niverzitet u niˇsu elektronski fakultetelektronika.elfak.ni.ac.rs/_files/goran.stancic/...10 12 14...

UNIVERZITET U NI SU

ELEKTRONSKI FAKULTET

DIGITALNA OBRADA SIGNALA

Zbirka zadataka

NI S, 2020.

Sadrzaj

1 Izracunavanje inverzneZ transformacije 5

1.1 Razvoj u parcijalne razlomke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 5

1.2 Definicioni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 5

1.3 Beskonacno deljenje polinoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 8

2 Prenosna funkcija diskretnih sistema 13

3 Diskretna Furijeova transformacija 23

3.1 Diskretna Furijeova transformacija i konvolucija . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Kontinualno-diskretne transformacije 45

5 Zadaci 69

6 Hardverska realizacija prenosne funkcije diskretnog sistema 83

6.1 Direktna realizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 85

Literatura 87

Indeks pojmova 87

3

4 Sadrzaj

1

Izra cunavanje inverzneZ

transformacije

InverznaZ transformacija omogucava da se odredi signalf [n] krenuvsi od njegoveZ transformacijeF(z). Na raspolaganju su tri metode kojima se mogu odrediti odbirci signalaf [n].

1. Razvoj u parcijalne razlomke

2. Definicioni integral

3. Beskonacno deljenje polinoma

1.1 Razvoj u parcijalne razlomke

Na prethodnomcasu smo radili izracunavanje inverznez transformacije razvijanjem izraza u parcijalnerazlomke. Ocekujem da do kraja semestra zbirka bude gotova u celosti, dakle da se ubace i oblasti koje smovec presli nacasovima. Redovnocu na sajtu katedre postavljati materijal a najkasnije u utorak kako bi u sredubio dostupan za eventualna pitanja. Za konsultacijecu osim sredom od 12.00 do 14.00 biti dostupan i radnimdanima od 20.00 do 21.00 h. Moj skype nalog: goran.stancic13

1.2 Definicioni integral

Odbirci signala u vremenskom domenuf [n] se dobijaju konturnim integralom

f [n] =1

j2π

∮

CF(z)zn−1dz (1.1)

gdeC predstavlja zatvorenu konturu koja obuhvata sve polove podintegralne funkcije. Koriscenjem Kosijeveteoreme o ostacima izracunavanje integrala se svodi na sumiranje ostataka u polovima podintegralne funkcijetj.

f [n] = ∑k

Res[

F(z)zn−1]∣

∣

z=pk(1.2)

gde su sapk obelezeni polovi podintegralne funkcijeF(z)zn−1 a Res[

F(z)zn−1]

predstavljaju ostatke upolovimaz= pk.

5

6 1. Izracunavanje inverzneZ transformacije

Zadatak 21 Upotrebom definicionog integrala odrediti inverznuZ transformaciju izraza

F(z) =1+2z−1 +z−3

(1−z−1)(1−0.75z−1)(1.3)

Resenje

Mnozenjem brojioca i imenioca izraza (1.3) saz3 dobija se

F(z) =z3 +2z2 +1

z(z−1)(z−0.75)(1.4)

Primenom izraza (1.2) se dobija

f [n] = ∑k

Res[ (z3 +2z2 +1)zn−1

z(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=pk= ∑

k

Res[ (z3 +2z2 +1)zn−2

(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=pk(1.5)

Zanima nas da odredimo vrednosti svih odbiraka signlaf [n], tj. vrednosti f [0], f [1], f [2], . . . , odnosnovrednosti zan = 0,1,2, . . . .

Zan = 0 izraz (1.5) postaje

f [0] = ∑k

Res[ (z3 +2z2 +1)

z2(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=pk= Res

[ (z3 +2z2 +1)

z2(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=0

+Res[ (z3 +2z2 +1)

z2(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=1 +Res[(z3 +2z2 +1)

z2(z−1)(z−0.75)]∣

∣

z=0.75

(1.6)

Napomena: kada je pol dvostruk, kaosto je sada slucaj sa polom u koordinatnom pocetku (z= 0) razvojemu parcijalne razlomke javljaju se dvaclana oblika

r1

z2 +r2

z

Ostatak u polu koji treba izracunati za izraz (1.6) je vrednostr2. Ostatak u polur1 racuna se na osnovu izraza

r1 = limz→0

(z3 +2z2 +1)

(z−1)(z−0.75)(1.7)

Ovu vrednost nije neophodno izracunavati ali nam je ovaj izraz potreban za odred-ivanjer2 tj.

r2 = limz→0

ddz

{ (z3 +2z2 +1)

(z−1)(z−0.75)

}

= limz→0

(3z2 +4z)(z−1)(z−0.75)− (z3 +2z2 +1)[1· (z−0.75)+(z−1) ·1]

(z−1)2(z−0.75)2

=0(−1)(−0.75)− (0+0+1)[1· (−0.75)+(0−1) ·1]

(−1)2(−0.75)2 =289

(1.8)tako da prvi odbirak signalaf [n] ima vrednost

f [0] = r2 + limz→1

(z3 +2z2 +1)

z2(z−0.75)+ lim

z→0.75

(z3 +2z2 +1)

z2(z−1)

=289

+4

0.25+

0.753 +2·0.752 +10.752 · (−0.25)

= 1

(1.9)

Zan = 1 izraz (1.5) postaje

1.2. Definicioni integral 7

f [1] = ∑k

Res[ (z3 +2z2 +1)

z(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=pk= Res

[ (z3 +2z2 +1)

z(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=0

+Res[ (z3 +2z2 +1)

z(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=1 +Res[(z3 +2z2 +1)

z(z−1)(z−0.75)]∣

∣

z=0.75

=[ (z3 +2z2 +1)

(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=0 +[ (z3 +2z2 +1)

z(z−0.75)

]∣

∣

z=1 +[ (z3 +2z2 +1)

z(z−1)

]∣

∣

z=0.75

=1

(−1)(−0.75)+

40.25

+0.753 +2·0.752 +1

0.75(−0.25)=

43

+16− 16312

=154

(1.10)

Za n≥ 2 podintegralna funkcija ne poseduje pol uz= 0 tako da preostaju samo polovi uz= 1 i z= 0.75.Sada se odbirci signalaf [n] racunaju na osnovu izraza

f [n] = ∑k

Res[ (z3 +2z2 +1)zn−2

(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=pk

= Res[ (z3 +2z2 +1)zn−2

(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=1 +Res[ (z3 +2z2 +1)zn−2

(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=0.75

= limz→1

[ (z3 +2z2 +1)zn−2

(z−0.75)

]

+ limz→0.75

[ (z3 +2z2 +1)zn−2

(z−1)

]

=4·1n−2

(0.25)+

(0.753 +2·0.752 +1)0.75n−2

−0.25= 16+

(163/64)0.75n

(−0.25)0.752 = 16− 1639

0.75n

(1.11)

Na ovaj nacin odred-eni su svi elementi signalaf [n] tj.

f [n] =

1 za n = 0

154

za n = 1

16− 1639

0.75n za n≥ 2

(1.12)

U nastavkucemo samo pokusati da dobijeni rezultat damo u kompaktnijem obliku. Vrednost izraza 16−1639 0.75n zan = 0 je 16− 163

9 = 16·9−1639 = 144−163

9 = −199 . Zan = 0 odbirak signalaf [n] ima vrednost 1= 9

9,tako da je izraz 16− 163

9 0.75n zan = 0 potrebno korigovati (1= −199 +korekci ja1) za vrednost28

9 .

Za n = 1 izraz 16− 1639 0.75n (koji vazi samo zan ≥ 2) ima vrednost 16− 163

934 = 29

12 a odbirak signalaf [n] iznosi 15

4 , tako da vrednost izraza (1.14) treba korigovati za vrednost 43 (dobijena iz jednacine 15

4 =2912 +korekci ja2).

Ovo nam omogucava da signalf [n] zapisemo u obliku

f [n] =289

δ [n]+43

δ [n−1]+16− 1639

0.75n za n = 0,1,2, . . . (1.13)

Ovako dobijen rezultat mozemo lako proveriti koriscenjem MATLABR©

-a.

syms z nFz=(zˆ3+2*zˆ2+1)/(z*(z-1)*(z-0.75))fn=iztrans(Fz)

na osnovucega se dobija


fn =(4*kroneckerDelta(n - 1, 0))/3 - (163*(3/4)ˆn)/9 +(28*kroneckerDelta(n, 0))/9 + 16

Na slici 1.1 je prikazano prvih 25 odbiraka signalaf [n].

0 5 10 15 20 250

2

4

6

8

10

12

14

16

f[n]

n

Sl. 1.1: Signalf [n], prvih 25 odbiraka

1.3 Beskonacno deljenje polinoma

Zadatak 31 Metodom beskonacnog deljenja polinoma odrediti prva 4clana signalaf [n] cija Z transfor-macija ima vrednost

F(z) =1+z−1 +2z−2 +3z−3

(1−0.25z−1)(1−0.5z−1)(1−0.75z−1)(1.14)

Resenje:

Pre nego se pristupi deljenju polinoma neophodno je pomnoziti brojilac i imenilac saz3, cime se dobija

F(z) =z3 +z2 +2z+3

(z−0.25)(z−0.5)(z−0.75)(1.15)

a potom srediti imenilac kako bi se dobili polinomi po promenljivoj z sa elementima koji su pored-ani uopadajucem redosledu stepena. U tu svrhu mozemo iskoristiti MATLAB

R©koristeci naredbe

syms zImenilac=collect((z-0.25)*(z-0.5)*(z-0.75))

sto kao rezultat daje

Imenilac =

zˆ3 - (3*zˆ2)/2 + (11*z)/16 - 3/32

1.3. Beskonacno deljenje polinoma 9

a na osnovucega izraz (1.15) postaje

F(z) =z3 +z2 +2z+3

z3− 32z2 + 11

16z− 332

(1.16)

a cijim se deljenjem dobija prviclan signalaf [n].

(z3+z2 +2z+3) : (z3− 32

z2 +1116

z+332

) = 1+52z2 + 21

16z+ 9932

z3− 32z2 + 11

16z+ 332

−z3 +32

z2− 1116

z+332

52

z2 +2116

z+9932

(1.17)

Za deljenje polinoma moze biti iskoriscen MATLABR©

. Polinomi se unose kao vektori, tj. nizovi brojevakoji odgovaraju koeficijentima polinoma gde se podrazumevada suclanovi uneseni po opadajucoj vrednostistepena. U konkretnom slucaju

brojilac=[1 1 2 3 ]imenilac=[1 -3/2 11/16 -3/32]

Polinome delmo naredbomdeconv i kao rezultat se dobija kolicnik r i ostatak deljenjaq

[r,q]=deconv(brojilac, imenilac)

sto kao rezutat daje

r =

1

q =

0 2.5000 1.3125 3.0938

U nastavku delimo brojilac i imenilac iz izraza (1.17)

(52

z2 +2116

z+9932

) : (z3− 32

z2 +1116

z+332

) =52

z−1 +8116z+ 44

32 + 1564z−1

z3− 32z2 + 11

16z+ 332

−52

z2 +154

z− 5532

+1564

z−1

8116

z+4432

+1564

z−1

(1.18)

U narednom koraku delimo brojilac i imenilac iz izraza (1.18)


(8116

z+4432

+1564

z−1) : (z3− 32

z2 +1116

z+332

) =8116

z−2 +28732 − 831

256z−1 + 243512z−2

z3− 32z2 + 11

16z+ 332

−8116

z+24332

− 891256

z−1 +243512

z−2

28732

− 831256

z−1 +243512

z−2

(1.19)

S obzirom na opisanu proceduru icinjenice da deljenje izvodimo saz3 u narednom koraku bi se dobiokolicnik 287

32 z−3. Uzevsi u obzir sve prethodne izraze zakljucujemo da je

F(z) = 1+52

z−1 +8116

z−2 +28732

z−3 +Naredniostatakdel jen ja

z3− 32z2 + 11

16z+ 332

(1.20)

Na osnovu izraza (1.20) zakljucujemo da je

f [0] = 1, f [1] =52, f [2] =

8116

, f [3] =28732

, . . .

s obzirom daz−1 ima fizicki smisao i odgovara kasnjenju signala za jedan period odabiranja. Slicno, clanBz−2 predstavlja odbirak amplitudeB koji kasni za dva perioda odabiranja (taktna intervala) u odnosu naprvi odbirak koji je obelezen kao f [0]. Uostalom, do istog zakljucka se dolazi i krenuvsi od definicijeZ

transformacije

F(z) =∞

∑n=0

f [n]z−n = f [0]+ f [1]z−1 + f [2]z−2 + . . .

Upored-ivanjem ovog izraza sa izrazom (1.20) lako se uocavaju vrednosti odbirakaf [0], f [1], . . .

Signal f [n] u MATLABR©

-u moze biti odred-en i naredbomdimpulse, ciji su ulazni argumenti koeficijentipolinoma iz brojioca i imenioca kao i duzina signala. Prvih 20 odbiraka signalaf [n] bice odred-eni naredbama

brojilac=[1 1 2 3]imenilac=[1 -3/2 11/16 -3/32]fn=dimpulse(brojilac,imenilac,20)dimpulse(brojilac,imenilac,20)

Ovako odred-en signalf [n] prikazan je na slici 1.2. (Naredbadimpulse sluzi za odred-ivanje prvihn clanovaipulsnog odziva sistemacija je prenosna funkcija data preko polinoma.)

Ova metoda, za razliku od opisane prethodne dve nije prakticna odnosno pogodna za odred-ivanje vre-dnosti signala u vremenskom domenu na osnovu poznateZ transformacije jer je za odred-ivanjen-tog clananeophodno odrediti svihn−1 prethodnih a svi se dobijaju deljenjem dva polinoma.

Najvaznije osobine tri opisane metode date su u tabeli 1.1.

1.3. Beskonacno deljenje polinoma 11

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

2

4

6

8

10

12

Impulse Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

Sl. 1.2: Signalf [n], prvih 20 odbiraka

Tab. 1.1: Osobine metoda za izracunavanje inverzneZ transformacije

Metod Prednosti Mane

Razvoj na ♥ Dobro poznata z Neophodno je daF(z) budeparcijalne razlomke ♥ Moze se koristiti MATLAB

R©racionalna funkcija

naredbaresidueDefinicioni ♥ Moze se koristiti z Zahteva poznavanje

integral i kadaF(z) nije racionalna funkcija teoreme o ostacimaBeskonacno deljenje ♥ Korisna kada se trazi z F(z) mora da bude

polinoma mali broj odbiraka racionalna funkcija♥ Korisna kada inverznaZ transformacija z Deljenje moze biti beskonacno

nema resenje u zatvorenom obliku♥ Moze se koristiti MATLAB

R©

naredbadimpulse

2

Prenosna funkcija diskretnih sistema

Diskretni sistem prikazan na slici 2.1

x[n] y[n]H(z)

Sl. 2.1: Blok dijagram diskretnog sistema

moze biti opisandiferencnomjednacinom

y[n]+b1y[n−1]+b2y[n−2]+b3y[n−3] · · ·+bky[n−k]

= a0x[n]+a1x[n−1]+a2x[n−2]+a3x[n−3]+ · · ·+akx[n−k](2.1)

gdeai i bi predstavljaju konstantne koeficijente. Prethodni izraz moze biti dat u kompaktnijoj formi ako izraz(2.1) napisemo u obliku

y[n] = a0x[n]+a1x[n−1]+a2x[n−2]+a3x[n−3]+ · · ·+akx[n−k]

−(

b1y[n−1]+b2y[n−2]+b3y[n−3] · · ·+bky[n−k]) (2.2)

odnosno

y[n] =k

∑i=0

aix[n− i]−k

∑i=1

biy[n− i] (2.3)

Dakle, u opstem slucajun-ti odbirak izlaznog signalay[n[ (koji se pojavljuje u trenutkunT, gde jeT periododmeravanja ulaznog signala, na vremenskoj osi na kojoj smonultim trenutkom proglasili poziciju kada sepojavio prvi odbirak ulaznog signala) zavisi od vrednosti prisutne na ulazu tj. odx[n] ali i od k vrednosti kojesu bile prisutne kako na ulazu sistema (x[n−1], . . . ,x[n−k]) tako i na izlazu sistema (y[n−1], . . . ,y[n−k]). Ovoukazuje nacinjenicu da je i kod softverske i kod hardverske realizacije diskretnog sistem neophodno nekakosacuvatik poslednjih odbiraka ulaznog i izlaznog signala. Kod softverske realizacijece biti neophodno da serezervise memorija duzine 2k za ove potrebe a kad je u pitanju hardverska realizacija za toce biti iskoriscenadva pomeracka n-tobitna (eng. shift) registra duzine k, gden ukazuje na broj bitova koji je predvid-en zapredstavljanje koeficijenataai i bi . Na osnovu izraza (2.3) uocavamo da se najnoviji izlazni odbirak oznacensay[n] dobija samo na osnovu operacija mnozenja i sabiranja nad odbircima ulaznog i izlaznog signala.

13

14 2. Prenosna funkcija diskretnih sistema

Dakle za hardversku realzicaiju bilo kog diskretnog sistema dovoljno je iskoristiti sabirace, mnozace imemorijske elemente (pomeracki registarce prakticno igrati ulogu elementa za kasnjenje jer on u sebicuvauvekk poslednjih odbiraka signala, koji se pomeraju za jedno mesto pri pojavi svakog taktnog impulsa aciji jerazmak upravo jednak periodi odabiranja signala, tj. ceo sistem radi na frekvencijiFs (frekvencija odabiranja,eng.Sampling frequency)).

Ako pretpostavimo da su svi pocetni uslovi jednaki nuli, tj. da jex[i] = 0 i y[i] = 0 zai < 0, izracunavanjemZ transformacije leve i desne strane izraza (2.3), uzimajuci u obzir osobinuZ transformacije

f [n−m] ⇔ z−mF(z)

dobija se

Y(z)+b1z−1Y(z)+b2z−2Y(z)+b3z−3Y(z) · · ·+bkz−kY(z)

= a0X(z)+a1z−1X(z)+a2z−2X(z)+a3z−3X(z)+ · · ·+akz−kX(z)

(2.4)

Izvlacenjem ispred zagradaX(z) i Y(z)

Y(z)[

1+b1z−1 +b2z−2 +b3z−3 · · ·+bkz−k]

= X(z)[

a0 +a1z−1 +a2z−2 +a3z−3 + · · ·+akz−k]

(2.5)

dolazimo do veze izmed-u Z transformacija izlaznog i ulaznog signala sistema

Y(z) =a0 +a1z−1 +a2z−2 +a3z−3 + · · ·+akz−k

1+b1z−1 +b2z−2 +b3z−3 · · ·+bkz−k X(z) (2.6)

U prethodnom izrazu racionalna funkcija dva polinoma po promenljivoj z predstavlja prenosnu funkciju si-stema

H(z) =N(z)D(z)

=a0 +a1z−1 +a2z−2 +a3z−3 + · · ·+akz−k

1+b1z−1 +b2z−2 +b3z−3 · · ·+bkz−k (2.7)

odnosno dolazimo do ocekivane veze

Y(z) = H(z)X(z) (2.8)

Dakle,Z transformacija izlaznog signala se dobija mnozenjem prenosne funkcije sistema iZ transformacijeulaznog signala. Vrednost izlaznog signala u vremenskom domenuy[n] dobijamo inverznomZ transforma-cijom nadY(z).

