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Notas sobre Geometría Euclideana

1. Introducción

Una buena parte de la información que hoy tenemos sobre el conocimiento matemático

en la antigüedad, se debe a Proclo, historiador matemático que vivió en el siglo V d. C.

en la antigua Grecia, quien recuperó un famoso resumen elaborado por Eudemo, alumno

de Aristóteles, llamado Sumario de Eudemo y que, a su vez, contiene los trabajos de

otro distinguido personaje llamado Herodoto.

Herodoto vivió de 485 a 425 a C. y se le ubica como el primer historiador griego que

sistematiza el conocimiento matemático del antiguo Oriente, además de los resultados

que se producían en ese momento alrededor del Mar Mediterráneo. Seguramente, estos

trabajos fueron retomados por Eudemo, alrededor del año 335 a. C., para elaborar su

Sumario, el cuál fue extraviado y descubierto siete siglos después por Proclo. Quizás,

este último sea la fuente principal de la preservación de “Los elementos” de Euclides,

quien vivió alrededor del año 300 a. C., obra que posteriormente (ya en el siglo XX) fue

retomada, analizada y comentada por destacados matemáticos (e historiadores) como

Howard Eves y Sir Thomas L. Heath, entre otros.

Se reconoce a Tales de Mileto, de alrededor del año 600 a C., como el primero en

plantear proposiciones cuya veracidad pudiera comprobarse a partir de un método que

permita organizar el discurso matemático y sistematizar el conocimiento geométrico;

obra que concluyó Euclides, alrededor del año 300 a C., estableciendo el método

axiomático para hacer deducciones y organizar el discurso.

Con dicho método, se trataba de partir del menor número de premisas: conceptos

indefinidos (hoy se acepta que podrían ser punto, recta y plano); axiomas o postulados

(proposiciones verdaderas que por su evidencia aceptamos sin demostración) y reglas

que permitan operar, relacionar y argumentar. Con estas premisas se definen los

elementos geométricos, necesarios para armar el discurso, y se plantean proposiciones

verdaderas que pueden demostrarse con base en el eslabonamiento de argumentos

simples o de otros argumentos cuya veracidad puede ser o fue previamente establecida.

Estas proposiciones se llaman Teoremas, y constituyen la base fundamental del

desarrollo del conocimiento matemático.

Euclides de Alejandría (300 a C.) produjo la obra maestra de su época: Los elementos;

13 libros con 465 proposiciones claras y elegantemente discutidas y organizadas, en las

que se aplica el método axiomático y se recurre a la lógica para hacer deducciones y

regular el discurso. Estos libros abarcan tópicos de geometría plana y del espacio, teoría

de números y de álgebra geométrica. La primera versión, difundida por Proclo, se basa

en los trabajos que Teón de Alejandría realizó en el año 400 d C.

El Libro I trata sobre congruencia de triángulos, paralelismo, suma de ángulos de un

polígono, áreas de triángulos y paralelogramos y el Teorema de Pitágoras.

El Libro II contiene la famosa sección áurea y un conjunto de relaciones que establecen

la igualdad de áreas de diferentes rectángulos (álgebra geométrica) que conducen a la


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resolución geométrica de la ecuación de segundo grado. En el Libro III se estudia la

circunferencia, ángulos inscritos y el Teorema de la potencia de un punto.

El Libro IV se refiere a la construcción de los polígonos regulares inscritos o

circunscritos en una circunferencia. En el Libro V se hace un estudio general sobre

medidas de magnitudes geométricas que conducen a lo números irracionales. En el

Libro VI se estudia la proporcionalidad y la semejanza de triángulos.

Los Libros VII, VIII y IX se dedican al estudio de la aritmética: proporciones, máximo

común divisor y números primos. En el Libro X se hace un estudio de los números

inconmensurables a partir de los radicales cuadráticos.

Los Libros XI y XII trata sobre la geometría del espacio, en particular las relaciones

entre volúmenes de prismas y pirámides, entre cilindro y cono; y la proporcionalidad

entre el volumen de una esfera y el cubo del diámetro. Finalmente, el Libro XIII se

dedica a la construcción de los cinco poliedros regulares, llamados sólidos platónicos.

2. Patrón axiomático sugerido por Euclides

Euclides se propuso organizar el conocimiento matemático con base en un método en el

que la lógica jugara un papel importante. Decidió utilizar el método axiomático; se parte

del menor número posible de premisas para deducir el mayor número de proposiciones,

utilizando para ello definiciones y reglas de argumentación lógica. La deducción

consiste en utilizar un razonamiento que va de lo general a lo particular; ello significa

que una demostración es una argumentación lógica en la que se eslabonan argumentos

aceptados como verdaderos, para hacer evidente una afirmación que, inicialmente,

puede no serlo.

Conceptos indefinidos.

Conviene agregar al patrón del método axiomático ideado por Euclides, la explicación

de tres términos básicos: punto; línea recta; y plano, con la intensión de sugerir lo que

significan, los cuales se aceptan por la idea intuitiva que tenemos acerca de ellos.

Inicialmente, estos conceptos indefinidos no fueron expuestos de esta manera por

Euclides. Obsérvese que no se incluye espacio, ya que éste puede ser definido en

términos de la noción de conjunto: espacio es el conjunto de todos los puntos.

Axiomas, postulados.

Se enuncian algunas proposiciones (o principios) relativas a los términos básicos y se

suponen verdaderas con base en las primeras explicaciones. Las proposiciones

relacionadas con las reglas para organizar el discurso son los axiomas; mientras que las

relacionadas con las propiedades de los elementos geométricos básicos son los

postulados. Es decir, Euclides sugirió una diferencia entre las proposiciones evidentes

que aceptamos sin demostración que son comunes a diferentes discursos llamados

“axiomas”, ya sea algebraico o aritmético, etc., de las relativas a los elementos

geométricos “postulados”. En la actualidad se manejan como lo mismo.


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Definiciones.

Los demás términos del discurso se definen a partir de los términos básicos introducidos

al inicio.

Teoremas.

Las demás proposiciones del discurso se demuestran lógicamente a partir de los

axiomas o postulados iniciales; proceso en el que se utilizan diferentes definiciones o

resultados de otros Teoremas previamente demostrados. De esta manera, un Teorema es

una proposición verdadera que puede demostrarse (deducirse) mediante el

eslabonamiento de argumentos simples (definiciones, axiomas, postulados) y/o

resultados de otras proposiciones previamente aceptadas como verdaderas (Teoremas),

que conduce a hacer evidente los que se afirma en la proposición.

El Libro I de Los Elementos de Euclides, inicia con 23 definiciones, cinco Postulados y

nueve Axiomas; para luego continuar con 48 proposiciones.

Axiomas o nociones comunes. Aquí enlistamos seis:

1. Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí.

2. Si a cosas iguales se agregan cosas iguales, los totales son iguales.

3. Si de cosas iguales se quitan cosas, los restos son iguales.

4. Si a cosas desiguales se agregan cosas iguales, los totales son desiguales.

5. Las cosas que congruentes entre sí, son iguales entre sí.

6. El todo es mayos que cada una de sus partes.

Postulados:

1. Una recta puede trazarse desde un punto cualquiera hasta otro punto cualquiera.

2. Una recta limitada puede prolongarse continuamente por cualquiera de sus extremos

y convertirse en una recta ilimitada.

3. Una circunferencia puede describirse con un centro y una distancia.

4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

5. Si una recta que corte a otras dos, forma con éstas ángulos interiores del mismo lado

de ella cuya suma es menor que dos rectos, si se prolongan indefinidamente se

cortarán del lado en que dicha suma de ángulos es menor que dos rectos.


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Algunas definiciones:

Segmento: recta limitada por dos puntos llamados extremos.

Triángulo: región del plano limitada por tres segmentos que se intersecan en sus

extremos; estos segmentos se llaman lados del triángulo.

Triángulo isósceles. Triángulo que tiene dos lados iguales.

Proposiciones

Proposiciones sobre triángulos

Proposición 1. Construir un triángulo equilátero sobre un segmento dado.

Proposición 2. Dibujar en un punto dado una recta igual a una recta dada.

Proposición 3. Restar del mayor de dos segmentos dados un segmento igual al menor.

Proposición 4. Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, y tienen los ángulos

comprendidos iguales, entonces también tendrán las bases iguales, y los triángulos serán

iguales, y los ángulos restantes serán iguales, concretamente los opuestos a los lados iguales.

Criterio de congruencia LAL

Proposición 5. En triángulos isósceles los ángulos en la base son iguales y, si los lados

iguales se alargan, los ángulos situados bajo la base serán iguales entre sí. Prueba

indirecta utilizando LAL

Proposición 6. Si en un triángulo dos ángulos son iguales, entonces los lados opuestos a

los ángulos iguales también son iguales uno al otro. Prueba indirecta.

Proposición 7. Dos segmentos respectivamente iguales a otros dos con los mismos extremos en

el mismo lado de una misma recta no se encuentran en dos puntos diferentes.

Proposición 8. Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, y también tienen

la base igual, también tendrán iguales los ángulos comprendidos por los segmentos

iguales. Criterio LLL.

Proposición 9. Dividir en dos partes iguales un ángulo rectilíneo dado. Construcción de

la bisectriz de un ángulo.

Proposición 10. Dividir en dos partes iguales un segmento dado. Punto medio de un

segmento.

Proposición 11. Trazar una recta perpendicular a un segmento dado desde un punto del

mismo segmento.

http://www.euclides.org/menu/elements_esp/01/proposicion2libro1.htm




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Proposición 12. Trazar una recta perpendicular a una recta por un punto exterior a ella.

Proposición 13. Si una recta levantada sobre otra recta forma ángulos, serán rectos o

bien igual a dos rectos.

Proposición 14. Si respecto a una recta cualquiera y en un punto de ella, dos rectas no

situados en el mismo lado de ella forman ángulos adyacentes iguales a dos rectos, las

rectas están sobre la misma recta.

Proposición 15. Si dos rectas se cortan, forman ángulos opuestos por el vértice, iguales.

Corolario. Si dos segmentos se cortan el uno al otro, producen en la intersección

ángulos que suman cuatro ángulos rectos.

Proposición 16. Si se prolonga uno de los lados de un triángulo, el ángulo externo es

mayor que cada uno de los ángulos internos opuestos.

Proposición 17. En cualquier triángulo, la suma de cualesquiera dos ángulos es menor

que dos ángulos rectos.

Proposición 18. En cualquier triángulo, el ángulo mayor es el opuesto al lado mayor.

Proposición 19. En cualquier triángulo, el lado más grande es el opuesto al ángulo

mayor.

Proposición 20. En cualquier triángulo la suma de cualquiera de los dos lados es mayor

que el tercero.

Proposición 21. Si de los extremos de uno de los lados de un triángulo se construyen

dos segmentos que se encuentren dentro del triángulo, entonces la suma de los lados

construidos es menor que la suma de los otros dos lados del triángulo, pero el ángulo

que forman será mayor que el comprendido por los dos lados.

Proposición 22. Construir un triángulo con tres segmentos que son iguales a otros tres

dados. Es necesario que dos de los segmentos tomados juntos de cualquier manera sean

mayores que el restante.

Proposición 23. Construir sobre un segmento dado y en un punto sobre él, un ángulo

rectilíneo igual a un ángulo rectilíneo dado.

Proposición 24. Si dos triángulos tienen iguales dos lados, pero el ángulo comprendido

en uno de ellos es mayor que el del otro, la base también será mayor.

Proposición 25. Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, pero la base del

uno es mayor que la del otro, entonces el ángulo comprendido por los lados iguales del

uno también es mayor que el del otro.


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Proposición 26. Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivos iguales y uno de los

lados, el que une los dos ángulos iguales o el opuesto a uno de los ángulos iguales,

entonces los lados que quedan son iguales y el ángulo restante es igual. Criterio de

congruencia AAL.

Inician proposiciones sobre paralelismo

Proposición 27. Si una recta al incidir sobre otras dos, forma ángulos alternos iguales

entre sí, las dos rectas serán paralelas entre sí. Prueba indirecta.

Proposición 28. Si una recta al incidir sobre otras dos, forma un ángulo externo igual al

interno y opuesto del mismo lado, o los dos internos del mismo lado son iguales a dos

rectos, dichas rectas serán paralelas.

Proposición 29. Una recta que incide sobre dos paralelas forma ángulos alternos

iguales, y ángulos externos iguales a los interiores y opuestos, y los internos del mismo

lado iguales a dos rectos. Primera proposición en la que se utiliza el quinto postulado.

Proposición 30. Las rectas paralelas a una misma recta también son paralelas entre sí.

Proposición 31. Construcción de una recta paralela a una dada por un punto dado.

Proposición 32. En cualquier triángulo, si uno de los lados se prolonga, el ángulo

exterior es igual a la suma de los ángulos interiores y opuestos, y la suma de los tres

ángulos del triángulo es de dos ángulos rectos.

Proposición 33. Los segmentos que unen los extremos de segmentos iguales y paralelos

en la misma dirección son también iguales y paralelos.

Proposición 34. Los lados y ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales uno al

otro y la diagonal divide el área en dos partes iguales.

Inician proposiciones sobre áreas de paralelogramos y triángulos

Proposición 35. Los paralelogramos que están sobre la misma base y están contenidos

entre las mismas paralelas, son equivalentes (tienen la misma área).

Proposición 36. Los paralelogramos que tienen las bases iguales y están contenidos

entre las mismas paralelas, son equivalentes.

Proposición 37. Los triángulos que están sobre la misma base y entre las mismas

paralelas, son equivalentes.


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Proposición 38. Triángulos que están en bases iguales y contenidos entre paralelas, son

equivalentes.

Proposición 39. Triángulos equivalentes que están sobre la misma base y en el mismo

lado, están entre las mismas paralelas.

Proposición 40. Triángulos equivalentes que están sobre bases iguales y en el mismo

lado, están entre las mismas paralelas.

Proposición 41. Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y está

contenido entre las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del triángulo.

Proposición 42. En un ángulo rectilíneo dado, construir un paralelogramo equivalente a

un triángulo dado.

Proposición 43. En cualquier paralelogramo los

complementos de los paralelogramos situados en

torno a la diagonal son equivalentes entre sí (En la

figura, se refiere a la igualdad de áreas de los

paralelogramos EAGQ Y HQFC).

Proposición 44. En una recta dada construir con un ángulo dado un paralelogramo igual

a un triángulo dado.

Proposición 45. En un ángulo rectilíneo dado, construir un paralelogramo equivalente a

una figura rectilínea dada.

Proposición 46. Construir un cuadrado sobre un segmento dado.

Proposición 47. En los triángulos rectángulos el cuadrado sobre el lado opuesto al

ángulo recto es equivalente a los cuadrados sobre los lados que forman ese ángulo recto.

Teorema de Pitágoras.

Proposición 48. Si en un triángulo, el cuadrado construido sobre uno de los lados es

equivalente a los cuadrados juntos de los otros dos lados, el ángulo formado por estos

dos lados es recto.

3. Esquema de un teorema y formas de demostración

Un teorema es una proposición verdadera que puede demostrarse (deducirse) a partir de

la utilización de argumentaciones verdaderas, que pueden ser: definiciones, axiomas,

postulados o resultados de otros teoremas. La palabra entonces relaciona la parte del

enunciado de una proposición que nos proporciona la información verdadera (hipótesis)

que es necesaria para iniciar el discurso de la prueba; y la parte de dicho enunciado en la

A

B C

D

E F

G

H

Q


8

que se afirma algo, lo que debe demostrarse (tesis) a través, en este caso, del

razonamiento deductivo; eslabonamiento de argumentos simples y verdaderos. Así,

esquemáticamente, podemos representar a un teorema de la siguiente manera:

qp

Donde p es la hipótesis, q la tesis y el símbolo , es la implicación lógica. Cuando en

un teorema se intercambian p y q se obtiene el teorema recíproco, cuya forma

esquemática es pq .

Demostración directa. Si el eslabonamiento de los argumentos utilizados en la

deducción, parte de p y son dirigidos hacia q, se dice que la demostración es directa.

Este tipo de demostración es utilizado por Euclides en la mayoría de las proposiciones

de Los elementos; sin embargo, muy pronto se dio cuenta que en algunas ocasiones es

conveniente no seguir este camino (Proposición 6 del Libro I), sino utilizar una forma

indirecta de demostración.

Demostración indirecta. Una demostración indirecta parte de p y de la negación de q,

para que mediante el eslabonamiento de argumentos simples y verdaderos, se llegue a

un resultado que es absurdo lógicamente o que contradice una afirmación verdadera

(puede ser la hipótesis, un postulado o algún resultado de otro teorema; en este caso se

dice que hay una contradicción).

Demostraciones de algunas proposiciones de Euclides

Proposición 4. Actualmente la demostración que hace Euclides no se acepta y en lugar

de ello se considera como el primer postulado de Congruencia de Triángulos, llamado

criterio de congruencia LAL.

Proposición 5 (versión actual)

Si un triángulo ∆ABC tiene dos lados congruentes, entonces, los ángulos opuestos a

tales lados, también son congruentes. Esto es:

Sea entonces BAC BCA.

Demostración:

1. Se prolonga y en tal prolongación se elige un punto

E (postulado 2).

2. Se prolonga , con centro en B y longitud BE se traza

un círculo que corta esta prolongación en D. Luego, por

la definición de círculo, BE = BD.

3. Los triángulos ∆EBC y ∆DBA tienen dos lados correspondientes congruentes:

(Paso 2) y (Hipótesis) y el ángulo B está entre ambos pares de

lados (ángulo común) entonces, ∆EBC∆DBA (proposición 4) y por lo tanto

AD=CE, ED.

A C

B

E D


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4. De (2) e hipótesis se sigue también que EA=DC (axioma: si de cosas iguales se

restan cosas iguales los resultados son iguales).

5. Los triángulos ∆EAC y ∆DCA tienen dos lados correspondientes congruentes:

(Paso 4), y ED (Paso 3), entonces, ∆ECA∆DAC

(proposición 4) y por lo tanto ECADAC.

6. Finalmente BAC = BAD – DAC y BCA= BCE - ECE, por lo tanto

BAC BCA (axioma: si de cosas iguales se restan cosas iguales los resultados

son iguales). QED.

A continuación demostraremos la proposición 6, la cual tiene dos características

interesantes: es la ‘reciproca’ de la proposición 5 (la hipótesis y la tesis se invierten) y

es la primera en la que Euclides utiliza el método de demostración indirecto.

Proposición 6

Si un triángulo ∆ABC tiene dos ángulos congruentes, entonces, los lados opuestos a

tales ángulos, también son congruentes. Esto es:

Sea BAC BCA entonces .

Demostración:

1. Supongamos que la tesis no se cumple y (el

caso se demostrará de forma similar).

[Comentario: Euclides diría: “si así no fuera (es decir, que

los lados opuestos son iguales) habría uno mayor que el

otro; sea AB el mayor …”. Nótese que aquí se está

recurriendo a la Ley de tricotomía de los números reales].

2. Sobre determinamos el punto D, tal que AD = CB luego, el ∆ACD es isóceles y,

por proposición 5, DAC =DCA.

3. El BCA DCA (por ser este parte del primero) y como DAC =BAC, se

sigue que BCA BAC lo cual contradice la hipótesis y por lo tanto

BAC BCA. QED.

El eslabonamiento lógico de argumentos nos llevó a hacer evidente que para los lados

AB y AC no hay otra alternativa más que ser iguales.

Proposiciones de desigualdades

Enseguida abordaremos una serie de proposiciones mediante las cuales se establecen

propiedades de desigualdades en los triángulos y que concluyen con un teorema muy

importante, en el cual establece la ‘desigualdad del triángulo’

Proposición 16 (Teorema del ángulo externo)

A C

B

D


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Si se considera cualquiera de los ángulos exteriores de un triángulo ABC, entonces su

medida es mayor que la medida de cualquiera de los ángulos interiores no adyacentes a

él. (indicaremos la medida de un ángulo por m ).

