kojaje identicna impulsnom odzivu kontinualne mreze u tim trenucima. Impulsni odzivhc(t) kon-tinualne mreze je inverzna Laplasova transformacija prenosne funkcijete mreze Hc(s), odnosnohc(t) = L −1{Hc(s)}.Inverzna Laplasova transformacija prenosne funkcije kontinualne mreze se oded-uje razvojem uparcijalne razlomke (pretpostavicemo da je zadovoljen uslova da je polinom u brojiocu nizeg redaod polinoma u imeniocu), tako da prenosna funkcija moze biti data u obliku

Hc(s) =N

∑i=1

r i

s− pi(1.18)


gdeN predstavlja red polinoma u imeniocu,pi su polovi prenosne funkcije ar i odgovarajuci ostaciu tim polovima. Izraz (1.18) je dat pod uslovom da su svi polovi prosti. Nakon razvoja u parcijalnerazlomke na osnovu tabele koja sadrzi Laplasove transformacione parove elementarnih funkcija,lako se dolazi do impulsnog odziva kontinualne mreze

hc(t) =N

∑i=1

r iepi tu0(t) (1.19)

gde je sau0(t) oznacena Hevisajdova funkcija, kojom je obezbed-eno da je impulsni odziv mrezejednak nuli zat < 0. Odmeravanjem impulsnog odziva sa periodom odmeravanjaTs dobija se nizodbiraka

{hc(nTs)} = Tshc(t)|t=nTs (1.20)

aZ transformacijom ovog niza dolazi se do prenosne funkcijeH(z) diskretnog sistema

H(z) =N

∑i=1

Tsr i

∞

∑n=0

(epiTsz−1)n =N

∑i=1

Tsr i

1−z−1epiTs(1.21)

odkale su uocava da svakom prostom polu odgovara smena

r i

s− pi→ Tri

1−z−1epiT(1.22)

U slucaju da su polovi visestruki, redam, potrebno je transformisati ih u sledeci oblik

r i

(s− pi)m → 1(m−1)

dm−1

dam−1

(

r i

s−a

)

∣

∣

∣

a=pi(1.23)

sto uz koriscenje transformacije (1.22) daje

r i

(s− pi)m → 1(m−1)

dm−1

dam−1

(

Tsr i

1−eaTsz−1

)

∣

∣

∣

a=pi(1.24)

Dakle u slucaju dvostrukog pola koristimo smenu

r i

(s− pi)2 → dda

(

Tsr i

1−eaTsz−1

)

∣

∣

∣

a=pi(1.25)

Analizom impulsno invarijantne transformacije se uocava da se odsecak jω ose na intervalu[−π/T,π/T] preslikava na jedinicni krug a horizontalna traka iz leve poluravnis ravni visine2π/T u unutrasnjost jedinicnog kruga. (Ovo vazi i za traku na opsegu[π/T,3π/T] itd. Vezaizmed-u analogne frekvencijeω i i digitalne frekvencijeθ = ωTs je linearna, odnosnoθ = 2π f/Fs.Dakle ako je impulsni odziv kontinualnog sistema frekvencijski ogranicen, amplitudska i faznakarakteristika kontinualnog sistema su u potpunosti ocuvane preslikavanjem na osnovu impulnoinvarijantne transformacije. Zakljucujemo da impulsno invarijantna transformacija zadovoljavaoba navedena uslova.

U z ravni frekvencijska osa se nalazi na jedinicnom krugu (nije vise beskonane duzine) a frekven-cijski odziv diskretne mreze dobijen impulsno invarijantnom transformacijom je zbirperiodicnoponovljenih frekvencijskih spektara kontinualne mreze.Zato, ako je frekvencijski odziv kontinu-alne mreze ogranicen a frekvencija odmeravanja bar dva puta visa od najvise nenulte komponenteu spektru, tada se frekvencijski odziv diskretne mreze razlikuje samo za multiplikativnu konstantuod frekvencijskog odziva kontinualne mreze (ocuvan oblik).

ova metoda vodi racuna samo o polovima penosne funkcije a ne i o nulama i njihovopreslikavanjenije obostrano jednoznacno. Svaka tacka izs ravni se jednoznacno preslikava uz ravanali obrnutone vazi. Jedna tacka izz ravni se preslikava u skup tacka koje leze na pravoj koja je paralelna saimaginarnom osom us ravni.

11

Ovu transformaciju koristimo za projektovanje diskretnihsistema kod kojih nam je bitan impulsniodziv (koji je ocuvan pri diskretizaciji) a nije bitna selektivnost frekvencijske karakteristike (jer seona moze puno razlikovati od karakteristike analalgnog polaznogsistema). Ovako mozemo pro-jektovati filtre propusnike niskih frekvencija i propusnike opsega frekvencija jer su njima opsezikonacnesirine i moze se odabrati adekvatna frekvencija odabiranja. Filtri propusnici visokih fre-kvencija i nepropusnici opsega frekvencija ne mogu biti projektovani ovom metodom jer dolazi dopreklapanja spektra (napomenuli smo da se periodicno ponavlja kod diskretnih sistema).U prvom koraku se odred-uju polovi prenosne funkcije analognog sistema i proveravada li su prostiili vi sestruki kako bi adekvatno bili preslikani uz ravan.

4s2 +6s+1 = 0

s1,2 =−6±

√36−16

8=

−6±2√

58

=−3±

√5

4

14s2 +6s+1 = 0

=1

4(

s+ 3+√

54

)(

s+ 3−√

54

) =A

s+ 3+√

54

+B

s+ 3−√

54

A = lims→− 3+

√5

4

1

4(

s+ 3−√

54

) =1/4

−34 −

√5

4 + 34 −

√5

4

= − 1

2√

5= −0.22

B = lims→− 3−

√5

4

1

4(

s+ 3+√

54

) =1/4

−34 +

√5

4 + 34 +

√5

4

=1

2√

5= 0.22

(1.26)

Na osnovu izraza (1.22) se dobija

14s2 +6s+1 = 0

=

−12√

5

s+ 3+√

54

+

12√

5

s+ 3−√

54

−12√

5

s+ 3+√

54

+

12√

5

s+ 3−√

54

→T

(

−12√

5

)

1−z−1e−3−

√5

4 T+

T(

12√

5

)

1−z−1e−3+

√5

4 T

H(z) =U2 (z)U1 (z)

=110

1

2√

5

[

−1

1−z−1e−3−

√5

4 T+

1

1−z−1e−3+

√5

4 T

]

(1.27)

SmenomT = 0.1 i u clanu u zagradi se dobija

H(z) = 0.022

[ −11−0.877z−1 +

11−0.981z−1

]

= 0.022(−1+0.981z−1)+(1−0.877z−1)

(1−0.877z−1)(1−0.981z−1)

= 0.0220.104z−1

1−1.86z−1 +0.86z−2

=0.0023z−1

1−1.86z−1 +0.86z−2

(1.28)

Impulsni odziv diskretnog sistema je prikazan na slici 1.6.Na istoj slici je dat i impulsni odzivanalognog sistema kako bi se lakse uocilo da odbirci impulsnog odziva diskretnog sistema imajuupravo istu vrednost kao i polazni analogni sistem u odgovarajucem trenutkukTs, gde jek ceobroj. Na slici je nax osi dato vreme u sekundama. Kako je period odabiranjaTs = 0.1s u prvih 20sekundi postoji 200 odbiraka i svi su oni na slici prikazani samo na prakticnon osi nisu navedeniredni brojevi odbiraka.Da bi bilo jasnije na slici 1.7 je jos jednom prikazan impulsni odziv sistema dobijen preslikavanjemizvoda gde se vidi da ne postoji preklapanje odziva kao na slici 1.6.


0 5 10 15 200

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

ab

t[s]

h(t)

Sl. 1.6: Impulsni odziv analognog a) i diskretnog sistema b) dobijenog impulsnoinvarijantnom transformacijom.

0 5 10 15 200

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

ab

t[s]

h(t)

Sl. 1.7: Impulsni odziv analognog a) i diskretnog sistema b) dobijenog preslika-vanjem izvoda.

(c) Bilinearna transformacijaPrimenom bilinearne transformacije preslikavaju se prenosne funkcije iz kontinualnog domena udiskretni bez preklapanja spektra,sto je osnovna mana impulsno invarijantne transformacije.sravan se preslikava uz ravan uvod-enjem smene

s=2Ts

1−z−1

1+z−1 (1.29)

gde je 2/Ts konstanta i moze imati i neku drugu vrednost.Inverzna bilinearna transformacija je data sa

z=1+ Ts

2 s

1− Ts2 s

(1.30)

13

odakle se lako odred-uje gde se tacke iz s ravni preslikavaju uz ravan. Za razliku od impulsnoinvarijantne transformacije gde se parce jω ose duzine 2π/Ts preslikavalo na ceo jedinicni krug,kod bilinearne transformacije tek celajω osa se smesti na jedinicni krug. Dakle i sada je nultafrekvencija na mestuz= 1 ali u tacki z= −1 nije prisutna frekvencijaπ/Ts vec ∞.

Sada veza izmed-u analogne frekvencijeω i digitalne frekvencijeθ (gde jez= ejθ ) nije linearna,sto je mana ove transformacije. To znaci da ako se krene od prenosne funkcije analognog sistemakoja ima linearnu fazu, dobice se diskretni sistem vcija je faza nelinearna i samim tim zahtevacefazni korektor. Na osnovu izraza (1.30) se lako dolazi do veze

ω =2Ts

tanθ2

(1.31)

odnosno

θ = 2arctanωTs

2(1.32)

Bilinearna transformacija ispunjava oba uslova transformacije kontinualnog prostora u diskretni.Mana je izra zena nelinearnost jer se cela imaginarna osa izs ravni preslika na segment−π < θ <π.

Dakle krenuvsi od prenosne funkcije analognog sistema

H(s) =U2 (s)U1 (s)

=1

1+6s+4s2 (1.33)

koriscenjem smene (1.29) se dobija prenosna funkci9ja diskretnog sistema

U2 (z)U1 (z)

=1

4 4T2

(1−z−1)2

(1+z−1)2 +6 2

T(1−z−1)(1+z−1)

+1/∗

(

(

1+z−1)2T2

)

=T2

(

1+z−1)2

16(1−2z−1 +z−2)+12T (1−z−1)(1+z−1)+T2(1+z−1)2

=T2

(

z−2 +2z−1 +1)

16−32z−1 +16z−2 +12T −12Tz−2 +T2 +2T2z−1 +T2z−2

=T2

(

z−2 +2z−1 +1)

z−2 (16−12T +T2)+z−1 (2T2−32)+16+T2 +12T/∗100

=1+2z−1 +z−2

100(17.21−31.98z−1 +14.81z−2)=

0.00058+0.00116z−1 +0.00058z−2

1−1.858z−1 +0.86z−2

Impulsni odziv diskretnog sistema je prikazan na slici 1.8.

2. Dat je impulsni odziv nerekurzivnog (FIR) digitalnog filtra{h[n]} = {1,2,−2,−1}. Odrediti prenosnufunkciju filtra i odrediti:

(a) Amplitudsku i faznu karakteristiku filtra;

(b) Grupno kasnjenje filtra;

(c) Odrediti prenosnu funkcija filtra za koji je polozaj polova i nula uz ravni dat na slici 1.9.

Resenje:

Impulsni odziv je prikazan na slici 1.10. Nerekurzivni filtri ne mogu biti projektovani ni jednom odmetoda preslikavanja date prenosne funkcije analognog sistema jer se na taj nacin uvek dobija IIR sistem(filtar). FIR filtri se projektuju direktno uz domenu. Karakterise ih mogucnost realizacije idealnelinearne fazne karakteristike. Da bi se to obezbedilo potrebno je da impulsni odziv bude simetrican ili


0 5 10 15 200

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

t[s]

h(t)

Sl. 1.8: Impulsni odziv diskretnog sistema a) dobijenog bilinearnom transformaci-jom i analognog b) .

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

3

Real Part

Imag

inar

y P

art

Sl. 1.9: Nule i polovi diskretnog sistema) .

antisimetrican, kao u datom primeru. Ako je data amplitudska karakteristika koju treba zadovoljiti afaza nije od znacaja uvek se projektuje IIR filtar jerce red filtra biti znacajno nizi od odgovarajuceg FIRfiltra sa istom (slicnom) amplitudskom karakteristikom. Med-utim u nekim prakticnim aplikacijama nisudozvoljena fazna izoblicenja i FIR filtri u takvim slucajervima nalaze svoju primenu.

Kako clan z−k ukazuje na kasnjenje zak odbiraka (u vremenskom domenu kasnjenje iznosikTs), Z

transformacijom se lako dolazi do prenosne funkcije FIR filtra, krenuvsi od njegovog impulsnog odzivah[n] s obzirom da jeH(z) = Z {h[n]}

H (z) = 1+2z−1−2z−2−z−3 (1.34)

Kako je frekvencijska osa uz ravni smestena na jedinicnom krugucije su sve tacke date sa

z= ejθ

15

−2 0 2 4 6 8−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

h[n]

n

Sl. 1.10: Impulsni odziv FIR filtra) .

, ge jeθ ugao izmed-u realne ose i potega iz koordinatnog pocetka do posmatrane tacke, frekvencijskekarakteristike filtra se odred-uju kao

H(

ejθ)

= H(z)∣

∣

∣

z=ejθ= 1+2e− jθ −2e− j2θ −e− j3θ

= 1−e− j3θ +2(

e− jθ −e− j2θ)

= e− j3θ2

(

ej3θ2 −e− j3θ

2

)

+2e− j3θ2

(

ej θ2 −e− j θ

2

)

= e− j3θ2 2 j sin(3

θ2

)+2e− j3θ2 2 j sin(

θ2

)

= e− j3θ2 ej π

2 2

(

sin(3θ2

)+2sin(θ2

)

)

= 2

(

sin(3θ2

)+2sin(θ2

)

)

ej π−3θ2

(1.35)

Svaka kompleksna vrednost moze biti data preko modula i faznog ugla tj.

H(

ejθ)

=∣

∣

∣H

(

ejθ)∣

∣

∣ejϕ(θ) (1.36)

(a) Dakle, amplitudska karakteristika filtra je data izrazom∣

∣

∣H

(

ejθ)∣

∣

∣= 2

(

sin(3θ2

)+2sin(θ2

)

)

(1.37)

dok fazna karakteristika ima vrednost

ϕ (θ) = arg{

H(

ejθ)}

=π −3θ

2(1.38)

(b) Grupno kasnjenje filtra je definisano kao negativni izvod po frekvenciji fazne karakteristike,odnosno

τ (θ) = − ddθ

ϕ(θ) =32

(1.39)

Sa slike 1.9 uocavamo da je pol trostruki u koordinatnom pocetku i da filtar poseduje tri nulezi

locirane na jedinicnom krugu. Realna nula je pod uglom 0 a konjugovano kompleksni par nula jeopod uglom±2π/3


(c)z1 = 1ej0 = 1

z2 = ej 2π3 = −1

2+ j

√3

2

z3 = em j 2π3 = −1

2− j

√3

2

(1.40)

Krenuvsi od polova i nula za prenosnu funkciju se dobija

H (z) = k(z−z1)(z−z2)(z−z3)

(z−0)3 = k(z−1)

(

z+ 12 − j

√3

2

)(

z+ 12 + j

√3

2

)

z3

= k(z−1)

(

(

z+ 12

)2+

(√3

2

)2)

z3 = k(z−1)

(

z2 +z+ 14 + 3

4

)

z3

= k(z−1)

(

z2 +z+1)

z3 = kz3 +z2 +z−z2−z−1

z3

= kz3−1

z3 = k(

1−z−3)

gdek predstavlja konstantu zacije odred-ivanje je potreban (da bi resenje bilo jednoznacno) josjedan podatak (na primer pojacanje filtra na nekoj frekvenciji). Uz−1 ravni FIR filtar ne posedujepolove, tj. uz ravni oni su uvek smesteni u koordinatnom pocetku zbogcega su FIR filtri uvekstabilni.

Faza i grupno kasnjenje FIR filtra su prikazani na slici 1.11.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−4

−2

0

2

a

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.5

1

1.5

2

2.5

b

Normalizovana frekvencija


ϕτ

Sl. 1.11: Faza a) i grupno kasnjenje b) FIR filtra treceg reda.