Impulsni odziv diskretnog sistemah[n] se dobija na izlazu sistema ako je na njegovom ulazu prisutanjedinicni impuls (Dirakov impuls)x[n] = δ [n]. Kako je

Z {δ [n]} =∞

∑n=0

δ [n]z−n = 1 (2.9)

na osnovu izraza (2.8) je

Y(z) = H(z)X(z) = H(z) ·1 = H(z) (2.10)

odnosno, impulsni odziv diskretnog sistema se moze dobiti inverznomZ transformacijom prenosne funkcijesistema

y[n] = h[n] = Z−1{H(z)

}

(2.11)

15

Zadatak 31 Diferencna jednacina koja daje vezu izmed-u odbiraka ulaznog i izlaznog signala diskretnogsistema, data je izrazom

y[n]−0.5y[n−1]+0.125y[n−2] = x[n]+x[n−1] (2.12)

Izracunati

a) Prenosnu funkciju sistemaH(z)

b) Diskretni impulsni odziv sistemah[n]

c) Odziv ovog sistema ako se na njegovom ulazu nalazi jedinicna funkcija (Hevisajdova funkcija)u0[n]

Resenje:

a) NalazenjemZ transformacije leve i desne strane izraza (2.12)

Y(z)−0.5z−1Y(z)+0.125z−2Y(z) = X(z)+z−1X(z) (2.13)

odnosno

Y(z)[

1−0.5z−1 +0.125z−2] = X(z)[

1+z−1] (2.14)

dolazi se do prenosne funkcije diskretnog sistema

H(z) =Y(z)X(z)

=1+z−1

1−0.5z−1 +0.125z−2 =z2 +z

z2−0.5z+0.125(2.15)

b) Da bi se odredio impulsni odziv sistemah[n[ potrebno je izracunati inverznuZ transformaciju izraza(2.15). Koristicemo postupak razvoja u parcijalne razlomke kod kog se ne razvija sama funkcijaH(z) vec

H(z)z

=Y(z)X(z)

=z+1

z2−0.5z+0.125(2.16)

Kako je polinom u brojiocu nizeg reda od polinoma u imeniocu, moze se odmah pristupiti razvoju ove funkcije.Polinom u imeniocu ima nule (sto su polovi prenosne funkcije)

z1,2 =0.5±

√0.52−4·0.125

2=

0.5±√

0.25−0.52

=0.5± j0.5

2= 0.25± j0.25

pa mozemo pisati

H(z)z

=r1

z−z1+

r2

z−z2=

r1

z− (0.25+ j0.25)+

r2

z− (0.25− j0.25)

Ostaci u polovima imaju vrednost

r1 = limz→0.25+ j0.25

z+1z− (0.25− j0.25)

=0.25+ j0.25+1

0.25+ j0.25− (0.25− j0.25)=

1.25+ j0.25j0.5

= 0.5− j2.5

dok ser2 izracunava iz izraza

r2 = limz→0.25− j0.25

z+1z− (0.25+ j0.25)

koji nije neophodno dovesti do kraja s obzirom da konjugovano kompleksni polovi imaju konjugovano kom-pleksne ostatke, tj.r2 = r∗1 = 0.5+ j2.5, cime smo dosli do identiteta


H(z)z

=0.5− j2.5

z−0.25− j0.25+

0.5+ j2.5z−0.25+ j0.25

Uzevsi u obzir da stepena funkcija imaZ transformaciju

anu0[n] ⇔ zz−a

za|z| > a, inverznaZ transformacija nas dovodi do vrednosti impulsnog odziva

h[n] = (0.5− j2.5)(0.25+ j0.25)n +(0.5+ j2.5)(0.25− j0.25)n

= (0.5− j2.5)(0.25√

2ejπ/4)n +(0.5+ j2.5)(0.25√

2e− jπ/4)n

= 0.5[(0.25√

2)nejnπ/4]+0.5[(0.25√

2)ne− jnπ/4]

− j2.5[(0.25√

2)nejnπ/4]+ j2.5[(0.25√

2)ne− jnπ/4]

= 0.5[(0.25√

2)n(ejnπ/4 +e− jnπ/4)]− j2.5[(0.25√

2)n(ejnπ/4−e− jnπ/4)]

(2.17)

koji ima vrednost

h[n] =(

√2

4

)n(cos(nπ/4)+5sin(nπ/4))) (2.18)

Dakle zan = 0 dobija se prvi odbirak

h[0] =(

√2

4

)0(cos(0)+5sin(0))) = 1

zan = 1

h[1] =(

√2

4

)1(cos(π/4)+5sin(π/4))) =

√2

4(

√2

2+5

√2

2) =

32

i tako dalje. Vrednosti nizah[n] lako se odred-uju i prikazuju uz pomoc MATLABR©

-a

n=0:19;hn=(sqrt(2)/4).ˆn.*(cos(n*pi/4)+5*sin(n*pi/4))

sto daje

hn =

Columns 1 through 7

1.0000 1.5000 0.6250 0.1250 -0.0156 -0.0234 -0.0098

Columns 8 through 14

-0.0020 0.0002 0.0004 0.0002 0.0000 -0.0000 -0.0000

Columns 15 through 20

-0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

17

Napomena: U MATLABR©

-u sa∗ i ˆ su obelezene operacije mnozenja i stepenovanja, respektivno. Oveoperacije su predvid-ene za rad sa matricama, dok su promenljive specijalan slucaj matrice dimezija 1× 1.Ukoliko nije rec o matricnom mnozenju, vec zelimo da pomnozimo svakiclan vektoraa = [a(1),a(2),a(3)]odgovarajucim clanom vektorab = [b(1),b(2),b(3)] (koji moraju biti iste duzine), kao rezultat se dobija novivektor iste duzine ciji su elementia. ∗ b = [a(1) ∗ b(1),a(2) ∗ b(2),a(3) ∗ b(3)]. U sva tri slucaja rec je ovektorima, koji su specijalni slucaj matrice koja poseduje samo jednu vrstu i duzinu 3. Da je u izrazimakoriscen znak ; umesto zareza, elemnti sva tri vektora bi imali identicne vrednosti ali bi predstavljali specijalnislucaj matrice koja poseduje samo jednu kolonu.

Impulsni odzivh[n] je prikazan na slici 2.2.

0 5 10 15 20−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

n

h[n]

Impulsni odziv

Sl. 2.2: Impulsni odziv diskretnog sistema

Treba uociti da prenosna funkcija sistema poseduje i brojilac i imenilac, dakle rec je o rekurzivnom filtru(eng.Infinite Impulse Response-IIR), odnosno impulsni odziv sistema (izlaz kada je na ulazu Dirakov impuls)je beskonacno dug. Sa slike 2.2 se moze pogresno zakljuciti da je impulsni odziv sistema jednak nuli vec zan = 10 a u stvari njegova vrednost jeh[10] = 3.6621e−04.

Da bi bolje shvatili ocemu je rec, prikazacemo vrednosti zadnjih 9 odbiraka (h[11] doh[19]).

>> hn(11:19)

ans =

1.0e-03 *

Columns 1 through 7

0.1526 0.0305 -0.0038 -0.0057 -0.0024 -0.0005 0.0001

Columns 8 through 9

0.0001 0.0000

I odavde se moze pogresno zakljuciti da jeh[19] jednak nuli a u stvari njegova vrednost jeh[19] =3.7253e-08.

Problem odred-ivanja ostataka u polovima moze lako biti resen upotrebom naredberesidue u MATLABR©

-u

brojilac=[0 1 1];


imenilac=[1 -0.5 0.125];[r,p]=residue(brojilac,imenilac)

sto daje kao rezultat polove smestene u vektorp i odgovarajuce ostatke u vektorur

r =

0.5000 - 2.5000i0.5000 + 2.5000i

p =

0.2500 + 0.2500i0.2500 - 0.2500i

c) S obzirom na vezuY(z) = H(z)X(z), uz poznavanje inverzneZ transformacije jedinicne funkcijeu0[n]

u0[n] ⇔ zz−1

zakljucujemo da je

Y(z) =z2 +z

z2−0.5z+0.125· zz−1

=z(z2 +z)

(z2−0.5z+0.125)(z−1)

tj.

Y(z)z

=z2 +z

(z2−0.5z+0.125)(z−1)(2.19)

Izlaz sistemacemo odrediti uz pomoc MATLABR©

-a, tj. naredberesidue, za koju su nam potrebni koeficijentipolinoma u brojiocu i imeniocu. Koeficijenti imeniocace biti takod-e odred-eni u MATLAB

R©-u koriscenjem

paketa za simbolicku analizu.

syms zBrojilac=(zˆ2-0.5*z+0.125)*(z-1)collect(Brojilac)

daje kao rezultat

zˆ3 - (3*zˆ2)/2 + (5*z)/8 - 1/8

odnosno

Y(z)z

=z2 +z

z3− (3/2)z2 +(5/8)z−1/8(2.20)

Sada odred-ujemo polove i ostake u polovima

num=[0 1 1 0]den=[1 -3/2 5/8 -1/8][r,p]=residue(num,den)

i oni iznose

19

r =

3.2000 + 0.0000i-1.1000 + 0.3000i-1.1000 - 0.3000i

p =

1.0000 + 0.0000i0.2500 + 0.2500i0.2500 - 0.2500i

Dakle, moze se pisati

Y(z)z

=z2 +z

z3− (3/2)z2 +(5/8)z−1/8=

3.2z−1

+−1.1+ j0.3

z−0.25− j0.25+

−1.1− j0.3z−0.25+ j0.25

(2.21)

sto daje

Y(z) =3.2zz−1

+(−1.1+ j0.3)zz−0.25− j0.25

+(−1.1− j0.3)zz−0.25+ j0.25

=3.2zz−1

+(−1.1+ j0.3)z

z−0.25√

2ejπ/4+

(−1.1− j0.3)z

z−0.25√

2e− jπ/4

(2.22)

S obzirom na vezu

anu0[n] ⇔ zz−a

za|z| > a za odziv sistema kada je na ulazu Hevisajdova funkcija, dobija se

y[n] = 3.2+(−1.1+ j0.3)(0.25√

2ejπ/4)n +(−1.1− j0.3)(0.25√

2e− jπ/4)n

= 3.2−1.1[(0.25√

2)n(ejnπ/4 +e− jnπ/4)]+ j0.3[(0.25√

2)n(ejnπ/4−e− jnπ/4)]

odnosno

y[n] = 3.2−2.2(

√2

4

)ncos(nπ/4)−0.6

(

√2

4

)nsin(nπ/4)

= 3.2−(

√2

4

)n(2.2cos(nπ/4)+0.6sin(nπ/4))

(2.23)

Odziv sistemay[n] prikazan je na slici 2.3

Na slici 2.4 dati su ulazni (Dirakov signalδ [n] i jedinicna funkcijau0[n] i izlazni signali (Impulsni odzivh[n] i odziv y[n]). Naredbomsubplot(abc), koja ima tri argumentaa, b i c, se bira gde sezeljeni signalprikazuje. Parametara ukazuje na to na koliko se delova slika deli po vertikali,b ukazuje na koliko se delovaslika deli po horizontali, dokc govori o tome na kojoj oda∗b podslikace biti prikazan signal.

brojilac=[ 1 1 0];imenilac=[1 -0.5 0.125];dirak=[1 zeros(1,19)];hevisajd=ones(1,20); n=[0:19];imp_odz=filter(brojilac,imenilac,dirak);odziv=filter(brojilac,imenilac,hevisajd);


0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

n

y[n]

Odziv sistema

Sl. 2.3: Odziv diskretnog sistema na jedinicnu funkcijuu0[n[

figure subplot(221)stem(n,dirak,’r’)gridylabel(’\delta [n]’)subplot(223)stem(n,imp_odz,’k’)gridylabel(’h[n]’)xlabel(’n’)subplot(222)stem(n,hevisajd,’g’)gridylabel(’u_0[n]’)subplot(224)stem(n,odziv,’b’)gridxlabel(’n’)ylabel(’y[n]’)

Naredbazeros(a,b) formira matricu saa vrsta i b kolona ispunjenu nulama. Naredba je iskoriscenaza formiranje Dirakovog impulsa, gde je samo prviclan jednak jedinici. Slican je efekat naredbeones(a,b)samosto se matrica popunjava jedinicama tako da je ova naredba pogodna za formiranje Hevisajdove funkcije.Naredbom filter(a,b,ul) se odred-uje izlaz sistemacija je prenosna funkcija data koli’v cnikom polinomaa i b,kada je na ulazu sistema prisutan signal smesten u vektoruul. Duzina izlaznog signala jednaka je duziniulaznog signala. Kako je cilj bio odrediti prvih 20 odbirakaizlaznog signala, formirali smo ulazni signal isteduzine.

21

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

δ [n

]

0 5 10 15 20−0.5

0

0.5

1

1.5

h[n]

n

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u 0[n]

0 5 10 15 200

1

2

3

4

n

y[n]

Sl. 2.4: Odziv diskretnog sistema na jedinicni impulsδ [n] i jedinicnu funkcijuu0[n[

3

Diskretna Furijeova transformacija

Na slici 3.1 prikazana je funkcijay(t) = t2−4t +4.

−4 −2 0 2 4 6 80

5

10

15

20

25

t

y(t)

Sl. 3.1: Signaly(t) = t2−4t +4

−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t

x(t)

Sl. 3.2: Signalx(t)

Posmatrajmo periodicni signalxp(t), osnovne periodeT = 4, koji je nastao periodicnim ponavljanjemodsecka paraboley(t) na intervalu[0,4] a koji je prikazan na slici 3.2, definisan sa

xp(t +kT) = t2−4t +4 za 0< t < 4 i k∈ Z

Periodicna funkcija moze biti data preko Furijeovog reda

xp(t) =+∞

∑k=−∞

Ckejkω0t (3.1)

gde je

ω0 = 2π f0 =2πT

=2π4

=π2

[rads

]

KoeficijenteCk izracunavamo na osnovu izraza

Ck =1T

∫ T

0x(t)e− jkω0t =

14

∫ 4

0(t2−3t +4)e− jk π

2 t (3.2)

23

24 3. Diskretna Furijeova transformacija

Na slici 3.2 su prikazani amplitudski fazni spektar signalaza −30 < k < 30. Nac osi je k redni brojharmonika. Slucajuk = 0 odgovara koeficijentC0 = 1.333,sto je ujedno srednja vrednost signalaxp(t). Kakoperioda signala iznosiT = 4 sekunde, osnovni harmonik ima frekvencijuf0 = 1/4 = 0.25 Hz, sto odgovarakruznoj ucestanosti odω0 = 2π f0 ≈ 1.7rad/s i na grafiku njemu odgovarak = 1. Cetvrtom harmonikuk = 4odgovara frekvencijak f0 = 1 Hz. Jednakost periodicne analogne funkcije bez prekida (data funkcijax(t) jeneprekidna) i njenog Furijeovog reda vazi samo za slucaj kadak→ ∞.

−30 −20 −10 0 10 20 300

0.5

1

1.5

k

Am

plitu

dski

spe

ktar

−30 −20 −10 0 10 20 30−1

−0.5

0

0.5

1

k

Faz

ni s

pekt

ar

|Ck|

ϕ{Ck}

Sl. 3.3: Amplitudski i fazni spektar signalaxp(t)

Furijeov red se sastoji od sume sinusnih i kosinusnih funkcija (predstavljenih preko kompleksne eksponen-cijalne funkcije) koje su i same neprekidne, tako da ako je funkcijaxp(t) periodicna ali sa prisutnim prekidima,cak i zak→ ∞ Furijeov red nece biti identican saxp(t). U ovakvim slucajevima je prisutan Gibsov fenomen.

−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t

x(t)Furijeov red

Sl. 3.4: Signalxp(t) dat na osnovnoj periodi i njegova aproksi-macija xa30(t) dobijena skracivanjem Furijeovog redazadrzavanjem prvih 30 harmonika

Kod prikazivanja spektra nax osi je frekvencija, nezavisno od toga da li na konkretnom grafiku stoji indeksk, sama frekvencijaf data u hercima ili kruzna ucestanostω0 data u radijanima u sekundi. Spektar analognogperiodicnog signala je diskretan (poseduje komponente samo na frekvencijama harmonika) sa komponentamana frekvencijamaf = 0 (DC komponenta),f = f0, f = 2 f0, f = 3 f0, itd. sve do beskonacnosti. Spektarneprekidnog periodicnog signala je bogatiji na niskim frekvencijama (komponente koje se znacajno razlikujuod nule su na niskim frekvencijama) i u konkretnom slucaju uocavamo da (slika 3.3) su komponente spektraCk zak≥ 10 zanemarljive.

Dakle, jos jednom da naglasimo, tek beskonacno dug Furijeov red je identican samoj periodicnoj neprekid-

25

noj funkciji xp(t). Odsecanjem reda na konacnu duzinu N dobija se nova funkcijaxaN(t) koja manje ili viseuspesno aproksimira polaznu funkcijuxp(t) zavisno od vrednostiN tj. da li su izostavljene komponente spektra(Furijeovog reda) znacajno razlicite od nule.

Sa slike (3.4) se uocava dobro poklapanje funkcijexp(t), koja je na slici prikazana samo na osnovnojperiodi a naravno da se periodicno ponavlja na intervalu[−∞,+∞] , sa funkcijomxa30. Bez izvod-enja dokazanavescemocinjenicu da jexaN najbolja srednjekvadratna aproksimacija funkcijexp(t) za datoN.

Na slici 3.5 prikazane su aproksimacione funkcijexaN, za razlicite duzine Furijeovog reda.

−2 0 2 4 6 8 10−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

N=3N=6N=9

t

x aN

Sl. 3.5: Aproksimacione funkcijexaN(t) zaN = 3,6 i 9.

Na slici 3.6 je prikazano odstupanje aproksimacione funkcije dobijene skracivanjem Furijeovog reda od”idealne” funkcijexp(t).

−2 0 2 4 6 8 10−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

N=3N=6N=9

t

x p(t

)−

x aN

Sl. 3.6: Greska aproksimacije funkcijexp(t) zaN = 3,6 i 9.

Da bi grafik greske bio uocljiviji na slici 3.7 je prikaza greska na osnovnoj periodi signala. Sa grafika seuocava znacajno smanjivanje greske aproksimacije za malo povecanje duzine Furijeovog reda. ZaN > 10 ovajefekat bi bio znacajno manji jer su na tom delu spektra komponente vec bliske nuli. U konkretnom primeruvidimo da se umesto beskonacne sume prostoperiodicnih funkcija (koja je identicna posmatranom signalu)signal uspesno mo ze predstaviti i sumom samo prvih desetak harmonika.

U praksi signale najcesce prikupljamo na nekom senzoru. Neka je zacetiri sekunde pristigao signal oblikakao na slici 3.8.

Pre merenjat < 0) i po zavrsenom merenjut > 4) ne posedujemo informaciju o signalu (neka je rec o


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

N=3N=6N=9

t

x p(t

)−

x aN

Sl. 3.7: Greska aproksimacije funkcijexp(t) zaN = 3,6 i 9.

−2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t

x(t)

Sl. 3.8: Signalx(t) - neperiodican

pojavi koja je neponovljiva, npr. neka je u pitanju signal zemljotresa zabelezen na seizmografu). Da bi videlispektar ovog signala koristili bi vec opisani matematicki aparat i dobili bi identicni rezultat kao i sa signalomxp(t). U ovom slucaju na osnovnoj periodi 0≤ t ≤ 4, imali bi poklapanje Furijeovog reda i funkcijex(t) zak→ ∞. Med-utim zat < 0 i t > 4 signalx(t) ima vrednost jednaku nuli dok Furijeov red daje funkciju koja seperiodicno ponavlja, kaosto je prikazano na slici 3.9.