Aquí la hipótesis p es: El es un ángulo exterior del triángulo ABC; y la tesis

q: mDCA es mayor que mBAC y mDCA es mayor que mCBA. Demostraremos

la primera desigualdad.

Demostración. Consideremos el ángulo exterior DCA del y sea M el punto medio

del lado AC; trazamos la mediana BM y la prolongamos hasta el punto N tal que

; finalmente, tracemos CN.

Figura: Teorema del ángulo externo.

Analicemos la correspondencia AMB y CMN de los triángulos :

por definición de punto medio;

por ser ángulos opuestos por el vértice; y

por construcción (así lo trazamos)

entonces por el Postulado de congruencia LAL.

Por lo tanto, . Pero el ángulo NCM es una parte del ángulo DCA; de ahí

que

Entonces , que es precisamente lo que queríamos de mostrar.

Para demostrar la otra desigualdad basta con localizar L, el punto medio de BC, trazar la

mediana AL y seguir el razonamiento de manera similar.

Proposición 17

En cualquier triángulo, la suma de cualesquiera dos ángulos es menor que dos rectos.

Hipótesis: Sea ∆ABC cualquier triángulo

Tesis: a) mA + mB 180o, b) mA + mC 180

o y c) mB + mC 180

o

B

A

C

M

5,85 cm

N

D


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A

B

C

Demostración de la primera desigualdad:

1. Por ser m externo de mA entonces m +mA = 180

o (definición de ángulo externo).

2. De la proposición 16 m mB, luego m +

mA mB+mA

3. De (1) y (2): mA + mB 180o. QED

La demostración de las otras desigualdades se hace de

manera similar.

Proposición 18

En cualquier triángulo, al ángulo mayor se opone lado mayor.

Hipótesis: Sea ∆ABC un triángulo tal que mA mC.

Tesis:

Demostración (indirecta):

Supongamos que BC ≤ AB y consideremos los dos casos:

a) BC = AB y b) BC AB

1. Si (a) es cierto, entonces el ∆ABC es isóceles y por tanto mA = mC (Prop. 5), lo

cual contradice la hipótesis.

2. Si (b) es cierta, en AB determinamos el punto D tal que BD = BC, de manera que el

∆DBC es isóceles y por tanto mBDC = mBCD (Prop. 5).

3. mBDC mA (prop. 16) y mC mBCD, de lo anterior y (2) se sigue que

mC mA, lo cual contradice la hipótesis.

4. De (1) y (3) se concluye que BC AB.QED.

Demostrar la proposición 19 (recíproco de la 18)

Proposición 20 (Teorema de la desigualdad del triángulo)

Si ABC es un triángulo entonces la suma de las longitudes de cualesquiera dos de sus

lados es mayor que la longitud del tercer lado.

Es un teorema de extrema importancia; establece la posibilidad de construir la figura

plana convexa con el menor número de lados. Prácticamente el desarrollo de toda la

geometría depende, en mayor o menor parte, de él. Juega un papel fundamental en

diferentes ramas de las matemáticas como variable compleja, análisis matemático,

álgebra superior, cálculo, entre otras; y también está presente en otras ciencias; Física,

Química, Ingeniería.

Teorema. Si ABC es un triángulo arbitrario entonces la suma de las longitudes de

cualesquiera dos de sus lados es mayor que la longitud del tercer lado.

B

C A

D


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Demostración: Sea ABC el triángulo dado (esto es p; la hipótesis) y representémoslo

gráficamente. Debemos probar que

BCABCAoABCABCoCABCAB ;; .

Probemos la primera desigualdad. Para ello usaremos un trazo

auxiliar (permisible con regla y compás) y los lemas: “En todo

triángulo, a ángulo mayor se opone lado mayor” y Teorema del

triángulo isósceles.

Trazo: Con centro en B dibujemos la circunferencia de radio BA

que interseca a la prolongación de CB en P y trazamos PA. Así, se

ha formado el APB .

Como el BPA es isósceles con BABP , entonces

BAPAPB por el Teorema del triángulo isósceles.

Pero el BAP es una parte del CAP , entonces BAPCAP ; de ahí que

APCAPBCAP (aquí de está utilizando el axioma: “el todo es mayor que la

parte”); y como a ángulo mayor se opone lado mayor, tenemos que en el APC se

cumple CAPC ; pero

BCABBCPBPC , luego entonces:

CABCAB ,

que es lo que queríamos probar.

Obsérvese un encadenamiento de argumentos verdaderos

que van directamente de p a q: un “trazo permisible”;

definiciones de triángulo y triángulo isósceles; el axioma

“el todo es mayor que la parte”; Teoremas del triángulo

isósceles y el de “ángulo mayor se opone lado mayor”. Así,

la argumentación condujo a evidenciar que, efectivamente,

la suma de cuales quiera dos lados de un triángulo es mayor

que el tercer lado.

Con este teorema y otros que hemos enlistado, se pueden probar los Teoremas de

congruencia LAA y el llamado hipotenusa-cateto; así como el Teorema de la charnela y

su recíproco, entre otros. Cabe mencionar que este último es el único teorema que

permite aplicar transitividad, en triángulos distintos, entre la desigualdad de lados o

ángulos a partir de la desigualdad de ángulos o lados.

Problemas

1. Si el ABC es rectángulo en B; ACBD en D y

DCAD , demostrar que BCAB .


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2. Si en el problema anterior cambiamos la tercera hipótesis por BCAB , demostrar

que DCAD .

3. En el triángulo PQR, RQTRPT ;

demostrar que RQPR .

4. Demostrar que la longitud de la mediana de un lado del ABC es menor que la

mitad de la suma de las longitudes de los lados que la comprenden.

5. Si en cualquier triángulo ABC se construyen triángulos equiláteros sobre los lados

AB, BC y CA, determinando los puntos P, Q y R, respectivamente, demostrar que los

segmentos PC, QA y RB son congruentes. [Estos segmentos se intersecan en un

punto F, llamado punto de Fermat]

6. Demostrar que si P es un punto interior del

triángulo ABC, entonces el número CPBPAP

está acotado por el semi perímetro y el perímetro

del triángulo; es decir:

CABCABCPBPAPCABCAB

2.

7. En el triángulo PQR, PB es bisectriz del

ángulo QPR y PRPQ . Demostrar que

PRQB y que PRBR .

Hasta ahora, la mayoría de las proposiciones tratan sobre los triángulos, particularmente

sobre congruencias y desigualdades (ángulos y lados). Esto no es casual, puesto que el

triángulo es una de las figuras geométricas ‘rectilíneas’1 más ‘simples’ y en la cual se

pueden descomponer otras figuras rectilíneas importantes (los cuadriláteros y en general

los polígonos) además es común que para resolver problemas geométricos de muy

diversos tipos al hacer algunos trazos se formen triángulos, cuyas propiedades sean

claves para realizar las demostraciones o resolver los problemas planteados.

Continuaremos pues con algunos teoremas importantes relacionadas con los triángulos,

para lo cual requerimos de dos resultados básicos (lemas) llamados teoremas de

1 Una figura rectilínea es la que está formada por segmentos de rectas.


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caracterización de puntos, típicos de los lugares geométricos, los cuales enunciamos y

comentamos su demostración.

Teorema de la mediatriz

El lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de un segmento dado,

es la mediatriz del segmento.

Para la demostración de este tipo de teoremas se requiere, además de usar la definición

de mediatriz2, probar que si un punto está en la mediatriz entonces equidista; y si un

punto equidista entonces está en la mediatriz. En ambos casos basta con hacer la figura

y aplicar el postulado de congruencia correspondiente.

Teorema de la bisectriz. El lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados

de un ángulo dado, es la bisectriz del ángulo.

Para su demostración se requiere, además de usar la definición de bisectriz3, probar que

si un punto está en la bisectriz entonces equidista de los lados del ángulo; y si un punto

equidista de los lados entonces está en la bisectriz. En ambos casos también basta con

hacer la figura y aplicar el postulado de congruencia correspondiente.

Teorema de la concurrencia de las mediatrices de los lados de un triángulo

Si se trazan las mediatrices de los lados de un triángulo, entonces concurren en un

punto llamado Circuncentro (centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices).

Demostración. Sea el triángulo PQR con L, M y N los puntos medios de sus lados (Ver

Figura). Trazamos las mediatrices de los lados QR y RP, las cuales se cruzan en un

punto C (este punto puede quedar en el interior, exterior o en un lado del triángulo).

Como la mediatriz de QR contiene los puntos del plano que equidistan de Q y de R,

entonces C equidista de Q y de R. Por la misma razón, como C está en la mediatriz de

RP, C equidista de R y de P. Por lo tanto, C equidista de los vértices P y Q; y por el

Teorema de la mediatriz, C está en la mediatriz de PQ.

De aquí se sigue que, efectivamente, las

mediatrices concurren en un punto C

que equidista de los tres vértices del

PQR .

2 Recta perpendicular a un segmento que pasa por su punto medio.

3 Recta que pasa por el vértice de un ángulo y por un punto interior de este, de manera que lo divide en

dos ángulos iguales.


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Teorema de la concurrencia de las bisectrices de los ángulos de un triángulo

Si se trazan las bisectrices de los ángulos de un triángulo, entonces concurren en un

punto llamado Incentro (centro de la circunferencia que es tangente a los lados del

triángulo).

Demostración. Sea el triángulo PQR; trazamos las bisectrices en los vértices P y Q, las

cuales se intersecan en un punto interior del triángulo; llamémosle I (Ver figura).

Por el Teorema de la bisectriz sabemos que la bisectriz en QPR contiene los puntos

que equidistan de los lados del ángulo; en particular, I equidista de PQ y de PR. De la

misma manera, como I está en la bisectriz del RQP entonces I equidista de QR y de

QP. Es decir, I equidista de RP y RQ; de ahí que I pertenece a la bisectriz del PRQ .

Por lo tanto, las bisectrices concurren en I.

Si el punto I equidista de los tres lados

del triángulo, significa que los

segmentos perpendiculares a los lados

trazados desde I tienen la misma

longitud, entonces los “pies” de las

perpendiculares pertenecen a la

circunferencia inscrita.

