МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1window.edu.ru/resource/024/76024/files/mu.pdf · 2...

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» УТВЕРЖДАЮ Директор ИДО

_______________ С.И. Качин

«____»_____________2011 г.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1

Методические указания и индивидуальные задания для студентов ИДО, обучающихся по направлениям

080100 «Экономика», 080200 «Менеджмент»,

080400 «Управление персоналом», 100700 «Торговое дело»

Составители

А.Н. Харлова, Е.А. Молдованова

Семестр 1 Кредиты 6 Лекции, часов 8 Практические занятия, часов 8 Индивидуальные задания № 1, № 2 Самостоятельная работа, часов 162 Формы контроля экзамен

Издательство Томского политехнического университета

2011

2

УДК 517

Математический анализ 1: метод. указ. и индивид. задания для сту-дентов ИДО, обучающихся по напр. 080100 «Экономика», 080200 «Ме-неджмент», 080400 «Управление персоналом», 100700 «Торговое де-ло» / сост. А.Н. Харлова, Е.А. Молдованова; Томский политехнический университет.– Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2011. – 81 с.

Методические указания и индивидуальные задания рассмот-рены и рекомендованы к изданию методическим семинаром кафедры высшей математики ФТИ «____» ________ 2011 г., протокол № ___.

Зав. кафедрой ВМ профессор, доктор физ.-мат. наук _________________К.П. Арефьев

Аннотация Методические указания и индивидуальные задания по дисци-

плине «Математический анализ 1» предназначены для студентов ИДО, обучающихся по направлениям 080100 «Экономика», 080200 «Менеджмент», 080400 «Управление персоналом», 100700 «Торго-вое дело». Данная дисциплина изучается в одном семестре.

Приводится содержание основных тем дисциплины, темы практических занятий, варианты заданий для индивидуальных до-машних заданий и список рекомендуемой литературы. Даны ос-новные требования и методические указания по выполнению инди-видуальных домашних заданий.

3

1. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ

Дисциплина «Математический анализ 1»изучается в первом семе-стре первого курса студентами ИДО, обучающимися по направлениям 080100 «Экономика», 080200 «Менеджмент», 080400 «Управление пер-соналом», 100700 «Торговое дело».

Задачами дисциплины являются: • развитие математической интуиции; • воспитание математической культуры; • формирование навыков, необходимых для использования зна-

ний при изучении специальных дисциплин и дальнейшей практической деятельности;

• овладение студентами необходимым математическим аппара-том, дающим возможность анализировать, моделировать и решать эко-номические задачи;

• воспитание у студентов отношения к математике как к инстру-менту исследования и решения экономических задач, необходимому в их дальнейшей работе.

В результате изучения дисциплины студент должен знать основные понятия дифференциального и интегрального ис-

числений (предел, производная, дифференциал, неопределенный и оп-ределенный интегралы и их применение к решению прикладных задач);

уметь применять изученные методы для решения экономических задач, устанавливать границы применимости методов, уметь анализиро-вать найденные решения;

владеть навыками применения современного математического ин-струментария для решения экономических задач, методиками для по-строения, анализа и применения математических моделей оценки со-стояния, прогноза и развития различных экономических процессов;

иметь опыт применения математической символики для выраже-ния количественных и качественных отношений объектов исследова-ния, аналитического и численного решения задач.

Дисциплина «Математический анализ 1» является базовой дисцип-линой естественно-научного цикла (Б2).

Для её успешного усвоения необходимы математические знания и умения на уровне среднего образования, а именно, необходимо свобод-но оперировать с простыми дробями, целыми и дробными степенями, с формулами сокращенного умножения, строить графики основных эле-ментарных функций, находить области определения элементарных функций, оперировать с логарифмами.

4

Пререквизитов данная дисциплина не имеет, поскольку является первой обязательной дисциплиной образовательной программы.

Кореквизитами являются «Информатика» (Б2, В2), «Концепция со-временного естествознания» (Б2, В1), «Экология» (Б2, В3).

2. СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ

Тема 1. Основные понятия математического анализа Понятие множества. Операции над множествами и их свойства.

Понятие вещественного числа. Числовые множества. Понятие ком-плексного числа. Понятие функции. Способы задания функции. Основ-ные характеристики поведения функции. Понятия сложной, неявной, обратной функций. Основные элементарные функции и их свойства. Классификация функций.

Рекомендуемая литература: [2, глава 1, глава 7 §1–5], [6, глава 1 §1–4].

Методические указания Изучение данной темы позволит повторить и систематизировать

школьный курс алгебры. Кроме того, содержание темы является осно-вополагающим для успешного изучения последующих тем. Следует об-ратить особое внимание на свойства и графики основных элементарных функций. Выучите классификацию функций. Разберите примеры на ус-тановление области определения функции.

При изучении числовых множеств появляется новое понятие – по-нятие комплексного числа. Наибольшие трудности вызывают различ-ные формы записи комплексного числа. Чтобы не сделать ошибку при определении аргумента комплексного числа, изображайте число в виде точки на комплексной плоскости.

Ниже сформулированы теоретические вопросы, которые помогут подготовиться к выполнению индивидуальных заданий. Приступать к решению задач можно только в том случае, если ответы на вопросы не вызвали затруднений. В противном случае необходимо снова обратить-ся к рекомендованной литературе.

Вопросы для самопроверки 1. Приведите примеры конечных множеств и бесконечных. 2. Какими способами может быть задано множество? 3. Какое множество называется пустым? 4. Как найти пересечение и объединение двух множеств? 5. Перечислите числовые множества.

5

6. Что такое числовой промежуток? 7. Какие промежутки различают? 8. Какими способами можно задать функцию? 9. Что называется областью определения функции? 10. Что называется множеством значений функции? 11. Что такое сложная функция? Приведите примеры. 12. Как найти естественную область определения сложной функ-

ции? 13. Приведите примеры неявного задания функции. 14. Что называется графиком функции? 15. Какие функции называются основными элементарными? 16. Какие функции называются элементарными? 17. Какая функция называется чётной, нечётной? 18. Приведите примеры чётных функций, нечётных функций? 19. Как по графику функции определить, является ли она чётной

или нечётной? 20. Какие особенности имеет график периодической функции? 21. Какая функция называется возрастающей на множестве? 22. Какая функция называется убывающей на множестве? 23. Какая функция называется монотонной? 24. Приведите примеры периодических функций и укажите для ка-

ждой её период. 25. Какая функция называется ограниченной? 26. Приведите пример ограниченной и неограниченной функции. 27. Что такое комплексное число? 28. Что называется модулем комплексного числа? 29. Что называется аргументом комплексного числа? 30. Какие формы записи комплексного числа различают? Тема 2. Предел и непрерывность функции одной переменной Понятие предела функции. Основные теоремы о пределах. Число e. По-

нятие бесконечно малой величины и бесконечно большой величины. Их взаимосвязь. Понятие односторонних пределов. Непрерывность функции в точке, на множестве. Вычисление пределов функций. Точки разрыва и их классификация. Основные свойства непрерывных функций.

Рекомендуемая литература: [1, глава 1], [2, глава 2], [6, глава 1 § 5–10].

Методические указания Понятие предела является основным понятием математического

анализа. Эта тема одна из наиболее важных и трудных в математиче-

6

ском анализе. Для успешного освоения этой темы необходимо выучить определения предела функции и определение непрерывности функции в точке. Обратите внимание на способы раскрытия неопределённостей

вида 00

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, ∞⎛ ⎞⎜ ⎟∞⎝ ⎠

, ( )∞ −∞ . Чтобы освоить технику вычисления пределов

и успешно выполнить индивидуальное домашнее задание №1, разберите примеры, решённые в задачниках [6], [7]. Кроме того, необходимо нау-читься выявлять точки разрыва функции и проводить их классифика-цию. Типы точек разрыва рекомендуется иллюстрировать графически.


Вопросы для самопроверки 1. Что называется окрестностью данной точки? 2. Сформулируйте определение предела функции при →x a . 3. Сформулируйте определение предела функции при →∞x . 4. Какая функция называется непрерывной в данной точке? 5. Какая функция называется непрерывной на заданном отрезке? 6. Что такое односторонние пределы функции в точке? 7. Всегда ли совпадают односторонние пределы функции в данной

точке? 8. Следует ли из существования предела функции в данной точке

существование односторонних пределов в этой точке? 9. Следует ли из существования односторонних пределов функции

в данной точке существование предела в этой точке? 10. Какая функция называется бесконечно малой? 11. Какая функция называется бесконечно большой? 12. Как связаны между собой бесконечно малые и бесконечно

большие функции? 13. Что такое неопределённость при вычислении предела? 14. Перечислите виды неопределённостей, которые могут возни-

кать при вычислении пределов. 15. При каких условиях предел суммы двух функций равен сумме

пределов этих функций? 16. При каких условиях предел произведения двух функций равен

произведению пределов этих функций? 17. При каких условиях предел частного двух функций равен част-

ному пределов этих функций?

7

18. Является ли разность двух бесконечно малых функций беско-нечно малой функцией?

19. Является ли разность двух бесконечно больших функций беско-нечно большой функцией?

20. Является ли частное двух бесконечно малых функций беско-нечно малой функцией?

21. Является ли частное двух бесконечно больших функций беско-нечно большой функцией?

22. Является ли произведение двух бесконечно малых функций бесконечно малой функцией?

23. Является ли произведение двух бесконечно больших функций бесконечно большой функцией?

24. Какими свойствами обладают функции, непрерывные в точке? 25. Что называется точкой разрыва функции? 26. Какая точка разрыва функции называется точкой устранимого

разрыва? 27. Какая точка разрыва функции называется точкой разрыва пер-

вого рода? 28. Какая точка разрыва функции называется точкой разрыва вто-

рого? 29. Каков алгоритм исследования функции на непрерывность? 30. Какими свойствами обладают функции, непрерывные на отрезке?

Тема 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Понятие производной, ее физический и геометрический смысл.

Уравнение касательная к кривой. Понятие дифференцируемой функции. Дифференциал. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Производные и дифференциалы высших по-рядков. Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Применение дифференциального исчисле-ния к исследованию функций. Построение графиков функций.

Рекомендуемая литература: [1, глава 2], [2, главы 3–5], [6, главы 2–3].

Методические указания При изучении этой темы необходимо выучить наизусть таблицу

производных сложных функций и правила дифференцирования. Умение находить производные сложных функций необходимо для успешной сдачи экзамена и изучения последующих тем. Важной составляющей данной темы является применение понятия производной к исследова-

8

нию функций и построению графиков. Поэтому необходимо выучить все основные теоремы дифференциального исчисления (необходимое и дос-таточные условия экстремума, достаточные условия монотонности функции, необходимое и достаточные условия перегиба графика функ-ции). Кроме того, при построении графика функции не забывайте нахо-дить его асимптоты и исследовать поведение функции на бесконечности.

Чтобы освоить технику дифференцирования функции одной пере-менной, а также применение производных к исследованию функций, разберите задачи, решённые в задачниках [6] и [7].


Вопросы для самопроверки 1. Что такое производная функции? 2. Как найти производную функции? 3. Чему равна производная постоянной величины? 4. Чему равна производная суммы двух функций? 5. Чему равна производная произведения двух функций? 6. Чему равна производная частного двух функций? 7. Как найти угловой коэффициент касательной к графику функ-

ции? 8. Как найти производную сложной функции? 9. Сформулируйте признак постоянства функции. 10. Сформулируйте признак монотонности функции. 11. Сформулируйте необходимое условие экстремума. 12. Сформулируйте достаточное условие экстремума. 13. Совпадают ли необходимое и достаточное условия экстремума?

В чём разница между ними? 14. Что такое критическая точка функции? 15. Каков алгоритм нахождения критических точек функции? 16. Каков алгоритм нахождения промежутков монотонности и то-

чек экстремума? 17. Что такое экстремум функции? 18. Чем отличается наибольшее значение функции от её локального

максимума? 19. Чем отличается наименьшее значение функции от её локального

минимума? 20. Что такое дифференциал функции?

9

21. Как связаны между собой дифференциал и производная функ-ции в данной точке?

22. В чём заключается свойство инвариантности формы первого дифференциала?

23. Как найти вторую (третью и т.д.) производную функции? 24. Сформулируйте правило Лопиталя? 25. Для раскрытия каких неопределённостей применяется правило

Лопиталя? 26. Дайте определение выпуклости и вогнутости кривой на проме-

жутке. 27. Какие точки называются точками перегиба? 28. Каков алгоритм нахождения точек перегиба графика функции? 29. Что называется асимптотой графика функции? 30. Какие асимптоты различают? Тема 4. Интегральное исчисление функций одной переменной Понятие первообразной. Неопределенный интеграл и его свойства.

Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: замена пере-менной, интегрирование по частям. Интегрирование рациональных дро-бей. Интегрирование простейших тригонометрических выражений. По-нятие «неберущихся» интегралов. Задачи, приводящие к понятию опре-делённого интеграла. Понятие определенного интеграла, его свойства и геометрический смысл. Интеграл с переменным верхним пределом и формула Ньютона − Лейбница. Замена переменной в определенном ин-теграле. Интегрирование «по частям». Численные методы вычислений определенных интегралов (метод прямоугольников, трапеций, парабол). Применение определённых интегралов к вычислению площадей пло-ских фигур. Несобственные интегралы.

Рекомендуемая литература: [1, глава 3], [2, главы 10–12], [6, главы 4–5].

Методические указания При изучении этой темы необходимо выучить наизусть таблицу

интегралов и основные формулы интегрирования. Внимательно разбе-рите основные методы интегрирования: метод подведения под знак дифференциала, метод подстановки и метод интегрирования по частям. Особую трудность в изучении представляет метод подведения под знак дифференциала. Для успешного овладения этим методом вместе с таб-лицей интегралов используйте и таблицу производных. Тщательно раз-берите все решённые примеры в [6] и [7]. При изучении определённых

10

интегралов обратите внимание на их связь с неопределёнными интегра-лами. Для вычисления определённых интегралов используйте формулу Ньютона – Лейбница, применяя при этом все изученные правила и ме-тоды нахождения первообразных. Решение задач о нахождении площа-ди плоских фигур следует начинать с построения соответствующей об-ласти в декартовой системе координат.

Вопросы для самопроверки 1. Что такое первообразная для функции? 2. Для каких функций существуют первообразные? 3. Как связаны между собой две первообразные для одной и той

же функции? 4. Что такое неопределённый интеграл от функции? 5. Какими свойствами обладает неопределённый интеграл? 6. Назовите операцию обратную операции интегрирования. 7. Какие интегралы называются «неберущимися»? Приведите

пример. 8. В чём состоит свойство инвариантности формул интегрирования? 9. В чём заключается сходство и различие между определённым и

неопределённым интегралами? 10. Запишите формулу интегрирования по частям в неопределён-

ном интеграле. 11. Запишите формулу интегрирования по частям в определённом

интеграле. 12. Для нахождения каких интегралов используется формула ин-

тегрирования по частям? 13. Как изменится определённый интеграл, если пределы интегри-

рования поменять местами? 14. Запишите формулу Ньютона – Лейбница. 15. Как сделать замену переменной в неопределённом интеграле? 16. Как сделать замену переменной в определённом интеграле? 17. Назовите основные методы интегрирования. 18. Чему равен определённый интеграл по симметричному интер-

валу от нечётной функции? 19. Чему равен определённый интеграл по симметричному интер-

валу от чётной функции? 20. Как с помощью определённого интеграла найти среднее значе-

ние функции на отрезке? 21. Как вычислить площадь плоской фигуры с помощью интеграла? 22. Какой геометрический смысл определённого интеграла? 23. Что такое несобственный интеграл?

11

24. Какой несобственный интеграл называется сходящимся? 25. Какой несобственный интеграл называется расходящимся? 26. Что такое определённый интеграл с переменным верхним пре-

делом? 27. Как определить знак определённого интеграла, не вычисляя его? 28. В каком случае несобственный интеграл с бесконечными преде-

лами интегрирования имеет геометрический смысл? 29. Чему равна производная определённого интеграла от непрерыв-

ной функции по переменному верхнему пределу? 30. В чём заключается свойство аддитивности определённого интеграла?

3. СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ

3.1. Тематика практических занятий 1. Вычисление пределов функций (2 часа). 2. Дифференцирование функции одной переменной (2 часа). 3. Неопределённый интеграл (2 часа). 4. Определённый интеграл (2 часа).

4. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ

4.1. Общие методические указания Основной формой обучения студента ИДО является

самостоятельная работа над учебным материалом. Она состоит из следующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, ответы на вопросы для самопроверки, выполнение домашних индивидуальных заданий (ИДЗ).

В соответствии с учебным графиком для студентов, обучающихся по направлениям 080100 «Экономика», 080200 «Менеджмент», 080400 «Управление персоналом», 100700 «Торговое дело», предусмотрено выполнение двух индивидуальных домашних заданий. Выполнение этих заданий необходимо для закрепления теоретических знаний и при-обретения практических навыков решения типовых задач. Индивиду-альное задание № 1 соответствует темам 1–3 раздела 2 «Содержание теоретического раздела дисциплины». Индивидуальное задание № 2 со-ответствует теме 4 раздела 2.

Студент выполняет вариант индивидуального домашнего зада-ния, номер которого совпадает с двумя последними цифрами шифра его зачётной книжки. Если две последние цифры превосходят число 20, то следует вычесть число кратное двадцати. Например, если номер зачет-ной книжки З-3В11/14, но студент выбирает вариант индивидуального

12

домашнего задания под номером 14, если шифр З-3В11/26, то выбирать надо вариант под номером 6, если шифр З-3В11/47, то выбирать надо вариант под номером 7.

Индивидуальные задания выполняются в соответствии с графиком изучения дисциплины и высылаются на проверку преподавателю. Рабо-ты следует выполнять в течение семестра, чтобы к началу сессии они уже были прорецензированы.

При оформлении индивидуального домашнего задания необходимо соблюдать следующие требования:

1. Обязательно должен быть титульный лист. На титульном листе указываются номер индивидуального задания, номер варианта, название дисциплины; фамилия, имя, отчество студента; номер группы, шифр.

2. Все страницы работы должны иметь сквозную нумерацию. 3. Обязательно прилагается список использованной литературы. В

этот список необходимо включить рабочую программу и методические указания, в соответствии с которыми выполнены задания.

4. Решения задач следует располагать в той же последовательности, что и задания. Перед решением следует записать текст условия задачи.

5. Решения всех задач должны быть подробными, со всеми проме-жуточными расчётами, с указанием использованных формул и т.п.

6. В случае не соответствия работы требованиям к оформлению студент получает оценку «незачтено». В этом случае работа должна быть исправлена и повторно предоставлена на проверку преподавателю.

7. Студент, не получивший положительной аттестации хотя бы по одному индивидуальному заданию, не допускается к сдаче экзамена по данной дисциплине.

Перед выполнением индивидуального домашнего занятия студент должен ознакомиться с литературой, рекомендуемой по каждой теме, включенной в теоретический раздел дисциплины.

Студент может обращаться к преподавателю с вопросами для по-лучения устной или письменной консультации. Указания студенту по текущей работе даются также в процессе рецензирования ИДЗ. Кроме того, студентам читаются обзорные лекции по наиболее важным и трудным разделам курса, проводятся практические занятия.

Студенты, обучающиеся по классической заочной форме (КЗФ) каждое индивидуальное задание оформляют в отдельной тетради.

Студенты, обучающиеся с использованием дистанционных образо-вательных технологий (ДОТ) каждое индивидуальное задание оформ-ляют в отдельном файле. Студенты, обучающиеся с использованием ДОТ, в обязательном порядке получают письменную рецензию на каж-дое индивидуальное задание. Работы студентам не возвращаются.

13

4.2. Варианты домашних заданий и методические указания

4.2.1. Индивидуальное задание № 1

Вариант № 1 1. Найдите пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

1.1. 2

21

8 2 3lim7 3 5x

x xx x→−

+ +− +

; 1.5. 2

2

3 2lim6 4 3x

x xx x→∞

− −+ −

;

1.2. 2

2/2

sin 3lim2x

xx→π

; 1.6. 2

2lim4 9

x

x

xx→∞

+⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

;

1.3. 25

20 9lim14 45x

xx x→

−− +

; 1.7. 3

22

8lim7 10x

xx x→

−− +

;

1.4. 2

5lim8 7x

xx x→∞

−− +

; 1.8. 29

1 18lim9 81x x x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟− −⎝ ⎠.

2. Исследуйте функции на непрерывность, постройте их графики:

2.1.

2 , если 1,( ) , если 1 2,

1, если 2.

x xf x x x

x

⎧ ≤⎪= < ≤⎨⎪− >⎩

2.2. 2

23

yx x

=−

.

3. Найдите производные функций:

3.1. 3

21 32xy e

x x= + − − ; 3.4.

20,5ctgsin xy x e= ⋅ ;

3.2. sin 21 cos2

xyx

=+

; 3.5. 3 arcsin2xy = ;

3.3. 2

2xxy e= − ; 3.6. 2 2ln ( 2ln )y x x= − .

4. Найдите пределы, пользуясь правилом Лопиталя:

4.1. 3

42

2 4lim7 2x

x xx x→

− −− −

; 4.3. 1

1limln lnx

xx x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

;

4.2. 20

1 cos3limx

xx→

− ; 4.4. 2

2 3lim8 5x

xx x→∞

+− +

.

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функций на указанном

отрезке: 5.1. 4 3 28 16y x x x= + + , [ 3;1]− ; 5.2. 23

2xy

x−

=+

, [ 1; 2]− .

6. Найдите интервалы монотонности и экстремумы функций:

6.1. 3 2

2 13 2x xy x= − − + ; 6.2. xy x e−= ⋅ .

14


1.1. 2

21

8 2 3lim7 3 5x

x xx x→−

+ +− +

; 1.5. 2

2

3 2lim6 4 3x

x xx x→∞

− −+ −

;

1.2. 2

2/2

sin 3lim2x

xx→π

; 1.6. 2

2lim4 9

x

x

xx→∞

+⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

;

1.3. 25

20 9lim14 45x

xx x→

−− +

; 1.7. 3

22

8lim7 10x

xx x→

−− +

;

1.4. 2

5lim8 7x

xx x→∞

−− +

; 1.8. 29

1 18lim9 81x x x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟− −⎝ ⎠.

2. Исследуйте функцию на непрерывность, постройте её график:

2.1.

2 , если 1,( ) , если 1 2,

1, если 2.

x xf x x x

x

⎧ ≤⎪= < ≤⎨⎪− >⎩

2.2. 2

23

yx x

=−

.

3. Найдите производную функции:

3.1. 3

21 32xy e

x x= + − − ; 3.4.

20,5ctgsin xy x e= ⋅ ;

3.2. sin 21 cos2

xyx

=+

; 3.5. 3 arcsin2xy = ;

3.3. 2

2xxy e= − ; 3.6. 2 2ln ( 2ln )y x x= − .


4.1. 3

42

2 4lim7 2x

x xx x→

− −− −

; 4.3. 1

1limln lnx

xx x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

;

4.2. 20

1 cos3limx

xx→

− ; 4.4. 2

2 3lim8 5x

xx x→∞

+− +

.

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке:

5.1. 4 3 28 16y x x x= + + , [ 3;1]− ; 5.2. 23

2xy

x−

=+

, [ 1; 2]− .

6. Найдите интервалы монотонности и экстремумы функции:

6.1. 3 2

2 13 2x xy x= − − + ; 6.2. xy x e−= ⋅ .

15


1.1. 2

21

9 3 5lim8 3 5x

x xx x→−

+ +− +

; 1.5. 3

3 2

5 6 4lim2 4x

x xx x→∞

− −+ −

;

1.2. 2

2

sin 11lim9x

xx→π

; 1.6. ( )43

0lim 2 3

x

xx

→+ ;

1.3. 27

7lim10 21x

xx x→

+− +

; 1.7. 3

27

343lim10 21x

xx x→

−− +

;

1.4. 9 7

9

2 1lim2 3x

x xx x→∞

− +− −

; 1.8. 31

1 1lim1 1x x x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟− −⎝ ⎠.


2.1. 21 , если 0,

( ) 1 , если 0 2,0, если 2.

x xf x x x

x

+ ≤⎧⎪= − < ≤⎨⎪ >⎩

2.2. 2

12

yx x

=+

.


3.1. 3 32

1 1 42 2

y x exx

= − + + ; 3.4. 3 3 5 2y x x= ⋅ − ;

3.2. arctg ln 72

= −xy x x ; 3.5. arcsin 3 2y x= + ;

3.3. 4

2

1 xeyx+

= ; 3.6. 2cos ( 3 )12 xy π−= .


4.1. 2

41

2 1limx

x xx x→

− +−

; 4.3. 0

1lim ctgx

xx→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

;

4.2. 0

sin3limsin 6 sin 7x

xx x→ −

; 4.4. 2

4 9lim2 3x

xx x→∞

−− −

.


5.1. 3 3 1y x x= − + , [0;2]; 5.2. 2

316

xyx−

=+

, [ 3;4]− .

6. Найдите интервалы монотонности и экстремумы функции: 6.1. 2 43 2y x x= − − ; 6.2. (1 ) xy x e= + ⋅ .

16


1.1. 2

21

3 5 1lim8 4 3x

x xx x→−

+ −− +

; 1.5. 6 3

7

3 9lim7 11x

x xx x→∞

− +− +

;

1.2. 2

2/ 2

sin 9lim11x

xx→−π

; 1.6. 3

4 2lim9 5

x

x

xx→∞

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

;

1.3. 21

2 3lim2x

xx x→

−+ −

; 1.7. 2

21

2 3lim2x

x xx x→−

− −− −

;

1.4. 2

2

30 6 3lim1 3 6x

x xx x→∞

+ −− −

; 1.8. 32

1 4lim2 8x x x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟− −⎝ ⎠.


2.1. 23 1, если 0,

( ) 1 , если 0 2,2 , если 2.

x xf x x x

x x

+ ≤⎧⎪= − < ≤⎨⎪ + >⎩

2.2. 21xyx

=−

.


3.1. 23

32

1 56 2

xy xx

= − + − π ; 3.4. 2 332 3y x x= + + ;

3.2. arcctg1 sin 2

xyx

=+

; 3.5. 2 sin3log 5 xy x x −= − ;

3.3. 34 6ln2

x xy e= − ; 3.6. 3ln (arcsin3 )y x= .


4.1. 2

31

2 1lim1x

x xx→

− −−

; 4.3. 0

1 1limsinx x x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

;

4.2. 2

3

sinlim1 cosx

xx→π +

; 4.4. 2 3

2 3

6 4lim4 9x

x xx x x→∞

− +− +

.


5.1. 4 22 3y x x= − + , [ 3; 0]− ; 5.2. 2

25

xyx−

=+

, [2;8].


6.1. 3 413

y x x= − ; 6.2. 3 xy x e−= ⋅ .

17


1.1. 2

21

11 7 6lim3 4 2x

x xx x→

− ++ −

; 1.5. 2

3 2

1lim2 3x

xx x→∞

−+ −

;

1.2. 2

2/ 2

sin 12lim3x

xx→π

; 1.6. 2

2

7 3lim2 4

x

x

xx→∞

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

;

1.3. 2

23

9lim2 3x

xx x→

−− +

; 1.7. 2

32

12 13lim1x

x xx→

+ −−

;

1.4. 2

2

7 6lim7 8 5x

x xx x→∞

+ +− +

; 1.8. 2 22

1 1lim2 3 2x x x x x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟− − +⎝ ⎠.


2.1. 2, если 0,

( ) , если 0 1,1, если 1.

x xf x x x

x

≤⎧⎪= − < ≤⎨⎪ >⎩

2.2. 2 2 3xy

x x=

− −.


3.1. 3 342

1 4 sin34 5

y x xx

= − + − ; 3.4. 1

cos8sin8 xy x e= ⋅ ;

3.2. 2x

x x

eye e−=+

; 3.5. 235arctgyx

= ;

3.3. 54 cosxy x x= + ; 3.6. 1ln arccosyx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.


4.1. 2

21

12 13lim2 3x

x xx x→

+ −+ −

; 4.3. 0

1 1limarcsinx x x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

;

4.2. 4

cos2limcos sinx

xx xπ→ −

; 4.4. 2

2

3 4 2lim9 2 1x

x xx x→∞

− −+ −

.


5.1. 3(8 )y x x= − , [ 1;3]− ; 5.2. 2

37

xyx−

=+

, [2; 8].


6.1. 3 2

39 4x xy = − + ; 6.2. 2 xy x e−= ⋅ .

18


1.1. 2

21

10 8 1lim9 3 11x

x xx x→−

− −+ −

; 1.5. 2

2

2lim( 1)x

xx→∞ +

;

1.2. 2

2/ 2

sin 4lim9x

xx→−π

; 1.6. 2

55 3lim4 1

x

x

xx→∞

−⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

;

1.3. 25

2 5lim25x

xx→

+−

; 1.7. 3

21

1lim2 3x

xx x→−

+− −

;

1.4. 3 4

2 5

13 18lim9 3x

x xx x→∞

+ −+ +

; 1.8. 2 21

1 3lim1x x x x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟− −⎝ ⎠.


2.1. 2, если 1,

( ) 1, если 1 2,5, если 2.

x xf x x x

x

− ≤⎧⎪= + < ≤⎨⎪ >⎩

2.2. 2

4 33 4

xyx x

−=

+ −.


3.1. 3

55 3 48 64 2xy x

x= − + − ; 3.4. 2 4 4 3y x x= ⋅ − ;

3.2. 2

ctg 41 tg 4

xyx

=−

; 3.5. 23 ctg 3y x= ;

3.3. 37 sin3

−= +x xy e ; 3.6.

43cos2

−=

x

y e .


4.1. 4

4 21

1lim2 1x

xx x→

−− −

; 4.3. 2

1lim tgcosx

xxπ→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

;

4.2. 0

9ln(1 2 )lim4arctg3x

xx→

− ; 4.4. 3

2

5 3 8lim2 3 9x

x xx x→∞

− +− +

.


5.1. 4 4y x x= + , [1;3] ; 5.2. 2

316

xyx−

=+

, [ 5;5]− .


6.1. 4

22 34xy x= − + ; 6.2. 2 1xy x e −= ⋅ .

19


1.1. 22

4 8lim3 10x

xx x→

++ −

; 1.5. 4 6

6 5

1 12lim4 3 7x

x xx x→∞

+ ++ +

;

1.2. 2

2/ 2

sin 2lim13x

xx→π

π ; 1.6. 2

12 3lim4 2

x

x

xx

+

→∞

−⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

;

1.3. 2

21

3 6 1lim8 5 3x

x xx x→

+ −− +

; 1.7. 3

22

8lim7 10x

xx x→

−− +

;

1.4. 2

3

6 2 1lim7 3x

x xx x→∞

+ −− +

; 1.8. 2 21

2 1lim1x x x x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟− −⎝ ⎠.


2.1. , если 0,

( ) 1, если 1 4,, если 4.

x xf x x x

x x

⎧− ≤⎪= + < ≤⎨⎪ >⎩

2.2. 2

19xy

x+

=−

.


3.1. 2

ln 34

3 24 2x xy

x= − + − + ; 3.4.

2coscos3 xy x e= ⋅ ;

3.2. sin

41 cos4

x

yx

=−

; 3.5. 23 ln sin2xy = ;

3.3. ln 52

xxy −= − ; 3.6. 2arccos ( 9)y x= + .


4.1. 3 2

3 21

5 3lim1x

x x xx x x→

+ − +− − +

; 4.3. 34

1 3lim64 4x x x→−

⎛ ⎞−⎜ ⎟+ +⎝ ⎠;

4.2. 2

ln(5 2 )lim10 3 2x

xx→

−− −

; 4.4. 2

3 2

4lim2 5x

xx x→∞

−+ +

.


5.1. 3 218 96y x x x= − + , [ 1; 5]− ; 5.2. 2

2

44

xyx−

=+

, [ 3;1]− .

6. Найдите интервалы монотонности и экстремумы функции: 6.1. 3 26 12y x x x= − + ; 6.2. 3( 1) xy x e= − ⋅ .

20


1.1. 2

21

3 6 3lim7 8 1x

x xx x→

− ++ −

; 1.5. 4 6

3 6

1 9 6lim3 11x

x xx x→∞

+ ++ −

;

1.2. 2

22

sin 4lim6x

xxπ→−

; 1.6. 2

3 12 3lim4 1

x

x

xx

+

→∞

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

;

1.3. 27

7lim4 21x

xx x→−

−+ −

; 1.7. 2

33

2 3 9lim27x

x xx→

− −−

;

1.4. 8 4

8 5

7 7lim8 6x

x xx x→∞

− ++ −

; 1.8. 32

1 12lim2 8x x x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟− −⎝ ⎠.