KoeficijentiCk u opisanom primeru su odred-eni programom koji je prilozen u nastavku. Pomocu njega sunacrtane i slike 3.3 i 3.4 zaN = 30. Iza znaka procenat u MATLAB

R©-u sledi komentar.

t=sym(’t’)%definise simbolicku promenljivu tN=3; %duzina Furijeovog redaT=4;%periodak=[-N:N]’;% vektor indeksa koeficijenata C_k. ’ na kraju go vori% o transponovanju vektora tj. k je vektor kolonapom=-j*2*pi/T;%pomocna promenljiva da ubrza izracunavan je ...C_ksym=(1/T)*int((tˆ2-4*t+4)*exp(-pom*k*t),t,0,T);% Paket za simbolickuanalizu omogucava izracunavanje integrala.Prvi argument je%funkcija koja se integrali ,integrali se po promenljivoj t -drugi%argument, integral je odredjeni sa granicama integraljen ja 0 i T.C_k=double(C_ksym);% Simbolicke vrednosti smestene u vek tor C_sym se%pretvaraju u brojne vrednosti u formatu double precision

27

−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t

x(t)xaN(t)

Sl. 3.9: Signalx(t) - neperiodican

C_k=C_k’;% U formuli za C_ksym figurise vektor k koji je kolo na, tako%da je i vektor C_ksym kolona. Ovde ga transponujemo da posta ne vektor%vrstafigure %crtanje spektra

subplot(211)stem(k,abs(C_k))gridxlabel(’k’,’Fontsize’,13);ylabel(’Amplitudski spektar’,’Fontsize’,13);legend(’Ckf’)subplot(212)stem(k,angle(C_k))legend(’Ckf’) gridxlabel(’k’,’Fontsize’,13);

ylabel(’Fazni spektar’,’Fontsize’,13);t=[-1:0.01:9]; %vreme, na ovom opsegu cemo crtati signalematrica=exp(-pom*k*t);%pomocna matrica za crtanje signa laf_apr=C_k*mat;% aproksimacija funkcije konacnim Furijeo vim redom duzine% N za svaku vrednost t, izracunava f_apr(t)figure % crtanje signala i njegove aproksimacije

plot(t2,yt2,’r’,’LineWidth’,4)hold on % zadrzava istu sliku da bi naredna naredba crtanja (p lot) novi%signal prikazala na istoj slici.Aktivna je dok se ne pojavi hold offplot(t,f_apr,’k’,’LineWidth’,2)gridlegend(’x(t)’,’Furijeov red’)

xlabel(’t’,’Fontsize’,13);axis([-1 9 -0.1 4.3]);%Matlab sam bira granice za x i y osu osi m ako se%ne zahteva naredbom axis drugacije.Slika ce prikazati sig nale od -1 do% 9 po x osi, na opsegu od -0.1 do 4.3 po y osi

Kao dodatak komentarima prilozenim u samom programu navescemo vrednosti koriscenih promenljivihza slucaj N = 3. Vektork je matrica kolona

k =


-3-2-1

0123

Na pocetku programa se odred-uju koeficijentiCk kao simbolicke vrednosti. Kako u izracuanavanju figurisevektork i ovaj ce biti matrica kolona

C_ksym =

8/(9*piˆ2)2/piˆ28/piˆ2

4/38/piˆ22/piˆ2

8/(9*piˆ2)

U opstem slucaju koeficijentiCk su kompleksni brojevi ali konkretno slucaju rec je ocisto realnim vredno-stimasto ukazuje na prisutnost samo kosinusnog reda jer je posmatrana funkcija parna (sinusni red je prisutankadaCk poseduje i imaginarni deo).

U narednom koraku se ove simbolike vrednosti pretvaraju u brojne (izracunaju se prikazani izrazi) ismesatju u vektorCk, koji posle transponovanja (postaje matrica vrsta) ima vrednost

C_k =

0.0901 0.2026 0.8106 1.3333 0.8106 0.2026 0.0901

Prva 3clana odgovaraju koeficijentimaCk zak = −3,−2,−1, centralniclan vrednosti 1.3333 jeC0, uvekrealne vrednosti i odgovara srednjoj vednosti signala a poslednja 3clana su koeficijentiCk zak = 1,2,3. Danapomenemo da vazi da jeCk = C∗

−k, tj. med-usobno su konjugovano kompleksni. U datom primeru su svikoeficijent realni pa suCk i C−k med-usobno identicni.

Da bi nacrtali aproksimacionu funkciju neophodno je izracunati vrednost Furijeovog reda za svaku vred-nostt. U datom primeru vektort je vrsta sa 1001clanom jer su granice -1 i 9 a korak 0.01. Prakticno za svakuvrednostt treba odrediti vrednost

xa(t) =N

∑k=−N

Ckejkω0t (3.3)

Vidimo da za izracunavanje jedne vrednosti signalaxa(t) treba sumirati proizvod odgovarajucih clanova 2vektora,Ck i Bk = ejkω0t = Bk,t , konkretno na osnovu (3.3) je

xa(t1) = C−3B−3,t1 +C−2B−2,t1 +C−1B−1,t1 + · · ·+C3B3,t1

xa(t2) = C−3B−3,t2 +C−2B−2,t2 +C−1B−1,t2 + · · ·+C3B3,t2

. . .

xa(ti) = C−3B−3,ti +C−2B−2,ti +C−1B−1,ti + · · ·+C3B3,ti

. . .

xa(t1001) = C−3B−3,t1001+C−2B−2,t1001+C−1B−1,t1001+ · · ·+C3B3,t1001

(3.4)

29

Cilj je izbe ’ci upotrebufor petlji sto u slucaju MATLABR©

-a znacajno ubrzava izvrsavanje programa iiskoristiti njegovu mogunost lake manipulacije nad matricama.

Proizvod matrice vrste i matrice kolone je konstanta tj.

[C1 C2 C3] ·

B1

B2

B3

= C1B1 +C2B2 +C3B3 (3.5)

Koeficijenti Ck se koriste pri izracunavanju svake vrednosti signalaxa(t) (za svakot). Da bi dobili vrednostfunkcije xa za sve vrednosti vektorat, vektor vrstuCk pomnozicemo matricomcija se svaka kolona odnosi najednu vrednostti . Prakticno mnozimo 2 matrice

C(1×N) ∗Matrica(N×1001) = x(1×1001)

Na osnovu izraza (3.3) racuna se

[

C−N C−N+1 . . . CN−1 CN]

·

ej(−N)ω0t1 ej(−N)ω0t2 . . . ej(−N)ω0t1001

ej(−N+1)ω0t1 ej(−N+1)ω0t2 . . . ej(−N+1)ω0t1001

ej(−N+2)ω0t1 ej(−N+2)ω0t2 . . . ej(−N+2)ω0t1001

......

...ej(N−1)ω0t1 ej(N−1)ω0t2 . . . ej(N−1)ω0t1001

ej(N)ω0t1 ej(N)ω0t2 . . . ej(N)ω0t1001

(3.6)

Matrica iz izraza (3.6) odgovara promenljivoj Matrica u prilozenom kodu MATLABR©

programa. Dakle, kaorezultat ovog mnozenja dobija se vektor (matrica vrsta) duzine 1001, u programu obelezen saf apr a kojiodgovara aproksimacionoj funkcijixa(t),

Kako je formirana matricaMatrica ? Najjednostavniji pristup, primenjen u programu, svodi senamnozenje matrice kolone (vektork u programu) matricom vrstom (vektort) tj.

k · t =

−N−N+1

...N−1

N

2N+1×1

·[

t1 t2 . . . t1000 t1001]

1×1001 (3.7)

Rezultat ovog matricnog mnozenja je matrica

(−N)t1 (−N)t2 . . . (−N)t1001

(−N+1)t1 (−N+1)t2 . . . (−N+1)t1001

(−N+2)t1 (−N+2)t2 . . . (−N+2)t1001...

......

(N−1)t1 (N−1)t2 . . . (N−1)t1001

(N)t1 (N)t2 . . . (N)t1001

2N+1×1001

(3.8)

koja pomnozena sajω0 predstavlja argument eksponencijalne funkcije i omogucava formiranje matrice izizraza (3.6).

Pretpostavimo sada da je analogni signal prikazan na slici 3.8 odabran frekvencijomFs. Odbirici se navremenskoj osi nalaze na med-usobnom rastojanjuTs = 1/Fs i ima ih ukupnoN, kaosto je dato na slici 3.10.

Vazi da jexd[k] = x((k−1)Ts) za vektore date u MATLABR©

-u. U MATLABR©

-u vektori imaju indeks kojikrece od jedinice (nizx imaclanovex[1],x[2], . . . ,x[N]) a prvi trenutak kada se krece analiza signala je obelzen


0 1 2 3 4

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 Ts

2Ts

3Ts

5Ts

NTs

ab

t

Sl. 3.10: Analogni signalx(t) a) i diskretni signalxd[n] dobijen nje-govim odabiranjem b)

kao nulti. U izrazimacemo za odbirke signalax koristiti oznakex[0],x[1], . . . ,x[N−1] (ima ih ukupnoN) aoni ce u programima biti dati kaox(1),x(2), . . . ,x(N). Pri analizi spektra analognog signala koristili smo izraz3.2

Ck =1T

∫ T

0x(t)e− jkω0t (3.9)

Sada kada posedujemo odbirke signalax(t) iskoristicemo izraz 3.9 uz malo prilagod-avanje istog. Podsetimosecinjenice dace odgovarajucu Furijeov red dati periodicnu funkciju koja se poklapa sa polaznom funkcijomna osnovnoj periodi. Za takav pristup je osnovna periodaT = 4s a na ovom intervalu je smesteno ukupnoNodbiraka, odnosno moze se reci da jeT = NTs. Kako je dobijen diskretni signal u izrazu (3.9) integralce bitizamenjen sumom tako da se dobija

1NTs

N−1

∑i=0

xd[i]e− jkω0(iTs) =

1NTs

N−1

∑i=0

xd[i]e− jk 2π

NTs(iTs) (3.10)

uzevsi u obzir da je diskretizovana vremenska osa pa je sadt zamenjeno saiTs, gde jei ceo broj. KoeficijentimaCk koji odgovaraju analognom signalu odgovaraju koeficijentick

ck =1N

N−1

∑i=0

xd[i]e− jki 2π

N (3.11)

Izraz je nastao na osnovu (3.10) eliminacijomTs ispred sume jer je perioda (T u sekundama, kod analognogsignala) diskretnog signala data celim brojemN posle koga se signal ponavlja. Dakle mozemo reci da na nekinacin koeficijentick ukazuju na spektralni sadrzaj signalaxd.

Po definiciji koeficijenti diskretne Furijeove transformacije signalax dobijaju se iz izraza

Xm =N−1

∑n=0

x[n]e− jmn2πN ,m= 0,1,2, . . . ,N−1 (3.12)

i vidimo da odgovaraju skaliranim vrednostima koeficijenata ck pomnozenim saN - duzinom sekvence. In-verzna diskretna Furijeova transformacija omogucava rekonstrukciju signala iz frekvencijskog domena

x[n] =1N

N−1

∑m=0

x[m]ejmn2πN ,n = 0,1,2, . . . ,N−1 (3.13)

31

Treba primetiti daclan e− jmn2πN (ovo je formula koja predstavlja kompleksne brojeve koji senalaze na je-

dinicnom krugu, jer je moduo uvek jednak jedinici a pod uglom 2πmn/N u odnosu na pozitivni deox ose) sesvodi na cos(mn2π

N )+ j sin(mn2πN ), gde sum,n i N celi brojevi. Sinusna i kosinusna funkcija su periodicne sa

periodom 2π. Najmanji korak je 2π/N tako da na jedinicnom krugu (ugao se krece od 0 do 2π) postoji tacnoNekvidistantnih razlicitih vredosti. Analizom preslikavanjas ravni uz ravan videli smo da se frekvencijska osa( jω osa) preslikava tacno na jedinicni krug. Tacnije odsecak jω ose koji odgovara frekvencijama[−Fs/2,Fs/2]se preslikava na ceo jedinicni krug. Uobicajeno je da se analogni signal najpre filtrira niskofrekventnim fil-trom kako bi se ogranicio spektar signala. U narednom koraku se radi analogno digitalna konverzija pricemufrekvencija odabiranja treba da bude bar dvostruko veca od maksimalne frekvencije u spektru signala. Uzravni, tacki ω = 0 iz s ravni odgovara tacka z = ej0 = 1, dok se tacka ωs/2 = 2π fs/2 = π fs preslikava uz= ejπ =−1. Diskretna Furijeova transformacija se u MATLAB

R©-u izracunava naredbomfft. Naziv je nastao

od izrazaFastFourier Transformtj. rece je o brzoj Furijeovoj transformaciji. Brza Furijeova transformacijanije neka nova transformacija, vec je rec o brzom algoritmu za izracunavanje diskretne Furijeove transforma-cije. Izracunavanje se svodi na upotrebu mnozenja i sabiranja te lako moze biti implementirano na bilo komprocesoru.

Zadatak 41 Izracunati diskretnu Furijeovu transformaciju signalax = {1,2,3,−2,0,4,1} i nacrtati ampli-tudski i fazni spektar.

Resenje:

Signalx ima duzinuN = 7, gde jex[0] = 1,x[1] = 2, . . . ,x[6] = 1. Na osnovu izraza (3.12) zam= 0 dobijaseclanX0

X0 =N−1

∑n=0

x[n]e− jmn2πN =

6

∑n=0

x[n]e− j0 = x[0]+x[1]+x[2]+ · · ·+x[6]

= 1+2+3+(−2)+0+4+1 = 9

(3.14)

Bez obzira na duzinuN i vrednosticlanova nizax, X0 se uvek dobija kao prosta suma svihclanova nizax, takoda je uvek rec o realnoj vrednosti a koja je srazmerna vrednosti DC komponente signalax.

Zam= 1 se dobija

X1 =6

∑n=0

x[n]e− jn 2π7 = x[0]e− j0 +x[1]e− j 2π

7 +x[2]e− j22π7 + · · ·+x[6]e− j62π

7

= 1+2(cos(2π7

− j sin(2π7

))+3(cos(4π7

)− j sin(4π7

))

−2(cos(6π7

)− j sin(6π7

))+4(cos(10π

7− j sin(

10π7

))+(cos(12π

7)− j sin(

12π7

))

= 1+2(0.6235− j0.7818)+3(−0.2225− j0.9749)−2(−0.9010− j0.4339)

+4(−0.2225+ j0.9749)+(0.6235+ j0.7818)

= 3.1148+ j1.0609

(3.15)

Zam= 2

X2 =6

∑n=0

x[n]e− j2n2π7 = x[0]e− j0 +x[1]e− j 4π

7 +x[2]e− j 8π7 + · · ·+x[6]e− j 24π

7

= 1+2(−0.2225− j0.9749)+3(−0.9010+ j0.4339)−2(0.6235+ j0.7818)

+4(−0.9010− j0.4339)+(−0.2225+ j0.9749)

= −7.2213− j2.9725

(3.16)

Zam= 3


X3 =6

∑n=0

x[n]e− j3n2π7 = e− j0 +2e− j 6π

7 +3e− j 12π7

+(−2)e− j 18π7 +4e− j 30π

7 +e− j 36π7

= 1+2(−0.9010− j0.4339)+3(0.6235+ j0.7818)−2(−0.2225− j0.9749)

+4(0.6235− j0.7818)+(−0.9010+ j0.4339)

= 3.1066+ j0.7341

(3.17)

Zam= 4

X4 =6

∑n=0

x[n]e− j4n2π7 = e− j0 +2e− j 8π

7 +3e− j 16π7

+(−2)e− j 24π7 +4e− j 40π

7 +e− j 48π7

= 1+2(−0.9010+ j0.4339)+3(0.6235− j0.7818)−2(−0.2225+ j0.9749)

+4(0.6235+ j0.7818)+(−0.9010− j0.4339)

= 3.1066− j0.7341

(3.18)

Zam= 5

X5 =6

∑n=0

x[n]e− j5n2π7 = e− j0 +2e− j 10π

7 +3e− j 20π7

+(−2)e− j 30π7 +4e− j 50π

7 +e− j 60π7

= 1+2(−0.2225+ j0.9749)+3(−0.9010− j0.4339)−2(0.6235− j0.7818)

+4(−0.9010+ j0.4339)+(−0.2225− j0.9749)

= 3.1066− j0.7341

(3.19)

Poslednjiclan zam= 6 ima vrednost

X6 =6

∑n=0

x[n]e− j6n2π7 = e− j0 +2e− j 12π

7 +3e− j 24π7

+(−2)e− j 36π7 +4e− j 60π

7 +e− j 72π7

= 1+2(0.6235+ j0.7818)+3(−0.2225+ j0.9749)−2(−0.9010+ j0.4339)

+4(−0.2225− j0.9749)+(0.6235− j0.7818)

= 3.1148− j1.0609

(3.20)

Svi koeficijenti diskretne Furijeove transformacije su dati u tabeli3.1.

Amplitudski i fazni spektar prikazani su na slikama 3.11 i 3.12, respektivno.

Da objasnimo dobijeni rezultat. Poznato je da je spektar periodicnog analognog signala diskretan. Nagrafiku spektra nax osi se nalazi frekvencija (predstavljena rednim brojem harmonika). Razmak izmed-u dvesusedne komponente diskretnog spektra iznosiω0 = 2π f0 = 2π/T, gdeT predstavlja periodu signala. Spektarje diskretan ali poseduje beskonacno puno harmonika tj. na grafiku se frekvecijska osa prostire od 0 do∞,nezavisno od togasto je spektar bogatiji nan niskim frekvencijama tj. iznad neke frekvencije komponentespektra (harmonici) imaju vrednost blisku nuli. Aperiodicni analogni signal moze da se posmatra kao speci-jalni slucaj periodicnog signalacija periodaT → ∞. U tom slucaju razmak izmed-u dva harmonikaω0 = 2π/Ttezi nuli tako da aperiodicni signal ima kontinualni spektar.

Kada je u pitanju diskretni signal, posmatranjem izraza za diskretnu Furijeovu transformaciju (3.12),vidimo da je spektar diskretan jer se na frekvencijskoj osi (koja je se sada nalazi na jedinicnom krugu) ko-

33

Tab. 3.1: Koeficijenti diskretne Furijeove transformacijeXk

k Xk |Xk| ]{Xk}[rad]

0 9+j0 9 01 3.1148 + j1.0609 3.2905 0.32832 -7.2213 - j2.9725 7.8092 -2.75113 3.1066 + j0.7341 3.1921 0.23214 3.1066 - 0.7341 3.1921 -0.23215 -7.2213 + 2.9725 7.8092 2.75116 3.1148 - 1.0609 3.2905 -0.3283

−3 −2 −1 0 1 2 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

k

|X|

Sl. 3.11: Amplitudski spektar signalax

−3 −2 −1 0 1 2 3−3

−2

−1

0

1

2

3

k

]{X}

[ra

d]

Sl. 3.12: Fazni spektar signalax

riste samo tacke koje su pod uglom koji je celobrojni umnozak vrednosti 2π/N gdeN predstvalja duzinu nizax, kako je prikazano na slici 3.13.