Da prokomentarisemo amplitudsku karakteristiku

∣

∣

∣H(ejθ )

∣

∣

∣= 2

(

sin(3θ2

)+2sin(θ2

)

)

(1.41)

Da bi se dobila suma sinusa u zagradi datog izraza neophodno je da seclanovi impulsnog odzivajavljaju u parovima sa suprotnim znakom. U ovom slucaju impulsni odziv je bio parne duzinei javila su se dva para koja su pretvorena u dva sinusa. Ovakvoudruzivanje nije moguce ako je

17

impulsni odziv neparne duzine jer centralni (sredisnji) clan ne bi posedovao parnjaka. Med-timovaj problem nece se javiti ako je impulsni odziv neparne duzine sa centralnimclanom jednakimnuli. Amplitudska karakteristika data sa (1.41) prikazanaje na slici 1.12.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5


|H(e

jθ)|

Sl. 1.12: Amplitudska karakteristika FIR filtra

Kako u zagradi figurisu samo sinusniclanovi uvekce pojacanje filtra na nultoj frekvenciji bitijednako nuli, kao na slici 1.12 kada je impulsni odziv antisimetrican. S obzirom da pojacanjemora biti jednako nuli za DC komponentu, sa ovakvim impulsnim odzivom nikako nije mogucerealizovati filtar propusnik niskih frekvencija kao i filtarnepropusnik opsega frekvencija kod kojihje neophodno jedinicno pojacanje u koordinatnom pocetku.

3. Frekvencija odmeravanja iznosiFs = 1kHz, slabljenje filtra u propusnom opsegu jeamax = 1dB i sla-bljenje filtra u nepropusnom opseguamin = 40dB. Napisati programe u MATLAB

R©-u za izracunavanje

koeficienata prenosne funkcije:

(a) Niskopropusnog filtra (NF), granicnih frekvencija 150Hz i 200Hz;

(b) Visokopropusnog filtra (VF), granicnih frekvencija 350Hz i 400Hz;

(c) Filtra propusnika opsega (PO), granicnih frekvencija 100Hz, 200Hz, 300Hz i 400Hz (200Hz i300Hz su granice propusnog opsega a 100Hz i 400Hz granice nepropusnog opsega).

Resenje:Maksimalna frekvencija koja moze da se pojavi u digitalnom sistemu jeFs/2 = 500 Hz i njojodgovara digitalna frekvencijaθ = π. U literaruri secesto na frekvencijskoj osi ne nalazi vrednostθvec njena normalizovana vrednostθ/π zbogcega su granicne vrednosti nax osi 0 i 1. Na slici 1.13su prikazane lokazije nulte frekvencije, polovine frekvencije odabiranjaFs/2 i proizvoljne frekvencijefx (Frekvencijska osa se nalazi na jedinicnom krugu. Gornja polovina kruznice odgovara pozitivnima donja polovina negativnim frekvencijama respektivno). Frekvenciji 0 Hz odgovara digitalna frekve-ncija θ = 0, frekvenciji Fs/2 odgovara digitalna frekvencijaπ dok frekvenciji fx odgovara digitalnafrekvencijaθx. Vrednostθx se lako odred-uje na osnovu proporcije

Fs

2: π = fx : θx

odakle dobijamo da je

π fx = θxFs

2=⇒ θx =

fxFs

2

π (1.42)


−1 −0.5 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

00

0

fx

Fs2

θx

Sl. 1.13:

U MATLABR©

-u frekvencije se kao ulazni argumenti unose u normalizovanim vrednostima (dobijaju sedeljenjem saπ, tako da frekvencijiFs

2 odogovara normalizovana frekvencija 1 a frekvencijifx odogovaranormalizovana frekvencija

θx =fxFs

2

(1.43)

(a) Niskopropusni filtar - NF:

clear all %brise memorijuclose all %zatvara sve otvorene slikeFs=1000;% frekvencija odabiranjafp=150; %granica propusnog opsegafs=200; % granica nepropusnog opsegafs2=Fs/2; %polovina frekv. odabiranjarp=1; %slabljenje u decibelima u propusnom opsegurs=40; % dB u nepropusnom opsegu[n,wn]=buttord(fp/fs2,fs/fs2,rp,rs) %normalizovane frekvencije su%argumenti naredbe buttord koja odrdjuje potrebni red filtra n i%parametar wn koji su ulaz za naredbu butter koja kao izlaz daje%koeficijente prenosne funkcije (koef. polinoma)[b,a]=butter(n,wn) % b i a su polinomi prenosne funkcije[h,w]=freqz(b,a,1000); % u 1000 tacaka (izmedju 0 i pi) racuna%karakteristiku filtra h, a u vektor w smesta frekvencijske tackefigure %otvara slikuplot(w/pi,abs(h)) % crta amplitudsku karakteristiku koja je moduo%vektora h pri cemu je na x osi normalizovana frekvencija