2.1. 21 , если 0,

( ) 1 , если 0 2,0, если 2.

x xf x x x

x

+ ≤⎧⎪= − < ≤⎨⎪ >⎩

2.2. 2

225

yx

=−

.


3.1. 45 63

6 5 54xy x

x= − + + ; 3.4. tg 4ctg

3x xy e−= + ;

3.2. 3

1 ln xyx+

= ; 3.5. arccos 1 3y x= + ;

3.3. 2 2xy x e−= ; 3.6. 2 3ln ( 3 )x xy e −= .


4.1. 3 2

3 21

5 7 3lim4 5 2x

x x xx x x→−

+ + ++ + +

; 4.3. 1

1lim1 lnx

xx x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎝ ⎠;

4.2. 2

20

sin 2limx

xx→

; 4.4. 3

3

4 3 1lim8 5x

x xx x→∞

− +− +

.


5.1. 4 33 16 2y x x= − + , [ 1; 3]− ; 5.2. 2

613

xyx+

=+

, [0; 4] .


6.1. 3 2 2y x x x= + − + ; 6.2. 2

2x

y x e−

= ⋅ .

21


1.1. 2

21

6 7 16lim5 2 2x

x xx x→

− −+ −

; 1.5. 2

2

7 6 16lim5 6x

x xx x→∞

+ −+ −

;

1.2. 2

2/ 2

sin 4limx

xx→−π

; 1.6. 5

4 3lim2 3

x

x

xx→∞

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

;

1.3. 22

6 16lim6x

xx x→

−+ −

; 1.7. 3

25

125lim30x

xx x→

−+ −

;

1.4. 7 6

8 2

8 16 5lim6 3 5x

x xx x→∞

− ++ −

; 1.8. 3 2

2lim2 1 2 1x

x xx x→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟− +⎝ ⎠

.


2.1. 2, если 0,

( ) , если 0 2,4 , если 2.

x xf x x x

x x

≤⎧⎪= < ≤⎨⎪ − >⎩

2.2. 2

13

yx x−

=+

.


3.1. 5 2

2sin 33

310 2x xy e

x= − + + ; 3.4. tg 6 xy x −= ⋅ ;

3.2. 3

21

x

xey

e

−

=+

; 3.5. 4arctg4xy = ;

3.3. 3 6 ln 42

xy x−= − ; 3.6. 2 2

5log ( 7 )y x x= + .


4.1. 3 2

3 22

5 8 4lim3 4x

x x xx x→−

+ + ++ −

; 4.3. 21

1lim1 2 3x

xx x x→−

⎛ ⎞−⎜ ⎟+ − −⎝ ⎠;

4.2. 20

sin 7limx

xx x→ + π

; 4.4. 2

3 2

4 13lim8 7x

xx x→∞

+− +

.


5.1. 5 35 23

y x x= − + , [ 2;0]− ; 5.2. 2

511

xyx−

=+

, [ 3; 7]− .

6. Найдите интервалы монотонности и экстремумы функции: 6.1. 2 42y x x= − ; 6.2. ( 5) xy x e= − ⋅ .

22


1.1. 2

21

5 6lim8 12x

x xx x→−

+ +− −

; 1.5. 10 7

5 10

1lim4x

x xx x→∞

− +−

;

1.2. 2

2/ 2

sin 3lim7x

xx→−π

; 1.6. 2

0

5 6lim2

x

x

xx→

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

;

1.3. 22

2lim6x

xx x→

++ −

; 1.7. 2

26

5 6lim8 12x

x xx x→

+ −− +

;

1.4. 3 2

4

7 3lim10 6 12x

x xx x→∞

− +− −

; 1.8. 2 22

1 1lim4 3 2x x x x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟− − +⎝ ⎠.


2.1. 0, если 1,

( ) , если 1 4,, если 4.

xf x x x

x x

≤⎧⎪= < ≤⎨⎪ >⎩

2.2. 24xyx

−=

−.


3.1. 4

33

3 2 log2xy x e

x= − − − ; 3.4.

20,5 tgsin xy x e−= ⋅ ;

3.2. cos42 cos2

xyx

=−

; 3.5. 5 arcsin( 6)y x= + ;

3.3. 3 tg2 4

= −x xy ; 3.6. 4 2ln ( 2 )y x x= − .


4.1. 3

21

3 2limx

x xx x→−

− −+

; 4.3. 2

1limln(3 ) 2x

xx x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟− −⎝ ⎠

;

4.2. 20

1 cos10lim1xx

xe→

−−

; 4.4. 3

2 3

2lim8 7x

x xx x→∞

−− +

.


5.1. 3 12 7y x x= − + , [ 3; 0]− ; 5.2. 23

2xy

x−

=+

, [ 1; 2]− .


6.1. 3

43xy x= − ; 6.2. 2(4 1)

xy x e−= − ⋅ .

23


1.1. 2

1

9 5lim3 1x

x xx→

−−

; 1.5. 2

3 2

3 2 4lim5 2 1x

x xx x→∞

− ++ +

;

1.2. 2

2/ 2

cos 4lim8x

xx→π

; 1.6. 2

3lim2 1

x

x

xx→∞

+⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

;

1.3. 2

22

8 5lim2 2 4x

x xx x→−

−+ −

; 1.7. 3

22

8lim2x

xx x→−

++ −

;

1.4. 2

2

2 5 6lim3 3 4x

x xx x→∞

− ++ −

; 1.8. 2 23

1 1lim9 2 3x x x x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟− − −⎝ ⎠.


2.1. 2 , если 4,

( ) , если 4 6,7 , если 6.

x xf x x x

x x

⎧ ≤⎪= < ≤⎨⎪ − >⎩

2.2. 2

33

yx x

=+

.


3.1. 5 3 342

34 4y x x ex

= + − − ; 3.4. 2 21 4y x x= ⋅ − ;

3.2. 2

ln31

xyx

=−

; 3.5. arcsin 24 xy = ;

3.3. 2

3 4sin5xy x= − ; 3.6. 2ln (1 3sin 2 )y x= + . 4. Найдите пределы, пользуясь правилом Лопиталя:

4.1. 3 2

3 22

3 4 12lim3 4x

x x xx x→

+ − −− +

; 4.3. 2

1lim2 ln( 1)x

xx x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟− −⎝ ⎠

;

;

4.2. 5

20

1 5lim3

x

x

e xx

−

→

− + ; 4.4. 2

3

4lim2 3 10x

xx x→∞

−+ +

.


5.1. 2

4 13

xyx

−=

+, [ 1;3]− ; 5.2. 3 12 7y x x= − + , [0;3].


6.1. 2 1y xx

= − ; 6.2. 2( 4) xy x e= + ⋅ .

24


1.1. 2

22

7 2 3lim3 9x

x xx x→−

− +− −

; 1.5. 3

2

4 6 3lim6 4 3x

x xx x→∞

− ++ −

;

1.2. 2

2/ 2

cos 4lim4x

xx→π

; 1.6. 2

0

2lim4 9

x

x

xx→

+⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

;

1.3. 24

4 20lim2 4 16x

xx x→

−− −

; 1.7. 2

33

12lim27x

x xx→−

− −+

;

1.4. 2

2

2 5lim8 7x

x xx x→∞

−− +

; 1.8. 3 24

1 2lim64 16x x x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟− −⎝ ⎠.


2.1. 3, если 0,

( ) 1, если 0 4,3, если 4.

x xf x x x

x

− ≤⎧⎪= + < ≤⎨⎪ >⎩

2.2. 2

32

yx x

=+

.


3.1. 32

1 ln3 log 52xy x

x= − − + ; 3.4. 2siny x x= ⋅ ;

3.2. 4

41 2

x

x

eye−=

+; 3.5. 4

1arc tgyx

= ;

3.3. cos534

xxy e−= + ; 3.6. arcsin( 1 3 )y x= − .


4.1. 2 3

3 23

3 6 2lim2 9x

x x xx x→

− − −− −

; 4.3. 22

8lim4 2x

xx x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟− −⎝ ⎠;

4.2. 0

sin 6limtg3x

x xx x→

−+

; 4.4. 4 2

3

3 1lim5 6x

x x xx x→∞

+ + −+ +

.


5.1. 4 33 16 2y x x= − + , [ 3;1]− ; 5.2. 2

4 13

xyx

−=

+, [ 1; 4]− .

6. Найдите интервалы монотонности и экстремумы функции: 6.1. 2 312 8 2y x x= − − ; 6.2. 3( 2) xy x e −= − ⋅ .

25


1.1. 2

23

2 1lim3 9x

x xx x→

− ++ −

; 1.5. 3

3 2

3 6 4lim1 4x

x xx x→∞

− +− −

;

1.2. 2

2

cos 9lim9x

xx→π

; 1.6. ( )23

0lim 3 2

x

xx −

→+ ;

1.3. 25

5lim2 15x

xx x→

+− −

; 1.7. 3 2

23

2 3lim2 3 9x

x x xx x→−

+ −+ −

;

1.4. 2

2 3

7 1lim4 9x

x xx x x→∞

− +− − +

; 1.8. 3 21

1 1lim1x x x x→−

⎛ ⎞−⎜ ⎟+ +⎝ ⎠.


2.1. 2, если 0,

( ) , если 0 1,2, если 1.

x xf x x x

x

≤⎧⎪= − < ≤⎨⎪ >⎩

2.2. 2

21xy

x−

=−

.


3.1. 4 32

1 2 3 sin14

y xxx

= − − + ; 3.4. 4 4 4 3y x x= ⋅ − ;

3.2. 4arcsin2

xxy x e−= − ; 3.5. arctg 3 2y x= + ;

3.3. 2

1 ln 4xyx

+= ; 3.6.

2 2sin ( 3 )5 x xy −= .


4.1. 3 2

3 21

5 3lim1x

x x xx x x→

+ − +− − +

; 4.3. 0

1 1limsinx x x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

;

4.2. 0

9 ln(1 2 )lim4arctg3x

xx→

− ; 4.4. 2

2

8 2 1lim2 4x

x xx x→∞

+ ++ −

.


5.1. 2 16 16y xx

= + + , [1;4] ; 5.2. 2

3 41

xyx+

=+

, [ 1;4]− .

6. Найдите интервалы монотонности и экстремумы функции: 6.1. 2 32 3y x x= − − ; 6.2. 3(1 ) xy x e= − ⋅ .

26


1.1. 2

22

3 5 2lim4 3x

x xx x→−

+ −+ −

; 1.5. 4 2

3

3 9lim2 1x

x xx x→∞

− +− −

;

1.2. 2

2

sin 5lim5x

xx→−π

; 1.6. 2

0

4 2lim9 5

x

x

xx

−

→

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

;

1.3. 22

3 4lim2x

xx x→

−− −

; 1.7. 2

213

6 5 1lim9 1x

x xx→

− +−

;

1.4. 2

2

6 3lim1 3 6x

x xx x→∞

+ −+ −

; 1.8. 2 22

1 4lim4 2x x x x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟− − −⎝ ⎠.


2.1.

2 , если 1,( ) , если 1 2,

1, если 2.

x xf x x x

x

⎧ ≤⎪= < ≤⎨⎪− >⎩

2.2. 2

11 4

yx

=−

.


3.1. 2 233 ln

6 4x xy

x= − − − π ; 3.4. 2 33 3y x x= ⋅ + ;

3.2. 2

arcsin1

xyx

=−

; 3.5. 3 cos5log 4 xy x x −= − ;

3.3. 2 14 2lnxy ex

−= − ; 3.6. 4ln (arctg3 )y x= .


4.1. 2

31

2 1lim1x

x xx→

− −−

; 4.3. 0

1 1limsinx x x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

;

4.2. 2

3

sinlim1 cosx

xx→π +

; 4.4. 2 3

2 3

6 4lim4 9x

x xx x x→∞

− +− +

.


5.1. 4 22 3y x x= − + , [ 3; 0]− ; 5.2. 2

25

xyx−

=+

, [2;8].


6.1. 3 413

y x x= − ; 6.2. 3 xy x e−= ⋅ .

27


1.1. 2

22

3 2 5lim2 3 4x

x xx x→

− +− +

; 1.5. 2

3 2

3 2lim2 5x

xx x→∞

−+ −

;

1.2. 2

2/ 2

sin 3lim6x

xx→π

; 1.6. 2

0

7 3lim2 4

x

x

xx→

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

;

1.3. 2

23

9lim2 3x

xx x→−

−− +

; 1.7. 2

32

2 4 16lim8x

x xx→−

− −+

;

1.4. 2

2

2 7 6lim3 8 5x

x xx x→∞

− −+ −

; 1.8. 2 21

1 1lim3 2x x x x x→−

⎛ ⎞−⎜ ⎟− + +⎝ ⎠.


2.1. 2, если 0,

( ) , если 0 2,4 , если 2.

x xf x x x

x x

≤⎧⎪= < ≤⎨⎪ − >⎩

2.2. 2

13 2

yx x

=+ −

.


3.1. 2 353

1 4 ln 45 3

y x xx

= − + − ; 3.4. sincos8 xy x e−= ⋅ ;

3.2. 2

3

x

x

eye−=

+; 3.5. 23 1arc ( )y cos x= ;

3.3. 310 cos2xy x x= ⋅ + ; 3.6. 3ln(1 sin )y x= + . 4. Найдите пределы, пользуясь правилом Лопиталя:

4.1. 2

23

4 3lim2 15x

x xx x→−

+ +− −

; 4.3. 0

1 1limsinx x x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

;

4.2. 0

sin 2limcos 1x

xx→ −

; 4.4. 3

3 2

3 4 2lim4 2 1x

x xx x→∞

− −+ −

.


5.1. 5 35 23

y x x= − + , [0;2]; 5.2. 2

3 41

xyx+

=+

, [ 1; 4]− .


6.1. 3

2 8 53xy x x= + − + ; 6.2.

2xy x e−= ⋅ .

28


1.1. 5

3 22

32lim2 1x

xx x→−

++ −

; 1.5. 2

2

4lim(2 1)x

x xx→∞

+−

;

1.2. 2

2

cos 3lim3x

xx→−π

; 1.6. 3

0

5 3lim4 1

x

x

xx

−

→

−⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

;

1.3. 23

2 5lim9x

xx→

−−

; 1.7. 3

22

8lim2 8x

xx x→−

+− −

;

1.4. 3 2

2 3

3 2lim2 4 3x

x xx x→∞

− +− −

; 1.8. 2 21

1 2lim1x x x x→−

⎛ ⎞−⎜ ⎟− +⎝ ⎠.


2.1. 21 , если 0,

( ) 1 , если 0 1,0, если 1.

x xf x x x

x

+ ≤⎧⎪= − < ≤⎨⎪ >⎩

2.2. 2

21xy

x−

=−

.


3.1. 4

34 3 38 ln54 2xy x

x= − + − ; 3.4. 4 3 5 3y x x= ⋅ + ;

3.2. 2

tg 21 ctg 2

xyx

=−

; 3.5. 34 tg 2y x= ;

3.3. 44 tg3

x xy e= − ; 3.6. ( )43arccos 2x

y e−= .


4.1. 3

21

3 2limx

x xx x→−

− −+

; 4.3. 0

1lim ctgsinx

xx→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

;

4.2. 20

1 cos10lim1xx

xe→

−−

; 4.4. 3 2

2 3

3 6lim2 3 1x

x xx x→∞

− −− +

.


5.1. 5 4 2y x x x= − + + , [ 1;1]− ; 5.2. 2

4 13

xyx

−=

+, [ 1;3]− .


6.1. 4

2

2xy x= − ; 6.2. 2 3xy x e += ⋅ .

29


1.1. 22

4 8lim3 10x

xx x→−

+− +

; 1.5. 4 5

3 5

1 2lim4 6 7x

x xx x→∞

+ +− +

;

1.2. 2

2

sin 2lim13x

xx→−π

π ; 1.6. 5

0

2 3lim4 2

x

x

xx→

−⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

;

1.3. 2

22

3 6 1lim4 5 6x

x xx x→−

+ −+ −

; 1.7. 3

22

8lim7 10x

xx x→

−− +

;

1.4. 2

3

6 2 1lim4 3x

x xx x→∞

+ −+ +

; 1.8. 2 22

2 1lim4 2x x x x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟− −⎝ ⎠.


2.1. 1, если 1,

( ) , если 1 4,6 , если 4.

x xf x x x

x x

− ≤⎧⎪= < ≤⎨⎪ − >⎩

2.2. 2

2 xyx x+

=−

.


