o triângulo retângulo e suas relações métricas
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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSEUNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL
CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSUNOVAS TECNOLOGIAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA
INFORMÁTICA EDUCATIVA II
PROF: CARLOS FRANÇA
ALUNO: TIBURCINDIO NUNES FERREIRA DUQUE ESTRADA POLO: SAQUAREMA
A
B CH a
bch
n m
Teorema
A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo determina dois outros triângulos retângulos, ambos semelhantes ao primeiro.
Hipótese Tese
Considere o triângulo retângulo ABC
DemonstraçãoA
B Ca
bc
B H
A
△ ABC HBA ( caso A.A. ), pois ∼ △
B C
A
bc
a H
A
C
h
b
n
h
m
△ ABC ∼ △ HBA ( caso A.A. ), pois
Pela propriedade transitiva da semelhança de triângulos temos: △ HBA ∼ △ HCA
Relações Métricas
A semelhança entre esses triângulos permite estabelecer importantes relações métricas no triângulo retângulo.
1ª relaçãoDa semelhança entre os triângulos ABC e HBA, temos:
Da semelhança entre os triângulos ABC e HBA, temos:
Podemos então, dizer: Num triângulo retângulo a medida de cada cateto é a média proporcional positiva entre as medidas da hipotenusa e da projeção desse cateto sobre a hipotenusa.
2ª relaçãoDa semelhança entre os triângulos HBA e HCA, temos: Podemos, então, dizer:
Num triângulo retângulo, a medida da altura relativa à hipotenusa é a média proporcional positiva entre as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
3ª relação
Da semelhança entre os triângulos ABC e HBA, temos: Podemos, então, dizer:
Num triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa.
4ª relação: Teorema de Pitágoras
Como vimos, para o triângulo retângulo considerado valem as relações c2 = an e b2 = am
Somando-se essas duas relações, membro a membro, vem:
c2 + b2 = an + amc2 + b2 = a( n + m ) colocamos a em evidênciac2 + b2 = a . a substituímos m + n por ac2 + b2 = a2 ou a2 = b2 + c2
Podemos, então, enunciar o famoso teorema de Pitágoras:Num triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à
soma dos quadrados das medidas dos catetos.
Resumo
Se um triângulo ABC é retângulo, então são válidas as seguintes relações métricas:
a
A
B
A A A
a aB B BC C C C
b b b bc cc c
nn m mh h
b2 = anc2 = am
h2 = mn
bc= ah a2 = b2 + c2
Exemplo 1Calcular o valor de x, y e z no triângulo retângulo:
xy
z5,4 9,6
Solução:Cálculo de z: Cálculo de y: Z = 9,6 + 5,4 = 15 Vamos aplicar a relação: h2 = mn
Cálculo de x: c2 = an y2 = 9,6 . 5,4 x2 = 15 . 5,4 y2 = 51,84 x2 = 81 y = x = y = 7,2 x = 9
Exemplo 2Calcular o valor de x, y e z no triângulo retângulo:
y
x
z
6
Solução Cálculo de x: Cálculo de z:Vamos aplicar a 1ª relação: Vamos aplicar a 3ª relação:
6x = 84x = 14
Cálculo de y:Vamos aplicar o Teorema de Pitágoras: