1

استاتیک

منبع

تالیف مریام –کتاب استاتیک

و خصوصیات حرکت تعاریف

(Statics)استاتیک

است. علم بررسی اجسام در حالت سکون یا در حالت تعادل نیروهای وارده

(Dynamics)دینامیک

ی وارده است.دانش بررسی اجسام تحت تاثیر نیروها

(Rigid link)صلب جسم

ماند، حتی اگر جسم حرکت کند یا تحت تاثیر نیروهای ابت باقی میثفاصله هر دو نقطه از آن همواره جسمی است که

.داد نخواهد شکل تغییر گاه هیچ جسمی چنین .خارجی قرار داشته باشد

مکانیک پایه قوانین

باقی سکون حالت در یا داده ادامه ثابت سرعت با مستقیم جهت در خود یکنواخت حرکت به اجسام تمام :نیوتن اول قانون

.است اجباری سرعت تغییر صورت آن در که شود وارد جسم به یینیرو اینکه مگر ماندمی

است نیروهایی مجموع با مستقیم جهت در و متناسب( مادی نقطه) جسم یک در( شتاب) سرعت تغییر :نیوتن دوم قانون

.شودمی وارد جسم به که

.دارد وجود جهت خالف در و برابر العملیعکس، عملی هر برای :نیوتن سوم قانون

مکانیک

استاتیک دینامیک

2

برداري و اسکالر هايکمیت

کافی عددی مقدار یک هاآن توصیف برای دیگر عبارتی به. باشندمی مقدار دارای فقط که هستند کمیاتی :اسکالر کمیات

.هستند هاکمیت نوع این از هایینمونه طول و زمان دما، جرم،. است

جمله از. دارند نیز( امتداد) راستا و( سو) جهت به نیاز مقدار، بر عالوه که هستند هاییآن برداری، هایکمیت :برداري کمیات

از ها،آن روی بر( سهم) بردار عالمت با برداری کمیات .برد نام توان می را نیرو گشتاور و نیرو شتاب، سرعت،: کمیات این

. شوند می متمایز اسکالر کمیتهای

بردارها جبر

جبری عدد یک در بردار حاصلضرب و( اندازه) مطلق قدر بردار،

𝑚𝐴 = 𝑚𝐴𝑥 𝑖 ⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑚𝐴𝑦 𝑗 ⃗⃗⃗⃗ + 𝑚𝐴𝑧 𝑘 ⃗⃗⃗⃗⃗, |𝑚𝐴| = 𝑚|𝐴|

بردارها جمع

مثال:

برایند چهار نیروی زیر را ترسیم نمایید.

3

مثال:

بردارها تفریق

| 𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗| = | 𝐵 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗| = √| 𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗|2

+ | 𝐵 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|2

− 2| 𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗|| 𝐵 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| cos 𝛼

مثال:

کنید؟ پیدا را مقابل شکل در شده داده بردار دوبرایند اندازه

| 𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗| = √152 + 102 + 2(15)(10) cos 120

| 𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗| = 13/2 𝑁

مثال:

4

(واحد) یکه بردار

ها مؤلفه به بردار یک زیهتج

مثال:

5

بردار دو( عددي یا جبري) داخلی حاصلضرب

مثال:

6

بردار دو( برداري) خارجی حاصلضرب

|𝐶| = |𝐴||𝐵| sin 𝛼

→ α = 0

مثال:

𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝐵 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = | 𝑖 ⃗⃗⃗ ⃗ 𝑗 ⃗⃗⃗⃗ 𝑘 ⃗⃗⃗⃗⃗

2 3 51 0 −1

| = |3 50 −1| 𝑖 ⃗⃗⃗ ⃗ − |

2 51 −1| 𝑗 ⃗⃗⃗⃗ + |

2 31 0| 𝑘 ⃗⃗⃗⃗⃗ = −3 𝑖 ⃗⃗⃗ ⃗ + 7 𝑗 ⃗⃗⃗⃗ − 3 𝑘 ⃗⃗⃗⃗⃗

مکان بردار

7

نقطه یک به نسبت بردار یک گشتاور

مثال:

�⃗⃗⃗�𝑂 = 𝑟 ⃗⃗ ⃗⃗ × 𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (2 𝑖 ⃗⃗⃗ ⃗ + 4 𝑗 ⃗⃗⃗⃗ ) × (600 cos 40 𝑖 ⃗⃗⃗ ⃗ − 600 sin 40 𝑗 ⃗⃗⃗⃗ ) = | 𝑖 ⃗⃗⃗ ⃗ 𝑗 ⃗⃗⃗⃗ 𝑘 ⃗⃗⃗⃗⃗

2 4 0600 cos 40 −600 sin 40 0

|

= |4 0

−385/7 0| 𝑖 ⃗⃗⃗ ⃗ − |2 0

459/6 0| 𝑗 ⃗⃗⃗⃗ + |2 4

459/6 −358/7| 𝑘 ⃗⃗⃗⃗⃗

= (−2 × 358/7 − 4 × 459/6) 𝑘 ⃗⃗⃗⃗⃗ = −2609/7 𝑘 ⃗⃗⃗⃗⃗

8

نیرو

اصل انتقال پذیري

توان در هر نقطه واقع روی خط اثر مفروض آن اعمال کرد بدون آن که صلب نیرو را میطبق اصل انتقال پذیری، در هر جسم

برایند آثار خارجی آن تغییر نماید.