3.1. lg33 43

1 3 54 6

xyx x

= − + − + ; 3.4. 2sin 2sin 4 xy x e= ⋅ ;

3.2. ( )cos 2

1 sin 2

xy

x=

+; 3.5. 3ln cos

2xy ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠;

3.3. 24log4

xxy e−= − ; 3.6. 2arcctg (2 1)y x= − .


4.1. 3 2

3 21

5 7 3lim4 5 2x

x x xx x x→−

+ + ++ + +

; 4.3. 34

48 1lim64 4x x x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟− −⎝ ⎠;

4.2. 7 2

0lim

sin 2

x x

x

e ex x

−

→

−−

; 4.4. 3

3 4

4 6lim2 5x

x xx x→∞

− +− +

.


5.1. 3 23 3 2y x x x= − + + , [ 2; 2]− ; 5.2. 24 xy

x+

= , [1;3] .


6.1. 3 21 2 14

y x x= − + ; 6.2. 2(2 3) xy x e−= − ⋅ .

30


1.1. 2

23

12lim3 2x

x xx x→−

− −+ −

; 1.5. 3 5

7 3

1 9 6lim3 11x

x xx x→∞

+ ++ −

;

1.2. 2

2

cos 3lim4x

xx→−π

; 1.6. 5

0

2 3lim4 1

x

x

xx

−

→

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

;

1.3. 25

5lim4 5x

xx x→−

−+ −

; 1.7. 2

33

2 3 9lim27x

x xx→−

+ −+

;

1.4. 5 3

3 5

6 9lim8 6x

x xx x→∞

− +− −

; 1.8. 32

1 12lim2 8x x x→−

⎛ ⎞−⎜ ⎟+ +⎝ ⎠.


2.1. 0, если 0,

( ) , если 0 4,, если 4.

xf x x x

x x

≤⎧⎪= < ≤⎨⎪ >⎩

2.2. 2

29

xyx−

=−

.


3.1. 2

35 34

4 54xy x e

x= − − + ; 3.4. ctg 13 tgxy

x−= + ;

3.2. ln 4y x x= ⋅ ; 3.5. 2arctg 3y x x= + ;

3.3. 4

2 5

xeyx

−

=+

; 3.6. 3 2ln ( 2 )10 x xy += .


4.1. 3 2

31

4 5 2lim3 2x

x x xx x→−

+ + +− −

; 4.3. 1

1lim1 lnx

xx x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎝ ⎠;

4.2. 7

0

4 2limtg3

x x

x x x→

−−

; 4.4. 2 3

3 2

4 2 5lim8 4x

x xx x→∞

− +− −

.


5.1. 3 26 12 6y x x x= − + − + , [ 1;1]− ; 5.2. 2 168

xyx+

= , [1; 6].

6. Найдите интервалы монотонности и экстремумы функции: 6.1. 2( 1) ( 1)y x x= − ⋅ + ; 6.2. 2(3 4) xy x e−= + ⋅ .

31


1.1. 2

21

6 7 13lim2 5x

x xx x→−

− −+ +

; 1.5. 2

2

7 6 16lim5 8x

x xx x→∞

+ −− −

;

1.2. 2

2

cos 5lim2x

xx→−π

; 1.6. 4

0

4 3lim2 3

x

x

xx→

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

;

1.3. 22

4 7lim2 8x

xx x→

−+ −

; 1.7. 3

23

27lim12x

xx x→−

+− −

;

1.4. 7 8

8 2

8 16 6lim6 2 5x

x xx x→∞

− +− −

; 1.8. 2

2lim2 1 2 1x

x xx x→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟− +⎝ ⎠

.


2.1. 2

, если 0,( ) 2, если 0 2,

4 , если 2.

x xf x x x

x x

⎧ ≤⎪= − < ≤⎨⎪ − >⎩

2.2. 2

33

yx x

=−

.


3.1. 6 3

2 tg5

3 4

418 2x xy e

x−= − + + ; 3.4. 2ctg 10 xy x −= ⋅ ;

3.2. 3

1 ln(4 )xy

x=

−; 3.5. 3ctg

3xy = ;

3.3. 83 45

xxy e−−= − ; 3.6. 3 2

4log (2 5 )y x x= − .


4.1. 3

3 22

3 2lim1x

x xx x x→−

− +− − +

; 4.3. 21

2 8lim1 2 3x

xx x x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟− + −⎝ ⎠;

4.2. 0

1 cos2limcos7 cos3x

xx x→

−−

; 4.4. 3

3 2

4 9lim2 5x

xx x→∞

+− +

.


5.1. 4 33 4 1y x x= + + , [ 2;1]− ; 5.2. 41

y xx

= +−

, [ 2; 0]− .


6.1. 3 21 3 83

y x x x= − + ; 6.2. (2 3) xy x e−= + ⋅ .

32


1.1. 2

21

5 6lim8 2x

x xx x→

+ −− +

; 1.5. 9 5

5 9

4lim4 3x

x xx x→∞

− −−

;

1.2. 2

2

sin 3lim3x

xx→−π

; 1.6. 2 3

0

3 6lim2

x

x

xx

+

→

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

;

1.3. 23

3lim6x

xx x→−

++ −

; 1.7. 2

26

5 6lim4 12x

x xx x→−

+ −+ −

;

1.4. 3 2

2 5

3 4lim4 6 3x

x xx x→∞

− +− −

; 1.8. 2 22

1 1lim4 3 2x x x x→−

⎛ ⎞−⎜ ⎟− + +⎝ ⎠.


2.1. 1, если 1,

( ) , если 1 4,6 , если 4.

x xf x x x

x x

− ≤⎧⎪= < ≤⎨⎪ − >⎩

2.2. 2

44

xyx x+

=−

.


3.1. 54

2 35 ln102

y xx x

= − − − ; 3.4. 20,5ctgtg xy x e−= ⋅ ;

3.2. sin 43 cos2

xyx

=+

; 3.5. 34 arcsin (2 5)y x= + ;

3.3. 2 7 cos3 4

x xy −= − ; 3.6. 5 2ln ( 2 )y x x= − .


4.1. 3 2

3 22

6 12 8lim3 14x

x x xx x→

− + −− +

; 4.3. 2

1 1limcos ctgx x xπ→

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠;

4.2. 20

1 cos5lim1xx

xe−→

−−

; 4.4. 3

2 3

3 2lim8 5x

x xx x→∞

−− −

.


5.1. 4 28 9y x x= − − , [0;3]; 5.2. 12

y xx

= ++

, [ 5; 2.5]− − .


6.1. 3

51 45 3

xy x= − ; 6.2. 2(4 3)x

y x e= + ⋅ .

33

4.2.2. Решение типового варианта и образец оформления индивидуального задания № 1

Индивидуальное задание № 1

Вариант 0 1. Найдите пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

1.1. 2

22

3 10lim3x

x xx x→−

− −+ −

; 1.5. 7 5

6 7

1lim6 4x

x xx x→∞

− ++ −

;

1.2. 2

2/2

sin2lim

4x

x

x→π; 1.6.

3

0

6 5lim3 3

x

x

xx

−

→

−⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

;

1.3. 23

3lim6x

xx x→−

−+ −

; 1.7. 2

25

4 5lim3 10x

x xx x→−

+ −+ −

1.4. 3 2

4 3

2 7lim5 3 2x

x xx x x→∞

+ −− −

; 1.8. 2 23

1 1lim9 6x x x x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟− − −⎝ ⎠.

Решение

1.1. 2 2

2 22

3 10 ( 2) 3( 2) 10 4 6 10 0lim 03 ( 2) 2 3 4 2 3 1x

x xx x→−

− − − − − − + −= = = =

+ − − − − − − −;

1.2.

22 2

22 2 2/ 2

2sin sin 2 12 4lim4 24

4→π

π ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = =

π π π⋅x

x

x;

1.3. 2 23

3 3 3 6lim6 ( 3) 3 6 0x

xx x→−

− − − −⎛ ⎞= = = ∞⎜ ⎟+ − − − − ⎝ ⎠;

1.4. 3 2

4 3

3,2 7lim 4, 05 3 2x

mx x nx x x m n→∞

=+ −= = =

− − <;

1.5. 7 5

6 7

7,1 1lim 7, 16 4 1x

mx x nx x m n→∞

=− += = = =

+ − =;

34

1.6. 3 3 0 0

0

6 5 6 5 0 6lim 13 3 3 3 0 3

x

x

xx

− − ⋅

→

− − ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠;

1.7. 2 2

2 25

4 5 ( 5) 4 ( 5) 5 25 20 5lim3 10 ( 5) 3 ( 5) 10 25 15 10→−

+ − − + ⋅ − − − −= = =

+ − − + ⋅ − − − −x

x xx x

( ) ( )( ) ( )

( )2

2 5

54 5 5 10 lim3 10 5 20 →−

++ − = + ⋅ −⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ + − = + ⋅ −⎝ ⎠ x

xx x x xx x x x

( )( )

1

5

⋅ −

+

x

x ( )2=

⋅ −x

5

1 5 1 6lim2 5 2 7→−

− − −= = =

− − −x

xx

;

1.8. ( )2 23

1 1 1 1lim9 6 0 0x x x x→

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − = ∞ −∞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

2 3

1 19 ( 3)( 3) lim6 ( 3)( 2) ( 3)( 3) ( 3)( 2)x

x x xx x x x x x x x→

⎛ ⎞− = − += = − =⎜ ⎟− − = − + − + − +⎝ ⎠

3 3

( 2) ( 3) 1 1lim lim( 3)( 3)( 2) ( 3)( 3)( 2) 0x x

x xx x x x x x→ →

+ − + − −⎧ ⎫= = = = ∞⎨ ⎬− + + − + + ⎩ ⎭.


2.1. 1, если 0,

( ) 1, если 0 9,4, если 9.

xf x x x

x x

− ≤⎧⎪= − < ≤⎨⎪ − >⎩

2.2. 2

24 3xy

x x=

− +.

Решение

2.1. 1, если 0,

( ) 1, если 0 9,4, если 9.

xf x x x

x x

− ≤⎧⎪= − < ≤⎨⎪ − >⎩

Область определения данной функции ( ) ( ; )= −∞ +∞D y . В точках 0=x и 9=x функция меняет свой способ задания. В этих точках воз-

можен разрыв. Исследуем на непрерывность функцию ( )f x в точке 0=x :

(0) 1= −f

0 0 0(0 0) lim ( ) lim( 1) 1

→ − →− = = − = −

x xf f x ;

0 0 0(0 0) lim ( ) lim( 1) 1

→ + →+ = = − = −

x xf f x x .

35

Так как (0 0) (0 0) (0) 1− = + = = −f f f , заключаем, что ( )f x непре-рывна в точке 0=x .

Исследуем на непрерывность функцию ( )f x в точке 9=x : (9) 9 1 2= − =f

9 0 9(9 0) lim ( ) lim( 1) 2

→ − →− = = − =

x xf f x x ;

9 0 9(9 0) lim ( ) lim( 4) 5

→ + →+ = = − =

x xf f x x .

Так как (0 0) (0 0)− ≠ +f f , но оба предела конечны, заключаем, что ( )f x в точке 9=x терпит разрыв 1 рода.

2.2. 2

24 3xy

x x=

− +.

Данная функция определена для всех значений x , для которых 2 4 3 0x x− + ≠ , т.е. 1x ≠ и 3x ≠ .

Во всех точках своей области определения ( ) \{1;3}D y = функция непрерывна. Точки 1x = и 3x = являются точками разрыва, так как в этих точках функция не определена.

Определим тип точки разрыва 1x = . Для этого находим односто-ронние пределы:

21 0 1 0

2 2 2 (1 0) 2lim lim4 3 ( 1)( 3) (1 0 1)(1 0 3) 0 ( 2)x x

x xx x x x→ − → −

⋅ −= = = = +∞

− + − − − − − − − ⋅ −;

21 0 1 0

2 2 2 (1 0) 2lim lim4 3 ( 1)( 3) (1 0 1)(1 0 3) 0 ( 2)x x

x xx x x x→ + → +

⋅ += = = = −∞

− + − − + − + − + ⋅ −;

Односторонние пределы равны бесконечности, следовательно, в точке 1x = разрыв 2-го рода.

Определим тип точки разрыва 3x = . Для этого находим односто-ронние пределы:

23 0 3 0

2 2 2 (3 0) 6lim lim4 3 ( 1)( 3) (3 0 1)(3 0 3) 2 ( 0)x x

x xx x x x→ − → −

⋅ −= = = = −∞

− + − − − − − − ⋅ −;

0 9 - 1

y

x

f(x)

36

23 0 3 0

2 2 2 (3 0) 6lim lim4 3 ( 1)( 3) (3 0 1)(3 0 3) 2 ( 0)x x

x xx x x x→ + → +

⋅ += = = = +∞

− + − − + − + − ⋅ +;

Односторонние пределы равны бесконечности, следовательно, в точке 3x = разрыв 2-го рода.

Исследуем поведение функции на бесконечности

2

12lim 24 3x

mx nx x m n→−∞

== = = −∞

− + <, 2

12lim 24 3x

mx nx x m n→+∞

== = = +∞

− + <.

Вычислим значения функции в некоторых точках: x -2 -1 0 2 4 5 y -0,27 -0,25 0 -4 2,67 1,25


3.1. 34

4 3 ln(cos3)2xy x

x= − + − − ; 3.4.

20,5costg 5−= ⋅ xy x ;

3.2. cos3 4sin3

xyx+

= ; 3.5. 4 arctg(2 1)= −y x ;

3.3. 3

4 4 53

x xy e −= + ; 3.6. 3 2

4log (3 )y x x= − .

Решение

3.1. 34

4 3 ln(cos3)2xy x

x= − + − − ;

( )3 34 4

4 43 ln(cos3) 32 2x xy x x

x x

′ ′′⎛ ⎞ ⎛ ⎞′⎛ ⎞′ = − + − − = − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x

y

0 1 3

- 4

37

( ) ( ) ( ) ( )1 21 14 53 32 21 1ln(cos3) 4 3 0 162 4

x x x x x x− −− −′ ′′′− = − + − − = + − ;

3.2. cos3 4sin3

xyx+

= ;

( ) ( ) ( )( )2

cos3 4 sin 3 cos3 4 sin 3cos3 4sin 3 sin 3

′ ′′ + − ++⎛ ⎞′ = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

x x x xxy yx x

( )( ) ( )

2 2

2 2

3sin 3 sin 3 cos3 4 3cos3 3sin 3 3cos 3 12cos3sin 3 sin 3

− − + − − −= =

x x x x x x xx x

( )2

3 12cos3sin 3

− −=

xx

;

3.3. 3

4 4 53

x xy e −= + ;

( )3 3 34 4 44 5 4 5 3 4

3 3 4 3

′ ′′− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ = + = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x x xx xy e e e ;

3.4.

20,5costg 5−= ⋅ xy x ;

( ) ( ) ( )2 2 20,5cos 0,5cos 0,5costg 5 tg 5 tg 5− − −′ ′′′ = ⋅ = + ⋅ =x x xy x x x

( )2 20,5cos 0.5cos2

1 5 tg 5 ln5 cos sincos

x xx x xx

− −= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ .

3.5. 4 arctg(2 1)= −y x ;

( )1 34 44

2

1 2arctg(2 1) (arctg(2 1)) (arctg(2 1))4 1 (2 1)

−′⎛ ⎞′′ = − = − = − ⋅⎜ ⎟ + −⎝ ⎠

y x x xx

;

3.6. 3 2

4log (3 )y x x= − .

( )3 2 2 24 4 2

3 2log (3 ) 3log (3 )(3 )ln 4

xy x x x xx x−′′ = − = − ⋅−

.

38


4.1. 3

21

2 3limx

x xx x→

+ −+

; 4.3. 3 23

1lim1 9xx

xe x+→−

⎛ ⎞−⎜ ⎟− −⎝ ⎠;

4.2. 20

1 cos5limsin 2x

xx→

− ; 4.4. 3 2

2 3

4 3 6lim5x

x x xx x x→∞

+ − ++ −

.

Решение 4.1.

3 3 2 2

2 21 1 1

2 3 0 ( 2 3) 3 2 3 1 2 1lim lim lim 50 ( ) 1 2 1 2 1→ → →

′+ − + − + ⋅ + ⋅⎧ ⎫= = = = = −⎨ ⎬ ′− − − − ⋅⎩ ⎭x x x

x x x x x xx x x x x

;

4.2.

2 20 0 0

1 cos5 (1 cos5 ) 5sin5 0lim lim limsin 2 (sin 2 ) 2sin 2 cos2 2 0→ → →

′− − ⎧ ⎫= = = =⎨ ⎬′ ⋅ ⋅ ⎩ ⎭x x x

x x xx x x x

0 0

5 (sin5 ) 5 5cos5 5 5 25lim lim4 (sin 2 cos2 ) 4 2cos2 cos2 2sin 2 sin 2 4 2 8→ →

′= = = ⋅ =

′ ⋅ − ⋅x x

x xx x x x x x

;

4.3.

{ }2 3

3 2 3 23 3

1 9 0lim lim1 9 ( 1)( 9) 0

+

+ +→− →−

− − + ⎧ ⎫⎛ ⎞− = ∞ −∞ = = =⎨ ⎬⎜ ⎟− − − − ⎩ ⎭⎝ ⎠

x

x xx x

x x xe xe x e x

2 3 3 3

3 2 3 2 3 2 33 3

( 9 ) 2 1lim = lim( 1) ( 9) ( 1)( 9) ( 9) ( 1) 2

+ + +

+ + + +→− →−

′− − + − − += =

′ ′− − + − − − + − ⋅

x x x

x x x xx x

x xe x x e xee x e x e x e x

2 ( 3) 1 3 1 1 3= = ;1 0 0 ( 6) 0⋅ − − + ⋅ + −⎧ ⎫ = ∞⎨ ⎬⋅ + ⋅ − ⎩ ⎭

4.4.

3 2 3 2 2

2 3 2 3 2

4 3 6 ( 4 3 6) 3 8 3lim lim lim5 ( 5 ) 2 15 1→∞ →∞ →∞

′+ − + ∞ + − + + −⎧ ⎫= = = =⎨ ⎬ ′+ − ∞ + − + −⎩ ⎭x x x

x x x x x x x xx x x x x x x x

2

2

(3 8 3) 6 8 (6 8) 6lim lim lim lim(2 15 1) 2 30 (2 30 ) 30→∞ →∞ →∞ →∞

′ ′∞ + − + ∞ +⎧ ⎫ ⎧ ⎫= = = = = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬′ ′∞ + − + ∞ +⎩ ⎭ ⎩ ⎭x x x x

x x x xx x x x

15

= .

39


5.1. 3 23 4y x x= − + , [1;3] 2

4 13

xyx

−=

+, 5.2. [ 1; 3]− .

Решение

5.1. [ ]3 23 4, 1; 3= − +y x x . Найдем производную данной функции

3 2 2( 3 4) 3 6y x x x x′ ′= − + = − . Решим уравнение 0y′ =

23 6 0x x− = ⇒ 3 ( 2) 0 0, 2− = ⇒ = =x x x x ; [ ] [ ]0 1;3 ; 2 1;3= ∉ = ∈x x

Вычислим значение функции в точке 2x = и на концах отрезка, т.е. при 1x = и 3x =

3 2(1) 1 3 1 4 2= − ⋅ + =y , 3 2(2) 2 3 2 4 0= − ⋅ + =y ,

3 2(3) 3 3 3 4 4y = − ⋅ + = . Следовательно, наиб. наим.4, 0y y= = .

5.2. [ ]2

4 1, 1;33

−= −

+xy

x.

Найдем производную данной функции 2 2 2

2 2 2 2 2

4 1 4( 3) (4 1) 2 4 12 8 23 ( 3) ( 3)

′− + − − ⋅ + − +⎛ ⎞′ = = = =⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠x x x x x x xy

x x x

2

2 2

4 2 12( 3)

− + +=

+x xx

.

Решим уравнение 0y′ = 2

22 2

4 2 12 0 4 2 12 0( 3)

− + += ⇒ − + + =

+x x x xx

;

22 6 0− − =x x , 1 48 49= + =D ,

1,21 7

4±

=x ⇒ 1

2

1,52

= −=

xx

[ ] [ ]1 21,5 1;3 ; 2 1;3= − ∉ − = ∈ −x x .

40

Вычислим значение функции в точке 2x = и на концах отрезка, т.е. при 1= −x и 3x =

2

4 ( 1) 1 5( 1)( 1) 3 4⋅ − −

− = = −− +

y ;

2

4 2 1 7(2) 12 3 7⋅ −

= = =+

y ;

2

4 3 1 11(3)3 3 12⋅ −

= =+

y .

Следовательно, наиб. 1=y , наим.54

= −y .


6.1. 2 42

xyx+

= ; 6.2. 2xy x e−= ⋅ .

Решение

6.1. 2 42

xyx+

= .

Область определения данной функции ( ) ( ; 0) (0; )= −∞ +∞UD y . Находим производную

2 2 2

2

4 ( 4) 2 ( 4) (2 )2 (2 )

x x x x xyx x

′ ′ ′⎛ ⎞+ + ⋅ − + ⋅′ = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 ( 4) 2 4 2 8 2 8 2( 4) 4 .4 4 4 4 2

⋅ − + ⋅ − − − − −= = = = =

x x x x x x x xx x x x x

Критическими точками функции являются те точки, в которых производная равна нулю или не существует, т.е.

2

24 0,

2 0⎧ − =⎨ ≠⎩

xx

⇒{( 2)( 2) 0,0.− + =≠

x xx

Из системы следует, что производная равна нулю в точках 1 2= −x , 3 2=x и не существует в точке 2 0=x .

2 2

2 23

4 ( 3) 4 5( 3) 02 2( 3) 18

x

xyx

=−

⎛ ⎞− − −′ − = = = >⎜ ⎟ −⎝ ⎠;

0 2 - 2 + +- -

41

2 2

2 21

4 ( 1) 4 3( 1) 02 2( 1) 2

x

xyx

=−

⎛ ⎞− − − −′ − = = = <⎜ ⎟ −⎝ ⎠;

2 2

2 21

4 1 4 3(1) 02 2 1 2

x

xyx

=

⎛ ⎞− − −′ = = = <⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠;

2 2

2 23

4 3 4 5(3) 02 2 3 18

x

xyx

=

⎛ ⎞− −′ = = = >⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠.

Таким образом, функция возрастает на интервалах ( ; 2)−∞ − и (2; )+ ∞ ; функция убывает на интервалах ( 2; 0)− и (0; 2) ;

1 2= −x – точка максимума; 3 2=x – точка минимума.

Находим экстремумы:

Максимум 2 2

max

2

4 ( 2) 4 8( 2) 22 2( 2) 4

x

xy yx

=−

⎛ ⎞+ − += − = = = = −⎜ ⎟ − −⎝ ⎠

;

Минимум 2 2

min

2

4 2 4 8(2) 22 2 2 4

x

xy yx

=

⎛ ⎞+ += = = = =⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠

.

6.2.

2xy x e−= ⋅ Область определения данной функции ( ) ( ; )D y = −∞ +∞ . Находим

производную

( )2 2 2 2 21 ( 2 ) (1 2 )− − − −′′ = ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ − = −x x x xy x e e x e x e x .

Критическими точками функции являются те точки, в которых производная равна нулю или не существует. Точек, в которых произ-водная

2 2(1 2 )xy e x−′ = − не существует, нет. 2 20 (1 2 ) 0−′ = ⇒ − =xy e x ⇒

2

0− ≠xe , 21 2 0− =x ⇒ 112

= −x , 212

=x .

Данная функция имеет две критические точки 112

x = − и 212

x = .

12

− +- -

12

42

( )2 22 ( 1)

1( 1) (1 2 ) (1 2 ( 1))(1 2 ( 1)) 0x

xy e x e− − −

=−′ − = − = − ⋅ − + ⋅ − < ;

( )2 22 (0)

0(0) (1 2 ) (1 2 0)(1 2 0) 0x

xy e x e− −

=′ = − = − ⋅ + ⋅ > ;

( )2 22 (1)

1(1) (1 2 ) (1 2 1)(1 2 1) 0x

xy e x e− −

=′ = − = − ⋅ + ⋅ < .

Таким образом,

функция возрастает на интервале 1 1;2 2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

;

функция убывает на интервалах 1;2

⎛ ⎞−∞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

и 1 ;2

⎛ ⎞+ ∞⎜ ⎟⎝ ⎠

(0; 2) ;

212

x = – точка максимума;

112

x = − – точка минимума.

Находим экстремумы:

Максимум ( )212

max 12

1 1 12 2 2

x

xy y xe e

e−−

=

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

;

Минимум ( )212

min 12

1 1 12 2 2

x

xy y xe e

e−−

=−

⎛ ⎞= − = = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

43

4.2.3. Индивидуальное задание № 2

Вариант № 1 1. Найдите неопределённые интегралы:

1.1. 42

5 1 75 5x x dx

x x⎛ ⎞− + −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ; 1.5. arctg 2xdx∫ ;

1.2. 6 7 3x dx−∫ ; 1.6. 2 7 6dx

x x− +∫ ;

1.3. 3

3 1

x

x

e dxe −∫ ; 1.7. 3sin 2xdx∫ ;

1.4. 2sin (ln )dx

x x∫ ; 1.8. cos7 cos2x xdx∫ .

2. Вычислите определённые интегралы:

2.1. 2

13 3dx

x− −∫ ; 2.5. 8

3 1xdx

x+∫ ;

2.2. 1

2 20 ( 1)

xdxx +∫ ; 2.6.

92

0

81 x dx−∫ , замена 9sinx t= ;

2.3. 1

lne

x xdx∫ ; 2.7. 0

5

( )f x dx−∫ ,

2

3, если 4,( ) 1, если 4 2,

, если 2.

xf x x x

x x

⎧ ≤ −⎪= − − < ≤ −⎨⎪ > −⎩

3. Вычислите несобственные интегралы (или установите их расходи-мость):

3.1. 2

3 1dx

x

−

−∞ +∫ ; 3.2. 3

1

1x dxx

∞ +∫ ;

4. Вычислите площади фигур, ограниченных графиками функций:

4.1. 2

2,

2 ,y xy x x

⎧ =⎨ = −⎩

4.2. , 0,0, 1.

xy e yx x

⎧ = =⎨ = =⎩

5. Найдите среднее значение функций на отрезке:

5.1. [ ]4 4 , 1;1y x x= + − ; 5.2. [ ]2

4 , 0;11

xyx

=+

.

6. Решите уравнение ( )0

4 1 0x

t dt+ =∫ .

7. Найдите модуль и аргумент комплексного числа 2 2z i= + . По-стройте это число на комплексной плоскости.

44


1.1. 1 4 532

x dxx x

⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ; 1.5. (4 3 )sin9x xdx−∫ ;

1.2. 4 33 8 5x x dx−∫ ; 1.6. 2 3 2dx

x x− +∫ ;

1.3. 4

2

arctg 71 49

xdxx+∫ ; 1.7. 7 2sin cos

4 5x x dx∫ ;

1.4. 3 72 x dx+∫ ; 1.8. 3cos 3xdx∫ . 2. Вычислите определённые интегралы:

2.1. 3

2

69

dxx

π

π +∫ ; 2.5. 3

0

1 xdx+∫ ;

2.2. 21

lne xdxx∫ ; 2.6.

9

4 1x dx

x −∫ , замена 2x t= ;

2.3. 2

3

4

cos sinx xdxπ

π∫ ; 2.7.

2

6

( )f x dx−∫ ,

3

2 , если 4,2( ) 3, если 4 0,

, если 0.

x xf x x

x x

⎧ − ≤ −⎪

= − < ≤⎨⎪ >⎩


3.1. 40 1

xdxx

∞

+∫ ; 3.2. 2

0xxe dx−

−∞∫ ;


4.1. 29 ,

3 1,y xx y

⎧ = −⎨ − =⎩

; 4.2. 2,,

1.

x

xy ey ex

⎧ =⎪ =⎨⎪ =⎩

;


5.1. [ ]1, 0; 4y x= + ; 5.2. 2

, 3; 81

xyx

⎡ ⎤= ⎣ ⎦+.


3 2 0x

t dt− =∫ .

7. Найдите модуль и аргумент комплексного числа 2 2z i= − . По-стройте это число на комплексной плоскости.

45


1.1. 3 62

4 2 2x x dxx

⎛ ⎞− + −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ; 1.5. (4 5 )sin5x xdx+∫ ;

1.2. cos(7 3 )x dx−∫ ; 1.6. 2 5 4dx

x x− +∫ ;

1.3. sin(ln )x dxx∫ ; 1.7. 2sin 7xdx∫ ;

1.4. 4

2

arcsin3

9 −∫x

dxx

; 1.8. 5cos cos3 2x x dx∫ .


2.1. 1

32 (11 5 )

dxx

−

− +∫ ; 2.5. 4

0 2+∫xdx

x;

2.2. 2 2

1

lne xdxx∫ ; 2.6.

12

2

0

1 4x dx−∫ , замена 1 sin2

x t= ;

2.3. 1

0

xxe dx−∫ ; 2.7. 9

2

( )f x dx∫ , 0, если 1,

( ) , если 4 1,2, если 4.

xxf x x

x x

⎧ ≤⎪

= < ≤⎨⎪ >⎩


3.1. 4

0

xe dx∞

−∫ ; 3.2. 2

1

21

x dxx

∞

+∫ ;


4.1. , 0, 4y x y x= = = ; 4.2. 3 1, , 0.3

y x y x y= = ≥

5. Найдите среднее значение функций:

5.1. [ ]1 , 1;=y ex

; 5.2. 4

1, 0;21

xyx

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦−.


1 2 0x

t dt− =∫ .

7. Найдите модуль и аргумент комплексного числа 2 2z i= − − . По-стройте это число на комплексной плоскости.

46


1.1. 2 33

3 1 4 54

x x dxx x

⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ; 1.5. ln x dx

x∫ ;

1.2. 4(7 3 )dx

x+∫ ; 1.6. 2 10 9dx

x x+ +∫ ;

1.3. sincos 5 xx dx∫ ; 1.7. 4cos xdx∫ ;

1.4. 6

75 1 5x dx

x−∫ ; 1.8. sin sin7 5x x dx∫ .


2.1. 4

0

tgπ

∫ xdx ; 2.5. 4

0 2dx

x+∫ ;

2.2. 2

3ln

e

e

dxx x∫ ; 2.6.

13

2

0


x t= ;

2.3. 1

3

0

(2 3 ) xx e dx−∫ ; 2.7. 6

1

( )f x dx−∫ ,

1, если 0,( ) 1, если 0 4,

2 , если 4.

⎧⎪− ≤⎪= + < ≤⎨⎪

>⎪⎩

xf x x x

xx


3.1. 2

1xe dx+

−∞∫ ; 3.2. 4

2 2xdx

x

∞

+∫ ;


4.1. 3,

,y xy x

⎧ =⎨

=⎩ 4.2. ,

, .

x

xy ey e y e−

⎧ =⎨ = =⎩


5.1. [ ]2

, 0;1−= xy xe ; 5.2. ( )

[ ]21 , 1; 0

2 3= −

+y

x.


3 4 0x

t dt− =∫ .

7. Найдите модуль и аргумент комплексного числа 2 2z i= − + . По-стройте это число на комплексной плоскости.

47


1.1. 33

3 22 4x dxx x

⎛ ⎞− + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ; 1.5. 2(2 5) xx e dx−−∫ ;

1.2. sin(3 2)x dx−∫ ; 1.6. 2 3 2dx

x x− +∫ ;

1.3. 2

cos1 sin

xdxx+∫ ; 1.7. 3cos

3x dx∫ ;

1.4. 4 57 3x x dx+∫ ; 1.8. sin3 sin6xx dx∫ .


2.1. 12

21

xe dxx∫ ; 2.5.

4

0 2 1 2dx

x+ +∫ ;

2.2. 2

21 5

xdxx−∫ ; 2.6.

15

2

0

1 25x dx−∫ , замена 9sinx t= ;

2.3. 0

(4 1)cos2x xdxπ

−∫ ; 2.7. 16

2

( )f x dx∫ , , если 3,

( ) 0, если 3 9,4 , если 9.

x xf x x

xx

⎧− ≤⎪⎪= < ≤⎨⎪ >⎪⎩


3.1. 95

1

dxx

∞

∫ ; 3.2. 2

0xxe dx

−∞∫ ;


4.1. 26 2 ,6 ,

y xy x x= −⎧

⎨ = + −⎩ 4.2.

