numeros reales

UNIDAD 1 NUMEROS REALES

INDICE

NÚMEROS REALES

INTRODUCCION…………….………………………………………….............. 21.1 CLASIFICACION DE NUMEROS REALES………………………………………………

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1.2 PROPIEDADES…………………………………………………………………….. 6-71.3 INTERPRETACIÓN GEOMETRICA………………………………………………….. 8-91.4 DESIGUALDADES…………………………………………………………………… 10-121.5 VALOR ABSOLUTO…………………………………………………………………. 13-16EJERCICIOS………………………………………………………………………….. 17-21BIBLIOGRAFIA………………………………………………………………………... 22

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El concepto de números reales surgió a partir de la utilización de las fracciones comunes por

parte de los egipcios, cerca del año 1000 A.C. El desarrollo de la noción continúo con el aporte

de los griegos que proclamaron la existencia de los números irracionales.

Alrededor del año 500 A.C. el grupo de matemáticos griegos liderados por PITAGORAS se dio

cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron ideados por

matemáticos indios alrededor del año 600, posiblemente reinventados en China poco después

pero no se usaron en Europa hasta el siglo XVII LEONHARD EULER descarto las soluciones

negativas de las ecuaciones por que las consideraba irreales.

En ese siglo en el cálculo se utilizaba un conjunto de números reales sin una definición

concisa, cosa que finalmente sucedió con la definición hecha por: GEORG CANTOR en 1871.

Cantor descubrió que los conjuntos infinitos no tienen siempre el mismo tamaño, o sea el

mismo cardinal: por ejemplo, el conjunto de los racionales es e numerable, es decir, del mismo

tamaño que el conjunto de los naturales, mientras que el de los reales no lo es: existen, por lo

tanto, varios infinitos, más grandes los unos que los otros. Entre estos infinitos, los hay tan

grandes que no tienen correspondencia en el mundo real, asimilado al espacio vectorial R³.

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Números reales

El ente básico de la parte de la matemática conocida como Análisis, lo constituye el llamado sistema de números reales. Números como 1,3, pi, y sus correspondientes negativos, son usados en mediciones cuantitativas.

Existen dos métodos para estudiar el sistema de números reales. Uno de ellos comienza con un sistema más primitivo – tal como el conjunto de los números naturales o enteros positivos; 1, 2, 3,4…………, y a partir de él por medio de una secuencia lógica de definiciones y teoremas, se constituye el sistema de los números reales.

El segundo método hace un descripción formal del sistema de los números reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de propiedades (axiomas) de las cuales muchas otras pueden deducirse.

El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números. Entre ellos se pueden mencionar los siguientes conjuntos:

1 Conjunto de los números naturales 2 Conjunto de los números enteros 3 Conjunto de los números racionales4 Conjunto de los números irracionales

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1.1 CLASIFICACIÓN DE LOS NUMEROS REALES

Los números reales se clasifican en RACIONALES e IRRACIONALES.

RACIONAL:

Un numero racional es todo aquel número que puede ser expresado como resultado de la división de dos números enteros, comúnmente es a lo que se les llama números decimales, tanto en fracción como expresado con comas.

Cualquier número puede representarse como una fracción de denominador 1 ejemplo (4/1) o con decimal ejemplo (4,0), por lo tanto los números naturales y enteros son racionales.

Expresión de un número racional:

La expresión decimal de un número racional se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador de su expresión fraccionaria y los números que se obtienen son:

Enteros - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - −62

=−3

Decimal exacto - - - - - - - - - - - - - - - - 72=3.5

Decimal infinito periódico - - - - - - - - - 13=333333333

Periódico puro - - - - - - - - - - - - - - - - - 0.3

Periódico mixto- - - - - - - - - - - - - - - - 8930

=2.966666

- - - - - - - - - - - - - - - - 2.96

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IRRACIONAL:

Los números irracionales no pueden representarse en forma fraccionaria. Los números irracionales se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón repetitivo.

Debido a ello, las mas celebres números irracionales son identificados mediante símbolos. El más conocido es: (Pi) relación entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro.

La expresión decimal de los números irracionales es infinita no periódica y por lo tanto estos números no pueden expresarse en forma de fracción y por tanto son irracionales.

Hay muchos números irracionales como:

√2 , √3

;.....; * = 3,14159········, e = 2.71828·······

;

REPRESENTACIÓN DE ALGUNOS NÚMEROS IRRACIONALES.

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1.2 PROPIEDADES

Las propiedades de los números reales son las siguientes:

PROPIEDAD OPERACIÓN DEFINICION QUE DICE EJEMPLOConmutativa Suma

Multiplicación

a+b=b+a

ab=ba

El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado

2+8=8+2

5(-3)=(-3)5

PROPIEDAD OPERACIÓN DEFINICION QUE DICE EJEMPLOAsociativa Suma

Multiplicación

a+(b+c)=(a+b)+c

a(bc)=(ab)c

Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado.

7+(6+1)=(7+6)+1

-2(4x7)=(-2x4)7

PROPIEDAD OPERACIÓN DEFINICION QUE DICE EJEMPLOIDENTIDAD Suma

Multiplicación

a+0=a

ax1=a

Todo el número sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva.

Todo real multiplicado por se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa.

-11+0= -11

17x=17

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PROPIEDAD OPERACIÓN DEFINICION QUE DICE EJEMPLOInversos Suma

Multiplicación

a+(-a)=0

(a)1/a=1

La suma de opuestos es 0.

El producto de recíprocos es 1

15+(-15)=0

¼(4)=1

PROPIEDAD OPERACIÓN DEFINICION QUE DICE EJEMPLODistributiva Suma respecto a

Multiplicación

a+(b+c)=ab +ac El factor se distribuye a cada sumando.

2(x+8)=

2(x)+ 2(8)

1.3 INTERPRETACION GEOMETRICA

A los números reales se les suele ubicar en un eje, es decir en la recta en la cual hay un punto fijo 0 llamado origen, una unidad de longitud convencional y un sentido.

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Si a partir del origen marcamos la unidad de longitud consecutivamente en el sentido del eje, obtendremos una sucesión de puntos cuya distancia al origen es, respectivamente, 1, 2,3…. (Estos puntos representan a los números naturales).

Los simétricos de estos puntos con respecto al origen, es decir, los puntos que se obtienen al marcar repetidamente la unidad de longitud en el sentido contrario al del eje, representan a los números negativos.

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1.4 DESIGUALDADES

Se dice que una cantidad a es mayor que otra cantidad b cuando la diferencia a-b es positiva. Así 4 es mayor que -2 por que la diferencia 4-(-2) =4 +2 =6 es positiva;-1 es mayor que -3 porque -1-(-3)=-1+3=2 es una cantidad positiva.

Desigualdad es una expresión que indica que una cantidad es mayor que otra, los signos de desigualdad son >, que se lee mayor que, y < que se lee menor que.

Así 5>3 se lee 5 mayor que 3; -4<-2 se lee -4 menor que -2.

Miembros

Se le llama primer miembro de desigualdad a la expresión que está a la izquierda y segundo miembro a la que está a la derecha del signo de desigualdad.

Así en a+b > c-d el primer miembro es a+b y el segundo miembro es c-d.

Términos

Los términos de una desigualdad son las cantidades que están separadas de otras por el signo + ó - ó la cantidad la cantidad que está sola en un miembro.

En la desigualdad anterior los términos son a,b,c y –d.

Dos desigualdades son del mismo signo o subsisten en el mismo sentido cuando sus primeros miembros son mayores o menores, ambos que los segundos.

Así a > b y c > d son desigualdades del mismo sentido.

Dos desigualdades son de signo contrario o no subsisten en el mismo sentido cuando sus primeros miembros no son ambos mayores o menores que los segundos miembros. Así, 5 > 3 y 1< 2 son desigualdades del signo contrario.

Propiedades de las desigualdades

1) Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no varia .