دسته بندي نیروها

شوند:نیروها به دو دسته تقسیم می

گاهی شوند نظیر نیروی تکیهدر اثر تماس مستقیم فیزیکی ایجاد می نیروهاي تماسی: -1

ناشی از قرار گرفتن جسم در یک میدان نیرو مانند میدان گرانشی، میدان الکتریکی یا میدان نیروهاي حجمی: -2

مغناطیسی است نظیر وزن

توان به دو دسته زیر نیز تقسیم کرد:همچنین نیروها را می

گسترده است. در گردد و در حقیقت نیرویای متناهی اعمال میهر نیروی تماسی عمالً بر ناحیه الف( نیروهاي متمرکز:

حالتی که بتوان فرض نمود ابعاد این ناحیه در مقایسه با سایر ابعاد جسم بسیار کوچک است و کاهش دقت ناشی از این فرض

توان نیرو را به صورت متمرکز در نظر گرفت.قابل اعتنا نیست می

حالتی است نیرو روی سطحی گسترده شده باشد مانند تماس مکانیکی، یا روی حجمی گسترده باشد ب( نیروي گسترده:

مانند نیروی وزن یا روی خطی گسترده باشد مانند نیروی وزن یک کابل معلق

9

کنش و واکنش )عمل و عکس العمل(

.دارد وجود جهت خالف در و برابرکنشی کنشی، وا هر برایطبق قانون سوم نیوتن

نیروهاي همرس یا متقارب

ها در نقطه مزبور یکدیگر را قطع کند.دو یا چند نیرو را در یک نقطه همرس گویند هرگاه خطوط اثر آن

سیستم نیروي دوبعدي

های قائم است:فهه یک بردار نیرو، تجزیه آن به مولترین روش تجزیمتداول

10

یافتن برایند دو نیروی همرس هستند.های متعامد ابزاری مناسب برای مولفه

مثال:

نمایید. تعیین اندشده بر سازه اعمال Bرا که در نقطه Pو Tدو نیروی برایند

حل:

راه حل هندسی:

11

مثال:

bدر شکل زیر مطلوبست تعیین تصویر نیروی برایند بر روی محور

حل:

گشتاور

گردد:حالت کلی گشتاور به صورت ضرب خارجی بردار مکان در بردار نیرو به صورت زیر تعریف میدر

𝑂حول محور 𝐹اندازه گشتاور نیروی − 𝑂 برابر است با حاصلضرب نیروی𝐹 در فاصله عمودی محور تا خط اثر نیرو (𝑑).

12

ای در گردد به این صورت که چهار انگشت دست راست را به گونهاستفاده میبرای تعیین جهت گشتاور از قاعده دست راست

دهیم که جهت جمع شدن چهار انگشت در راستای بردار نیرو قرار گیرد در این صورت انگشت راستای بردار مکان قرار می

مکان است. دهد که عمود بر صفحه حاوی بردارهایی نیرو وشست دست راست جهت بردار گشتاور را نشان می

شوند.در نظر گرفته می (−)و گشتاورها در جهت ساعتگرد منفی (+)گشتاورهای در جهت پادساعتگرد مثبت قرارداد:

قضیه وارینیون

های آن نیرو حول همان نقطه برابر است.های مولفهگشتاوریک نیرو حول هر نقطه با حاصل جمع گشتاورطبق این قضیه

مثال:

.Oحول نقطه N 600نیروی گشتاورمطلوبست محاسبه اندازه

حل:

13

راه اول:

راه دوم:

راه سوم:

راه چهارم:

راه پنجم:

کوپل

خط کوپل نام دارد.گشتاور دو نیروی مساوی، مخالف و غیر هم

بنابراین تا زمانی که فاصله دهد، مستقل است.نشان می 𝑂 گشتاورکه محل نیروها را نسبت به مرکز 𝑎اندازه کوپل از فاصله

𝑑 .ثابت بماند جابجا کردن کوپل نسبت به محور تاثیری در مقدار آن نخواهد داشت

14

کوپل -سیستم نیرو

که در 𝐹یروی مفروض نشان داده شده است. در این شکل ن جایگزین کردن یک نیرو، با یک نیرو و یک کوپل در شکل زیر

𝑀جایگزین شده و کوپل پادساعتگرد 𝐵در نقطه 𝐹شود با نیروی وارد می 𝐴نقطه = 𝐹𝑑 ناشی از این جابجایی به سیستم

اضافه خواهد شد.

ل واقع است )عمود بر بردار کوپل( توانیم یک کوپل و یک نیروی فرضی را که در صفحه کوپبا معکوس کردن فرایند فوق می

ارز با این مجموعه حاصل شود.ترکیب کنیم تا نیرویی هم

مثال:

𝐹نیروی = 50 𝑁 شود. اگر ترمز دستی یک خودرو وارد میبه𝑥 = 250 𝑚𝑚 ارز در کوپل هم –باشد نیرو را با سیستم نیرو

جایگزین نمایید. 𝑂نقطه

حل:

15

برایندها

توان آن را جایگزین نیروهای اصلی کرد بدون آن که اثر خارجی ترین ترکیب نیروست که میاز نیروها سادهبرایند سیستمی

شوند، تغییر کند.نیروهای اصلی، بر جسمی که بر آن وارد می

روش جبري:

های کوپل 𝑀3و 𝑀1 ،𝑀2نقطه مرجع مناسبی را انتخاب کرده و همه نیروها را به آن نقطه انتقال دهید. در این شکل -1

باشند.می Oاز خطوط اثر اولیه به خطوط اثر گذرا از نقطه 𝐹3و 𝐹1 ،𝐹2ناشی از انتقال نیروهای

را نیز محاسبه نمایید. (𝑀𝑂)ها را محاسبه و برایند کوپل (𝑅)برایند همه نیروها -2

16

𝑴𝑂ای منتقل شود که رابطه به گونه 𝑂نسبت به نقطه 𝑅ارز کافیست تا خط اثر برایند برای تعیین نیروی هم -3 = 𝑹𝑑

برقرار شود:

𝑑 =𝑀𝑂

𝑹

مثال:

.𝑂ارز در نقطه مطلوبست تعیین برایند سیستم زیر و نیز نیروی هم

حل:

17

18

تعادل

و کار دارد.ها مهندسی الزم و کافی باشند سر استاتیک با توصیف شرایط نیرو که برای حفظ تعادل سازه

برایند تمامی نیروها و گشتاورهای وارده بر آن صفر است: آن است کهیک جسم برای تعادل شرط الزم و کافی

