Министерство образования и науки Украины

Национальная металлургическая академия Украины

На правах рукописи

КОРХИНА Инна Арнольдовна

УДК 005.8:519.863

МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ПРОЕКТОВ

РАЗВИТИЯ ПРЕДПРИЯТИЯ ПО ФИНАНСОВЫМ КРИТЕРИЯМ В

УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Специальность 05.13.22 – управление проектами и программами

Диссертация на соискание научной степени

кандидата технических наук

научный руководитель:

проф., д.т.н.

Кадильникова Татьяна Михайловна

г. Днепропетровск

2015

2

СОДЕРЖАНИЕ

стр.

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………4

РАЗДЕЛ 1. АНАЛИЗ СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ

ФОРМИРОВАНИЯ ПОРТФЕЛЕЙ ПРОЕКТОВ……………………………...12

1.1 Портфели проектов как инструмент стратегического развития

предприятия……………………….................………….…………………….....12

1.2 Анализ методов формирования портфелей проектов

развития предприятия…………………………………………………………...17

Выводы к 1 разделу……………………………………………………………...29

РАЗДЕЛ 2. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СОЗДАНИЯ ПОРТФЕЛЕЙ

ПРОЕКТОВ И РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК

ПРОЕКТОВ С УЧЕТОМ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В ИСХОДНЫХ

ДАННЫХ ..............................................................................................................30

1.1. Основные принципы создания портфелей проектов развития

предприятия с учетом неопределенности в исходной информации ........…...30

2.2. Определение длительности выполнения проекта с учетом

неопределенности..................................................................................................31

2.3. Определение цен на продукцию и сырье на интервале

реализации проекта………………………………………………………….......38

Выводы к 2 разделу……………………………………………………………...49

РАЗДЕЛ 3. РАЗРАБОТКА ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ И

СТОХАСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛЕЙ ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО

ПОРТФЕЛЯ ПРОЕКТОВ ПО ФИНАНСОВОМУ КРИТЕРИЮ..………...…..52

3.1 Детерминированная модель формирования оптимального портфеля

проектов по финансовому критерию. Учет неопределенности в исходных

данных……………………………………………………………………...…….52

3

3.2 Стохастическая модель формирования оптимального портфеля

проектов по финансовому критерию ………………………………………......68

Выводы к 3 разделу……………………………………………………………...95

РАЗДЕЛ 4. РЕШЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ФОРМИРОВАНИЯ

ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ПРОЕКТОВ ……………………….…….....98

4.1. Краткая характеристика ЧП «Маррус»........................................................98

4.2. Определение длительности выполнения проекта мельничного

комплекса...............................................................................................................99

4.3. Прогноз цен на продукцию и сырье на интервале реализации трех

проектов................................................................................................................104

4.4. Определение оптимального портфеля проектов развития мельничного

комплекса на ближайшую перспективу............................................................110

4.5. Определение оптимального портфеля проектов развития мельничного

комплекса на отдаленную перспективу............................................................137

Выводы к 4 разделу…………………………………………………………….151

ВЫВОДЫ……………………………………………………………………….153

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ..………...……………….156

ПРИЛОЖЕНИЕ А Акт внедрения результатов работы на производстве…..168

ПРИЛОЖЕНИЕ Б Акт внедрения результатов работы в учебный процесс..169

4

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. На сегодняшний день все больше руководителей

производственных предприятий понимают, что без развития, которое

предусматривает модернизацию технологических процессов, расширение

ассортимента продукции и др. невозможно существование на конкурентном

рынке. Процессы планирования развития имеют важное значение для

каждого такого предприятия. Все больше предприятий среднего, а тем более,

крупного бизнеса переходят на проектный метод управления. Это позволяет

максимально эффективно решать поставленные стратегические цели.

Кроме того, нередко, руководство предприятий сталкивается с

несколькими привлекательными независимыми друг от друга проектами,

которые одинаково имеют возможность реализоваться. Таким образом,

встает выбор, который не так легко осуществить только проектным

подходом. В такой ситуации целесообразнее использовать портфельный

подход. Портфель проектов – это набор проектов, реализация которых

обеспечивает достижение стратегических целей предприятия.

Определяющим фактором, который существенно влияет на состав портфеля

является финансовый фактор, который обусловлен как финансовыми

характеристиками проектов-кандидатов на включение в портфель проектов,

так и возможностями кредитования банками. Каждый из вариантов проектов,

который может войти в состав портфеля, должен быть проанализирован –

определены основные показатели эффективности, продолжительность и

стоимость проекта. Для оптимального подбора проектов в портфель

целесообразнее наблюдать проекты в динамике.

Нередко случается, что при планировании и прогнозировании важных

показателей эффективности проектов выявляется неопределенность в

исходных данных. Причины тому могут быть разные: специфика

деятельности предприятия или внешние факторы. Следовательно, для более

5

точного анализа проектов, необходимо учитывать неопределенность, если

таковая имеет место быть.

Согласно Лопатникову Л.И. [68] под неопределенностью понимается

ситуация, когда полностью или частично отсутствует информация о

возможных состояниях некоторого объекта и внешней среды (в данной

работе под объектом понимается процесс формирования портфеля проектов

развития предприятия). Для указанного объекта опыт и статистические

данные позволяют определить те или иные вероятностные характеристики

величин, участвующих в расчетах. Такая ситуация связана с рисками [113].

Многие авторы, согласно [112] используют понятия неопределенность и риск

в качестве взаимозаменяемых. Мы также будем в настоящей работе

придерживаться такой точки зрения.

Важной особенностью реализации проектов на предприятиях является

то, что они осуществляются, как правило, в условиях ограниченности

ресурсов, чаще всего финансовых. Не каждый предприятие имеет

возможность осуществлять проекты только за счет собственных средств.

Оптимальное сочетание собственных и привлеченных средств – одно из

условий эффективной реализации проектов. Поэтому этот аспект необходимо

учитывать при выборе состава портфеля проектов.

Значительный вклад в развитие исследования проблем управления

проектами и разработки методов управления портфелями проектов внесли

такие ученые как Р. Арчибальд, А.И. Белоконь, К.Бенко, Ю. Блех, В.М.

Бурков, С.Д. Бушуев, Д. Кендалл, И.В. Кононенко, Г. Марковиц, А.А.

Матвеев, С. Роллинз, А.В. Цветков, У. Шарп, и др.

Таким образом, в условиях развития современного производства и

перехода к более эффективным методам управления задача формирования

оптимального портфеля проектов развития предприятия с учетом

ограниченных ресурсов является очень актуальной.

Связь работы с научными программами, планами, темами.Научные

исследования, результаты которых вошли в диссертацию, проводились в

6

рамках госбюджетной темы «Управление инновационными проектами,

портфелями и программами» (Национальная металлургическая академия

Украины, государственный регистрационный номер 0112U000646). Лично

соискателем разработаны методические подходы к оценке эффективности

инновационных проектов в условиях неопределенности. Использование этих

подходов при формировании портфелей позволяет получить оптимальный

набор инновационных проектов.

Цель и задачи исследования. Цель диссертации состоит в разработке

комплексного подхода к решению задачи формирования оптимального

портфеля проектов по финансовым критериям с учетом фактора

неопределенности, что нуждается в проработке методологии планирования

длительности разработки проекта, расчета его характеристик с последующим

оптимальным отбором проектов в портфель из заданного их множества с

учетом ограниченности финансовых ресурсов предприятия и кредитных

учреждений (всѐ в условиях неопределенности).

В соответствии с целью исследования в диссертационной работе

поставлены ряд теоретических, научно-методических и практических задач:

─ проанализировать существующие методы формирования портфеля

проектов развития предприятий, в том числе с учетом финансового критерия,

определить их преимущества и недостатки;

─ разработать стохастическую имитационную модель для

планирования срока выполнения проекта в условиях неопределенности

продолжительности отдельных работ проекта;

─ предложить подходы к вычислению экономических характеристик

проекта в случае, если цены на сырье и готовую продукцию точно не

известны;

─ разработать детерминированную модель формирования

оптимального портфеля проектов развития предприятия по финансовым

критериям на ближайшую перспективу на заданном отрезке времени, где

будут подробно учтены основные факторы, которые влияют на

7

эффективность проекта; учесть неопределенность путем создания трех

вариантов портфеля проектов на основе доверительных интервалов будущих

цен на сырье и готовую продукцию;

─ разработать стохастическую модель формирования оптимального

портфеля проектов развития предприятия по финансовым критериям на

относительно отдаленную перспективу на основе динамической модели

развития предприятия на заданном отрезке времени;

─ применить полученные научные результаты для решения

практических задач управления портфелем проектов

Объектом исследования являются процессы формирования портфеля

проектов развития предприятия.

Предметом исследования являются методы управления финансовыми

ресурсами при формировании портфелей проектов с учетом

неопределенности в исходных данных.

Методы исследования. Методы исследования применены в

диссертационной работе имеют теоретическое и методологическое

основание. Теоретической основой исследования являются труды

отечественных и зарубежных ученых в пределах исследуемого проблемного

поля.

Методологические основы диссертационной работы основываются на

следующих общенаучных и специальных методах: теории вероятности, в

частности, теории случайных величин, математической статистике,

оптимизационных методах, регрессионном анализе, методе Монте-Карло,

сетевых методах, математическом программировании со смешанными

переменными, стохастическом программировании.

Указанные методы применялись для решения следующих задач:

теория случайных величин – для вычисления точности

прогнозирования цен, для вычисления параметров оптимизационной

стохастической модели выбора портфеля проектов;

8

регрессионный анализ – для разработки модели прогнозирования

цен на сырье и готовую продукцию;

метод Монте-Карло и сетевые методы - для расчетов

продолжительности проектов с учетом неопределенности в сроках отдельных

работ;

математическое программирование со смешанными переменными -

для решения детерминированной задачи выбора оптимального портфеля

проектов;

стохастическое программирование - для решения задачи выбора

оптимального портфеля проектов в условиях неопределенности.

Все необходимые расчеты были осуществлены с применением

программных продуктов: Project Expert, MS Excel.

Научная новизна полученных результатов. Основным научным

результатом диссертационной работы является создание эффективного

инструментария учета неопределенности в исходных данных при

формировании оптимального портфеля проектов.

Непосредственную научную новизну формируют следующие

положения:

впервые:

Предложено вычисление погрешностей при расчете финансовых

показателей проектов, которое позволяет учесть неопределенность в

исходных данных на длительном отрезке времени;

Разработана стохастическая оптимизационная модель

формирования оптимального портфеля проектов по финансовым критериям с

вероятностными ограничениями общего вида на ресурсы, которая в отличие

от существующих позволяет учесть риски, связанные с неопределенностью в

исходных данных;

Предложен матричный метод для вычисления коэффициентов

данной модели, учитывающей погрешности в ценах, которые обусловлены

9

их неопределенностью в будущем

усовершенствовано:

Детерминированную модель формирования оптимального

портфеля проектов по финансовым критериям, что позволило учесть все

фактические требования к финансовым потокам при реализации проектов,

возможность досрочной выплаты долга и процентов.

Получил дальнейшее развитие метод формирования портфеля проектов

на основе имитации его реализации с помощью динамических моделей, что

позволило повысить достоверность оценки эффективности портфеля

проектов.

Практическое значение полученных результатов исследования.

Теоретические положения диссертации доведены до уровня методических

подходов и методов по определению оптимального пути развития

производственного предприятия посредством создания такого портфеля

проектов развития, который приносит максимум прибыли. С помощью

рекомендаций, приведенных в диссертационной работе, можно определить

продолжительность выполнения проектов с учетом неопределенности, когда

нет четких данных о сроках выполнения работ, а также определить прогноз

цен на сырье и готовую продукцию на интервале реализации проекта,

которая имеет прямое влияние на эффективность проекта вообще.

Математическая модель, представленная в работе, позволяет оптимально

использовать собственные финансовые ресурсы предприятия и привлекать

такие заемные средства, которые в сочетании дают оптимальный результат.

Для руководителя или лица, принимающего управленческое решение,

является удобным то, что можно выбрать оптимальный вариант развития

событий, в соответствии с тем, каким является ожидаемый результат и какие

ресурсы есть возможность или желание использовать.

Результаты диссертационной работы внедрены в процесс планирования

развития мельничного комплекса ЧП «Маррус» и в учебном процессе на

кафедре управления проектами Национальной металлургической академии

10

Украины.

Личный вклад соискателя. Диссертационная работа является

результатом самостоятельного научного исследования. Из опубликованных в

соавторстве научных работ использованы лишь те положения, выводы и

предложения, сформулированные лично соискателем ученой степени.

Апробация результатов диссертации. Основные положения и

результаты диссертационной работы докладывались и получили

положительную оценку на отечественных и международных научно-

практических конференциях: І Всеукраїнська науково-практична

конференція «Системний аналіз. Інформатика. Управління» (Запорожье, 4-5

марта 2010 года, Класический частный университет); Всеукраїнська науково-

практична конференція «Економіка і управління у промисловості»

(Днепропетровськ, 28-29 октября 2010 года, Национальная металлургическая

академия Украины); IІ Всеукраїнська науково-практична конференція

«Системний аналіз. Інформатика. Управління» (Запорожье, 10-11 марта 2011

года, Класический частный университет);; І Міжнародна науково-практична

конференція «Перспективи впровадження успішного світового досвіду

розвитку громад у Дніпропетровській області» (Днепропетровськ, 4 октября

2011 года, Днепропетровский районный совет); ІХ Міжнародна конференція

«Управління проектами у розвитку суспільства» (Киев, 11-12 мая 2012 года,

КНУСА); Х Міжнародна конференція «Управління проектами у розвитку

суспільства» (Киев, 17-18 мая 2013 года, КНУСА); ХІ Міжнародна

конференція «Управління проектами у розвитку суспільства» (Киев, 23-24

мая 2014 года, КНУСА); Всеукраїнська науково-технічна конференція

«Перспективи розвитку регіонів: інноваційна діяльність а управління

проектами» (Дніпропетровськ, 2-3 жовтня, 2014 року, НМетАУ).

Публикации. Основные результаты исследования опубликованы в 15

работах, из них 1 статья опубликована в специализированном издании, 1

статья – в издании, которое входит в международную наукометрическую

базы SCOPUS, 1 статья - в издании, входящем в международные

11

наукометрические базы Google Scholar, Index Copernicus, 2 статьи - в

изданиях, входящих в международную наукометрическую базу Google

Scholar, 1 статья – в зарубежном издании, 1 монография, изданная за

рубежом, 8 тезисов докладов на научно-практических конференциях. Общий

объем публикаций составляет 1,75 печат. л., из которых лично автору

принадлежит 1,5 печат. л.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения,

четырех глав, заключения, списка использованных источников. Основное

содержание работы изложено на 169 страницах компьютерного текста.

Работа содержит 32 таблиц, 9 рисунков, список использованных источников

из 115 наименований (12 страниц).

12

РАЗДЕЛ 1

АНАЛИЗ СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ ФОРМИРОВАНИЯ

ПОРТФЕЛЕЙ ПРОЕКТОВ

1.1. Портфели проектов как инструмент стратегического развития

предприятия

Каждое предприятие развивается, то есть, определенным образом

изменяет свою внутреннюю и внешнюю деятельность в соответствии со

своим стратегическим развитием. Развитием можно назвать нетиповую

деятельность, которая осуществляется предприятием вне его основной

деятельности, изменяя и влияя на нее.[102]

Для эффективной организации развития предприятия наилучшим

образом подходят проекты и управление проектами. Развитие требует

отдельно отведенного времени и отдельно выделенных ресурсов. Принципы

управления проектами должны применяться для развития предприятий

любого масштаба.[34]

Методология управления проектами позволяет достигнуть стратегии

развития через реализацию проектов развития, которые призваны

оптимизировать и повысить эффективность деятельности любого

предприятия или организации.

Проектами развития являются следующие проекты:

проекты, нацеленные на совершенствование производственной и

вспомогательной деятельности предприятия;

проекты, направлены на повышение эффективности

существующего или создания нового вида деятельности предприятия;

Примерами таких проектов являются диверсификация бизнеса, выход

на новые рынки, модернизация производства, реструктуризация

подразделений предприятия и др.

13

Для любой сферы экономики становится крайне важным

использование проектных методов реализации проектов, программ и

портфелей развития с учетом ограниченности ресурсов, времени и

поставленной стратегической цели предприятия любого масштаба.

На сегодняшний день проблема управления проектами широко

рассмотрена и представлена в отечественной и зарубежной литературе,

такими авторами, как Клиффорд Ф. Грей, Матвеев А.А., М.Л. Разу, И.И.

Мазур, В.Д. Шапиро, Бушуев С. Д., Бушуева Н.С, Рач В.А, Тесля Ю.Н.,

Белощицкий А.А., Руденко С.В., Шахов А.В., Кононенко И.В., Ванюшкин

А.С. и др., а также в специальном своде знаний по управлению проектами

РМВОК. В частности в работах украинских ученых рассматриваются

проблемы развития методологии управления проектами организационного

развития [18, 19, 21, 22, 86, 97], проектно-ориентированной методологии

управления состоянием окружающей среды [91], где наряду с традиционной

экономической оценкой проекта предлагается использовать социальную, а

также экологическую характеристики. Широко рассмотрены в Украине

проблемы портфельного управления, см. например [7,9,87, 88, 26]. В других

работах рассмотрены процессы управления проектами, их закономерности и

основные методы управления этими процессами [4-6, 8, 10, 14, 16, 17, 24, 34,

35, 41-44, 46, 47, 72, 73, 76, 77, 82, 89, 92, 99-102, 105, 112,114]. В частности,

указанные методы позволяют осуществлять контроль проектов и

обеспечивать их выполнение в срок и в рамках заданного бюджета. Однако

эти процессы реализуются на разных уровнях управления – на

стратегическом [2] и оперативном, поэтому неизбежно возникает ряд

вопросов:

В какой степени выполняемые проекты соответствуют

поставленным целям?

Соответствует ли структура финансирования поставленным

целям?

Есть ли в наличии все необходимые ресурсы? и т.д. [77].

14

Применение методов управления портфелями проектов дает

возможность получить ответы на эти и другие не менее важные вопросы,

позволяющие гарантировать, что у организации есть все необходимые

ресурсы для выполнения всех стратегически необходимых проектов.

Правильный выбор и успешная реализация портфелей проектов являются

связкой между стратегическим планированием и управлением проектами

Портфель проектов представляет собой совокупность инвестиционных

инициатив, реализуемых или запланированных организацией и

согласованных с ее стратегическими целями и задачами. [77] Проекты

развития предприятия представляют собой приобретение оборудования,

расширение производственных возможностей и другие действия, связанные с

развитием предприятия. Отметим некоторые характерные черты портфеля

проектов развития производственного предприятия:

портфель предполагает значительные финансовые вложения;

отдача от вложенных средств может быть получена в течение

нескольких лет в будущем;

в оценке эффективности проектов обязательно существует элемент

неопределенности.

Таким образом, можно сказать, что портфель проектов развития

предприятия представляет совокупность проектов, рассматриваемую как

единое целое, которая предназначена для решения некоторой конкретной

задачи, вытекающей из стратегических целей предприятия. Для

формирования портфеля проектов необходимо указать один или несколько

критериев отбора проектов в портфель из некоторого множества проектов

(увеличение прибыли, повышение рентабельности и др.). При этом надо

учитывать ограничения на ресурсы предприятия, где планируется его

реализация.

Причем, для определения оценки соответствия результата реализации

портфеля выбранным критериям необходимо охватывать достаточно

15

большой интервал времени и вследствие этого указанная оценка будет

неточна.

Анализировать и работать с портфелем проектов как совокупности

различных проектов, очевидно, значительно сложнее, чем с отдельным

проектом. Этим объясняется то, что управлением портфелем проектов

является одним из самых молодых направлений теории управления

проектами [76].

Началом формирования портфелей проектов считается поиск

вариантов проектов, которые должны быть тщательно разработаны.

Под управлением портфелем понимается централизованное и

систематизированное управление одним или несколькими портфелями,

которые включают определенные приоритезированные, авторизированные

(получившие официальный статус), координированные и контролируемые

проекты в целях достижения сформулированный целей бизнеса [36].

Общую последовательность решений, увязывающих управление

портфелем и задачами стратегического и тактического менеджмента, можно

представить в виде следующего перечня:

Стратегические установки и приоритеты позволяют определить

финансовые ресурсы, необходимые для портфеля;

Стратегические установки и задачи сопоставляются с набором

компонентов портфеля; данные компоненты включаются в общую систему

управления портфелем и реализуются в соответствии с процессами,

принципами и инструментами управления портфелями;

Каждая инвестиционная программа согласуется с определенной

группой общих стратегических задач, которые она должна решить, используя

выделенные для этого ресурсы;

Каждый проект определяется исходя из его вклада в решение

стратегических задач и затем подвергается управлению в соответствии с

методами и подходами к управлению индивидуальными проектами [9].

16

При использовании методов управления портфелями проектов

преследуются следующие цели:

«инвентаризация» всех проектов для четкого определения

потребностей в ресурсах и оценки самой возможности выполнения портфеля

проектов;

анализ соответствия проектов стратегическим целям;

определение ключевых показателей контроля проектов;

анализ структуры финансирования проектов;

формирование сбалансированных портфелей;

максимизация полезности портфеля проектов.

Методы управления портфелями проектов уже достаточно широко

распространены в организациях, в которых ведется большое количество

высокоинтенсивных проектов [36]. В этом плане лидерами являются

компании, занимающиеся разработкой новых продуктов, и IT-компании. Но

в последнее время все больше и больше компаний и в других отраслях видят

преимущества в применении методов управления портфелями проектов [75].

Для управления портфелями проектов нужна соответствующая

информационная поддержка. Она осуществляется с помощью применения

современного программного обеспечения для управления проектами и

портфелями проектов. В программных продуктах реализованы инструменты

анализа проектной информации, что дает возможность руководству

организаций оценивать выгоды и риски, связанные с реализуемыми и

намечаемыми к выполнению проектами.

Из теории и из практики управления известна необходимость

диверсификации бизнеса. В самой идее диверсификации нет ничего нового.

Уже более полувека диверсификацию считают основой финансовой

стабильности предприятий. Нельзя все заработанные средства вкладывать в

какой-то один, единственный инвестиционный инструмент – акции, бонды,

ценные бумаги, валюту. Точно также и управление портфелями проектов не

17

советует, по возможности, «складывать все яйца в одну корзину», имея в

виду сосредоточение всех ресурсов предприятия на одном, единственном

проекте.

Как следует из самого названия данного подхода, он предполагает

объединение проектов в единый портфель, которым можно управлять

методами, во многом сходными с теми, что применяют для управления

портфелями ценных бумаг, акций, бондов и других финансовых

инструментов. Еще в 1950-е годы американский экономист Г. Марковиц

пришел к выводу, что применение портфельных, диверсифицированных

инвестиций позволяет значительно ускорить их окупаемость и снизить риски

по сравнению с разрозненными капиталовложениями [114]. Очевидным

преимуществом управления портфелями проектов является возможность

правильно распределить ресурсы между проектами и отследить достигнутый

прогресс в ходе их выполнения [77].

Для того чтобы определить соответствуют ли проекты стратегическим

целям заказчика, осуществляется оценка эффективности этих проектов.

В соответствии с определенной стратегией предприятия по каждому

прогнозируемому портфелю проектов разрабатывается максимальное

количество вариантов проектов. Показатели эффективности проектов

используются при формировании портфеля проектов: на нем отбрасываются

заведомо неэффективные проекты, и сокращается число альтернатив по

каждому направлению деятельности. Альтернативные варианты проектов

могут отличаться друг от друга стратегиями реализации, используемыми

активами, участниками и т.д.

1.2. Анализ методов формирования портфелей проектов развития

предприятия

Очевидно, что отбор проектов в портфель проектов должен

осуществляться в соответствии с одним или несколькими критериями,

18

которые характеризуют эффективность этого портфеля. При этом должны

учитываться различные технологические и финансовые ограничения,

вытекающие из возможностей предприятия, для развития которого

предназначен портфель проектов. Новые портфельные концепции

рассмотрены в статье [25]. Проблему формирования моделей управления

портфелем проектов в [25] предлагается решать композиционно-модульным

подходом на основе перечней типовых проблем, методов и параметров

портфельного управления. Автор предлагает формировать портфель по типу

проектов. В работе определены три основные типы портфеля: операционный,

инвестиционный и инновационный. Таким образом, исключается

возможность формирования портфеля разнотипных проектов, в то время как

на практике такое объединение вполне допустимо. Для построения моделей

управления портфелем проектов осуществляется конструирование

композиций из типовых блоков, созданных из типовых проблем, методов и

параметров портфельного управления. Степень тесноты связей между

элементами композиций, которые формируют блоки, определяется самим

автором, что нельзя назвать объективным методом оценки. Помимо этого,

для построения моделей управления портфелем, оценивается полезность

конечной совокупности связей в блоке, так называемого, «маршрута».

Полезность «маршрута» оценивается наличием нового смысла, который

может возникнуть при объединении элементов связями «маршрута».

В работе построены две композиционные модели: одна для портфеля

операционных проектов, а вторая для портфелей инновационных проектов.

Полученные модели оценивались по трем критериям: устойчивость,

гибкость, единство. Автором не уточняется, как именно проекты того или

иного типа попадают в портфель, то есть заранее предполагается, что

портфель проектов уже сформирован.

Новым и оригинальным является подход, предложенный А.В.

Шаховым [106], который основывается на энтропийной модели

портфельного управления проектно-ориентированной организацией. Модель

19

базируется на физических аналогиях управления такой организацией и

новейшими достижениями в физике.

Если критерии отбора проектов в портфель и ограничения на ресурсы

предприятия, где этот портфель будет реализовываться, подаются

формализации, то задачу формирования портфеля проектов можно

сформулировать как оптимальную. В ней критериями оптимизации являются

критерии отбора проектов в портфель, а ограничениями являются ресурсы.

Модели оптимального формирования портфеля проектов, как и все

задачи оптимизации, можно разделить на два класса: однокритериальные и

многокритериальные задачи.

Однокритериальные модели принятия решений об отборе проектов в

портфель согласно [77] подразделяются на детерминированные,

стохастические и модели с элементами неопределенности. В данном

источнике стохастическая модель выделяется из моделей неопределенности

как отдельный вид. На самом деле, стохастические модели представляют

собой разновидность моделей, учитывающих неопределенность.

Имеется классификация моделей формирования портфеля,

реализуемых в условиях определенности, а также в зависимости от вида

целевой функции и ограничений: на четыре вида: 1) линейные, 2)

нелинейные, 3) динамические и 4) графические [77].

Ниже предлагается классификация моделей оптимального

формирования портфелей проектов, учитывающая как степень достоверности

исходной информации, так и число критериев (см. рис. 1.1). Эта схема

является обобщением и уточнением схемы, приведенной в [77].

Приведем некоторые комментарии к данной схеме.

1) Однокритериальная модель имеет один критерий.

2) У многокритериальных моделей число критериев оптимизации

больше одного.

3) Под детерминированными моделями понимается модели, у которой

коэффициенты функции цели и ограничений являются константами.

20

4) Модели, учитывающие неопределенность в исходных данных. Здесь

имеется в виду, что некоторые коэффициенты модели могут зависеть от

величин, которые точно неизвестны. Например, цена на продукт проекта через

несколько лет реализации проекта не может быть известна точно, так как она

зависит от множества факторов, как внутренних и внешних.

5) Под статической моделью будем понимать модель, коэффициенты

которой не зависят от времени. В статической модели не отражается динамика

реализации проекта.

6) Динамическая модель. В этой модели учитываются изменения

характеристик проекта, входящих портфель в течение их реализации.

7) Сетевая модели представлены различными модификациями сетевых

моделей.

8) Под линейной моделью понимается модель, у которой функция цели и

ограничения линейны по искомым переменным. В противном случае модель

называется нелинейной. Это означает, что нелинейной моделью называется

такая модель, у которой либо функция цели либо, по крайней мере, одно из

ограничений нелинейно по искомым переменным.

10) Модели стохастического программирования. В этих моделях

коэффициенты и (или) правые части модели являются случайными

величинами.

11) Нечеткие модели оптимизации. В этих моделях коэффициенты и

(или) правые части модели являются нечеткими величинами.

12) Модель, базирующаяся на элементах теории игр.

13) Имитационная модель. Этот вид моделей позволяет имитировать с

помощью компьютера любые процессы, связанные с реализацией проекта.

Имитационное моделирование является одним из наиболее мощных средств

решения сложных задач формирования портфеля проектов.

Все описанные выше модели по виду переменных могут

классифицироваться следующим образом: непрерывные, дискретные

(целочисленные, булевы), смешанные. В смешанных моделях присутствуют

21

одновременно непрерывные и дискретные переменные.

Методы решения задач оптимизации с непрерывными и дискретными

переменными (без смешивания этих переменных в одной модели) описаны в

обширной литературе. Здесь упомянем одну из монографий по методам

оптимизации [81].

Методы решения задач оптимизации со смешанными переменными

наименее разработаны. Современные методы анализа оптимизационных

моделей и алгоритмы решения задач оптимизации с такими переменными

рассмотрены в [96].

Наибольшим разнообразием отличается группа линейных моделей. На

сегодняшний день наиболее известны следующие линейные модели:

задача о ранце, представляющая собой детерминированную

статическую линейную модель с булевыми, т.е. дискретными переменными;

одноступенчатая и многоступенчатая модели.

22

Рис. 1.1. Классификация моделей, которые можно использовать для формирования портфеля проектов

Математические модели формирования

портфеля проектов

Детерминированные модели

Модели

стохастическо

го

программиров

ания

Модели, учитывающие неопределенность в

исходных данных

Нелиней

ные

модели

Модели,

базирующиес

я на

элементах

теории игр

Имитационн

ые модели

Однокритериальные Многокритериальные

Статические

модели

Динамические

модели

Линейны

е модели

Сетевые

модели

Статические

модели

Динамические

модели

Нелинейные модели Линейные модели Сетевые модели

Нечеткие

модели

оптимизации

23

Примерами нелинейных моделей являются модели, предложенные

Бумба, Ментцен-Шольц, Якоб, Дитхл, Петерс и др.

К динамическим моделям относятся модели таких авторов как Бушуев

[20], а также Вагнер, Лайер, Зеелбах .

Предложенная выше классификация моделей, которые можно

использовать для формирования портфеля проектов, характеризует их с

точки зрения используемой математической схемы. Однако такая

классификация не может полностью охарактеризовать указанные модели. В

[77] описана их классификация, основанная на специфике создания портфеля

проектов. Такая классификация имеет следующие основания.

1. Зависимость проектов. Возможные значения признаков

классификации по данному основанию – независимые проекты (для которых

отсутствуют какие-либо технологические ограничения на

последовательность их выполнения и моменты начала, кроме ресурсных

ограничений) и зависимые проекты (для которых задан сетевой график,

отражающий допустимую последовательность реализации проектов).

2. Фиксированность портфеля. Возможные значения признаков

классификации по данному основанию – портфель заранее фиксирован.

3. Решаемая задача. Возможные значения признаков классификации по

данному основанию – решение задачи распределения ресурса и/или поиска

моментов времени начала реализации проектов.

Так как по первым двум основаниям значения признаков

взаимоисключающие, то по третьему основанию обе задачи могут решаться

как одновременно, так и поодиночке (кроме того, в случае формирования

портфеля, времена и ресурсы могут быть фиксированы).

Примером модели, которая соответствует второму и третьему

основаниям приведенной классификации, является работа [20]. В ней

предложена модель выбора оптимального распределения во времени

реализации финансово-инвестиционной программы предприятия.

Сформулированная задача оптимизации в виду ее сложности решается

24

методом последовательных приближений, использующим перебор вариантов

портфеля проектов. Разработка модели состоит из следующих этапов.

На первом этапе проводится формирование инвестиционного

портфеля. Портфель инвестиционных проектов предприятия состоит из

набора проектов, которые нераздельны и обязательны к выполнению.

Инвестиционные проекты могут быть выполнены одновременно либо в

любом другом порядке на протяжении планового периода времени T .

Каждый проект в определенный период времени привлекает средства

(совершение инвестиций), а в последующие периоды времени средства

возвращаются (возвращение инвестиций). Методом экспертной оценки

определяются наиболее вероятные схемы поступления средств от

совершения инвестиций в каждый проект.

Для каждого проекта существует множество вариантов вложения

средств. Такой подход позволяет варьировать сроки начала выполнения

проекта и его длительность, т.е. указанные величины являются искомыми.

На втором этапе проводится формирование финансового портфеля.

Допускается, что существует возможность взять кредиты в любой момент

времени, но каждый можно взять лишь один раз. К тому же, известна

максимальная величина кредита и схема обслуживания кредита.

Аналогично, как и для случая инвестиционных проектов для каждого

финансового проекта находится оптимальный вариант реализации проекта из

множества возможных вариантов. При этом вводится достаточно

искусственное требование, что в один период времени может быть

использован только один финансовый кредит. Такое ограничение приводит к

необходимости увеличения суммы кредитов, выделяемой по одной схеме

кредитования одним банком. В э ситуации может оказаться невозможным

привлечение нескольких банков с целью получения суммарного кредита

нужного объема.

На третьем этапе осуществляется построение модели. Модель

базируется на ряде допущений:

25

инвестиционный проекты nx и проекты финансирования my не

зависят друг от друга: денежный поток одного инвестиционного или

финансового проекта не изменяется при параллельном осуществлении

других инвестиционный проектов;

длительность и время начала реализации как инвестиционных, так

и финансовых проектов могут быть различными;

реальные инвестиционные проекты, источники финансирования

могут быть использованы не в полном объеме (т.е. для них условие

неделимости не учитывается);

в любой точке планового горизонта длиной T должно

выполняться условие платежеспособности, т.е. выплаты не должны

превышать поступления.

В качестве целевой функции выбран максимум стоимости капитала

инвестиционной и финансовой программ в конечной точке планового

периода. В качестве ограничений выступают условия ликвидности.

Формируемый таким образом портфель проектов состоит из заданного

числа проектов. Для каждого из этих проектов имеются различные варианты

его реализации, которые не должны выходить за заданный интервал времени

T . Причем, каждый из вариантов проекта обязателен к реализации.

Имеется несколько вариантов кредитования. Из них может быть

выбран, по крайней мере, один. При этом из принятого финансового проекта

может быть взята вся сумма или ее часть. Предусмотрена возможность

вложения свободных средств в банк любое количество раз в неограниченном

количестве.

Такая модель предусматривает, что все проекты, заранее включенные в

портфель, должны быть выполнены. Однако, исходя из ограниченности

финансовых средств, представляется реальным исключение какого-либо

проекта из портфеля, а не требование его обязательного выполнения. В

данной модели также не определяется эффективность принятого решения на

26

достаточно большом интервале времени. Во многих случаях надежно судить

об эффективности портфеля проектов можно спустя достаточно большой

период времени после его реализации. В модели не предусмотрена

возможность досрочной выплаты долга и процентов, что уменьшает

стоимость капитала в конечной точке планового периода, которая выбрана в

качестве целевой функции.

В данной модели декларируется возможность учета свободных средств,

которые появляются в конце каждого периода от реализации ранее начатых

проектов и не привлеченных на следующий период. Такие средства можно

положить в банк. Однако объемы этих средств в модели рассчитаны

некорректно – без учета баланса финансовых средств в каждом периоде

времени.

Сформулированная в [20] задача представляет собой схему

нелинейного программирования с булевыми и непрерывными переменными.

Решение этой задачи ее авторами предлагается найти с помощью

эвристического метода и симплекс-метода. Однако эти методы можно

использовать для решения непрерывных задач линейного программирования.

Для решения такой задачи необходимо использовать специальные методы

[60]. Использование эвристического метода в сочетании с симплекс-методом,

очевидно, позволяет найти приближенное решение.

В работе [45] предлагается модели формирования портфеля проектов

для проектно-ориентированных предприятий и организаций для условий

отсутствия внешнего инвестирования в развитие производства. Модели

представляют собой линейные и нелинейные оптимизации, где искомыми

переменными является часть используемых ресурсов каждого проекта,

входящего в портфель. При этом считается, что ожидаемая прибыльность

портфеля проектов является взвешенной суммы прибыльностей всех

проектов. В качестве весов выступает части используемых ресурсов в

каждом проекте. Таким образом, делается достаточно нереальное

предположение о том, что для отдельно взятого проекта доля используемых в

27

нем ресурсов от общего количества одинакова. Предлагается учитывать риск

на основе модели Марковица. Однако определение параметров модели

Марковица, а именно, ковариаций случайных величин делается, экспертным

путем. Из сделанного краткого обзора делаем вывод, что наибольший

интерес представляет модель [20], которая наиболее реалистична в учете

характеристик проекта и ограничений на ресурсы. Исходные данные для

модели [20] могут быть получены достаточно просто. О недостатках этой

модели было сказано выше.

В [48] предлагается использовать многокритериальную оптимизацию

для оптимизации содержания проекта по нескольким критериям. Задача

решается сверткой пяти критериев в один, что обуславливает субъективный

подход к решению задачи векторной оптимизации.

В [115] предложена оптимизационная модель выбора оптимального

портфеля проектов по двум критериям. Первый критерий – максимум

выгоды, получаемой от портфеля. Второй критерий – минимум риска,

связанного с реализацией портфеля. Риски каждого проекта определяются

экспертами. В качестве ограничений выступают ресурсы, необходимые для

реализации проектов. Модель представляет собой детерминированную схему

булевого программирования. Она статическая, поэтому не предусматривает

выбор источников и схем финансирования, в частности, обслуживания

кредитов. Следует сказать, что предложение об использовании булевых

переменных для решения задач оптимального выбора портфеля проектов в

зарубежной литературе было сделано ранее, см., например, [113].

Все перечисленные выше подходы основаны на детерминистском

подходе к задаче управления портфелями проектов. Однако с целью учета

неопределенности в исходных данных существует подход к решению этой

задачи, основанный на использовании двух моделей неопределенности:

вероятностной и нечеткой. К последней относится работа [49], в которой

нечеткими является спрос на продукцию, объем продаж и стоимость

продукции, которая будет производиться, в результате осуществления

28

проекта. Все величины задаются для будущих периодов времени. По нашему

мнению, такой подход вполне оправдан, когда отсутствует какая-либо

статистическая информация об указанных величинах. В случае же ее

наличия, на наш взгляд, предпочтительнее использовать вероятностные

модели, которые строятся на основе статистических данных.

Наиболее известной работой, где применяются вероятностные модели,

является теория Г. Марковица. В соответствии с ней, критерием

формирования инвестиционного портфеля является максимум

математического ожидания дохода от этого портфеля. Тем самым,

неопределенность и риски, связанные с ней, задаются ковариационной

матрицей доходов от всех акций. Однако максимизация дохода даже с

учетом вариаций цен на акции не является гарантией получения этого

дохода, так как разброс дохода от всего портфеля относительно его

математического ожидания может быть достаточно большим: как в большую,

так и в меньшую сторону. Этот недостаток подхода теории Марковица

учитывается в разделе 4 настоящей диссертации.

О необходимости использования вероятностных моделей при

финансово-экономическом анализе проекта обратили внимание авторы работ

[15] и [8]. В них отмечается, что характеристики проекта, такие как чистый

дисконтированный доход NPV, на самом деле, не являются фиксированными

величинами, а подвержены случайным изменениям, обусловленным

множеством факторов. Поэтому в [15] предлагается использовать

статистическое моделирование для финансово-экономического анализа

проекта. Указанное моделирование, по мнению авторов, позволяет получить

некоторые характеристики: вероятный диапазон, ключевые вероятности и

ожидаемую стоимость инвестиционного решения. При этом ожидаемая

стоимость представляет собой сумму произведений всех возможных

значений (исходов) на вероятность их возникновения. Авторы также

предлагают в виде схемы общий подход к анализу инвестиционных

предложений.

29

Точка зрения, изложенная в работах [15] и [8], является, безусловно,

актуальной, современной и перспективной. В настоящей работе она

развивается применительно к оптимизации портфеля проектов развития

предприятия.

Выводы к 1 разделу

1. В разделе показано, что портфель проектов является основным

инструментов стратегического планирования предприятия. По этой причине

разработка методов формирования портфелей проектов является актуальной

задачей. Наибольший интерес представляет создание оптимальных по

одному или нескольким критериям портфелей проектов. Для решения этой

задачи могут применяться самые разнообразные математические методы.

Предлагаемая их классификация приведена в настоящей главе.

2. Анализ методов и моделей формирования оптимального портфеля

проектов сделанный в разделе 1 показывает, что данное направление в

теории управления проектами является еще недостаточно разработанным и

динамично развивающимся. Основные работы основаны на том, что

исходные данные известны точно. Однако на самом деле при реализации

проектов реально приходится сталкиваться с неопределенностью в исходных

данных, особенно тех, которые характеризуют экономическую

эффективность портфеля проектов (цены на сырьѐ и продукцию, сроки

выполнения и др.). Можно указать небольшое количество работ, в которых

предпринята попытка учета неопределенности в исходных данных, см. [113,

115, 45, 51, 52, 54, 57].

Результаты исследований, которые выложены в разделе 1, нашли свое

отражение в работах автора [52, 57, 59, 61].

30

РАЗДЕЛ 2

ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СОЗДАНИЯ ПОРТФЕЛЕЙ

ПРОЕКТОВ И РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ РАСЧЕТА

ХАРАКТЕРИСТИК ПРОЕКТОВ С УЧЕТОМ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

В ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

2.1. Основные принципы создания портфелей проектов развития

предприятия с учетом неопределенности в исходной информации

В настоящей работе предлагается использовать комплексный подход к

формированию оптимального портфеля проектов развития предприятия. Он

состоит в том, что при определении финансовых характеристик проектов

кандидатов на включение в портфель проектов изначально учитывается

неточность цен на сырье и готовую продукцию, а также неопределенность в

величинах кредитных процентных ставок.

Чтобы снизить риски, обусловленные неопределенностью, связанной с

реализацией портфеля проектов, предлагается моделировать его

осуществление на длительном интервале. Он должен быть не меньше срока

окупаемости самого долгосрочного проекта кандидата на включение в

портфель. Следовательно, оптимизационная модель формирования портфеля

проектов должна быть динамической, чтобы учесть изменение финансовых

потоков от реализации портфеля.

Предлагается использовать два вида оптимизационных моделей для

создания портфеля проектов. На рис.2.1. представлена схема формирования

оптимального портфеля проектов.

Первый вид предназначен для формирования портфеля проектов, когда

непосредственно не учитывается вариация цен. Это позволяет детально

учесть особенности каждого проекта и сформировать их портфель с

детальной проработкой финансовых потоков. Причем, как отбор проектов в

портфель, так и выбор наилучшей схемы кредитования осуществляется в

31

соответствии с имеющимися множествами проектов и возможных схем

кредитования банками реализации этого портфеля.

Второй вид модели оптимального формирования портфеля проектов,

позволяет учесть вариацию цен и, следовательно, технико-экономических

характеристик проектов. Поэтому такая модель необходима для

формирования портфеля проектов на достаточно отдаленную перспективу.

Обе оптимизационные модели являются многокритериальными

(имеется три противоречивых критерия формирования портфелей проектов).

Неопределенность в определении длительности выполнения проекта –

кандидата на включение в портфель предлагается определять методом

имитационного стохастического программирования.

Неопределенность в ценах на сырье и готовую продукцию

предлагается учитывать путем их прогнозирования на основе использования

статистических данных об этих ценах за достаточно длинный интервал

времени.

Ниже в настоящем разделе рассматриваются методы учета

неопределенности перечисленных величинах.

2.2. Определение длительности выполнения проекта с учетом

неопределенности

Планирование является важной функцией управления проектами. Оно

позволяет определить длительность проекта, необходимое количество

материальных, трудовых и финансовых ресурсов, а также определяет

возможные угрозы и возможности проекта. Процесс планирования

невозможно автоматизировать, так как зачастую могут возникать ситуации

требующие пересмотра плана на определенном этапе, что может повлечь

значительные изменения в нем.

32

НАЧАЛО

Формирование множества проектов

Получение информации о схемах кредитования банков

Получение информации о ценах на сырье и готовую продукцию проектов

Расчет прогноза цен на сырье и готовую продукцию проектов

Расчет основных характеристик проектов

Портфель краткосрочных проектов

Расчет мат. ожидания и дисперсии случайных

коэффициентов задачи стохастической

оптимизации

Расчет коэффициентов детерминированной

модели формирования портфеля проектов

развития предприятия

Детерминированная модель формирования портфеля проектов

развития предприятия

Стохастическая модель формирования портфеля проектов

развития предприятия

Портфель проектов и схема

кредитования Портфель проектов

КОНЕЦ

Да Нет

Рис. 2.1. Схема формирования оптимального портфеля проектов

33

К основным процессам планирования можно отнести планирование

содержания проекта, оценку продолжительности работ, планирование

ресурсов проекта, составление бюджета. Кроме этого в планирование

включает идентификацию и оценку рисков, формирование команды проекта,

а также планирование качества.

Одним из важных процессов планирования является процесс управления

сроками проекта. Именно он отвечает за своевременное завершение проекта.

Определение состава и операций, взаимосвязей между ними, оценка ресурсов

и длительности каждой операции входят в процесс управления сроками

проекта.

При управлении сроками проекта используется сетевое планирование.

Сетевые модели отражают весь комплекс операций, необходимых для

достижения целей проекта, в их логической и технологической

последовательности. С помощью сетевых моделей осуществляют

оптимизацию использования ресурсов проекта, календарное планирование

работ, а также организацию управления и контроля в ходе реализации

проекта. В частности, сетевые модели используют для определения одной из

важнейших характеристик проекта – длительности его выполнения.

В большинстве современных проектов невозможно точно определить

время выполнения каждой работы, входящей в сетевой график, так как они

несут в себе некую уникальность, то есть не имеют аналогов, и в связи с этим

длительности выполнения ряда работ, а, следовательно, и всего проекта

могут определяться со значительной ошибкой. Если учесть, что длительность

проекта в значительной степени влияет на стоимость проекта, становиться

ясным, что использование сетевых моделей, учитывающих неопределенность

в продолжительности работ, является на сегодняшний день актуальной

задачей.

В настоящее время обычно для расчета выполнения длительности

проекта используют известные длительности работ [100]. На самом деле в

большинстве проектов эти величины точно не известны. Следовательно,

34

длительность выполнения проекта так же неопределенная величина. Для

учета этой неопределенности можно использовать два подхода к

формализации неопределенных величин.

Первый основан на идеях нечеткой математики впервые предложенных

Л.Заде [39], который в настоящее время бурно развивается. Из него вытекает,

что неопределенные длительности работ следует рассматривать как нечеткие

величины, заданные своими функциями принадлежности к соответствующим

нечетким множествам.

Второй подход – традиционный. Он заключается в трактовке

неопределенных величин как случайных. Как известно, случайные величины

полностью задаются функциями распределения вероятностей. В настоящее

время теория вероятностей, которая, в частности, изучает случайные

величины, достаточно хорошо разработана и широко применяется для

решения различных практических задач. Поэтому в последующих выкладках

будем использовать в качестве математического аппарата теорию

вероятности, а именно теорию случайных величин.

Однако существует ряд трудностей связанных с учетом случайности

при определении длительности выполнения проекта. Первая трудность

связана с определением функций распределений длительностей отдельных

работ, входящих в состав проекта. Так как отсутствует статистика

длительностей работ, поэтому будем использовать традиционный подход,

состоящий в том, что считается, что длительность проекта имеет бета-

распределение [80]. Его параметры можно однозначно задать, основываясь

на трех числах: оптимистическая, пессимистическая и наиболее вероятная

длительности работ. Для опытного руководителя такие числа можно

достаточно просто указать.

Вторая трудность состоит в том, что критический путь будет меняться

в зависимости от реализации случайных величин.

Вследствие указанных причин определить аналитическим путем

длительности проекта достаточно сложно. Поэтому представляется

35

перспективным для анализа сложных сетевых моделей с вероятностными

продолжительностями работ использовать метод Монте-Карло. Он состоит в

том, что осуществляется математическое моделирование множества

вариантов продолжительностей работ. Это позволяет определить среднее

значение продолжительности выполнения проекта, а также вероятность того,

что значение критического пути не превысит заданного значения. Данный

метод имеет и недостаток: необходимость генерации большого числа

реализаций случайных величин (сотни и даже тысячи).

Однако, не смотря на указанный недостаток, метод Монте-Карло, на

наш взгляд, является в настоящее время универсальным средством учета

неопределенности в планировании проектных работ.

Рассмотрим решение задачи определения длительности выполнения

проекта с помощью вероятностной имитационной модели. Будем считать,

что сетевой график выполнения работ представляет собой

последовательность работ, в которой работы выполняются последовательно-

параллельно. Пример такой сети представлен на рис.2.2.

Рис.2.2. Фрагмент схемы выполнения проекта

1 0 2

3

4

5

6 9

7

10

8

Ω1 Ω2 Ω3

Ω4

А Б

В

Д

Г

Е

Ж

З

И

К

М

Л

Н

36

На нем цифрами обозначены события, работы – буквами.

Рассматриваемый фрагмент состоит из последовательности интервалов i ,

1, ,5i . На каждом интервале имеется одна или несколько работ. В

последнем случае все работы выполняются параллельно друг другу.

Длительность любой работы – неотрицательная величина. Будем

считать, что она - случайная Так как она неотрицательная для ее описания

подходит -распределение. Как известно [66], -распределение зависит от

двух параметров. Определим их экспертным путем. С этой целью сведем

возможный интервал длительности работы к интервалу [0,1], а затем оценим

параметры -распределения для этого интервала.

Схема вычислений будет следующей.

1. Оценка характеристик -распределения для длительности i -й

работы:ia (пессимистическая – максимальная длительность), ib (наиболее

вероятная длительность), ic (оптимистическая – минимальная длительность).

2. Преобразование длительности і-й работы i

t к величине

ii

iii

ca

ctT

, (2.1)

где

iT - длительность і-й работы после преобразования, 0,1iT .

3. Вычисление наиболее вероятной длительности работы для интервала

[0,1] iB по формуле (2.1) при i it b .

4. Вычисление параметров и -распределения, приведенного к

интервалу [0,1]

111

1,

ii

i i i

i i

f T T T

, (2.2)

37

где

,i i - -функция.

Неизвестные параметры распределения i и i найдем, решив задачу

оптимизации

2

1min

2

ii

i i

, i

i

i i

T

, (2.3)

где

iT - неизвестное среднее значение і-й работы,

1

2

i

i i

- мода распределения (2.2),

i

i i

- среднее значение распределения (2.2).

В задаче (2.3) оптимизация производится по переменным i , i , iT .

Величина i в (2.3) известна (определена выше).

После того, как параметры -распределений для всех работ найдены,

вычисляются реализации их длительностей, а затем определяется

длительность выполнения всего проекта. В виду широкого распространения

и простоты использования табличного процессора MS Excel все расчеты

предлагается выполнять в его среде, за исключением генерации случайных

чисел, подчиняющихся -распределению. Их предлагается генерировать с

помощью системы Mathcad 14 по такой схеме.

1. Генерация случайных чисел – реализаций случайных величин iT ,

1, ,i n , где n - число работ в проекте. Генерация производится с помощью

функция , ,i irbeta N системы Mathcad 14, где N - число реализаций.

2. Пересчет полученных последовательностей iT , 1, ,i n к

исходному масштабу по формуле (2.2): получение последовательности it ,

1, ,i n . Импорт этой последовательности в MS Excel.

38

3. Определение реализации случайной величины - длительности

критического пути по формуле

1

maxj

M

ii

j

T t

,

где

M – количество этапов работ;

j - номер этапа работы, на котором имеется множество j

параллельных работ, в частном случае может быть 1j ; і – номер работы;

it – длительность i -й работы, j , Mj ,,1 , 6M .

Шаги 1, 2, 3 повторяются N раз. Затем с помощью функции

ПЕРСЕНТИЛЬ в MS Excel находится такое значение длительности

критического пути 0T , которое не будет превышено с вероятностью 95%.

Величина 0T берется в качестве планируемой длительности выполнения

проекта.

Практическое применение этого метода приведено в разд. 4.

2.3. Определение цен на продукцию и сырье на интервале

реализации проекта

2.3.1. Виды статистического прогнозирования. При определении

эффективности проектов реконструкции и развития предприятий большое

значение имеет знание цен на планируемую к выпуску продукцию и на сырье

для ее изготовления. Точнее говоря, нужно иметь прогноз этих цен на

протяжении ожидаемого срока окупаемости вложенных в проект инвестиций.

Прогноз цены может быть получен различными методами: экспертными,

статистическими и др. В настоящей работе рассматривается статистический

метод прогнозирования цены. Этот вид прогнозных методов можно

применить, когда имеются статистические данные об интересующих команду

проекта ценах.

39

Преимущество статистических методов для применения в управлении

проектами состоит в том, что они менее субъективны в отличие от

экспертных методов и методов, основанных на использовании нечетких

величин. Статистические методы прогнозирования нашли широкое

применение в бизнесе, см. например, [104].

Как и при решении любой задачи прогнозирования, прогноз цен на

сырье, материалы и готовую продукцию может быть получен двумя

методами: однофакторным или многофакторным прогнозированием. Первый

метод состоит в экстраполяции на будущее динамики цены, при этом не

учитывается влияние на эту цену различных факторов. Согласно этому

методу цена зависит только от одного фактора – времени. Второй метод

состоит в создании регрессионной модели зависимости цены от различных

влияющих на нее факторов. Затем рассчитываются прогнозы этих факторов

методами однофакторных прогнозов и подставляются в регрессионную

модель цены. Здесь сразу виден недостаток многофакторного прогноза: учет

фактора влияния государства на цену затруднителен даже на год вперед.

Кроме того, однофакторный прогноз все равно необходим для предсказания

поведения факторов, влияющих на цену.

В настоящей работе в качестве сырья и готовой продукции

рассматривается продукция агропромышленного комплекса. Цена на сырье и

готовую продукцию зависит от множества факторов как количественных, так

и качественных. Не по всем факторам имеется доступная статистическая

информация, некоторые из них трудно прогнозировать. Например, трудно

достаточно точно предсказать решения правительства о поддержке той или

иной отрасли и их последствия, конъюнктуру на мировых рынках товаров. В

силу указанных особенностей для прогноза цен предлагается использовать

методы однофакторного прогнозирования.

Наиболее часто используемым на практике методом однофакторного

прогнозирования является прогноз экономического показателя по его тренду.

Суть этого метода состоит в том, что из ряда динамики прогнозируемого

40

показателя выделяется тренд, который затем экстраполируется на будущее.

Экстраполированные значения тренда используются в качестве прогноза

показателя. Для бизнес-прогнозов часто используют полиномиальные

тренды, наиболее применяемые их виды - полиномы первой, второй и

третьей степеней, которые представляют собой соответственно линейную,

параболическую и кубическую функции времени.

2.3.2. Прогноз по полиномиальному тренду при отсутствии

сезонности. Рассмотрим сначала случай, когда прогнозируемая величина

может быть представлена в виде суммы полиномиального тренда и

случайной компоненты:

ti

i

n

it ty

0

, 1, ,t T , (2.4)

где

ty - значения в периоде времени t прогнозируемой величины;

t - случайная величина, с помощью которой учитывается влияние

различных второстепенных факторов на ty .

Функция ii

n

it ty

0

представляет собой полиномиальный тренд

степени n .

Пусть известны величины ty , 1, ,t T . Прогноз состоит в

определении таких величин

*Ty , ,2,1 , (2.5)

которые будут с минимальной ошибкой отличаться от истинных

значений Ty , ,2,1 .

41

Определение прогноза величины ty состоит из двух этапов: 1)

построение регрессионной модели (2.4); 2) вычисление прогноза по ней.

Рассмотрим первый этап. Он состоит в оценке коэффициентов

nti ,,1,,0 полиномиального тренда ty по предыстории изменения

прогнозируемой величины, т.е. по данным ty , которые можно представить в

виде вектора Tyyy 21Y .

Для вычисления оценок регрессии вида (2.4) обычно принимаются

следующие допущения [38].

Допущение 1. Вектор ],,[21

T - случайный.

Допущение 2. Математическое ожидание t равно нулю, т.е.

,0M t Tt ,,2,1 .

Допущение 3. Для любых 21

tt 021

ttM , 22

tM для всех

,2,1t . Другими словами, ошибки t , Tt ,,2,1 , в (2.4)

некоррелированные: их ковариационная матрица размерности TT равна

2

T J . Здесь 2 - дисперсия ошибок, TJ - единичная матрица размерности

TT .

Допущение 4. Матрица значений независимых переменных itX ,

1, ,t T , 1,,1,0 ni - детерминирована, т.е. ее элементы it , 1, ,t T ,

ni ,,1,0 не являются случайными переменными.

Для регрессии (2.4) допущение 4 выполняется, так как в этом случае

n

n

TTT

21

2421

1111

X , 1, ,t T , 1,,1,0 ni . (2.6)

Допущение 5. Матрица X имеет полный ранг, равный 1n .

Данное допущение выполняется для матрицы X в (2.6).

42

Обозначим вектор искомых коэффициентов регрессии

110α n . Так как допущение 5 выполняется, то оценка α

методом наименьших квадратов, которую обозначим α̂ , согласно, например,

[38] будет определяться по формуле

1ˆ ( ) α XX XY . (2.7)

При выполнении допущений 1 – 5 α̂ будет наилучшей оценкой α в

классе линейных оценок [38].

Относительно компонент α̂ ( nii ,,1,ˆ,ˆ0 ), которые являются

оценками соответствующих истинных величин коэффициентов

полиномиального тренда nii ,,1,,0 , можно проверять известные

гипотезы регрессионного анализа [38], [50].

Прогноз (2.5) определяется путем экстраполяции тренда на периоды

времени T , ,2,1 по формуле

ii

n

tT ty )(ˆ

0

*

, ,2,1 (2.8)

Если сравнить прогноз *Ty с истинным значением прогнозируемой

величины в периоде времени Ty , которое определяется по формуле (2.4)

при Tt , то становится ясным, что источниками ошибки прогноза

является неточное определение коэффициентов полинома и отбрасывание

при расчете прогноза случайной компоненты прогнозируемой величины t .

Оценка дисперсии ошибки прогноза согласно, например, [50]:

))(1()( 122*

TTST xXXx , (2.9)

где дисперсия остатков

43

1

)ˆˆˆ(1

210

2

nT

tty

S

T

t

nnt

,

значения независимых переменных в период времени Tt

n

T TT )(1 x .

Доверительный интервал для истинного значения прогнозируемой

величины в период времени Tt

)(ˆ)()(ˆ)( **

** TqtyyTqty pTTpT ,

где

)(qtp - 100 р %-ная точка распределения Стьюдента с числом степеней

свободы )1( nTq ; )(ˆ* T – оценка средней квадратической ошибки

прогноза.

Описанный метод прогнозирования по полиномиальному тренду имеет

один недостаток: он не позволяет отслеживать структурные изменения,

которые имеют место в трансформационной экономике Украины. Для их

отражения, на наш взгляд, хорошо подходят сплайн-функции, или, кратко,

сплайны.

2.3.3. Прогноз по тренду в виде сплайна при отсутствии сезонности.

Линейный сплайн, аргументом которого является время t , представляет

собой непрерывную линию, состоящую из отрезков прямой. Они стыкуются

в точках на оси времени t , которые называют узлами «сшивания» (точками

стыковки), и образуют множество, называемое сеткой 121 ,,, kttt , где

121 kttt . Точки 1,,1, kjt j называются внутренними узлами

или просто узлами.

44

Линейный сплайн tS над есть непрерывная кусочно-линейная

функция t , график которой состоит из k прямолинейных отрезков,

расположенных над k интервалами ,[,,],, 1211 ktttt .

Ведем k новых переменных:

t1 ;

,;0

;,0,max

1

1111

j

jjjjj tt

tttttttt

где

kj ,,3,2 .

Тогда линейный сплайн записывается следующим образом:

kktS 22110 ,

где

1 - коэффициент наклона сплайна над первым интервалом, а каждый

следующий коэффициент kjj ,,2, показывает изменение углового

коэффициента при переходе от 1j - го интервала к j -у.

На рис. 2.3 приведен пример кусочно-линейного сплайна с тремя

узлами 321 ttt .

45

Рис. 2.3. Кусочно-линейный сплайн с тремя узлами

Использование сплайн-функций при конструировании моделей с

переменной структурой в функции времени t целесообразно, когда

рассматриваемая зависимость не имеет скачков и разрывов [90]. Именно

такой представляется зависимость цен на продукты проекта и необходимое

для их производства сырье.

Описанный метод построения линейного сплайна как функции одной

переменной, в данном случае времени, позволяет оценивать параметры

сплайна kii ,,2, , не вводя ограничения на них, при этом возникает

необходимость формирования новых независимых переменных

kii ,,1,0, .

Более удобным представляется подход, предложенный в [13]. Он

состоит в том, что для каждого отрезка составляется матрица значений

независимых переменных. Затем оцениваются коэффициенты прямой над

каждым отрезком, при этом на них налагаются ограничения, вытекающие из

требования непрерывности сплайна. Если же таких требований нет, то

ограничения отсутствуют. Таким образом, этот метод позволяет строить

тренд, как в виде сплайна, так и в виде кусочно-линейной разрывной

функции времен в зависимости от поведения цен.

y

t 1t 2t 3t

46

Проиллюстрируем этот метод применительно к рис.2.3.

Матрицы значений независимых переменных для трех отрезков

соответственно

1

1

1

21

11

t

X ,

2

1

1

2

1

21

11

t

t

t

X ,

3

2

2

3

1

21

11

t

t

t

X .

Матрица всех значений независимых переменных

33,33,3

3,323,3

3,33,31

XOO

OXO

OOX

X ,

где

3,3O - нулевая матрица размера 33 .

Уравнения сплайна:

первый отрезок tty 1101 , 11 tt ,

второй отрезок tty 1202 , 211 ttt ,

третий отрезок tty 1303 , 312 ttt .

Коэффициенты приведенных трех прямых неизвестны. Наложим на

них ограничения, обеспечивающие стыковку отрезков в точках 1t , 2t

11 12021101 tt , 22 13031202 tt , (2.10)

Введем вектор истинных значений коэффициентов прямых

01 11 02 12 03 13

α и их оценок с учетом ограничений

* * * * * *

01 11 02 12 03 13ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

*α .

С учетом введенных обозначений ограничения (2.10) примут вид

2α OG

47

где

111100

001111G .

Согласно [38]

1 1ˆ ˆ ˆ( ) ( ) α *α α XX G G XX G G , (2.11)

где α̂ - оценка методом наименьших квадратов α без ограничений,

1ˆ ( ) α XX XY , где Tyyy 21Y .

Если ограничения отсутствуют, то G - нулевая матрица. Тогда из

(2.11) следует ˆ ˆ*α α .

Прогнозирование по сплайну состоит в экстраполяции его последнего

отрезка на будущие периоды времени. Так как этот отрезок представляет

собой полином первой степени, то прогнозирование по нему – частный

случай точечного (2.8) и интервального прогнозов, приведенных в п. 2.2.2.

2.2.3. Прогноз по тренду в виде сплайна при наличии сезонности.

Описанный выше метод позволяет прогнозировать цены, не имеющие

сезонности. Сезонность может появиться в месячных или квартальных

данных, т.е. в случаях, когда временная шкала в управлении проектом равна

соответственно месяцу и кварталу. Чтобы учесть сезонность, необходимо

модель прогнозируемой величины представить не в аддитивном виде (2.4), а

в мультипликативном, который задается выражением

y TR SI , (2.12)

где

TR - тренд,

SI - сезонный индекс,

- случайные колебания.

48

Для удобства расчетов возьмем натуральный логарифм от обеих частей

равенства (2.12):

ln ln lnx TR SI , (2.13)

где

lnx y .

Прогнозирование осуществляется следующим образом [50]:

1. Преобразование исходного ряда динамики согласно (2.13).

2. Сглаживание преобразованного ряда скользящей средней.

3. Оценка сезонных индексов преобразованного ряда с последующим

их усреднением.

4. Сглаживание преобразованного ряда, из которого исключена

сезонность.

5. Вычисление прогноза.

Чтобы устранить сезонные колебаний с периодом в один год,

сглаживание преобразованного ряда скользящей средней производится с

шириной интервала сглаживания, которая равна одному году,.. Скользящее

среднее определим как центр интервала сглаживания по формуле:

для месячных данных

12

6

6

t

tiii

t

xfx , 7,Tt , ii yx ln , (2.14)

для квартальних данных

12

6

6

t

tiii

t

xfx , 3,Tt , ii yx ln ,

где

49

iy и ix - уровень временного ряда прогнозируемой величины и его

натуральный логарифм соответственно.

Для того, чтобы выделить сезонную составляющую в ряде динамики

прогнозируемой величины для каждого месяца (квартала) ряда вычитаем

взвешенное скользящее среднее для этого месяца (квартала):

ttt xxu , 7,t T , или ttt xxu , 3,t T

где

tu - логарифм сезонных индексов.

Логарифмы сезонных индексов неизбежно подвержены влиянию

случайных колебаний. Для того чтобы уменьшить это влияние они

усредняются для одноименных месяцев [56].

Затем ряд, из которого выделены сезонные колебания, сглаживается

полиномом или сплайном согласно п.п. 2.3.2., 2.3.3.

Вычисление прогноза производится следующим образом. Полином или

сплайн экстраполируют на будущие периоды времени (месяц, квартал), а

далее делается переход от логарифмов к истинным значениям

экстраполированных значений тренда. Потом они умножаются на сезонные

индексы соответствующих периодов времени. Таким образом, окончательно

получаются прогнозируемые величины (точечный прогноз). Интервальный

прогноз получается аналогично на основе левой и правой границ

доверительного интервала для прогноза логарифма тренда в виде полинома

или сплайна.

Выводы ко 2 разделу

1. Разработана блок-схема формирования оптимального портфеля

проектов.

50

2. В настоящем разделе описаны методы учета неопределенности при

определении важнейших характеристик проекта: длительности, стоимости.

3. Предлагается определять длительность проекта исходя из того, что

длительности выполнения каждого этапа работы является случайными

величинами, имеющими -распределение. Длительность выполнения всего

проекта является сложной функцией от длительностей этапов отдельных

работ и представляет собой также случайную величину. В качестве надежной

оценки длительности проекта предлагается использовать величину (порог),

которую длительность проекта превзойдет с наперед заданной вероятностью

(0,9 и больше). В связи с тем, что в общем случае нет аналитической

зависимости длительности проекта от длительности этапов, предлагается

находить указанный порог методом Монте-Карло. В п. 2.2 описан алгоритм

определения длительности проекта методом имитационного моделирования

(Монте-Карло). Применение данного метода позволяет снизить риски,

связанные с невыполнением проекта в срок.

3. Важную роль в оценке эффективности проекта играет определение

цен на продукцию проекта и сырье на ее производство. В пункте 2.3

разработаны методы прогноза этих цен, основанные на аппроксимации

тренда цен линейным сплайном. Показано при решении реальных задач, что

применение линейных сплайнов позволяет повысить точность прогноза.

4. Разработана методология оценки эффективности проекта с учетом

неопределенности. Методология состоит в том, что разрабатывается три

варианта оптимистический, прогнозный – наиболее вероятный и

пессимистический, опираясь на полученные три значения цен на основное

сырье и готовую продукцию для данного проекта. Для получения

оптимистического варианта проекта используется низкая цена на сырье,

соответствующая нижней границе доверительного интервала для нее и

высокая на готовую продукцию (она соответствует верхней границе

доверительного интервала); для пессимистического варианта ситуация будет

51

противоположная. В соответствии с этой методологией определены варианты

эффективности проекта развития предприятия.

По результатам исследований и разработок, представленных в разделе

2, автором опубликованы следующие статьи [51-56]

52

РАЗДЕЛ 3

РАЗРАБОТКА ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ И СТОХАСТИЧЕСКОЙ

МОДЕЛЕЙ ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГОПОРТФЕЛЯ

ПРОЕКТОВ ПО ФИНАНСОВОМУ КРИТЕРИЮ

В главе описаны две модели. Первая модель предназначена для

формирования портфеля проектов, когда непосредственно не учитывается

вариация цен, что позволяет детально учесть особенности каждого проекта и

сформировать портфель проектов с детальной проработкой финансовых

потоков. Причем, как отбор проектов в портфель, так и выбор наилучшей

схемы кредитования осуществляется соответственно из имеющихся

множеств проектов и возможных схем кредитования банками реализации

этого портфеля.

Вторая модель оптимального формирования портфеля проектов

позволяет учесть вариацию цен и, следовательно, экономических

характеристик проектов. Поэтому такая модель необходима для

формирования портфеля проектов на достаточно отдаленную перспективу.

Обе модели являются трехкритериальными. В качестве первого

критерия выступают показатели эффективности портфеля проектов (в

зависимости от модели), второго – минимум суммы кредитов, которые

необходимо взять для его реализации, третьего – минимум части прибыли

предприятия, идущей на реализацию портфеля проектов.

3.1. Детерминированная модель формирования оптимального

портфеля проектов по финансовому критерию. Учет неопределенности в

исходных данных

В п. 1.2, где сделан обзор литературы по созданию оптимальных

портфелей проектов, было установлено, что наиболее удачной моделью

53

создания таких портфелей является модель [20]. Там же приведены

недостатки этой модели.

В настоящей главе описывается модель формирования оптимального

портфеля проектов, которая является обобщением результатов, полученных в

[20]. Обобщение в частности состоит в том, что при моделировании

финансовых потоков проектов предполагается досрочная выплата кредитов и

их величины по периодам времени являются заранее неизвестными. Другое

существенное отличие от [20] состоит в том, что эффективность от внедрения

рассматриваемых проектов определяется более надежно, так как может

моделироваться работа предприятия, на котором внедрены проекты, за

заданный период времени.\

3.1.1 Содержательная постановка задачи формирования

оптимального портфеля проектов. При принятии решения о включении

проекта в портфель, для каждого предлагаемого проекта осуществляется

анализ, который состоит из отчѐта о прибылях и убытках, отчѐта о движении

денежных средств, показателей эффективности вложенных средств и других

финансовых показателей. Все эти показатели рассчитываются на весь период

планирования, который равен максимальной из длительностей реализации

всех вариантов проектов. Как правило, проекты для производственного

предприятия рассчитаны на достаточно продолжительный период времени,

поэтому для точности анализируемых показателей эффективности,

осуществляется прогноз цен на сырье и изготавливаемую продукцию.

Статистический метод прогнозирования позволяет учесть структурные

изменения в отрасли, к которой относится данное предприятие, а также

возможные сезонные колебания в ценах. Не менее важным показателем при

выборе проектов для включения в портфель является длительность

выполнения проекта. Наиболее вероятный конечный срок выполнения

проекта определяется с помощью вероятностной имитационной модели на

основе метода Монте-Карло.

54

Особое влияние на процесс принятия решения о формировании

портфелей проектов на предприятие, имеет соотношение стоимости всех

проектов к финансовым возможностям самого предприятия. С целью

уменьшения риска нехватки средств для финансирования портфеля проектов,

необходимо провести анализ хозяйственной деятельности предприятия и

спрогнозировать показатели его работы на тот промежуток времени, на

котором планируется реализация портфеля проектов. Это даст возможность

выявить возможные свободные средства на предприятии.

Вообще учет рисков при формировании инвестиционного портфеля

является актуальной задачей [36].

Зачастую предприятия сталкиваются с недостаточностью собственных

средств для финансирования портфелей проектов. В такой ситуации не

обходимо привлекать заемные финансовые средства в виде, например,

банковских кредитов. Однако, на сегодняшний день, плата за пользование

банковскими кредитами для среднего и крупного бизнеса достаточно высока.

В связи с этим, в качестве источников финансирования портфеля проектов

могут выступать несколько видов кредитов в сочетании с оптимальным

использованием собственных средств предприятия.

Предлагается модель формирования оптимального портфеля проектов

и вариантов кредитования при условии, что все проекты и независимы друг

от друга.

3.1.2. Математическая модель определения оптимального

портфеля проектов предприятия.

3.1.2.1. Принципы разработки модели и условные обозначения.

Основные положения, на которых основана модель.

1. Модель рассматривает процесс реализации портфеля проектов во

времени в течение заданного периода планирования проекта.

2. В одной модели решаются задачи выбора портфеля проектов и

определения схем его финансирования, включая обслуживание кредитов.

55

3. Кредиты, если это необходимо, могут быть взяты в течение всего

периода планирования проекта. Известна схема их обслуживания (график

выплаты кредитов и процентов по ним). Неизвестна величина кредитов.

4. Взятые кредиты и проценты по ним могут быть выплачены

раньше оговоренных сроков.

5. Для решения задачи кредитования портфеля проектов в течение

периода планирования рассматривается некоторое множество банков.

Каждый банк может представить несколько схем кредитования. Схема

кредитования состоит из графиков выплат кредита и процентов по нему.

6. Кредиты берутся в начале некоторого периода времени. Выплаты

по кредитам, включая проценты, производятся в начале следующего периода

времени.

7. Доход в произвольном периоде, если он имеется, может быть

положен на депозит сроком на следующий один период времени. При этом

из дохода вычитаются средства самофинансирования, использованные в

текущем периоде времени.

8. Предприятие может выделять на реализацию портфеля проектов

средства от деятельности, не связанной с данным портфелем. График

инвестирования собственных средств по периодам времени задается.

Возможен подбор средств, вкладываемых предприятием, путем вариантных

расчетов.

9. В расчетах учитывается инфляция.

10. Во избежание повторного счета при вычислении общего

дисконтированного дохода за заданный период планирования (функции

цели) из дохода каждого года вычитаются средства самофинансирования.

11. Неопределенность в исходных данных учитывается путем

формирования трех вариантов оптимального портфеля проектов,

соответствующих трем вариантам цен на основное сырье и готовую

продукцию (прогнозного – наиболее вероятного, пессимистического и

оптимистического), см. п.2.3.2. Согласно п.2.3.2 прогнозный вариант проекта

56

характеризуется ценами на сырье и продукцию, представляющими собой их

точечные прогнозы по годам заданного времени планирования портфеля

проектов. При формировании пессимистических вариантов проектов

используется высокая цена на сырье, соответствующая верхней границе

доверительного интервала для нее и низкая на готовую продукцию (она

соответствует нижней границе доверительного интервала). Для создания

оптимистических вариантов проектов используется противоположная

ситуация: низкая цена на сырье, соответствующая нижней границе

доверительного интервала для нее и высокая на готовую продукцию (она

соответствует верхней границе доверительного интервала).

В модели приняты следующие обозначения: T – длительность периода

планирования; J – число проектов; )(tu j – затраты на j -й проект ( Jj ,1 ) в

t -м периоде времени ( Tt ,1 ); )(tdj

– доход от j - го инвестиционного

проекта в t -м периода времени; L – число банков, которые могут

кредитовать реализацию проектов; )(tk i – величина кредита i -го банка в t -м

периоде времени; )(0 tsi – минимальный долг, который должен быть

выплачен в t -м периоде времени при условии кредитования портфеля

проектов i -м банком кредитования; ( )is t – долг, который будет выплачен в t -

м периоде времени i -му банку, если он участвует о в кредитовании портфеля

проектов; )(tli – плата за пользование кредитом i -го банка в t -м периоде

времени (выплата процентов); R – годовая процентная ставка по депозиту;

tw – коэффициент дисконтирования; )(tQ – прогноз прибыли предприятия

в t -м периоде времени, получаемой не за счет портфеля проектов, – часть

прибыли предприятия, идущая на реализацию портфеля проектов

(одинаковая для всех периодов времени); ( )DP t – свободные денежные

средства, которые можно использовать в 1t -м году и положить на депозит

сроком на 1 год.

Искомые булевы переменные:

57

1, если й проект включается в портфель проектов,

0, в противном случае,j

jx

(3.1)

случае,противномв,0

,иикредитованвучаствуетбанкйесли,1 iyi (3.2)

где

Jj ,1 ,

Li ,1 .

Перечисленные параметры модели, за исключением )(td j , R , )(tQ ,

известны или могут быть определены при разработке каждого варианта

проекта. Величины )(td j можно рассчитать с помощью программы Project

Expert или MS Project на основе прогноза цен на готовую продукцию.

Величины )(tQ можно получить методами прогнозирования или

экспертными методами.

3.1.2.2. Формализация финансовых потоков, используемых при

кредитовании портфеля проектов. Будем считать, что каждый банк может

предложить различные варианты кредитования портфеля проектов. Их

максимальное число не должно превышать период планирования T . Причем,

первый вариант должен предусматривать кредитование в первом и в

последующие периоды времени; второй вариант кредитования должен

предусматривать кредитование во втором и в последующие периоды

времени, и т.д.. Данный подход позволяет формализовать широкий спектр

предложений по кредитованию для каждого банка.

Обозначим iM матрицу схем кредитования портфеля проектов i -м

банком. Элемент этой матрицы itm представляет собой долю кредита в t -м

году, предусмотренную -м варианте кредитования, Tt ,,1 , T,,1 ,

где T - число вариантов кредитования. Согласно предложенному подходу

TT и матрица iM будет нижней треугольной, ее порядок равен T . Таким

образом имеем

58

iTT

iT

iT

ii

ii

i

i

mmm

mm

mm

m

21

3231

2221

11

0

0

00

M , 1, ,i L , (3.3)

Элементы матрицы удовлетворяют следующим условиям:

10

itm ,

1

1

T

t

itm , T,,1

Из сказанного следует, что сумма элементов матрицы по столбцам

равна единице и в каждом столбце должен быть хотя бы один ненулевой

элемент. Таким образом,

T

t

itm

1, T,,1 ; Li ,,1 . (3.4)

Для описания финансовых потоков, связанных с кредитованием

портфеля проектов i -м банком, введем вектор кредитов iK и вектор выплат

кредитов 0

iS :

Tk

k

k

i

i

i

i

2

1

K ,

Ts

s

s

i

i

i

i

0

0

0

0 2

1

S , Li ,,1 .

Оба приведенных вектора связаны соотношением

iii KMS 0 , Li ,,1 . (3.5)

59

Определим минимальные величины выплаты кредитов i -му банку с

учетом выплат в предыдущих периодах времени:

0

0 0

10 0

1

(1) (1),

(2) max[0, (2) ( (1) (1))],

( ) max[0, ( ) ( ( ) ( ))].

i i

i i i i

T

i i i i

v s

v s s s

v T s T s s

(3.6)

3.1.2.3. Задание ограничений в модели. Определим:

доход от всех проектов в t -м периоде времени

j

J

jj

xtdtD

1

)()( , Tt ,,1 ; (3.7)

полученные кредиты в t -м периоде времени

ii

L

i

ytktk )()(1

, Tt ,,1 ; (3.8)

выплачиваемые проценты по кредитам в t -м периоде времени

L

ii

t t

iii ysktltПК1

1

1

2

1

)(

, Tt ,,1 ; (3.9)

выплачиваемые долги по кредитам в t -м периоде времени

ii

L

i

ytsts )()(1

, Tt ,,1 ; . (3.10)

суммарные затраты на реализацию проектов в t -м периоде времени

60

jj

J

j

xtutI )()(1

, Tt ,,1 . (3.11)

Свободные денежные средства, полученные в t -м периоде времени,

которые можно использовать в последующие периоды времени, поэтому

1 2

1

( ) ( ), 1, , 2,( )

( ), 1,

DP t DP t t TDP t

DP t t T

, (3.12)

где

1( )DP t - денежные средства, которые будут использованы в

следующем, т.е. в 1t -м периоде времени;

2 ( )DP t - денежные средства, которые будут положены на депозит в

1t -м периоде времени, полученные средства от депозита (сумма вклада

плюс проценты на него) будут использоваться в 2t -м периоде времени.

Чтобы исключить возможность использования для депозитов средств

предприятия, предназначенных для реализации портфеля проектов, и

учитывая неотрицательность 1( )DP t , введем ограничение

( ) max 0,DP t E t Q t , 1, , 2t T . (3.13)

Чистый доход предприятия от реализации всех проектов портфеля

1 2( 1) 1 ( 2)E t D t k t Q t s t ПК t I t DP t R DP t

, Tt ,,1 ; 1(0) 0DP , 2 2( 1) (0) 0DP DP . (3.14)

Дисконтированный доход tE~

:

twtQtEtE ~

, Tt ,,1 ,

61

где

tw - коэффициент дисконтирования, 10 tw .

Такой выбор tw означает приведение всех стоимостных величин к

первому периоду 1t .

Коэффициент дисконтирования tw согласно [93, 94, 95]:

11

1

tr

tw ,

ставка дисконтирования при этом равна:

100

ar ,

где

a - инфляция за год в %.

Ограничения

В качестве ограничений выступают следующие требования.

Чистый доход предприятия в t -м периоде времени должен быть

неотрицательным:

0)( tE , Tt ,,1 ; . (3.15)

выплаты по долгам i -у банку в каждый период времени t должны быть

не меньше минимальных величин обязательных выплат кредитов этому

банку, полученных с учетом выплат в предыдущих периодах времени:

)()( tvts ii , 1, ,i L ; Tt ,,1 ; (3.16)

общая сумма выплат за период планирования должна равняться сумме

взятых кредитов (по каждому банку):

62

011

i

T

ti

T

ti ytkts , 1, ,i L ; (3.17)

кредиты и выплаты по ним должны быть неотрицательны

,0)( tk i 0)( tsi , 1, ,i L ; Tt ,,1 . (3.18)

проценты согласно формуле (3.9) должны начисляться на

неотрицательные величины

2

1

1

1

t

i

t

i sk

, 3, ,t T , . 1, ,i L (3.19)

Функции цели

1) Чистый дисконтированный доход за T лет должен быть

максимальным

1 2

1

( ( 1) ( 2)) maxT

t

F E t DP t DP t w t

, (3.20)

где

сумма 1 2( ( 1) ( 2))DP t DP t w t вычитается из E t для исключения

повторного суммирования 1( )DP t и 2 ( )DP t ,

Tt ,,1 при вычислении функции цели.

2) Общая сумма кредитов, полученных в интервале планирования, и

часть прибыли предприятия, идущая на реализацию портфеля проектов,

должны быть минимальными:

min)()(11

ii

L

i

T

t

ytktk , min . (3.21)

63

Искомые переменные

Искомыми переменными являются:

булевы переменные, определяющие выбор проекта, включаемого в

портфель, и схемы кредитования:

jx , Jj ,,1 ; iy , Li ,,1 ;

непрерывные неотрицательные переменные – выплачиваемый в t -м

году долг i -му банку

0tsi , Li ,,1 , Tt ,,1 ; (3.22)

кредит i -го банка в t -м периоде времени

0ik t , Tt ,,1 ; Li ,,1 , (3.23)

1( ) 0DP t , 1, , 1t T - денежные средства, которые будут

использованы в 1t -м периоде времени;

2 ( ) 0DP t , 1, , 2t T - денежные средства, которые будут положены

на депозит в 1t -м периоде времени,

3.2.4. Анализ задачи оптимизации и метод ее решения.

Описанная модель относится к задачам векторной нелинейной

оптимизации со смешанными переменными, см. п.1.2 и векторным

критерием. К особенностям данной задачи, которые затрудняют ее решение,

относятся:

присутствие произведений непрерывных и булевых переменных,

см. (3.8) – (3.11) и (3.17),

имеется нелинейность по булевым переменным в выражении

(3.13).

наличие трех критериев.

64

Для ее решения воспользуемся методом уступок Е.С. Вентцель. [28] с

этой целью определим в качестве главного критерия – первый, а

вспомогательных – второй и третий критерии. Полученная задача

оптимизации будет однокритериальной, в которой добавлено два

ограничения

Kytktk ii

L

i

T

t

)()(11

, (3.24)

где K варьируется от 0 до максимально возможного объема кредита

maxK , а 10 . Здесь maxK равняется сумме общих затрат на все

предлагаемые проекты.

Каждое решение однокритериальной задачи оптимизации для

некоторых фиксированных K и будет оптимальным по Парето

(эффективным) решением трехкритериальной задачи (3.1)-(3.23). Таким

образом, существует бесконечное множество решений трехкритериальной

задачи оптимального формирования портфеля проектов (3.1)-(3.23). Выбор

подходящего решения из этого множества должен делать ЛПР (руководитель

предприятия), исходя из имеющейся у него дополнительной информации.

Рассмотрим решение задачи (3.1)-(3.20), (3.22)-(3.24).

Перечисленные особенности не позволяют свести ее к известным

методам решения задач со смешанными переменными. Предлагаемый метод

ее решения состоит в решении задачи (3.1)-(3.20), (3.22)-(3.24) в два этапа.

На первом этапе решается задача оптимизации, полученная из задачи

(3.1)-(3.20), (3.22)-(3.24) ее упрощением, которое состоит в том, что доход t -

го периода времени полностью используется в 1t -м периоде. Такое

упрощение, в частности, означает, что средства самофинансирования,

неиспользованные в t -м периоде, могут использоваться в 1t -м периоде, а

возможность положить сэкономленные средства на депозит сроком на один

период времени отсутствует. Данное упрощение формализуется заменой

ограничений (3.12), (3.13) на

65

1 2( ) ( ) ( ), ( ) 0DP t DP t E t DP t , 1, , 1t T . (3.25)

Полученная задача (3.1) – (3.11), (3.25), (3.14) – (3.20), (3.22)-(3.24)

будет линейной по булевым переменным и нелинейной по непрерывным

переменным. Она может быть формализована следующим образом.

Обозначим

1

2

L

K

KK

K

, где iK – вектор кредитов i -го банка, 1, ,i L ,

см. пояснение к формуле (3.5); iS – вектор выплат долга i -му банку,

(1)

(2)

( )

i

i

i

i

s

sS

s T

, 1, ,i L ; S – вектор выплат долга всем банкам,

1

2

L

S

SS

S

;

вектор непрерывных переменных K

VS

; векторы

1

2

J

x

xX

x

,

1

2

L

y

yY

y

;

вектор булевых переменных X

ZY

.

Тогда задачу (3.1) – (3.11), (3.25), (3.14) – (3.20), (3.22)-(3.24) запишем

так:

( , ) max,V

F V ZZ

, (3.26)

где ( , )F F V Z задается формулой (3.20); 2 ,LT J LV Z ;

размерность множества равна 2LT J L (общее количество

переменных), задается ограничениями (3.15) - (3.19).

66

Множество является ограниченным, так как ограничены величины

булевых переменных, объемы кредитов и, следовательно, выплачиваемых

долгов. Формально ограниченность кредитов может быть задана

дополнительно к приведенным ограничениям совокупностью ограничений на

максимальную величину кредита каждого банка. Очевидно, что такие

ограничения всегда не будут активными.

Пусть вектор Z фиксирован: Z C . Это означает, что задано

множество банков, которые будут финансировать портфель проектов, и

множество проектов, входящих в него. Тогда от задачи (3.26) перейдем к

задаче

( ) max, VV V , (3.27)

где ( ) ( , )V F V C , множество V – задается ограничениями (3.6),

(3.15) – (3.17), (3.19).

В задаче (3.27) функция цели ( )V - линейная, т.е. вогнутая функция,

множество V - выпуклое, так как выпуклы ограничения (3.6), (3.15) – (3.17),

(3.19) (ограничение (3.16) – нелинейное, остальные ограничения –

линейные). Поэтому (3.27) – задача максимизации вогнутой функции на

выпуклом множестве. Максимальное значение функции цели такой задачи

единственное. Обозначим решение (3.27) *V .

Рассмотрим задачу

( ) max, ZZ Z , (3.28)

где *( ) ( , )Z F V Z , Z - множество, заданное ограничениями (3.15),

(3.17).

67

Задача (3.28) - задача линейного программирования с булевыми

переменными, которая имеет единственное решение *Z . Оно может быть

решена методом Балаша [111].

Исходя из сказанного, решение задачи (3.26) можно получить

итеративно. На k -й итерации имеем значения переменных

* *

1,k kV Z , 1,2,k (3.29)

где

*

kV - решение задачи (3.27) при векторе булевых переменных, равном

*

1kZ , который является решением задачи (3.28) при фиксированном векторе

непрерывных переменных *

1kV .

Последовательность (3.29) имеет предел, так как величины * *,k kV Z

принадлежат ограниченному множеству . Обозначим предел

последовательности (3.29) * *( , )V Z . Эта совокупность двух векторов *V и *Z

является решением упрощенной задачи (3.1) – (3.11), (3.25), (3.14) – (3.20),

(3.22)-(3.24).

Используем решение упрощенной задачи * *( , )V Z как начальную точку

для решения исходной задачи (3.1)-(3.20), (3.22)-(3.24). Как показывает опыт

ее решения на компьютере, * *( , )V Z является хорошим приближением для

исходной задачи. Она может быть решена как оптимизационная задача с

непрерывными переменными, в которой булевы переменные заменены на

непрерывные, принадлежащие отрезку 0,1 . Полученное решение затем

округляется до целых чисел 0 или 1, если оно близко к ним.

68

3.2. Стохастическая модель формирования оптимального

портфеля проектов по финансовому критерию

В предыдущем пункте была описана модель формирования

оптимального портфеля проектов, где его состав определяется с учетом

основных факторов, влияющих на поведение портфеля проектов вплоть до

детализации схемы кредитования проектов, входящих в портфель проектов.

Однако риски, связанные с определением эффективности портфеля проектов,

учитывались приближенно – путем формирования оптимистических и

пессимистических портфелей проектов. Указанные оба вида портфеля

проектов определялись на основе упрощенного учета вариации цен на сырье

и готовую продукцию: брались во внимание только границы доверительных

интервалов для упомянутых цен. Более точно учесть неопределенность,

связанную с вариацией цен и процентной ставкой по кредиту, можно,

используя дисперсии прогнозов этих цен. Именно такой подход используется

в настоящем пункте.

3.2.1. Постановка задачи формирования оптимального портфеля

проектов в условиях неопределенности. Обычная схема учета

неопределенности состоит в приписывании индекса риска тому или иному

проекту. Недостаток такой схемы – сложность его определения, т.к.

экспертам необходимо много неопределенных факторов заменить одним

числом [115, 113]

При построении математической модели будем, как и в предыдущем

разделе, исходить из того, что оптимальный портфель проектов формируется

из заданного множества проектов. Однако, в целях упрощения модели, в

отличие от раздела 3, не решается задача выбора оптимального варианта

кредитования.

Основные положения, на которых основана модель;

1. Модель рассматривает процесс реализации портфеля проектов во

времени в течение заданного интервала времени планирования.

69

2. Проекты в портфель выбираются из заданного множества

проектов.

3. Кредиты, если это необходимо, могут быть взяты во все периоды

времени реализации портфеля, кроме последнего периода.

4. Кредиты берутся в начале t -го года и возвращаются в

следующем 1t -м году. В последнем году интервала времени планирования

T они не берутся. Проценты по кредитам, взятым в t -м году, выплачиваются

в 1t -м году ( 1, , 1t T )

5. Доля прибыли предприятия, выделяемая на обеспечение

реализации портфеля проектов, одинаковая для всех периодов интервала

времени планирования, кроме последнего периода, в котором не

предусматривается самофинансирование. Тем самым считается, что в

последнем периоде времени портфель не должен иметь «подпорок» в виде

самофинансирования и кредитования (см. третье положение). Прибыль

предприятия по годам рассматривается как случайная величина с известным

математическим ожиданием и дисперсией.

6. Процентная ставка по кредиту является случайной величиной с

известным математическим ожиданием и дисперсией. Дисперсия процентной

ставки увеличивается с течением времени.

В рассмотренной ниже модели обозначения соответствуют

обозначениям в п.3.2.1 (кроме вновь введенных).

3.2.2. Описание модели. Сформулируем ограничения и первую

функцию цели в виде построчных вероятностных соотношений, а затем

дадим компактную запись модели в матричной форме. Она необходима для

получения детерминированного эквивалента исходной стохастической

задачи. Он представляет собой задачу оптимизации, где все коэффициенты –

детерминированные величины. Ее решение может быть получено

известными методами оптимизации с ограничениями, см. например [81]. Оно

совпадает с решением исходной стохастической задачи оптимизации. Такая

процедура решения этой задачи предложена в [109].

70

3.2.2.1. Ограничения и функции цели. В модели все ограничения

реализуют требование, чтобы чистый доход за текущий и предыдущие

периоды времени, включая средства самофинансирования (если они

использовались) был неотрицательным (кроме последнего периода времени

реализации портфеля). Предполагается также, что в последнем периоде

времени с заданной высокой вероятностью чистый доход должен быть не

меньше некоторой максимально возможной величины. В этом периоде

времени, согласно приведенным в р. 3.2.1 третьему и пятому положениям по

созданию модели, чистый доход представляет собой доход от реализации

продукции портфеля проектов за вычетом расходов на строительство,

закупку оборудования и его наладку, а также затрат на обеспечение

производства готовой продукции, предусмотренной проектами, входящими в

портфель, и выплаты процентов за взятые кредиты.

Из формул (3.7)-(3.11), положив 1L , имеем с учетом сказанного

выражения для чистого дохода предприятия от реализации всех проектов за

период времени ( 1, ,T ):

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )J J

j j j j

j j

d x k Q u x s l k

, (3.30)

где

булева переменная jx задана выражением (3.1), ( )jd - доход от j - го

проекта в период времени ,

( )ju – затраты на j -й проект в период времени ,

( )k – кредит , который берется в период времени ( (0) 0k ), ( )l t -

процентная ставка за кредит ( (0) 0l ),

( )s –долг, выплачиваемый в период времени ,

( )Q – прогноз прибыли предприятия в период времени , получаемой не за

счет портфеля проектов,

71

– часть прибыли предприятия, идущая на реализацию портфеля проектов

(одинаковая для всех периодов времени.

В соответствии с п.4 основных положений разработки модели в р.3.2.1

выплата кредитов описывается следующими выражениями:

(1) 0s ; ( ) ( 1)s t k t ; 2,3, ,t T . (3.31)

Суммарный чистый доход за t периодов времени 1, , 1t T ,

получим из (3.30) с учетом (3.31), просуммировав выражения (3.30) по

1, ,t . Имеем

.),()()()(

,1,,1),()()()()()(

1

11111

1

111111

Ttklxuxd

TtklxuQtkxd

t

jj

J

j

t

jj

J

j

t

t

jj

J

j

tt

jj

J

j

t

(3.32)

Второе выражение в этой формуле учитывает, что в T -м периоде

времени кредитование отсутствует, а чистый доход определяется за вычетом

самофинансирования в предыдущие периоды времени.

Используя первое выражение в приведенной формуле и равенства

(3.31), получаем вероятностные ограничения:

),(0)()()()()]()([1

1111

tklQtkxudPtt

jjj

J

j

t

,1,,1 Tt (3.33)

где

P A - вероятность появления события A , ( ) 0,9t , 1, , 1t T .

72

Событие A состоит в том, что суммарный чистый доход за t периодов

времени неотрицательный. Согласно (3.33) с вероятностью не меньшей ( )t ,

т.е. с высокой вероятностью, это событие должно произойти.

Первую функцию цели запишем, используя второе выражение в (3.32),

в таком виде:

max1 S , (3.34)

1

1 1 1

[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( )T J T

j j j

j

P d u x l k S T

. (3.35)

Смысл формул (3.34), (3.35): порог S , который может превысить с

вероятностью ( )T случайная величина – чистый доход за интервал

планирования Т, должен быть максимальным. Причем, выбирается

( ) 0,9T .

В качестве остальных двух функций цели возьмем (3.21) - вторую и

третью функцию цели в задаче, описанной в п. 3.1. Для рассматриваемой в

настоящем пункте задачи они будут иметь вид:

min)(1

2

tkST

t

, min3 S . (3.36)

Предприятие, реализовывающее портфель проектов, к моменту начала

его реализации может не иметь свободных денежных средств, например, для

приобретения оборудования. Тогда, согласно п. 3.2.2 потребуется ввести

вероятностное ограничение:

)0()1()1(1

QkxgP jj

J

j

, (3.37)

где

jg - стоимость оборудования, предусмотренного j -м проектом,

73

(0) 0,9 .

Рассмотрим смысл формулы (3.37). Оборудование должно быть

куплено в начале первого периода времени. Однако в это время нет дохода от

портфеля проектов, поэтому необходимо приобретать оборудование за счет

кредитов или самофинансирования. Доход предприятия от собственной

деятельности в первом периоде времени (1)Q будет известен в его конце,

поэтому в начале этого периода величина (1)Q является неопределенной, т.е.

случайной (в контексте данной работы неопределенность везде

рассматривается как случайность). Поэтому величина, стоящая в фигурных

скобках в формуле (3.37) является случайной. На такую величину наложено

вероятностное ограничение (3.37).

На непрерывные искомые переменные накладываются очевидные

ограничения:

( ) 0k t , 1, , 1t T , 0 1 . (3.38)

Сформулированная задача оптимизации (3.33)-(3.38) является

двухкритериальной задачей стохастического программирования с

вероятностными построчными ограничениями, в которой вторая функция

цели - детерминированная. Искомыми переменными в задаче являются

булевы переменные jx , 1, ,j J и непрерывные переменные ( )k t ,

1, , 1t T и .

3.2.2.2. Матричная запись модели. В приведенной задаче

стохастической оптимизации случайными величинами являются:

)(td j и )(tu j , 1, ,j J , 1, ,t T - соответственно доход и затраты на

j -й проект в t -м году. Эти величины случайны, так как они зависят от

случайных величин – цен на сырье и готовую продукцию;

( )l t - процентная ставка за кредит;

)(tQ - собственная прибыль предприятия.

Положим

74

)()()()()]()([)(1

1111

klQtkxudtBtt

jjj

J

j

t

. (3.39)

Как нетрудно увидеть, выражения в фигурных скобках левых частей

ограничений в формулах (3.35), (3.36) являются частными случаями (3.39).

Преобразуем первое слагаемое в (3.39). Пусть в портфеле проектов

предусмотрен выпуск n видов готовой продукции из m видов сырья, причем

n m N . Имеем:

1

( ) ( )(1 ) ( )n

j k jk

k

d t c t V t

, (3.40)

1

( ) ( ) ( )N

j k jk

k n

u t c t V t

, (3.41)

где

( )kc t , 1, ,k n - цена k-го вида готовой продукции в t -м периоде

времени (случайная величина);

- доля дохода, уплачиваемая в качестве налога на добавленную

стоимость;

( )jkV t , 1, ,k n - планируемый выпуск продукции k-го вида по j -му

проекту в t -м году, ( ) 0jkV t ;

( )kc t , 1, ,k n N - цены k-го вида сырья в t -м периоде времени;

( )jkV t , 1, ,k n N - необходимое количество сырья k-го вида в t -м

периоде времени по j -му проекту, ( ) 0jkV t ;

Обозначим:

75

)(

)(

)(

)(

)(1,

1

ta

ta

ta

ta

t

jN

nj

jn

j

j

a ,

1

1

( )

( )( )

( )

( )

n

n

N

c t

c tt

c t

c t

c

,

(1)

(2)( )

( )

j

j

j

j

t

t

a

aA

a

,

(1)

(2)( )

( )

Ntt

t

c

cC

c

,

1, ,t T . (3.42)

где

( ) (1 ) ( )jk jka t V t , 1, ,k n ;

( ) ( )jk jka t V t , 1, ,k n N . согласно (3.40), (3.41)

С учетом обозначений (3.42) имеем выражение для первого слагаемого

в (3.39):

jj

J

jjjj

J

j

txtbxud )()]()([

111

, 1, ,t T (3.43)

где

)()()( tttb jj CA , 1, ,t T . (3.44)

Введем векторы коэффициентов TJRt )(W и искомых переменных

TJRt )(X , фигурирующих в (3.39):

76

1

2

2

(0)

1

(1)

J

T

g

g

g

Q

W

O

,

)1(

)1(

)1(

)1(

)1(

)1(

2

1

2

1

Q

e

b

b

b

T

J

O

W ,

1

2

1

1

( )

( )

( )

(1)

(2)( )

( 1)

( )

( )

J

t

t

t

t

T t

t

b t

b t

b t

e

et

e t

e t

Q

W

O

, 2, , 1t T ,

0

)1(

)2(

)1(

)(

)(

)(

)(

2

1

Te

e

e

Tb

Tb

Tb

T

T

T

T

J

W , (3.45)

)1(

)2(

)1(

2

1

Tk

k

k

x

x

x

J

X , (3.46)

77

где

1(1) 1e ; 1, ,

( )( ), 1, , 1,

t

te

l t

1,,2 Tt ; (3.47)

( ) ( ), 1, , 1Te l T , (3.48)

sO – s -мерный нулевой вектор.

Тогда формулы (3.33)-(3.35), (3.37) примут вид:

max1 S , (3.49)

)()( 1 TSTP XW , (3.50)

)(0)( ttP XW , 1, , 1t T , (3.51)

)0(0)0( XWP . (3.52)

Запишем вторую и третью функции цели (3.36) в матричном виде. С

этой целью положим

0

2 U

O

w

J

,

1

13

TJOw .

где U – является 1T -мерным вектором, все компоненты которого

равны единице.

Тогда (3.36) примет вид

min22 XwS , min33 XwS . (3.53)

Будем считать, что в (3.50)-(3.52) распределение )(tW , Tt ,,0 -

нормальное, ))(),((~)( ttNtW

KWW , где )(tW - математическое ожидание

вектора )(tW , )(tW

K - его ковариационная матрица. Обоснование данного

положения будет сделано ниже, см. п. 4.2.4.

78

3.2.2.3. Детерминированный эквивалент стохастической задачи

оптимизации. Решение задачи (3.49)-(3.53) согласно [109, п.1.4] состоит в

построении детерминированного эквивалента этой задачи, которая

представляет собой задачу математического программирования с

фиксированными коэффициентами. Решение этой задачи – постоянная

величина является решением задачи стохастического программирования

(3.49)-(3.53). Следовательно, при таком подходе это решение также

фиксированная, т.е. неслучайная величина.

Построим детерминированный эквивалент задачи (3.49)-(3.53),

основываясь на результатах [109, п.1.4]. Сначала построим

детерминированные эквиваленты ограничений (3.51) и (3.52). Обозначим

XW )()( tt . Величина )(t имеет нормальное распределение, так как

решение задачи (3.49)-(3.53) представляет собой детерминированный вектор,

а )(tW , Tt ,,0 согласно сказанному – многомерная нормально

распределенная величина. Поэтому можем записать ))(),((~)( 2 ttNt

, где

( )t - математическое ожидание )(t , )(2 t

- дисперсия )(t . По

определению

XW )()( tt , 22 )()()( ttMt

, Tt ,,1 . (3.54)

Здесь и далее M a означает математическое ожидание случайной

величины a .

Имеем ( ) ( ) ( ( ) ( ))t t t t W W X . Подставив это равенство в

формулу для )(2 t

, получаем

XKXXWWWWXW

)())()())(()(()(2 tttttMt

, (3.55)

где

79

))()())(()(()( ttttMt WWWWKW

.

С учетом введенных обозначений неравенства (3.51), (3.52) можно

записать так: )(0)( ttP , 1,,1,0 Tt , что эквивалентно

неравенству:

)()(2

)]([exp

)(2

1

02

2

tdzt

tz

t

. (3.56)

Обозначим )(

)()(

t

tt

. Легко показать, что - случайная

величина, имеющая стандартное нормальное распределение, )1,0(~ N . Ее

функцией распределения является:

y

duu

yF2

exp2

1)(

2

(3.57)

Заменим в (3.52) переменную интегрирования z на )(

)(

t

tzu

. Тогда

получим из (3.52)

)(2

exp

)(

)(

2

tduuy

t

t

, 1,,1 Tt .

Отсюда с учетом обозначений (3.57):

)()(

)(1 t

t

tF

, что дает

0)()())(1(1 tttF

, (3.58)

где

80

)(1 yF - обратная функция функции )(yF .

Положим ))(1())(1(1 tutF , где )(u - квантиль стандартного

нормального распределения, - вероятность (значение функции

распределения стандартной нормальной случайной величины). По смыслу

задачи стохастической оптимизации ( ) 0,9t , 1,,1 Tt . Поэтому

0))(1( tu .

С учетом выражений (3.54), (3.55) для )(t и )(2 t

получаем из (3.58),

согласно [109, п.1.4], детерминированный эквивалент выражений (3.51) и

(4.21):

(1 ( )) ( ) ( ) 0u t K t t W

X X W X , 1,,1,0 Tt . (3.59)

Аналогичные рассуждения позволяют определить детерминированный

эквивалент функции цели, задаваемой выражениями (3.49), (3.50). Обозначим

случайную величину XW )()( TT . Имеем XW )()( TT . Тогда

2( ) ( )T K T W

X X.

С учетом введенного обозначения XW )()( TT имеем из (3.50)

)()( TSTP или с учетом (3.54), (3.55):

dzt

tz

t S

)(2

)]([exp

)(2

12

2

.

Данное выражение, используя функцию распределения стандартной

нормальной величины (3.57), можно записать следующим образом

)(2

exp

)(

)(

2

Tduuy

t

tS

.

81

Из данного равенства имеем )()(

)(1 T

t

tSF

. Откуда следует

)()())1( TTuS

. Из этого выражения получаем с учетом (3.54),

(3.55) и (3.49)

(1 ( )) ( ) ( ) maxu T K T T W

X X W X (3.60)

Выражение для второй функции цели 2S не содержит случайных

величин, поэтому в детерминированном эквиваленте оно будет иметь тот же

вид.

Задача (3.60) (3.53), (3.59) представляет собой детерминированный

эквивалент задачи стохастической оптимизации (3.49) – (3.53). Ее запись с

учетом ограничений на переменные:

,1,,1,0,0)()())(1(

min,min,

max,)()())(1(

32

Tttttu

TTTu

XWXKX

XwXw

XWXKX

W

W

(3.61)

где

компоненты X - неотрицательные, согласно (3.46),

Задача (3.61) представляет собой трехкритериальную

детерминированную оптимизационную задачу. Для нахождения ее

эффективных решений используем, как и в предыдущем пункте, метод

уступок, исходя из того, что первый критерий – главный, а второй и третий –

вспомогательные. Тогда эффективные решения задачи (3.61) будут являться

решениями следующей однокритериальной задачи оптимизации

,,

,1,,1,0,0)()())(1(

max,)()())(1(

32 XwXw

XWXKX

XWXKX

W

W

K

Tttttu

TTTu

(3.62)

82

где max0 KK , 10 . Здесь maxK - общие затраты на реализацию всех

предлагаемых проектов.

Если не учитывать вариацию цен на сырье и продукцию проектов,

неопределенность в процентных ставках, то тогда ковариационные матрицы

)(tWK , Tt ,,1,0 будут нулевыми, и тогда из (3.62) получаем задачу

линейного программирования

.,

,1,,1,0,0)(

max,)(

32 XwXw

XW

XW

K

Ttt

T

(3.63)

с булевыми и неотрицательными непрерывными переменными –

компонентами X .

Множители в (3.62) 0))(1( tu - меньше либо равны нулю для

Tt ,,1,0 , так как ( ) 0,9t , Tt ,,1,0 . Поэтому в (3.62) выражения

XKX W )())(1( ttu - неположительные: 0)())(1( XKX W ttu ,

Tt ,,1,0 . Отсюда следует, что допустимая область задачи линейного

программирования (3.63) включает в себя допустимую область в (3.61), а

XWXKXXW W )()())(1()( TTTuT (функция цели в задаче

линейного программирования не меньше функция цели в (3.62)).

Следовательно, решение задачи (3.62) будет не лучше решения задачи

линейного программирования по функции цели. Это ее уменьшение вызвано

рисками, обусловленными вариацией цен, процентных ставок кредитования

и прибыли предприятия из источников, не связанных с реализацией портфеля

проектов. Указанные риски учитываются путем ввода в оптимизационную

модель членов Ttttu ,,1,0,0)())(1( XKX W . На самом деле чистый

доход может оказаться больше и, возможно, значительно, расчетного дохода

по модели (3.62). Поэтому смысл решения задачи (3.62) - указать для

руководителя предприятия величину гарантированного дохода от портфеля

83

проектов спустя достаточно большой интервал времени и пути его

достижения.

3.2.2.4. Определение первых двух моментов распределений

многомерных случайных величин )(tW , 0,1, ,t T .

Эти моменты (математическое ожидание ( )tW и ковариационная

матрица ( )tW

K , 0,1, ,t T ) фигурируют в детерминированном эквиваленте

(3.62) задачи стохастического программирования (3.49)-(3.53) и содержат все

коэффициенты задачи оптимизации (3.61). По определению

( ) ( )t M tW W , ( ) ( ( ) ( ))( ( ) ( ))t t t t t W

K W W W W .

Для удобства вычисления этих моментов представим )(tW в виде

совокупности подвекторов, используя формулу (3.45):

1

2

3

( )

( ) ( )

( )

t

t t

t

W

W W

W

, 0,1, ,t T ;

причем,

1

2

1(0) J

J

g

g

g

W

,

1

2

1

( )

( )( )

( )

J

J

b t

b tt

b t

W

, 1, ,t T ;

1

2

2

1(0) T

T

WO

, 1

2

1

(1)

(2)

( ) , 1, , 1( 1)

( )

t

t

T

t

t

T t

e

e

t t Te t

e t

W

O

,

84

1

2

(1)

(2)( )

( 1)

T

T T

T

e

eT

e T

W

;

1

3(0) (1)Q W , 1

3

1

( ) ( )t

t Q

W , 1, , 1t T , 1

3( ) 0T W . (3.64)

Определим первые два момента подвекторов векторов )(tW , 1, ,t T .

3.2.2.4.1. Определение математического ожидания и

ковариационной матрицы вектора 1( )tW . Согласно (3.64) имеем

1 1( ) ( )t tW W , (0) JJ1WK O , так как все компоненты 1(0)W -

детерминированные величины.

Из (3.44) следует:

1( ) ( ) ( )t t tW A C , 1, ,t T , (3.65)

где матрица

1

2

1

( )

( )

( )

( )

( )

J

J

t

t

t

t

t

A

A

A

A

A

, (3.66)

имеет размер ( )J Nt ; Nt -мерный вектор ( )tC определен в (3.42).

Будем считать, что объемы готовой продукции и сырья во всех

периодах времени на заданном интервале планирования являются

детерминированными. Поэтому вектор ( )tA в (3.65) – детерминированный.

Согласно п. 2.2 все цены на готовую продукцию и сырье на всем заданном

интервале планирования определяются в результате прогноза и потому

являются случайными величинами. Они согласно допущению, принятому в

п. 2.2, имеют нормальный закон распределения. Следовательно, все

компоненты вектора ( )tC - нормально распределенные величины, а ( )tC

85

подчиняется многомерному нормальному закону распределения. Тогда

согласно (3.65) каждый вектор )(1

tW , 1, ,t T также имеет многомерное

нормальное распределение. Оно полностью определяется 1( )M tW -

математическим ожиданием вектора )(1

tW и его ковариационной матрицей

( )t1W

K .

Из (4.31) получаем

)()()()()()(11

tttMtttM CACAWW , 1, ,t T (3.67)

и

1 1 1 1( ) ( ( ) ( ))( ( ) ( )) ( ) ( ) ( )t M t t t t t t t 1W C

K W W W W A K A ,

1, ,t T ,3.68(4.34)

где

( )tC

K - ковариационная матрица вектора ( )tC ,

( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) )t M t M t t M t C

K C C (C C . Здесь ( )M tC -

математическое ожидание ( )tC .

Обозначим: ( )tc

k - ковариационную матрицу вектора ( )tc ,

( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ))t M t t t t c

k c c (c c , где ( ) ( )t M tc c ,

ковариации цен в разные периоды времени t и

( , ) ( ( ) ( ))( ( ) ( ))t M t t c

k c c c c , Tt ,,1, , t .

Матрица ( , )t c

k является квадратной матрицей порядка N , где N -

число видов готовой продукции и сырья.

86

С учетом введенных обозначений согласно формуле (3.42) для вектора

( )tC имеем:

(1,1) (1,2) (1,3) (1, )

(2,1) (2,2) (2,3) (2, )( )

( ,1) ( ,2) ( ,3) ( , )

t

tt

t t t t t

c c c c

c c c c

C

c c c c

k k k k

k k k kK

k k k k

, 1, ,t T . (3.69)

Согласно (3.69) матрица ( )tC

K является блочной. Она состоит из 2t

матриц – блоков.

3.2.2.4.2. Определение математического ожидания и

ковариационной матрицы вектора 2 ( )tW . Согласно (3.64) вектор 2 (0)W -

детерминированный. Векторы 2 ( )tW , 1, ,t T являются функциями

величин ( )te , 1, ,t T , 1, , 1T , которые согласно формулам (3.47),

(3.48) являются функциями годовых процентных ставок ( ), 1, , 1l t t T .

Эти ставки до того, как сформирован портфель проектов, точно

неизвестны. Очевидно, неопределенность величин процентных ставок

кредитования увеличивается с ростом времени t . Поэтому будем их

рассматривать как случайные величины. В силу множества факторов,

влияющих на процентные ставки, будем на основе центральной предельной

теоремы [66] считать, что процентные ставки имеют нормальный закон

распределения с м ( )l t и дисперсией 2( )l t , 1, , 1t T , которая

увеличивается с ростом t , что позволяет учесть возрастание

неопределенности в условиях кредитования на будущие периоды времени,

т.е. 2( ) ~ ( ( ), ( )), 1, , 1ll t N l t t t T . Величины ( )l t и 2( )l t , 1, , 1t T

могут быть установлены экспертным путем командой проекта.

Таким образом, величины ( )te , 1, ,t T , 1, , 1T согласно

(3.47), (3.48) также будут распределены нормально, что влечет многомерное

87

нормальное распределение векторов 2 ( )tW , 1, ,t T . Определим их

математические ожидания и ковариационные матрицы.

Из (3.64) получаем 2 2( ) ( )t M tW W - математическое ожидание

вектора 2 ( )tW :

1

2

2

1(0) T

T

WO

, 1

2

1

(1)

(2)

( ) , 1, , 1( 1)

( )

t

t

T

t

t

T t

e

e

t t Te t

e t

W

O

,

1

2

(1)

(2)( )

( 1)

T

T T

T

e

eT

e T

W

, где ( ) ( )t te M e , Tt ,,1, .

где

k

O - k-мерный нулевой вектор (все его k компонент равны 0).

Из (3.47), (43.48) имеем

1(1) 1e ; 1, ,

( )( ), 1, , 1,

t

te

l t

1,,2 Tt ; ( ) ( )Te l ,

1, , 1T .

где

( ) ( ) , 1, , 1l t M l t t T .

Найдем теперь )(2

tW

K - ковариационные матрицы векторов )(2

tW ,

Tt ,,1 , определенных в (3.64). Имеем из (3.64) согласно определению

ковариации:

88

1,

)1(),2(cov)2(),2(cov)1(),2(cov

)1(),1(cov)2(),1(cov)1(),1(cov

)(2

TtT

tTtttttt

tTtttttt

Oteeeeee

Oteeeeee

t

O

KW

,

1, ,t T , (3.70)

где

)(2

tW

K - квадратная матрица порядка )1()1( TT ,

ba,cov - означает ковариацию случайных величин a и b.

Будем для упрощения считать, что в любой период времени t

процентные ставки по кредитам в разные периоды времени независимы. Это

означает, что величины )1(,),2(),1( teeettt

, 1, , 1t T , зависящие от

процентных ставок согласно (3.47), попарно независимы. Следовательно,

имеем

0)(),(cov21

tt

ee , 1, , 1t T , 21

(3.71)

Обозначим )(),(cov),(2 tte

eet . Эта величина представляет собой

дисперсию случайной величины )(t

e , 1,,1 t . Согласно формулам

(3.47), (3.48)

0)1,1(2 e

, 2

2

0, если ,( , )

( ), если 1, , -1,e

l

tt T

T

2, , 1t T , (3.72)

)(),( 22 le

T , 1, , 1T , (3.73)

где

)(2 l

- дисперсия процентной ставки )(l в периоде времени .

Согласно формулам (3.71) - (3.73) получаем из (3.70)

89

2 2 1, 1(0) (1) T T W WK K O ,

2

2

2

, 1

2

1, 1

(1)

(2)

( )( 1)

l

l

t T t

l

T t T

tt

W

OK

O

, 2, , 1t T ,

2

2

2

2

(1) 0 0 0

0 (2) 0 0( )

0 0 0

0 0 0 ( 1)

l

l

l

T

T

WK

. (3.74)

Размер матриц в (3.74) ( 1) ( 1)T T .

3.2.2.4.3. Определение математического ожидания и дисперсии

скаляров 3( )tW , 0,1, ,t T . Согласно (3.64) 3( )TW равно нулю, т.е.

является детерминированной величиной, а величины 3( )tW , 0,1, , 1t T

зависят от прибыли фирмы ( )Q t ,. 1, , 1t T , которая не связана с

реализацией портфеля проектов, Рассуждения, аналогичные приведенным

применительно к процентным ставкам кредитования, позволяют сделать

вывод о том, что величины ( )Q t , 1, , 1t T можно рассматривать, как

нормально распределенные величины с математическим ожиданием ( )Q t и

дисперсией 2 ( )Q t , т.е. 2( ) ~ ( ( ), ( ))QQ t N Q t t , 1, , 1t T . Тогда 3( )tW ,

0,1, , 1t T - также нормально распределенные величины.

Обозначим 3 3( ) ( )t M tW W математическое ожидание 3( )tW . Из

(3.64) получаем

1

3(0) (1)Q W , 1

13 )()(

Qtt

W , 1, , 1t T , 1

3( ) 0T W .

90

где

( ) ( )Q t M Q t , 1, , 1t T .

Скаляр 3

1

( ) ( )t

t Q

W , Tt ,,1 - прогноз суммарной прибыли

предприятия за t периодов времени без использования портфелей проекта.

Будем считать, что прогнозы ( )Q t , Tt ,,1 попарно независимы друг от

друга, т.е. 1 1 2 2( ( ) ( ))( ( ) ( )) 0M Q t Q t Q t Q t , 1 2 1 2, 1, , ,t t T t t . Тогда

согласно (4.30) получим выражения для дисперсии )(3

tW , 0,1, ,t T :

3

2(0) (1)QWK ;

2

2

1

( ) ( )t

Qt

WK , 1, , 1t T ;

3( ) 0T WK , (3.75)

которые представляет собой дисперсии прогноза прибыли предприятия за t

периодов времени. Здесь 2 ( )Q t дисперсия прибыли предприятия в t-м

периоде времени, 2 2( ) ( ( ) ( ))Q t M Q t Q t .

3.2.2.5. Определение ковариационной матрицы вектора )(tW .

Вычислим ковариационную матрицу )(tW , используя представления этого

вектора в виде трех подвекторов, первые два момента которых определены в

предыдущих подразделах. Согласно (3.64) (0)W представляет собой вектор,

компоненты которого константы. Поэтому ( ) J Tt W

K O .

Имеем выражение ковариационной матрицы )(tW в виде блочной

матрицы.

)()()(

)()()(

)()()(

)(

32313

32212

31211

ttt

ttt

ttt

t

WWWWW

WWWWW

WWWWW

W

KKK

KKK

KKK

K , Tt ,,1 , (3.76)

где

91

}])()()][()({[)( ttttMtiiiii

WWNWKW

, 3,2,1i , Tt ,,1 ;

}])()()][()({[)( ttttMtjjiiji

WWWWKWW

3,2,1, ji , Tt ,,1 ;

( ) ( )i j ij t t

W W W WK K , 3,2,1, ji , Tt ,,1 .

Будем предполагать, что цены на сырье и готовую продукцию проектов

не зависят от процентных ставок банков. Это означает, что

1,2)(

1

TJt OK

WW, Tt ,,1 . (3.77)

Исходя из того, что прибыль предприятия, не связанная с проектами,

определяется независимо от цен на сырье и продукцию проектов и не зависит

от процентных ставок банков, имеем

Jt OK

WW)(

31,

13)(

2

Tt OK

WW, Tt ,,1 . (3.78)

Из (3.76) с учетом выражения (3.77) и выполнения условия (3.78)

получаем упрощенное выражение для ковариационной матрицы )(tW .

)}({)( tdiagtiWW

KK , Tt ,,1 . (3.79)

Используя эту формулу и полученные выражения для ковариационных

матриц подвекторов )(tW , упростим задачу (3.61).

3.2.2.6. Упрощение детерминированного эквивалента задачи

стохастической оптимизации. Согласно структуре вектора искомых

переменных X (3.46) имеем

TJ

3

2

1

X

X

X

X , J

J

X

X

X

X

2

1

1, 12

1

2

)1(

)2(

)1(

T

Tk

k

k

X , 1

3X . (3.80)

где

92

1X - вектор булевых переменных, компонентами

2X являются

величины кредитов,

3X - доля прибыли предприятия, идущая на финансирование портфеля

проектов.

Модель (3.61) с учетом выражений (3.75), (3.79), (3.80) примет вид

1 21 1 2 2 1 1 2 2(1 ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) max,u T K T K T T T W WX X X X W X W X

1 2

2 2

1 1 2 2

1

1 1 2 2

1

(1 ( )) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0, 1, , 1,

t

Q

t

u t K t K t

t t Q t T

W WX X X X

W X W X

,0)1()()(

)1()()())0(1(

2211

222211 21

Qtt

tKtKu Q

XWXW

XXXX WW

K Xw2 , Xw3 ,

][1 i

xX , 10 i

x , Ji ,,1 ; 12

T

OX , 30 X . (3.81)

3.2.2.7. Анализ задачи (3.81). Проанализируем сформулированную

задачу (3.81) – детерминированный эквивалент задачи стохастического

программирования (3.49) - (3.53), который получен при введенных

упрощающих предположениях.

Рассмотрим общий вид подкоренного выражения в (3.81)

1 2

2 2

1 1 2 2

1

( ) ( ) ( )t

QK t K t t

W WX X X X , Tt ,,0 , (3.82)

фигурирующего в функции цели и левых частях ограничений в задаче (3.81).

Как отмечалось при анализе формулы (3.58) в рассматриваемой задаче

0))(1( tu для Tt ,,0 . (3.83)

93

Пусть в (3.82) вектор булевых переменных фиксирован: const1

X .

Тогда

constctK 111

)(1

XXW

, Tt ,,0 . (3.84)

Поэтому подкоренное выражение в (3.82) будет представлять собой

квадратичную функцию непрерывной векторной переменной T

3

2

X

Xy ,

причем Ty O :

2

2 2

2 2

1

( ) ( ) ( )t

t Qf y c t t

WX K X , Tt ,,0 . (3.85)

Ковариационная матрица 2( )tWK является неотрицательно

определенной. Поэтому второе слагаемое в (3.85) является неотрицательно

определенной квадратичной формой 2

X , и, следовательно, y . Тогда третье

слагаемое в (3.85) представляет собой неотрицательно определенную

функцию y . Следовательно, ( )tf y , Tt ,,0 является неотрицательно

определенной функцией y . Поэтому ( )tf y , Tt ,,0 - выпуклая функция.

Введем функцию xxg )( , 0x . Эта функция является выпуклой.

Тогда, так как )( yft

, Tt ,,0 - выпуклая функция, согласно теореме 2.59

[27, п.2.2.1] функция

2

2 2

2 2

1

( ( )) ( ) ( )t

t Qg f y c K t

WX X , Tt ,,0 (3.86)

также является выпуклой функцией y .

С учетом (3.83) задачу (3.81) можно записать так:

94

min,)()()()())(1(22112211 21 XWXWXXXX

WWTTTKTKTu

1 2

2 2

1 1 2 2

1

1 1 2 2

1

(1 ( )) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0, 1, , 1,

t

Q

t

u t K t K t

t t Q t T

W WX X X X

W X W X

1 2

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

(1 (0)) ( ) ( ) (1)

( ) ( ) (1) 0,

Qu K t K t

t t Q

W WX X X X

W X W X

(3.87)

K Xw2 , Xw3 ,

][1 i

xX , 10 i

x , Ji ,,1 ; 12

T

OX , 30 X ., 4T .

Если c1

X , то функция цели и левые части ограничений в (3.87)

являются выпуклыми функциями 2

X и . Линейная форма )()(2

tQt XW ,

Tt ,,0 является также выпуклой функцией, а сумма выпуклых функций –

выпуклая функция. Следовательно, все ограничения в (3.87) – выпуклые

функции. Как известно [84], выпуклые ограничения вида «» задают

выпуклую допустимую область. Таким образом, для фиксированного 1

X

(3.87) представляет собой задачу минимизации выпуклой функции на

выпуклом множестве, то есть выпуклую задачу оптимизации. Такая задача

имеет один минимум, то есть единственное решение.

Таким образом, придавая различные значения компонентам вектора

1X , для каждой их комбинации, определяющей некоторый фиксированный

вектор 1

X , можно найти такие единственные векторы 2X и 3X , которые

минимизируют функцию цели в (3.87).

Осуществив полный перебор значений вектора 1

X , число которых

конечно, так как конечным является число сочетаний компонент 1

X , получим

конечное число троек векторов (1

X , 2X , 3X ). Каждому такому сочетанию

векторов соответствует минимальное значение функции цели в (3.87)

(минимум находится по 2X и 3X при фиксированном векторе 1

X ). Выбрав

95

тройку (1

X , 2X , 3X ), которой соответствует наименьшая величина функции

цели по всем вариантам вектора 1

X , получим искомое решение задачи (3.87).

Как следует из описанной схемы вычислений, решение задачи (3.87)

может быть неединственным при единственном значении функции цели.

Такая ситуация может возникнуть, когда разным векторам 1

X будут

соответствовать одинаковые минимумы по 2X и 3X задачи (3.87).

Во избежание полного перебора величин 1

X для решения задачи (3.87)

эффективнее использовать тот же алгоритм, что и в п. 3.

Выводы к 3 разделу

1. Оценивание инвестиционных проектов является одной из

важнейших задач в планировании инвестиций [11, 12, 30-32, 68, 71, 72, 79].

Однако эта задача актуальна, если изначально имеется только один

инвестиционный проект развития фирмы (предприятия). Если же имеется

несколько проектов-«кандидатов» на реализацию, то необходимо говорить

уже о портфеле проектов. Оценивание его эффективности производится в

процессе формирования портфеля и здесь необходимо применять

оптимизационные методы.

2. В настоящем разделе предлагается две модели формирования

оптимального портфеля проектов. Обе они динамические, что позволяет

проанализировать реализацию проекта на любом заданном интервале

времени. Первая модель предназначена для планирования на относительно

небольшие интервалы времени, поэтому она детерминированная, что

позволяет детально планировать финансовые потоки. Чтобы учесть

неопределенность в ценах на сырье и готовую продукцию, предлагается

формировать три варианта портфеля проектов – оптимистический,

прогнозный и пессимистический. Вторая модель – оптимизационная

стохастическая. Она предназначена для решения задач формирования

96

портфеля проектов развития предприятия на перспективу. В этом случае

неопределенность цен на продукцию и сырье и условия кредитования

является важным фактором, который нужно учитывать с целью минимизации

финансовых рисков.

3. Неопределенность проявляется при расчете чистого дохода от

проектов на основе планируемых объемов выпусков готовой продукции, а

также цен на сырье и готовую продукцию, определяемых путем прогноза по

методике р.2. Поэтому указанные цены являются неточными, что и влечет

неопределенность в оценке доходности проектов. Следовательно, чистый

доход от портфеля проектов варьирует, так как он зависит от множества

случайных факторов, влияющих на цены. Чтобы оценить риски,

обусловленные этой неопределенностью, при использовании

детерминированной оптимизационной модели формирования портфеля три

его варианта прогнозный, пессимистический и оптимистический

основываются на доверительных интервалах для прогноза цен на сырье и

готовую продукцию.

4. Детерминированная оптимизационная модель формирования

портфеля проектов позволяет отбирать их в портфель из заданного

множества проектов. Исходной информацией для нее являются данные о

чистом доходе от каждого проекта и затратах на него по периодам времени

интервала планирования, на котором определяется эффективность портфеля

проектов. В общем случае предполагается, что финансирование может

осуществляться за счет средств самофинансирования и кредитов банков. В

результате решения задачи формирования оптимального портфеля проектов

находится как его состав, так и наилучшая схема кредитования из известных

схем, а также объем самофинансирования, необходимый для реализации

портфеля проектов, и находится наилучшая схема обслуживания взятых

кредитов.

3. Расчет чистого дохода от проектов производится на основе

планируемых объемов выпусков готовой продукции, а также цен на сырье и

97

готовую продукцию, определяемых путем прогноза по методике р.2. Тем

самым указанные цены являются неточными, что влечет неопределенность в

оценке доходности проектов. Чтобы оценить риски, обусловленные этой

неопределенностью, предлагается определять три вида оценок

эффективности портфеля проектов: прогнозную, пессимистическую и

оптимистическую. Все виды оценок основываются на доверительных и

интервалах для прогноза цен на сырье и готовую продукцию.

5. Стохастическая оптимизационная модель формирования портфеля

проектов предназначена для решения стратегических задач планирования

развития предприятий (фирм) с учетом реальных ограничений, вытекающих

из свойств конкретного производства и кредитных возможностей банков.

Она пригодна как для решения задач развития существующего предприятия

(фирмы), так и вновь строящегося. В последнем случае самофинансирование

исключается из оптимизационной модели.

5. В настоящем разделе описана математическая модель формирования

оптимального портфеля проектов, которая учитывает неопределенность

исходных данных при оценке его эффективности. В отличие от

детерминированной модели эта неопределенность учитывается путем учета

дисперсий ключевых величин: цен на готовую продукцию и сырьѐ,

процентные ставки кредитов и величину прибыли фирмы, получаемую за

счет деятельности, не связанной с реализацией портфеля проектов. Такой

подход позволяет получить эффект от внедрения портфеля проектов на

любой заданный интервал времени, что позволяет надежно оценить

стратегический результат от этого портфеля. При этом, разумеется, не

требуется детальная проработка схем кредитования банками, как это

предусмотрено в детерминированной модели.

Предложенная модель апробирована на решении реальной задачи о

развитии мельничного комплекса.

Полученные в разделе 3 результаты, были опубликованы в работах

автора [58-60, 62- 64]

98

РАЗДЕЛ 4

РЕШЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ

ФИНАНСОВЫМИ РЕСУРСАМИ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ

ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ПРОЕКТОВ

4.1. Краткая характеристика ЧП «Маррус»

В настоящем разделе рассматривается формирование портфеля проектов

развития ЧП «Маррус» на основе результатов, изложенных в разд. 2 и 3.

ЧП «Маррус» занимается разработкой и производством универсальных

мельничных комплексов, которые предназначены для переработки пшеницы

в муку с производительностью до 50 т зерна в сутки. Кроме того, в поле его

деятельности входят также услуги по разработке и внедрению эффективных

технологических схем помола. На предприятии также имеется производство

муки на устаревшем оборудовании, производственная мощность которого

1000 т муки в месяц.

Руководство предприятия с целью увеличения прибыли приняло

решение о развитии предприятия путем создания нового производства, где

бы эксплуатировалось его новое оборудование, а также оборудование других

производителей для производства круп и макарон. Производство

планируется разместить на существующей площади. Для создания этого

производства и обоснования его эффективности был проведен комплекс

работ по решению задач формирования оптимальных портфелей проектов

создания и развития мельничного комплекса на ближайшую и отдаленную

перспективу применительно к условиям ЧП «Маррус» на основе

предложенной методологии, который описывается ниже.

Предприятие разработало следующие три проекта своего развития.

Первый проект состоит в увеличении производительности

мельничного комплекса с 1000 т до 1500т муки в месяц за счет модернизации

99

оборудования мельницы. Причем, вся производимая мука должна идти на

оптовую продажу.

Второй проект состоит в том, что мощности по производству муки не

изменятся, а дополнительно будет открыто производство круп, для чего

предполагается установить специальную линию производительностью 270т в

месяц.

Третий проект заключается в установке оборудования по

производству макарон производительностью 300т в месяц. При этом

первоначальная мощность по производству муки не изменится: часть муки

пойдет на изготовление макарон, а оставшаяся ее часть – на продажу.

При этом первоначальная мощность по производству муки не

изменится: часть муки пойдет на изготовление макарон, а оставшаяся ее

часть – на продажу. Могут быть получены кредиты от трех банков:

Укрсиббанк, Райффайзен банк Аваль, Укрэксимбанк. Таким образом, число

инвестиционных проектов 3J , число банков, которые могут кредитовать

портфель проектов, 3L . Длительность реализации вариантов

инвестиционного проекта одинакова и равна периоду планирования 4T

годам.

4.2. Определение длительности выполнения проекта мельничного

комплекса.

Методология определения длительности выполнения проекта,

описанная в п. 2.2, была применена для определения длительности работ по

установке и наладке оборудования для всех трех проектов. В качестве

примера приведем определение длительности модернизации оборудования

по производству муки (первый проект), который включает изготовление

нового и демонтаж старого оборудования.

На рис. 4.1 приведен сетевой график выполнения работ проекта по

модернизации производства муки. В табл. 4.1 имеется перечень этих работы

100

и их временные характеристики: пессимистическая ia , оптимистическая ib

оценки длительности i -й работы и вероятная ее длительность ic . В табл. 4.2

дано распределение работ по определенным в п. 2.2 этапам сетевого графика

j , 1, ,j M , 6M .

101

0

4

3

2

1

6

8

7

9

5

10

11 12 13

14 16 15

18 17 19

А

Б

В

Г1

Д

Е

Ж

И1

И

К Л

А1

Б1

В1

Д1

Е1

Ж1

И1

М Н

О

Н1

П Р С

Т У

Г

З1

З

Рис.4.1. Схема выполнения проекта модернизации производства муки.

102

Таблица 4.1. – Работы проекта и их временные характеристики

Название

работы

Номер

работы

i

Описание работы ia ,

дни

ib ,

дни

ic ,

дни

А 1 Изготовление рассева и рамы 25 30 35

Б 2 Изготовление дополнительного

зерноочистительного оборудования

27 30 35

В 3 Изготовление комплектующих по

увеличению бункеров увлажнения

25 29 32

Г 4 Изготовление дополнительных труб

пневмотранспорта

2 3 4

Д 5 Изготовление воздушных циклонов 18 20 22

Е 6 Изготовление шлюзовых затворов 5 7 10

Ж 7 Изготовление вентилятора высокого

давления

7 10 13

З 8 Подготовка бункеров увлажнения к

увеличению их объема

1 2 3

И 9 Демонтаж старого рассева 12 14 16

К 10

Демонтаж труб пневмотранспорта,

шлюзовых затворов,

зерноочистительного оборудования,

вентиляторов высокого давления

17 20 23

Л 11 Подготовка электрооборудования 7 9 11

М 12 Подготовка помещения к монтажу

нового оборудования

1 2 3

Н 13 Установка рассева и рамы 17 20 23

О 14

Установка комплектующих для

увеличения бункеров увлажнения

3 5 7

103

Продолжение таблицы 4.1

П 15 Установка вентилятора высокого

давления

1 2 3

Р 16 Установка дополнительного

зерноочистительного оборудования

11 14 17

С 17 Установка труб пневмотранспорта,

шлюзовых затворов, циклонов ЦТ400

3 5 7

Т 18 Подключение и проверка работы

электрооборудования

1 2 3

У 19 Пуско-наладочные работы 1 2 3

А1 20 Фиктивная работа 0 0 0

Б1 21 Фиктивная работа 0 0 0

В1 22 Фиктивная работа 0 0 0

Г1 23 Работа ожидания 21 26 31

Д1 24 Работа ожидания 4 9 14

Е1 25 Работа ожидания 17 22 27

Ж1 26 Работа ожидания 14 19 24

З1 27 Работа ожидания 22 27 32

И1 28 Работа ожидания 10 15 20

Н1 29 Работа ожидания 22 26 30

Таблица 4.2. Распределение работ по этапам

Номер этапа работы, j Работы, входящие в этап

1 Г,Д,Е,Ж,З,И,К,Л, Г1, Д1, Е1, Ж1, З1, И1

2 В, В1, М

3 А, А1, Б, Б1, Н

4 Н1, О, П, Р, С

5 Т

6 У

104

Были сгенерированы 200N реализаций последовательности

случайных величин – длительностей выполнения работ. Для каждой

реализации длительностей выполнения работ находилась длительность

выполнения проекта. Таким образом, было получено 200 реализаций

критического пути.

С помощью надстройки MS Excel Анализ данных/Описательная

статистика были найдены основные характеристики данной совокупности

случайных чисел. С помощью функции ПЕРСЕНТИЛЬ в MS Excel найдено

такое значение длительности критического пути, которое с вероятностью

95% не будет превышено 82 дня.

4.3. Прогноз цен на продукцию и сырье на интервале реализации

трех проектов.

Согласно приведенным в п. 4.1 проектам необходимо определить

прогноз цен на пшеницу, муку и крупу на интервале реализации этих

проектов.

Определим прогноз цены для основного сырья, использующегося в

первом проекте развития мельничного комплекса по увеличению

производительности мельницы с 1000т до 1500т в месяц. Этим сырьем

является пшеница первого сорта.

В связи с тем, что отсчет периодов времени производится по годам,

сезонность не нужно учитывать, так как в годовых данных она невидна.

Цена на пшеницу формируется под влиянием многих внешних и

внутренних факторов, к основным из которых можно отнести урожайность, а

также различные экономические и политические факторы. Что касается

прогноза цены на пшеницу, то публикаций по этой тематике мало, среди них

можно отметить [3].

Рассмотрим прогноз цены пшеницы по годам на основе данных (см.

табл. 4.3), которая получена из [3].

105

Таблица 4.3. Цены на пшеницу с 1999 по 2014 гг.

Год Цена пшеницы, грн./ тонна Год Цена пшеницы, грн./тонна

1999 701,08 2007 565,91

2000 713,00 2008 540,44

2001 691,61 2009 616,64

2002 638,35 2010 972,45

2003 559,20 2011 925,77

2004 516,70 2012 1010,01

2005 453,66 2013 1412,00

2006 606,55 2014 1823,00

На рис. 4.2 приведен график изменения цены на пшеницу по данным

табл. 4.3.

Рис. 4.2. Изменение цен на пшеницу с 1999 по 2014 г.г.

Прогнозирование осуществляется по схеме, являющейся частным

случаем схемы, приведенной в п. 2.3.3. Она предусматривает, что прогноз

определяется по тренду в виде сплайна. Выбор сплайна для описания тренда

по данным с 1999 по 2014 г.г. объясняется большой длиной этого интервала

0,00

200,00

400,00

600,00

800,00

1000,00

1200,00

1400,00

1600,00

1800,00

2000,00

1 4 7 10 13 16

t (годы)

Цена пшеницы Тренд- сплайн

106

времени, в течение которого происходили значительные изменения в

экономике Украины. Для их описания согласно п. 2.3 подходит именно

сплайн. Определим его.

С этой целью обратимся к рис. 4.1. Его анализ показывает, что имеются

три отрезка с одинаковым характером изменения тренда. В качестве точек

переключения были выбраны точки 1 7T , 2 11T . Таким образом, интервал

наблюдения T,1 , 16T , был разбит на три отрезка 1,1 1 T , 1, 21 TT ,

TT ,2 . В результате получаем такие уравнения тренда:

первый отрезок

tty 1101 , 61 t , (4.1)

второй отрезок

tty 1202 , 107 t , (4.2)

третий отрезок

tty 1303 , 1611 t . (4.3)

На шесть коэффициентов приведенных трех прямых наложим

ограничения для обеспечения непрерывности сплайна в точках

переключения 1 7T и 2 11T : 77 12021101 ,

1111 13031202 , которые запишем согласно (2.10) в виде двух

уравнений:

077 12021101 , 01111 13031202 . (4.4)

Оценим методом наименьших квадратов с учетом ограничений (4.4)

вектор коэффициентов уравнений трех прямых (4.1) - (4.3)

107

01 11 02 12 03 13

α , т.е. решим задачу минимизации по α

сумм квадратов отклонений сплайна от значений ty , Tt ,1 :

,min)(

)()(

21303

1

1202

1

11101

2

22

12

1

T

Ttt

T

Ttt

T

tt

t

tt

y

yy

(4.5)

при выполнении ограничений (4.4).

Ее решение с помощью процессора MS Excel, «Поиск решения»

представляет собой следующие оценки коэффициентов сплайна:

774,429ˆ01 , -38,838ˆ11 , 336,801ˆ02 , 23,680ˆ12 , -1734,280ˆ03 ,

211,960ˆ13 . Данное решение является частным случаем решения в

матричном виде (2.11).

После подстановки оценок коэффициентов сплайна в выражения (4.1) –

(4.3) вместо коэффициентов ij , 0,1i ; 1,2,3j были вычислены точки

сплайна

tyt 1101 ˆˆˆ , 61 t ; tyt 1202 ˆˆˆ , 107 t , tyt 1303 ˆˆˆ ,

11 16t . (4.6)

Для определения точности сплайна были рассчитаны средний квадрат

остатков

2

1

ˆ( )

103,66

T

t t

t

y y

ST

грн. (4.7)

и коэффициент детерминации

108

866,0

1)(

1)ˆ(

12

2

2

T

tyy

T

ttyy

R

t

t

,

где 16T , 6 – число оцениваемых коэффициентов сплайна, y -

средняя хронологическая ряда ty , 16,1t .

В силу того, что этот ряд интервальный, согласно [50, раздел 15],

имеем 1

T

t

t

y

yT

.

Коэффициент вариации остатков, характеризующий точность

определения тренда цен на пшеницу, %13%100)/( yS , как и коэффициент

детерминации 866,02 R , показывают, что модель тренда имеет достаточно

хорошую точность. Об ее адекватности свидетельствует, величина F -

критерия F 17,836. Она превышает табличную величину ),( 21 qqFp =3,633,

вычисленную для уровня значимости p 0,05 и степеней свободы 1q 4 и

2q 9.. График тренда ряда динамики цены на пшеницу приведен на рис. 4.1.

Сравним описанную модель тренда цены на пшеницу с: линейной

моделью. Она имеет следующие характеристики:

tyt 10 ˆˆˆ , коэффициент детерминации 2 0,462R , с.к.о.

278,313s , коэффициент вариации остатков 34,94%, 12,04F ,

601,4)14,1(05,0 F , где 435,351ˆ0 , 378,52ˆ1 .

Так как 05,0FF , то линейная модель адекватная. Сравним ее

точность, определяемую с.к.о. остатков 278,313 , коэффициентом их

вариации 34,94%, и множественным коэффициентом корреляции 0,462 с

соответствующими характеристиками сплайновой модели тренда: 103,581;

109

13%; 0,866. Сравнение указанных характеристик говорит о том, что линейная

модель тренда значительно уступает сплайновой.

Таким образом, сплайновая модель тренда цены на пшеницу точнее

линейной модели.

Рассчитаем прогноз цен на пшеницу на 2015 - 2020 г.г., т.е. для

17,22t . С этой целью определим прогноз тренда цены на пшеницу,

экстраполируя третий отрезок прямой сплайн-функции, см. (4.3), по формуле

tty 1303* ˆˆ , 17,22t . (4.8)

Данный прогноз является точечным. Интервальный прогноз вычислим

при условии, что выполняются допущения 1 – 3 и случайные компоненты

ряда динамики имеют одинаковые нормальные распределения с

математическим ожиданием ноль и дисперсией 2 . При выполнении этого

условия интервальный прогноз (доверительный интервал для прогноза цены

пшеницы в t -м году) согласно [38]:

* *( ) ( )t p t t py t q S y y t q S , (4.9)

где

( )pt q - 100 p %-я точка распределения Стьюдента,

2S - оценка 2 ( S вычисляется по формуле (4.7)),

ty - истинное значение прогнозируемой величины.

Результаты расчетов приведены в табл. 4.4. В ней границы

доверительного интервала определены для 0,05p , 11q .

Таблица 4.4 Прогноз по сплайну цены пшеницы, грн/т

Год Текущий номер

года t

Прогноз сплайна *ty

Границы доверительного

интервала прогноза

Левая Правая

2016 17 1869,038 1641,058 2097,019

110

Продолжение табл. 4.4

2017 18 2080,998 1853,018 2308,979

2018 19 2292,958 2064,978 2520,939

2019 20 2504,918 2276,938 2732,898

2020 21 2716,878 2488,898 2944,858

2021 22 2928,838 2700,857 3156,818

4.4. Определение оптимального портфеля проектов развития

мельничного комплекса на ближайшую перспективу.

В связи с тем, что решается задача на ближайшую перспективу, будем

считать все коэффициенты модели постоянными, а, чтобы учесть их

вариацию, рассмотрим три варианта портфеля: прогнозный,

оптимистический и пессимистический. Основной вариант – прогнозный, так

как он получается на основе прогноза цен на сырье и готовую продукцию.

Остальные два варианта получаются соответственно для максимально

выгодных и невыгодных условий в течение интервала планирования. В

рассматриваемом случае, кроме отбора проектов в портфель, необходимо

определить схемы кредитования и обслуживания кредитов. Решим данную

задачу, используя математическую модели определения оптимального

портфеля проектов, описанную в п. 3.1.

Исходные данные приведены в п.4.1.

Формализуем данные банков об условиях кредитования согласно п.

3.1.2.2, см. (3.3), в виде матриц схем кредитования портфеля проектов

(каждая матрица соответствует одному банку). Все они четвертого порядка,

так как 4T , и имеют следующий вид.

Для Укрсиббанка (первого банка) имеется предложение о трех

возможных вариантах кредитования. Таким образом,

111

0

0

0

0

5,000

5,05,00

05,00

001

1M . (4.10)

Согласно структуре матрицы 1M возможные схемы кредитования этим

банком такие: 1) кредит, который берется в начале первого года, должен

быть выплачен в конце этого же года; 2) кредит, который берется в начале

второго года, возвращается в конце второго года (половина суммы) и в конце

третьего года (половина суммы); 3) кредит, который берется в начале

третьего года, возвращается в конце этого года; 4) в четвертом году кредит не

берется.

Для Райффайзен банк Аваля (второго банка) имеется предложение о

двух возможных вариантах кредитования. Поэтому

0

0

0

0

0

0

0

0

00

5,00

5,05,0

05,0

2M . (4.11)

В соответствии со структурой матрицы 2M возможные схемы

кредитования вторым банком следующие: 1) в начале первого года берется

кредит, половина которого возвращается в конце этого и второго годов; 2) во

втором году берется кредит, половина которого возвращается в конце того

же года, а другая половина – в конце следующего; 3) в третьем и четвертом

годах кредиты не берутся.

Для Укрэксимбанка (третьего банка) имеется предложение о трех

возможных вариантах кредитования. Следовательно

112

0

0

0

0

0

1

0

0

00

00

10

01

3M . (4.12)

Таким образом, схемы кредитования третьим банком состоят в том, что

в начале первого, второго и третьего годов берутся кредиты, которые

возвращаются в конце этих же периодов времени.

Из анализа матриц 1M , 2M , 3M следует, что предусмотрены

разнообразные схемы кредитования портфеля проектов с выплатой долга в

конце года, в котором взят кредит или разделение долга на две равные части,

выплачиваемые в году взятия кредита и последующем году.

Используя формулы (4.10) - (4.12), согласно формуле (3.5), получаем

векторы выплат кредитов 0

iS , 3,2,1i , соответствующие векторам

кредитов

4

3

2

1

i

i

i

i

i

k

k

k

k

K , 3,2,1i :

для первого банка

)3(5,0

)3(5,0)2(5,0

)2(5,0

)1(

4

3

2

1

1

11

1

1

01

01

01

01

1101

k

kk

k

k

s

s

s

s

KMS ,

для второго банка

0

)2(5,0

)2(5,0)1(5,0

)1(5,0

4

3

2

1

2

22

2

02

02

02

02

2202

k

kk

k

s

s

s

s

KMS ,

для третьего банка

113

0

)3(

)2(

)1(

4

3

2

1

3

3

3

03

03

03

03

3303

k

k

k

s

s

s

s

KMS .

4.4.1. Математическая модель. Для рассматриваемой задачи выбора

оптимального портфеля развития ЧП «Маррус» математическая модель

согласно (3.3)-(3.21) будет иметь следующий вид.

Первый критерий - суммарный дисконтированный доход за четыре

года должен быть максимальным:

1 2

1

( ) ( ( 1) ( 2)) ( ) maxT

t

E t Q t DP t DP t w t

,

где

0 1 ;

%8a (считается, что инфляция в течение жизненного цикла проекта

постоянная).

Второй критерий - общая сумма кредитов, полученных в интервале

планирования, должна быть минимально1й:

min)()(11

ii

L

i

T

t

ytktk , (4.13)

где

iy - булева переменная, определенная в (3.2).

Третий критерий - часть прибыли предприятия , идущая на

реализацию портфеля проектов, должна быть минимальной

min . (4.14)

114

Свободные денежные средства, полученные в t -м периоде времени,

которые можно использовать в последующие периоды времени, должны

согласно выражений (3.12), (3.13) удовлетворять ограничениям:

1 2

1

( ) ( ), 1,2,max 0,

( ), 3,

DP t DP t tE t Q t

DP t t

причем,

1( ) 0DP t , 1,2,3t ; 2 ( ) 0DP t , 1,2t ,

где

1( )DP t - денежные средства, которые будут использованы в 1t -м

периоде времени;

2 ( )DP t , - денежные средства, которые будут положены на депозит в

1t -м периоде времени,

Чистый доход должен быть неотрицательным:

1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 1 ( 2) 0E t D t k t Q t s t K t I t DP t R DP t ,

4,3,2,1t ; 1(0) 0DP , 2 2( 1) (0) 0DP DP ,

где

0,15R (15% - годовая процентная ставка по депозиту).

Остальные величины в приведенной формуле имеют следующий

смысл.

Доход от портфеля проектов в t -м году

jj

j xtdtD

3

1

)()( ,

115

где

jx - булевы переменные, определенные в (3.1);

величины )(td j , 3,2,1j ; 4,3,2,1t приведены в табл. 4.2.

Прогноз прибыли предприятия )(tQ в t -м году (без учета прибыли от

инноваций, определяемых портфелем проектов), определен по прогнозным

ценам пшеницы и муки, исходя из существующего объема производства

муки 1000 т, который предполагается неизменным в течение жизненного

цикла портфеля проектов, см. табл. 4.5.

Таблица 4.5. – Прибыль предприятия, которая может идти на

финансирование портфеля проектов (определена экспертным путем), млн.

грн.

t 1 2 3 4

)(tQ 1,50 1,651 1,292 0,858

Выплачиваемые долги по кредитам в t -м году

iii

ytsts )()(3

1

.

Выплачиваемые проценты по кредитам в t -м году

iii

t

ii

ysktltK ))()(()()(1

1

3

1

,

где

)(tli - проценты по кредитам, выплачиваемые в t -м году i -му банку,

см. табл. 4.6.

Проценты должны начисляться на неотрицательные величины (с

учетом произведенных выплат):

116

во втором году проценты платятся, исходя из суммы кредита в первом

году, и учитываются ограничением на неотрицательность величины кредита,

которое приведено ниже;

в третьем году

(1) (2) (1) 0i i ik k s , 1,2,3i ;

в четвертом году

(1) (2) (3) (1) (2) 0i i i i ik k k s s , 1,2,3i .

Таблица 4.6. Годовые процентные ставки банков

Год,

t

Название банка

Укрсиббанк, )(1 tl Райффайзен банк

Аваль, )(2 tl Укрэксимбанк, )(3 tl

1 15% 19,30% 18,50%

2 15% 19,30% 18,50%

3 15% 19,30% 18,50%

4 15% 19,30% 18,50%

Затраты на реализацию портфеля проектов в t -м году

jjj

xtutI )()(3

1

(величины )(tu j , 3,2,1j ; 4,3,2,1t приведены в табл. 4.1).

В приведенных выражениях для )(tD , )(tk , )(ts , )(tI , 4,3,2,1t

переменные ij yx , , 3,2,1, ji задаются выражениями (3.1), (3.2).

Ограничение на выплату долга i -у банку

117

)1()1( 0ii ss , 3,2,1i ,

))1()1(()2(,0max[)2( 00iiii ssss , 3,2,1i ,

))()(()3(,0max[)3( 02

1

0

iiii ssss

, 3,2,1i ,

))()(()4(,0max[)4( 03

1

0

iiii ssss

, 3,2,1i ,

где

)(0 tsi , 4,3,2,1t - минимальные объемы выплаты кредита i -го банка в

t - м году (приведены в п.4.1.1)

Суммарная выплата долгов должна равняться сумме выплаченных

кредитов:

4 4

1 1

( ) ( ) 0, 1,2,3i i i

t t

s t k t y i

.

кредиты и выплаты по ним должны быть неотрицательны

,0)( tk i 0)( tsi , 3,2,1i ; 4,3,2,1t .

Фирма к началу первого года реализации проекта не имеет средств на

покупку оборудования по всем проектам. Поэтому требуется ввести

ограничение, смысл которого: затраты на покупку оборудования в первом

году должны быть не меньше суммы всех взятых кредитов и

самофинансирования в этом году:

3 3

1 1

1 1j j i i

j i

g x k y Q

,

где

118

jg - стоимость оборудования, предусмотренная j -м проектом, см.

табл. 4.7.

Таблица 4.7. Стоимость покупки оборудования в начале первого года

жизненного цикла портфеля проектов, млн. грн.

Проект 1 Проект 2 Проект 3

1g 2g 3g

0,413 0,345 1,008

Искомыми переменными являются:

непрерывные

, ),(tk i )(tsi ,; 3,2,1, ji , 4,3,2,1t .

дискретные

jx , iy , ,

где jx , iy - булевы переменные, определенные в (3.1), (3.2).

4.4.2. Алгоритм расчета. Решение описанной задачи было получено с

помощью надстройки Поиск решения MS Excel. Программа решения

представлена на рис. 4.3.

119

Рис. 4.3. Программа решения детерминированной задачи

4.4.3. Результаты расчетов по модели и их анализ.

Чтобы учесть неопределенность в исходных данных, расчеты

производились для трех вариантов проектов, соответствующих трем

вариантам цен на основное сырье и готовую продукцию (прогнозного –

наиболее вероятного, пессимистического и оптимистического), см. п.2.3.2.

Согласно п.2.3.2 прогнозный вариант проекта определяется ценами на сырье

и продукцию, представляющими собой их точечные прогнозы по годам

горизонта планирования реализации портфеля проектов. При формировании

пессимистических вариантов проектов использовалась высокая цена на

сырье, соответствующая верхней границе доверительного интервала для нее

и низкая на готовую продукцию (она соответствует нижней границе

доверительного интервала). Для создания оптимистических вариантов

120

проектов использовалась противоположная ситуация: низкая цена на сырье,

соответствующая нижней границе доверительного интервала для нее и

высокая на готовую продукцию (она соответствует верхней границе

доверительного интервала). Ниже приводятся результаты расчетов для

указанных трех вариантов характеристик проектов, претендующих на

включение в портфель проектов развития фирмы.

Этим вариантам соответствуют оптимистический, пессимистический и

прогнозный портфели проектов.

4.4.3.1. Расчет оптимистического портфеля проектов. Исходными

данными для него являются оптимистические варианты проектов, см. табл.

4.8, 4.9.

Таблица 4.8. Затраты (по годам) на реализацию проектов развития

предприятия (млн. грн.)

Год t Проект 1, )(1 tu Проект 2, )(2 tu Проект 3, )(3 tu

2016 1 9,94 5,89 10,21

2017 2 18,2 7,09 14,02

2018 3 19,9 7,79 15,2

2019 4 21,6 8,48 16,4

Итого 69,64 29,25 55,83

Таблица 4.9. Доход (по годам) от реализации проектов развития

предприятия (млн. грн.)

Год t Проект 1,

)(1 td

Проект 2,

)(2 td

Проект 3, )(3 td

2016 1 12,16 7,2 11,3

2017 2 22,5 8,6 16,69

2018 3 23,9 9,36 17,92

2019 4 25,2 10,12 19,15

Итого 83,76 35,28 65,06

Определим влияние самофинансирования на формирование портфеля

проектов, если исходные данные при расчете проектов были

121

оптимистические при отсутствии кредитования. Приведем полученные

результаты в табл. 4.10.

Таблица 4.10. Влияние самофинансирования на выбор оптимального

портфеля проектов для оптимистического варианта.

Ре-

шен

ие

Суммарны

й

дисконтиров

анный доход

за четыре

года Первый

критерий

Общая

сумма

кредитов,

млн. грн.

Второй

критерий

Доля

прибыли

фирмы,

идущая на

реализаци

ю

портфеля

проектов

.

Третий

критерий

Количес

тво

проектов в

оптимальн

ом

портфеле

проектов

Состав

оптимального

портфеля

проектов

1 44,17 0 1 2 1,2

2 30,667 0 0,9 1 1

3 30,667 0 0,8 1 1

4 30,667 0 0,7 1 1

5 30,667 0 0,6 1 1

6 13,504 0 0,5 1 2

7 0 0 0,4 0 Портфель не

может быть

сформирован

8 0 0 0,3 0 Портфель не

может быть

сформирован

9 0 0 0,2 0 Портфель не

может быть

сформирован

10 0 0 0,1 0 Портфель не

может быть

сформирован

11 0 0 0 0 Портфель не

может быть

сформирован

Согласно табл. 4.10 в случае использования оптимистических

исходных данных и полностью собственной прибыли предприятия (кредиты

122

не берутся), может быть получен дисконтированный доход в размере 44,17

млн. грн. от реализации двух проектов (первого и второго). Если же

использовать от 0,6 до 0,9 доли собственной прибыли, то доход будет ниже и

составит 30,667 млн. грн. от одного первого проекта. Минимальный доход

(13,504 млн. грн.) может быть получен в том случае, если будет реализован

только второй проект при доле использования собственных средств 0,5. При

использовании долей собственный средств от 0 до 0,4 портфель не может

быть сформирован из-за недостаточного финансирования портфеля.

В табл. 4.10 решения с номерами 1, 5 являются оптимальными по

Парето, так как они неулучшаемые. Решение 5 может быть выбрано в

качестве предпочтительного, так как оно позволяет уменьшить по сравнению

с решением 1 в 1,67 раза, при меньшем уменьшении чистого дохода в 1,44

раза.

Рассмотрим случай для оптимистических исходных данных, когда

кроме собственных средств предприятия возможно взятие кредитов. В табл.

4.11 приведено изменение состава портфель проектов и величин кредитов в

зависимости от доли прибыли фирмы, идущей на реализацию портфеля, если

исходные данные имели оптимистическую оценку.

Таблица 4.11. Выбор оптимального портфеля проектов с учетом

самофинансирования и кредитных средств для оптимистического варианта

Ре-

шен

ие

Суммарный

дисконтирова

нный доход за

четыре года,

млн. грн.

Первый

критерий

Сумма

кредитов

за 4 года,

млн. грн.

Второй

критерий

Доля

прибыли

фирмы,

идущая на

реализаци

ю

портфеля

проектов

.

Третий

критерий

Банк, в

котором

берется

кредит

Количеств

о проектов

в

оптимально

м портфеле

проектов

Состав

оптимально

го

портфеля

проектов

1 28,961 1,697 1 2 2 1,3

2 28,961 1,697 0,9 2 2 1,3

123

Продолжение табл. 4.11

3 28,961 1,697 0,7 2 2 1,3

4 25,1 1,697 0,4 2 2 1,2

5 25,1 1,697 0,2 2 2 1,2

6 25,1 1,697 0 2 2 1,2

7 28,896 1,234 1 2 2 1,3

8 28,896 1,234 0,7 2 2 1,3

9 25,035 1,234 0,4 2 2 1,3

10 28,931 1,486 1 2 2 1,3

11 28,931 1,486 0,9 2 2 1,3

12 28,931 1,486 0,8 2 2 1,3

13 28,931 1,486 0,7 2 2 1,3

14 25,081 1,564 0,6 2 2 1,2

15 25,081 1,564 0,5 2 2 1,2

16 25,081 1,564 0,4 2 2 1,2

17 25,081 1,564 0,3 2 2 1,2

18 25,081 1,564 0,2 2 2 1,2

В табл. 4.11 решения с номерами 3, 6, 8 – 10, 12, 13, 16, 18 являются

оптимальными по Парето. Максимальный суммарный доход (28,961 млн.

грн.) достигается при реализации портфеля проектов, состоящего из первого

и третьего проекта. Для этого необходимо вложить от 0,7 части собственных

средств, а также взять кредит во втором банке (Райффайзен банк Аваль) на

сумму 1,697 млн. грн. При небольшом снижении дохода до 25,081 млн. грн.

можно значительно уменьшить часть собственных средств до 0,2 при

снижении суммы кредитов до 1,564 млн. грн.

4.4.3.2. Расчет пессимистического портфеля проектов. Здесь

исходными данными являются пессимистические варианты проектов (табл.

4.12, 4.13)

124

Таблица 4.12 Затраты (по годам) на реализацию проектов развития

предприятия (млн. грн.)

Год t Проект 1, )(1 tu Проект 2, )(2 tu Проект 3, )(3 tu

2016 1 12,1 6,29 10,21

2017 2 22 7,09 14,02

2018 3 23,6 7,8 15,2

2019 4 25,4 8,48 16,4

Итого 83,1 29,66 55,83

Если исходные данные при расчете проектов были пессимистические,

то портфель проектов не сможет быть сформирован только за счет

самофинансирования, так как этих средств будет недостаточно для

реализации портфеля проекта.

Таблица 4.13 Доход (по годам) от реализации проектов развития

предприятия (млн. грн.)

Год t Проект 1, )(1 td Проект 2, )(2 td Проект 3, )(3 td

2016 1 10,6 5,4 9,5

2017 2 19,8 6,65 14,2

2018 3 21,2 7,42 15,5

2019 4 22,5 8,17 16,7

Итого 74,1 27,64 55,9

Если же помимо собственных средств использовать кредиты банков, то

при пессимистических данных реализовать портфель проектов не

представляется целесообразным, так как доходы будут низкими, и они не

смогут покрыть собственные вложенные средства. Взятие кредитов не

сможет повлиять на положительный доход, так как предприятие не будет

иметь возможность возвратить долги за необходимый период времени.

4.4.3.3. Расчет прогнозного портфеля проектов. В таблицах 4.14 и

4.15 приведены характеристики трех проектов, основанные на прогнозных

данных вариантов проектов. Сначала были проведены расчеты для

определения влияния самофинансирования на выбор оптимального портфеля

проектов. При этом предполагалось, что кредиты у банков не берутся. Для

125

реализации этого условия было введено ограничение 1 2 3 0y y y . С его

учетом была решена двухкритериальная задача, описанная в п. 4.1.2

(учитывались первый и третий критерии). Некоторые оптимальные по

Парето решения этой задачи приведены в табл. 4.16.

Таблица 4.14 Затраты (по годам) на реализацию проектов развития

предприятия (млн. грн.)

Год t Проект 1, )(1 tu Проект 2, )(2 tu Проект 3, )(3 tu

2016 1 11,02 6,3 10,21

2017 2 20,04 7,1 14,02

2018 3 21,79 7,8 15,2

2019 4 23,53 8,46 16,4

Итого 76,38 29,66 55,83

Таблица 4.15 Доход (по годам) от реализации проектов развития

предприятия (млн. грн.)

Год t Проект 1,

)(1 td

Проект 2,

)(2 td

Проект 3, )(3 td

2016 1 11,4 6,28 10,4

2017 2 21,15 7,63 15,46

2018 3 22,5 8,39 16,69

2019 4 23,9 9,15 17.9

Итого 78,95 31,45 60,45

Таблица 4.16 Влияние самофинансирования на выбор оптимального

портфеля проектов.

Ре-

ше-

ние

Суммарный

дисконтированн

ый доход за 4

года, млн. грн.

Первый

критерий

Доля прибыли

фирмы, идущая

на реализацию

портфеля

проектов .

Третий критерий

Количество

проектов в

оптимальн

ом

портфеле

проектов

Состав

оптимального

портфеля

проектов

1 9,086 1 2 1,2

2 6,145 0,9 1 1

3 6,145 0,8 1 1

126

Продолжение табл. 4.16

4 6,145 0,7 1 1

5 6,145 0,6 1 1

6 2,94 0,5 1 2

7 0 0,4 0 Портфель не

может быть

сформирован

8 0 0,3 0 Портфель не

может быть

сформирован

9 0 0,2 0 Портфель не

может быть

сформирован

10 0 0,1 0 Портфель не

может быть

сформирован

11 0 0 0 Портфель не

может быть

сформирован

Из табл. 4.16 следует, что с помощью самофинансирования можно

получить не более 9,086 млн. грн. дисконтированного дохода. При этом

портфель проектов будет состоять из двух проектов (первый по увеличению

производительности мельничного комплекса и второй по производству

круп), собственные средства будут браться в полном объеме. При

использовании от 0,6 до 0,9 доли прибыли от собственной деятельности

суммарный дисконтированный доход составит 6,145 млн. грн. от реализации

портфеля проектов, состоящего всего из одного (первого) проекта. Доход в

2,94 млн. грн. возможно получить от портфеля проектов, состоящего из

второго проекта, используя половину собственной прибыли предприятия.

Портфель не может быть сформирован, если предприятие выделит на

реализацию портфеля 0,4 и менее собственной прибыли.

Далее были проведены расчеты по выбору оптимального портфеля

проектов, когда из-за недостаточности собственных средств предприятия

127

возможно привлечение кредитов. В этом случае необходимо ввести

ограничение на булевы переменные iy , 1,2,3i

0321 yyy .

Согласно этому ограничению возможно кредитование всеми банками.

Полученная задача является трехкритериальной. Некоторые ее оптимальные

по Парето решения задачи приведены в табл. 4.17.

Таблица 4.17 Выбор оптимального портфеля проектов с учетом

самофинансирования и кредитных средств.

Ре-

ше-

ние

Суммарный

дисконтиров

анный доход

за 4 года,

млн. грн.

Сумма

кредитов

за 4 года,

млн. грн.

Доля

прибыли

фирмы,

идущая на

реализацию

портфеля

проектов

Банк, в

котором

берется

кредит

Количеств

о проектов

в

оптимальн

ом

портфеле

проектов

Состав

оптималь

ного

портфеля

проектов

1 14,954 3,485 1 2 2 1,3

2 14,954 3,485 0,9 2 2 1,3

3 14,954 3,485 0,8 2 2 1,3

4 14,954 3,485 0,7 2 2 1,3

5 11,751 3,485 0,6 2 2 2,3

6 9,394 3,485 0,5 2 2 1,2

7 9,394 3,485 0,4 2 2 1,2

8 9,394 3,485 0,3 2 2 1,2

9 9,394 3,485 0,2 2 2 1,2

10 9,394 3,485 0,1 2 2 1,2

11 9,505 4,270 0 2 2 1,2

Наибольший суммарный дисконтированный доход (14,954 млн. грн.),

судя по табл. 4.17., можно получить используя от 0,7 до 1 доли собственных

средств и привлекая кредит второго банка в размере 3, 485 мл. грн. Причем,

кредит берется в первом году на сумму 0,9 млн. грн, а во втором – 2,585 млн.

128

грн. В этом случае портфель проектов будет состоять из двух проектов:

первого и третьего. При использовании 0,6 доли собственных средств и при

той же величине кредита предприятие получит доход равный 11, 751 млн.

грн. от реализации портфеля проекта, состоящего из второго и третьего

проектов. Привлекая 0,5 и менее долей собственных средств и кредита на

сумму 3,485 млн. грн. второго банка, в портфель проектов войдут первый и

второй проект, а доход от их реализации составит 9,394 млн. грн. Возможно

также исключение собственных средств предприятия из финансирования

портфеля. В таком случае необходимо взять кредит второго банка на 4,2 млн.

грн. суммарный дисконтированный доход при этом составит 9,505 млн. грн.

Приведем решения оптимальные по Парето задачи выбора

оптимального портфеля проектов и величин кредитов для его реализации для

трех случаев: 1) с использованием всей прибыли предприятия и без

привлечения кредитов, 2) с использованием всей прибыли предприятия и

кредитных средств, 3) без использования собственной прибыли, но с

привлечением кредитов (табл. 4.18 – 4.25).

Таблица 4.18. Значения булевых переменных

1 вариант 2 вариант 3 вариант

1x 2x 3x 1x 2x 3x 1x 2x 3x

1 1 0 1 0 1 1 1 0

1y 2y 3y 1y 2y 3y 1y 2y 3y

0 0 0 0 1 0 0 1 0

Таблица 4.19. Дисконтированный доход от реализации портфеля

проектов по годам, млн. грн.

Дисконтированный доход 1 вариант 2 вариант 3 вариант )1(E 0,36 1,02 0,81 )2(E 1,87 3,99 3,31 )3(E 2,99 4,31 2,39

)4(E 3,86 5,63 2,99

129

Рис. 4.4 Изменение по годам дисконтированных доходов от реализации

портфеля проектов в зависимости

Таблица 4.20. Доход от портфеля проектов по годам, млн. грн.

Таблица 4.21. Сумма кредитов по годам, необходимых для реализации

портфеля проектов, млн. грн.

Доход от портфеля проектов 1 вариант 2 вариант 3 вариант

)1(D 17,68 21,8 17,68

)2(D 28,78 36,61 28,78

)3(D 30,89 39,19 30,89

)4(D 33,05 41,8 33,05

Кредиты 1 вариант 2 вариант 3 вариант

)1(k 0 0,9 0,9

)2(k 0 2,58 3,37

)3(k 0 0 0

)4(k 0 0 0

0,36

1,87

3,86

2,99

4,31

5,63

3,99

1,02

2,99 2,39

0,81

3,31

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 Год

млн. грн.

1 вариант 2 вариант 3 вариант

130

Таблица 4.22. Выплачиваемые долги по кредитам, млн. грн.

Таблица 4.23. Выплачиваемые проценты по кредитам, млн. грн.

Таблица 4.24 Затраты на реализацию портфеля проектов по годам, млн.

грн.

Выплата

кредитов

1 вариант 2 вариант 3 вариант

)1(s 0 0,45 0,45

)2(s 0 1,74 2,14

)3(s 0 1,29 1,69

)4(s 0 0 0

Выплата процентов по

кредитам

1 вариант 2 вариант 3 вариант

)1(ПК 0 0 0

)2(ПК 0 0,17 0,17

)3(ПК 0 0,58 0,74

)4(ПК 0 0,25 0,33

Затраты на реализацию портфеля проектов 1 вариант 2 вариант 3 вариант

)1(I 17,32 21,23 17,32

)2(I 27,14 34,06 27,14

)3(I 29,59 36,99 29,59

)4(I 31,99 39,93 31,99

131

Таблица 4.25. Суммарный дисконтированный доход за четыре года,

млн. грн.

Суммарный

доход

1 вариант 2 вариант 3 вариант

4

11

1tt

r

tQtE

9,086 14,95 9,505

Проанализировав результаты всех расчетов, можно прийти к выводу,

что при прогнозных исходных данных приемлемым является портфель,

состоящий из первого и третьего проектов. Для его финансирования

необходимы все свободные собственные средства предприятия и кредит

второго банка на сумму 3,485 млн. грн. Суммарный дисконтированный доход

за четыре года составит при этом 14,954 млн. грн.

Оценим эффективность выбранного портфеля проектов по

показателям, описанным в п. 1.1. Определим дисконтированный срок

окупаемости (DPB) по формуле

T

tt

T

tt

r

tCF

r

tINV

DPB

0

0

)1(

)1(. В ней в нашем случае

tQtEtCF , tПКtktINV . Здесь tE определяется по

формуле (3.12), ( )k t - по (3.8), ( )K t - по (3.9). Имеем

6,0

1

1

11

11

T

tt

T

tt

r

tCF

r

tINV

DPB года.

Следовательно, портфель проектов окупится за 0,6 года.

132

Определим внутреннюю норму прибыльности IRR. Из

0

11

INVIRR

tCFNPV

T

tt

при 0NPV . Имеем уравнение для

определения IRR.

INV

IRR

tCFT

tt

1 1

; 4T (4.15)

где

T

tt

r

tINVINV

11

1

Обозначим IRR

x

1

1.

Из 4.15 получаем уравнение четвертой степени относительно x

2 3 4

1 2 3 4 0CF x CF x CF x CF x INV ,

2 3 41,02 4,7 4,9 7,02 9,19 0x x x x .

Действительными корнями этого уравнения являются:

1 0,254x ; 2 1,884x .

Так как показатель внутренней нормы прибыльности не может быть

отрицательным, то 0,254IRR

Согласно [95], если значение IRR выше или равно стоимости капитала,

то проект (в нашем случае портфель) принимается; если же IRR меньше

стоимости капитала, то портфель отклоняется.

Определим взвешенную среднюю стоимость капитала (WACC) [99]

Для нашего портфеля формула WACC будет иметь вид:

133

EEDD CWCWWACC (4.16)

где

DW , EW - доли земных средств и собственного капитала

соответственно,

DC , EC - стоимости соответствующих частей капитала.

Обозначим W как сумму заемного и собственного капитала. Вычислим

доли ее по формуле:

4

1

4

1t t

tQtkW . (4.17)

Из 4.17 найдем доли заемного и собственного капиталов. Имеем:

W

tk

W tD

4

1

)(

;

W

tQ

W tE

4

1

48,087,8

27,4DW ; соответственно 52,0

87,8

6,4EW .

Определим стоимости всех частей капитала. Стоимость заемного

капитала равна процентной ставке за пользование выбранным кредитом. То

есть 193,0DC . Стоимость собственного капитала рассчитаем по формуле:

QCE ;

где

- сумма собственных средств предприятия на конец года.

22,044,7

65,1EC

134

Подставим все полученные значен6ия в формулу для WACC и получим:

2,022,052,0193,048,0 WACC

Сравним показатели WACC и IRR, 2,0WACC , а 0,254IRR . Значит

WACCIRR . Следовательно, портфель проектов может быть реализован.

4.4.4. Иллюстрация сходимости вычислительного процесса.

Приведенные в п. 4.4.3 расчеты выполнялись согласно схеме вычислений,

описанной в п. 3.2.4. Трехкритериальная задача сводится к

однокритериальной, где критерием оптимизации является первый критерий,

а второй и третий критерии находятся в ограничениях (их величины

ограничены сверху). В виду сложности полученной однокритериальной

задачи она согласно п. 3.2.4. решается в такой последовательности: сначала

находится решение упрощенной задачи, представляющей собой задачу

выпуклого программирования. Ее решение состоит в поочередном

варьировании непрерывными и булевыми переменными (на каждой итерации

выполняется оптимизация только по одному виду переменных). Полученное

решение упрощенной задачи является начальной точкой при решении

исходной однокритериальной задачи.

В табл. 4.26 приведены итерации решения упрощенной задачи для

случая, когда третий критерий - доля прибыли фирмы, идущая на

реализацию портфеля проектов =0,9. Приводится также решение исходной

задачи. В связи с тем, что в решениях обоих задач булевы переменные,

определяющие множество банков, кредитующих портфель проектов

одинаковые: 1y = 3y =0, 2y =1, в табл. 4.26 приводятся суммы кредитов и

выплат долгов для второго банка.

Согласно табл. 4.26 решение упрощенной задачи получается за две

итерации: решение на третьей итерации совпадает с решением на второй

итерации. Это свидетельствует о полученном решении упрощенной задачи.

135

Таблица 4.26. Решение упрощенной задачи, при =0,9

Задача Итерация Вре

мя

Булевы

переменные,

определяющи

е состав

портфеля

проектов

Булевы

переменные,

определяющи

е множество

банков,

кредитующих

портфель

проектов

Сумма

кредитов

2 ( )k t .

млн.

грн.

Сумма

выплаты

долга 2 ( )s t ,

млн. грн.

Функция

цели,

млн. грн.

1x 2x 3x 1y 2y 3y

Упрощенн

ая 1 (максимизация

по непрерывным

переменным)

1

1 1 0 0 1 0

0,9 0,45

13,777 2 5,182 3,041

3 0 2,591

4 0 0

Упрощенн

ая

2

(максимизация

по дискретным

переменным)

1

1 0 1 0 1 0

0,9 0,45

18,931 2 5,182 3,041

3 0 2,591

4 0 0

136

Продолжение табл. 4.26

Задача Итерация Вре

мя

Булевы

переменные,

определяющи

е состав

портфеля

проектов

Булевы

переменные,

определяющи

е множество

банков,

кредитующих

портфель

проектов

Сумма

кредитов

2 ( )k t .

млн.

грн.

Сумма

выплаты

долга 2 ( )s t ,

млн. грн.

Функция

цели,

млн. грн.

1x 2x 3x 1y 2y 3y

Упрощенн

ая

3 (максимизация

по непрерывным

переменным)

1 1 0 1 0 1 0 0,9 0,45 18,931

2 5,182 3,041

3 0 2,591

4 0 0

Исходная Максимизация

по непрерывным

и дискретным

переменным

1 1 0 1 0 1 0 0,701 0,450 5,133

2 6,101 6,353

3 0 0

4 0 0

137

Оно является начальной точкой итерационного процесса решения

исходной задачи, которое также приведено в табл. 4.22. Значение функции

цели исходной задачи в этой точке равно 5,005 млн. грн., что значительно

меньше, чем для упрощенной задачи. Такое явление объясняется тем, что в

исходной задаче, в отличие от упрощенной задачи, нельзя неиспользованные

свободные средства самофинансирования в одном периоде времени

использовать в следующем периоде. В результате решения исходной задачи

получено большее значение функции цели. Однако основное приближение к

максимуму получено при решении упрощенной задачи, когда за одну

итерацию достигнуто увеличение функции цели в 1,374 раза.

4.5. Определение оптимального портфеля проектов развития

мельничного комплекса на отдаленную перспективу.

Данную задачу решим применительно к задаче развития производства

мельничного комплекса, рассмотренной в п. 4.1.

Найдем решение указанной задачи, исходя из приведенных в п. 3.2

упрощений, которым соответствует детерминированный эквивалент (3.87)

задачи стохастического программирования (3.49) – (3.53).

Согласно п. 4.1.имеем длительность реализации проекта 4T , число

рассматриваемых проектов 3J . Рассматриваемые три проекта

предусматривают производство 3n видов готовой продукции: муки ( 1k ),

крупы ( 2k ), макарон ( 3k ), для производства которых необходим 1m

вид сырья – пшеница ( 4k ).

Определим величины, которые являются коэффициентами в задаче

(3.87).

4.5.1. Определение векторов )(tW , Tt ,,1 . Ниже приводится

определение компонент этих векторов )(ti

W , 3,2,1i , Tt ,,1 .

138

4.5.1.1 Определение )(1

tW , Tt ,,1 . Случайный вектор )(1

tW

определяется формулой (3.65), в которой )(tA - детерминированная матрица,

( )tC - случайный вектор, представляющий собой прогнозы цен на сырье и

готовую продукцию в период времени t .

Согласно (3.67), )(1

tW является произведением )(tA и )(1

tC -

математическое ожидание ( )tC . В связи с тем, что согласно п. 2 прогнозы

цен несмещенные, в качестве оценок математических ожиданий прогнозов

цен будем использовать их прогнозы. Они рассчитаны в п. 2.

Сформируем матрицы ( )tA , 4,,1t , в соответствии с формулой

(3.66) и выражениями (3.42), где определены )(tj

a и )(tj

A , Jj ,,1 ,

Tt ,,1 . В соответствии с данными п. 4.1.1 имеем

)(00)()1()(411

tVtVt a , 4,,1t ;

)(0)()1(0)(422

tVtVt a , 4,,1t ;

3 1 3( ) ( ) 0 (1 ) ( ) 0t V t V t a , 4,,1t ;

где

)(1

tV , )(2

tV , )(3

tV - объемы производства в t -м году соответственно

муки, крупы и макарон;

)(4

tV - объем пшеницы в t -м году необходимый для производства

готовой продукции в этом же году;

0,2.

В соответствии с описанием вариантов проектов, приведенном в раз. 3,

имеем:

1(1) 2,76 0 0 4,77 a , 1(2) 5,07 0 0 8,2 a ,

)2()4()3(111

aaa ;

2 (1) 0 2,67 0 3,45 a , 2 (2) 0 3,01 0 3,68 a ,

139

)2()4()3(222

aaa ;

3(1) 3,01 0 2,05 0 a , 3(2) 4,53 0 3,3 0 a ,

)2()4()3(333

aaa ;

Согласно (3.42) имеем

)1()1(jj

aA , )2()1()2(jjj

aaA , )3()2()1()3(jjjj

aaaA ,

)4()3()2()1()4(jjjjj

aaaaA , 3,2,1j

Согласно с (3.66) получаем

)(

)(

)(

)(

3

2

1

t

t

t

t

A

A

A

A , 4,,1t .

В соответствии с приведенными векторам )(tj

a , 3,2,1j , 4,,1t

имеем:

005,2001,3

45,3067,20

77,40076,2

)1(A ,

5,07 0 0 8,2

(2) (1) 0 3,01 0 3,68

4,53 0 3,3 0

A A ,

03,3053,4

68,3001,30

2,80007,5

)2()3( AA ,

5,07 0 0 8,2

(4) (3) 0 3,01 0 3,68

4,53 0 3,3 0

A A

140

Прогноз цены в t -м периоде на готовую продукцию

1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )t c t c t c t c t

c , где )(tck

, 3,2,1k - прогноз цен в t -м году

соответственно на муку, крупу, макароны, )(4

tc - прогноз цены на пшеницу в

t -м периоде.

Согласно разделу 2 векторы прогнозов цен сырья ( ) ( )t tc M c (тыс.

грн/т):

1869

3,4939

2425

6,3302

)1(c ,

2081

6,5367

5,2712

3589

)2(c ,

2293

9,5795

1,3000

4,3875

)3(c ,

9,2504

4,6224

6,3287

7,4161

)4(c .

Вектор цены )(tC определяется согласно (3.42). Поэтому его

математическое ожидание

)(

)2(

)1(

)(

t

t

c

c

c

C

.

Используя приведенные векторы )(tA и )(tc , 4,,1t , получаем

согласно формуле (3.67) выражения для векторов )(1

tW , 4,,1t :

185,0

027,0

2,0

)1(1

W ,

64,1

533,0

332,1

)2(1

W ,

211,3

125,1

178,2

)3(1

W ,

898,4

803,1

737,2

)4(1

W .

Согласно (3.64) и табл. 4.3, п. 4.1.2 имеем

008,1

345,0

412,0

)0(1

W млн .грн.

4.5.1.2. Определение )(2

tW , Tt ,,1 . Согласно (3.64), (3.47), (3.48)

имеем:

141

0

0

1

)0(2

W ,

0

0

1

)1(2

W ,

0

1

)1(

)2(2

l

W ,

1

)2(

)1(

)3(2

l

l

W ,

)3(

)2(

)1(

)4(2

l

l

l

W .

где

)(tl - процентная ставка в t -м периоде – случайная, нормально

распределенная величина, )((~)( tlNtl , )(2 tl

.

В табл. 4.27 приведены вероятностные характеристики )(tl , 4,,1t -

математическое ожидание )(tl и дисперсия )(2 tl

.

Таблица 4.27. – Характеристики распределения процентной ставки )(tl

t )(tl )(2 tl

1 0,193 5105,2

2 0,193 410

3 0,193 4104

4 0,193 4109

4.5.1.3. Определение )()(3

tQt W , Tt ,,1 . Вероятностные

характеристики )(tQ - собственных средств, которые могут пойти на

самофинансирование, приведены в табл. 4.28.

Таблица 4.28. – Характеристики распределения собственных средств,

которые могут пойти на самофинансирование )(tQ

t )(tQ )(tQ

1 0,8 0,16

2 1,65143 0,3303

142

Продолжение таблицы 4.28

3 1,292014 0,2584

4 0,858099 0,1718

В табл. 4.28 )(tQ и )(tQ

соответственно математическое ожидание и

средняя квадратическая ошибка )(tQ .

Согласно п. 3.2.2.2, 3.2.2.4 и формулы (3.64) получаем вектор )(tW ,

Tt ,,1 .

4.5.2 Математическое ожидание вектора )0(W :

1

2

3

2

1

(0) (0)1

(1)

g

g

gM

Q

W W

O

,

где,

413,01g млн. грн.,

345,02g млн. грн.,

008,13g млн. грн., согласно табл. 3.3,

)1(Q приведено в табл. 4.24.

4.5.3. Определение ковариационных матриц, )(tiW

K 3,2,1i ,

Tt ,,1 .

4.5.3.1. Вычислим ковариационные матрицы )(1

tW

K , Tt ,,1 в

соответствии с формулой (3.68). Фигурирующие в этом выражении матрицы

)(tA , Tt ,,1 определены в п. 3.2.2.4.1, ковариационные матрицы цен

)(tC

K , Tt ,,1 определяются выражением (3.69). Упростим его, исходя из

143

того, что прогнозы цен на готовую продукцию в разные периоды времени не

коррелируют. Тогда из (3.69) получаем блочную диагональную матрицу.

),(

),2()2,2(

)1,1(

)(

tt

tt

NNNNN

NNNN

NNNNNN

c

cc

c

C

kOOO

kOkO

OOOk

K

(4.18)

где

NNO - нулевая квадратная матрица порядка )4( NN .

В разные периоды времени цены на готовую продукцию и сырье

одинаковы. Это позволяет оценить коэффициент корреляции цен по

статистическим данным за 2004-2015г.г. Тогда N

)()(),( tttt RUUkc

, Tt ,,1 (4.19)

где

R - оценка корреляционной матрицы порядка N цен на готовую продукцию

и сырье,

)(tU - диагональная матрица, на главной диагонали которой находятся

средние квадратические отклонения прогнозов цен на готовую продукцию и

сырье, )(),(),(),(()(4321

ttttdiagtcccc

U . Здесь )(tci

- среднее

квадратическое отклонение прогноза цены на i - й товар ( 1i - мука, 2i -

крупа, 3i - макароны, 4i ). По данным табл. 2.14 и 2.18 было получено

1838,0944,0925,0

838,01795,0814,0

944,0795,01816,0

925,0814,0816,01

R

144

Согласно п.4.3 получены следующие средние квадратические

отклонения цен, см. табл. 4.29.

Таблица 4.29 Средние квадратические отклонения прогнозов цен

(грн/т)

Год Ср. квадр.

отклонение

Вид товара

мука крупа макароны пшеница

1 )1(i

8,129)1(1

5,165)1(2

2,381)1(3

6,103)1(4

2 )2(i

8,129)2(1

5,165)2(2

2,381)2(3

6,103)2(4

3 )3(i

8,129)3(1

5,165)3(2

2,381)3(3

6,103)3(4

4 )4(i

8,129)4(1

5,165)4(2

2,381)4(3

6,103)4(4

Чтобы упростить вычисления по формуле (3.69), запишем в

компактном виде выражения для матриц )(tA , Tt ,,1 , приведенные в п.

3.2.2.4.1. Нетрудно увидеть, что будут справедливы следующие

рекуррентные соотношения

aAA )1()2( , aAA )2()3( , aAA )3()4( ,

где

03,3053,4

68,3001,30

2,80007,5

a

из приведенных выражений получаем

aAA )1()2( , aaAA )1()3( , aaaAA )1()4( (4.20)

Из (3.65), (4.18), (4.20) получаем

)1()1,1()1()1(1

AkAKcW

,

145

a

A

kO

OkaAK

c

c

W

)1(

)2,2(

)1,1()1()2(

4,4

4,4

1= aakAkA

cc )2,2()1()1,1()1(

= aakKcW

)2,2()1(1

.

Рассуждая аналогично, получаем

aakKKcWW

)3,3()2()3(11

,

aakKKcWW

)4,4()3()4(11

.

Подставив в приведенные формулы соответствующие числовые

значения, получим

266,003,0057,0

03,0026,002,0

057,002,0045,0

)1(1W

K

009,1099,0206,0

099,0063,0061,0

206,0061,0166,0

)2(1W

K

772,1169,0357,0

169,0099,0103,0

357,0103,0286,0

)3(1W

K

558,224,051,0

24,0138,0145,0

51,0145,0407,0

)4(1W

K

4.5.3.2. Определение ковариационных матриц )(2

tW

K , Tt ,,1 .

Согласно (3.74) и табл. 4.27 имеем 3,3

)1()0(22

OKKWW

,

000

000

00105,2)1(

)2(

5

3,2

2,1

2

2

O

O

KW

l

2(%)

146

000

000

00105,2)2(0

0)1(

)3(

5

3,1

1,22

2

2

O

O

KW

l

l

2(%)

4

4

5

2

2

2

10400

0100

00105,2

)3(00

0)2(0

00)1(

)4(2

l

l

l

WK 2(%) .

4.5.3.3. Определение вариации (дисперсии) )(3

tW . Согласно п. 4.2.4 и

табл. 4.6 имеем )1()0( 2

3 Q

WK , 0256,0)1()1( 2

3

Q

WK грн

2,

1346,0)2()1()2( 22

3

QQ

WK грн

2, 2016,0)()3( 2

3

13

QWK , 0)4(

3

WK .

4.5.3.4. Алгоритм расчета. Решение стохастической задачи было

получено с помощью надстройки Поиск решения MS Excel. Программа

решения представлена на рис. 4.5.

Рис. 4.5. Программа решения стохастической задачи

147

4.5.4. Решение задачи стохастической оптимизации.

4.5.4.1. Описание детерминированного эквивалента задачи

стохастической оптимизации. Детерминированный эквивалент задачи

стохастической оптимизации (3.81) после подстановки в него полученных в

п. 4.5.1 – 4.5.3 всех числовых значений, кроме вероятностей )(t , 4,,1t ,

которыми предполагается варьировать, принимает вид:

2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3

1

5 2 4 2 4 2 21 2 3

(1 (4))[0,407 0,136 2,558 0,290 1,02 0,48

2,5 10 (1) 10 (2) 4 10 (3)] 2,737 1,803 4,898

0,193 (1) 0,193 (2) 0,193 (3) max,

u x x x x x x x x x

k k k x x x

k k k

2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3

1

2 21 2 3

(1 (1))[0,045 0,026 0,266 0,04 0,114 0,06

0,256 ] 0,2 0,027 0,185 (1) 0,8 max,

u x x x x x x x x x

x x x k

2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3

1

5 2 2 21 2 3

(1 (2))[0,166 0,063 1,009 0,122 0,412 0,198

2,5 10 (1) 0,1346 ] 1,332 0,533 1,64 0,193 (1) (2)

2,45 0,

u x x x x x x x x x

k x x x k k

2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3

1

5 2 4 2 2 21 2 3

(1 (3))[0,286 0,099 1,772 0,206 0,714 0,338

2,5 10 (1) 10 (2) 0,2016 ] 2,178 1,125 3,211 0,193 (1)

0,193 (2) (3) 3,742 0,

u x x x x x x x x x

k k x x x k

k k

1

2 21 2 3(1 (0))[0,026 ] 0,413 0,345 1,008 (1) 0,8 0,u x x x k

0)1( k , 0)2( k , 0)3( k ,

0 1 , (4.21)

где

321,, xxx - булевы переменные, которые формализуют включение j -го

)3,2,1( j проекта в портфель проектов;

)(tk , 3,2,1t - инвестиции в t-м году;

148

- доля прибыли фирмы, идущая на финансирование портфеля

проектов.

4.5.4.2. Вариантные решения задачи формирования оптимального

портфеля проектов в условиях неопределенности.

Рассмотрим различные варианты решения задачи (3.49) - (3.52),

детерминированный эквивалент которой с учетом упрощающих

предположений получен в (4.18).

Будем считать, что вероятности выполнения всех ограничений и

превышения функцией цели максимального значения одинаковы и равны ,

т.е.

(0) (1) (2) (3) (4) . (4.22)

Положим 0,975 . Так как тогда согласно (4.22) (4) 0,975 , то

чистый доход от портфеля проектов, который определяется в результате

решения задачи, будет получен с вероятностью 0,975. Все балансовые

ограничения в задаче (3.81) будут выполняться, согласно (4.22), с

вероятностью не меньше, чем 0,975. Следовательно, чистый доход от

портфеля будет получен с высокой вероятностью, а балансовые ограничения

будут выполняться с вероятностью не меньше, чем 0,975, то есть так же с

высокой вероятностью.

Некоторые оптимальные по Парето решения приведены в табл. 4.30.

Они расставлены в порядке убывания первого и третьего критериев.

После этого определим теперь влияние вероятности ,

характеризующей надежность получения характеристик портфеля проектов,

на эти характеристики, см. табл. 4.27, 4.28 для фиксированной величины

третьего критерия 1 .

149

Таблица 4.30 – Варианты решения стохастической задачи оптимизации,

если в (4.13) 0,975 , для различных условий кредитования, если имеется

самофинансирование, объемы которого и их вариация определены в табл. 4.8

Ре-

шени

е

Суммарны

й

дисконтиров

анный доход

за четыре

года Первый

критерий

Общая

сумма

кредитов,

млн. грн.

Второй

критерий

Доля

прибыли

фирмы,

идущая на

реализаци

ю

портфеля

проектов

.

Третий

критерий

Количес

тво

проектов в

оптимальн

ом

портфеле

проектов

Состав

оптимального

портфеля

проектов

1 5,139 1,127 1 3 1,2,3

2 5,063 1,191 0,9 3 1,2,3

3 3,259 0,246 0,8 2 1,2

4 3,183 0,311 0,7 1 1

5 3,107 0,375 0,6 2 1,2

6 3,031 0,439 0,5 2 1,2

7 2,955 0,503 0,4 2 1,2

8 2,878 0,566 0,3 2 1,2

9 2,802 0,630 0,2 2 1,2

10 2,726 0,691 0,1 2 1,2

11 1,487 0 0,7 1 1

Согласно табл. 4.31 с высокой вероятностью (0,975 - 0,99) за четыре

года может быть получен дисконтированный доход от 4,332 до 4,955 млн.

грн. за счет реализации проектов, входящих в оптимальный портфель

проектов. При достаточно высокой вероятности, равной 0,9, можно ожидать

значительно больший доход 6,108 млн. грн. В контексте терминологии

предыдущего раздела эту величину можно рассматривать как

оптимистическую оценку величины.

150

Таблица 4.31. Зависимость характеристик портфеля проектов от

вероятности при условии самофинансирования, объемы которого и их

вариация определены в табл. 4.24.

Вероятн

ость

Доля прибыли

фирмы, идущая

на реализацию

портфеля

проектов .

Третий

критерий

Суммарный

дисконтиро-

ванный доход

за четыре

года, млн.

грн.

Первый

критерий

Сумма

кредитов за

четыре года,

млн. грн.

Второй

критерий

Состав

оптимального

портфеля

проектов

0,9 1 6,108

1,173 1,2,3

0,95 1 5,490 1,231 1,2,3

0,975 1 4,955 1,282 1,2,3

0,99 1 4,332 1,341 1,2,3

Тогда 4,332 млн. грн. следует рассматривать как пессимистическую

оценку дохода. Резюмируя сказанное по данным табл. 4.31 можно сказать,

что с высокой вероятностью дисконтированный доход от портфеля проектов

будет не менее 4,332 млн. грн., но возможно получение и более высокого

дохода - 6,108 млн. грн. При этом сумма кредитов колеблется в узких

пределах: от 1,173 до 1,341 млн. грн.

Таблица 4.32 на примере формирования портфеля проектов без

самофинансирования при фиксированной сумме кредитования качественно

повторяет картину, приведенную в табл. 4.31. Согласно табл. 4.31 с

увеличением , т.е. надежности оценивания эффективности портфеля

проектов суммарный дисконтированный доход за четыре года уменьшается.

С достаточно высокой вероятностью (не менее 90%) можно сказать, что

доход будет не менее 1,314 млн. грн., а с вероятностью приближенно равной

единице он будет равняться 0,647 млн. грн.

151

Таблица 4.32. – Зависимость характеристик портфеля проектов от

вероятности при отсутствии самофинансирования и величине второго

критерия равной 1 млн. грн.

Вероятность

Доля

прибыли

фирмы,

идущая на

реализацию

портфеля

проектов .

Третий

критерий

Суммарный

дисконтиро-

ванный доход

за четыре

года, млн.

грн.

Первый

критерий

Сумма

кредитов за

четыре года,

млн. грн.

Второй

критерий

Состав

оптимального

портфеля

проектов

0,9 0 1,314

1,000 1

0,95 0 1,082 1,000 1

0,975 0 0,880 1,000 1

0,99 0 0,647 1,000 1

Выводы к 4 разделу

1. В настоящем разделе приведено описание ЧП «Маррус»

2. Определена длительность одного из проектов развития мельничного

комплекса, который является кандидатом на включение в портфель проектов.

кроме этого, осуществлен прогноз цен на сырье и готовую продукцию для

данного проекта.

3. Рассмотрены решения задач составления портфелей проектов

развития мельничного комплекса на ближайшую и отдаленную перспективы

с помощью трехкритериальных оптимизационных моделей, описанных в

разделе 3.

4. Для их решения разработаны две программы вычислений в среде

табличного процессора MS Excel. Программы имеют одинаковую структуру:

на рабочем листе MS Excel вычисляются три функции цели и левые части

ограничений оптимизационных задач. Указанные задачи решаются с

помощью Поиска решения – надстройки MS Excel.

152

5. Программы позволяют получать все решения трехкритериальных

задач формирования оптимального портфелей проектов развития

мельничного комплекса. Они представляют собой решение

однокритериальной задачи, у которой критерий оптимизации совпадает с

главным критерием трехкритериальной задачи. В однокритериальной задаче

имеются два дополнительных ограничения вида «меньше либо равно», левые

части которых представляют собой соответственно второй и третий

критерии. Правые части этих ограничений варьируются, что позволяет

получать различные оптимальные по Парето решения исходной

трехкритериальной задачи.

6. Проведены расчеты по программе, реализующей алгоритм

формирования оптимального портфеля проектов на ближайшую

перспективу, который состоит в поочередном варьировании непрерывными и

булевыми переменными. Расчеты показали быструю сходимость этого

алгоритма.

7. С помощью программ формирования оптимального портфеля

проектов на ближайшую и отдаленную перспективы получены оптимальные

по Парето решения и проведен их анализ. Даны рекомендации по выбору

ЛПР единственных решений для обоих видов планирования.

Полученные в разделе 4 результаты, были опубликованы в работах

автора [57-59, 61- 64].

153

ВЫВОДЫ

В диссертационной работе решена научная задача разработки

комплекса математических моделей, которые позволяют формировать

оптимальный портфель проектов развития предприятия и выбирать

оптимальный вариант финансирования портфеля по трем критериям,

учитывая неопределенность в исходных данных и ограниченность

финансовых ресурсов предприятия и кредитных учреждений. В ходе

исследований были решены следующие научные задачи:

1. Рассмотрены особенности управления портфелем проектов.

Выполнен анализ существующих методов формирования портфеля проектов

развития предприятия и основных их недостатков. Анализ показал, что

данное направление в теории управления проектами является еще

недостаточно разработанным и динамично развивающимся. Основные

работы основаны на том, что исходные данные известны точно. Однако на

самом деле при реализации проектов реально приходится сталкиваться с

неопределенностью в исходных данных, особенно тех, которые

характеризуют экономическую эффективность портфеля проектов (цены на

сырьѐ и продукцию, сроки выполнения и др.). Чтобы учесть указанную

неопределенность в диссертации предлагается использовать вероятностный

подход к управлению проектами.

2. Предложено использовать стохастические имитационные модели для

планирования срока выполнения проекта, учитывающие неопределенность в

продолжительности работ для случаев, когда длительность выполнения всего

проекта является сложной нелинейной функцией от продолжительности

этапов отдельных работ и представляют собой также случайную величину.

Такой подход позволяет определить функцию распределения

продолжительности выполнения проекта и тем самым, в частности,

вычислить дисперсию продолжительности проекта и указать такой конечный

срок окончания проекта, который с заданной большой вероятностью не будет

154

превышен. Работоспособность такого подхода проверена при решении ряда

практических задач

3. При вычислении экономических характеристик проекта в случае,

если цены на сырье и готовую продукцию точно не известны, предлагается

их определять методами статистического прогнозирования. В работе

демонстрируется практическое применение данного подхода.

4. Разработана динамическая детерминированная оптимизационная

трехкритериальная модель формирования портфеля проектов развития

предприятия по финансовым критериям, а также вариантов его

кредитования, которая позволяет определить состав портфеля, наилучшую

схему кредитования, объем собственных средств, которые целесообразно

использовать на финансирование портфеля. При этом первая (главная)

функция цели состоит в том, чтобы чистый дисконтированный доход за весь

период планирования был максимальным. Вторая и третья функции цели

представляют собой минимумы соответственно суммы взятых кредитов и

доли прибыли фирмы, идущей на финансирование портфеля проектов.

Ограничениями в модели выступают: требование неотрицательного значения

чистого дисконтированного дохода в каждом периода времени, выполнения

установленных минимальных величин уплаты долга, выполнения заданных

календарных графиков выплат кредитов и процентов на них. Для того, чтобы

учесть возможные риски, связанные с неопределенностью в исходных

данных для расчета чистого дисконтированного дохода, предложено

определить три варианта портфеля проектов: оптимистический,

пессимистический и прогнозный. Все варианты основываются на

доверительных интервалах прогнозов цен на сырье и готовую продукцию.

Такую модель целесообразно использовать для формирования портфеля

проектов, когда его эффективность можно определить по достаточно

небольшой интервал времени.

5. Разработана динамическая стохастическая оптимизационная модель

формирования портфеля проектов развития предприятия по финансовым

155

критериям. Она по сравнению с детерминированной моделью призвана

точнее учесть неопределенность, связанную с вариацией цен и процентной

ставкой по кредиту, используя вариацию прогнозов этих цен. Такой подход

позволяет учесть риски, обусловленные определением эффективности

портфеля проектов на большом интервале времени. Необходимость анализа

эффективности проектов за длительный интервал времени возникает при

реализации различных дорогостоящих проектов или проектов, связанных со

значительными рисками. Неопределенность при формировании

оптимального портфеля проектов предлагается учесть с помощью

трехкритериальной модели стохастического программирования с

вероятностными ограничениями, которые вытекают из балансовых схем

детерминированной динамической модели, см. предыдущий пункт. Решение

задачи стохастической оптимизации сводится к решению нелинейной

оптимизационной задачи со смешанными переменными (так называемому

детерминированному эквиваленту) с тремя критериями. Коэффициенты этой

задачи зависят от первых двух моментов прогнозов цен на сырье и готовую

продукцию. В диссертации предложена методика их вычисления, которая

реализована в виде матричных выражений.

Каждому Парето-оптимальному решению задачи стохастического

программирования соответствует некоторый портфель проектов, который

обеспечивает с заданной высокой вероятностью гарантированный чистый

доход от его реализации в конце временного интервала планирования. Тем

самым учитываются риски, связанные с реализацией портфеля проектов.

6. Модели оптимального выбора портфеля проектов прошли проверку

на реальных данных: они использовались для планирования развития

мельничного комплекса.

156

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Аналіз і розробка інвестиційних проектів [Текст]: навч. посібник /

[Цигилик І. І., Коропельницька С. О., Білий М. М., Мозіль О. І., та ін.] – К.:

Центр навчальної літератури, 2005. – 160 с.

2. Ансофф И. Стратегическое управление [Текст]/ И. Ансофф. – М.:

Экономика, 1989. – 519 с.

3. АПК-Информ. – Режим доступа: http://www.apk-inform.com

4. Арчибальд Р. Управление проектами. Управление

высокотехнологичными программами и проектами [Текст]: пер с англ /

Арчибальд Р.;. – М.: ДМК-Пресс, 2002. – 464с.

5. Ахметов К. С. Практика управления проектами [Текст] / К. Ахметов.

– М.: Русская редакция, 2004. – 272 с.

6. Батенко А.П. Управління проектами [Текст] / А. П. Батенко, О. А.

Загородніх. – К.: КНЕУ, 2003. – 231 с.

7. Белоконь А. И. Управление портфелем проектов и программ

реализации стратегии реструктуризации [Текст] / А. И. Белоконь, И. В.

Трифонов // Вісник Придніпровської державної академії будівництва та

архітектури. – Дніпропетровськ: ПДАБтаА, 2008. – №11. – С. 4–13.

8. Білоконь А.І. Управління проектами і програмами реструктуризації.

[Текст]: Навчально-наукове видання / А.І. Білоконь. І.В. Трифонов. –

Дніпропетровськ: ПДАБА; Вид. ПП «Свідлер А. Л.», 2008. – 138с.

9. Белоконь А. И. Формирование портфеля проектов организации с

учетом стратегии реструктуризации [Текст] / А. И. Белоконь, И. В.

Трифонов, С. В. Антоненко, А. А. Мазуркевич // Сб. научн. трудов:

Строительство, материаловедение, машиностроение. – Днепропетровск:

ПГАСиА, 2009. – Вып. 48. – Ч.3. – С. 39–43.

10. Бенко К. Управление портфелем проектов [Текст] / К. Бенко, Мак-

Фарлан, Ф. Уоррен. – М.: ООО «И. Д. Вильямс», 2007. – 204с.

157

11. Бернс В. Руководство по оценке эффективности инвестиций

[Текст]: пер. с англ.; [перераб. и допол.]/ Бернс В., Хавранек П.М.; – М.:

АОЗТ «Интерэксперт», «ИНФРА-М», 1995. – 528с.

12. Бирман Г. Экономический анализ инвестиционных проектов

[Текст]: пер. с англ.; под ред. Л.П. Белых / Бирман Г., Шмидт С.;. – М.: Банки

и Биржи: ЮНИТИ, 1997. – 631с.

13. Бодриков Д. В. Разработка модели прогноза стоимостных

показателей зернового рынка с использованием методики постепенной

формализации [Текст] / Бодриков Д. В, Новицкий В. О. – Режим доступа:

www.aiskhp.ru/articles/08_06_SP.htm

14. Богданов В.В. Управление проектами в Mісrosoft Project 2002

[Текст] / В. В. Богданов. – Питер, 2003. – 640 с.

15. Большаков В.И. Управление организациями с помощью проектов

[Текст] / В.И. Большаков, А.И. Белоконь, Д.Л. Левчинский. –

Днепропетровск: ПГАСА, 2006. – 123с.

16. Бурков В.Н.. Модели и методы мультипроектного управления

[Текст] / В.Н. Бурков, О.Ф. Квон, Л.А. Цитович. – М.: (Препринт / Институт

проблем управления), 1997. – 62 с.

17. Бушуев С. Д. Методология управления проектами как

универсальная модель знаний [Текст] / С. Д. Бушуев, Н. С. Бушуева //

Управління проектами та розвиток виробництва : Зб. наук. праць. – Луганськ:

вид-во СНУ ім. В. Даля, 2003. – №3. – С. 5–12.

18. Бушуев С.Д. Модели и методы стратегического развития

быстрорастущих организаций [Текст]/ С.Д Бушуев, Н.С. Бушуева, А.М.

Захаров // Управління проектами та розвиток виробництва: Зб.наук.пр. –

Луганськ: вид-во СНУ ім. В.Даля, 2006 - №1(17). - С. 5-13.

19. Бушуев С.Д. Современные подходы к развитию методологий

управления проектами [Текст] / С.Д. Бушуев, Н.С. Бушуева // Управління

проектами та розвиток виробництва: Зб.наук.пр. – Луганськ: вид-во СНУ ім.

В.Даля, 2005 - №1(13). - С. 5-19.

158

20. Бушуєв С.Д. Часова оптимізація портфеля реальних інвестиційних

проектів [Текст] / С.Д. Бушуєв, М.І. Гиба // Управління проектами та

розвиток виробництва: Зб. наук. праць – Луганськ: вид-во СНУ ім. Даля,

2007. №2(22) . С 36-47.

21.. Бушуева Н.С. Проактивное управление проектами

организационного развития в условиях неопределнности [Текст] / Н.С.

Бушуева// Управління проектами та розвиток виробництва: зб.наук.пр. –

Луганськ: вид-во СНУ ім. В.Даля, 2007 - №2(22). С. 17-27.

22. Бушуева Н.С. Системная формализация управления проектами в

рамках проактивного подхода к развитию организаций [Текст] / Н.С.

Бушуева, Л.Д. Мысник, М.Н. Олексеенко // Управление проектами и

развитие производства: Сб.науч.раб. - М.: изд-во ВНУ им. Даля, 2009. - № 2

(30). - С. 5-11.

23. Бушуева Н.С. Системная динамика управления программами

организационного развития [Текст] / Н.С. Бушуева // Управління проектами

та розвиток виробництва: Зб.наук.пр. – Луганськ: вид-во СНУ ім. В.Даля,

2007 - №4(24). С. 5-9.

24. Бэгьюли Ф. Управление проектом [Текст]: пер. с англ. /

Ф.Бэгьюли.– М.: ФАИР-ПРЕСС, 2002. – 209 с

25. Ванюшкин А.С. Композиционно-модульный подход формирования

моделей управления портфелями проектов [Текст]/ А.С. Ванюшкин //

Збірник наукових праць «Управління розвитком складних систем». – К.:

КНУБА, - 2012. – Вип..11. – С. 18-27.

26. Ванюшкин А.С. Портфельные концепции и ограничения их

применимости [Текст] / А.С. Ванюшкин // Управління проектами та розвиток

виробництва. – 2014. – №2(50). – С. 144-151.

27. Введение в нелинейное программирование [Текст] / Под редакцией

Эльстера К.Х.- М.: Наука, 1985.- 264с.

159

28. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы,

методология [Текст] / Е.С. Вентцель .— 2-е изд., стер. — М.: Наука. Гл. ред.

физ.-мат. лит, 1988.—208 с.

29. Виленский П.Л. Как рассчитать эффективность инвестиционного

проекта [Текст] / Виленский П.Л., Смоляк C. – М.: Информэлектро, 1996.

30. Виленский П. Л. Оценка эффективности инвестиционных проектов:

теория и практика [Текст]: учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. /

Виленский П. Л., Лившиц В. М., Смоляк С. А. – М.: Дело, 2002. – 104 с

31. Воронов К. Коммерческая оценка инвестиционных проектов:

основные положения и методики [Текст] / К. Воронов. – М.: Альт, 1994. –

305с.

32. Воронов К. И. Проблемы оценки инвестиционных проектов,

осуществляемых на действующем предприятии [Текст] / К. И. Воронов //

ЭКО. – 1996. - №1. – с. 91.

33. Грашина М. Основы управления проектами [Текст] / М. Грашина,

В. Дункан. – СПб.: Питер, 2006. – 208с.

34. Грашина М.Н. Проектный менеджмент в стратегическом развитии

организации [Текст] / М.Н. Грашина. – 2005. режим доступа —

http://pmsymposium.ru/2005/review/2-09a.doc.

35. Гейзлер П. С. Управление проектами [Текст]: практич. пособие / П.

С. Гейзлер, О. В. Зав’ялова ; под ред. Гейзлера П. С. – Мн.: Книжный Дом;

Мисанта, 2005. – 288 с

36. Гибсон Р. Формирование инвестиционного портфеля: управление

финансовыми рисками [Текст] / Роджер Гибсон; пер. с англ. – М.: Альпина

Бизнес Букс, 2005. – 276с.

37. Гойко А.Ф. Методи оцінки ефективності інвестиції та пріоритетні

напрями їх реалізації [Текст] / Гойко А.Ф.– К.: ВІРА-Р, 1999. – 320с

38. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия [Текст] /

Демиденко Е.З. – М.: Финансы и статистика, 1981

160

39. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение

к принятию приближенных решений [Текст]. пер. с англ. / Заде Л.А. ─ М.:

Мир, 1976.─ 165 c.

40. Идрисов А.Б. Планирование и анализ эффективности инвестиций

[Текст] / Идрисов А.Б. – М., 1994. – 123с.

41. Ильин Н. И. Управление проектами [Текст] / Н. Ильин., И.

Лукшанова, А. Мешчин. – С.Пб.: Два-Три, 1996. – 610 с.

42. Кендалл, Д. И. Современные методы: управления портфелями

проектов и офис управления проектами [Текст] / Кендалл, Д. И., Роллинз, С.

К. — Питер, 2004.

43. Керівництво: Основи знань з проектного менеджменту (РМВОК)

Інституту проектного менеджменту [Текст]. – США (РМІ), 1999. – 197 с.

44. Керцнер Г. Стратегическое управление в компании. Модель зрелого

управления проектами [Текст]: пер. с англ. / Г. Керцнер. – М.: ДМК Пресс,

2012. – 320с.

45. Климова Т.В. Формування портфеля інвестиційних проектів на

підприємстві в умовах відсутності зовнішнього інвестування у розвиток

виробництва [Текст]: автореф. дис. на здобуття наук. ступеня канд. техн.

наук : спец. 05.13.22 „ Управління проектами і програмами ‖ / Т.В. Климова.

– Київ, 2008. – 20 с

46. Клиффорд Ф. Грей. Управление проектами: Практическое

руководство [Текст]: пер. с англ. / Клиффорд Ф. Грей, Эрик У. Ларсон; – М.:

«Дело и Сервис», 2003. – 528 с.

47. Коновальчук Е.В. Модели и методы оперативного управления

проектами [Текст] / Коновальчук Е.В, Новиков Д.А.– М.: ИПУ РАН, 2004. –

63с.

48. Кононенко И.В. Многокритериальная оптимизация содержания

проекта [Текст] / И.В. Кононенко, М.Э. Колесник, Е.В. Лобач // Вісник НТУ

«ХПІ». – 2014. – № 3 (1046). – С. 26-36.

161

49. Кононенко И.В. Модели и методы информационной поддержки

разработки стратегий организаций, оптимизации портфелей проектов и

содержания проектов [Текст] / И.В. Кононенко // Управління проектами та

розвиток виробництва. – 2014. – №3(53). – С. 75-82.

50. Корхин А.С. / Компьютерная статистика [Текст]: навчальний

посібник / Корхин А.С., Минакова О.П. – часть 2. – Днепропетровск:

Национальный горный университет, 2009. ─ 239 с.

51. Корхина И.А. Об учете неопределенности при планировании сроков

выполнения проектов [Текст] / И.А. Корхина // Регіональний міжвузівський

збірник наукових праць «Системні технології». –Дніпропетровськ, 2010. –

№5 (70). – С. 92-99.

52. Корхина И.А. Вероятностная имитационная модель планирования

проектов в строительстве [Текст] / И. А. Корхина, В. В. Малый // І

Всеукраїнська науково-практична конференція «Системний аналіз.

Інформатика. Управління». – Запоріжжя, 2010. – С.99-101.

53. Корхина И. А. Применение в управлении проектами сетевых

моделей с неполной информацией о продолжительности работ [Текст] / И. А.

Корхина // Всеукраїнська науково-практична конференція «Економіка і

управління у промисловості». – Дніпропетрвоськ, 2010. – С. 252-254.

54. Корхина И.А. О прогнозировании цен для оценки эффективности

проектов [Текст] / И.А. Корхина, В.В. Малый // Загальнодержавний науково-

технічний журнал «Теорія та практика металургії». – Дніпропетровськ, 2011.

– №5-6 (ч. ІІ). – С. 125-131.

55. Корхина И.А. Неопределенность в управлении сроками релизации

проекта [Текст] / И. А. Корхина // ІІ Всеукраїнська науково-практична

конференція «Системний аналіз. Інформатика. Управління». – Запоріжжя,

2011. – С.113-114.

56. Корхина И. А. Прогнозирование цены продукции как элемент

расчета экономической эффективности проекта [Текст] / И. А. Корхина // І

Міжнародна науково-практична конференція «Перспективи впровадження

162

успішного світового досвіду розвитку громад у Дніпропетровській області».

– Дніпропетрвоськ, 2011. – С. 66-68.

57. Корхина И.А. Один метод формирования оптимального портфеля

проектов развития предприятия [Текст] / И.А. Корхина // «Східно-

Європейській журнал передових технологій». – Харків, 2012. – № 2/2(56). –

С. 34-37

58. Корхина И. А. Выбор оптимального портфеля проектов в условиях

неопределенности [Текст] / И. А. Корхина // ІХ Міжнародна конференція

«Управління проектами у розвитку суспільства». – Київ, 2012. – С.107-109.

59. Корхина, И. А. Метод формирования оптимального портфеля

инвестиционных проектов предприятия на основе динамической модели

[Текст] / И. А. Корхина // Наук. вісн. Нац. гірн. ун-ту. – Дніпропетровськ,

2013. – № 5. – С. 104−111.

60. Корхина И. А. Выбор варианта кредитования при формировании

портфеля инвестиционных проектов [Текст] / И. А. Корхина // Х Міжнародна

конференція «Управління проектами у розвитку суспільства». – Київ, 2013. –

С.128-131

61. Корхина И. А. Математическое моделирование процессов

формирования оптимального портфеля проектов развития металлургического

предприятия [Текст] / И. А. Корхина, Т. М Кадильникова. // A collective

monograph XV International Scientific Conference "New Technologies and

Achievements in Metallurgy and Material, Czestochowa, Poland 2014. – P. 488-

492.

62. Корхина И. А. Математическая модель формирования

оптимального портфеля проектов с учетом случайных факторов [Текст] / И.

А. Корхина // Вісн. Дніпропетр. нац. ун-ту залізн. трансп. ім. акад. В.

Лазаряна. – Дніпропетровськ, 2014. − Вип. 2. – С. 111-119.

63. Корхина И. А. Оптимальное планирование модернизации

предприятия с учетом неопределенности [Текст] / И. А. Корхина, Т.М

163

Кадильникова // Национальный минерально-сырьевой универсиет «Горный»,

Сборник научных трудов, Санкт-Петербург, Россия, 2014. – Ч.2. – С. 58-61

64. Корхина И. А. Комплексный поход к формированию оптимального

портфеля инвестиционных проектов в условиях неопределенности [Текст] /

И. А. Корхина // ХІ Міжнародна конференція «У65 (

65. Корхина И. А. Неопределенность при управлении проектами

[Текст] / И. А. Корхина // Всеукраїнська науково-практична конференція

«Перспективи розвитку регіонів: інноваційна діяльність та управління

проектами». – Дніпропетровськ, 2014. – С. 44-47

66. Крамер Г. Математические методы статистики [Текст] / Крамер Г. –

М.: Мир, 1975.- 648с.

67. Кудина Л.И. Методические основы оценки эффективности

инвестиционных проектов [Текст] / Кудина Л.И.– К.: КМУТА, 1997. – 18с.

68. Липсиц И. В. Инвестиционный проект: методы подготовки и

анализа [Текст]/ И. В. Липсиц, В. В. Косов. –М.: БЕК, 1996. – 304 с.

69. Лопатников Л. И. Экономико-математический словарь: Словарь

современной экономической науки [Текст] / Лопатников Л. И.. — 5-е изд.,

перераб. и доп. — М.: Дело, 2003. — 520 с

70. Лудченко Я.О. Методика оцінки економічної ефективності

інвестицій з урахуванням ризиків на основі імітаційного моделювання

інвестиційних процесів альтернативних варіантів проектних рішень

(Програмне забезпечення розроблено в Visual Basic for Microsoft Excel 97)

[Текст] / Лудченко Я.О. – К.: НТУ, 2002. – 44с.

71. Лудченко Я. О. Оцінка економічної ефективності інвестиційних

проектів [Текст]: навчальний посібник. / Я. Лудченко. – К: КНЕУ, Ніка-

центр, 2004. – 208 с.

72. Малый В.В. Стратегічні питання управління проектами

реструктуризації та розвитку підприємств [Текст] / Малый В.В., Мазуркевич

О.І., Завгородній М.С. – Дніпропетровськ: Видавництво Маковецький, 2012. –

240с.

164

73. Малий В.В. Управління проектами: національні особливості

[Текст]: моногорафия / Малий В. В., Мазуркевич О. І., Молоканова В. М. –

Дніпропетровськ: ІМА-прес, 2008. – 265 с.

74. Марков Р.В. Оцінка сезонних коливань на зерно в контексті

підвищення ефективності діяльності аграрних підприємств [Текст] / Р.В.

Марков // Збірник наукових праць Луганського національного аграрного

університету. – 2008. – С. 330-340.

75. Масютин С.А. Механизмы корпоративного управления [Текст] /

Масютин С.А. – М.: Финстатинформ, 2002. – 236 с.

76. Мартин П. Управление проектами [Текст]: пер. с англ. / П. Мартин,

К. Тейт.– Спб.: Питер, 2006. – 224с.

77. Матвеев А.А. Модели и методы управления портфелями проектов

[Текст] / Матвеев А.А., Новиков Д.А., Цветков А.В. – М.: ПМСОФТ, 2005. –

206с

78. Мескон М. Основы менеджмента [Текст] / Мескон М., Альберт М.,

Хедоури Ф. – М.: Дело, 1997. – 704 с.

79. Методы оценки инвестиционных проектов [Текст] / Ковалев В.В. –

М.: Финансы и статистика, 1998. – 144с.

80. Миллер Р. ПЕРТ – система управления [Текст]: пер. с англ. /

Миллер Р.– М.: Экономика, 1965. – 202с.

81. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы

[Текст]: пер. с французского / Мину М.– М.: Наука, 1990, - 488с.

82. Окргонилов В.В. Управление проектами [Текст]: учебник /

Окргонилов В.В. – М.: Экономика, 2004. – 339с.

83. Оценка экономической эффективности инвестиций [Текст] / Царев

В.В.. – СПб.: Питер, 2004. – 464 с.

84. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию [Текст] / Б.Т. Поляк – М.,

Наука. 1983. – 384c.

85. Проектний аналіз [Текст] / [Рижиков В.С., Яковенко М.М,

Латышева О.В., та ін.]. – К.: Центр учбової літератури, 2007 – 384с.

165

86.. Рач В.А. Методологический инструментарий научного

исследования в управлении проектами [Текст] / В.А. Рач // Управління

проектами та розвиток виробництва: Зб.наук.пр. – Луганськ: вид-во СНУ ім.

В.Даля, 2012. – № 4(44). – С. 5-13.

87. Рач В.А. Портфельне управління розвитком соціально-економічних

систем. Частина 1. Модель визначення бенчмаркингових значень показника

стратегічної мети із використанням теорії нечітких множин [Текст] / В.А.

Рач, О.П. Коляда// Управління проектами та розвиток виробництва:

Зб.наук.пр. – Луганськ: вид-во СНУ ім. В.Даля, 2009. – № 1(29). – С. 144-151.

88. Рач В.А. Метод інваріантних показників опису стратегій розвитку

як інструмент формування портфелю проектів [Текст] / В.А. Рач, О.П.

Коляда, О.А. Антонян / / Управління проектами та розвиток виробництва:

Зб.наук.пр. - Луганськ: вид-во СНУ ім. В.Даля, 2009. - № 2 (30). - С. 91-101.

89. Решке О. Мир управления проектами [Текст]: пер. с англ. / О.

Решке, Х. Шелле. – М.: Аланс, 1994. – 303 с.

90. Розин Б.Б. Экономико-статистические модели с переменной

структурой [Текст] /Розин Б.Б., Котюков В.М., Ягольницер М.А. –

Новосибирск: Наука, 1984

91. Руденко С.В. проектно-ориентированная методология управления

состоянием окружающей среды в территориальных эколого-экономических

системах [Текст] / С.В. Руденко // Управління проектами та розвиток

виробництва. – 2014. – №2(50). – С. 199-127.

92. Руководство по управлению инновационными проектами и

программами [Текст]: пер. на рус. язык, т. 1, версия 1.2 / под ред. С. Д.

Бушуєва . – К: Наук. світ, 2009. – 173 с.

93. Савчук В.П. Анализ и разработка инвестиционных проектов /

Савчук В.П., Прилипко С.И., Величко Е.Г. – Уч. Пособие. – К.: Абсолют-В,

Эльга, 1999. – 304с.

94. Савчук В. П. Оценка эффективности инвестиций [Текст]: уч.

пособие / Савчук В. П. – Днепропетровск: НМетАУ, 1998

166

95. Савчук В.П. Финансовый менеджмент предприятий: прикладные

вопросы с анализом деловых ситуаций [Текст] / В.П. Савчук. – К.:

Издательский дом «Максимум», 2001. – 600с.

96. Сергиенко И.В. Задачи дискретной оптимизации [Текст] / И.В.

Сергиенко, В.П.Шило. – К.: Наукова думка, 2003. – 261с.

97. Тесля Ю.Н, Структура организационных, методологических и

технологических компонентов в современных системах управления

проектами [Текст] / Ю.Н Тесля, А.А Белощицкий, П.В. Каюк, И.И. Оберемок,

А.Г. Тиминский. Вісник ЧДТУ, 2009. –№2. – С. 50-54

98. Управління інвестиціями на підприємстві [Текст] / Козаченко Г.В.,

Антіпов О.М., Ляшенко О.М.. Дібніс Г.І. – К.: Лібра, 2004. – 368с.

99. Управління проектами [Текст]: навчальний посібник / [під ред.. С.К.

Чернова та В.В. Малого]:, - Миколаїв, НУК, 2010. – 354с.

100. Управление проектом. Основы проектного управления [Текст]:

учеб. / под ред. М.Л. Разу. – М.: КНОРУС, 2010. – 768с.

101. Управление проектами [Текст]: справочное пособие / Под ред.

И.И. Мазура, В.Д. Шапиро. М.: Высшая школа, 2001. – 875 с.

102. Фунтов В. Н. Основы управления проектами в компании [Текст] /

В. Фунтов. - [2-е изд.]. – СПб.: Питер, 2008. – 336 с.

103. Фунтов В.Н. Развитие компании и проекты развития [Текст] / В.Н.

Фунтов // Экономика и управление. – 2010. – №10(71). – С. 112-116.

104. Ханк Д.Э. Бизнес-прогнозирование [Текст] / Ханк Д.Э., Уичерн

Д.У., Райтс А. Дж.; пер. с англ. – [7-е изд.]. – М: «Вильямс», 2003.

105. Хэлдман Ким. Управление проектами. Быстрый старт [Текст]: пер.

с англ. / Ким Хелдман. – М.: ДМК Пресс; Академия АйТи, 2008. – 352 с., ил.

106. Шахов А.В. Энтропийная модель портфельного управления

проектно-ориентированной организацией [Текст] / А.В. Шахов // Управління

проектами та розвиток виробництва. – 2014. – №2(50). – С. 87-95.

107. Экономика предприятия [Текст]: пер. с нем./ [Под. ред. Ф. К. Беа,

Э. Дихтла, М.Швейцер]. - ИНФРА-M.─ M.: 2001. ─ 902 с.

167

108. Экономика. Толковый словарь [Текст] / [под ред д.э.н. Осадчей

И.М.]. — М.: "ИНФРА-М", 2000. – 483с.

109. Юдин Д.Б. Математические методы управления в условиях

неполной информации [Текст] / Д.Б. Юдин. ─ М.: «Сов. Радио», 1974. ─

400с.

110. Ярошенко Ф.А. Управление инновационными проектами и

программами на основе знаний P2M [Текст]: Монография./ Ярошенко Ф.А.,

Бушуев С.Д., Танака Х. – К.: «Саммит-Книга». – 272с.

111. Balas E. An additive algorithm for solving linear programs with zerow-

one variables. [Text] / Balas E. // Operation research. – 1965., – №4, p. 517-546.

112. Blichfeldt B.S. Project portfolio management – There’s more to it what

management enacts [Text] / Blichfeldt B.S., Eskerod P. // International Journal of

Project Management. – 2008. – 26(4). – P. 357-365.

113. Ghasemzadeh, F. A zero one model for project portfolio selection and

scheduling [Text] / Ghasemzadeh, F., Archer N.P. and Iyogun P. // Operational

Research Soc. – 1999. – 50. – P. 745-755

114. Markowitz HM Portfolio selections. [Text] / Markowitz HM //

Journal of Finance 1952 May

115. Radulescu C.Z., Radulescu M. ―Project Portfolio Selection Models and

Decision Support‖ [Text] available at: http://sic.ici.ro/sic2001_4/art03.html

168

169