−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

W10

W11

W12

W13

W14

W15

W16

Sl. 3.13:

Zato je najbolje pre izracunavanja diskretne Furijeove transformacije nizax duzineN, izracunati sve vre-dnostiWi j (ima ihN). U konkretnom slucaju one iznose

W10 = 1+ j0W11 = 0.6235− j0.7818W12 = −0.2225− j0.9749W13 = −0.9010− j0.4339W14 = −0.9010+ j0.4339W15 = −0.2225+ j0.9749W16 = 0.6235+ j0.7818

(3.21)

i pored-ane su na jedinicnom krugu u smeru kazaljke nacasovniku (negativni smer) jer je argument eksponen-cijalne funkcije negativan. Izraz (3.12) napisacemo u funkciji promenljiveWi j kao

Xm =N−1

∑n=0

x[n]e− jmn2πN =

N−1

∑n=0

x[n]Wmn ,m= 0,1,2, . . . ,N−1 (3.22)

tako da se zam= 1 dobija

X1 =N−1

∑n=0

x[n]Wmn = x[0]W10+x[1]W11+x[2]W12+x[3]W13+x[4]W14+x[5]W15+x[6]W16 (3.23)

gde je ugao izmed-u dva susedna parametraW vrednosti 2π/7, kao na slici 3.13.

X2 se odred-uje na osnovu sledeceg izraza

X2 =N−1

∑n=0


a vrednostiW parametara su prikazane na slici 3.14. Dakle opet koristimoistih 7 vrednosti samo je ugaoizmed-u dve susedne vrednosti sada 4π/7.

Slicno je

X3 =N−1

∑n=0


35

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

W20

W24

W21

W25

W22

W26

W23

Sl. 3.14:

a slika 3.15 pokazuje pozicijuW parametara

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

W30

W35

W33

W31

W36

W34

W32

Sl. 3.15:

Gornja polovina jedinicnog kruga odgovara pozitivnim frekvencijama a donja polovina negativnim. Kadaje duzina niza kao u ovom primeru neparan brojN, s obzirom da je prva tacka uvek na lokazijiz = 1 , stoodgovara frekvenciji 0, ostaje po(N− 1)/2 tacaka na pozitivnim tj na negativnim frekvencijama. Realninizovi imaju amplitudski spektar koji je parna funkcijasto je posledicacinjenice da suX1 = X∗

6 , X2 = X∗5 i

X3 = X∗4 komponenete na frekvencijama suprotnog znaka med-usobno konjugovano kompleksne. Dakle, treba

izracunatiX0 koji opisuje DC komponentu i jos (N−1)/2 komponenti koje opisuju pozitivne frekvencije akomponente na negativnim frekvencijama imaju konjugovanokompleksne vrednosti.

Dakle, diskretni signal ima diskretni spektar odred-en brzom Furijeovom transformacijom. Za razliku odspektra periodicnog analognog signala koji ima beskonacnom komponenti spektar diskretnog signala duzzineN ima tacno (N + 1)/2 komponneti (ukljucujuci i DC komponentu). Sa slika 3.13, 3.14 i 3.15 vidimo dane posedujemo informaciju (kada je nizx neparne duzine) o komponenti signala na frekvencijiFs/2 jer njojodgovara ugaoπ, tj. u z ravni se nalazi na lokacijiz= −1 a nijednaWi j tacka se ne nalazi na toj lokaciji.


Drugim recima, spektar diskretnog signala ima komponente na frekvencijama iz opsega[0,Fs/2]. Brojkomponenti na ovom opsegu je fiksiran na(N + 1)/2. Dakle frekvencijska rezolucija (razmak izmed-u dvesusedne komponente) zavisi od duzine nizaN. Za vece N treba izracunati vise komponentiXk, sto zahtevaizracunavanje vise mnozenja i sabiranja ali sa druge strane dobijamo bolju informaciju o spektru signala (navise frekvencija znamo kakav je sadrzaj tj. povecali smo frekvencijsku rezoluciju). U praksi se desava da signalkoji prikupljamo sa senzora ima ograniceno trajanje (npr. zemljotres) a samim tim za fiksiranu frekvencijuodabiranja posedujemo ogranicen broj odbiraka a taj broj definise frekvencijsku rezoluciju. Jedini nacin dapovecamo frekvencijsku rezoluciju je da nizx prosirimo nazeljenu duzinu nulama (ili odbircima samog signalax) i da za tu prosirenu verziju niza izracunamo diskretnu Furijeovu transformaciju.

Zadatak 42 Izracunati diskretnu Furijeovu transformaciju i nacrtati amplitudski i fazni spektar signalay = {1,2,3,−1,−2,−3,0,−2}.

Resenje: Signaly ima duzinuN = 8. U frekvencijskom domenu je na osnovu izraza (3.12) predstvaljen sa

Ym =N−1

∑n=0

y[n]e− jmn2πN =

7

∑n=0

y[n]e− jmnπ4 ,m= 0,1,2, . . . ,7 (3.26)

Kako sum i n iz skupa celih brojeva susedne komponente na jedinicnom krugue− jmnπ4 su med-usobno udaljene

za ugaoπ/4, kako je prikazano na slici 3.16.

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

W10

W11

W12

W13

W14

W15

W16

W17

π /4

Sl. 3.16:

Na osnovu izraza (3.26) zam= 0 dobija seclanY0

Y0 =N−1

∑n=0

y[n]e− jmn2πN =

7

∑n=0

y[n]e− j0 = y[0]+y[1]+y[2]+ · · ·+y[7]

= 1+2+3+(−1)+(−2)+(−3)+0+(−2) = −2

(3.27)

koji ukazuje na DC komponentu signalay.

Zam= 1 se dobija

37

Y1 =7

∑n=0

y[n]e− jn 2π8 = y[0]e− j0 +y[1]e− j 2π

8 +y[2]e− j22π8 + · · ·+y[7]e− j72π

8

= 1+2(

√2

2− j

√2

2)+3(− j)+(−1)(−

√2

2− j

√2

2)+(−2)(−1)

+(−3)(−√

22

+ j

√2

2)+0( j)+(−2)(

√2

2+ j

√2

2)

= 5.8284− j7.2426

(3.28)

U prethodnom primeru smo videli da izraz (3.28) moze biti dat u obliku

Y1 =N−1

∑n=0

y[n]Wmn = y[0]W10+y[1]W11+y[2]W12+ · · ·+y[6]W16+y[7]W17 (3.29)

gde parametriW1n prikazani na slici 3.16 a razmak izmed-u dva susednaclana iznosiπ/4 i imaju vrednost

W10 = 1+ j0

W11 = 0.7071− j0.7071=√

22 − j

√2

2W12 = 0− j = − j

W13 = −0.7071− j0.7071= −√

22 − j

√2

2W14 = −1+ j0 = −1

W15 = −0.7071+ j0.7071= −√

22 + j

√2

2W16 = 0+ j = j

W17 = 0.7071+ j0.7071=√

22 + j

√2

2

(3.30)

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

W20

=W24

W21

=W25

W22

=W26

W23

=W27

π /2

Sl. 3.17:

Zam= 2 izracunavamo

Y2 =7

∑n=0

y[n]e− j2n2π8 = y[0]e− j0 +y[1]e− j22π

8 +y[2]e− j42π8 + · · ·+y[7]e− j142π

8

y[0]W20+y[1]W21+y[2]W22+ · · ·+y[6]W26+y[7]W27

= 1+2(− j)+3(−1)+(−1)( j)+(−2)(1)+(−3)(− j)+0(−1)+(−2)( j)

= −4− j2

(3.31)


pri cemu se susedne komponente nizaW2n nalaze pod uglom odπ/2 radijana, kako je pokazano na slici 3.17.

Zam= 3 se dobija

Y3 =7

∑n=0

y[n]e− j3n2π8 = y[0]e− j0 +y[1]e− j32π

8 +y[2]e− j62π8 + · · ·+y[7]e− j212π

8

y[0]W30+y[1]W31+y[2]W32+ · · ·+y[6]W36+y[7]W37

= 1+2(−√

22

− j

√2

2)+3( j)+(−1)(

√2

2− j

√2

2)+(−2)(−1)

+(−3)(

√2

2+ j

√2

2)+0(− j)+(−2)(−

√2

2+ j

√2

2)

= 0.1716− j1.2426

(3.32)

pri cemu se susedne komponente nizaW3n nalaze pod uglom od 3π/4 radijana, kako je pokazano na slici 3.18.

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

W30

W33

W36

W31

W34

W37

W32

W35

3π /4

Sl. 3.18:

Zam= 4 racunamo poslednji koeficijent koji se mora odrediti po definiciji kao

Y4 =7

∑n=0

y[n]e− j4n2π8 = y[0]e− j0 +y[1]e− j42π

8 +y[2]e− j82π8 + · · ·+y[7]e− j282π

8

y[0]W40+y[1]W41+y[2]W42+ · · ·+y[6]W46+y[7]W47

= 1+2(−1)+3(1)+(−1)(−1)+(−2)(1)+(−3)(−1)+0(1)+(−2)(−1)

= 6+ j0 = 6

(3.33)

pri cemu se susedne komponente nizaW4n nalaze pod uglom odπ radijana, kako je pokazano na slici 3.19.

Za koeficijente koji odgovaraju negativnim frekvencijama vazi

Y5 = Y∗3 = 0.1716+ j1.2426

Y6 = Y∗2 = −4+ j2

Y7 = Y∗1 = 5.8284+ j7.2426

(3.34)

Svi clanovi diskretne Furijeove transformacije prikazani su utabeli 3.2

Amplitudski i fazni spektar prikazani su na slikama 3.20 i 3.21, respektivno.

39

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

W40

=W42

=W44

=W46

W41

=W43

=W45

=W47

π

Sl. 3.19:

Tab. 3.2: Koeficijenti diskretne Furijeove transformacijeYk

k Yk |Yk| ]{Yk}[rad]

0 -2+j0 2 3.14161 5.8284 - j7.2426 9.2966 -0.89322 -4.0000 - j2 4.4721 -2.67793 0.1716 - j1.2426 1.2544 -1.43364 6+j0 6 05 0.1716 + j1.2426 1.2544 1.43366 -4+j2 4.4721 2.67797 5.8284 + j7.2426 9.2966 0.8932

−3 −2 −1 0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10Amplitudski spektar

k

|Y|

Sl. 3.20: Amplitudski spektar signalay


−3 −2 −1 0 1 2 3 4

−3

−2

−1

0

1

2

3

Fazni spektar

k

]{Y}[

rad]

Sl. 3.21: Fazni spektar signalay

Dakle kada niz ima duzinu N koja je parni broj, treba odrediti(N + 2)/2 clanova diskretne Furijeovetransformacije koji odgovaraju pozitivnim frekvencijama. Preostalih(N−2)/2 clanova su konjugovano kom-pleksne vrednosti odgovaraucih clanova sa iste ali pozitivne frekvencije. Za parnoN imamo i podatak ospektralnom sadrzaju na frekvencijiFs/2 i to je vredmostYN/2, sto nije bio slucaj kod niza neparne duzine.

S obzirom na veliki znacaj diskretne Furijeove transformacije u obradi digitalnih signala, DSP (DigitalSignal Processing) toolboxsadrzi naredbufft za njeno izracunavanje. Izracunavanje i crtanje spektra signalaiz zadatka 42 je izvedeno MATLAB

R©programom

y=[1 2 3 -1 -2 -3 0 -2]’;Y=fft(y)ampY=abs([Y(6:8);Y(1:5)]);fazY=angle([Y(6:8);Y(1:5)]);figurestem([-3:4],ampY,’r’,’LineWidth’,3)gridxlabel(’k’)ylabel(’amp’)title(’Amplitudski spektar’)axis([-3.1 4.1 0 10])figurestem([-3:4],fazY,’b’,’LineWidth’,3)gridxlabel(’k’)ylabel(’faz’)title(’Fazni spektar’)axis([-3.1 4.1 -3.3 3.3])

Niz y iz vremenskog domena u frekvencijskom domenu je predstavljen nizomY. Kako je duzina nizaN = 8,prvih 5 odbiraka odgovara pozitivnim a preostala 3 negativnim frekvencijama. Rezultat ima sledeci izgled

Y =

-2.0000 + 0.0000i

41

5.8284 - 7.2426i-4.0000 - 2.0000i

0.1716 - 1.2426i6.0000 + 0.0000i0.1716 + 1.2426i

-4.0000 + 2.0000i5.8284 + 7.2426i

Amplitudski spektar signala je parna funkcija (f (−k) = f (k), sto za ovaj vektor nije zadovoljeno jer su podacivezani za negativne frekvencije smesteni uclanovimaY(5),Y(6) i Y(7). Da se to prevazid-e ubacena je naredbaampY=abs([Y(6:8);Y(1:5)]);. Svi vektori (nizovi) u MATLAB

R©-u imaju elementeciji indeks krece od 1,

pa je kod crtanja spektra formiran vektor koji se odnosi na indeks (od -3 do 4, ukupno 8. Akocemo bitimatematicki precizni ovo i nije parna funkcija jer imamoclanY(4) na pozitivnoj frekvenciji koji nema parnjakana negativnoj frekvenciji. ZaN = 7, tj. za nizove neparne duzine amplitudski spektar je zaista parna funkcijajer poseduje simetriju odnosno indeksk je u opsegu[−3,3]).

Kako negativne frekvencije realno ne postoje, dovoljno je crtati samo spektar na pozitivnim frekvencijama.Za nizy iz zadatka 42 amplitudski spektar moze biti dat u obliku kao na slici 3.22. Podrazumeva se da je faznispektar neparna funkcija tako da i on moze biti prikazan samo na pozitivnim frekvencijamakao na slici 3.23

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10Amplitudski spektar

k

|Y k|[

rad]

Sl. 3.22: Amplitudski spektar signalay


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

−3

−2

−1

0

1

2

3

Fazni spektar

k

]{Y}[

rad]

Sl. 3.23: Fazni spektar signalay

3.1 Diskretna Furijeova transformacija i konvolucija

Linearna konvolucija signalax duzine N i signalay duzine M je signalg = x∗ y duzine N + M − 1.U poglavlju xxx(radjeno ranije na casu i bice uneseno u zbirku) je pokazano kako se linearna konvolucijaizracunava u vremenskom domenu. Kao i kod analognih signala gde se konvolucija u frekvencijskom domenu(primenom Laplasove transformacije) svodila na mnozenje, i u slucaju digitalnih (diskretnih) signala konvolu-cija posle primene diskretne Furijeove transformacije se svodi na mnozenje. Naredbafft kao izlaz daje niz kojije iste duzine kao i ulazni signal. Za mnozenje vektorax[i], i = 1,2, . . . ,N i y[i], i = 1,2, . . . ,M je potrebno daoni budu iste duzine. Dakle, kako znamo da resenje predstavlja niz duzineM +N−1, oba ulazna signalacenajpre biti produzena nulama na ovu duzinu, formiranjem nizovaxp[i] i yp[i].

xp[i] =

{

x[i] za i = 0,1, . . . ,N−1

0 za i = N,N+1, . . . ,N+M−2(3.35)

yp[i] =

{

y[i] za i = 0,1, . . . ,M−1

0 za i = M,M +1, . . . ,N+M−2(3.36)

U drugoj fazi se odred-uje diskretna Furijeova transformacija oba niza.

Xp = F{xp[k]}Yp = F{yp[k]}

(3.37)

Sledi mnozenje dva vektora (nije rec o matricnom mnozenju, vec je rec o med-usobnom mnozenju odgo-varajucih clanova,sto se u MATLAB

R©-u izvodi naredbom.∗)

G = Xp ·Yp (3.38)

koje daje vrednost konvolucije u frekvencijskom domenu. Vrednost konvolucije u vremenskom domenu dobi-jamo inverznom diskretnom Furijeovom transformacijom.

g[k] = F−1{G} ,k = 0,1,2, . . . ,N+M−1 (3.39)

Zadatak 43 Koristeci MATLABR©

odrediti konvoluciju signalax = {1,2,3,5} i y = {2,4,6}.

3.1. Diskretna Furijeova transformacija i konvolucija 43

Resenje:

Konvolucija je po gore opisanom postupku odred-ena programom

x=[1 2 3 5] %N=4y=[2 4 6] %M=3x_p=[x 0 0] % prosiren niz xy_p=[y 0 0 0] % prosiren niz yX_p=fft(x_p) Y_p=fft(y_p)G=X_p.*Y_p % mnozenje svaki sa svakimg=ifft(G) % inverzna fft

koji kao rezultat daje

x =

1 2 3 5

y =

2 4 6

x_p =

1 2 3 5 0 0

y_p =

2 4 6 0 0 0

X_p =

Columns 1 through 4

11.0000 + 0.0000i -4.5000 - 4.3301i 3.5000 + 0.8660i -3.0000 + 0.0000i

Columns 5 through 6

3.5000 - 0.8660i -4.5000 + 4.3301i

Y_p =

Columns 1 through 4

12.0000 + 0.0000i 1.0000 - 8.6603i -3.0000 + 1.7321i 4.0000 + 0.0000i

Columns 5 through 6

-3.0000 - 1.7321i 1.0000 + 8.6603i

G =1.0e+02 *


Columns 1 through 4

1.3200 + 0.0000i -0.4200 + 0.3464i -0.1200 + 0.0346i -0.1200 + 0.0000i

Columns 5 through 6

-0.1200 - 0.0346i -0.4200 - 0.3464i

g =

2.0000 8.0000 20.0000 34.0000 38.0000 30.0000

Provericemo rezultat izracunavanjem u vremenskom domenu naredbomconv.

x=[1 2 3 5] %N=4y=[2 4 6] %M=3g=conv(x,y)

sto daje

x =

1 2 3 5

y =

2 4 6

g =

2 8 20 34 38 30

4

Kontinualno-diskretne transformacije

1. Za kolo sa slike 4.1 odrediti prenosnu funkcijuG =u2

u1u z domenu i simulirati kolo sa slike:

(a) Transformacijom izvoda

(b) Impulsno-invarijatnom transformacijom

(c) Bilinearnom transformacijom;

ako jeT = 0.1 s iL/R= 2 s.

R

L L

Ru1

+

−

u2

+

−

i2

i1

ia

ua

Sl. 4.1:

Resenje:

Kolo resavamo primenom Laplasove transformacije, u frekvencijskom domenu. Usvojicemooznacavanje da npr. promenljivoju1(t) u vremenskom domenu odgovaraU1(s) u frekvencijskomdomenu. Kroz otpornikR i kalemL u desnom delu kola tece ista strujai2, tj. vazi

I2 (s) =U2 (s)

R=

Ua (s)−U2 (s)sL

(4.1)

U2 (s)sL= RUa (s)−RU2 (s)

U2 (s)(sL+R) = RUa (s)

Ua (s) = U2 (s)R+sL

R(4.2)

Struja kroz otpornik ima vrednost

Ia (s) =Ua (s)

R(4.3)

45

46 4. Kontinualno-diskretne transformacije

dok se struja na ulaznom delu kola moze odrediti iz izraza

I1 (s) =U1 (s)−Ua (s)

sL(4.4)

Na osnovu prvog Kirhofovog zakona za centralnicvor vazi

I1 (s) = Ia (s)+ I2 (s) (4.5)

sto dato preko ulaznog i izlaznog napona poprima oblik

U1 (s)−Ua (s)sL

=Ua (s)

R+

Ua (s)−U2 (s)sL

(4.6)

Levu i desnu stranu izraza (4.6) mnozimo sasRL

RU1 (s)−RUa (s) = sLUa (s)+RUa (s)−RU2 (s)

Sred-ivanjem ovog izraza i smenomUa(s) na osnovu (4.2)se dobija

RU1 (s)+RU2 (s) = (2R+sL)U2 (s)R+sL

R(4.7)

Izraz (4.7) mnozimo saR

R2U1 (s)+R2U2 (s) = U2 (s)(

2R2 +2sRL+RsL+s2L2) (4.8)

cime se dobijaR2U1 (s) = U2 (s)

(

R2 +3sRL+s2L2) (4.9)

Prenosna funkcija analognom kola (odnos izlaznog i ulaznognapona, prakticno je rec o naponskompojacanju) je data izrazom

U2 (s)U1 (s)

=R2

R2 +3sRL+s2L2 =1

1+3sLR +s2 L2

R2

odnosno, uzevsi u obzir date vrednosti parametara kola, dobija se

U2 (s)U1 (s)

=1

1+6s+4s2 (4.10)

Amplitudska karakteristika ovog sistema prikazana je na slici 4.2.