Así dada la desigualdad a > b,

Podemos escribir

Consecuencia

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a+c>b+c y a−c>b−c .


Un término cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un miembro al otro cambiándole el signo.

Así en la desigualdad a > b + c podemos pasar c al primer miembro con signo – y quedará a – c > b, por que equivale a restar c a los dos miembros.

En la desigualdad a – b > c podemos pasar b con signo + al segundo miembro y quedará a > b +c por que equivale a sumar b a los dos miembros.

2) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varía.

Así dada la desigualdad a > b y siendo c una

Cantidad positiva podemos escribir

Consecuencia

Se pueden suprimir denominadores en una desigualdad, sin que varíe e l signo de la desigualdad, porque ello equivale a multiplicar todos los términos de la desigualdad, osea sus miembros, por el m.c.m. de los denominadores.

3) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varía.

Así en la desigualdad a > b multiplicamos ambos

miembros por –c, tendremos :

y dividiéndolos por –c, o sea multiplicando

por −1c

, tendremos

Consecuencia

Si se cambia de signo a todos los términos, o sea a los miembros de una desigualdad, el signo de la desigualdad varia por que equivale a multiplicar los dos miembros de la desigualdad por

– 1.

Así en la desigualdad a – b > - c cambiamos el signo a todos los términos b – a > -c cambiamos el signo a todos los términos, tendremos: b – a < c.

4) Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo .

Así, si a > b es evidente que b < a.

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ac>bc y ac> ac> bc

−ac←bc

−ac

← bc


5) Si se invierten los dos miembros, la desigualdad cambia de signo.

Así, siendo a > b se tiene que 1a< 1b

6) Si los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia.

Así 5 > 3. Elevando al cuadrado: 52>32 o sea 25 > 9.

7) Si los dos miembros o uno de ellos es negativo y se elevan a una potencia impar positivo, el signo de la desigualdad no cambia.

Así – 3 > - 5. Elevando al cubo (−3 )3>(−5 )3 o sea - 27 > -125.

8) Si los dos miembros son negativos y se elevan a la misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad cambia.

9) Si un miembro es positivo y otro negativo y ambos se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad puede cambiar.

10) Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae una misma raíz positiva, el signo de la desigualdad no cambia.

11) Si dos o más desigualdades del mismo signo se suman o multiplican miembro a miembro, resulta una desigualdad del mismo signo.

12) Si dos desigualdades del mismo signo se restan o dividen miembro a miembro, el resultado no es necesariamente una desigualdad del mismo signo, pudiendo ser una igualdad.

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1.5 VALOR ABSOLUTOCualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia del punto a al origen. Observe en el dibujo que la distancia del 3 al origen

es 3 unidades, igualmente la distancia del punto -3 al origen es 3. En notación, esto es |−3|=3 . Las barras se leen como el valor absoluto de lo que esta dentro de ellas. En el valor absoluto no importa en que lado de la recta real está representado el número. Analíticamente podemos ver que

si a es positivo, es decir esta a la derecha del cero, entonces |a|=a y si está a la izquierda del

origen, es decir si a es negativo, entonces |a|=−a . Esto lo escribimos en la siguiente definición

Definición.- El valor absoluto de un número real, x, se define como:

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|x|={ x , si x≥0

−x , si x<0

Veamos los siguientes ejemplos Ejemplo 1

a.-|12|=12

b.- |−12|=−(−1

2)=12 . Observe como el valor absoluto a una cantidad positiva la deja igual y a una

cantidad negativa le cambia el signo.

c.- Si x>2 entonces |x−2|=x−2 , pues x-2>0 y así usamos la primera parte de la definición. Visto de otra manera a la expresión que le estamos tomando valor absoluto es de signo positivo y el valor absoluto lo deja igual.

d.- Si x<2 entonces |x−2|=−( x−2 ) , pues x-2<0 y así usamos la segunda fórmula de la definición. Visto de otra manera a la expresión que le estamos tomando valor absoluto es de signo negativo y el valor absoluto le cambia de signo.

