____«Актуальные научные исследования в современном мире» ISCIENCE.IN.UA__ Выпуск 5(49) ч. 4 ISSN 2524-0986

232

УДК 372.851 Шепель Олег Михайлович

Томский музыкальный колледж (Томск, Россия)

ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

НА ШКОЛЬНЫХ УРОКАХ МАТЕМАТИКИ Аннотация. Для учащихся одиннадцатых классов

общеобразовательных средних школ предлагается излагать геометрический смысл интегралов, как приращения подграфиков и надграфиков функции при возрастающих и убывающих пределах интегрирования. Рассматривается геометрический смысл интеграла, равного нулю. Констатируется, что при возрастающих пределах интегрирования, приращения подграфиков положительны, приращения надграфиков отрицательны; при убывающих пределах интегрирования наоборот – приращения подграфиков отрицательны, приращения надграфиков положительны.

Ключевые слова: интеграл, подграфик, надграфик, приращение, пределы интегрирования.

Shepel Oleg M.

Tomsk musical college (Tomsk, Russia)

GRAPHICAL REPRESENTATION OF INTEGRALS

ON SCHOOL MATHS CLASSES Abstraction. It is offered to state a geometrical meaning of integrals as

increments of function’s subgraph and epigraph at the increasing and decreasing integration limits for pupils of the eleventh classes of comprehensive high schools. The geometrical meaning of the integral equal to zero is considered. It is noted that increments of subgraph are positive, increments of epigraph are negative at the increasing limits of an integration and on the contrary– increments of subgraph are negative, increments of epigraph are positive at the decreasing integration limits.

Keywords: integral, subgraph, epigraph, increment, integration limits.

Во всех Российских школьных учебниках по математике, предназначенных для одиннадцатых классов общеобразовательных школ [1–4], рассмотрение геометрического смысла интеграла ограничивается только частными случаями положительного приращения площади подграфиков при

возрастающих пределах интегрирования. Чаще всего описывают функцию 2y = x. Например, интеграл:

131 1

2

1 1 1

2y

3 3

x

dx x dx

графически выглядит площадью, заштрихованной на рис. 1

__ ISCIENCE.IN.UA «Актуальные научные исследования в современном мире» ___ Выпуск 5(49) ч. 4 ISSN 2524-0986

233

Рис. 1. Графическое представление интеграла

12

1 x dx

.

В данном частном случае приращение площади, действительно, положительно, так как представляет собой интеграл (то есть, приращение бесконечно малых величин) произведения у∙dx, где у>0 и dx>0.

При этом нигде не рассматривается даже противоположная ситуация,

когда 2y = x :

131 1

2

1 1 1

2y

3 3

x

dx x dx

В этом случае приращение площади надграфика отрицательно, так как

представляет собой интеграл произведения у∙dx, где у<0, а dx>0 (рис. 2).

Рис. 2. Графическое представление интеграла

12

1

x dx.

____«Актуальные научные исследования в современном мире» ISCIENCE.IN.UA__ Выпуск 5(49) ч. 4 ISSN 2524-0986

234

Весьма интересным будет для школьников рассмотрение геометрического смысла интеграла, равного нулю [5, c. 106]. Например, если у = 2х (рис.3), то:

3 3 32

33 3

y 2 9 9 0

dx xdx x

Рис. 3. Графическое представление интеграла

3

3

2 xdx

.

В данном случае, интеграл оказывается равным нулю вследствие того, что с геометрической точки зрения представляет собой сумму отрицательного приращения площади надграфика и положительного приращения площади подграфика, равных друг другу по абсолютной величине.

Представляется целесообразным повторное рассмотрение геометрического смысла на уроках математики этих же функций (рис. 1 – 3)

при убывающих пределах интегрирования. В частности, если 2y = x(рис. 1), то

131 1

2

1 1 1

2y

3 3

x

dx x dx

В этом случае приращение подграфика оказывается величиной

отрицательной, поскольку представляет собой интеграл произведения у∙dx, где у>0, а dx<0.

Анализ функции 2y = x

(рис. 2) аналогичен: 1

31 12

1 1 1

2y

3 3

x

dx x dx

Приращение надграфика оказывается величиной положительной, так

как представляет собой интеграл произведения у∙dx, где у<0 и dx<0.

__ ISCIENCE.IN.UA «Актуальные научные исследования в современном мире» ___ Выпуск 5(49) ч. 4 ISSN 2524-0986

235

ВЫВОДЫ При графическом рассмотрении интегралов в 11 классах

общеобразовательных средних школ целесообразно сформировать у школьников чѐткое понимание, что с геометрической точки зрения интеграл представляет собой приращения площадей подграфиков и надграфиков. При возрастающих пределах интегрирования приращения подграфиков положительны, приращения надграфиков отрицательны. При убывающих пределах интегрирования наоборот – приращения подграфиков отрицательны, приращения надграфиков положительны.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ:

1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа 10-11 классы/A.Г. Мордкович– М.: Мнемозина, 2001. – 336 с.

2. Виленкин Н. Я. Алгебра и математический анализ 11 класс / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд – М.: Просвещение, 2009. – 295 с.

3. Пратусевич М. Я. Алгебра и начала математического анализа 11 класс. Профильный уровень / М.Я. Пратусевич, К.М. Столбов, А.Н. Головин. – М.: Просвещение, 2006. – 470 с.

4. Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа 10-11 классы / А. Н. Колмогоров, И. П. Дудницын, Б.М. Ивлев и др. – М.: Просвещение, 2008. – 384 с.

5. Шепель, О. М. Математика и информатика: учебное пособие / О. М. Шепель, Е. В. Заводенко. – Томск: Издательский Дом Томского государственного университета, 2015. – 236 с.