Si las mediatrices y las bisectrices de un triángulo concurren, se podría inferir que las

medianas y las alturas también concurren y, efectivamente, así es. Sin embargo, hasta el

momento no contamos con los elementos que nos permitan demostrarlo, requerimos de

temas fundamentales de la geometría como son el paralelismo para las medianas y,

además de la circunferencia para las alturas.

Perpendicularidad

Antes de iniciar el estudio de las paralelas, recapacitamos sobre la orientación que le dio

Euclides al desarrollo de la geometría. Con el Postulado 4 del libro I “Todos los ángulos

rectos son iguales”, decidió abordar el estudio de las paralelas con base en la

perpendicularidad.

Después de dar las definiciones de ángulo recto (mide 90 grados) y de rectas

perpendiculares, se establecen una serie de teoremas sobre perpendicularidad, algunos

enunciados en forma breve4, cuya demostración es más o menos inmediata:

i. Por un punto P de una recta l pasa una y sólo una perpendicular a ella.

ii. Desde un punto P que no pertenece a la recta l pasa una y sólo una perpendicular a l.

4 En ocasiones los enunciados de los teoremas se hacen en forma declarativa, sin mantener la estructura

que le da la (implicación lógica) palabra entonces, lo cual requiere precaución adicional cuando se hace

una demostración.


16

iii. Si una recta interseca a un plano, su intersección contiene un solo punto.

iv. Si los puntos A y B equidistan de los puntos P y Q, entonces todo punto entre A y B

también equidista de P y Q (estos puntos no necesariamente están en el mismo

plano que A y B).

Aunque alguien quisiera limitarse al estudio de la Geometría Euclideana en el plano, es

difícil prescindir de algunas proposiciones que involucran al espacio; tal es el caso de la

proposición iii, o del Teorema fundamental de perpendicularidad, el cual

demostraremos más adelante. A continuación presentaremos los postulados del plano y

del espacio y algunos teoremas básicos.

POSTULADOS Y TEOREMAS DEL PLANO Y DEL ESPACIO

Postulado 1

a) Todo plano contiene tres puntos que no están alineados.

b) El espacio contiene al menos cuatro puntos que no están en un plano.

Postulado 2

Si dos puntos de una recta están en un plano entonces la recta está en el mismo plano.

Postulado 3

Tres puntos cualesquiera están al menos en un plano, y tres puntos no alineados están

exactamente en un plano.

Teorema 1

Dado una recta y un punto fuera de ella hay exactamente un plano que los contiene.

(Demostración: aplicar los postulados 2 y 3)

Teorema 2

Dadas dos rectas que se intersecan hay exactamente un plano que las contiene.

(Demostración: aplicar el Teorema 1 y el postulado 2)

Postulado 4

Si dos planos se intersecan, su intersección es una recta.

Definición 1

Un conjunto de puntos A se llama convexo, si para cada dos puntos P y Q del conjunto,

todo el segmento está en A.


17

Postulado 5 (Separación del Plano)

Dada una recta y un plano que la contiene, los puntos que no están en la recta forman

dos conjuntos tales que:

a) Cada uno de los conjuntos es convexo, y

b) Si P está en uno de los conjuntos y Q está en el otro, entonces el segmento interseca a la recta.

Definición 2

A los conjuntos convexos, aludidos en el postulado anterior, se les llama semiplanos de

L (la recta) y a L se le llama arista o borde de cada uno de ellos. Si P está en uno de los

semiplanos y Q en el otro, diremos que están en lados opuestos de L.

Postulado 6 (Separación del Espacio)

Los puntos del espacio que no están en un plano dado forman dos conjuntos tales que:

c) Cada uno de los conjuntos es convexo, y

d) Si P está en uno de los conjuntos y Q está en el otro, entonces el segmento interseca al plano.

Definición 3

Una recta L y un plano w son perpendiculares si se intersecan y si, además, toda recta

en el plano que pasa por el punto de intersección es perpendicular a la recta dada

(escribiremos L w)

Teorema 3 (fundamental de perpendicularidad)

Sea una recta L, perpendicular a dos rectas que se intersecan, en su punto de

intersección, entonces es perpendicular al plano que contiene a las dos rectas

Para su demostración utilizaremos la proposición iv (página 15) y un corolario

(consecuencia inmediata) del Teorema de la mediatriz: “Dados un segmento y una recta

en el mismo plano, si dos puntos de la recta equidistan de los extremos del segmento

entonces la recta es mediatriz del segmento”.

Trazo. Consideremos dos rectas L1 y L2 del plano w que se intersecan en el punto A

(Figura). Sea L la recta perpendicular a ambas en el punto A. Queremos probar que L es

perpendicular a cualquier otra recta de w que pase por A. Llamemos L3 a otra recta

cualquiera de w que pasa por A.

Demostración.

1) Sobre la recta L tomamos los puntos P y Q que equidisten de A luego, A es punto

medio del segmento . 2) L1 y L2 son mediatrices de P por ser perpendiculares a en su punto medio y

por definición de mediatriz.

3) Sean B en L1 y C en L2, puntos en lados opuestos de L3, entonces el segmento

interseca a L3 en algún punto X (Postulado de la separación del plano).


18

Figura: Teorema fundamental de perpendicularidad.

4) Como B y C están en mediatrices de (paso 1) equidistan de P y de Q y, por el teorema iv, todo punto entre B y C equidista de P y de Q; en particular, X equidista

de ellos.

5) Entonces L3 (recta que pasa por A y X) es mediatriz de PQ (por el corolario del

teorema de la mediatriz) por lo tanto, L es perpendicular a L3; lo que queríamos

demostrar.

Teorema 4

Por un punto dado P de una recta dada L pasa un plano perpendicular a la recta dada.

Demostración: considerar dos planos diferentes que contienen a la recta L y, en cada

plano, una recta perpendicular a L en el punto P (proposición I.11 de Euclides) y

aplicar el Teorema 3.

Teorema 5

Si una recta y un plano son perpendiculares, entonces, el plano contiene toda recta

perpendicular a la recta dada en su punto de intersección con el plano dado.

Teorema 6

Por un punto de una recta dada pasa solamente un plano perpendicular a la recta

Teorema 7 (del plano bisecante perpendicular5 )

El plano bisecante perpendicular de un segmento de un segmento es el conjunto de

todos los puntos equidistantes de los extremos del segmento.

5 El plano bisecante perpendicular de un segmento dado es el plano perpendicular al segmento en su

punto medio.


19

Teorema 8

Dos rectas perpendiculares al mismo plano son coplanarias.

Teorema 9

Por un punto dado, pasa un plano y solamente uno, perpendicular a la recta dada.

Teorema 10

El segmento más corto desde un punto a un plano que no lo contiene, es el segmento

perpendicular.

Problemas

1. Demostrar los teoremas 6, 8 y 10.

2. En el cubo de la figura, BMBK . Demostrar que

H equidista de K y de M.

[En un cubo las 12 aristas son congruentes y la

intersección de dos cualesquiera de ellas son

perpendiculares].

3. Argumentar la veracidad de las proposiciones siguientes:

a) Por un punto de una recta dada pasa un plano perpendicular a la recta dada.

b) Por un punto de una recta dada pasa solamente un plano perpendicular a la recta.

c) Dado un segmento cualquiera, el conjunto de todos los puntos que equidistan de

sus extremos es un plano perpendicular al segmento, llamado plano bisecante

perpendicular.

d) Dos rectas perpendiculares al mismo plano son coplanarias.

e) El segmento más corto de un punto a un plano que no lo contiene, es el

segmento perpendicular. [Con base en este teorema se define la distancia de un

punto a un plano].

4. Si en el Problema 1 trazamos el segmento KM y P es el punto medio de éste;

demostrar que el plano HDP es el plano bisecante perpendicular de KM.


20

PARALELISMO

Dadas dos rectas en el espacio hay 3 posibilidades:

1) Se intersecan en un punto y, por el Teorema 2 del plano, son coplanarias.

2) No se intersecan y no son coplanarias (alabeadas).

3) Son coplanarias y no se intersecan (son paralelas).

Definición 1

Rectas que no están en un mismo plano se llaman alabeadas

Definición 2

Dos rectas son paralelas si 1) están en un mismo plano y 2) no se intersecan.

Teorema 1

Dos rectas paralelas están exactamente en un mismo plano.

(Demostración: basta aplicar la definición 2 y el Teorema 1 del plano). Este teorema nos

permite hablar del plano de dos rectas paralelas.

Teorema 2

Dos rectas en un mismo plano son paralelas si ambas son perpendiculares a una misma

recta.

Demostración (indirecta): suponer que las rectas se cortan y llegar a una contradicción

de algún postulado o un teorema previamente demostrado.

Teorema 3

Sea L una recta y P un punto que no está en L, hay por lo menos una recta que pasa por

P y es paralela a L.

Demostración: Trazar la a L desde P y otra a la perpendicular trazada por el punto

P, y aplicar el Teorema 2.

Podría intentarse probar que esa paralela es única, pero ello no es posible, por lo que

más adelante será necesario incorporar el postulado de las paralelas para continuar con

la demostración de propiedades geométricas importantes.

Para continuar con la demostración de otras proposiciones, se requiere introducir nuevas

definiciones.

Definición 3

Una secante a dos rectas coplanarias es una recta que las interseca en dos puntos

diferentes (ver figura)


21

Definición 4

Dadas dos rectas coplanarias L1 y L2 y una secante a ellas T como en la figura

siguiente:

a) Las parejas de ángulos (a,b) y (g,f) se llaman alternos internos.

b) Las parejas de ángulos (h,e) y (d,c) se llaman alternos externos.

c) Las parejas de ángulos (a,c), (g,e), (h,f) y (d,b) se llaman correspondientes.

Teorema 4

Si dos rectas son cortadas por una secante, y dos ángulos alternos internos son

congruentes, entonces los otros dos ángulos alternos internos también son iguales.

(Demostración: inmediata)

Teorema 5 (AIP)

Si dos rectas son cortadas por una secante, y dos ángulos alternos internos son

congruentes, entonces las rectas son paralelas.