Argumenti MATLABR©

naredbi su normalizovane frekvencije a odred-ene su na osnovu izraza(1.43).

Na slici 1.14 je prikazana karakteristika filtra propusnikaniskih frekvencija

Idealni filtar ne moze biti realizovan.Sto su zahtevi stroziji red filtra ce biti visi. Zadato dozvoljenoslabljenje od 1dB je realizovano na opsegu[0,0.3] = [0,150/500] (kad je rec o normalizovanim

19

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ab


|H(e

j θ)|

Sl. 1.14: Amplitudska karakteristika Buterworth-ovog filtra a) i karakteristika ide-alnog filtra b).

frekvencijama) a minimalno slabljenje od 40 dB je realizovano na opsegu[0.4,1] = [200/500,1].Opseg[0.3,0.4] je poznat kao prelazna zona i tu se karakteristika filtra ne kontrolise i nije bitnokako dobijena karakteristika u tom delu izgleda. Vazno je da u propusnoj zoni pojacanje bude do-voljno blisko jedinici (pojacasnje nema jedinicu, tj rec je o neimenovanom broju) a u nepropusnojzoni dovoljno blisko nuli. Na slici 1.14 je prikazano pojacanje sistema, odnosno amplitudska kara-kteristika. Uobicajeno da se umesto pojacanja zadajezelejno slabljenje u decibelima po opsezima.Prakticno slika 1.14 ima oblik 1.15 kada je nay osi dato slabljenje u decibelima. Veza izmed-upojacanja i slabljenja je data izrazom

a[dB] = −20log10(|H(ejθ )|)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

10

20

30

40

50

60

70

80

ab


a[d

B]

Sl. 1.15: Slabljenje Buterworth-ovog filtra a) i zadata granicna slabljenja u propu-snom i nepropusnom opsegu b).

Dakle slika 1.14 i 1.15 prikazuju istu karakteristiku samo je nay osi odabrana druga jedinica.


Sa obe slike se uocava da projektovani filtar zadovoljava zadate specifikacije. U ovom primeruje izabran Butterworh-ov filtar koga karakterise maksimalno ravna karakteristika, koja je mono-tona funkcija frekvencije. U konkretnom slucaju je dobijen filtar redaN = 15. To je minimalnaslozenost filtra kojom se zadovoljavaju zadate nspecifikacije.Izborom filtra viseg reda se dobijajubolje specifikacije na ustrb povecane slozenosti filtra (visi red polinoma, vise koeficijenata, vecibroj komponenti kod hardverske realizacijesto neminovno vodi visoj ceni. Nama je cilj da zastonizu cenu (nizi red polinoma) projektujemo filtar koji zadovoljava postavljene specifikacije).

(b) Visokopropusni filtar - VF:

Jedina razlika kod projektovanja propusnika visokuh frekvencija u odnosu na propusnik niskihfrekvencija se ogleda u naredbibutter gde se pojavljuje kao poslednji argument naredbe’high’,koji ukazuje da se projektuje visokopropusni filtar. Uostalom kod projektovanja filtara uvek seproblem svodi na projektovanje propusnika niskoh frekvencija (time je vec odred-en red filtra) asve ostasle karakteristike (propusnik opsega, propusnik visokih frekvencija . . . ) se lako dobijajumatematickim manipulacijama tj. preslikavanjima. Odgovarajuci MATLAB

