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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 1 1
场论与复变函数
通信工程学院
场论与复变函数教学团队
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第六章 共形映射 Conformal mapping
第六章 共形映射
本章从几何映射角度考察复变函数的性
质。在介绍共形映射概念的基础上,重点掌握分式线性映射和几种初等解析函数的映射性质。
第一节 共形映射的概念
第二节 分式线性映射
第三节 唯一决定分式线性映射的条件
第四节 几个初等解析函数构成的映射
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第六章 共形映射 Conformal mapping
第一节 共形映射的概念
在几何意义下,复变函数将z平面中的曲线或者区域
映射到w平面中的曲线或者区域。转动角和伸缩率是两个重要
的概念。共形映射是一种具有保角性和伸缩率不变性的映射
。解析函数在导数不为0的点处都是共形映射。
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第六章 共形映射 Conformal mapping
一、共形映射的概念
1.映射
函数w=f(z)在几何上可以看做把z平面上的一个点集G变换到w
平面的一个点集G*。
x
z0
z C
(z)
O O u
G
w0
w
(w) v y
w=f(z)
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第六章 共形映射 Conformal mapping
z平面内的一条有向连续曲线C可用参数方程
z=z(t), a t b
表示, 其正向取为t增大时点z移动的方向。
通过C上两点P0=z(t0)与P= z(t0+Dt)的做一条割线P0P,其正向对
应于t增大的方向:
O x
y
z(t0) P0
P
z(t0+Dt) C
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第六章 共形映射 Conformal mapping
当点P沿C无限趋向于点P0, 割线P0P的极限位置是C上P0处的切
线。向量
与割线P0P的方向相同,与曲线C相切于点z0=z(t0),称为曲线C
在点P0=z(t0)处的切向量.
z(t0)
z(a)
z(b)
z '(t0) C
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第六章 共形映射 Conformal mapping
根据切向量的定义,可得:
1) Arg z '(t0)就是z0处C的切线正向与x轴正向间的夹角;
2) 相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的夹角,就是它
们交点处两条切线正向间的夹角。
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第六章 共形映射 Conformal mapping
2.解析函数导数的几何意义
设函数w=f(z)在区域D内解析, z0为D内的一点, 且f ‘(z0)0. 又设
C为z平面内通过点z0的一条有向光滑曲线, 其参数方程是:
z=z(t), atb,
它的正向相应于参数t增大的方向, 且z0=z(t0), z ’(t0)0, a<t0<b.
则映射w=f(z)将C映射成w平面内通过点w0=f(z0)的一条有向光
滑曲线G, 其参数方程是
w=f[z(t)], atb
正向相应于参数t增大的方向.
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第六章 共形映射 Conformal mapping
根据复合函数求导法, 有: w ‘(t0)=f ’(z0)z ‘(t0)0
因此, 在 上点w0处也有切线存在, 且切线正向与u轴正向的
夹角是: Arg w '(t0)=Arg f '(z0)+Arg z '(t0)
x
z0
P0 r
z P Ds
C
(z)
O
G
O u
G
w0
Q0
Q
w r
D σ
(w) v y
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第六章 共形映射 Conformal mapping
或者有
Arg f ‘(z0) =Arg w ’(t0)-Arg z ‘(t0) (6.1.1)
如果将z0点处的切线正向与w0点处的切线正向之间的夹角理解
为曲线C经过w=f(z)映射后在z0处的转动角, 则(6.1.1)式表明:
1)导数f ’(z0)0的辐角Arg f ‘(z0)是曲线C经过w=f(z)映射后在z0处
的转动角;
2)转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关,所以这种
映射具有转动角的不变性.
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第六章 共形映射 Conformal mapping
映射具有这样的性质:通过z0点的任意一条曲线, 映射到w平面后
在w0点( z0点的像)处都转动了同一个角度Arg f '(z0).
O x
y
O u
v (z) (w)
z0 w0
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第六章 共形映射 Conformal mapping
相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹角, 在其大小和方向上都等同
于经w=f(z)映射后C1与C2对应的曲线G1与G2之间的夹角, 所以这种映射具有
保持两曲线间夹角与方向不变的性质.这种性质称为保角性。
O x
y
O u
v (z) (w)
z0
w0
a
C1
C2
G1
G2
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第六章 共形映射 Conformal mapping
|f ‘(z0)|称为曲线C在z0的伸缩率.