تفکیک سیستم و دیاگرام آزاد

کند. در این دیاگرام، تمامی نیروهای دیاگرام آزاد توصیفی ترسیمی از یک سیستم مجزاست که به صورت یک جسم رفتار می

شوند.شده به سیستم به واسطه تماس مکانیکی با سایر اجسام نشان داده میاعمال

سازي کنش نیروهامدل

های مکانیکی در حالت تحلیل دوبعدی نشان داده شده است.در شکل زیر انواع متداولی از کاربرد نیروها در سیستم

19

هایی از نمودار جسم آزادمثال

20

شرایط تعادل

کافی برای این که در حالت دوبعدی تعادل در سیستم مکانیکی برقرار باشد عبارتند از:شرایط الزم و

دسته بندي تعادل

خط: تعادل نیروهای هم1دسته

: تعادل نیروهای همرس در یک نقطه2دسته

: تعادل نیروهای موازی3دسته

: تعادل نیروها در حالت کلی4ه دست

21

عضوهاي دونیرویی و سه نیرویی

1اراستا باشند. شکل عضو در این شرط سی تعادل جسم دو نیرویی، مطابق شکل باید نیروها مساوی، مخالف و همبرا

ده تاثیر ندارد.1ض

سه آید که در عضو سه نیرویی تعادل مستلزم آن است که سه نیرو همرس باشند. تنها حالت استثنا هنگامی پیش می

توان نقطه همرسی را در بینهایت فرض کرد. در جسم سه نیرویی، نیروهای مین حالت ینیرو با هم موازی باشند. در ا

دهند.وارده به جسم تشکیل یک مثلث می

22

قیدها و نامعینی استاتیکی

های تعادل های خارجی مجهول آن از تعداد معادلهتوان از نظر استاتیکی نامعین حساب کرد که تعداد واکنشجسمی را می

برای سیستم بیشتر باشد.مستقل موجود

معین استاتیکی نامعین استاتیکی

مثال:

شوند.که همراه با سایر نیروهای نشان داده شده بر مفصل خرپای پل وارد می 𝑇و 𝐶مطلوبست تعیین اندازه نیروهای

23

حل:

ها صفر است.چون نیروها همرس هستند برایند گشتاور آن

مثال:

تواند آزادانه حول بلبرینگ است. هر قرقره می 𝑙𝑏 1000گاه بار در کابلی که مطابق شکل، تکیه 𝑇مطلوبست محاسبه کشش

را تعیین نمایید. 𝐶ک است. اندازه نیروی کل وارد بر بلبرینگ قرقره چن همه قطعات در مقایسه با بار کوخود بچرخد و وز

حل:

24

مثال:

آن را بلند کنیم Bسر Cکابل تکیه دارد. با استفاده از B و Aابتدا روی سطح افقی به دو غلتک 𝑘𝑔 100تیرآهن یکنواخت

که تیر در وضعیت نهایی با θ، و زاویه A، واکنش در نقطه Pبرسانیم. مطلوبست تعیین کشش Aباالتر از سر 3𝑚و به مکانی

دهد.امتداد افقی تشکیل می

حل:

مثال:

ABاز جرثقیل نشان داده شده در شکل. جرم تیر Aمطلوبست تعیین اندازه کشش کابل و اندازه نیروی وارد بر پین در نقطه

است. 𝑘𝑔 95در هر متر از تیر

حل:

25

مثال:

. Oگاه ها در تکیهبر متر طول مفروض است. مطلوبست محاسبه واکنش 𝑘𝑔 50تیر یکنواخت به جرم

حل:

26

هاسازه

خرپاهاي مسطح

شود. دهند، خرپا نامیده میمی لقاب تشکیل شده از اعضای متصل به یکدیگر از ناحیه انتهایی، که یک عضو صلب تشکی

روند. هنگامی که اعضای خرپا در های خوبی از خرپا به شمار میها نمونهها و از این قبیل سازههای بام، جرثقیلگاهها، تکیهپل

شود.یک صفحه قرار داشته باشند، بدان خرپای مسطح گفته می

خرپاهای متداول در ساخت پل

خرپاهای متداول برای ساخت بام

27

خرپاهاي ساده

که انتهای سه میله توسط پین به هم متصل شده است. این خرپا یک عضو صلب ای هر خرپای مسطح، مثلث است عنصر پایه

شوند خرپای ساده نام دارند.هایی که از این اعضای مثلثی پایه ساخته میآورد. سازهبه وجود می

اعضای خرپا صرفنظر کند بنابراین اگر از وزنای مستقیم است که خطوط اثر نیرو را به هم متصل میهر عضو خرپا عمالً میله

توان یک عضو دو نیرویی در نظر گرفت که نیروهای وارده در دو انتهای آن باید با یکدیگر برابر، همراستا و شود هر عضو را می

توانند فشاری یا کششی باشند.خالف جهت هم باشند که این نیروها می

هاي خرپاگاهها و تکیهاتصال

شوند. های پینی وارد میان فرض کرد که همه نیروهای خارجی بر اتصالتومیدر تحلیل خرپاهای ساده

شود تا انبساط و ها استفاده میگاهای یا نوعی مفصل لغزشی در یکی از تکیهدر خرپاهای بزرگ از مفصل غلتکی، گهواره

مفصل وجود نداشته باشد، خرپا نامعینی انقباض ناشی از تغییر دما و تغییر شکل ناشی از اعمال بار را جبران کند. اگر این نوع

استاتیکی خواهد بود.

28

روش مفاصل

شوند.ها با استفاده از شرایط تعادل محاسبه میگاهالعمل تکیهابتدا دیاگرام آزاد خرپا ترسیم شده و نیروهای عکس .1

بیش از دو نیروی مجهول نیز نداشته کنیم که حداقل یک نیروی معلوم داشته باشد و کار را با تحلیل از مفصلی آغاز می .2

باشد.