Demostración: Aplicar el teorema anterior y suponer que las rectas no son paralelas (se

cortan en un punto); aplicar el T. de ángulo externo para llegar a una contradicción.

b

a

c

d

e

f

g

h

T

L1

L2


22

Problemas 9-1 (Moise&Downs, pp 234-235)

Teorema 6

Sean dos rectas cortadas por una secante. Si dos ángulos correspondientes son

congruentes, entonces dos ángulos alternos internos son iguales.

Demostración: Definición 4c y teorema de ángulos opuestos por el vértice.

Teorema 7

Si dos rectas son cortadas por una secante, y dos ángulos correspondientes son

congruentes, entonces las rectas son paralelas.

Demostración: Teoremas 6 y 5.

Los tres teoremas anteriores, básicamente corresponden a las proposiciones 27 y 28 del

libro I de los Elementos. Hasta aquí, Euclides prescinde de utilizar el quinto postulado

(de las paralelas) el cual emplea, por primera vez, para probar los recíprocos de los

teoremas 5 y 7, en la proposición 29.

Problemas 9-2 (p. 237)

POSTULADO DE LAS PARALELAS (V postulado de Euclides)

Por un punto externo dado, hay solamente una paralela a una recta dada.

Teorema 8 (PAI)

Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante, entonces los ángulos alternos

internos son congruentes (recíproco

del T.5 AIP).

Demostración. Sean l y m las rectas

que son paralelas y sea s la recta

secante. Llamemos P y Q los puntos

en que s interseca a l y m,

respectivamente.


23

De manera indirecta, supongamos que los ángulos alternos internos no son iguales; esto

es, que BQPAPQ . Si ocurre que BQPAPQ , entonces existe una recta t

que pasa por P, para la cual BQPCPQ . Esto significa que las rectas t y m,

cortadas por s, tienen ángulos alternos internos iguales; y por el teorema 5 (AIP) t y m

son paralelas.

Pero por hipótesis l y m también son paralelas, lo cual contradice el quinto Postulado,

por lo que, los ángulos alternos internos son iguales. Esto completa la demostración.

El Postulado 5 se utilizó para asegurar la unicidad de las paralelas; y es, precisamente,

la negación de esta unicidad la que origina el surgimiento de las Geometrías no

Euclideanas. Una manera de negarla es suponer que por el punto P pasa más de una

paralela a la recta dada; y la otra manera consiste en suponer que no pasa ninguna.

Teorema 9

Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante, cada par de ángulos

correspondientes son congruentes.

Demostración: Utilizar el Teorema 8 y el Teorema de ángulos opuestos por el vértice.

Teorema 10

Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante, los ángulos internos de un mismo

lado de la secante son suplementarios.

Teorema 11

En un plano, si dos rectas son paralelas a una tercera recta, entonces son paralelas entre

sí.

Teorema 12

En un plano, si una recta es perpendicular a una de dos rectas paralelas, es perpendicular

a la otra.

Problemas 9-3 (pp 240-241)

Enseguida probaremos una propiedad de los triángulos que nos es familiar desde la

enseñanza primaria

Teorema 13

En todo triángulo, la suma de las medidas de sus ángulos es de 180°


24

Demostración

Sea un ∆ABC cualquiera, y L la recta paralela a AC que pasa por B. Sean los ángulos

a, a’, c, c’ y b, como se indican en la figura.

1) ma = ma’ y m c =m c’

por ser alternos internos entre

paralelas (T. PAI).

2) ma’+ mb +mc’ =180°,

los extremos forman un par

lineal.

3) ma + mb +mc’ =180°, de 1 y 2.

El teorema anterior es una de las proposiciones que son equivalentes al postulado de las

paralelas, esto, si el primero se asume como postulado, el segundo puede ser probado

empleando el primero y, desde luego los teoremas anteriores.

Corolario 13.1

Si en dos triángulos, dos ángulos de uno de ellos son congruentes a dos del otro,

entonces, el tercer ángulo de los triángulos también son congruentes.

Corolario 13.2

Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios (la suma de sus

medidas es 90°).

Corolario 13.3

En todo triángulo, la medida de cualquiera de sus ángulos externos es la suma de las

medidas de los dos ángulos internos no contiguos.

CUADRILATEROS

Una vez enunciados los teoremas relativos al paralelismo, se definen y clasifican los

cuadriláteros, adquiriendo especial atención los paralelogramos. Un paralelogramo es

un cuadrilátero que tiene pares de lados opuestos paralelos. Enseguida se da una lista de

teoremas; sus demostraciones dependen de los teoremas sobre paralelas:

T1. Cada diagonal decompone a un paralelogramo en dos triángulos congruentes.

T2. En un paralelogramo dos lados opuestos cualesquiera son congruentes.

T3. Si dos rectas son paralelas, entonces todos los puntos de cada recta equidistan de la

otra.

B

C A

L

a

c' b a'

c


25

T4. En un paralelogramo, dos ángulos opuestos cualesquiera son congruentes.

T5. En un paralelogramo, dos ángulos consecutivos cualesquiera son suplementarios.

T6. Las diagonales de un paralelogramo se bisecan.

T7. Si ambos pares de lados de un cuadrilátero son congruentes, entonces el

cuadrilátero es un paralelogramo.

T8. Si dos lados de un cuadrilátero son paralelos y congruentes, entonces el cuadrilátero

es un paralelogramo.

T9. Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan, entonces el cuadrilátero es un

paralelogramo.

T10. Si un paralelogramo tiene un ángulo recto, entonces tiene cuatro ángulos rectos y

se trata de un rectángulo.

T11. En un rombo, las diagonales son perpendiculares entre sí.

T12. Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan y son perpendiculares, entonces el

cuadrilátero es un rombo.

Ahora estamos preparados para estudiar una proposición que más usos y aplicaciones

tiene para demostrar otros teoremas o resolver una variedad de problemas; en particular,

nos servirá para probar que las medianas concurren. Nos referimos al siguiente:

Teorema 13 (del segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo)

En un triángulo dado, si trazamos el segmento que une los puntos medios de dos de sus

lados, entonces el segmento es paralelo al tercer lado y mide la mitad de este.

Demostración.

Sea ABC el triángulo dado, N y M los puntos medios de AB y AC, respectivamente

(ver figura); si trazamos NM, queremos probar que BCNMyBCNM2

1|| .

Enseguida prolongamos NM por N hasta D, de modo que MDNM y trazamos CD.

Analicemos la correspondencia CDMANM : MCAM pues M es punto medio;

CMDAMN por ser opuestos por el vértice; MDNM por trazo. La


26

correspondencia es tipo LAL, por lo tanto CDMANM . Entonces CDAN y

MDCMNA , estos ángulos son alternos internos, por lo tanto CDAN || y como N

es punto medio de AB, se sigue que CDNB .

Entonces tenemos un cuadrilátero NBCD con un par de lados opuestos paralelos y

congruentes; por el T8, el cuadrilátero es un paralelogramo. De ahí que, por definición,

BCNM || y además BCNMMD 2 ; por tanto BCNM2

1 , como lo queríamos

probar.

Ahora pasamos a enunciar y demostrar el siguiente teorema fundamental, cuya

utilización es sustancial en diversas aplicaciones físicas y de ingeniería:

Teorema 14 (de la concurrencia de las medianas de los lados de un triángulo)

Si se trazan las medianas de los lados de un triángulo, entonces concurren en un punto

interior llamado Centro de gravedad (centroide o baricentro del triángulo).

Demostración. Sea el triángulo PQR con L, M y N los puntos medios de los lados QR,

RP y PQ, respectivamente. Si dibujamos las medianas PL y RN, estas se cruzan en un

punto G (Figura 2.11, derecha). Ahora localicemos los puntos medios de PG y RG, sean

estos D y F. Tracemos el cuadrilátero LNDF.

Aplicando el lema anterior al PQR :

PRNLyPRNL2

1|| .

Pero al aplicarlo también al

PRDFyPRDFPGR2

1|| ;

es decir LNDF es un cuadrilátero con un par de lados opuestos paralelos y congruentes,

entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. Y como en un paralelogramo las

diagonales se bisecan, entonces GNFGyGLDG . Como que D y F son puntos

medios de PG y RG, resulta que G es un punto común a las dos medianas, tal que

2GN

RG

GL

PG (i).


27

Figura 2.11. Localización del Centro de gravedad.

Ahora trabajemos con las medianas PL y QM (Figura 2.11, izquierda); en forma similar,

si D es el punto medio de PG y E el punto medio de QG y trazando DMLE, llegaremos

a: PQDELMyDEPQLM2

1|||| ; es decir, DMLE es un paralelogramo, en el cual

las diagonales se bisecan. Por lo tanto, QEGMEGyPDGLDG ; de donde,

también se tiene que G es un punto común a las medianas PL y QM, tal que

2GM

QG

GL

PG (ii).

De las relaciones (i) y (ii), observamos que PL participa en ambas y dado un segmento

PL, existe un único punto que “está entre” y que lo divide en una razón dada; así que G

es el mismo punto para las tres medianas. Por lo tanto las tres medianas concurren en G.

De aquí sale la regla práctica para la localización del Centro de gravedad en un

triángulo dado, la cual consiste en trazar una mediana y “localizar el punto tal que la

divide en la razón 2 a 1, o 1 a 2, o que la triseca (es decir que la divide de manera que

una de sus partes es la tercera parte del total).

El lema anterior también es esencial en otras aplicaciones; por ejemplo, para responder

o resolver el problema involucrado en la pregunta siguiente: ¿Qué tipo de cuadrilátero

se forma cuando se unen, mediante segmentos, los puntos medios de los lados

consecutivos de cualquier cuadrilátero?

En general los resultados sobre cuadriláteros, en particular sobre paralelogramos, son

importantes en la solución de diversos problemas o demostración de otros teoremas. Un

teorema con el que, regularmente, concluye el tema de Paralelas es: “Si tres o más

rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante, entonces determinan

segmentos congruentes en cualquier otra secante”.

Por la lectura de este teorema, uno quisiera extenderse y afirmar la proporcionalidad

entre los segmentos correspondientes, tema tradicional de semejanza de triángulos; sin

embargo, nos hace falta estudiar el tema de áreas triángulos y regiones poligonales, el

cual es necesario para demostrar el Teorema fundamental de proporcionalidad que, en

esencia, es la base para la demostración de las proposiciones conocidas como Teorema

de Tales y los Teoremas de semejanza.