1 ,2

4 , 4.

x

x

y

y y

⎧ ⎛ ⎞⎪ = ⎜ ⎟⎨ ⎝ ⎠⎪ = =⎩

5. Найдите среднее значение функций на отрезке: 5.1. [ ]2 3, 2,0y x= + − ; 5.2. [ ]sin , ,02

xy = −π .

6. Решите уравнение 2

(2 3) 6x

t dt−

− = −∫ .

7. Найдите модуль и аргумент комплексного числа 6 2z i= + . По-стройте это число на комплексной плоскости.

48


1.1. 3 3

3 122

x dxx x

⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ; 1.5. 2 lnx xdx∫ ;

1.2. 22 3xxe dx−∫ ; 1.6.

29 6 2dx

x x+ −∫ ;

1.3. cos5 sin

xdxx−∫ ; 1.7. 3 7sin

3x dx∫ ;

1.4. 2 53 (3 5)

xdxx −∫ ; 1.8. sin 2 sin11x xdx∫ .


2.1. 3 3

21 1

arctg xdxx+∫ ; 2.5.

4

1

dxx x+∫ ;

2.2. cos

2

sin xxe dxπ

−

π∫ ; 2.6.

52

0


2.3. 2

0

(3 )sin4xx dx

π

−∫ ; 2.7. 7

0

( )f x dx∫ , 3 , если 2,

( ) 4 , если 2 6,0, если 6.

x xf x x x

x

− ≤⎧⎪= < ≤⎨⎪ >⎩


3.1. 23

1 (1 )dx

x

∞

+∫ ; 3.2. 0

24 1dx

x−∞ +∫ ;


4.1. 2

29 ,

2 5,y xy x x

⎧ = −⎨ = − +⎩

4.2. 4 , 0,2, 6.

y yxx x

⎧ = =⎨

= =⎩;


5.1. [ ]3 , 2; 3= −xy ; 5.2. [ ]2

1 , 2; 4(2 3)

=−

yx

.


3 9x

t dt =∫ .


49


1.1. 23

5 13 7x dxx x

⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ; 1.5. ( 5 6)sin3x xdx− +∫ ;

1.2. 2cos 2

dxx∫ ; 1.6.

28 6 9dxx x+ −∫ ;

1.3. 6lndx

x x∫ ; 1.7. 2 2sin 7x dx∫ ;

1.4. 4 7 5

dxx −∫ ; 1.8. 4cos cos2 3

x x dx∫ .


2.1. 4

6

ctgπ

π∫ xdx ; 2.5.

27

38 1

xdxx−∫ ;

2.2. 3

20 1

dxx +∫ ; 2.6.

32

0


2.3. 2

1

lne

x xdx∫ ; 2.7. 3

3

( )f x dx−∫ ,

2

1 если 2,3( ) 4, если 2 1,

, если 1.3

x xf x x

x x

⎧ − ≤ −⎪⎪= − < ≤⎨⎪ >⎪⎩


3.1. 73

1 (1 )dx

x

∞

+∫ ; 3.2. 0 5

3

1x dxx−∞

+∫ ;


4.1. 3, 8, 1y x y x= = = ; 4.2. 1 1, 0, , 2.2 4

y y x xx

= = = =


5.1. [ ]23 , 1; 2y x= − ; 5.2. [ ]ln , 1;xy ex

= .


0x

dtt=∫ .


50


1.1. 32

3 23 2x dxx x

⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ; 1.5. lnx xdx∫ ;

1.2. 3 7 2

dxx +∫ ; 1.6. 2 2

dxx x+ −∫ ;

1.3. 4

cos(sin 5)

xdxx +∫ ; 1.7. 2 2cos 5

x dx∫ ;

1.4. 3 42 7x x dx−∫ ; 1.8. 4cos cos4 5x x dx∫ .


2.1. 16

29 4

dxx −∫ ; 2.5.

27

38 1

dxx+∫ ;

2.2. 1

3

0

( 1)x xe e dx−∫ ; 2.6. 2

2

0


2.3. 2

0

sin 2x xdxπ

∫ ; 2.7. 5

5

( )f x dx−∫ ,

2

2, если 3,( ) 2 3, если 3 3,

, если 3.

xf x x x

x x

⎧ ≤ −⎪= − − < ≤⎨⎪− >⎩


3.1. 24

0

xxe dx∞

−∫ ; 3.2. 1

3

dxx−∞

∫ ;


4.1. 2

24 4,

4 ,y x xy x

⎧ = − +⎨ = −⎩

4.2. 3 ,9 ,1.

x

xyyx

⎧ =⎪ =⎨⎪ =⎩


5.1. [ ], 0; 2= xy e ; 5.2. [ ]2 2 , 0;1( 1)

=+xy

x.


8x

tdt =∫ .


51


1.1. 36

1 54 37

x x dxx

⎛ ⎞− + −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ; 1.5. 2(9 1) xx e dx−−∫ ;

1.2. 3 25 x dx−∫ ; 1.6. 21 2dxx x− −∫ ;

1.3. 3 ln 3

dxx x −∫ ; 1.7. 3cos 2

x dx∫ ;

1.4. 3 2arcsin 1−∫dxx x

; 1.8. sin cos4 5x x dx∫ .


2.1. 4

6

cos2xdxπ

π∫ ; 2.5.

13

30 1 2 1

dxx+ +∫ ;

2.2. 5

22 ( 6)

dxx −∫ ; 2.6.

14

2

0

1 16x dx−∫ , замена 1 sin4x t= ;

2.3. 0

sin 2xx dx

π

∫ ; 2.7. 2

4

( )f x dx−∫ ,

, если 2,4( ) 0, если 2 0,

, если 0.

x xf x x

x x

⎧− ≤ −⎪

= − < ≤⎨⎪ >⎩


3.1. 61

dxx

∞

∫ ; 3.2. 2

0xxe dx

−∞∫ ;


4.1. 2 2 4,

3, 1,y x xy x

⎧ = − +⎨ = = −⎩

4.2. 2 , 0,

4, 1.

y yx

x x

⎧⎪ = − =⎨⎪ = − = −⎩


5.1. cos , ;4 2π π⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

y x ; 5.2. [ ]1 , 0; 3= +y x .


0x

tdt =∫ .


52


1.1. 1 22 2 3x x dx

x⎛ ⎞

+ + −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ; 1.5. arcsin 4xdx∫ ;

1.2. 4(4 3 )x dx+∫ ; 1.6. 2 2 5

dxx x+ +∫ ;

1.3. 2cos

x

x

e dxe∫ ; 1.7. 3sin 2

x dx∫ ;

1.4. 5cos sin 2x x dx+∫ ; 1.8. cos cos29x xdx∫ .


2.1. 2

0

cos1 sin

xdxx

π

+∫ ; 2.5. 8 3

31 1

xdxx+∫ ;

2.2. 3

0 2 5dxx +∫ ; 2.6.

19

2

0

1 81x dx−∫ , замена 9sinx t= ;

2.3. 4

0

(2 1)sin 2x xdxπ

−∫ ; 2.7. 0

10

( )f x dx−∫ , 2

5, если 5,( ) , если 5 1,

3 , если 1.4

xf x x x

x x

⎧ ≤ −⎪

= − < ≤ −⎨⎪ − > −⎩


3.1. 22 (1 )

dxx

∞

−∫ ; 3.2. 0

5xe dx−∞∫ ;


4.1. 2 4 5,

0, 0, 4y x xy x x

⎧ = − +⎨ = = =⎩

4.2. 13 ,

0, 6, 3.

yx

y x x

⎧⎪ = −⎨⎪ = = − = −⎩


5.1. sin , 0;2π⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

y x ; 5.2. [ ]1 , 1; 4= +y xx

.


5x

tdt =∫ .


53


1.1. 343

4 3 4 75x x dx

x x⎛ ⎞− + −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ; 1.5. arctgx xdx∫ ;

1.2. 3 9 4x dx− ⋅∫ ; 1.6. 2 5 4dx

x x− +∫ ;

1.3. 2

22

x

x

e dxe+∫ ; 1.7. 3 2sin 2 cos 2x x dx⋅ ⋅∫ ;

1.4. 2 (ln )dx

xcos x∫ ; 1.8. cos3 sin 2x x dx⋅ ⋅∫ .


2.1. 4

11 5dx

x− −∫ ; 2.5. 8

3

1x dxx+ ⋅

∫ ;замена 2 1x t= −

2.2. 1

2 20 (2 5)

xdxx −∫ ; 2.6.

52

0

25 x dx− ⋅∫ , замена 5sinx t= ;

2.3. 1

lne

x xdx⋅∫ ; 2.7. 2

4

( )f x dx−∫ , 3

3 , если 2,( ) , если 2 0,

4, если 0.

x xf x x x

x

≤ −⎧⎪= − < ≤⎨⎪ >⎩


3.1. 0

23 (1 )dx

x−∞ +∫ ; 3.2. 1

2 1x dxx

∞ −∫ ;


4.1. 2 2 5,

5 2 ,y x xy x

⎧ = + +⎨ = −⎩

4.2. 3, 0,

2, 1.y x yx x

⎧ = =⎨ = = −⎩


5.1. 2cos , 0; 4y x π⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ; 5.2. [ ]1 , 0;9yx x

= .


4 1 0x

t dt+ =∫ .

7. Найдите модуль и аргумент комплексного числа 4 4z i= − − . Построй-те это число на комплексной плоскости.

54


1.1. 342

3 4 235

x dxx x

⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ; 1.5. (1 2 )cos4x xdx−∫ ;

1.2. 4 54 4x x dx⋅ −∫ ; 1.6. 2 3 7

dxx x+ −∫ ;

1.3. 3

2

arcsin 21 4

xdxx−∫ ; 1.7. 2sin 2 cos

5xx dx⋅∫ ;

1.4. 5 410 x dx−∫ ; 1.8. 3cos ( )2x dx∫ .


2.1. 4

1

( 1)x dxx

+∫ ; 2.5.

1

3

1 xdx−

−∫ ;

2.2. 4

1

lne

x xdx⋅∫ ; 2.6. 9

4 1x dx

x +∫ , замена 2x t= ;

2.3. 3

2

cos sinx xdxπ

π

⋅∫ ; 2.7. 4

5

( )f x dx−∫ ,

2 1, если 3,( ) 0, если 3 0,

, если 0.

x xf x x

x x

⎧ + ≤ −⎪= − < ≤⎨⎪ >⎩


3.1. 3

40 1

x dxx

∞

+∫ ; 3.2. 3

02 xx e dx−

−∞

⋅∫ ;


4.1. 25 3 2 ,

1.y x xy x

⎧ = + −⎨ = +⎩

4.2.

,4,0,1.

y xxyx

⎧ =⎪⎪ =⎨ =⎪

=⎪⎩

5. Найдите среднее значение функций на отрезке: 5.1. [ ]2 , 1;4y x x= + ; 5.2. [ ]5 4 , 0;2xy e += .


4x

tdt = −∫

7. Найдите модуль и аргумент комплексного числа 3z i= + . Построй-те это число на комплексной плоскости.

55


1.1. 3

564

3 2 32x x dx

x⎛ ⎞

− + −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ; 1.5. (4 3) cos4x xdx− ⋅∫ ;

1.2. sin(9 4 )x dx+∫ ; 1.6. 23 2

dxx x+ −∫ ;

1.3. 22 3xx e dx− +⋅∫ ; 1.7. 3sin 7xdx∫ ;

1.4. 2

2

arc ( )21 4

xcosdx

x−∫ ; 1.8. 7sin cos2 2x x dx⋅∫ .


2.1. 1

3

0

1 xdx−∫ ; 2.5. 7

2

,2

xdxx +∫ замена 2 2x t= − ;

2.2. 2

1

(2ln 5)e x dxx+

∫ ; 2.6. 1

52

0


x t= ;

2.3. 1

2

0

(2 1) xx e dx− ⋅∫ ; 2.7. 8

2

( )f x dx−∫ ,

3

3 4, если 1,( ) 5, если 4 1,

, если 4.

x xf x x

x x

⎧ − ≤⎪= < ≤⎨⎪ >⎩


3.1. 1

4 2xe dx+

−∞

⋅∫ ; 3.2. 2

1 2 3x dx

x

∞

+∫ ;


4.1. 2

24 6,

4 .y x xy x x

⎧ = − +⎨ = −⎩

4.2. 5,

4 .

x y

yx

+ =⎧⎪⎨ =⎪⎩


5.1. 2

2 , ,4 2siny

xπ π⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ; 5.2. [ ]1( ), 1;y x e

x= + .


2x

tdt = −∫ .

7. Найдите модуль и аргумент комплексного 3z i= − + числа. Построй-те это число на комплексной плоскости.

56


1.1. 2

433

3 2 54x x dx

x x⎛ ⎞

− + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ; 1.5.

3

ln x dxx∫ ;

1.2. 3 5 12

dxx−∫ ; 1.6.

2 6 4dx

x x− +∫ ;

1.3. 2sincos xx e dx⋅∫ ; 1.7. 4cos ( )2x dx∫ ;

1.4. 4

55 2 3x dx

x−∫ ; 1.8. 3cos( ) sin( )7 7x x dx⋅∫ .


2.1. 4

6

ctgxdxπ

π∫ ; 2.5.

1

2 2xdx

x− −∫ ,замена 22x t= − ;

2.2. 3

23 ln

e

e

dxx x∫ ; 2.6.

112

0


2.3. 1

2

0

( 3) xx e dx−+∫ ; 2.7. 7

3

( )f x dx−∫ , 2

, если 0,( ) 1, если 0 4,

1 , если 4.

x xf x x x

xx

⎧− ≤⎪⎪= + < ≤⎨⎪ >⎪⎩


3.1. 0

2 1xe dx− +

−∞∫ ; 3.2. 4

0 16xdx

x

∞

+∫ ;


4.1. 2

32 1,

,y x xy x

⎧ = − +⎨ =⎩

4.2. , 0,3, 0.

xy e xx y

⎧ = =⎨ = =⎩

5. Найдите среднее значение функций: 5.1. [ ]sin( ), ,22

xy = −π π ; 5.2. [ ]2 3, 2;3.5y x= − .


24x

dtt= −

−∫ .

7. Найдите модуль и аргумент комплексного числа 1 3z i= − . Построй-те это число на комплексной плоскости.

57


1.1. 3

5 73

3 2 25x e dx

x x

⎛ ⎞− + −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ; 1.5. 2(5 1)

xx e dx−− ⋅∫ ;

1.2. 24 9dx

x+∫ ; 1.6. 2 5 6

dxx x− −∫ ;

1.3. 43

xdxx+∫ ; 1.7. 2cos

3x dx∫ ;

1.4. 5 64 2 3x x dx⋅ −∫ ; 1.8. 2cos3 sin3xx dx⋅∫ .


2.1. 3

3

0

cos sinx xdxπ

⋅∫ ; 2.5. 3

2

20.5 1

dxx x−∫ замена sinx t= ;

2.2. 2

21 7 3

xdxx−∫ ; 2.6.

5

0 3 1xdxx +∫ , замена 21 ( 1)

3x t= − ;

2.3. 0.5

0

arccos xdx∫ ; 2.7. 10

1

( )f x dx−∫ ,

2 1, если 0,( ) 0, если 0 9,

4 , если 9.

x xf x x

x x

⎧− + ≤⎪= < ≤⎨⎪ >⎩


3.1. 35

1 (2 3)dxx

∞

+∫ ; 3.2. 2

03 2xx e dx+

−∞

⋅∫ ;


4.1. 21 ,3 2 ,

y xy x x= −⎧

⎨ = − −⎩ 4.2.

3,0,8.

y xxy

⎧ =⎪ =⎨⎪ =⎩

5. Найдите среднее значение функций на отрезке: 5.1. [ ]2 3, 2,0y x= + − ; 5.2. [ ]sin , ,02

xy = −π .


24x

dtt= −

−∫ .6.2. 1

2x

dtt=∫ .не помню какой оставить


58


1.1. 453 6

3 1 124

x dxx x x

⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ; 1.5. 2

ln x dxx∫ ;

1.2. 2

1cos( )x dxx∫ ; 1.6.

225 10 9dx

x x− +∫ ;

1.3. 3

2

4cos 4tg xdx

x∫ ; 1.7. 2 7sin3x dx∫ ;

1.4. 2

3 54 (4 3 )x dx

x−∫ ; 1.8. cos2 sin12x xdx⋅∫ .


2.1. 12

21

xe dxx∫ ; 2.5.

9

4

dxx x−∫ ,замена 3x t= ;

2.2. 3sin

2

cos xx e dxπ

−

π

⋅∫ ; 2.6. 2.5

2

0

25 4x dx−∫ , замена 2.5sinx t= ;

2.3. 0

(2 ) cos2xx dx

π

− ⋅∫ ; 2.7. 5

4

( )f x dx−∫ ,

3, если 1,( ) 2 4 , если 1 2,

, если 2.

xf x x x

x x

⎧ ≤ −⎪= − − < ≤⎨⎪ >⎩


3.1. 2 73

0 (1 )xdx

x

∞

−∫ ; 3.2. 0

29 1dx

x−∞ +∫ ;


4.1. 24 ,

4 .y x xy x

⎧ = −⎨ = −⎩

4.2. 2, ,

1.

x xy e y ex

⎧ = =⎨ =⎩


5.1. [ ]5 , 2;0xy = − ; 5.2. 2

1 , 0; 4cosy

xπ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ .


12

x dtt=∫ .


59


1.1. 43 5

3 12 7x e dxx x

⎛ ⎞− + −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ; 1.5. (3 2)cos6x xdx−∫ ;

1.2. 2 2sin ( )3

dxx∫ ; 1.6. 29 12 10

dxx x− +∫ ;

1.3. 3ln

dxx x∫ ; 1.7. 3sin ( )2

x dx∫ ;

1.4. 24 3 4

xdxx −∫ ; 1.8. sin cos2 4

x x dx⋅∫ .


2.1. 1

4

20 1 4

dx dxx−∫ ; 2.5.

8

31 1

dxx+∫ ,замена 3x t= ;

2.2. 2

1 2 1

e dxx +∫ ; 2.6.

18

32 1 2

dxx+ −∫ , замена 3 2x t= + ;

2.3. 1

2

0

xx e dx−⋅∫ ; 2.7. 3

4

( )f x dx−∫ ,

2

если 1,3( ) 4, если 1 0,

, если 0.2

x xf x x

x x

⎧ ≤ −⎪⎪= − < ≤⎨⎪ >⎪⎩


3.1. 85

1 (1 )dx

x

∞

−∫ ; 3.2. 1

23

1x dxx

−

−∞

+∫ ;


4.1. 2 , 0, 4, 1.y y x xx

= − = = − = − 4.2. 6 ,

7.y xx y

⎧ =⎪⎨

+ =⎪⎩


5.1. sin3 , 0; 6y x π⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ; 5.2. [ ]2ln , 1;xy ex

= .


( 3) 5x

t dt−

+ =∫ .

7.Найдите модуль и аргумент комплексного числа 1 3z i= − − . По-стройте это число на комплексной плоскости.

60


1.1. 2 53

22x x dxe x x

⎛ ⎞− + −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ; 1.5. arctg 2xdx∫ ;

1.2. 43 (2 )

dxx−∫ ; 1.6.

2 2dx

x x− +∫ ;

1.3. 4

sin3(2cos3 5)

xdxx +∫ ; 1.7. 3cos ( )3

x dx∫ ;

1.4. 2 32 5x x dx⋅ −∫ ; 1.8. cos sin4 6x x dx⋅∫ .


2.1. 4

22 3 4

xdxx −∫ ; 2.5.

14

40 2

xdxx +∫ , замена 4 2x t= − ;

2.2. 1

2

0

(3 4)x xe e dx+ ⋅∫ ; 2.6. 4

0 1 cosdx

x

π

+∫ , замена tg( ),2tx =

2

2

1cos1

txt

−=

+;

2.3. 4

0

cos4x xdxπ

⋅∫ ; 2.7. 3

5

( )f x dx−∫ ,

2, если 3,( ) 1 2 , если 3 1,

, если 1.

xf x x x

x x

⎧ ≤ −⎪= − − < ≤⎨⎪− >⎩


3.1. 32 4

0

xx e dx∞

−⋅∫ ; 3.2. 1

3

( 1)x dxx

−

−∞

+∫ ;


4.1. , 0,1, 4.

y x yx x

⎧ = =⎨ = =⎩

4.2. 4 ,(0.5) ,4.

x

xyyy

⎧ =⎪ =⎨⎪ =⎩


5.1. [ ]2 , 0;1xy e= ; 5.2. [ ]2ln , 1;xy ex

= .


0

(3 1) 0x

t dt+ =∫ .


61


1.1. 4 74

45 37ex x dx

x⎛ ⎞− + −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ; 1.5. (9 1) cos3x xdx− ⋅∫ ;

1.2. 2 59 x dx−∫ ; 1.6. 21 2

dxx x− −∫ ;

1.3. 43 (2ln 3)

dxx x −∫ ; 1.7. 2 3sin ( ) 9cos ( )2 2

x x dx⋅∫ ;

1.4. 4 22 (1 4 )dx

arctg x x⋅ +∫ ; 1.8. 3sin sin4 2x x dx⋅∫ .


2.1. 4

2 7

0

xe dx− +∫ ; 2.5. 4

0 1 2 1dx

x+ +∫ , замена 12

tx −= ;

2.2. 1

2 20 (3 1)

xdxx +∫ ; 2.6.

3

0 2 cosdx

x

π

+∫ , замена 2

2

1tg , cos2 1t tx x

t−

= =+

;

2.3. 0

cos( )2xx dx

π

⋅∫ ; 2.7. 6

5

( )f x dx−∫ ,

3 , если 3,( ) 2, если 3 1,

, если 1.x

x xf x x

e x

⎧ ≤ −⎪= − < ≤⎨⎪ >⎩


3.1. 1

ln xdxx

∞

∫ ; 3.2. 2

04xx e dx−

−∞

⋅∫ ;


4.1. 22 2,

0, 3, 0.y x xy x x

⎧ = − +⎨ = = =⎩

4.2. 6 ,

0, 1, 2.

yx

y x x

⎧⎪ =⎨⎪ = = =⎩

5. Найдите среднее значение функций: 5.1. sin , ;4 2y x π π⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ; 5.2. [ ]2 3 , 0;3y x= + .


(1 2 ) 1x

t dt− =∫ .


62


1.1. 35

23 52 5x xe dx

x

⎛ ⎞− + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ; 1.5. arctg 2xdx∫ ;

1.2. 4cos (4 3sin )x x dx⋅ −∫ ; 1.6. 24 4 3

dxx x+ −∫ ;

1.3. 2cos

x

x

e dxe∫ ; 1.7. 4 3cos sinx xdx⋅∫ ;

1.4. 2 3 25 (4 3 )x x dx⋅ −∫ ; 1.8. sin( ) cos25x xdx⋅∫ .


2.1. 32

2

4

csintg xdx

x

π

π∫ ; 2.5.

4

1 1xdx

x+∫ , замена 2x t= ;

2.2. 3

2 2 5dxx +∫ ; 2.6.

32

2

3 x dx−∫ , замена 3 sinx t= ;

2.3. 4

0

(3 2 ) cos4x xdxπ

− ⋅∫ ; 2.7. 0

9

( )f x dx−∫ , 3

, если 7,( ) , если 7 1,

4 , если 1.4

xe xf x x x

x x

⎧≤ −⎪

⎪= − < ≤ −⎨⎪ −

> −⎪⎩


3.1. 2 32 (1 )

xdxx

∞

−∫ ; 3.2. 0

3 x dx−

−∞∫ ;


4.1. 2

25 2 ,3 .

y xy x

⎧ = −⎨ =⎩

4.2. 3,

8, 0.y xy x

⎧ =⎨ = =⎩


5.1. [ ], 1;9y x x= ; 5.2. [ ]2ln , 1;xy ex

= .


(2 1) 0x

t dt+ =∫ .


63

4.2.4. Решение типового варианта и образец оформления индивидуального задания № 2


1.1. 3 4

2

4 72 3x x dx

x⎛ ⎞

− − −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ; 1.5. 3 lnx xdx∫ ;

1.2. 5 6 2xdx−∫ ; 1.6. 2 6 25dx

x x− +∫ ;

1.3. 2lndx

x x∫ ; 1.7. 3cos 3xdx∫ ;

1.4. 3sin 2 2 3cos2x xdx⋅ −∫ ; 1.8. sin cos32x xdx⎛ ⎞ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ;

Решение

1.1. 3 4

2

4 72 3x x dx

x⎛ ⎞

− − −⎜ ⎟⎝ ⎠∫

Интеграл вычисляется непосредственным интегрированием. При этом используются свойства линейности неопределённого интеграла.

3 34 4

2 2

4 47 72 3 2 3

⎛ ⎞− − − = − − − =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫

x x x xdx dx dx dx dxx x

54 1 413 2 41 1 1 14 7 4 7 52 3 2 4 1 3 4

x x xx dx x dx dx x dx x C−

−= − − − = ⋅ − ⋅ − − ⋅ + =−∫ ∫ ∫ ∫

4 51 444 7 .8 15x x x x C−= + − − +

Интегралы 1.2, 1.3 и 1.4 вычисляются подведением под знак диф-

ференциала. 1.2. 5 6 2xdx−∫

1 15 5 5 (6 2 )6 2 (6 2 ) (6 2 )2

d xxdx x dx x −− = − = − ⋅ =

−∫ ∫ ∫ 6

5 615 51 1 (6 2 ) 5(6 2 ) (6 2 ) (6 2 ) .62 2 125

−= − − − = − ⋅ + = − − +∫

xx d x C x C

64

1.3. 2lndx

x x∫ 2 1

22

(ln ) (ln ) (ln )(ln ) (ln )1ln 1

− −−= ⋅ = = +

−∫ ∫ ∫dx x d x xx d x C

x x x x.

1.4. 3sin 2 2 3cos2x xdx⋅ −∫

13 3sin 2 2 3cos2 sin 2 (2 3cos2 )x xdx x x dx⋅ − = ⋅ − =∫ ∫ 1 13 3(2 3cos2 ) 1sin 2 (2 3cos2 ) (2 3cos2 ) (2 3cos2 )

6sin 2 6−

= ⋅ − ⋅ = − ⋅ − =∫ ∫d xx x x d x

x

43 4

31 (2 3cos2 ) 1 (2 3cos2 ) .46 83

−= ⋅ + = − +

x C x C

1.5. 3 lnx xdx∫

Интеграл вычисляется с помощью формулы интегрирования по частям = −∫ ∫udv uv vdu .

33 2 523 3

2 2

1ln

ln ln

52

u x du dxx

x xdx x xdx xdv x dx v x dx

= ⇒ =

= ⋅ = == ⇒ = =

∫ ∫∫

5 52 2 5 3

2 21 2 2ln ln5 5 5 52 2

x xx dx x x x dxx

= ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − =∫ ∫

525 5 5

2 2 22 2 2 4ln ln .55 5 5 252

xx x C x x x C= ⋅ ⋅ − ⋅ + = ⋅ ⋅ − +

1.6. 2 6 25dx

x x− +∫

Интеграл содержит квадратный трехчлен. Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе подынтегральной дроби

2 2 2 2 26 25 2 3 3 3 25 ( 3) 16− + = − ⋅ ⋅ + − + = − +x x x x x .

2 2 2 2

( 3) 1 3arctg .6 25 ( 3) 16 ( 3) 4 4 4

− −= = = +

− + − + − +∫ ∫ ∫dx dx d x x C

x x x x

65

Интегралы 1.7 и 1.8 содержат тригонометрические функции 1.7. 3cos 3xdx∫

3 2 2cos 3 cos 3 cos3 (1 sin 3 )cos3xdx x xdx x xdx= ⋅ = − =∫ ∫ ∫ 2 2(cos3 sin 3 cos3 ) cos3 sin 3 cos3x x x dx xdx x xdx= − ⋅ = − ⋅ =∫ ∫ ∫

2(3 ) (sin 3 ) 1cos3 sin 3 cos3 cos3 (3 )3 3cos3 3

= ⋅ − ⋅ = −∫ ∫ ∫d x d xx x x xd x

x

321 1 1 sin 3sin 3 (sin 3 ) sin 3 .

3 3 3 3xxd x x C− = − ⋅ +∫

1.8. sin cos32⋅∫

x xdx

Для преобразования подынтегрального выражения воспользуемся

формулой тригонометрии 1sin cos (sin( ) sin( ))2

α⋅ β = α +β + α−β .

1 1 7sin cos3 sin 3 sin 3 sin2 2 2 2 2 2

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = + + − = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫ ∫x x x xxdx x x dx dx

1 5 1 7 (3,5 ) 1 5 (2,5 )sin sin sin2 2 2 2 3,5 2 2 2,5

+ = ⋅ + ⋅ =∫ ∫ ∫x x d x x d xdx

1 2 7 7 1 2 5 5 1 7 1 5sin sin cos cos2 7 2 2 2 5 2 2 7 2 5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ = − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫

x x x x x xd d C .


2.1. 24

20

tgcos

π

∫xdx

x; 2.4.

7

30 1

xdxx+∫ , замена 3 1x t= − ;

2.2. 3

21 2 5

xdxx +∫ ; 2.5.

52

0


2.3. 3

0

(4 3 )sin3x xdxπ

−∫ ; 2.6.4

3

( )f x dx−∫ ,

3, если 0,( ) , если 0 1,

2 4, если 1.3

⎧− ≤⎪⎪= < ≤⎨⎪

− >⎪⎩

xf x x x

x x

66

Решение

2.1. / 4 2

20

tgcos

π

∫xdx

x

44 4 42 2 32

2 220 0 0 0

tg tg (tg ) tgtg (tg )1cos cos 3cos

ππ π π

= ⋅ = ⋅ = =∫ ∫ ∫xdx x d x xx d xx x

x

3 3 3 31 1 1tg tg 0 (1 0 ) .3 4 3 3

π⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

2.2. 3

21 2 5

xdxx +∫

33 3 32 22

2 2 2

1 1 1 1

(2 5) 1 (2 5) 1 ln 2 52 5 2 5 4 4 2 5 4

+ += ⋅ = = + =

+ + +∫ ∫ ∫xdx x d x d x xx x x x

( ) ( )2 21 1ln(2 3 5) ln(2 1 5) ln 23 ln 74 4

= ⋅ + − ⋅ + = − .

2.3. 3

0

(4 3 )sin3x xdxπ

−∫

Интеграл вычисляется методом интегрирования по частям

= −∫ ∫b b

b

aa a

udv uv vdu .

3

0

4 3 3(4 3 )sin 3 (3 ) 1sin 3 sin 3 cos3

3 3

π = − ⇒ = −− = =

= ⇒ = ⋅ = −∫ ∫u x du dx

x xdx d xdv xdx v x x

33

00

1 1(4 3 ) cos3 cos3 ( 3 )3 3

π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ − − − ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫x x x dx

( )3

3

00

1 (3 ) 1 1(4 ) cos 4cos0 cos3 ( 4 4) sin 33 3 3 3

π π

= − − π ⋅ π − − ⋅ = − − + π − − =∫d xx x

8 1 8(sin sin 0)3 3 3 3

π − π= − − π − = .

67

2.4. 7

30 1

xdxx+∫ , замена 3 1x t= −

Выполним замену в интеграле по формуле 3 1= −x t . Тогда 23=dx t dt ;

3 31 1= + ⇒ = +t x t x . Находим новые пределы интегрирования

3нижн

3верхн

0 1 1,7 1 2.

= + == + =

tt

Тогда 27 2 2 23 2 5 2

3 43

10 1 1 1

( 1) 3 3 ( 1) 3 ( ) 35 21

⎛ ⎞− ⋅= = − = − = − =⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫xdx t t dt t tt tdt t t dt

tx

5 22 2 1 1 32 1 1 4 47 1413 3 35 2 5 2 5 2 10 10

⎛ ⎞ − −⎛ ⎞= − − + = + = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

.

2.5. 5

2

0

25 x dx−∫ , замена 5sinx t=

Выполняем замену

5sin 5cos ; arcsin5

= ⇒ = =xx t dx tdt t .

Находим новые пределы интегрирования

нижн

верхн

0arcsin 0,55arcsin arcsin1 .5 2

= =

π= = =

t

t

Тогда 5 2 2

2 2 2

0 0 0

25 25 25sin 5cos 25(1 sin ) 5cosπ π

− = − ⋅ = − ⋅ =∫ ∫ ∫x dx t tdt t tdt

2 2 22 2

0 0 0

1 cos225 cos cos 25 cos 252

π π π+

= ⋅ = = =∫ ∫ ∫tt tdt tdt dt

2 2 2

0 0 0

25 (2 ) 25 1cos2 sin 22 2 2 2

ππ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= + ⋅ = + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫

d tdt t t t

68

25 1 1 25sin 0 sin 02 2 2 2 4

π π⎛ ⎞= + π − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

2.6. 4

3

( )f x dx−∫ ,

3, если 0,( ) , если 0 1,

2 4, если 1.3

⎧− ≤⎪⎪= < ≤⎨⎪

− >⎪⎩

xf x x x

x x

Воспользуемся свойством аддитивности определённого интеграла 4 0 1 4

3 3 0 1

( ) ( ) ( ) ( )− −

= + +∫ ∫ ∫ ∫f x dx f x dx f x dx f x dx .