O x
y
O u
v
z0
P0 r
z P Ds
C
(z) (w)
G
w0
Q0
Q
w r
Dσ
另由:
得: (6.1.2)
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第六章 共形映射 Conformal mapping
(6.1.2)表明: |f ‘(z)|是经过映射w=f(z)后通过z0点的任意曲线C
在z0的伸缩率, 它与曲线C的形状及方向无关。所以当f ’(z0)0
时,映射w=f(z)在 z0点具有伸缩率不变性.
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第六章 共形映射 Conformal mapping
定理一
设函数w=f(z)在区域D内解析, z0为D内的一点, 且f ‘(z0)0, 则映
射w=f(z)在z0具有两个性质:
1)保角性. 即通过z0的两条曲线间的夹角跟经过映射后所得两
曲线间的夹角在大小和方向上保持不变;
2)伸缩率不变性. 即通过z0的任何一条曲线的伸缩率均为
|f ’(z0)|,而与其形状和方向无关.
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第六章 共形映射 Conformal mapping
3. 共形映射的概念
定义 设映射w=f(z)在z0的邻域内是一一对应的, 且Arg f ‘(z0)表
示这个映射在z0的转动角, |f ’(z0)|表示在z0的伸缩率, 在z0具有
保角性和伸缩率不变性, 则称映射w=f(z)在z0是共形的, 或称
w=f(z)在z0是共形映射. 如果映射w=f(z)在D内的每一点都是共
形的, 就称w=f(z)是区域D内的共形映射.
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第六章 共形映射 Conformal mapping
定理二 如果函数w=f(z)在z0解析, 且f ‘(z0)0, 则映射w=f(z)在z0
是共形的。如果解析函数w=f(z)在D内处处有f ’(z)0, 则映射
w=f(z)是D内的共形映射。
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第六章 共形映射 Conformal mapping
定理二的几何意义:在D内作以z0为其一个顶点的小三角形, 在映射下, 得到一个以w0为其一个顶点的三角形, 这两个三角形对应边长之比为|f '(z0)|, 有一个角相等, 则这两个三角形相似.
O x
y
O u
v (z) (w)
z0
w0
a
C1
C2
G1
G2
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第六章 共形映射 Conformal mapping
O x
y
O u
v (z)
(w)
z0 w0
a
C1
C2
G1
G2
伸缩率 ,由此看出映射 也将很小
的圆 , 近似地映射成圆 。
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第六章 共形映射 Conformal mapping
第二节 分式线性映射
分式线性映射 是一种常用的映
射,它可以看成由3种基本映射符合而成,在映射过程中具有
保角性、保圆性(直线可以看成半径为无穷大的圆)和保对
称性,是一种重要的映射关系。
az bw
cz d
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第六章 共形映射 Conformal mapping
可以看出:分式线性映射的逆映射也是一个分式线性映射。
1.定义
形式为
的映射称为分式线性映射。
对其求导:
可以看出,当 时,导数不为0,是共形映射.
并且,求反函数:
0az b
w ad bccz d
-
(6.2.1)
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第六章 共形映射 Conformal mapping
两个分式线性映射的复合, 仍是一个分式线性映射。例如 则 其中:
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第六章 共形映射 Conformal mapping
分式线性映射可以分解为一些简单映射的复合,
令
则
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第六章 共形映射 Conformal mapping
由此可见, 一个一般形式的分式线性映射是由下列三种特殊
映射复合而成:
下面就这三种基本映射进行讨论。为了方便, 将w平面看成
是与z平面重合的.
24
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第六章 共形映射 Conformal mapping
i) w=z+b. 这是一个平移映射. 因为复数相加可以化为向量相
加, z沿向量b的方向平移一段距离|b|后, 就得到w。 平移映射
是共形映射。
O
(z)=(w)
z
w
b
2.三种基本映射
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第六章 共形映射 Conformal mapping
ii) w=az, a0. 这是一个旋转与伸长(或缩短)的映射. 设a=leia
将z先转一个角度a, 再将|z|伸长(或缩短)l倍后, 就得到w。
旋转与伸缩映射是共形映射。
O
(z)=(w)
z
w
a
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第六章 共形映射 Conformal mapping
OPOP'=r2,
因为DOP'T相似于DOPT. 因此,
OP':OT=OT:OP, 即OPOP'=OT2=r2.