28

Problemas

1. Demostrar que la bisectriz del ángulo exterior en el vértice de un triángulo isósceles

opuesto a la base, es paralela a la base.

2. ¿Qué clase de cuadrilátero se forma siempre que unimos mediante segmentos los

puntos medios de lados consecutivos de cualquier cuadrilátero? Demostrar la

respuesta.

3. Demostrar que si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan y son perpendiculares,

entonces el cuadrilátero es un rombo.

4. Si en la figura AEAC y las bisectrices de los

ángulos DCB y EBC se intersecan en P. Hallar la

medida del ángulo P.

5. En el BCACABC , ; D es un punto de BC con C-B-D; y E es un punto de AB

con A-E-B, tal que BEBD . DE interseca a AC en F. Demostrar que

)(3 DmCFEm .

6. Dado el triángulo equilátero ABC y P un punto interior.

Demostrar que la suma de las longitudes de los segmentos

perpendiculares de P a los lados del triángulo es igual a su

altura.

7. Un cuadrilátero en el cual exactamente una diagonal es la mediatriz de la otra

diagonal se llama cometa. Demostrar que un cometa tiene dos pares de lados

congruentes, paro sus lados opuestos no son congruentes.

8. En un triángulo cualquiera ABC , una recta por A es perpendicular a la bisectriz del

B en K. Otra recta por K es paralela a BC y corta a AB en M. Demostrar que M es

el punto medio de AB. ¿Puede también probarse que MK biseca a AC?

B C

A

P

A

C

B

P

D

E


29

9. Si ABCD es un paralelogramo, P y Q son los

puntos medios de AD y BC, respectivamente.

Demostrar que PB y DQ trisecan a la diagonal

AC.

10. En el ABC , G y H son los puntos medios de

CA y BC. Tómense R en la prolongación de AH

tal que HRAH y S en la prolongación de de

BG tal que GSBG . Demostrar que S, C y R

están alineados.

_______________________________________

ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES

Después de abordar las situaciones de paralelismo, Euclides, en el libro I de Los

Elementos, continúa avanzando hacia el que, parece ser el objetivo central de este libro,

el Teorema de Pitágoras. A partir de la proposición 35, introducirá implícitamente la

noción de área como una ‘medida’ de superficie de las figuras rectilíneas (poligonales).

Es recomendable analizar estas proposiciones (pp. 6 y 7). En ellas, para indicar que dos

figuras rectilíneas tienen áreas iguales, Euclides dice que las figuras “son equivalentes”

y no da una explicación de este término. Desde luego, la vaguedad del discurso fue

detectada por los geómetras y actualmente se introducen algunas definiciones y cuatro

postulados y, a partir de esto, los teoremas abordados por Euclides se simplifican

sobremanera con el uso del álgebra.

Definición 1

Una región triangular es la unión de un triángulo y su interior

Definición 2

Una región poligonal es la unión de un número finito de regiones triangulares en un

plano, tales que si dos cualesquiera de ellas se intersecan, su intersección es, o bien un

punto o un segmento (construir y discutir ejemplos)

Postulado 1. Postulado del área

A toda región poligonal le corresponde un número positivo único.

Definición 3

El área de una región poligonal es el número que se le asigna según el postulado 1 y, se

denotará ‘el área de una región R’ por aR (área de R).


30

Postulado 2. Postulado de la congruencia

Si dos triángulos son congruentes, entonces las regiones triangulares determinados por

ellos tienen la misma área.

Postulado 3. Postulado de adición de áreas

Supongamos que la región R es la unión de dos regiones R1 y R2, y que ellas se

intersectan a lo más en un número finito de segmentos y puntos. Entonces,

aR = aR1+aR2.

Postulado 4. Postulado del área de un rectángulos

El área de un rectángulo es el producto de su base y su altura (o cualesquiera dos de

sus lados contiguos).

Como el cuadrado es un rectángulo con sus cuatro lados iguales, entonces su área es l2.

Este lo podríamos considerar como nuestro primer teorema.

Teorema 1

El área de un cuadrado de lado l, es l2

Este teorema, bien puede sustituir al postulado 4 y este ser nuestro primer teorema, pero

nuestra elección facilita algunas cosas.

Teorema 2

El área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de sus catetos.

La demostración sólo requiere construir, a partir del triángulo rectángulo dado, un

rectángulo cuyos lados son iguales a los catetos de tal triángulo y aplicar congruencia de

triángulos y los postulados 2, 3 y 4.

Teorema 3

El área de cualquier triángulo es el producto de la medida de cualquiera de sus lados

(bases) y la altura correspondiente.


31

Para esta demostración habrá que considerar los tres casos que se ilustran en las figuras

a), b) y c). El caso b) corresponde al teorema anterior; en los casos a) y c), la altura

forma dos triángulos rectángulos a los que aplicando el postulado 3 y el teorema 2, se

llega al resultado deseado;

Otros teoremas son:

T.4 El área de un trapecio es la mitad del producto de su altura y la suma de sus

bases.

T.5 El área de un paralelogramo es el producto de una base cualquiera y la altura

correspondiente.

T.6 Si dos triángulos tienen la misma base y la misma altura, entonces tienen áreas

iguales.

T.7 Si dos triángulos tienen la misma altura, entonces la razón de sus áreas es igual a

la razón de sus bases.

La demostración de estos teoremas se apoya principalmente en el teorema 3, el

postulado 3 y las definiciones de trapecio y paralelogramo (se dejan al lector).

Teorema 8. Teorema de Pitágoras

Si un triángulo es rectángulo, entonces la suma de los cuadrados de los lados que

forman el ángulo recto (catetos) es igual al cuadrado del tercer lado (hipotenusa).

Existen una gran cantidad de demostraciones de este teorema, aquí presentaremos dos,

la primera, basada en una construcción simple y la aplicación de los postulados y

teoremas anteriores; la segunda, la que Euclides incorporó en los Elementos.

Demostración 1.

Dado el ABC con el ángulo recto en C, colocamos cuatro veces este triángulo de

modo que sus ángulos rectos sean los ángulos de un cuadrado de lado ba como en la

Figura de abajo. Estos cuatro triángulos son congruentes y la figura interior del

cuadrado es un cuadrilátero de lados congruentes. Veamos que éste es un cuadrado:

Sabemos que los ángulos agudos del triángulo son complementarios y sumando los

ángulos correspondientes de los triángulos 1 y 2 en el punto A, tenemos que el ángulo

de la figura interior en A es recto; por lo tanto la figura interior es un cuadrado.

b) c) a)


32

Figura 13. Teorema de Pitágoras usando álgebra geométrica.

Esto nos permite establecer la siguiente igualdad de áreas y usar álgebra geométrica:

22222222 22

4)()(4 bacbbaacba

bacABCÁrea

Demostración 2. La demostración que aparece en Los elementos consiste en hacer ver

que el área del cuadrado ACDE es igual al área del rectángulo AFGK (Figura 1); o bien,

que el cuadrado “cabe” en el rectángulo y, posteriormente, hacer los mismos con el

cuadrado CJIB y el rectángulo GKBH (Figura b).

Figura a)


33

Por el Postulado de congruencia LAL,

ACFAEB ;

entonces estos triángulos tienen la misma área. Además,

)()(|| AECÁreaAEBÁreaDBEA ,

por tener la misma base e igual altura.

También como )()(|| AKFÁreaACFÁreaCGAF .

De ahí que )()( AKFÁreaAECÁrea ;

y por lo tanto, el área del cuadrado ACDE es igual al área del rectángulo AFGK.

De manera similar, con los trazos que aparecen en la Figura, se demuestra que área del

cuadrado BCJI es igual al área del rectángulo BKGH.

Realizando la suma llegamos a:

)()()( ABHFÁreaBKGHÁreaAFGKÁrea ;

si llamamos a, b y c a las longitudes de los lados AC, CB y AB respectivamente,

entonces 222 cba .

Figura (b)


34

Problemas

1. Dado el segmento AB en un plano E. Para todo número 0k hay al menos un

punto P tal que kABPÁrea . ¿Habrá más de un punto?, ¿cuántos? Describir el

conjunto de puntos P del plano E tales que kABPÁrea . Describir el conjunto

de punto P en el espacio tales que kABPÁrea .

2. Para construir la siguiente figura, se inicia con

un PAB rectángulo isósceles cuyos lados

iguales miden 1; luego, sobre la hipotenusa PB

se construye otro triángulo rectángulo PBC; y

así sucesivamente. Justificar porqué este

procedimiento permite calcular n , para todo

Nn .

3. En un paralelogramo PQRS, J es un punto de RS tal que RSRJ ½ . K es un punto

de RQ tal que RQ½RK . Una recta que pasa por S y es paralela a PK interseca en

M a una recta que pasa por K y es paralela a PJ. PJ interseca a SM en L. Demostrar

que )()( PKMLÁreaPQRSÁrea .

4. Dados dos paralelogramos cualesquiera en un plano. Explicar cómo se puede trazar

una sola recta que divida a cada una de las regiones limitadas por los paralelogramos

en dos regiones de áreas iguales.

5. ABCD es un cuadrado. E está entre A y D, y F está en la prolongación de DC por

C, de modo que FBEB . Si 200)(256)( EBFayABCDa , determinar

cuánto vale CF.

6. ABCD es un trapecio, con DCAB || ; K es punto

medio de BC y ADPK || . Demostrar que

(ABCD)Área½)()( PBCDÁreaAPDÁrea .

7. ABCD es un cuadrado, con H, I, J y K los puntos

medios de sus lados. Demostrar que PQRS es un

cuadrado y determinar la razón del área del cuadrado

menor al área del cuadrado mayor.


35

SEMEJANZA

Definición 1.

Dados dos triángulos ABC y A’B’C’ en los que se da la correspondencia siguiente: los

ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son

proporcionales, entonces la correspondencia se llama semejanza y decimos que los

triángulos son semejantes y escribimos ∆ABC ~ ∆A’B’C’

La definición anterior establece que: A A’, B B’ y C C’, y

Teorema 1. Teorema fundamental de proporcionalidad

Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca en puntos distintos a los otros

dos lados, entonces determina sobre ellos segmentos que son proporcionales a dichosa

lados.