.باشندمیمربوطه کنیم که معرف سرهای عضو معموالً نیروی هر عضو را با دو حرف مشخص می .3

در روش مفاصل برای یافتن نیروها در عضوهای خرپا، اصل بر ارضای شرایط تعادل نیروهای وارد بر پین اتصال هر مفصل .4

تعادل نیروهای همرس سروکار خواهیم داشت و فقط دو معادله مستقل برای هر مفصل است. بنابراین در این روش با

وجود دارد.

∑مثالً در خرپای شکل قبل ابتدا از شرط 𝐹𝑥 = 𝑅𝐴𝑥گیریم که نتیجه می 0 = 0.

∑از رابطه 𝐹𝑦 = خواهیم داشت: 0

(I) 𝑅1 + 𝑅2 = 𝐿 ∑و از رابطه 𝑀𝐴 = توان نوشت:نیز می 0

𝑅2 × 𝐴𝐷 − 𝐿 × 𝐴𝐵 = 0 → 𝑅2 =𝐿 × 𝐴𝐵

𝐴𝐷

گردد:محاسبه می (I)نیز از رابطه 𝑅1نیروی عکس العمل

𝑅1 = 𝐿 − 𝑅2 = 𝐿 −𝐿 × 𝐴𝐵

𝐴𝐷= 𝐿

𝐴𝐷 − 𝐴𝐵

𝐴𝐷=

𝐿 × 𝐵𝐶

𝐴𝐷

29

شرایط خاص:

راستا مطابق شکل زیر تحت فشار یا کشش قرار داشته باشند، باید عضو سومی به خرپا اضافه کرد وقتی دو عضو هم -1

عضو حفظ شود و کمانش نکند. در اینصورت:تا همراستایی دو

فر صهنگامی که دو عضو غیر همراستا مطابق شکل زیر متصل شوند در غیاب بار خارجی، نیرو در هر دو عضو باید -2

باشد:

هنگامی که دو جفت نیروی همراستا مطابق شکل زیر متصل شوند، نیروها در هر جفت باید مساوی و مخالف باشند: -3

30

شوند. اگر هر عضو بادبند بتواند نیروی های خرپا مطابق شکل زیر به صورت بادبند به یکدیگر متصل میاغلب پنل -4

. (چپ)شکل سمت باشد، این پنل از لحاظ استاتیکی نامعین خواهد بود لبکششی یا فشاری را تحمل کند یعنی ص

کند گاه تنها عضو کششی عمل می)مانند کابل( آناما اگر بادبندها انعطاف پذیر باشند و نتوانند فشار را تحمل کنند

توان دریافت که پنل خرپا چگونه معموالً با توجه به عدم تقارن بارگذاری میتوان عضو دیگر را نادیده گرفت. و می

تغییر شکل خواهد داد.

ش خواهد شد و نیرو در دچار کش ABدر شکل سمت راست با توجه به انعطاف پذیر بودن اعضای ضربدری خرپا، تنها عضو

به علت عدم تحمل فشار صفر خواهد بود. CDعضو

مثال:

.)وزن اعضا ناچیز فرض شود( هامطلوبست محاسبه نیرو در هر عضو از خرپای بارگذاری شده با استفاده از روش مفصل

حل:

∑ 𝑀𝐸 = 0 → 5𝑇 − 20(5) − 30(10) = 0 → 𝑇 = 80 𝑘𝑁

∑ 𝐹𝑥 = 0 → 80 cos 30 − 𝐸𝑥 = 0 → 𝐸𝑥 = 69/3 𝑘𝑁

∑ 𝐹𝑦 = 0 → 80 sin 30 + 𝐸𝑦 − 20 − 30 = 0 → 𝐸𝑦 = 10 𝑘𝑁

31

:Aدر مفصل

∑ 𝐹𝑦 = 0 → −30 + 𝐴𝐵 sin 60 = 0 → 𝐴𝐵 = 34/6 𝑘𝑁 𝑇

∑ 𝐹𝑥 = 0 → 𝐴𝐶 + 𝐴𝐵 cos 60 = 0 → 𝐴𝐶 = −0/5 × 34/6 = −17/32 𝑘𝑁 𝐶

:Bدر مفصل

∑ 𝐹𝑦 = 0 → −𝐴𝐵 sin 60 − 𝐵𝐶 sin 60 = 0 → 𝐵𝐶 = −34/6 𝑘𝑁 𝐶

∑ 𝐹𝑥 = 0 → 𝐵𝐷 − 𝐴𝐵 cos 60 + 𝐵𝐶 cos 60 = 0 → 𝐵𝐷 = 0/5 × 34/6 − 0/5 × (−34/6) = 34/6 𝑘𝑁 𝑇

:Cدر مفصل

∑ 𝐹𝑦 = 0 → 𝐵𝐶 sin 60 + 𝐶𝐷 sin 60 − 20 = 0 → 𝐶𝐷 =20 − (−34/6) × 0/866

0/866 → 𝐶𝐷 = 57/7 𝑘𝑁 𝑇

∑ 𝐹𝑥 = 0 → 𝐶𝐸 − 𝐴𝐶 − 𝐵𝐶 cos 60 + 𝐶𝐷 cos 60 = 0

→ 𝐶𝐸 = −17/32 + (−34/6) × 0/5 − 57/7 × 0/5 = −63/5 𝑘𝑁 𝐶 :Eدر مفصل

∑ 𝐹𝑦 = 0 → 𝐸𝐷 sin 60 + 𝐸𝑦 = 0 → 𝐸𝐷 =−10

0/866 = 11/55 𝑘𝑁 𝐶

ها استفاده نمود:توان برای بررسی درستی جوابمی xاز شرط تعادل نیروها در راستای

∑ 𝐹𝑥 = 0 → −𝐸𝑥 − 𝐶𝐸 − 𝐸𝐷 cos 60 = 0 → −69/3 − (−63/5) − 11/55 × 0/5 = 0

مثال:

بارگذاری استفاده نمایید.مطلوبست تعیین نیرو در هر عضو خرپای بارگذاری شده مطابق شکل زیر. از تقارن خرپا و

حل:

32

∑ 𝑀𝐴 = 0 → −30(5) − 60(10) − 30(15) + 𝐸(20) = 0 → 𝐸 =120020 = 60 𝑘𝑁

∑ 𝐹𝑥 = 0 → 𝐸𝑥 = 0

∑ 𝐹𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 − 30 − 60 − 30 + 60 = 0 → 𝐸𝑦 = 60 𝑘𝑁

با توجه به تقارن هندسی و تقارن نیروها تنها کافیست نیمی از خرپا تحلیل شود.

tan 𝜃 =45 → 𝜃 = tan−1 4

5 → → 𝜃 = 38/7°

𝛼 = 90 − 𝜃 = 90 − 38/7 = 51/3°

:Aدر مفصل

∑ 𝐹𝑦 = 0 → 60 + 𝐴𝐵 sin 𝜃 = 0 → 𝐴𝐵 =−60

sin 38/7 = −96 𝑘𝑁 𝐶

∑ 𝐹𝑥 = 0 → 𝐴𝐻 + 𝐴𝐵 cos 𝜃 = 0 → 𝐴𝐻 = −(−96) × cos 38/7 = 75 𝑘𝑁 𝑇

:Bدر مفصل

∑ 𝐹𝑦 = 0 → −𝐴𝐵 cos 𝛼 − 𝐵𝐻 = 0 → 𝐵𝐻 = −(−96) × cos 51/3 = 60 𝑘𝑁 𝑇

∑ 𝐹𝑥 = 0 → 𝐵𝐶 − 𝐴𝐵 sin 𝛼 = 0 → 𝐵𝐶 = −96 × sin 51/3 = −75 𝑘𝑁 𝐶

:Hدر مفصل

∑ 𝐹𝑦 = 0 → 𝐵𝐻 − 30 + 𝐶𝐻 sin 𝜃 = 0 → 𝐶𝐻 =30 − 60sin 38/7 → 𝐶𝐻 = −48 𝑘𝑁 𝐶

∑ 𝐹𝑥 = 0 → 𝐺𝐻 − 𝐴𝐻 + 𝐶𝐻 cos 𝜃 = 0 → 𝐺𝐻 = 75 − (−48) cos 38/7 = 112/5 𝑘𝑁 𝑇

:Gدر مفصل

∑ 𝐹𝑦 = 0 → 𝐶𝐺 − 60 = 0 → 𝐶𝐺 = 60 𝑘𝑁 𝑇

33

∑ 𝐹𝑥 = 0 → 𝐹𝐺 − 𝐺𝐻 = 0 → 𝐹𝐺 = 112/5 𝑘𝑁 𝑇

هندسی و نیروها خواهیم داشت:با توجه به تقارن

𝐶𝐹 = 𝐶𝐻 = −48 𝑘𝑁 𝐶

𝐶𝐷 = 𝐵𝐶 = −75 𝑘𝑁 𝐶

𝐷𝐹 = 𝐵𝐻 = 60 𝑘𝑁 𝑇

𝐷𝐸 = 𝐴𝐵 = −96 𝑘𝑁 𝐶

𝐸𝐹 = 𝐴𝐻 = 75 𝑘𝑁 𝑇

روش مقاطع

در تحلیل خرپاهای مسطح با استفاده از روش مفاصل، فقط به دو معادله نیرو از معادالت تعادل سروکار داریم زیرا در این

باشند.روش نیروها در هر مفصل همرس می

توان از معادله سوم تعادل یا با انتخاب مقطعی از کل خرپا به عنوان جسم آزاد در حال تعادل تحت اثر نیروهای ناهمرس، می

معادله گشتاور نیز استفاده کرد.

ها، نیرو را مستقیماً و با تحلیل مقطعی که توان تقریبا در همه عضومزیت اساسی روش مقاطع آن است که با استفاده از آن می

دهد، به دست آورد. بنابراین الزم نیست تا محاسبات را مفصل به مفصل انجام دهیم تا به عضو مورد نظر آن عضو را برش می

برسیم.

مالحظات:

از اعضا گذرانده شود و نه از مفاصل. یبرای سهولت بهتر است که مقطع فرض

تر خواهد شد.انتخاب شود که تعداد کمتری نیرو دارد در این صورت محاسبات ساده ایباید به گونه مقطع

های مقاطع و مفاصل با یکدیگر ترکیب شوند.در بعضی موارد برای به دست آوردن جواب بهتر است که روش

یا خارج از آن روی مقطع تواند شود که مرکز لنگرگیری میدر روش مقاطع از معادالت گشتاور بیشتر استفاده می

ای انتخاب شود که حداکثر تعداد نیروهای مجهول از آن عبور کنند.ن مرکز باید به گونهباشد. ای

شوند و در صورتی که عالمت نیرویی منفی به دست آمد باید جهت نیروی جهت نیروها فرضی در نظر گرفته می

مزبور معکوس گردد.

گذرانده شده است. BCو EF ،BEمثالٌ در شکل زیر مقطع فرضی از اعضای

34

به راحتی EFبه عنوان مرکز لنگر گیری انتخاب شود. در اینصورت نیروی B برای مقطع سمت چپ بهتر است که مفصل

شود.محاسبه می

∑ 𝑀𝐵 = 0 → 𝐸𝐹

به راحتی BCبه عنوان مرکز لنگر گیری انتخاب شود. در اینصورت نیروی E برای مقطع سمت راست بهتر است که مفصل

شود.محاسبه می

∑ 𝑀𝐸 = 0 → 𝐵𝐶

نیز BEبرای هر یک از مقاطع راست یا چپ نیروی باقیمانده 𝑦یا 𝑥با استفاده از شرط تعادل نیروها در یکی از راستاهای

محاسبه خواهد شد.