圆周的对称点
C
P P'
r
T
O
P与P'关于圆周C互为对称点
1)iii w
z
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第六章 共形映射 Conformal mapping
28
z
w1
w
1z
1
1w
z1) ; 2)
1w w
1
1 1 1i
iw e
e z
r r -
要从z得到 的映像 ,
应首先做出点z关于圆周
的对称点 ,然后
再做出点 关于实轴的对
称点,即得 。
1w
z
1z 1w
1w
w
w
1 1
z z
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第六章 共形映射 Conformal mapping
由于
29
因此,当 时函数是解析函数,并且是
共形映射。
在扩充复平面上,当 时, ;当 时,
。规定任何穿过 点的两条曲线的夹角,
等于w在无穷远点处的两条像曲线的夹角,即函数在
0点具有保角性。
0z w z
w 0 0z
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第六章 共形映射 Conformal mapping
3.分式线性映射的性质
定理三 分式线性映射在扩充复平面上是一一的,且具有保角性。
定理四 分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射成扩充w平面上的圆周,且具有保圆性。
映射w=az和w=b+z都具有将圆周映射成圆周的特性。下面证
明映射 也具有此性质。 1
wz
(6.2.2)
(6.2.3)
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第六章 共形映射 Conformal mapping
由(6.2.2)和(6.2.3)可知,映射 将圆方程 1
wz
a(x2+y2)+bx+cy+d=0
变换为方程
d(u2+v2)+bu-cv+a=0
(6.2.4)
(6.2.5)
比较方程(6.2.4)和(6.2.5)两式,可知:变换后的方程仍
为圆周(将直线看作半径为无穷大的圆周)。 在上两式中,根据系数a,b,c,d的取值不同,映射可分为四种
情况。
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 32
第六章 共形映射 Conformal mapping
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 33
第六章 共形映射 Conformal mapping
判别映射后的图形是圆还是直线
实际应用中,直线包含无穷远点,圆周不包含无穷远点。因
此,根据保圆性, 在分式线性映射下, 如果给定的圆周或直线
上没有点映射成无穷远点, 则它就映射成半径为有限的圆周;
如果有一个点映射成无穷远点, 它就映射成直线。
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 34
第六章 共形映射 Conformal mapping
定理五 设点z1,z2是关于圆周C的一对对称点, 则在分式线性映
射下, 它们的象点w1与w2也是关于C的象曲线G的一对对称点,
即具有保对称性。
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 35
第六章 共形映射 Conformal mapping
第三节 唯一决定分式线性映射的条件
分式线性映射 中含有四个常数
a,b,c,d. 但是, 如果用这四个数中的一个去除分子和分母, 就
可将分式中的四个常数化为三个常数。所以, 上式中实际上
只有三个独立的常数。因此, 只需给定三个条件, 就能决定
一个分式线性映射。 利用分式线性映射可以将上半平面映射
到单位圆内部。
az bw
cz d
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 36
第六章 共形映射 Conformal mapping
定理六 在z平面上任意给定三个相异的点z1,z2,z3, 在w平面上也
任意给定三个相异的点w1,w2,w3, 则存在唯一的分式线性映射, 将
zk(k=1,2,3)依次映射成wk(k=1,2,3).
36
证明 设 ,将zk(k=1,2,3)依次映射到
wk(k=1,2,3),
即
有
( 0)az b
w ad bccz d
-
( 1,2,3)kk
k
az bw k
cz d
( )( ), ( 1,2)
( )( )
kk
k
z z ad bcw w k
cz d cz d
- --
33
3
( )( ), ( 1,2)
( )( )
kk
k
z z ad bcw w k
cz d cz d
- --
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 37
第六章 共形映射 Conformal mapping
由此得: (6.3.1)
这就是所求的分式线性映射.