Demostración.

Para la demostración haremos uso del teorema 7 de áreas (p. 31). Queremos hacer

evidente que si BCNM || en el ΔABC (ver figura) entonces se cumple:

AM

AC

AN

AB

B

C A

B’

C’ A’


36

Tracemos BM y CN. Analizando los triángulos NBM y ANM, observamos que tienen la

misma altura y bases NB y AN, entonces, por el teorema 7 de áreas:

AN

NB

ANMÁrea

NBMÁrea

)(

)(.

Similarmente, de los triángulos MCN y AMN obtenemos:

AM

MC

AMNÁrea

MCNÁrea

)(

)(.

Los denominadores de los primeros miembros de estas relaciones corresponden a áreas

de triángulos con la misma base y altura del mismo triángulo y, en los numeradores

tenemos dos triángulos con la misma base BC e igual altura; por lo tanto, tienen la

misma área. Es decir, los primeros miembros son iguales y por ello:

AM

MC

AN

NB .

Si sumamos 1 a la expresión anterior,

AM

AC

AN

AB

AM

MCAM

AN

NBAN

;

como queríamos probar.

Teorema 2. (Recíproco del teorema fundamental)

Si una recta interseca a dos lados de un triángulo y determina sobre dichos lados

segmentos proporcionales, entonces es paralela al tercer lado.

Para la demostración se procede de manera indirecta (suponiendo que el tercer lado no

es paralelo) y aplicando el teorema 1.

La semejanza de triángulos implica la igualdad de las medidas de los ángulos y la

proporcionalidad entre los lados correspondientes; cuya razón determina la llamada razón de semejanza. Los teoremas de semejanza son conocidos por las iniciales de las

hipótesis que se conocen de un par de triángulos, al igual que en la congruencia, y se

demuestran aplicando el Teorema fundamental de proporcionalidad, con algunas

dificultades en el tercero. Estos teoremas, que enunciamos a continuación, establecen

los requisitos mínimos que deben cumplir dos triángulos para que sean semejantes.

Teorema 3. Teorema de semejanza AAA.

Si los ángulos correspondientes de dos triángulos son congruentes, entonces los

triángulos son semejantes.

La demostración requiere probar que las parejas de lados correspondientes de los dos

triángulos son proporcionales. Para esto hay que trazar, a partir de uno de los vértices y

sobre los lados del ángulo correspondiente, los lados correspondientes del otro

triángulo, como se muestra en la figura; aplicar un teorema de paralelismo y el teorema

fundamental de proporcionalidad.


37

Corolario 3.1

Dados dos triángulos, si dos pares de ángulos correspondientes son congruentes,

entonces los triángulos son semejantes.

Teorema 4. Teorema de semejanza LAL

Si uno de los ángulos de un triángulo es congruente con un ángulo de otro triángulo y

los lados que los forman son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

Teorema 5. Teorema de semejanza LLL

Si en dos triángulos los lados correspondientes son proporcionales, entonces los LAL

triángulos son semejantes.

Para la demostración de los teoremas anteriores hay que utilizar una construcción como

la que se empleó en el teorema 3. En el primer caso además hay que aplicar el teorema

2, mientras que en, en el segundo caso hay que aplicar el teorema 4 y hacer algebra para

probar que EF = E’F’ y probar la congruencia de los triángulos AE’F’ y DEF.

Para los triángulos rectángulos se establecen dos teoremas importantes que enunciamos

a continuación:

Teorema 6.

Si en un triángulo rectángulo se traza la altura correspondiente a la hipotenusa,

entonces se forman dos triángulos semejantes al original.

En la figura de la derecha

ABC es recto en C y CD AB

Entonces:

ACB ADC CDB

C

D

F E

A

B

E’ F’

A D

C

B


38

Teorema 7

Dado un triángulo rectángulo y la altura correspondiente a la hipotenusa:

1) La altura es media geométrica de los segmentos en los cuales dicha altura divide a

la hipotenusa.

2) Cada cateto es media geométrica de la hipotenusa y el segmento (en los que D

divide a AB) de ésta adyacente al cateto

Para probar 1) hay que considerar la semejanza entre los triángulos ACD y CDB y

razón que de esto se deriva:

. De manera similar se prueba 2).

Finalmente, el tema de semejanza de triángulos concluye, regularmente, con un teorema

que establece la relación entre las áreas de dos triángulos que son semejantes; cuya

demostración es inmediata.

Teorema 8.

Si dos triángulos son semejantes, entonces la razón de sus áreas es el cuadrado de la

razón de semejanza.

Incorporaremos dos teoremas de amplio uso en Geometría Euclideana y Geometría

Moderna, relacionados con las bisectrices en un ángulo de un triángulo.

Teorema 9. Teorema de la bisectriz.

La bisectriz de un ángulo de cualquier triángulo divide al lado opuesto en dos

segmentos cuyas longitudes son proporcionales a los lados que forman dicho ángulo.

Teorema 10. Teorema de la bisectriz interna y externa.

Dado el triángulo ABC, si las bisectrices de los ángulos interno y externo en el vértice

A intersecan a la recta BC en los puntos D y D´, respectivamente, entonces CD

BD

DC

BD'

'

Es decir, los puntos de intersección de ambas bisectrices dividen interna y

externamente al segmento BC en la misma razón.

Su demostración depende de la aplicación del Teorema fundamental de

proporcionalidad, con el trazo indicado en el primer caso; mientras que en el segundo

teorema es necesario trazar el segmento paralelo a AD’ que pase por C, determinando

un punto en AB (ver figura).


39

Teoremas relacionados con la bisectriz interna y externa.

Problemas

1. Demostrar los teoremas de la bisectriz y de la bisectriz interna y externa en el

vértice de un triángulo dado.

2. Demostrar que dos alturas correspondientes cualesquiera de dos triángulos

semejantes, están en la misma razón que los lados correspondientes.

3. Dado un paralelogramo ABCD con sus diagonales. Una recta que pasa por B

interseca a AC en E, a DC en G y a AD en F. Demostrar que CEBAEF ~ y que

EB es media geométrica de EG y EF.

4. Si en la figura DEFG es un cuadrado y 90ACB .

Demostrar que EBADDE .

5. A partir de la siguiente figura, si 90CDA ;

90DEB ; 90CFB ; y 90BCA .

Demostrar que

AB

BC

AC

AD

AB

AC

AC

CD

AB

BE .

Nótese que si introducimos las definiciones de seno

y coseno, esta relación corresponde a una identidad

trigonométrica.

6. Se doblaron dos trozos de alambre de la misma

longitud; a uno se le dio la forma de cuadrado y a

otro la de un triángulo equilátero. ¿Cuál es la

razón de las áreas de las regiones determinadas

por los alambres?


40

7. En la figura, PRHQ es un rectángulo y GKHP .

Demostrar que

RKHRQHGQPRHQÁrea )( .

8. ABCD es un rectángulo cuyos lados miden 3 y 5; desde un punto cualquiera P de AB

se trazan perpendiculares PN y PM a las diagonales AC y BD, calcular PNPM .

9. Se da el tetraedro ABCD cuya base es el ABC . Un

plano paralelo a la base, interseca a las caras del

tetraedro en el RST . DQ es perpendicular desde D

al plano del ABC y DQ interseca al plano paralelo

en P. Demostrar que

2

DP

DQ

RSTárea

ABCárea.

10. Dado el triángulo ABC, localizar el punto P sobre el

lado AB tal que si se traza la paralela al lado BC

, ésta divide al triángulo en dos regiones de

áreas iguales.

¿Cómo se localiza el punto P con regla y compás?

11. En la figura AD, HG y BC son perpendiculares a

AB.

Demostrar que:

a) DGHBGBAH

b) AGHBGCAH

c) ADHBBCAH

BCPQ ||


41

CIRCUNFERENCIA (en el plano)

Definiciones y teoremas básicos

La definición de circunferencia es bastante conocida, como el lugar geométrico de los

puntos de un plano que equidistan de un punto (del mismo plano) llamado centro, y de

la cual se derivan los primeros resultados relacionados con la perpendicularidad del

radio y la tangente en el punto de contacto. Otra definición básica es la de ángulo

inscrito, como el que tiene vértice en la circunferencia y por lados dos cuerdas. Además,

se da una asociación entre las medidas de los ángulos centrales y lo arcos que

interceptan.

Enseguida daremos las definiciones necesarias y los teoremas sencillos pero básicos.

Definiciones

Radio: es cualquier segmento que va del centro de la circunferencia a cualquier punto de

ella.

Cuerda: se le llama así a cualquier segmento cuyos extremos están sobre una

circunferencia.

Secante: Se le llama a la recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

Diámetro: Toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

Tangente a una circunferencia: la recta que corta a la circunferencia en un solo punto

(punto de tangencia o de contacto).

Interior (exterior) de una circunferencia: es el conjunto de todos los puntos del plano,

cuya distancia (del punto) al centro, son menores (mayores) que la longitud del radio.

Circunferencias tangentes: Aquellas circunferencias coplanarias que son tangentes a la

misma recta en el mismo punto. Si los centros están del mismo lado de la recta tangente,

se dice que son tangentes internas y, si están en lados opuestos, entonces son tangentes

externas.

Dos o más circunferencias con radios congruentes se llaman congruentes.


42

Teoremas

Teorema1

Una recta perpendicular a un radio en su extremo es tangente a la circunferencia.

Teorema 2

Toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio cuyo extremo es el punto

de tangencia.

Teorema 3

La perpendicular desde el centro de una circunferencia a una cuerda, biseca a esta.

Teorema 4

El segmento desde el centro de una circunferencia al punto medio de una cuerda es

perpendicular a esta.

Teorema 5

La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.

Corolario 5.1

Ninguna circunferencia contiene tres puntos alineados.

Teorema 6

En la misma circunferencia o en circunferencias congruentes, las cuerdas que equidistan

del centro son congruentes.