Impulsni odziv ovog sistema prikazan je na slici 4.3. Diskretne mreze mogu imati beskonacni impul-sni odziv -IIR (rekurzivni) ili konacni impulsni odziv - FIR (nerekurzivni). FIR sistemi se projektujudirektno uz domenu i ne mogu biti dobijeni transformacijama krenuvsi od prenosne funkcije nekoganalognog sistema. Primenom analogno-diskretnog preslikavanja prenosna funkcija analogne mreze sepreslikava u odgovarajucu IIR prenosnu funkciju. Prakticno se kompleksnas ravan preslikava u kom-pleksnuz ravan.

Preslikavanje iz kontinualnog prostora (s ravan) u diskretni prostor (z ravan) treba da ispuni odred-enezahteve:

• Imaginarna osa (jω osa) izs ravni se preslikava na jedinicni krug uz ravni.

• Levas-poluravan se preslikava u unutrasnjost jedinicnog kruga uz ravni.

47

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ω

|H(jω

)|

Sl. 4.2: Amplitudska karakteristika analognog sistema

0 5 10 15 200

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

t

h(t)

Sl. 4.3: Impulsni odziv analognog sistema

(a) Transformacija izvoda:

Kontinualne mreze su jednoznacno opisane diferencijalnim jednacinama sa konstantnim koeficije-ntima koji zavise od parametara same mreze oblika

N

∑k=0

bN−kdN−ky(t)

dt(N−k)=

M

∑k=0

aM−kd(M−k)x(t)

dt(M−k)(4.11)

gde subi i a j konstantni koeficijenti. Diskretizacija analogne mreze zasniva se na transformacijidiferencijalne jednacine diskretizacijom izvoda unazad na sledeci nacin


dy(t)dt

↔ 1T

[y[n]−y[n−1]]

d2y(t)dt2

↔ 1T

[

dy(t)dt

− dy(t −1)

dt

]

=1T

[

1T

(y[n]−y[n−1])− 1T

(y[n−1]−y[n−2])

]

=1

T2 [y[n]−2y[n−1]+y[n−2]]

...

(4.12)

Zamenom ovih izvoda u diferencijalnu jednacinu (4.11) dobija se rekurzivna diferencna jednacinakoja opisuje diskretnu mrezu sa beskonacnim impulsnim odzivom

N

∑k=0

bky[n−k] =M

∑k=0

akx[n−k] (4.13)

Uzevsi u obzir osobine Laplasove iz transformacije prvoj jednacini iz izraza (4.12) odogovara veza

s=1T

(

1−z−1) (4.14)

odnosno (pogledati osobine Laplasove transformacije: izvod iz vremenskog domena se pretvara umnozenje sasu frekvencijskom domenu)

z=1

1−sT(4.15)

Na osnovu izraza (4.14) i (4.15) se moze uociti da se imaginarna osa izs ravni preslikava uz ravanna krug poluprecnika 0.5 sa centrom u (0.5,0). Kaosto vidimo preslikavanje izvoda ne ispunjavaprvi od dva uslova koje analogno-diskretne transformacijetreba da zadovolje.

Prenosna funkcija diskretne mreze bice dobijena uvod-enjem smene date izrazom (4.14)

U2 (z)U1 (z)

=1

1+6 1T (1−z−1)+4 1

T2 (1−z−1)2 =

1

4 1T2 (1−z−1)2 +6 1

T (1−z−1)+1

=T2

4(1−z−1)2 +6T (1−z−1)+T2

(4.16)

U1 (z)T2 = 4(

1−2z−1 +z−2)U2 (z)+6T(

1−z−1)U2 (z)+T2U2 (z)

= 4U2 (z)−8U2 (z)z−1 +4U2 (z)z−2 +6TU2 (z)−6TU2 (z)z−1 +T2U2 (z)

U2 (z)(

4+6T +T2) = U1 (z)T2 +U2 (z)z−1 (8+6T)−4U2 (z)z−2

smenomT = 0.1 se dobija

U2 (z)U1 (z)

=z2

400−860z+461z2 =1/461

1− 860461z−1 + 400

461z−2(4.17)

Na slici 4.4 je prikazan impulsni odziv diskretnog sistema dobijen preslikavanjem izvoda.

Amplitudska karakteristika diskretnog sistema je prikazana na slici 4.5.

Uobicajeno je da se prenosna funkcija diskretne mreze daje kao odnos polinoma po promenljivojz−1, s obzirom daclan z−k ima fizicku interpretaciju tj. ukazuje na kasnjenje diskretnog signalaza k odbiraka (zak taktnih intervala). Sve naredbe u MATLAB

R©-u koje se odnose na obradu

diskretnih (digitalnih) signala ocekuju da kod navod-enja koeficijenata prenosne funkcije sistemakonstanta polinoma iz imenioca ima vrednost jedan, kao u izrazu (4.17).

49

0 5 10 15 200

0.05

0.1

0.15

0.2

0 50 100 150 2000

0.05

0.1

0.15

0.2

h

th(

t)

n

Sl. 4.4: Impulsni odziv analognog sistema a) i diskretnog sistema b).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

4

5

6

Normalizovana fekvencija

|H(e

jω)|

Sl. 4.5: Amplitudska karakteristika diskretnog sistema.

(b) Impulsno-invarijantna trasnformacija:

Impulsno-invarijantna trasnformacija kontinualne mreze u odgovarajucu diskretnu mrezu se zan-siva na diskretizaciji impulsnog odziva kontinualne mreze. U diskretnim trenucima vremena(celobrojni umnozci perioda odabiranjakTs) impulsni odziv diskretne mreze ima vrednost kojaje identicna impulsnom odzivu kontinualne mreze u tim trenucima. Impulsni odzivhc(t) kon-tinualne mreze je inverzna Laplasova transformacija prenosne funkcijete mreze Hc(s), odnosnohc(t) = L −1{Hc(s)}.Inverzna Laplasova transformacija prenosne funkcije kontinualne mreze se oded-uje razvojem uparcijalne razlomke (pretpostavicemo da je zadovoljen uslova da je polinom u brojiocu nizeg redaod polinoma u imeniocu), tako da prenosna funkcija moze biti data u obliku

Hc(s) =N

∑i=1

r i

s− pi(4.18)


gdeN predstavlja red polinoma u imeniocu,pi su polovi prenosne funkcije ar i odgovarajuci ostaciu tim polovima. Izraz (4.18) je dat pod uslovom da su svi polovi prosti. Nakon razvoja u parcijalnerazlomke na osnovu tabele koja sadrzi Laplasove transformacione parove elementarnih funkcija,lako se dolazi do impulsnog odziva kontinualne mreze

hc(t) =N

∑i=1

r iepi tu0(t) (4.19)

gde je sau0(t) oznacena Hevisajdova funkcija, kojom je obezbed-eno da je impulsni odziv mrezejednak nuli zat < 0. Odmeravanjem impulsnog odziva sa periodom odmeravanjaTs dobija se nizodbiraka

{hc(nTs)} = Tshc(t)|t=nTs (4.20)

aZ transformacijom ovog niza dolazi se do prenosne funkcijeH(z) diskretnog sistema

H(z) =N

∑i=1

Tsr i

∞

∑n=0

(epiTsz−1)n =N

∑i=1

Tsr i

1−z−1epiTs(4.21)

odkale su uocava da svakom prostom polu odgovara smena

r i

s− pi→ Tri

1−z−1epiT(4.22)

U slucaju da su polovi visestruki, redam, potrebno je transformisati ih u sledeci oblik

r i

(s− pi)m → 1(m−1)

dm−1

dam−1

(

r i

s−a

)

∣

∣

∣

a=pi(4.23)

sto uz koriscenje transformacije (4.22) daje

r i

(s− pi)m → 1(m−1)

dm−1

dam−1

(

Tsr i

1−eaTsz−1

)

∣

∣

∣

a=pi(4.24)

Dakle u slucaju dvostrukog pola koristimo smenu

r i

(s− pi)2 → dda

(

Tsr i

1−eaTsz−1

)

∣

∣

∣

a=pi(4.25)

Analizom impulsno invarijantne transformacije se uocava da se odsecak jω ose na intervalu[−π/T,π/T] preslikava na jedinicni krug a horizontalna traka iz leve poluravnis ravni visine2π/T u unutrasnjost jedinicnog kruga. (Ovo vazi i za traku na opsegu[π/T,3π/T] itd. Vezaizmed-u analogne frekvencijeω i i digitalne frekvencijeθ = ωTs je linearna, odnosnoθ = 2π f/Fs.Dakle ako je impulsni odziv kontinualnog sistema frekvencijski ogranicen, amplitudska i faznakarakteristika kontinualnog sistema su u potpunosti ocuvane preslikavanjem na osnovu impulnoinvarijantne transformacije. Zakljucujemo da impulsno invarijantna transformacija zadovoljavaoba navedena uslova.

U z ravni frekvencijska osa se nalazi na jedinicnom krugu (nije vise beskonane duzine) a frekven-cijski odziv diskretne mreze dobijen impulsno invarijantnom transformacijom je zbirperiodicnoponovljenih frekvencijskih spektara kontinualne mreze.Zato, ako je frekvencijski odziv kontinu-alne mreze ogranicen a frekvencija odmeravanja bar dva puta visa od najvise nenulte komponenteu spektru, tada se frekvencijski odziv diskretne mreze razlikuje samo za multiplikativnu konstantuod frekvencijskog odziva kontinualne mreze (ocuvan oblik).

ova metoda vodi racuna samo o polovima penosne funkcije a ne i o nulama i njihovopreslikavanjenije obostrano jednoznacno. Svaka tacka izs ravni se jednoznacno preslikava uz ravan ali obrnutone vazi. Jedna tacka izz ravni se preslikava u skup tacka koje leze na pravoj koja je paralelna saimaginarnom osom us ravni.

51

Ovu transformaciju koristimo za projektovanje diskretnihsistema kod kojih nam je bitan impulsniodziv (koji je ocuvan pri diskretizaciji) a nije bitna selektivnost frekvencijske karakteristike (jer seona moze puno razlikovati od karakteristike analalgnog polaznogsistema). Ovako mozemo pro-jektovati filtre propusnike niskih frekvencija i propusnike opsega frekvencija jer su njima opsezikonacnesirine i moze se odabrati adekvatna frekvencija odabiranja. Filtri propusnici visokih fre-kvencija i nepropusnici opsega frekvencija ne mogu biti projektovani ovom metodom jer dolazi dopreklapanja spektra (napomenuli smo da se periodicno ponavlja kod diskretnih sistema).U prvom koraku se odred-uju polovi prenosne funkcije analognog sistema i proveravada li su prostiili vi sestruki kako bi adekvatno bili preslikani uz ravan.

4s2 +6s+1 = 0

s1,2 =−6±

√36−16

8=

−6±2√

58

=−3±

√5

4

14s2 +6s+1 = 0

=1

4(

s+ 3+√

54

)(

s+ 3−√

54

) =A

s+ 3+√

54

+B

s+ 3−√

54

A = lims→− 3+

√5

4

1

4(

s+ 3−√

54

) =1/4

−34 −

√5

4 + 34 −

√5

4

= − 1

2√

5= −0.22

B = lims→− 3−

√5

4

1

4(

s+ 3+√

54

) =1/4

−34 +

√5

4 + 34 +

√5

4

=1

2√

5= 0.22

(4.26)

Na osnovu izraza (4.22) se dobija

14s2 +6s+1 = 0

=

−12√

5

s+ 3+√

54

+

12√

5

s+ 3−√

54

−12√

5

s+ 3+√

54

+

12√

5

s+ 3−√

54

→T

(

−12√

5

)

1−z−1e−3−

√5

4 T+

T(

12√

5

)

1−z−1e−3+

√5

4 T

H(z) =U2 (z)U1 (z)

=110

1

2√

5

[

−1

1−z−1e−3−

√5

4 T+

1

1−z−1e−3+

√5

4 T

]

(4.27)

SmenomT = 0.1 i u clanu u zagradi se dobija

H(z) = 0.022

[ −11−0.877z−1 +

11−0.981z−1

]

= 0.022(−1+0.981z−1)+(1−0.877z−1)

(1−0.877z−1)(1−0.981z−1)

= 0.0220.104z−1

1−1.86z−1 +0.86z−2

=0.0023z−1

1−1.86z−1 +0.86z−2

(4.28)

Impulsni odziv diskretnog sistema je prikazan na slici 4.6.Na istoj slici je dat i impulsni odzivanalognog sistema kako bi se lakse uocilo da odbirci impulsnog odziva diskretnog sistema imajuupravo istu vrednost kao i polazni analogni sistem u odgovarajucem trenutkukTs, gde jek ceobroj. Na slici je nax osi dato vreme u sekundama. Kako je period odabiranjaTs = 0.1s u prvih 20sekundi postoji 200 odbiraka i svi su oni na slici prikazani samo na prakticnon osi nisu navedeniredni brojevi odbiraka.Da bi bilo jasnije na slici 4.7 je jos jednom prikazan impulsni odziv sistema dobijen preslikavanjemizvoda gde se vidi da ne postoji preklapanje odziva kao na slici 4.6.


0 5 10 15 200

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

ab

t[s]

h(t)

Sl. 4.6: Impulsni odziv analognog a) i diskretnog sistema b) dobijenog impulsnoinvarijantnom transformacijom.

0 5 10 15 200

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

ab

t[s]

h(t)

Sl. 4.7: Impulsni odziv analognog a) i diskretnog sistema b) dobijenog preslika-vanjem izvoda.

(c) Bilinearna transformacijaPrimenom bilinearne transformacije preslikavaju se prenosne funkcije iz kontinualnog domena udiskretni bez preklapanja spektra,sto je osnovna mana impulsno invarijantne transformacije.sravan se preslikava uz ravan uvod-enjem smene

s=2Ts

1−z−1

1+z−1 (4.29)

gde je 2/Ts konstanta i moze imati i neku drugu vrednost.Inverzna bilinearna transformacija je data sa

z=1+ Ts

2 s

1− Ts2 s

(4.30)

53

odakle se lako odred-uje gde se tacke iz s ravni preslikavaju uz ravan. Za razliku od impulsnoinvarijantne transformacije gde se parce jω ose duzine 2π/Ts preslikavalo na ceo jedinicni krug,kod bilinearne transformacije tek celajω osa se smesti na jedinicni krug. Dakle i sada je nultafrekvencija na mestuz= 1 ali u tacki z= −1 nije prisutna frekvencijaπ/Ts vec ∞.

Sada veza izmed-u analogne frekvencijeω i digitalne frekvencijeθ (gde jez= ejθ ) nije linearna,sto je mana ove transformacije. To znaci da ako se krene od prenosne funkcije analognog sistemakoja ima linearnu fazu, dobice se diskretni sistemcija je faza nelinearna i samim tim zahtevacefazni korektor. Na osnovu izraza (4.30) se lako dolazi do veze

ω =2Ts

tanθ2

(4.31)

odnosno

θ = 2arctanωTs

2(4.32)

Bilinearna transformacija ispunjava oba uslova transformacije kontinualnog prostora u diskretni.Mana je izrazena nelinearnost jer se cela imaginarna osa izsravni preslika na segment−π < θ < π.

Dakle krenuvsi od prenosne funkcije analognog sistema

H(s) =U2 (s)U1 (s)

=1

1+6s+4s2 (4.33)

koriscenjem smene (4.29) se dobija prenosna funkcija diskretnogsistema

U2 (z)U1 (z)

=1

4 4T2

(1−z−1)2

(1+z−1)2 +6 2

T(1−z−1)(1+z−1)

+1/∗

(

(

1+z−1)2T2

)

=T2

(

1+z−1)2

16(1−2z−1 +z−2)+12T (1−z−1)(1+z−1)+T2(1+z−1)2

=T2

(

z−2 +2z−1 +1)

16−32z−1 +16z−2 +12T −12Tz−2 +T2 +2T2z−1 +T2z−2

=T2

(

z−2 +2z−1 +1)

z−2 (16−12T +T2)+z−1 (2T2−32)+16+T2 +12T/∗100

=1+2z−1 +z−2

100(17.21−31.98z−1 +14.81z−2)=

0.00058+0.00116z−1 +0.00058z−2

1−1.858z−1 +0.86z−2

Impulsni odziv diskretnog sistema je prikazan na slici 4.8.

2. Dat je impulsni odziv nerekurzivnog (FIR) digitalnog filtra{h[n]} = {1,2,−2,−1}. Odrediti prenosnufunkciju filtra i odrediti:

(a) Amplitudsku i faznu karakteristiku filtra;

(b) Grupno kasnjenje filtra;

(c) Odrediti prenosnu funkcija filtra za koji je polozaj polova i nula uz ravni dat na slici 4.9.

Resenje:

Impulsni odziv je prikazan na slici 4.10. Nerekurzivni filtri ne mogu biti projektovani ni jednom odmetoda preslikavanja date prenosne funkcije analognog sistema jer se na taj nacin uvek dobija IIR sistem(filtar). FIR filtri se projektuju direktno uz domenu. Karakterise ih mogucnost realizacije idealnelinearne fazne karakteristike. Da bi se to obezbedilo potrebno je da impulsni odziv bude simetrican iliantisimetrican, kao u datom primeru. Ako je data amplitudska karakteristika koju treba zadovoljiti a


0 5 10 15 200

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

t[s]

h(t)

Sl. 4.8: Impulsni odziv diskretnog sistema a) dobijenog bilinearnom transformaci-jom i analognog b) .

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

3

Real Part

Imag

inar

y P

art

Sl. 4.9: Nule i polovi diskretnog sistema) .

faza nije od znacaja uvek se projektuje IIR filtar jerce red filtra biti znacajno nizi od odgovarajuceg FIRfiltra sa istom (slicnom) amplitudskom karakteristikom. Med-utim u nekim prakticnim aplikacijama nisudozvoljena fazna izoblicenja i FIR filtri u takvim slucajervima nalaze svoju primenu.

Kako clan z−k ukazuje na kasnjenje zak odbiraka (u vremenskom domenu kasnjenje iznosikTs), Z

transformacijom se lako dolazi do prenosne funkcije FIR filtra, krenuvsi od njegovog impulsnog odzivah[n] s obzirom da jeH(z) = Z {h[n]}

H (z) = 1+2z−1−2z−2−z−3 (4.34)

Kako je frekvencijska osa uz ravni smestena na jedinicnom krugucije su sve tacke date sa

z= ejθ

55

−2 0 2 4 6 8−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

h[n]

n

Sl. 4.10: Impulsni odziv FIR filtra) .

, ge jeθ ugao izmed-u realne ose i potega iz koordinatnog pocetka do posmatrane tacke, frekvencijskekarakteristike filtra se odred-uju kao

H(

ejθ)

= H(z)∣

∣

∣

z=ejθ= 1+2e− jθ −2e− j2θ −e− j3θ

= 1−e− j3θ +2(

e− jθ −e− j2θ)

= e− j3θ2

(

ej3θ2 −e− j3θ

2

)

+2e− j3θ2

(

ej θ2 −e− j θ

2

)

= e− j3θ2 2 j sin(3

θ2

)+2e− j3θ2 2 j sin(

θ2

)

= e− j3θ2 ej π

2 2

(

sin(3θ2

)+2sin(θ2

)

)

= 2

(

sin(3θ2

)+2sin(θ2

)

)

ej π−3θ2

(4.35)

Svaka kompleksna vrednost moze biti data preko modula i faznog ugla tj.

H(

ejθ)

=∣

∣

∣H

(

ejθ)∣

∣

∣ejϕ(θ) (4.36)

(a) Dakle, amplitudska karakteristika filtra je data izrazom∣

∣

∣H

(

ejθ)∣

∣

∣= 2

(

sin(3θ2

)+2sin(θ2

)

)

(4.37)

dok fazna karakteristika ima vrednost

ϕ (θ) = arg{

H(

ejθ)}

=π −3θ

2(4.38)

(b) Grupno kasnjenje filtra je definisano kao negativni izvod po frekvenciji fazne karakteristike,odnosno

τ (θ) = − ddθ

ϕ(θ) =32

(4.39)

Sa slike 4.9 uocavamo da je pol trostruki u koordinatnom pocetku i da filtar poseduje tri nulezi

locirane na jedinicnom krugu. Realna nula je pod uglom 0 a konjugovano kompleksni par nula jeopod uglom±2π/3


(c)z1 = 1ej0 = 1

z2 = ej 2π3 = −1

2+ j

√3

2

z3 = em j 2π3 = −1

2− j

√3

2

(4.40)

Krenuvsi od polova i nula za prenosnu funkciju se dobija

H (z) = k(z−z1)(z−z2)(z−z3)

(z−0)3 = k(z−1)

(

z+ 12 − j

√3

2

)(

z+ 12 + j

√3

2

)

z3

= k(z−1)

(

(

z+ 12

)2+

(√3

2

)2)

z3 = k(z−1)

(

z2 +z+ 14 + 3

4

)

z3

= k(z−1)

(

z2 +z+1)

z3 = kz3 +z2 +z−z2−z−1

z3

= kz3−1

z3 = k(

1−z−3)

gdek predstavlja konstantu zacije odred-ivanje je potreban (da bi resenje bilo jednoznacno) josjedan podatak (na primer pojacanje filtra na nekoj frekvenciji). Uz−1 ravni FIR filtar ne posedujepolove, tj. uz ravni oni su uvek smesteni u koordinatnom pocetku zbogcega su FIR filtri uvekstabilni.

Faza i grupno kasnjenje FIR filtra su prikazani na slici 4.11.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−4

−2

0

2

a

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.5

1

1.5

2

2.5

b

Normalizovana frekvencija


ϕτ

Sl. 4.11: Faza a) i grupno kasnjenje b) FIR filtra treceg reda.

Da prokomentarisemo amplitudsku karakteristiku

∣

∣

∣H(ejθ )

∣

∣

∣= 2

(

sin(3θ2

)+2sin(θ2

)

)

(4.41)

Da bi se dobila suma sinusa u zagradi datog izraza neophodno je da seclanovi impulsnog odzivajavljaju u parovima sa suprotnim znakom. U ovom slucaju impulsni odziv je bio parne duzinei javila su se dva para koja su pretvorena u dva sinusa. Ovakvoudruzivanje nije moguce ako je

57

impulsni odziv neparne duzine jer centralni (sredisnji) clan ne bi posedovao parnjaka. Med-timovaj problem nece se javiti ako je impulsni odziv neparne duzine sa centralnimclanom jednakimnuli. Amplitudska karakteristika data sa (4.41) prikazanaje na slici 4.12.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5


|H(e

jθ)|

Sl. 4.12: Amplitudska karakteristika FIR filtra

Kako u zagradi figurisu samo sinusniclanovi uvekce pojacanje filtra na nultoj frekvenciji bitijednako nuli, kao na slici 4.12 kada je impulsni odziv antisimetrican. S obzirom da pojacanjemora biti jednako nuli za DC komponentu, sa ovakvim impulsnim odzivom nikako nije mogucerealizovati filtar propusnik niskih frekvencija kao i filtarnepropusnik opsega frekvencija kod kojihje neophodno jedinicno pojacanje u koordinatnom pocetku.

3. Frekvencija odmeravanja iznosiFs = 1kHz, maksimalno slabljenje filtra u propusnom opsegu jeamax=1dB i minimalno slabljenje filtra u nepropusnom opseguamin = 40dB. Napisati programe u MATLAB

R©

-u za izracunavanje koeficienata prenosne funkcije Butterworth-ovog:

(a) Niskopropusnog filtra (NF), granicnih frekvencijafp=150Hz i fs=200Hz;

(b) Visokopropusnog filtra (VF), granicnih frekvencijafs= 350Hz i fp= 400Hz;

(c) Filtra propusnika opsega (PO), granicnih frekvencijafs = [100Hz,400Hz] i fp = [200Hz,300Hz].

Resenje:

U digitalnim sistemima signali koji se obrad-uju, za razliku od analognih signala, imajuogranicen spektar jer je prvi korak u postupku A/D konverzije ogranicavanje spektra koko bise adekvatno odabrala frekvencija odabiranja (koja mora biti bar dva puta visa od maksimalnefrekvencije u spektru signala).Sta su filtri? Filtri mogu biti analogni i digitalni. Filtrima sespektar signala modifikuje. Na primer, govorni i muzicki signal imaju komponente spektra do20000 Hz. U digitalnoj telefoniji se koristi radna frekvencija od 8 kHz (Fs = 8kHz i odred-enaje ekspirementalno sa ciljem da budes to niza kako bi se smanjio protok podataka a da seistovremeno zadovolji kriterijum razumljivosti prenetoggovornog signala). To znaci da tele-fonski signal u idealnom slucaju treba da ima ogranicen spektar na 4000 Hz. Ogranicavanjespektrace biti izvedeno upotrebom analognog filtra propusnika niskih frekvencija. Ovakvoime je dobio zbogcinjenice da propusta spektralne komponente na niskim frekvencijama (odnulte frekvencije do 4000 Hz) a ne propusta ni jednu komponentu iznad 4000 Hz. Da pod-setimo, spektar analognog signala se prostire od nulte frekvencije do beskonacnosti. Dakle,analogni filtar propusnik niskih frekvencija je sistem kojiima pojacanje (|H( jω)|) jednako


jedinici za frekvencije iz opsega[0,4000Hz] i pojacanje jednako nuli na opsegu[4000Hz,∞].Ova karakteristika moze biti alternativno data koriscenjem slabljenja koje se definise kao

a = −20log10(|H( jω)|)i daje se u decibelima. S obzirom na osobine logaritamske funkcije, u propusnom opsegufiltar ima pojacanje 1,sto je ekvivalentno sa 0 dB a u nepropusnom opsegu je pojacanje 0sto je ekvivalentno sa∞ dB. Ovo su osobine idealnog filtra. Realni filtri samo aproksimirajuovu idealnu krarakteristiku. Zato se pri projektovanju filtara zadaje maksimalno dozvoljenoslabljenje (odstupanje od idealnih 0 dB) u propusnom opsegui minimalno potrebno slablje-nje (idelno je∞ ) u nepropusnom opsegu.Sto su zahtevi blizi idealnim potrebni red filtraza njihovo zadovoljenje bice visi (visi red polinoma prenosne funkcije) kao i troskovi nje-gove hardverske realizacije. Zato je ideja odrediti prenosnu funkciju sto nizeg reda a dabudu zadovoljene zadate specifikacije. U literaturi su detaljno opisane metode projektovanjaButterworth-ovih, Chebyshev-ljevih, inverznih Chebyshev-ljevih i eliptickih (Cauer-ovih) fi-ltara. Butterworth-ovi filtri imaju maksimalno ravnu amplitudsku karakteristiku. Pojacanjeje na nultoj frekvenciji jednako jedinici i monotono opada ka nuli kako frekvencija raste.

0 2000 4000 6000 8000

0

0.2

0.4

0.6

0.8

a

0 2000 4000 6000 80000

b

f [Hz]

f [Hz]

|H(jω

)|a[

dB]

∞

∞

∞

1

Sl. 4.13: Amplitudska karakteristika a) i slabljenje b) idealnog analognog filtrapropusnika niskih frekvencija

Na slici 4.13 su prikazane idealne karakteristike analognog niskopropusnog filtra sagranicnom frekvencijom 4000Hz. Prenosna funkcija filtra je data preko odnosa dva poli-noma. Prikazana karakteristika je prekidna sa naglim padompojacanja od 1 na 0 na granicnojfrekvenciji sto je neizvodljivo u realnim uslovima bez obzira na red polinoma. Zato seumesto prikazane idealne karakteristike sa jednom granicnom frekvencijom pri projektova-nju filtra koristi njena aproksimacija sa zadatom granicnom frekvencijom propusnog opsegafp = 3400Hz i granicnom frekvencijom nepropusnog opsega, npr.fs = 4000Hz, kao na slici4.14.Bez obzirasto karakteristika filtra sa slike 4.14 nije idealna, pojacanje sistema (filtra) je do-voljno blisko nuli da mozemo reci da signal na izlazu filtra ne poseduje komponente spektraiznad 4 kHz tako da se moze izvrsiti digitalizacija ovog signala sa frekvencijom odabiranja8 kHz. Slika 4.14 odgovara filtrucije je minimalno slabljenje u propusnom opsegu svega 15dB dok se u praksi koriste filtri sa slabljenjem 60 i vise decibela u nepropusnoj zoni tako daje pojacanje iznad 4 kHz mnogo blize nuli nego na prikazanoj slici.Pretpostavimo da pomenuti govorni signal odabran frekvencijom Fs = 8kHz (maksimalnakomponenta u spektru signala je 4 kHz)zelimo da filtriramo digitalnim filtrom tako da pre-

59

0 2000 4000 6000 80000

3400

a

0 2000 4000 6000 8000−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

b

f [Hz]

f [Hz]|H

(jω

)|gr

eska

apro

ksim

acije

∞

∞

Sl. 4.14: Amplitudska karakteristika a) i odstupanje od idealne karakteristike

ostanu samo komponente spektra ispod 2 kHz. Na slici 4.15 je prikazana karakteristika ide-alnog digitalnog filtra propusnika niskih frekvencija sa granicnom frekvencijomfg = 2kHz.Kao i kod analognog filtra u propusnom opsegu se zahteva jeinicno pojacanje a u nepropu-snom opsegu nulto pojacanje. Med-utim, frekvencijska osa se ne prostire do beskonacnostivec samo do polovine frekvencije odabiranja. Isti grafik mogaoje biti dat sa digitalnomfrekvencijom nax osi u kom slucaju bi frekvenciji 4 kHz odgovarala digitalna frekvencijaπili njena normalizovana vrednost 1.

Osim maksimalno ravne karakteristike (kod Butterworth-ovih filtara, gde je prvihn izvodaamplitudske karakteristike jedanko nuli zaω = 0. Tangenta na krivu u tacki gde funkcijaima maksimum ili minimum (tu je izvod funkcije jednak nuli) je ravna tj. horizontalna pravai otuda naziv maksimalno ravna jer ne samo prvi, vec i visi izvodi su jednaki nuli)cestose koristi i mini-max aproksimacija idealne karakteristike (gde realna karakteristika ima os-cilatornu prirodu sa jednakim minimumima i maksimumima acija vrednost je jednoznacnoodred-ena zadatim dozvoljenim slabljenjem).

Chebyshev-ljevi filtri u propusnom opsegu koriste mini-maxaproksimaciju a imaju ravnu(monotono opadajucu kao kod Butterworth-ovih filtara) karakteristiku u nepropusnoj zoni.Inverzni Chebyshev-ljevi filtri imaju monotono opadajucu karakteristiku u propusnomopsegu a mini-max karakteristiku u nepropusnoj zoni, dok elipticki filtri u oba opsega ko-riste mini-max aproksimaciju.

Maksimalna frekvencija koja moze da se pojavi u digitalnom sistemu jeFs/2 = 500 Hz i njoj odgovaradigitalna frekvencijaθ = π. U literaruri secesto na frekvencijskoj osi ne nalazi vrednostθ vec njenanormalizovana vrednostθ/π zbogcega su granicne vrednosti nax osi 0 i 1. Na slici 4.16 su prikazanelokacije nulte frekvencije, polovine frekvencije odabiranjaFs/2 i proizvoljne frekvencijefx (Frekvenci-jska osa se nalazi na jedinicnom krugu. Gornja polovina kruznice odgovara pozitivnim a donja polovinanegativnim frekvencijama respektivno). Frekvenciji 0 Hz odgovara digitalna frekvencijaθ = 0, fre-kvenciji Fs/2 odgovara digitalna frekvencijaπ dok frekvenciji fx odgovara digitalna frekvencijaθx.Vrednostθx se lako odred-uje na osnovu proporcije

Fs

2: π = fx : θx

odakle dobijamo da je


0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

0

0.2

0.4

0.6

0.8

a

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

b

f [Hz]

f [Hz]

|H(jω

)|a[

dB]

∞

1

Sl. 4.15: Amplitudska karakteristika a) i slabljenje b) idealnog digitalnog filtra pro-pusnika niskih frekvencija zaFs = 8kHz

−1 −0.5 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

00

0

fx

Fs2

θx

Sl. 4.16:

π fx = θxFs

2=⇒ θx =

fxFs

2

π (4.42)

U MATLABR©

-u frekvencije se kao ulazni argumenti unose u normalizovanim vrednostima (dobijaju sedeljenjem saπ, tako da frekvencijiFs

2 odogovara normalizovana frekvencija 1 a frekvencijifx odogovaranormalizovana frekvencija

θx =fxFs

2

(4.43)

(a) Niskopropusni filtar - NF:

61

clear all %brise memorijuclose all %zatvara sve otvorene slikeFs=1000;% frekvencija odabiranjafp=150; %granica propusnog opsegafs=200; % granica nepropusnog opsegafs2=Fs/2; %polovina frekv. odabiranjarp=1; %slabljenje u decibelima u propusnom opsegurs=40; % dB u nepropusnom opsegu[n,wn]=buttord(fp/fs2,fs/fs2,rp,rs) %normalizovane fr ekvencije su%argumenti naredbe buttord koja odredjuje potrebni red fil tra n i%parametar wn koji su ulaz za naredbu butter koja kao izlaz da je%koeficijente prenosne funkcije (koef. polinoma)[b,a]=butter(n,wn) % b i a su polinomi prenosne funkcije[h,w]=freqz(b,a,1000); % u 1000 tacaka (izmedju 0 i pi) racu na%karakteristiku filtra h, a u vektor w smesta frekvencijske tackefigure %otvara slikuplot(w/pi,abs(h)) % crta amplitudsku karakteristiku koja je moduo%vektora h pri cemu je na x osi normalizovana frekvencija

Argumenti MATLABR©

naredbi su normalizovane frekvencije a odred-ene su na osnovu izraza(4.43).

Na slici 4.17 je prikazana karakteristika filtra propusnikaniskih frekvencija

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ab


|H(e

jθ)|

Sl. 4.17: Amplitudska karakteristika Buterworth-ovog filtra a) i karakteristika ide-alnog filtra b).

Idealni filtar ne moze biti realizovan.Sto su zahtevi stroziji red filtra ce biti visi. Zadato dozvoljenoslabljenje od 1dB je realizovano na opsegu[0,0.3] = [0,150/500] (kad je rec o normalizovanimfrekvencijama) a minimalno slabljenje od 40 dB je realizovano na opsegu[0.4,1] = [200/500,1].Opseg[0.3,0.4] je poznat kao prelazna zona i tu se karakteristika filtra ne kontrolise i nije bitnokako dobijena karakteristika u tom delu izgleda. Vazno je da u propusnoj zoni pojacanje bude do-voljno blisko jedinici (pojacasnje nema jedinicu, tj rec je o neimenovanom broju) a u nepropusnojzoni dovoljno blisko nuli. Na slici 4.17 je prikazano pojacanje sistema, odnosno amplitudska kara-kteristika. Uobicajeno da se umesto pojacanja zadajezelejno slabljenje u decibelima po opsezima.Prakticno slika 4.17 ima oblik 4.18 kada je nay osi dato slabljenje u decibelima. Veza izmed-upojacanja i slabljenja je data izrazom


a[dB] = −20log10(|H(ejθ )|)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

10

20

30

40

50

60

70

80

ab


a[d

B]

Sl. 4.18: Slabljenje Buterworth-ovog filtra a) i zadata granicna slabljenja u propu-snom i nepropusnom opsegu b).

Dakle slika 4.17 i 4.18 prikazuju istu karakteristiku samo je nay osi odabrana druga jedinica.Sa obe slike se uocava da projektovani filtar zadovoljava zadate specifikacije. U ovom primeruje izabran Butterworh-ov filtar koga karakterise maksimalno ravna karakteristika, koja je mono-tona funkcija frekvencije. U konkretnom slucaju je dobijen filtar redaN = 15. To je minimalnaslozenost filtra kojom se zadovoljavaju zadate nspecifikacije.Izborom filtra viseg reda se dobijajubolje specifikacije na ustrb povecane slozenosti filtra (visi red polinoma, vise koeficijenata, vecibroj komponenti kod hardverske realizacijesto neminovno vodi visoj ceni. Nama je cilj da zastonizu cenu (nizi red polinoma) projektujemo filtar koji zadovoljava postavljene specifikacije).

(b) Visokopropusni filtar - VF:

Jedina razlika kod projektovanja propusnika visokuh frekvencija u odnosu na propusnik niskihfrekvencija se ogleda u naredbibutter gde se pojavljuje kao poslednji argument naredbe’high’,koji ukazuje da se projektuje visokopropusni filtar. Uostalom kod projektovanja filtara uvek seproblem svodi na projektovanje propusnika niskoh frekvencija (time je vec odred-en red filtra) asve ostasle karakteristike (propusnik opsega, propusnik visokih frekvencija . . . ) se lako dobijajumatematickim manipulacijama tj. preslikavanjima. Odgovarajuci MATLAB

R©kod je dat u nastavku

clear allfs=1000;Fs=350;fp=400;fs2=Fs/2;rp=1;rs=40;[n,wn]=buttord(fp/fs2,fs/fs2,rp,rs)[b,a]=butter(n,wn,’high’)% slede naredbe crtanja koje su izostavljene

a amplitudska karakteristika i karakteristika slabljenjasu date na slikama 4.19 i 4.20, respektivno.

63

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ab


|H(e

j θ)|


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

10

20

30

40

50

60

70

80

ab


a[d

B]


U slucaju filtra propusnika visokih frekvencija granicna frekvencija propusnog opsegafp je visa odgranice nepropusnog opsegafs. Idelani filtar bi imao pojacanje jednako nuli (u idealnom slucajuslabljenje od∞ decibela) na opsegu frekvencija[0, fs] i jedinicno pojacanje (slabljenje od 0 deci-bela u idealnom slucaju) na opsegu[ fp,Fs/2], izrazeno u hercima tj. na opsezima[0,θs] i [θp,π],datim u digitalnoj frekvenciji. Sa prikazanih slika vidimoda projektovani filtar zadovoljava zadatespecifikacije.

(c) Filtar propusnik opsega:

Filtar propusnik opsega frekvencija ima dve granicne frekvencije za propusni opseg i dve za nepro-pusni opseg. Zato su sada granicne frekvencije sme]v stene u vektoref1 i f2. Projektovanje (nijevidljivo korisniku jer samo poziva gotove funkcije MATLAB

R©-a) se i sada svodi na odred-ivanje

najprostijeg filtra propusnika niskih frekvencija (ova oblast se izucava na visim godinama studija)iza cega se preslikavanjem (kada se udvostrucava red filtra) dobija trazeni filtar propusnik opsega


frekvencija. U nastavku sledi kod MATLABR©

programa kojim se odred-uje prenosna funkcija filtra,s tim da su izostavljene naredbe za crtanje dobijenih karakteristika.

Fs=1000;f1=[200,300];f2=[100,400];fs2=Fs/2;

rp=1;rs=40;

[n,wn]=buttord(f1/fs2,f2/fs2,rp,rs)[b,a]=butter(n,wn)

Amplitudska karakteristika i odgovarajuca karakteristika slabljenja (potpuno ista karakteristika,predstavljena na dva nacina) su prikazane na slikama 4.21 i 4.22.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ab


|H(e

jθ)|


Kao i u prethodna dva slucaja uocavaju se prelazne zone ([0.2, 0.4] i [0.6, 0.8]) unutar kojih senema kontrola nad karakteristikom filtra. Ova nemogucnost da se realizuje idealni filtar u praksiutice na izbor frekvencije odabiranjaFs. Tako na primer, u slucaju muzickog signala koji se predigitalizacije filtrom propusnikom niskih frekvencija ogranicava tako da maksimalna frekvencijakoja moze da se pojavi u njegovom spektru iznosi 20 kHz, odabiranje se ne izvodi frekvencijomFs = 40 kHz,sto je idealni slucaj, vec se koristi, zbog pojave prelazne zone, nesto visa frekvencijaodFs = 44100 Hz.

4. (a) Neka je funkcija prenosa diskretne mreze:

Y (z)X (z)

= H (z) =z3 +5z+6z2 +3z+4

Napisati diferencnu jednacinu za datu mrezu.

(b) Data je diferencna jednacina diskretne mreze:

y[n] = −y[n−2]−7y[n−1]−2x[n−2]+3x[n−1]

Napisati izraz za prenosnu funkciju date mreze.

65

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

10

20

30

40

50

60

70

80

ab


a[d

B]


(c) Resiti diferencnu jednacinu primenomZ -Transformacije ako je na ulazu kola prisutan jedinicniimpuls (Dirakov impulsδ [n]).

y[n] = −5y[n−2]+6y[n−1]−12x[n−1]+10x[n]

(a) U prvom koraku brojilac i imenilac prenosne funkcije se dele saz2 (sa z stepenovan najvisimstepenom u datom izrazu kako bi novi izraz bio funkcija po promenljivoj z−1 koja predstavljakasnjenje i olaksava u nraednom koraku izracunavanje inverzneZ transformacije )

H (z) =Y (z)X (z)

=z2 +5z+6z2 +3z+4

=1+5z−1 +6z−21

1+3z−1 +4z−2 (4.44)

Unakrsnim mnozenjem se dobija izraz

Y (z)+3Y (z)z−1 +4Y (z)z−2 = X (z)+5X (z)z−1 +6X (z)z−2 (4.45)

IzdvajanjemclanaY(z) dobijamo

Y (z) = −3Y (z)z−1−4Y (z)z−2 +X (z)+5X (z)z−1 +6X (z)z−2 (4.46)

a posle inverzneZ transformacije se dobija diferencna jednacina koja pokazuje kako najnovijiizlazni odbirak zavisi od tekuceg ulaznog i prethodnih ulkaznih i izlaznih odbiraka

y[n] = −3y[n−1]−4y[n−2]+x[n]+5x[n−1]+6x[n−2] (4.47)

Koriscena je osobinaZ transformacije

F(z)z−k ↔ f [n−k]

(b) Krenuvsi od diferencne jednacine

y[n] = −y[n−2]−7y[n−1]−2x[n−2]+3x[n−1] (4.48)

Z transformacijom se dobija

Y (z) = −Y (z)z−2−7Y (z)z−1−2X (z)z−2 +3X (z)z−1 (4.49)


Izvlacenjem ispred zagrada zajednickih clanova se dobija

Y (z)[

1+7z−1 +z−2] = X (z)[

3z−1−2z−2] (4.50)

sto sred-ivanjem daje prenosnu funkciju sistema

H(z) =Y (z)X (z)

=3z−1−2z−2

1+7z−1 +z−2 =3z−2

z2 +7z+1(4.51)

(c) Krenuvsi od diferencne jednacine koja opisuje sistem u vremenskom domenu (analogno diferen-cijalnim jednacinama u slucaju analognih sistema)

y[n] = −5y[n−2]+6y[n−1]−12x[n−1]+10x[n] (4.52)

Z transformacijom se dobija

Y (z) = −5Y (z)z−2 +6Y (z)z−1−12X (z)z−1 +10X (z) (4.53)

opis sistema u frekvencijskom domenu.

Y (z)[

1+5z−2−6z−1] = X (z)[

10−12z−1] (4.54)

odnosno prenosna funkcija datog sistema

H(z) =Y (z)X (z)

=10−12z−1

1+5z−2−6z−1 =10−12z−1

1−6z−1 +5z−2 (4.55)

Z transformacija Dirakovog impulsa ima vrednostZ {δ [n]} = 1 (a on je u ovom slucaju ulaznisignalx[n]). Na osnovu izraza (4.55) se dobija da je

Y(z) = H(z)X(z) = H(z) ·1 = H(z)

Signaly[n] bice odred-en inverznomZ transformacijom zasta je neophodno odrediti polove izraza(4.55) (razvojem u parcijalne razlomke)

5z−2−6z−1 +1 = 0

z1,2−1 =

6±√

36−2010

z1−1 = 1 z2

−1 = 1/5

Dakle rec je o dva prosta realna pola.

Y (z) =10−12z−1

5(z−1−1)(

z−1− 15

) =10−12z−1

(z−1−1)(5z−1−1)=

Az−1−1

+B

5z−1−1

Pristupamo odred-ivanju ostataka u polovima

A = limz−1→1

10−12z−1

5z−1−1=

10−124

= −12

B = limz−1→1/5

10−12z−1

z−1−1=

10− 125

−45

=50−12−4

= −192

(4.56)

DakleZ transformacija signalay ima vrednost

Y (z) =−1

2

z−1−1+

−192

5z−1−1=

12

1−z−1 +192

1−5z−1

67

koja je napisana u pogodnom obliku da se koriscenjem tabliceZ transformacije lako odred-uje(prakticno inverznomZ transformacijom) vremenski predstavnik, tj.y[n] kao

y[n] = h[n] = Z−1{Y(z)} =

12

u0 [n]+192

5n,za n≥ 0 (4.57)

Polovi u izrazu (4.56) su odred-eni uz−1 ravni a ne uz ravni tako da je polz2 = 5 i nalazi se vanjedinicnog kruga. Sistem sa ovakvim polom nije stabilan (potrebnoje da svi polovi budu unutarjedinicnog kruga). To se vidi i na osnovu impulsnog odziva (na ulazuje Dirakov impuls) koji nijeapsolutno sumabilan jerclan 5n nekontrolisano raste vremenom.

5

Zadaci

Prenosna funkcija digitalnog sistema data je kao kolicnik Z transformacija izlaznog i ulaznog signala

H (z) =Y (z)X (z)

(5.1)

Na osnovu izraza (5.1) odred-uje se odskocni odziv digitalnog sistema (odziv na jedinicnu funkciju -Hevisajdovu funkciju) u frekvencijskom domenu

Y (z) = H (z)X (z) = H (z)z

z−1= H (z)

11−z−1 (5.2)

Impulsni odziv digitalnog sistema (odziv na jedinicni impuls - Dirakovu funkciju) u frekvencijskomdomenu se dobija iz izraza

Y (z) = H (z)X (z) = H (z) ·1 = H (z) (5.3)

Stabilnost digitalnog sistema se lako proverava na osnovu polozaja polova prenosne funkcije uz ravni.Potrebno je da polovi funkcije prenosa digitalnog sistema budu unutar jedinicnog kruga da bi on bio stabilan.

1. Data je diferencna jednacina digitalnog sistema:

y[n]+0.1y[n−1]−0.3y[n−2] = x[n]

PrimenomZ transformacije odrediti impulsni odziv sistema.

Resenje:

y[n]+0.1y[n−1]−0.3y[n−2] = x[n] /Z transformacija

Y (z)+0.1Y (z)z−1−0.3Y (z)z−2 = X (z)

Y (z)(1+0.1z−1−0.3z−2) = X (z)

Prenosna funkcija je

H (z) =Y (z)X (z)

=1

1+0.1z−1−0.3z−2 (5.4)

Kako jeX (z) = 1, impulsni odziv digitalnog sistema je

Y (z) = H (z) ·1 =1

1+0.1z−1−0.3z−2 (5.5)

69

70 5. Zadaci

Odred-ujemo nule polinoma u imeniocu da bi spremili izraz za inverznu Z transformaciju, metodomrazvoja u parcijalne razlomke

−0.3z−2 +0.1z−1 +1 = 0

z1,2−1 =

−0.1±√

0.01+1.2−0.6

z1−1 = −10

6z2

−1 = 2

(5.6)

Z transformacija izlaznog signala ima oblik

Y (z) =1

−0.3(z−1−2)(

z−1 + 106

) = −103

[

Az−1−2

+B

z−1 + 106

]

(5.7)

gde ostaci u polovima imaju vrednosti

A = limz−1→2

1

z−1 + 106

=311

B = limz−1→− 10

6

1z−1−2

= − 311

(5.8)

Izraz (5.8) bice transformisan u pogodan oblik gdece svi elementi izraza moci da budu prepoznati kaoZ transformacija neke od elementarnih funkcija.

Y (z) =

(

−103

)

[

311

z−1−2+

− 311

z−1 + 106

]

=1011

[

−1z−1−2

+1

z−1 + 106

]

=1011

[

−1−2(−0.5z−1 +1)

+1

106

(

610z−1 +1

)

] (5.9)

Na osnovu transformacionog para

1(1−az−1)n → an (5.10)

datog u tabeli 6.1 se dobija izlazni signal

y[n] =1022

(0.5)n +1011

610

(−0.6)n = 0.4545(0.5)n +0.5454(−0.6)n, za n≥ 0 (5.11)

2. Resiti diferencnu jednacinu

y[n]− 32

y[n−1]+12

y[n−2] = x[n] , n≥ 0 (5.12)

gde jex[n] =(

14

)nu0 [n]. Poznati su pocetni uslovi:y[−1] = 4 i y[−2] = 10.

Resenje:

Slicno tehnici resavanja diferencijalnih jendacina pomocu Laplasove transformacije bice resena diferen-

71

cna jednacina uz pomoc Z transformacije

y[n]− 32

y[n−1]+12

y[n−2] = x[n] /Z Transformacija

Y (z)− 32

[

y[−1]+Y (z)z−1]+12

[

y[−2]+y[−1]z−1 +Y (z)z−2] =1

1− 14z−1

Y (z)

[

1− 32

z−1 +12

z−2]

=1

1− 14z−1

+432− 10

2− 4

2z−1

Y (z) =1

1− 32z−1 + 1

2z−2

1+(

1− 14z−1

)

(1−2z−1)

1− 14z−1

Y (z) =1

1− 32z−1 + 1

2z−2

1+(

1− 14z−1

)

−2z−1 + 12z−2

1− 14z−1

=1

12 (z−1−2)(z−1−1)

2− 94z−1 + 1

2z−2

1− 14z−1

=1

(

1− 12z−1

)

(1−z−1)

2− 94z−1 + 1

2z−2

1− 14z−1

=A

1− 12z−1

+B

1−z−1 +C

1− 14z−1

Posle odred-ivanja ostataka u polovima

A = limz−1→2

2− 94z−1 + 1

2z−2

(1−z−1)(

1− 14z−1

) = 1

B = limz−1→1

2− 94z−1 + 1

2z−2

(

1− 12z−1

)(

1− 14z−1

) =23

C = limz−1→4

2− 94z−1 + 1

2z−2

(

1− 12z−1

)

(1−z−1)=

13

(5.13)

dobija se izraz

Y (z) =1

1− 12z−1

+23

1−z−1 +13

1− 14z−1

(5.14)

koji uz pomoc tabliceZ transformacije daje vremenski predstavnik signalay

y[n] =

[(

12

)n

+23

+13

(

14

)n]

u0 [n] (5.15)

⇒[

(

12

)n+ 2

3

]

u0 [n] je homogeno resenje jer sadrzi polove diskretne mreze

⇒ 13

(

14

)nu0 [n] je partikularno resenje jer sadrzi polove ulaznog niza

Prvih 20 odbiraka signalay[n] prikazano je na slici 2.

Deo resenja koji se odnosi na prelazni rezim tezi nuli kadan → ∞ i on se odnosi na polove unutarjedinicnog kruga. Odziv u ustaljenom stanju sadrzi polove na jedinicnom krugu i ne zavisi odn.

3. Dati su polovi i nule stabilne diskretne mreze, prikazane na slici 3:

z1 = j z2 = − j p1 = −0.5+ j0.5 p2 = −0.5− j0.5Poznato jeH

(

ej0)

= 0.8 (pojacanje za jednosmernu komponentu signala je 0.8 sa nultom fazom)

(a) Odrediti prenosnu funkciju diskretne mreze;

(b) Odrediti diferencnu jednacinu diskretne mreze;

72 5. Zadaci

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

n

y[n]

Sl. 5.1:

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

Sl. 5.2:

(c) Odrediti odziv mreze u ustaljenom stanjuyss(n) i odziv prelaznog rezimaypr (n) ako je ulazni niz:

x[n] =1√2

sinnπ2

u0 [n]

Resenje:

73

(a) Prenosna funkcija diskretne mreze na osnovu polova i nula je

H (z) = k(z−z1)(z−z2)

(z− p1)(z− p2)= k

(z− j)(z+ j)(z+0.5− j0.5)(z+0.5+ j0.5)

= kz2 +1

z2 +z+0.5

Konstantak nema uticaj na oblik karakteristike sistema ali utice na pojacanje sistema. Vrednostove konstantne bice odred-ena na osnovu datog pojacanja na nultoj frekvenciji. Karakteristikasistema se odred-uje na frekvencijama koje su uz ravni locirane na jedinicnom kruguz= ejθ . Nanultoj frekvenciji (θ = 0) jez= ej0 = 1, sto daje

∣

∣H(

ej0)∣

∣ = 0.8 ⇒ 0.8 = |k|∣

∣

∣

∣

(1− j)(1+ j)12 +1+0.5

∣

∣

∣

∣

0.8 = |k| 22.5

⇒ k = ±1 (5.16)

Pojacanje sistema iznosi 0.8 i zak = 1 i k = −1 ali da bi faza na nultoj frekvenciji bila jednakanuli uzimamo da jek = 1 tako da prenosna funkcija glasi

H (z) =z2 +1

z2 +z+0.5(5.17)

(b) Deljenjem brojioca i imenioca saz2 se dobija

H (z) =1+z−2

1+z−1 +0.5z−2 =Y(z)X(z)

(5.18)

odkale se lako inverznomZ transformacijom dobija diferencna jednacina

y[n]+y[n−1]+12

y[n−2] = x[n]+x[n−2] (5.19)

(c)

Y (z) = H(z)X(z) =z−2 +1

12z−2 +z−1 +1

· 1√2· z−1sin π

2

1−2z−1cosπ2 +z−2

=1√2· 1+z−2

1+z−1 + 12z−2

· z−1

1+z−2

=1√2· z−1

1+z−1 + 12z−2

=1√2· z

z2 +z+ 12

Na parcijalne razlomke razlazemo funkciju

Y(z)z

==1√2· 1

z2 +z+ 12

(5.20)

Uz pomoc MATLABR©

-a

brojilac=[0 0 1/sqrt(2)] % 1/sqrt(2)imenilac=[1 1 0.5] % zˆ2+z+0.5[ostaci,polovi,k]=residue(brojilac,imenilac) % ako je%polinom u brojiocu nizeg reda onda je k=0

dobija se

74 5. Zadaci

ostaci =

0.0000 - 0.7071i0.0000 + 0.7071i

polovi =

-0.5000 + 0.5000i-0.5000 - 0.5000i

k =[]

tako da mozemo da pisemo

Y(z) =− j0.707·z

z− (−0.5+ j0.5)+

j0.707·zz− (−0.5− j0.5)

=− j0.707·z

z−√

0.5ej3π/4+

j0.707·zz−

√0.5e− j3π/4

(5.21)

InverznomZ transformacijom se dobija

y[n] = − j0.707(√

0.5ej3π/4)n

+ j0.707(√

0.5e− j3π/4)n

= j0.707(√

0.5)n

[(−cos(3nπ/4)− j sin(3nπ/4))+(cos(3nπ/4)− j sin(3nπ/4))]

= j0.707(√

0.5)n

[−2 j sin(3nπ/4)] = 1.4142(0.707)n sin(2.356n), n≥ 0

(5.22)

4. Poznata je prenosna funkcija diskretne mrezeH (z) =z+1

z−0.5

(a) Odrediti impulsni odziv;

(b) Odrediti diferencnu jednacinu diskretne mreze;

(c) Odrediti odziv na ulazni signalx[n] = 3cos(

nπ3

)

u0 [n];

(d) Nacrtati polozaj polova i nula diskretne mreze uz ravni.

(e) Nacrtati amplitudsku i faznu karakteristiku sistema i odrediti pojacanje na frekvencijiFs/3.

Resenje:

Deljenjem brojioca i imenioca saz (najvisi prisutni stepen u brojiocu i imeniocu, kako bi oba polinomabili u funkciji promenljivez−1 (koja ima fizicku interpretaciju (kasnjenje za jedan odbirak) a nez. Kododred-ivanja impulsnog odziva na ulazu jex[n] = δ [n] cija jeZ transformacija jednaka jedinici na osnovucega se dobija

(a)

H (z) =Y (z)X (z)

=1+z−1

1−0.5z−1

X (z) = 1 → Y (z) =

(

1+z−1)

(1−0.5z−1)= −2+

31−0.5z−1

(5.23)

Rezultat je dobijen deljenjem polinoma (ako su polinomi u brojiocu i imeniocu istog stepena ili jepolinom u brojiocu viseg stepena , najpre se pristupa deljenju polinoma a dobijeni ostatak se ra-zlaze na parcijalne razlomke kako bi u tabeliZ transformacije prepoznali odgovarajuce funkcije)

(z−1+1) : (−0.5z−1 +1) = −2+3

−0.5z−1 +1−z−1+2

3

(5.24)

75

InverznomZ transformacijom izraza (5.24) se dobija signaly u vremenskom domenu

y[n] = −2δ [n]+3(0.5)n (5.25)

(b) Na osnovu izraza (5.23) se dobija

Y (z)(1−0.5z−1) = X (z)(1+z−1) (5.26)

na osnovucega se dobija diferencna jednacina

y[n]−0.5y[n−1] = x[n]+x[n−1] (5.27)

(c) Uzevsi u obzirZ transformaciju kosinusne funkcije date u tabeli 6.1

X (z) = 31−z−1cosπ

3

1−2z−1cosπ3 +z−2 =

1−0.5z−1

1−z−1 +z−2 (5.28)

izlazni signal je dat izrazom

Y (z) = H (z)X (z) =1+z−1

1−0.5z−1 · 1−0.5z−1

1−z−1 +z−2 =1+z−1

1−z−1 +z−2 (5.29)

dok je u vremenskom domenu dat sa

y[n] = Z−1

{

1+z−1

1−z−1 +z−2

}

(5.30)

Y (z)z

=z2 +z

(z2−z+1)z=

z+1z2−z+1

(5.31)

brojilac=[0 1 1] % z+1imenilac=[1 -1 1] % zˆ2-z+1[ostaci,polovi,k]=residue(brojilac,imenilac) % ako je%polinom u brojiocu nizeg reda onda je k=0

daje

ostaci =

0.5000 - 0.8660i0.5000 + 0.8660i

polovi =

0.5000 + 0.8660i0.5000 - 0.8660i

k =[]

Y (z) =(0.5− j0.866)z

z− (0.5+ j0.866)+

(0.5+ j0.866)zz− (0.5− j0.866)

=(0.5− j0.866)z

z−√

0.52 +3/4ej arctan

√3

212

+(0.5+ j0.866)z

z−√

0.52 +3/4e− j arctan

√3

212

=(0.5− j0.866)z

z−ejπ/3+

(0.5+ j0.866)z

z−e− jπ/3

(5.32)

76 5. Zadaci

y[n] = (0.5− j0.866)ejnπ/3 +(0.5+ j0.866)e− jnπ/3

= (0.5− j0.866)[cos(nπ/3)+ j sin(nπ/3)]+(0.5+ j0.866)[cos(nπ/3)− j sin(nπ/3)]

= 2·0.5cos(nπ/3)−2 j20.866sin(nπ/3)

= cos(nπ/3)+1.73sin(nπ/3), n≥ 0(5.33)

Prvih 40 odbiraka signalay[n] prikazano je na slici 4c.