唯一性:如果有另外一个分式线性映射, 也把z平面上三个
相异点z1,z2,z3依次映射成w平面上的三个相异点w1,w2,w3,
则重复上面的步骤, 消去常数后, 最后得到的仍然是(6.3.1)
式. 所以(6.3.1)式是由三对相异的对应点唯一确定的分式线
性映射.
37
3 2 3 21 1
2 3 1 2 3 1
w w z zw w z z
w w w w z z z z
- -- -
- - - -
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 38
第六章 共形映射 Conformal mapping
在给定两个圆周C与C’, 在圆周上分别取定三个点, 必能找
到一个分式线性映射将C映射成C’ . 但是这个映射会将C内
部映射到哪里呢?
区域映射判别:圆周C的内部要么映射到圆周C’的内部,
要么映射到C’的外部。如果在C内部任取一点z0, 而点z0的
象在C‘的内部, 则C的内部就映射成C’的内部; 如果z0的象
在C‘的外部, 则C的内部就映射成C’的外部.
或者在C上取定三点z1,z2,z3, 它们在C‘的象分别为w1,w2,w3.
如果C依z1z2z3的绕向与C’依w1w2w3的绕向相同,
则C的内部就映射成C‘的内部, 否则映射成C’的外部。
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 39
第六章 共形映射 Conformal mapping
z1 z2
z
z3
w1
w2
w3 w1
w2
w3
w
w
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 40
第六章 共形映射 Conformal mapping
对于在z平面内两圆周(圆弧)所包围区域的映射情况,讨论如下:
1)当两圆周上都没有点映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成新的两圆弧所围成的区域; 2)当某一圆周上有一个点映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所围成的区域; 3)当两圆周的一个交点映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域.
x 1
-i
i
-1
C1 C2
y
(z)
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 41
第六章 共形映射 Conformal mapping
例1 中心在 z=1与 z-1, 半径为 2 的二圆弧所围区域, 在映射 iz
izw
-
下映射成什么区域?
41
x 1
-i
i
-1
C1 C2
y
(z)
O
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 42
第六章 共形映射 Conformal mapping
映射的角形区如下图所示:
x 1
-i
i
-1
C1 C2
y
(z)
O
C2'
C1'
O u
v
(w)
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 43
第六章 共形映射 Conformal mapping
解 所设的两个圆弧的交点为-i与i, 且相互正交。由所给映射可知,交点-i映射成无穷远点, i映射成原点. 因此所给的区域经映射后映射成以原点为顶点的角形区域, 张角等于π/2.
1 2 1,
2 1 (1 2) (1 2)
2 1 2 2
C z
i iw
i
-
- - - -
- -
取 与正实轴的交点 对应点是
此点在第三象限的分角线上,因此可得C1的映像C1’。再由保角性知C2映射为第二象限的分角线C2’。
43
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 44
第六章 共形映射 Conformal mapping
例2 求将上半平面Im(z)>0映射成单位圆|w|<1的分式线性映射.
O 1 -1 x
y
l
O 1 -1 u
i
v
(z) (w)
l
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 45
第六章 共形映射 Conformal mapping
.
,
.1||
0,
,
w
z
w
zz
zz
必映成的性质知映射具有保对称点不变
所以根据分式线性的一对对称点于圆周
是与之对应的关与轴的一对对称点
是关于实与而实轴要映射成单位圆
l
ll
解法一 将上半平面看成半径为无穷大的圆域, 实轴就是圆域的边
界圆周. 因为分式线性映射具有保圆性, 因此它必能将上半平面
Im(z)>0映射成单位圆|w|<1. 由于上半平面总有一点z= 要映成单
位圆周|w|=1的圆心w=0,从而所求的分式线性映射具有下列形式:
zw k
z
l
l
-
-
l
其中k为常数.
因为 ,而实轴上的点z对应着 上的点,
这时 ,所以 ,即 ,这里 是任意实数.
因此所求分式线性映射的一般形式为
| | | |z
w kz
l
l
-
-
| | 1w
1z
z
l
l
-
-| | 1k eik
e ,(Im( ) 0)i zw
z
ll
l
-
- (6.3.2)
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 46
第六章 共形映射 Conformal mapping
反之, 形如上式的分式线性映射必将上半平面Im(z)>0映射成单
位圆|w|<1. 因为当z取实数时
| | e | e | 1i iz zw
z z
l l
l l
- -
- -
即把实轴映射成|w|=1. 又因为上半平面中的z= 映射成w=0,
所以(6.3.2)必将Im(z)>0映射成|w|<1.
46
l
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 47
第六章 共形映射 Conformal mapping
也可以在x轴与单位圆周|w|=1上取三对对应点来求解。
解法二 在x轴上任意取定三点:z1-1, z2=0, z3=1使它们对应
于|w|=1上三点:w1=1, w2=i, w3-1, 则因z1z2z3跟
w1w2w3的绕向相同, 由(6.3.1)式求得分式线性映射为
1 1 1 1 0
1 1 0 1 1
w i z
w i z
- - - -
- - - -
1
z iw
iz
-
-化简后得
47
(6.3.3)
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 48
第六章 共形映射 Conformal mapping
注意: 如果选取其他三对不同点,必然也能得出满足要求的映
射, 但可能不同于(6.3.3)的分式线性映射的形式。把上半平
面映射成单位圆的分式线性映射不是唯一的, 而是有无穷多
个。这从(6.3.2)中的 可以任意取实数值即可看出. (6.3.3)就
是取l=i,-p/2而得到的. 如果以l=i, =0代入(6.3.2), 则可
得 z i
wz i
-
这也是一个把上半平面Im(z)>0映射成单位圆|w|<1, 且将点z=i映
射成圆心w=0的映射.
48
(6.3.4)
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 49
第六章 共形映射 Conformal mapping
例3 求将上半平面Im(z)>0映射成单位圆|w|<1且满足w(2i)=0,
arg w‘(2i)=0的分式线性映射.
解 由条件w(2i)=0知, 所求的映射要将上半平面中的点z=2i映射
成单位圆周的圆心w=0。所以由(6.3.2)得 2
2
i z iw e
z i
-
2
4( ) e
( 2 )
i iw z
z i
对上式求导得
49
,可得 (2 )4
i iw i e
-
arg (2 ) 0,2 2
w ip p
- 辐角主值为
将 带入得到分式线性映射: 2
2
z iw i
z i
-
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 50
第六章 共形映射 Conformal mapping
例4 求将单位圆|z|<1映射成单位圆|w|<1的分式线性映射.
x 1
y
(z)
O O u
v
(w)
1
a
1
a
a’
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 51
第六章 共形映射 Conformal mapping
1| | 1
( 0 ) , , 0,
1,
z w
w z w
z w
aa
a
a
这时与点 对称于单位圆周 的点 应该被映射成 平面
上的无穷远点即与 对称的点。因此 当 时 而
当 时 。满足这些条件的分式线性映射具有如下的
形式:
解 设z平面上单位圆|z|<1内部的一点a映射成w平面上的单位
圆|w|<1的中心w=0.
'1 1 1
z z zw k k k
z zz
a a aa
a a
a
- - -
- - -
'k ka -其中
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 52
第六章 共形映射 Conformal mapping
由于z平面上单位圆周上的点要映成w平面上单位圆周上的点,
所以当|z|=1,|w|=1. 将点z=1代入上式, 得
1| ' | | | 1
1
|1 | |1 |
k wa
a
a a
-
-
- -又因
所以 ,其中j为任意实数.
52
| ' | 1 ik k e j ,即
因此, 将单位圆|z|<1映射成单位圆|w|<1的分式线性映射的
一般表示式是
e . (| | 1)1
i zw
z
aa
a
-
- (6.3.5)
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 53
第六章 共形映射 Conformal mapping
e 1 e| | e e 1
1 e ee
i ii i
i iiw
j j
a a
a a-
- -
- -
反之, 形如上式的映射必将单位圆|z|<1映射成单位圆|w|<1.
这是因为圆周|z|=1上的点z=ei (为实数)映射成圆周|w|=1上
的点:
53
同时单位圆|z|<1内有一点z=a映射成w=0.所以(6.3.5)必将单位圆
|z|<1映射成单位圆|w|<1.
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 54
第六章 共形映射 Conformal mapping
2
1
2
1 1 11 11 42 2 22e , e e
1 2 311 12 2
i i i
z
z zz
w w
z z
- -- - -
例5 求将单位圆映射成单位圆且满足条件w(1/2)=0, w'(1/2)>0的分式线性
映射.
解 由条件w(1/2)=0知, 所求的映射要将z=1/2 映射成|w|<1的中心. 所以由
(6.3.5)得
1 1 1arg , 0 , arg 0, 0
2 2 2
12 12
1 21
2
w w w
zz
wz
z
--
-
-
故 由于 为正实数 从而 即
所以所求映射为
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 55
第六章 共形映射 Conformal mapping
2 2e
2 2
1(2 ) 2e
4
i
i
w i z i
z i
w ii
- -
综上可得 ,
求导得
例6 求将Im(z)>0映射成|w-2i|<2且满足条件w(2i)=2i,
arg w‘(2i)-p/2的一个分式线性映射.
解 容易看出, 映射z=(w-2i)/2将|w-2i|<2映射成|z|<1。
将上半平面映射到单位圆|z|<1,且满足z(2i)=0的映射为 2
e2
i z i
z i
z-
,
arg (2 ) arg(2e ) arg(4 ) arg (2 ) ,2 2
0
2 2 22(1 ) .
2 2 2
iw i i w i
w i z i zw i
z i z i
p p
- - -
- - -
。由于已知
从而得 。于是所求映射为
或
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 56
第六章 共形映射 Conformal mapping
2i
(z)
O
(z)
2i
(w)
22(1 )
2
zw i
z i
-
2
2
z i
z iz
-
w=2(i+z)
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 57
第六章 共形映射 Conformal mapping
第四节 几个初等函数所构成的映射
幂函数和指数函数是两种重要的映射。幂函数可以
把角形区域进行缩放,而指数函数可以把带状区域映射成角
形区域。结合分式线性映射,可以将一些复杂的区域映射到
半平面或者单位圆内部。
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 58
第六章 共形映射 Conformal mapping
1. 幂函数 w=zn(n2为自然数)
在z平面内处处可导, 它的导数是
1d
d
nwnz
z
-
d0
d
w
z
因而当z0时,
58
所以, 在z平面内除去原点外, 由w=zn所构成的映射处处共形.映射的特点是: 把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域, 但张角变成了原来的n倍。
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 59
第六章 共形映射 Conformal mapping
O
(z)
0
O
(w)
n0
w=zn
(z) (w)
O O
2
n
p 上岸
下岸
w=zn
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 60
第六章 共形映射 Conformal mapping
例1 求把角形域0<arg z<p/4映射成单位圆|w|<1的一个映射.
解 z=z4将所给角形域0<arg z<p/4映射成上半平面Im(z)>0.
又从上节的例2知, 映射 将上半平面映射成单位圆
。
因此所求映射为 。 4
4
z iw
z i
-
iw
i
z
z
-
| | 1w
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 61
第六章 共形映射 Conformal mapping
(z)
O
4
p
O
(z )
1
(w)
z z4
iw
i
z
z
-
4
4
z iw
z i
-
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 62
第六章 共形映射 Conformal mapping
例2 求把下图中由圆弧C1与C2所围成的交角为a的月牙域映射成角形域j0<arg w<j0+a的一个映射.
j0
(w)
O 1
C1 C2
a (z)
O
-i
i
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 63
第六章 共形映射 Conformal mapping
j0
(w)
O 1
C1 C2
a (z)
O
-i
i
a
(z)
1 O
0( )2
i z iw e
z i
p -
z ii
z iz
-
0ei
w z
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 64
第六章 共形映射 Conformal mapping
z ik
z iz
-
解 先求出把C1,C2的交点i与-i分别映射成z平面中的z=0与z=,
并使月牙域映射成角形域0<argz<a;
再把这角形域通过映射 转过一角度j0, 即得题设要求
的角形域.
第一步中,将所给月牙域映射成z平面中的角形域的映射是具
有以下形式的分式线性函数:
其中k为待定的复常数.
0iw e
j z
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 65
第六章 共形映射 Conformal mapping
00
1
1
0
( )2
11 . 1,
1
, .
, 0 arg .
ii
iC z k ik k i
i
z ii C
z i
z i z iw e i e
z i z i
p
z z
z z
z a
j
- -
-
- -
此映射把 上的点 映射成 取 使
这样 映射 就把 映射成 平面上的正实轴
根据保角性 它把所给的月牙域映射成角形域
再对该角形域旋转 ,可得所求的映射为
65
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 66
第六章 共形映射 Conformal mapping
例3 求把具有割痕Re(z)=a>0, 0Im(z)h的上半平面( Im(z) >0)
映射成上半平面的一个映射.
x O
y (z)
C(a+ih)
B D a O u
v (w)
a-h a a+h
B C D
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 67
第六章 共形映射 Conformal mapping
x O
y (z)
C(a+ih)
B D a
O
u
v (w)
a-h a a+h
B C D
O
(z1)
C
B D
ih
-h2
C O B
D
(z2)
C
O B h2
D
(z3)
O
(z4)
C B D
-h +h
z1=z-a
z2=z12
z3=z2+h2
4 3z z
w=z4+a
2 2( )w z a h a -
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 68
第六章 共形映射 Conformal mapping
解 解决本题的关键显然是要设法将垂直于x轴的割痕的两侧
和x轴之间的夹角展平。 由于映射w=z2能将顶点在原点处的
角度增大到两倍,所以利用这个映射可以达到将割痕展平的
目的。
第一步,把上半z平面向左作一个距离为a的平移:z1=z-a.
第二步,应用映射z2=z12, 便得到一个具有割痕-h2Re(z2)<+,
Im(z2)=0的z2平面.
第三步,把z2平面向右作一距离为h2的平移: z3=z2+h2, 便得到
去掉了正实轴的z3平面.
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 69
第六章 共形映射 Conformal mapping
第四步,通过映射 得到 平面中的上半平面;
第五步,把 平面向右平移 ,即通过映射 ,得到
平面中的上半平面。
综上所述:所求的从 平面到 平面的映射为:
4 3z z 4z
4z a4w z a
w
z w
2 2( )w z a h a -
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 70
第六章 共形映射 Conformal mapping
2. 指数函数 w=ez
由于在z平面内 w‘=(ez)’=ez0,所以w=ez所构成的映射是一个
全平面上的共形映射。
设z=x+iy, w=reij, 则 r = ex, j = y,
由此可知:
1)z平面上的直线x=常数, 被映射成w平面上的圆周r=常数;
2)直线y=常数, 被映射成射线j=常数.
3)带形域0<Im(z)<a映射成角形域0<arg w<a. 特别是带形域
0<Im(z)<2p映射成沿正实轴剪开的w平面:0<arg w<2p.它们间的
点是一一对应的.
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 71
第六章 共形映射 Conformal mapping
ai
O x
y (z)
arg w=a
u O
v (w)
2pi
O x
y (z)
O u
v (w)
w=ez
z=lnw
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 72
第六章 共形映射 Conformal mapping
由指数函数w=ez所构成的映射的特点是: 把水平的带形域
0<Im(z)<aap映射成角形域0<argw<a. 因此, 如果要把带
形域映射成角形域, 常常利用指数函数.
Im( ) 0 | | 1.
e
e
z
z
iw w
i
iw
i
zz
z
-
-
映射 将平面的上半平面 映射成单位圆
因此所求的映射为
例4 求把带形域0<Im(z)<p映射成单位圆|w|<1的一个映射.
解 由刚才的讨论知, 映射z=ez将所给的带形域映射成z平面的
上半平面Im(z)>0. 而根据(6.3.4)又知:
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 73
第六章 共形映射 Conformal mapping
例5 求把带形域a<Re(z)<b映射成上半平面Im(w)>0的一个映射.
解 带形域a<Re(z)<b经过映射
π( )
iz a
b az -
-
π( )
ia
b aw ez -
-
后可映射成带形域0<Im(z)<p. 再用映射w=ez, 就可把带形域
0<Im(z)<p映射成上半平面Im(w)>0. 因此所求映射为
73
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 74
第六章 共形映射 Conformal mapping
O
(z)
a b
(w)
O
pi
(z)
O
π( )
iz a
b az -
-
w=ez
π( )
ia
b aw ez -
-
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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 75
第六章 共形映射 Conformal mapping