مثال:

بر خرپای زیر. 𝑡𝑜𝑛 20در نتیجه وارد شدن بار CBو KL ،CLمطلوبست محاسبه نیرو در عضوهای

حل:

شود.گذرانده می CBو KL ،CLمقطع فرضی از اعضای

∑ 𝑀𝐿 = 0 → 𝐶𝐵

∑ 𝑀𝐶 = 0 → 𝐾𝐿

∑ 𝑀𝑃 = 0 → 𝐶𝐿

مثال:

ها گاههای افقی نیرو در تکیهاز خرپای نشان داده شده در شکل زیر. از وزن اعضا و مولفه DJمطلوبست تعیین نیرو در عضو

چشم پوشی کنید.

35

حل:

آزاد برای کل خرپا:دیاگرام

∑ 𝑀𝐴 = 0 → 𝑅𝑦𝐺 × 24 − 10 × 16 − 10 × 8 − 10 × 4 = 0 → 𝑅𝑦𝐺 = 11/67 𝑘𝑁

∑ 𝐹𝑦 = 0 → 𝑅𝑦𝐴 + 11/67 − 10 − 10 − 10 = 0 → 𝑅𝑦𝐴 = 18/33 𝑘𝑁

نیرو از 3نیروی مجهول وجود خواهد داشت. اما با توجه به این که 4نشان دهیم 2را با DJاگر مقطع فرضی گذرنده از عضو

محاسبه خواهد شد. از آن جا DEنیروی Jهمرس هستند، با استفاده از شرط گشتاور تعادل حول مفصل Jنیرو در مفصل 4

نیروی دیگر را محاسبه نمود. 3توان که تعداد مجهوالت باقیمانده زیاد است با استفاده از شروط تعادل نیرو نمی

در شکل 1عبور داده شود که با عدد KJو CD ،CJبرای کاهش تعداد مجهوالت بهتر است که مقطع دیگری از سه عضو

نمایش داده شده است.

1مقطع 2مقطع

:1برای مقطع

tan 𝛼 =6

12 =12 → 𝛼 = 26/6°

𝐶𝐾 = 𝐴𝐾 × tan 𝛼 = 8 ×12 = 4

36

tan 𝜃 =44 = 1 → 𝜃 = 45°

∑ 𝑀𝐴 = 0 → 𝐶𝐽 sin 𝜃 (12) − 10(4) − 10(8) = 0 → 𝐶𝐽 = 14/14 𝑘𝑁 𝐶

∑ 𝑀𝐽 = 0 → −𝐶𝐷 sin 𝛼 (4) − 𝐶𝐷 cos 𝛼 (𝐶𝐾) + 10(4) + 10(8) − 18/33(12) = 0

→ −𝐶𝐷 sin 26/6 (4) − 𝐶𝐷 cos 26/6 (4) + 10(4) + 10(8) − 18/33(12) = 0 → 𝐶𝐷 = −18/63 𝑘𝑁

باید عکس شود. CDعالمت منفی بیانگر آن است که جهت نیروی

𝐶𝐷 = 18/63 𝑘𝑁 𝐶 :2برای مقطع

∑ 𝑀𝐺 = 0 → 𝐷𝐽(12) − 𝐶𝐽 sin 𝜃 (12) + 10(16) + 10(20) − 18/33(24) = 0

𝐷𝐽 =14/14 sin 45 (12) − 10(16) − 10(20) + 18/33(24)

12 → 𝐷𝐽 = 16/67 𝑘𝑁 𝑇

هاها و ماشینقاب

نامند هرگاه حداقل یکی از عضوهای آن عضو چند نیرویی باشد.یک سازه را قاب یا ماشین می

چند شود یا دو یا چند نیرو و یک یا شود که سه یا چند نیرو بر آن وارد میعضو چند نیرویی به صورت عضوی تعریف می

شود.کوپل بر آن وارد می

شوند و معموالً در جای خود ثابت هستند.هایی هستند که برای تحمل بارهای اعمالی طراحی میگاهها تکیهقاب

های خروجی طراحی های ورودی به نیروها یا کوپلاند و برای انتقال نیرو یا کوپلهایی با قطعات متحرکها سازهماشین

شوند.می

ها عضوهای چند نیرویی دارند در حالت کلی در این اعضا نیروهادر امتداد عضو نبوده و در نتیجه ها و ماشینچون قاب

ها را از روش مفاصل تحلیل نمود.توان آننمی

مثال:

پوشی چشمکند ها ایجاد میاست. از وزن اعضا در مقایسه با نیروهایی که بار در آن 𝑘𝑔 400گاه بار تکیهقابی مطابق شکل

های افقی و عمودی همه نیروهای وارد بر هر عضو را به دست آورید.نمایید. مولفه

حل:

37

دیاگرام آزاد برای کل قاب:

:BFبرای عضو

های در نظر گرفته شده برای نیروهای محاسبه شده درست بوده است.مقادیر مثبت بیانگر آن هستند که عالمت

:CEبرای عضو

:ADبرای عضو

مثال:

از وزن قاب صرفنظر کنید و نیروهای وارد بر همه عضوهای آن را به دست آورید.

38

حل:

دیاگرام آزاد کل قاب:

𝐵𝐶 = 50"

:EDعضو

:EFعضو

𝐸 = 𝐹 = 50 𝑙𝑏 :ABعضو

باید معکوس شود. 𝐵𝑦بیانگر آن است که جهت 𝐵𝑦عالمت منفی برای

:BCعضو

بررسی صحت نتایج قابل استفاده خواهد بود.دو معادله باقیمانده نیز برای

39

نیروهای گسترده

شود که ابعاد آن در مقایسه با سایر ابعاد دخیل در مساله قابل چشم پوشی نیست، بدان نیروی وقتی نیرو بر سطحی وارد می

شود.گسترده گفته می

وقتی نیرو روی یک خط گسترده شده باشد نظیر نیروی عمودی پیوسته وارد بر کابل معلق. گسترش خطی:

شود مانند فشار هیدرولیکی آب روی دیواره داخلی سد.وقتی نیرو روی یک سطح گسترده می گسترش سطحی:

.شود نظیر جاذبه گرانشینیرویی است که روی حجم جسم گسترده می گسترش حجمی:

مرکز جرم

شود مجموع تمامی بنابراین نیروی وزنی که به یک جسم وارد میشود نیروی جاذبه زمین به تمامی اجزای یک جسم وارد می

این جزء نیروهاست. محل اثر نیروی وزن مرکز ثقل نام دارد.

گردد:در حالت کلی مرکز جرم جسم زیر با استفاده از روابط انتگرالی زیر تعیین می

40

جسم همگن باشد مرکز جرم آن بر مرکز تقارن هندسی آن برابر خواهد بود.در صورتی که

مرکز خط

خط تقریب زد. در این توان با یک پارهرا مطابق شکل زیر را می ρو چگالی 𝐴، سطح مقطع 𝐿میله یا سیم باریکی به طول

شود:زیر محاسبه میحالت مرکز جرم جسم بر مرکز خط آن منطبق خواهد بود که مختصات آن از روابط

مرکز سطح

توان آن را به صورت یک سطح مسطح در نظر داشته باشد می 𝑡، ضخامت اندک اما ثابتی برابر ρوقتی جسمی با چگالی

شود:گرفت. در این حالت مرکز جرم جسم بر مرکز سطح آن منطبق خواهد بود که از روابط زیر محاسبه می

مرکز حجم

مرکز جرم جسم بر مرکز حجم آن منطبق است که با روابط زیر محاسبه ρو چگالی 𝑉در حالت کلی برای یک جسم با حجم

شود:می

41

هاي مرکباجسام و شکل

شود، از اصل گشتاورها ها به آسانی تعیین میهرگاه بتوان جسم یا شکلی را به دو یا چند بخش تقسیم کرد که مرکز جرم آن

گیریم. کنیم و هر بخش را به صورت جزیی متناهی از کل در نظر میاستفاده می

ها به و مختصات مرکز جرم آن 𝑚3و 𝑚1 ،𝑚2های مختلف آن چنین جسمی در شکل زیر نشان داده شده است. جرم بخش

است. 𝑥در امتداد �̅�3و �̅�1 ،�̅�2ترتیب

�̅�3و �̅�1 ،�̅�2ها به ترتیب و مختصات مرکز جرم آن 𝑚3و 𝑚1 ،𝑚2های مختلف آن در حالت کلی برای جسمی که جرم بخش

است مختصات مرکز جرم از روابط زیر محاسبه 𝑧در امتداد محور 𝑧3̅و 𝑧1̅ ،𝑧2̅و 𝑦در امتداد محور �̅�3و 𝑥 ،�̅�1 ،�̅�2در امتداد

گردد:می

�̅� =∑ 𝑚𝑖�̅�𝑖

∑ 𝑚𝑖, �̅� =

∑ 𝑚𝑖�̅�𝑖

∑ 𝑚𝑖, �̅� =

∑ 𝑚𝑖𝑧�̅�

∑ 𝑚𝑖

مرکز جرم همان مرکز سطح خواهد بود که برای جسم مرکب از روابط خامت جسم قابل صرفنظر کردن باشدحالتی که ضدر

زیر مختصات مرکز جرم آن قابل محاسبه است:

�̅� =∑ 𝐴𝑖�̅�𝑖

∑ 𝐴𝑖, �̅� =

∑ 𝐴𝑖�̅�𝑖

∑ 𝐴𝑖

(.3-نشان داده شده است )جدول د مرکز سطح اشکال هندسی مختلف در جداول انتهای کتاب استاتیک

در صورتی که جسمی نسبت به یکی از محورهای مختصات متقارن باشد، مرکز جرم بر روی محور تقارن مزبور قرار نکته:

�̅�متقارن است بنابراین برای این سطح 𝑦خواهد داشت. مثالً در شکل زیر سطح نشان داده شده نسبت به محور = بوده و 0

باید محاسبه شود. �̅�تنها

42

ایسطح دایره

دایره و ربع دایرهمیله کمانی نیم

ایکمان میله

مرکز دایره

سطح قطاع دایره

سطح ربع دایره

ایدایرهسطح نیم

سطح ربع بیضی

سطح مثلثی

مستطیلیسطح

مستطیل مرکز

سطح سهموی

زیر سهمیسطح

43

در بررسی سطوح مرکب، مساحت سطوح خالی که باید از سطح پایه قبلی کسر شوند با عالمت منفی در محاسبات تبصره:

گردند.لحاظ می

مثال:

مرکز سطح هاشور خورده زیر را تعیین نمایید.

حل:

�̅�𝑖 (𝑚𝑚) �̅�𝑖 (𝑚𝑚) 𝐴𝑖 (𝑚𝑚2) شماره بخش

125 200 400 × 250 = 100000 1 2503 400 +

1503 = 450 250 × 75 = 18750 2

125 200 −𝜋 × 602 = −11309 3

�̅� =∑ 𝐴𝑖

3𝑖=1 �̅�𝑖

∑ 𝐴𝑖3𝑖=1

=𝐴1�̅�1 + 𝐴2�̅�2 + 𝐴3�̅�3

𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3

�̅� =100000 × 200 + 18750 × 450 + (−11309) × 200

100000 + 18750 − 11309 = 243/6 𝑚𝑚

�̅� =∑ 𝐴𝑖

3𝑖=1 �̅�𝑖

∑ 𝐴𝑖3𝑖=1

=𝐴1�̅�1 + 𝐴2�̅�2 + 𝐴3�̅�3

𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3

�̅� =100000 × 125 + 18750 ×

2503 + (−11309) × 125

100000 + 18750 − 11309 = 117/7 𝑚𝑚

44

مثال:

مرکز سطح سایه خورده زیر را تعیین نمایید.

حل:

شکل به سادگی قابل 4شکل ساده مطابق شکل زیر قابل تقسیم است که مرکز سطح هر یک از این 4سطح مرکب فوق به

شود:های خالی منفی در نظر گرفته میباشد. مساحت قسمتمیتعیین

�̅�𝑖 (𝑖𝑛) �̅�𝑖 (𝑖𝑛) 𝐴 (𝑖𝑛2) شماره بخش 102 = 5

122 = 6 12 × 10 1

103 12 +

63 = 14 5 × 6 2

4 × 33𝜋

= 1/273 3 + 3 = 6 −12 𝜋32 = −14/14 3

2 + 2 = 4 3 + 3 + 3 + 2 + 1 = 12 −4 × 2 4

�̅� =∑ 𝐴𝑖

4𝑖=1 �̅�𝑖

∑ 𝐴𝑖4𝑖=1

=𝐴1�̅�1 + 𝐴2�̅�2 + 𝐴3�̅�3 + 𝐴4�̅�4

𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 + 𝐴4

�̅� =120 × 6 + 30 × 14 + (−14/14) × 6 + (−8) × 12

120 + 30 − 14/14 − 8 = 7/5 𝑖𝑛

�̅� =∑ 𝐴𝑖

4𝑖=1 �̅�𝑖

∑ 𝐴𝑖4𝑖=1

=𝐴1�̅�1 + 𝐴2�̅�2 + 𝐴3�̅�3 + 𝐴4�̅�4

𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 + 𝐴4

�̅� =120 × 5 + 30 ×

103 + (−14/14) × 1/273 + (−8) × 4

120 + 30 − 14/14 − 8 = 5/08 𝑖𝑛

45

بارهاي گسترده

کنند نیز دسته بندی نمود. تیرهای سمت راست در شکل زیر تحت بار خارجی که تحمل میتوان بر اساس نوع بار تیرها را می

به صورت نیرو بر واحد (𝑤)شود. شدت بار گسترده متمرکز قرار دارند در حالی که بر تیر سمت چپ بار گسترده وارد می

تواند ثابت یا متغیر باشد.گردد که میطول بیان می

کز توان با یک نیروی متمرکز جایگزین کرد که در مرثابت است. این بار گسترده را می (𝑤)در شکل زیر شدت بار گسترده

گردد.سطح مربوط به نیروی گسترده اعمال می

جایگزین توان با یک نیروی متمرکز کند. این بار گسترده را میبه صورت خطی تغییر می (𝑤)در شکل زیر شدت بار گسترده

گردد.کرد که در مرکز سطح مربوط به نیروی گسترده اعمال می

این 𝑅2و 𝑅1ای به یک سطح مستطیلی و یک سطح مثلثی تجزیه شده است و برایندهای متناظر در شکل زیر سطح ذوزنقه

های مرکب های مربوط به شکلتکنیکتوان با استفاده از توان جداگانه تعیین کرد. باید توجه داشت که میسطوح فرعی را می

ها اشاره گردید، یک نیروی برایند تنها نیز به دست آورد.که پیشتر بدان

46

گردند:در حالت کلی نیروهای برایند حاصل از یک بار گسترده و محل اثر آن با روابط زیر تعیین می

مثال:

مطابق شکل زیر در معرض بار گسترده در تیری که Bو Aهای گاهالعمل در تکیهعکسارز و متمرکز هم مطلوبست تعیین بار

قرار دارد.

حل:

بار گسترده مربوط به سطح مستطیلی = 4 × 0/5 = 2 𝑘𝑁

300نقطه اثر بار گسترده مستطیلی در وسط سطح مستطیلی یعنی در فاصله +5002

= 550 𝑚𝑚 گاه از تکیهA تیر خواهد

بود.

47

∑ 𝑀𝐴 = 0 → 𝑅𝐵(0/8) − 𝑅(0/55) = 0 → 𝑅𝐵 =2 × 0/55

0/8 = 1/375 𝑘𝑁

∑ 𝐹𝑥 = 0 → 𝑅𝑥𝐴 = 0

∑ 𝐹𝑦 = 0 → 𝑅𝐵 + 𝑅𝑦𝐴 = 𝑅 → 𝑅𝑦𝐴 = 2 − 1/375 = 0/625 𝑘𝑁

مثال:

در تیری که مطابق شکل زیر در معرض بار گسترده قرار Aهای گاهالعمل در تکیهارز و عکسمطلوبست تعیین بار متمرکز هم

دارد.

حل:

بار گسترده مربوط به سطح مثلثی = R = 120 ×62

= 360 𝑙𝑏

از قاعده مثلث خواهد بود. 1/3نقطه اثر بار گسترده مثلثی در فاصله

نقطه اثر بار گسترده مربوط به سطح مثلثی = 6 +63

= 8 ft

∑ 𝑀𝐴 = 0 → −𝑅(8) + 𝑀𝐴 = 0 → 𝑀𝐴 = 360 × 8 = 2880 𝑙𝑏. 𝑓𝑡

∑ 𝐹𝑥 = 0 → 𝑅𝑥𝐴 = 0

∑ 𝐹𝑦 = 0 → −𝑅 + 𝑅𝑦𝐴 = 0 → 𝑅𝑦𝐴 = 360𝑙𝑏

48

مثال:

گاه ساده که مطابق شکل زیر در معرض بار های خارجی برای تیر با تکیهارز و واکنشمطلوبست تعیین بارهای متمرکز هم

گسترده قرار دارد.

حل:

شود. مقدار بارهای متمرکز با محاسبه سطح مربوط به بار گسترده مطابق شکل زیر به دو سطح مستطیلی و مثلثی تقسیم می

شود و نقطه اثر هر یک مرکز سطح مربوط به آن سطح خواهد بود.مساحت این سطوح تعیین می

بار گسترده مربوط به سطح مستطیلی = 120 × 10 = 1200 𝑙𝑏

نقطه اثر بار گسترده مستطیلی در وسط سطح مستطیلی یعنی در وسط تیر خواهد بود.

بار گسترده مربوط به سطح مثلثی = (280 − 120) ×62

= 480 𝑙𝑏

از قاعده مثلث خواهد بود. 1/3نقطه اثر بار گسترده مثلثی در فاصله

نقطه اثر بار گسترده مربوط به سطح مثلثی = 10 −63

= 8 ft