normalverteilung bei stetigen zufallsgrößen magnus frühling
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Normalverteilung bei stetigen Zufallsgrößen
Magnus Frühling
Gaußsche Normalverteilung Wahrscheinlichkeitsdichte Standardnormalverteilung Verallgemeinerung Zentraler Gernzwertsatz Beispiele Quellen
Inhalt
Dichteverteilung bei stetigen (Zufalls-) Variablen
µ = Erwartungswert („Mittelwert“ einer Zufallsvariablen) σ² = Varianz π=3,14... e=2,72… Symmetrisch (um µ)
Gaußsche Normalverteilung
Stetige Zufallsvariable -> ein bestimmter Wert hat keine zuordenbare Wahrscheinlichkeit bzw. Wahrscheinlichkeit Null
P(X =ℝ) = 0 Nur Intervalle tragen Wahrscheinlichkeit ->
Wahrscheinlichkeitsdichte
Wahrscheinlichkeitsdichte
Bei Standardisierung wird die Normalverteilung in die Standardnormalverteilung N (0;1) gebracht
Z-Transformation:
Dichtefunktion :
Standardnormalverteilung
Ca. 68 % der Werte liegen in einem Bereich von +/- 1 σ um den Mittelwert.
Gut 95 % der Werte liegen in einem Bereich von +/- 2 σ um den Mittelwert.
99,7 % der Werte liegen in einem Bereich von +/- 3 σ um den Mittelwert.
Verallgemeinerung
Mit steigender Stichprobengröße und identischer Wahrscheinlichkeitsverteilung nähert sich die Verteilungen der Standardnormalverteilung an.
Stichprobengröße n ≥ 30
Zentraler Gernzwertsatz
Beispiel SchraubeNIE alle gleich groß
„Atomgröße“
Massen von Körpern Körperlängen Abstand von Treppenstufen Korngrößen Teilchengeschwindigkeiten bei konstanter
Temperatur und Druck Fehlerverteilung
Beispiele
www.uni-siegen.de/phil/sozialwissenschaften/soziologie/mitarbeiter/ ludwig-mayerhofer/ statistik/statistik_downloads/statistik_ii_3b.pdf
Mathematik 3.1 Cornelsen Verlag 2011 S.118ff
Quellen
http://www.rahmen-manufaktur.de/images/product_images/ original_images/1048_0.jpg
www.uni-siegen.de/phil/sozialwissenschaften/soziologie/mitarbeiter/ludwig-mayerhofer/statistik/statistik_downloads/statistik_ii_3b.pdf
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