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ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Si x es una incógnita en la expresión |x−3|, entonces no sabemos si x-3 es positivo o negativo. Ahora bien, si tenemos la ecuación:

3 |x−3|=5,

deberíamos considerar las dos posibilidades de signo. Es decir hay dos alternativas:

x-3=5 o x-3=-5

La primera es en el caso que x -3 sea positivo, la segunda en la situación que sea negativo.

Resolviendo las dos ecuación, tenemos que

x=8 o x=-2

Efectivamente estos valores de x satisfacen la ecuación: |x−3|=5.

Veamos más ejemplos de resolución de ecuaciones en valor absoluto.

Ejemplo 1.- Resolver |x−4|=3

Solución: Hay dos posibilidades

x-4=3 o x-4=-3.

Las soluciones de ellas son 7 y 1.

Efectivamente el lector puede comprobar que si sustituimos estos valores en la ecuación ellas satisfacen la igualdad.

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Ejemplo 2.- Resolver 3 |5−4 x|=9

Solución: Sabemos resolver una ecuación con valor absoluto cuando el valor absoluto está solo en el lado izquierda, así que lo llevamos a esta forma, dividiendo entre 3. De esta manera la ecuación dada es equivalente a:

|5−4 x|=3

Ahora esta ecuación en valor absoluto es equivalente a

5-4x=3 ó 5-4x =-3

La solución de ellas son

12 y 2.

Podemos representar el conjunto solución de nuestra ecuación 3|5−4 x|=9

a través de la notación de conjunto como: {

12 ,2}.

Recuerde que un valor absoluto siempre es mayor o igual a cero, nunca negativo.

DESIGUALDADES CON VALORES ABSOLUTOS

La expresión |x|<2 la podemos interpretar como los x cuya distancia al origen es menor que 2, estos x son todos los números que están entre -2 y 2. Así la desigualdad

|x|<2 es equivalente a -2<x<2

La expresión |x|>2 la podemos interpretar como los x cuya distancia al origen es mayor que 2, estos x son todos los números mayores que 2 y los menores que -2 . Así la desigualdad

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|x|>2 es equivalente a x<-2 ó x>2

Generalizando, si a>0, entonces

1) |x|>a si y sólo si x<-a ó x>a.

Este tipo de conjunto se suele representar usando el símbolo unión ( ¿ ) y se escribe como

(−∞ ,−a )∪(a ,∞) , que significa todos los números que están en (−∞ ,−a ) ó en (a ,∞).

2) |x|<a si y sólo si -a<x<a

Ejercicios

Números reales

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1. Clasifica los siguientes números:

a) Irracional b) Racionalc) Racionald) Irracionale) Racional2. Representa en la recta real los números que verifican las siguientes relaciones.

|x|≥20

|x|≤5

|x|>15

|x|<3

3. Indique la propiedad de los números reales

4+7=7+4

8(1)=8

5(7(+(-3))=5(7)+5(-3)

(-9)(-1/9)=1

-5+0=-5

3.(4x)=3.4)x

4. Resolver la siguiente desigualdad, graficar y hallar los intervalos.

Desigualdades lineales

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2 x+3≤3 x+7

2+3 x<5x+8

2+x<9 x+6

2x+1x+3

>3

3 x2

x2+2≤2

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Resuelve las siguientes desigualdades cuadráticas

2 x2+x−2> x2+2 x

3 x2−x>2

2 x2+5 x<12

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x2−x<6

2 x2+5 x ≥3≥

Resuelve el valor absoluto.

|3 x−7|=8

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|2 x−5|=≥3

|x+3|>1

|3x−2|≤ 4

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BIBLIOGRAFIA

ALGEBRA Dr. Aurelio Baldor, pp. 276-281

Calculo diferencial e integral Frank Ayres,jr.

http://www.amschool.edu.sv/Paes/c5.htm

http://www.universidaddesonora.com

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http://www.universidaddesonora.com/

http://www.amschool.edu.sv/Paes/c5.htm

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