R©kod je dat u nastavku

clear allfs=1000;Fs=350;fp=400;fs2=Fs/2;rp=1;rs=40;[n,wn]=buttord(fp/fs2,fs/fs2,rp,rs)[b,a]=butter(n,wn,’high’)% slede naredbe crtanja koje su izostavljene

a amplitudska karakteristika i karakteristika slabljenjasu date na slikama 1.16 i 1.17, respektivno.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ab


|H(e

jθ)|


U slucaju filtra propusnika visokih frekvencija granicna frekvencija propusnog opsegafp je visa odgranice nepropusnog opsegafs. Idelani filtar bi imao pojacanje jednako nuli (u idealnom slucajuslabljenje od∞ decibela) na opsegu frekvencija[0, fs] i jedinicno pojacanje (slabljenje od 0 deci-bela u idealnom slucaju) na opsegu[ fp,Fs/2], izrazeno u hercima tj. na opsezima[0,θs] i [θp,π],

21

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

10

20

30

40

50

60

70

80

ab


a[d

B]


datim u digitalnoj frekvenciji. Sa prikazanih slika vidimoda projektovani filtar zadovoljava zadatespecifikacije.

(c) Filtar propusnik opsega:

Filtar propusnik opsega frekvencija ima dve granicne frekvencije za propusni opseg i dve za nepro-pusni opseg. Zato su sada granicne frekvencije sme]v stene u vektoref1 i f2. Projektovanje (nijevidljivo korisniku jer samo poziva gotove funkcije MATLAB

R©-a) se i sada svodi na odred-ivanje

najprostijeg filtra propusnika niskih frekvencija (ova oblast se izucava na visim godinama studija)iza cega se preslikavanjem (kada se udvostrucava red filtra) dobija trazeni filtar propusnik opsegafrekvencija. U nastavku sledi kod MATLAB

R©programa kojim se odred-uje prenosna funkcija filtra,

s tim da su izostavljene naredbe za crtanje dobijenih karakteristika.

Fs=1000;f1=[200,300];f2=[100,400];fs2=Fs/2;rp=1;rs=40;

[n,wn]=buttord(f1/fs2,f2/fs2,rp,rs)[b,a]=butter(n,wn)

Amplitudska karakteristika i odgovarajuca karakteristika slabljenja (potpuno ista karakteristika,predstavljena na dva nacina) su prikazane na slikama 1.18 i 1.19.

Kao i u prethodna dva slucaja uocavaju se prelazne zone ([0.2, 0.4] i [0.6, 0.8]) unutar kojih senema kontrola nad karakteristikom filtra. Ova nemogucnost da se realizuje idealni filtar u praksiutice na izbor frekvencije odabiranjaFs. Tako na primer, u slucaju muzickog signala koji se predigitalizacije filtrom propusnikom niskih frekvencija ogranicava tako da maksimalna frekvencijakoja moze da se pojavi u njegovom spektru iznosi 20 kHz, odabiranje se ne izvodi frekvencijomFs = 40 kHz,sto je idealni slucaj, vec se koristi, zbog pojave prelazne zone, nesto visa frekvencijaodFs = 44100 Hz.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ab


|H(e

jθ)|


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

10

20

30

40

50

60

70

80

ab


a[d

B]


4. (a) Neka je funkcija prenosa diskretne mreze:

Y (z)X (z)

= H (z) =z3 +5z+6z2 +3z+4

Napisati diferencnu jednacinu za datu mrezu.

(b) Data je diferencna jednacina diskretne mreze:

y[n] = −y[n−2]−7y[n−1]−2x[n−2]+3x[n−1]

Napisati izraz za prenosnu funkciju date mreze.

(c) Resiti diferencnu jednacinu primenomZ -Transformacije ako je na ulazu kola prisutan jedinicniimpuls (Dirakov impulsδ [n]).

y[n] = −5y[n−2]+6y[n−1]−12x[n−1]+10x[n]

23

(a) U prvom koraku brojilac i imenilac prenosne funkcije se dele saz2 (sa z stepenovan najvisimstepenom u datom izrazu kako bi novi izraz bio funkcija po promenljivoj z−1 koja predstavljakasnjenje i olaksava u nraednom koraku izracunavanje inverzneZ transformacije )

H (z) =Y (z)X (z)

=z2 +5z+6z2 +3z+4

=1+5z−1 +6z−21

1+3z−1 +4z−2 (1.44)

Unakrsnim mnozenjem se dobija izraz

Y (z)+3Y (z)z−1 +4Y (z)z−2 = X (z)+5X (z)z−1 +6X (z)z−2 (1.45)

