o estudo do ponto - matdigitalegp.files.wordpress.com · o estudo do ponto aulas 01 a 05 ......
TRANSCRIPT
Hewlett-Packard
O ESTUDO DO
PONTO Aulas 01 a 05
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Sumário INTRODUÇÃO AO PLANO CARTESIANO .................................................................................................................. 2
Alguns elementos do plano cartesiano ................................................................................................................... 2
Origem ................................................................................................................................................................ 2
Eixos .................................................................................................................................................................... 2
Quadrantes ......................................................................................................................................................... 2
Bissetrizes associadas ao plano cartesiano ......................................................................................................... 2
Posição de um ponto a partir de suas coordenadas ........................................................................................... 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3
Simetrias no plano cartesiano............................................................................................................................. 3
Simetria de ponto em relação a ponto ..................................................................................................................... 3
Simetria de ponto em relação a reta ........................................................................................................................ 3
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3
Distância entre dois pontos ................................................................................................................................ 4
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4
Ponto médio de um segmento de reta ............................................................................................................... 4
Baricentro de um triângulo ................................................................................................................................. 4
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4
Condição de alinhamento entre três pontos ...................................................................................................... 4
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4
Regra prática ............................................................................................................................................................. 5
Exemplo 1 ............................................................................................................................................................ 5
Área de um triângulo a partir das coordenadas de seus vértices....................................................................... 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5
GABARITO ........................................................................................................................................................... 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2
AULA 01
INTRODUÇÃO AO PLANO
CARTESIANO Um par de eixos perpendiculares Ox e Oy
determinam um plano denominado plano cartesiano
xOy .
Neste plano cartesiano um ponto P de abscissa px e
ordenada py , denotado por ;p pP x y , pode ser
representado conforme a figura a seguir.
Obs.1: Em geral, os eixos coordenados Ox e Oy são
graduados em uma mesma escala.
Alguns elementos do
plano cartesiano
Origem
O ponto 0, 0O , que é a intersecção entre os eixos
Ox e Oy , é denominado origem do plano cartesiano.
Eixos
O eixo Ox é denominado eixo das abscissas e o eixo
Oy eixo das ordenadas.
Quadrantes
Os eixos perpendiculares Ox e Oy dividem o plano
cartesiano em quatro regiões disjuntas determinadas
quadrantes. Estes quadrantes são numerados
conforme ilustra a figura a seguir.
Bissetrizes associadas ao plano
cartesiano Existem duas bissetrizes associadas ao plano
cartesiano: a bissetriz dos quadrantes ímpares (bi) e a
bissetriz dos quadrantes pares (bp). Estas bissetrizes
estão representadas no plano cartesiano a seguir.
Obs.2: A bissetriz dos quadrantes ímpares também é
chamada de 1ª bissetriz, enquanto a bissetriz dos
quadrantes pares também é chamada de segunda
bissetriz.
Posição de um ponto a partir de suas
coordenadas
Considere um ponto ;p pP x y em um plano cartesiano
xOy , em relação a esse ponto tem-se as seguintes
propriedades.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 3
0pP Ox y
0pP Oy x
0 e 0p pP IQ x y
0 e 0p pP IIQ x y
0 e 0p pP IIIQ x y
0 e 0p pP IVQ x y
i p pP b x y
p p pP b x y
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
1.1. (Fuvest – SP) Se 2 , 4m n m e 2 , 2m n
representam o mesmo ponto do plano cartesiano,
então nm é igual a
a) 2 . b) 0. c) 2 . d) 1. e) 1
2.
1.2. Como podem ser representadas, de forma geral,
as coordenadas de um ponto que esteja:
a) 3 unidades à esquerda do eixo Oy ?
b) 4 unidades acima do eixo Ox ?
c) 5 unidades abaixo do eixo das abscissas?
d) 2 unidades à direita do eixo das ordenadas?
1.3. Sendo 0a e 0a b , forneça o quadrante a que
pertence cada um dos pontos:
a) ,A a b b) ,B a a c) 2 ,C a b
d) ,D b a e) ,E ab b
1.4. Sabendo que o ponto 21 ; 3 2P k k pertence
ao quarto quadrante, determine os possíveis
valores reais de k.
1.5. Obter o valor de a, a , sabendo que o ponto
4; 3 6A a pertence ao eixo das abscissas.
1.6. Obter m, m , sabendo que ponto
2 1, 3M m m pertence à bissetriz dos
quadrantes ímpares.
AULA 02
Simetrias no plano cartesiano
Simetria de ponto em relação a ponto
Um ponto 'A é simétrico ao ponto A, em relação ao
ponto O, se o ponto O é o ponto médio do segmento
'AA .
Simetria de ponto em relação a reta
Um ponto 'A é simétrico ao ponto A, em relação à
reta r, se o segmento 'AA for perpendicular à reta r e
o seu ponto médio pertencer a r.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
2.1 Em um plano cartesiano xOy, com 0, 0O ,
determine o simétrico de cada um dos pontos
5, 4A , 3, 4B , 4, 2C e 1, 5D em
relação:
a) ao eixo das ordenadas;
b) ao eixo das abscissas;
c) à origem;
d) à primeira bissetriz;
e) à segunda bissetriz.
2.2 Em um plano cartesiano xOy, com 0, 0O ,
determine os simétricos do ponto ,A a b em
relação:
a) ao eixo das ordenadas;
b) ao eixo das abscissas;
c) à origem;
d) à primeira bissetriz;
e) à segunda bissetriz.
TAREFA 1 – No capítulo “Geometria Analítica: estudo do
ponto” fazer as questões do Praticando em Sala de Aula
(PSA) de 1 a 7.
TAREFA 2 – No capítulo “Geometria Analítica: estudo do
ponto” fazer a questão 8 do PSA.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 4
AULA 03
Distância entre dois pontos
Considere os pontos ,a aA x y e ,b bB x y de um
plano cartesiano ortogonal. A distância entre os
pontos A e B, ABd , é dada por
2 2
AB a b a bd x x y y
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.1. Demonstre a fórmula da distância entre dois
pontos do plano cartesiano.
3.2. Determine a distância entre os pontos dados em
cada item a seguir.
a) 2, 7 e 1, 3
b) 1, 0 e 4, 2
3.3. Determine o circuncentro do triângulo de vértices
2, 3 , 0, 0 e 1, 2 .
AULA 04
Ponto médio de um segmento de reta
Considere os pontos ,a aA x y e ,b bB x y de um
plano cartesiano ortogonal. A ponto médio M do
segmento AB é tal que
;2 2
a b a bx x y yM
Baricentro de um triângulo
Considere os pontos ,a aA x y , ,b bB x y e
,c cC x y de um plano cartesiano ortogonal. O
baricentro G do triângulo ABC é tal que
;3 3
a b c a b cx x x y y yG
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.1. Demonstre a fórmula do ponto médio de um
segmento de reta.
4.2. Determine o ponto médio do segmento de
extremidades nos pontos dados em cada um dos itens
a seguir.
a) 2, 7 e 1, 3
b) 1, 0 e 4, 2
4.3. Os pontos 2, 3A , 5, 4B e 7, 11C são
vértices de um paralelogramo ABCD. Determine as
coordenadas do ponto D.
4.4. Determine o baricentro do triângulo de vértices
2, 0A , 3, 1B e 8, 4C .
AULA 05
Condição de alinhamento entre três
pontos
Considere os pontos ,a aA x y , ,b bB x y e
,c cC x y de um plano cartesiano ortogonal. É
possível demonstrar que estes pontos são colineares
se, e somente se,
1
1 0
1
a a
b b
c c
x y
x y
x y
.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 5.1. Verifique se os pontos dados em cada item a seguir
são colineares.
a) 1, 2 , 2, 4 , 3, 6
b) 1, 2 , 2, 4 , 3, 5
TAREFA 3 – No capítulo “Geometria Analítica: estudo do
ponto” fazer as questões do Praticando em Sala de Aula
(PSA) de 10 a 18, 20, 24, 26 e 29.
TAREFA 4 – No capítulo “Geometria Analítica: estudo do
ponto” fazer as questões do Praticando em Sala de Aula
(PSA) 23, 30, 31, 35, 37, 38, 41, 44 e 46.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 5
Regra prática
Pode-se verificar se três pontos estão alinhados por
meio de uma regra prática que será exemplificado a
seguir.
Exemplo 1
Verificar se os pontos 1, 2 , 2, 4 , 3, 6 estão
alinhados.
1) Escreva as coordenadas dos pontos com a
abscissa sobre a ordenada, um ao lado do outro e
repita a primeira coluna, conforme segue.
1 2 3 1
2 4 6 2
2) Multiplique os elementos em diagonal mantendo
o sinal dos resultados obtidos da esquerda para
direita e de cima para baixo e trocando o sinal dos
resultados obtidos da direita para a esquerda e de
cima para baixo, conforme segue.
3) A soma desses valores será igual ao determinante
da matriz dada na condição de alinhamento, ou
seja, se o resultado for zero os pontos estarão
alinhados.
4 12 6 4 12 6 0
Área de um triângulo a partir das
coordenadas de seus vértices
Considere os pontos ,a aA x y , ,b bB x y e
,c cC x y de um plano cartesiano ortogonal. Caso o
determinante
1
1
1
a a
b b
c c
x y
D x y
x y
seja diferente de zero,
como consequência, tem-se que esses pontos não
estarão alinhados e, portanto, serão vértices de um
triângulo. É possível provar que a área desse triângulo
será dada por 1
2S D .
Obs.2: A área do triângulo também pode ser calculada
utilizando a regra prática.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 5.2. Calcule a área do triângulo cujos vértices são os
pontos 1, 2 , 2, 4 , 3, 5 .
GABARITO
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. E
1.2.
a) 3, y , com y
b) , 4x , com x
c) , 5x , com x
d) 2, y , com y
1.3.
a) IV Q
b) II Q
c) I Q
d) III Q
e) IV Q
1.4. 2
| 13
k k
1.5. 2
1.6. 4
2.1.
a) 5, 4 , 3, 4 , 4, 2 , 1, 5
b) 5, 4 , 3, 4 , 4, 2 , 1, 5
c) 5, 4 , 3, 4 , 4, 2 , 1, 5
d) 4, 5 , 4, 3 , 2, 4 , 5, 1
e) 4, 5 , 4, 3 , 2, 4 , 5, 1
2.2.
a) ,a b
b) ,a b
c) ,a b
d) ,b a
e) ,b a
3.1. Demonstração
3.2. a) 5 b) 29
TAREFA 5 – No capítulo “Geometria Analítica: estudo do
ponto” fazer as questões do Praticando em Sala de Aula
(PSA) 58, 62, 64, 74, 85, 86 e 87
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 6
3.3. 81 23
,14 14
4.1. Demonstração
4.2. a) 1
, 52
b) 3
; 12
4.3. 4, 10
4.4. 3, 1
5.1. a) são colineares b) não são colineares
5.2. 11
2