0 5 10 15 20 25 30 35 40−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

n

y[n]

Sl. 5.3:

(d) Polozaj polova i nula je dat na slici 4d. Jedini pol se nalazi unutar jedinicnog kruga tako da jesistem stabilan.

(e) Frekvencijske karakteristike sistema odred-uju se smenomz = ejθ , s obzirom da se uz ravnifrekvencijska osa nalazi na jedinicnom krugu. Smenom u izraz

H (z) =z+1

z−0.5se dobija

H(ejθ ) =ejθ +1

ejθ −0.5=

∣

∣

∣H(ejθ )

∣

∣

∣ejϕ(θ) (5.34)

odakle prepoznajemo amplitudsku karakteristiku

∣

∣

∣H(ejθ )

∣

∣

∣=

∣

∣ejθ +1∣

∣

|ejθ −0.5| =|cos(θ)+ j sin(θ)+1||cos(θ)− j sin(θ)−0.5|

=

√

(cos(θ)+1)2 +sin(θ)2√

(cos(θ)−0.5)2 +sin(θ)2=

√

cos(θ)2 +2cos(θ)+1+sin(θ)2√

cos(θ)2−cos(θ)+0.25)2 +sin(θ)2

=

√

2+2cos(θ)√

1.25−cos(θ)

(5.35)

kao i faznu karakteristiku

77

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

Sl. 5.4:

ϕ(θ) = arctansin(θ)

cos(θ)+1−arctan

sin(θ)

cos(θ)−0.5(5.36)

Iz proporcije

Fs : π =Fs

3: θ

se dobija da frekvencijiFs/3 [Hz] odgovara digitalna frekvencija

θ =Fs3

Fsπ =

π3

Smenom u izraze (5.35) i (5.36) se dobija da je pojacanje sistema na frekvencijiFs/3

∣

∣

∣H(ejθ )

∣

∣

∣=

√

2+2cos(π/3)√

1.25−cos(π/3)=

1.73210.8660

= 2 (5.37)

dok faza ima vrednost

ϕ(π

3

)

= arctansin(π/3)

cos(π/3)+1−arctan

sin(π/3)

cos(π/3)−0.5= arctan

√3/2

0.5+1−arctan

√3/2

0.5−0.5

= 0.5236−π/2 = −1.0472[rad]

(5.38)

Digitalna frekvencija ima vrednosti iz opsegaϑ ∈ [0,π]. Za proizvoljnu frekvencijuθ , vrednosti am-plitudske karakteristike i faze se dobijaju smenom konkretne vrednostiθ u izraze (5.35) i (5.36), re-spektivno. Ove vrednosti jednostavno se dobijaju u MATLAB

R©-u upotrebom naredbefreqz kojom se

izracunava frekvencijska karakteristika uz ravni. Za konkretni sistem program je:

br=[1 1] % 1+zˆ-1im=[1 -0.5]% 1-0.5zˆ-1% prenosna funkcija tj. koeficijenti polinoma moraju biti

78 5. Zadaci

% dati po promenljivoj zˆ-1 a ne preko z[h,teta]=freqz(br,im,1000); % u vektor h se smesta vrednos t% prenosne funkcije a u vektor teta frekvencije na kojima% je ona izracunata. Treci argument u naredbi freqz je broj% tacaka, ekvidistantno rasporedjenih na opsegu od 0 do pi.figureplot(teta,abs(h))gridxlabel(’frekvencija’)

ylabel(’ampl. karakteristika’)faza = angle(h);figure plot(teta,faza)grid

xlabel(’frekvencija’)ylabel(’faza’)

a karakteristike su prikazane na slikama 4 i 4.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

frekvencija

ampl

. kar

akte

ristik

a

Sl. 5.5:

5. Za linearnu, kauzalnu, vremenski nepromenljivu diskretnu mrezu, definisanu diferencnom jednacinom

y[n] =14

x[n]+12

x[n−1]+14

x[n−3]

odrediti impulsni odziv mreze, prenosnu funkciju, polozaj polova i nula i odziv ako je ulazni niz

x[n] = 2(0.9)nu0 [n]

Resenje:Diferencna jednacina diskretne mreze je:y[n] = 14x[n]+ 1

2x[n−1]+ 14x[n−3]

79

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

frekvencija

faza

Sl. 5.6:

PrimenomZ transformacije na prethodnu jednacinu dobija se

Y (z) =14

X (z)+12

X (z)z−1 +14

X (z)z−3

Impulsni odziv sistema se dobija za ulazni nizx[n] = δ [n] tj. X (z) = 1 tako da je

Y (z) =14

+12

z−1 +14

z−3

InverznomZ transformacijom se dobija

h[n] = y[n] =14

δ [n]+12

δ [n−1]+14

δ [n−3]

Primecujemo da je impulsni odziv konacne duzine tako da je rec o nerekurzivnom filtru (FIR) kod kojegizlazni odbirci zavise samo od ulaza ali ne i od prethodnih odbiraka izlaznog signala.

h[n] =

{

14,12,0,

14

}

Prenosna funkcija diskretne mreze je

H (z) =Y (z)X (z)

=14

+12

z−1 +14

z−3 =14

z3 +2z2 +1z3

Resavanjem jednacinez3 +2z2 +1 = 0 dobijaju se nule diskretne mreze. Koriscenjem MATLABR©

-a inaredberoots

roots([1 2 0 1])

dobija se

80 5. Zadaci

-2.2056 + 0.0000i0.1028 + 0.6655i0.1028 - 0.6655i

Resavanjem jednacinez3 = 0 dobijaju se polovi diskretne mreze (trostruki pol u koordinatnom pocetku).

Ukoliko se nizx[n] = 2(0.9)nu0 [n]

cija jeZ transformacija

X (z) = 21

1−0.9z−1

dovede na ulaz diskretne mreze, odziv je

Y (z) =14

(

1+2z−1 +z−3) 21−0.9z−1 =

1+2z−1 +z−3

2(1−0.9z−1)=

z3 +2z2 +12z2(z−0.9)

Y (z)z

=z3 +2z2 +12z3(z−0.9)

=Az3 +

Bz2 +

Cz

+D

z−0.9

br=[1 2 0 1]im=[2 -1.8 0 0 0][r,p,k]=residue(br,im)

r =2.2970

-1.7970-0.6173-0.5556

p =0.9000

000

k =[]

Y (z) =z3 +2z2 +12z2(z−0.9)

=−0.5556

z2 +−0.6173

z−1.7970+

2.2970zz−0.9

(5.39)

tako da se za izlazni signal dobija

y[n] = −1.7970δ [n]−0.6173δ [n−1]−0.5556δ [n−2]+2.2970(0.9)n, n≥ 0 (5.40)

6. Koristeci Ojlerovu aproksimaciju

du(t)dt

=u(t)−U (t −T)

T

odrediti diskretnu mrezu koja simulira rad RC mreze sa slike 5.7

81

ug(t)R

C u(t)

+

-

i(t)

Sl. 5.7:

Resenje (I nacin):

i (t) = Cdu(t)

dtdu(t)

dt∼= u(t)−u(t −T)

Tu[n] ∼= u(t) |t=nT

u[n−1] ∼= u(t −T) |t=nT

ug (t) = Ri(t)+u(t)

ug (t) = RCdu(t)

dt+u(t) /RC

1RC

ug (t) =du(t)

dt+

1RC

u(t)

1RC

ug [n] =u[n]−u[n−1]

T+

1RC

u[n]

1RC

ug [n] = u[n]

(

1T

+1

RC

)

− 1T

u[n−1]

u[n]

(

1T

+1

RC

)

=1

RCug [n]+

1T

u[n−1]

u[n]RC+TRCT

=1

RCug [n]+

1T

u[n−1] / · RCTRC+T

Prakticno se doslo do odgovarajuce diferencne jednacine

u[n] =T

RC+Tug [n]+

RCRC+T

u[n−1] = aug [n]+bu[n−1]

gde konstantea i b imaju vrednost

a =T

RC+Tb =

RCRC+T

dok je diskretna mreza prikazana na slici 6.

+

u[n]

z−1

ug[n]a

b

Sl. 5.8:

82 5. Zadaci

Resenje (II nacin):

Resavanjem kola u frekvencijskom domenu (primenom Laplasovetransformacije) odred-ujemo prenosnufunkciju kola usdomenu

U (s) =1sC

R+ 1sC

Ug (s) =1

1+sRCUg (s)

Uvod-enjem smene:s=1T

(

1−z−1)

U (z) =1

1+ RCT (1−z−1)

Ug (z)

U (z) =T

T +RC(1−z−1)Ug (z)

U (z)T +U (z)RC(

1−z−1) = TUg (z)

U (z)(T +RC) = U (z)z−1RC+TUg (z)

U (z) =RC

T +RCU (z)z−1 +

TT +RC

Ug (z)

u[n] =RC

T +RCu[n−1]+

TT +RC

ug [n]

6

Hardverska realizacija prenosnefunkcije diskretnog sistema

83

84 6. Hardverska realizacija prenosne funkcije diskretnog sistema

Tab. 6.1: Z-Transformacija

Signal Z-Transformacija

{δ [n]} 1{δ [n−m]} z−m

{u[n]} 1

1−z−1

{u[n−m]} z−m

1−z−1

{(−1)nh[n]} 11+z−1

{n} z−1

(1−z−1)2

{an} 11−az−1

{nan} az−1

(1−az−1)2

{

n2an} az−1 +a2z−2

(1−az−1)3

{sin[nθ ]} z−1sinθ1−2z−1cosθ +z−2

{cos[nθ ]} 1−z−1cosθ1−2z−1cosθ +z−2

{ansin[nθ ]} az−1sinθ1−2az−1cosθ +a2z−2

{ancos[nθ ]} 1−az−1cosθ1−2az−1cosθ +a2z−2

6.1. Direktna realizacija 85

Prvi korak u realizaciji filtara je odred-ivanje prenosne funkcijeH(z). Kao ulazni paramteri koriste segranicne frekvencije filtra (granice propusnih i nepropusnih opsega) i dozvoljena slabljenja unutar svakogopsega. U propusnim opsezima (propusnik niskih (ili visokih) frekvencija ima samo jedan) je neophodno dapojacanje sistema bude blisko jedinici da bi komponente spektraiz ove oblasti dospele na izlaz sistema (filtra)manje vise neizmenjene. Ista karakteristika umesto preko pojacanja (modula amplitudske karakteristike) mozebiti zadata preko slabljenja, koje je definisano kao−20log10(po jacan je), sto znaci da u idealnom slucaju upropusnom opsegu sezeli da obezbedi slabljenje od 0 dB (−20log10(1) = 0. U praksi se idealna karakteristikaaproksimira i dozvoljava neko maksimalno slabljenje u propusnom opseguamax. U mnogom primenamauobicajeno je da unutar propusnog opsega bude dozvoljeno slabljenje do 3 dB. Nepropusni opseg je dobiotakvo ime jer na tim frekvencijama je cilj da se na izlazu filtra ne pojave komponente spektra koje su inaceprisutne u ulaznom signalu. Dakle u nepropusnom opsegu je u idealnom slucaju pojacanje sistema jednakonuli a u realnom slucaju je blisko nuli. Kako je−20log10(0) = ∞, idealni filtar u nepropusnom opsegu imabeskonacno slabljenje. Realni filtarce u nepropusnom opsegu imati pojacanje blisko nuli odnosno velikoslabljenje. Na primer, ako je dozvoljeno da pojacanje bude maksimalno 0.001 (umesto idealne nulte vrednosti)takav filtar ima slabljenje od bar−20log10(0.001) = −20log10(10−3) = −20· (−3) = 60 decibela (amin = 60dB).

Na osnovu zadatih specifikacija resava se matematicki problem uz ravni (ova oblast se izucava unutardrugih predmeta, npr. Obrada audio signala...) koji omogucava da se dobiju koeficijenti polinoma prenosnefunkcije. Unutar ovog kursa upoznacete se sa metodama transformacije prenosne funkcije analognog filtra(odredjivanje njegove prenosne funkcije je bio matematiki problem us ravni). Koeficijenti filtra se najcesceodred-uju iterativnim metodama uz pomoc racunara. Tacnost koeficijenta je definisana osobinama procesoratj. racunara i vrednosti ovih koeficijenata mozemo uslovno nazvati idealnim. Crtanjem karakteristike filtrasa dobijenim koeficijentima uveravamo se da su zadovoljene sve zadate specifikacije filtra. Za hardverskurealizaciju digitalnog filtra koriste se samo 3 komponente:sabirac, mnozac i element za kasnjenje (koji unosikasnjenje od jednog odbirka). Kako su u slucaju digitalnog filtra na ulazu nalaze brojevi (ti brojevi predstavl-jaju odbirke ulaznog signala) obrada signala se svodi na manipulaciju nad brojevima (sabiranje i mnozenje).Brojne vrednosti secuvaju u memoriji a operacija kasnjenja se jednostavno realizuje upotrebom pomerackogregistra. Sama memorija odred-uje broj bitova koje imamo na raspolaganju za predstavljanje brojnih vrednosti.Prakticno su vrednosti idealnih koeficijenata zaokruzene i predstavljenje raspolozivim brojem bitova. Poslemnozenja dva broja broj cifara u razlomljenom delu raste (npr. 1.2· 1.2=1.44 ) tako da se rezultat mnozenjapredstavlja rasplozivim brojem bitova tj. mora biti zaokruzen. Sve ovo znaci da zbog zaokruzivanja vrednostikoeficijenata i rezultata mnozenja realizovani filtar ima karakteristiku koja odstupa odidealne (od karakte-ristike kada se koriste idealne vrednosti za koeficijente).Uticaj zaokruzivanja koeficijentace biti pokazankasnije na primeru. Degradiranje karakteristike filtra zbog zaokruzivanja iziskuje potrebu da se pre hardverskerealizacije analizom ustanovi minimalni broj bitova za predstavljanje koeficijenata kako bi dobijena karakteri-stika bila unutar dozvoljenih granica.

Posle definisanja broja bitova za predstavljanje koeficijenata na raspolaganju je prenosna funkcija kojutreba realizovati. Krenuvsi od prenosne funkcije moguce je odrediti vise struktura koje ralizuju isti filtar. Naovom mestu analiziracemo direktnu, direktnu kanonicnu, kaskadnu i paralelnu realizaciju. Postoje i drugemetode za realizaciju ali nece biti obuhvacene ovim kursom.

6.1 Direktna realizacija

Data je prenosna funkcija diskretne mreze

H (z) =Y (z)X (z)

=1+2z−1 +z−2

1−0.75z−1 +0.125z−2 (6.1)

Odrediti strukturu koja odgovara direktnoj realizaciji date prenosne funkcije.

86 6. Hardverska realizacija prenosne funkcije diskretnog sistema

Resenje: Unakrsnim mnozenjem i inverznomZ transformacijom dolazi se do diferencne jednacine

Y (z)(

1−0.75z−1 +0.125z−2) = X (z)(

1+2z−1 +z−2)

Y (z)−0.75z−1Y (z)+0.125z−2Y (z) = X (z)+2z−1X (z)+z−2X (z)

y[n]−0.75y[n−1]+0.125y[n−2] = x[n]+2x[n−1]+x[n−2]

(6.2)

y[n] = x[n]+2x[n−1]+x[n−2]+0.75y[n−1]−0.125y[n−2] (6.3)

+

+

+

+

x[n] y[n]

z−1

z−1

z−1

z−1

2 0.75

-0.125

Sl. 6.1: Direktna realizacija

Diferencna jednacina pokazuje da odbirak izlaznog signalay[n] zavisi od trenutno prisutnog odbirkaulaznog signalax[n] ali i od prethodnih odbiraka ulaznog i izlaznog signala. Direktnom implementacijomdiferencne jednacine (6.3) dolazi se do strukture prikazane na slici 6.1.

U opstem slucaju, prenosna funkcija redaN ima oblik

H(z) =b0 +b1z−1 +b2z−2 + · · ·+bNz−N

1+a1z−1 +a2z−2 + · · ·+aNz−N (6.4)

i u strukturi za realizaciju filtra se upravo pojavljuju mnozaci koji odbirke ulaznog signalax[n− k] mnoze sabk, k = 0,1, . . . ,N a odbirke izlaznog signalay[n−k] mnoze saak, k = 1,2, . . .N. Odavde zakljucujemo da jeu opstem slucaju za direktnu realizaciju prenosne funkcije neophodno ukupno 2N+1 mnozaca. Naravno, akosu neki od koeficijenata jednaki nuli ili jedinici broj neophodnih mnozaca bice umanjen za njihov broj. Naprimer za prenosnu funkciju drugog reda potrebno je 2N+1 = 5 mnozaca. U datom primeru jeb0 = b2 = 1,tako da je za realizaciju potrebno 3 mnozaca, kako je prikazano na slici 6.1.

Ako je na ulazu elementa za kasnjenje prisutan signalx[n] (y[n]) na njegovom izlazu se dobijax[n− 1](y[n−1]). Ako se ovi signali dovedu na naredni element za kasnjenje, kao na slici 6.1, na izlazu su dostupniodbirci x[n−2] (y[n−2]). Za prenosnu funkciju drugog reda, kao u datom primeru, potrebna su dva elementaza kasnjenje zacuvanje poslednja dva odbirka ulaznog signala kao i jos dva za potrebe izlaznog signala. Uopstem slucaju prenosne funkcije redaN realizacija zahteva 2N elemenata za kasnjenje.

Sabirac na svom izlazu daje sumu dva broja prisutna na njegovim ulazima. Kada se navodi broj neophodnihsabiraca za realizaciju nekog filtra podrazumeva se da je rec o dvoulaznim sabiracima. Da bi sabrali 3 brojaneophodna su 2 sabiraca. Prvice odrediti sumu dva ulazna broja a drugi toj sumi dodaje treci broj. Svakidodatni broj za sabiranje zahteva novi sabirac. Polinom redaN ima N + 1 koeficijent (b0,b1, . . .bN). Prirealizaciji filtra drugog reda potrebno je sabrati 3 (tj.N+1) odbirka ulaznog signala i 2 (N) odbirka izlaznogsignala. Dakle, broj potrebnih dvoulaznih sabiraca za realizaciju prenosne funkcije redaN iznosi 2N.

Mnozac je kompleksnija komponenta od sabiraca. Mnozac zbog toga zahteva primetno vise energije akod realizacije nacipu neophodan je veci prostor za njegovu implementaciju. Neki digitalni ured-aji ne koristestalno napajanje (rade na baterije). U tom slucaju je od interesa pri implementaciji filtra odabrati strukturu kojazahteva minimalni broj mnozaca kako bi se produzilo vreme autonomnog rada (duzi vek trajanja baterije).

Literatura

87

niverzitet u niˇsu elektronski fakultetelektronika.elfak.ni.ac.rs/_files/goran.stancic/...10 12 14...

Documents