Teorema 7

En la misma circunferencia o en circunferencias congruentes, dos cuerdas congruentes

cualesquiera equidistan del centro.

Teorema 8

Si una recta interseca al interior de una circunferencia, entonces corta a la circunferencia

en exactamente dos puntos.

La mayoría de estos teoremas son fáciles de demostrar, por lo que algunos se

demostrarán en clase y los otros se dejarán para ser demostrados por el lector.

Arco, ángulo central y ángulo inscrito en una circunferencia

Definiciones

Ángulo central de una circunferencia es un ángulo cuyo vértice es el centro de la

circunferencia.

En la figura de la derecha se ilustra esta definición.

Debe observarse que se forman dos ángulos

APB, uno ≤ 180° y el otro ≥ 180°. La definición

siguiente permitirá hacer la distinción.

P B

A


43

Sea C una circunferencia con centro P, A y B dos puntos en C (no extremos de un

diámetro) entonces se forman dos arcos, el arco menor y el arco mayor , el

primero es el formado por los puntos de la circunferencia que se encuentran en el

interior del ángulo central APB menor de 180°; el arco mayor corresponderá al

conjunto de puntos de la circunferencia que se encuentran en el exterior de dicho ángulo

y los puntos A y B.

Una semicircunferencia corresponde al caso en el que los extremos del arco son los de

un diámetro (APB =180°).

La medida de un arco es la medida correspondiente del ángulo central correspondiente.

Regularmente esta medida corresponderá a los grados usuales o a los radianes. Por

ejemplo, para un arco tal que:

APB = 90° entonces m = 90 ó en radianes m =

; la medida de una

semicircunferencia será 180 ó π.

Ángulo inscrito en un arco de circunferencia es aquel que tiene su vértice en un punto de

la circunferencia, sus lados la intersecan en los extremos de un arco y sus otros puntos

se encuentran en el interior del ángulo.

Teorema 9. Teorema del ángulo central

Si un ángulo está inscrito en una circunferencia, entonces su medida es igual a la mitad

del arco interceptado.

Demostración

Dada la circunferencia de centro O y radio r, consideremos los tres casos siguientes: i)

uno de los lados del ángulo pasa por el centro; ii) el ángulo contiene al centro; y iii) el

ángulo no contiene al centro.

Los trazos punteados en la Figura de abajo, permite demostrar el teorema. En el caso i)

el triángulo OBC es isósceles, entonces BCOABC . Como el ángulo AOC es

exterior a dicho triángulo, tenemos que

ACarcoABCABCAOC2

12 .

P

B

A


44

Con base en este caso, los trazos indicados y usando la suma o diferencia de ángulos y

arcos se completa la demostración.

Casos del Teorema del ángulo central.

Varios corolarios de amplio uso surgen de inmediato:

a) Cualquier ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

b) Dos ángulos cualesquiera inscritos en el mismo arco son congruentes.

c) Los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son

suplementarios.

d) Si un ángulo es semi inscrito (un lado es una cuerda y el otro lado es tangente en el

vértice), su medida es la mitad del arco interceptado.

e) La medida de un ángulo interior de una circunferencia (ángulo determinado por dos

cuerdas que se intersecan en el interior en un punto distinto del centro), es igual a la

semisuma de los arcos interceptados.

f) La medida de un ángulo exterior de una circunferencia (ángulo determinado por dos

secantes y/o tangentes cuyo vértice está en el exterior) es igual a la semidiferencia

de los arcos interceptados, arco mayor menos arco menor.

Para probar el corolario d), se trazan dos radios y se aplican los teoremas de suma de

ángulos interiores y de perpendicularidad entre el radio y la tangente en el punto de

contacto.

Nos falta un teorema fundamental relacionado con las alturas de un triángulo, las cuales

también concurren. Existen varias maneras de demostrar esto:

i) Una de ellas consiste en dibujar las alturas del triángulo y trazar en cada vértice

rectas paralelas a los lados opuestos, las cuales se intersecan en tres puntos formando

un triángulo. Se puede probar que las alturas del triángulo original son las

mediatrices del nuevo triángulo; y como ya sabemos que las mediatrices concurren,

entonces las alturas concurren.

ii) Otra forma, y, sin suda es la más elegante, consiste en demostrar que las alturas de un

triángulo son las bisectrices del “triángulo pedal” (triángulo formado por los pies de


45

las alturas; conviene iniciar con un triángulo acutángulo), para lo cual es necesario

utilizar ángulos inscritos en la circunferencia; y como las bisectrices concurren,

entonces las alturas concurren.

Aquí, nosotros daremos una demostración que también depende de los ángulos inscritos

en una circunferencia. Enunciémoslo.

Teorema 10. De la concurrencia de las alturas

Si se trazan las alturas correspondientes a los tres lados de un triángulo, entonces

éstas concurren en un punto (interior o exterior) llamado ortocentro.

Demostración. Dado el ABC , consideremos las alturas AL y BM que se cruzan en O.

Tracemos CO que interseca a AB en N; vamos a demostrar que CN es altura, probando

que CNA es recto (ver figura).

Concurrencia de las alturas.

Si trazamos la circunferencia de diámetro AB, ésta pasara por L y M, ya que son ángulos

rectos (inscritos en una semicircunferencia). De igual manera, la circunferencia de

diámetro CO pasa por L y M.

Trazando ML, observamos que BMLBAL , por ser ángulos inscritos que

subtienden el mismo arco (BL). Además, en la otra circunferencia también tenemos que

OCLOML ; entonces, por transitividad OCLNAO . Como LOCAON

entonces los terceros ángulos de ambos triángulos deben ser iguales y como uno de

ellos es recto, el otro también; es decir,

90ALCCNA .

Esto demuestra que CN también es altura, la cual pasa por el punto O.

Concluimos el curso con el siguiente teorema fundamental que, dicho sea de paso, es la

base para el estudio de varios temas en la Geometría Moderna.


46

Teorema11. De la potencia de un punto.

Dado un punto P en el exterior de una circunferencia de centro O y radio r; si dos

secantes que pasan por P intersecan a la circunferencia en los puntos R, S y T, U,

respectivamente, entonces PUPTPSPR

Este teorema afirma que si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan

secantes que intersecan a la circunferencia, el producto de los segmentos trazados desde

ese punto a los puntos de intersección, es una constante.

Demostración

Si trazamos los segmentos RU y TS, observamos que PTSPRU ~ por el teorema de

semejanza AAA, pues los triángulos comparten el ángulo P y PURTSP por

subtender el mismo arco y en consecuencia PTSURP .

Entonces PUPTPSPRPS

PU

PT

PR .

Potencia de un punto.

Observemos que si una de las dos secantes se mantiene fija y la otra gira hasta

convertirse en tangente, podemos obtener cuánto vale la constante que es igual a la

potencia del punto P respecto a la circunferencia.

Para ver esto, basta trazar los segmentos punteados de la Figura 2.22. Analizando los

triángulos PRT y PTS, observamos que PTRTSP y el ángulo en P es común, por

el corolario se semejanza AA,

PS

PT

PT

PRPTSPRT ~ . Esto es: 2PTPSPR .


47

Problemas

1. Si AB es un diámetro de la circunferencia con centro en P;

la recta l es tangente en T y los segmentos AD y BC son

perpendiculares a l.

Demostrar que PCPD .

2. Las circunferencias de centros A y B son tangentes a la recta

l en C. Una secante a la circunferencia mayor que pasa por

A es tangente a la menor en D y corta a l en el punto E. Si

los radios de las circunferencias son 8 y 3,

determinar el valor de CE.

3. Demostrar el Teorema de la potencia de un punto cuando éste es interior; es decir, si

se trazan cualesquiera dos cuerdas AB y CD por P, entonces se tiene que

PDPCPBPA .

4. Dados los puntos A y B en la recta l, y una

circunferencia de centro C tangente a l en A;

trazar una circunferencia C2 que sea tangente

a la circunferencia de centro C y a l en el

punto B.

5. El ABC está inscrito en una circunferencia. La cuerda BCAE y la cuerda

ABCD . Demostrar que ArcoBEArcoBD .

6. En el ABC se trazan las alturas CPyBM ;

sobre el lado BC se construye un rectángulo

BCDE y se trazan ABDFyACER , que

se intersecan en I. Demostrar que A, H e I están

alineados.

A B

C


48

7. Demostrar los siguientes teoremas:

a) Si se traza un ángulo en un punto P, interior a la circunferencia, y se prolongan

los rayos opuestos que forman el ángulo, entonces la medida del ángulo interior

es igual a la semisuma de los arcos interceptados por los lados del ángulo y los

rayos opuestos.

b) Si en un punto P como vértice, exterior a la circunferencia, se traza un ángulo

mediante dos rayos secantes, entonces la medida del ángulo exterior es igual a la

semidiferencia de los arcos interceptados, arco mayor menos arco menor.

8. Dado el círculo de diámetro BA , si M está en el

círculo y es más cercano a B, trazamos BM y por R

punto entre O y A trazamos BARQ , determinando

P en AM. Si se traza BP y QA, que se cruzan en I,

demostrar que el punto I pertenece al círculo.

9. a) Inscribir en una circunferencia dada, un triángulo que tenga ángulos

correspondientes iguales a los de otro triángulo dado.

b) Circunscribir en una circunferencia dada, un triángulo que tenga ángulos

correspondientes iguales a los de otro triángulo dado.

10. Dado el ABC y el círculo de centro en O.

Si H es el punto medio de BC; AD es un

diámetro; BEAB , CFAC y

EFDK en K.

Demostrar que K es punto medio de EF y

que los puntos A, H, y K están alineados.

11. Dos circunferencias no congruentes son tangentes en un punto T. Una secante l, que

pasa por T, interseca a la circunferencia mayor en A y a la menor en B. Demostrar

que las tangentes en A y B son paralelas. [Deben analizarse los dos casos posibles:

tangentes exteriormente; y tangentes interiormente].


49

12. Trazar una Circunferencia que sea tangente

a l y que pase por los puntos A y B que no

están en l.

13. En la figura, AB es un diámetro y la recta que pasa

por C y D es tangente a la circunferencia en B.

Demostrar que AHADAGAC .

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