IzdvajanjemclanaY(z) dobijamo

Y (z) = −3Y (z)z−1−4Y (z)z−2 +X (z)+5X (z)z−1 +6X (z)z−2 (1.46)

a posle inverzneZ transformacije se dobija diferencna jednacina koja pokazuje kako najnovijiizlazni odbirak zavisi od tekuceg ulaznog i prethodnih ulkaznih i izlaznih odbiraka

y[n] = −3y[n−1]−4y[n−2]+x[n]+5x[n−1]+6x[n−2] (1.47)

Koriscena je osobinaZ transformacije

F(z)z−k ↔ f [n−k]

(b) Krenuvsi od diferencne jednacine

y[n] = −y[n−2]−7y[n−1]−2x[n−2]+3x[n−1] (1.48)

Z transformacijom se dobija

Y (z) = −Y (z)z−2−7Y (z)z−1−2X (z)z−2 +3X (z)z−1 (1.49)

Izvlacenjem ispred zagrada zajednickih clanova se dobija

Y (z)[

1+7z−1 +z−2] = X (z)[

3z−1−2z−2] (1.50)

sto sred-ivanjem daje prenosnu funkciju sistema

H(z) =Y (z)X (z)

=3z−1−2z−2

1+7z−1 +z−2 =3z−2

z2 +7z+1(1.51)

(c) Krenuvsi od diferencne jednacine koja opisuje sistem u vremenskom domenu (analogno diferen-cijalnim jednacinama u slucaju analognih sistema)

y[n] = −5y[n−2]+6y[n−1]−12x[n−1]+10x[n] (1.52)

Z transformacijom se dobija

Y (z) = −5Y (z)z−2 +6Y (z)z−1−12X (z)z−1 +10X (z) (1.53)

opis sistema u frekvencijskom domenu.

Y (z)[

1+5z−2−6z−1] = X (z)[

10−12z−1] (1.54)

odnosno prenosna funkcija datog sistema

H(z) =Y (z)X (z)

=10−12z−1

1+5z−2−6z−1 =10−12z−1

1−6z−1 +5z−2 (1.55)


Z transformacija Dirakovog impulsa ima vrednostZ {δ [n]} = 1 (a on je u ovom slucaju ulaznisignalx[n]). Na osnovu izraza (1.55) se dobija da je

Y(z) = H(z)X(z) = H(z) ·1 = H(z)

Signaly[n] bice odred-en inverznomZ transformacijom zasta je neophodno odrediti polove izraza(1.55) (razvojem u parcijalne razlomke)

5z−2−6z−1 +1 = 0

z1,2−1 =

6±√

36−2010

z1−1 = 1 z2

−1 = 1/5

Dakle rec je o dva prosta realna pola.

Y (z) =10−12z−1

5(z−1−1)(

z−1− 15

) =10−12z−1

(z−1−1)(5z−1−1)=

Az−1−1

+B

5z−1−1

Pristupamo odred-ivanju ostataka u polovima

A = limz−1→1

10−12z−1

5z−1−1=

10−124

= −12

B = limz−1→1/5

10−12z−1

z−1−1=

10− 125

−45

=50−12−4

= −192

(1.56)

DakleZ transformacija signalay ima vrednost

Y (z) =−1

2

z−1−1+

−192

5z−1−1=

12

1−z−1 +192

1−5z−1

koja je napisana u pogodnom obliku da se koriscenjem tabliceZ transformacije lako odred-uje(prakticno inverznomZ transformacijom) vremenski predstavnik, tj.y[n] kao

y[n] = h[n] = Z−1{Y(z)} =

12

u0 [n]+192

5n,za n≥ 0 (1.57)

Polovi u izrazu (1.56) su odred-eni uz−1 ravni a ne uz ravni tako da je polz2 = 5 i nalazi se vanjedinicnog kruga. Sistem sa ovakvim polom nije stabilan (potrebnoje da svi polovi budu unutarjedinicnog kruga). To se vidi i na osnovu impulsnog odziva (na ulazuje Dirakov impuls) koji nijeapsolutno sumabilan jerclan 5n nekontrolisano raste vremenom.

Literatura

25

niverzitet u niˇsu elektronski...

Documents