Тогда 4 0 1 4 0 1

12

3 3 0 1 3 0

2( ) ( 3) 4 33

− − −

⎛ ⎞= − + + − = − + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

xf x dx dx xdx dx dx x dx

13 44 4 220 4

3 111 1 0

2 24 3 433 3 22−

+ − =− + + ⋅ − =∫ ∫x xxdx dx x x

2 1 2 15 403(0 3) (1 0) (16 1) 4(4 1) 9 123 3 3 3 3

= − + + − + − − − = − + + − = − .


3.1. 44( 5)

∞

−+∫dx

x; 3.2.

12xe dx−

−∞∫ .

Решение

3.1. 44( 5)

∞

−+∫dx

x

34

44 4 4

( 5)lim ( 5) ( 5) lim( 5) 3

bb

b b

dx xx d xx

∞ −−

→∞ →∞− − −

⎛ ⎞+⎜ ⎟= + + = =⎜ ⎟+ −⎝ ⎠

∫ ∫

3

34

( 5) 1 1 1lim lim 1 .3 3 ( 5) 3

−

→∞ →∞−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+= = − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠⎝ ⎠

b

b b

xb

Так как предел существует и конечен, то несобственный интеграл сходится.

69

3.2. 1

2xe dx−

−∞∫

( )1 1 1

12 2 2 2( 2 ) 1lim lim lim2 2

x x x x

aa a aa a

d xe dx e dx e e− − − −

→−∞ →−∞ →−∞−∞

−= = ⋅ = − =

−∫ ∫ ∫

( )2 21 lim .2

a

ae e− −

→−∞= − − = ∞

Так как предел равен бесконечности, то несобственный интеграл расходится. 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

4.1.

21 ,01,2.

y xyxx

⎧ =⎪⎪ =⎨

=⎪⎪ =⎩

4.2. 22 ,

0.y x xy

⎧ = −⎨ =⎩

Решение

4.1.

21 ,01,2.

y xyxx

⎧ =⎪⎪ =⎨

=⎪⎪ =⎩

Построим график функции 2

1yx

= и прямые 1, 2.= =x x

Так как фигура, площадь которой надо найти, снизу ограничена осью Ox , то формула для вычисления площади имеет вид

( )b

a

S f x dx= ∫ , где 2

1( ) =f xx

, 1, 2.a b= =

Окончательно получаем

x

y

0 1 2

70

2 2

211

1 1 112 2

⎛ ⎞= = − = − − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫

dxSx x

(кв. ед.).

4.2. 22 ,

0.y x xy

⎧ = −⎨ =⎩

Построим фигуру, ограниченную линиями 22y x x= − и 0.y = Гра-фиком функции 22y x x= − является парабола, ветви которой направле-ны вниз. Найдём вершину параболы

в2 1

2 2bxa− −

= = =−

, 2в в( ) 2 1 1 1y y x= = ⋅ − = .

Находим абсциссы точек пересечения параболы 22y x x= − с осью Ox , для этого решим уравнение

22 0 (2 ) 0 0, 2.x x x x x x− = ⇒ − = ⇒ = = Графиком функции 0y = является ось Ox .

Найдём площадь фигуры по формуле

( )b

a

S f x dx= ∫ , где 2( ) 2 , 0, 2.f x x x a b= − = =

22 32 2

0 0

8 4(2 ) 4 (0 0)3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = − − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∫xS x x dx x (кв.ед.).

5. Найдите среднее значение функции ( )f x на отрезке [ ];a b : 5.1. [ ]( ) 3 , 1; 2= −xf x ; 5.2. [ ]2( ) 2 , 0; 4= −f x x x .

x

y

0 2

71

Решение

Среднее значение функции ( )f x на отрезке [ ];a b вычисляется по

формуле ( )

.

b

a

f x dx

b aμ =

−

∫

5.1. [ ]( ) 3 , 1; 2= −xf x 2

2 2 111

31 ln 3 ln 3 26 263 ln3 (3 3 ) ln 3.

2 ( 1) 3 3 3 3 9−−

−μ = = ⋅ ⋅ = ⋅ − = ⋅ = ⋅

− −

∫ x

x

dx

Ответ: μ =26 ln39

.

5.2. [ ]2( ) 2 , 0; 4= −f x x x

42

4320

0

( 2 )1 1 64 16 416 .

4 0 4 3 4 3 12 3

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞μ = = ⋅ − = − = =⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ x x dxx x

Ответ: 4 .3

μ =

6. Решите уравнение

1

(2 1) 0x

t dt−

− =∫ .

Решение

Для того чтобы решить уравнение 1

(2 1) 0x

t dt−

− =∫ , вычислим снача-

ла интеграл, стоящий в правой части равенства. 2 2 2

11

(2 1) ( ) ( ) (1 1) 2−

−

− = − = − − + = − −∫x

xt dt t t x x x x .

Следовательно, 2

11 32 0 1 8 9 2

2+

− − = ⇒ = + = ⇒ = =x x D x и 21 3 1

2x −= = − .

Ответ: 1 22, 1.x x= = −

72

7. Найдите модуль и аргумент комплексного числа 1= −z i . Изобразите число на комплексной плоскости.

Решение Находим модуль комплексного числа = +z a bi по формуле

2 2= +z a b . В нашем случае a = 1, b = −1. Получаем

2 2 2 21 1 ( 1) 2= − = + = + − =z i a b . Аргумент комплексного числа = +z a bi находим по формулам

π2π2

arctg при 0, любом,arctg π при 0, 0,

arg arctg π при 0, 0,при 0, 0,при 0, 0.

⎧ > −⎪ + < ≥⎪⎪= − < <⎨⎪ = >⎪

− = <⎪⎩

bababa

a ba b

z a ba ba b

При 0>a получаем 1arg (1 ) arctg

1 4− π

ϕ = − = = −i .

На комплексной плоскости комплексное число = +z a bi изобража-ется точкой с координатами ( ; )a b .

5. ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ

5.1. Требования для сдачи экзамена К экзамену допускаются только те студенты, у которых зачтены

все индивидуальные задания. Студенты, обучающиеся по КЗФ, сдают экзамен во время зимней

экзаменационной сессии по билетам (в устной или письменной форме). Каждый билет содержит два теоретических вопроса и три задачи. Экза-мен считается сданным, если выполнено не менее 60% заданий экзаме-национного билета.

x

y

z = 1 – i

1

-1

0

73

Студенты, обучающиеся с использованием ДОТ, сдают экзамен в тестовой форме (on-line режим). Экзаменационный тест содержит 20 тестовых заданий различного уровня сложности. Структура экзамена-ционного теста представлена в таблице:

Тип задания Количество в тесте

Уровень сложности

Задание на выбор единственного ответа 8 1 Задание на выбор множественных ответов 4 2 Задание на установление последовательно-сти

4 2

Задание на установление соответствия 2 3 Задание для краткого ответа 2 3

Оценка за экзамен выставляется по сумме набранных баллов за за-дания теста.

Итоговая оценка по дисциплине формируется по результатам сдачи индивидуальных домашних заданий и экзамена.

5.2. Вопросы для подготовки к экзамену 1. Понятие множества. Примеры. Способы задания множеств.

Подмножество. 2. Операции над множествами и их свойства. 3. Числовые множества N, Z, Q, R. 4. Понятие функции. Область определения и множество значений

функции. График функции. Способы задания функции. 5. Основные характеристики поведения функции. 6. Понятия сложной, неявной, обратной функций. 7. Основные элементарные функции. Степенная функция и её

свойства. 8. Основные элементарные функции. Показательная функция и её

свойства. 9. Основные элементарные функции. Логарифмическая функция и

её свойства. 10. Основные элементарные функции. Тригонометрические функ-

ции и их свойства. 11. Основные элементарные функции. Обратные тригонометриче-

ские функции и их свойства. 12. Классификация функций. 13. Определение предела функции (конечного, бесконечного и на

бесконечности). Понятие односторонних пределов. 14. Основные теоремы о пределах.

74

15. Понятие бесконечно малой величины и бесконечно большой ве-личины. Их взаимосвязь.

16. Непрерывность функции в точке, на множестве. 17. Точки разрыва и их классификация. 18. Основные свойства функций, непрерывных на отрезке. 19. Определение производной функции в точке. Физический и гео-

метрический смысл производной. 20. Уравнение касательной к кривой. 21. Понятие дифференцируемой функции в точке. Дифференциал. 22. Правила дифференцирования. 23. Производные и дифференциалы высших порядков. 24. Основные теоремы дифференциального исчисления (Роля, Ла-

гранжа, Коши). 25. Правило Лопиталя. 26. Формула Тейлора. 27. Исследование функций с помощью производной на монотон-

ность. 28. Исследование функций с помощью производной на экстремум. 29. Исследование функций с помощью производной на выпук-

лость/вогнутость. Точки перегиба. 30. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. 31. Определение первообразной. Неопределенный интеграл и его

свойства. 32. Основные методы интегрирования: замена переменной, интег-

рирование «по частям» в неопределенном интеграле. 33. Интегрирование простейших рациональных дробей. 34. Интегрирование тригонометрических выражений. 35. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции, приво-

дящая к понятию определённого интеграла. 36. Определение определенного интеграла. Теорема существова-

ния. 37. Свойства определенного интеграла. 38. Геометрический смысл определенного интеграла. 39. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона

− Лейбница. 40. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование

«по частям» в определённом интеграле. 41. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегри-

рования. 42. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенно-

го интеграла.

75

5.3. Образцы билетов к экзамену для КЗФ Экзаменационный билет № 0

1. Непрерывность функции в точке. 2. Определение производной. Геометрический смысл. 3. Найдите предел

2lim x

xx e−

→+∞.

4. Вычислите определённый интеграл 3

21

( 1)6 10

x dxx x

−+ +∫ .

5. Составьте уравнение касательной к кривой 24 2 8y x x= + −

в точке с абсциссой x = 3. 5.4. Образцы билетов к экзамену для ДОТ

Экзаменационный билет № 0 Задания на выбор единственного ответа

Задание 1. Найдите производную функции 4 cos5= +xy e x 1. 14 sin5−′ = −xy xe x ; 2. 14 5sin5−′ = −xy xe x ; 3. 4 sin5′ = +xy e x ; 4. 4 5sin5′ = −xy e x .

Ответ:

Задание 2. Уравнение касательной к линии 2

21

=+xy

x в точке с

абсциссой 0 1=x имеет вид 1. 1=y ; 2. 2= +y x ; 3. = −y x ; 4. =y x

Ответ:

Задание 3. Длина промежутка возрастания функции

3 2

104 9 6

yx x x

=− +

равна

1. 0,5; 2. 2; 3. −1; 4. 1. Ответ:

Задание 4. Наибольшее значение функции 4 xy xe−= на отрезке

[0;1] равно

76

1. 4e ; 2. 14e− ; 3. 0; 4. 1 Ответ:

Задание 5. Укажите выражение, которому равен интеграл

∫ xdxx 2ln

1. ∫−⋅ xdxxxx lnln2

22

; 2. ∫+⋅ xdxxxx lnln2

22

;

3. ∫−⋅ xdxxx 22

ln2

; 4. ∫+⋅ xdxxx 22

ln2

Ответ:

Задание 6. Укажите замену, которая приводит интеграл

2

tg( 1)cos ( 1)

−−∫

x dxx

к табличному

1. tg( 1)= −t x ; 2. 2cos ( 1)= −t x ; 3. 1= −t x ;

4. 2

1cos ( 1)

=−

tx

; 5. 2

tg( 1)cos ( 1)

−=

−xtx

.

Ответ:

Задание 7. Площадь области, ограниченной линиями xy 5,0= , xy −= , 4=x , выражает интеграл

1. ∫ −−4

0

)](5,0[ dxxx ; 2. ∫ −−4

0

]5,0)[( dxxx ; 3. ∫ −+4

0

)](5,0[ dxxx ;

Ответ:

Задание 8. Сделайте замену lnt x= в интеграле ∫ −

e

xxdx

1ln1

1. 1 1

e dxx t−∫ ; 2.

1 1

e dtt−∫ ; 3.

1

0 1t

dte t−∫ ; 4.

1

0 1dt

t−∫

Ответ:

Задания на выбор множественных ответов

Задание 9. Найдите все асимптоты графика функции 4 3

3

2 1x xyx+ +

=

1. 2y x= ; 2. 0x = ; 3. 1y x= + ; 4. 2 1y x= +

77

Ответ:

Задание 10. Укажите интегралы, для нахождения которых необхо-димо применять формулу интегрирования по частям 1. ∫ xdxx sin ; 2. ∫ dxxx 2sin ; 3. ∫ xdxx 2sin ;

4. ∫ dxxex ; 5. ∫ dxxex2; 6. ∫ dxex 2)( .

Ответ:

Задание 11. Укажите функции, которые являются первообразными

для функции x3cos

12

1. 1 tg 33

x ; 2. 1 tg3 33

+x ; 3. 3 tg 3x ; 4. 13tg 33

+x

Ответ:

Задание 12. Вычислите неопределённый интеграл sin cos∫ x xdx

1. 21 sin2

x C+ ; 2. 21 cos2

x C− + ; 3. 1 cos24

x C− + ;

4. 21 sin2

x C− + ; 5. 1 cos22

x C− +

Ответ:

Задания на установление последовательности Задание 13.

Расположите данные исследования функции 2

3

( 1)( 1)xyx−

=+

в следую-

щей последовательности: вертикальная асимптота, точка максимума, точка минимума, точка перегиба 1. 1x = − ; 2. 5x = ; 3. 1x = ; 4. 5 2 3x = + .

Ответ:

Задание 14. Расположите пределы в соответствии с их значениями 1,5; 0; 0,4;0,5

1. 2

2

( 1)lim2x

xx→∞

+ ; 2. 2

31

2 1limx

x xx x→

− +−

; 3. 0

tg 2limsin5x

xx→

; 4. 3

0

1lim2

x

x

ex→

− .

Ответ:

78

Задание 15. Установите последовательность выполнения действий при исследовании функции на экстремум

1) найти производную y′ 2) найти критические точки, принадлежащие области определения

функции 3) нанести область определения функции и критические точки на

числовую ось 4) определить знак производной на каждом из полученных интер-

валов 5) выявить точки максимума и минимума 6) вычислить значения функции в точках экстремума Ответ:

Задание 16. Замена переменного tg x t= в интеграле

2 24sin 9cos 1dx

x x+ +∫ . Запишите последовательно выражения для sin x ,

cos x , dx , ( )f x

1. 21dt

t+; 2.

2

11 t+

; 3. 2

21t

t+; 4. 2

11 t+

; 5. 2

2

110 5

tt

++

; 6. 21

tt+

.

Ответ:

Задания на установление соответствия Задание 17. Установите соответствие между пределами и их значе-

ниями ПРЕДЕЛ ЗНАЧЕНИЕ

1. 3

0

1limsin

x

x

ex→

− а) 3

2. 0

lnsin3limlnsinx

xx→

б) 1

3. 2lim sinx

xx→∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

в) 0

4. 0

1lim ctgx

xx→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

г) 2

Ответ:

Задание 18. Для каждой из указанных функций охарактеризуйте точку 0x = .

79

1. {1, 0,( ) sin , 0xf x x x≤= > 1. точка непрерывности

2. sin( ) xf x

x= 2. точка устранимого разрыва

3. 1( ) sinf xx

= 3. точка разрыва первого рода

4. ( ) sinf x x x= 4. точка разрыва второго рода Ответ:

Задания для краткого ответа

Задание 19. Вычислите ∫ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2

0

22ln

1 dxx x . ( 14,3=π ; 72,2=e ;

69,02ln = ; 1,13ln = . Ответ округлите до трех знаков после запятой). Ответ:

Задание 20. Вычислите площадь плоской фигуры S , ограниченной

линиями 2 4, 2 1y x y x= − + = + . Ответ:

6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

6.1. Литература обязательная 1. Самочернова Л.И. Высшая математика. Ч.2: учеб. пособие /

Л.И. Самочернова – 2-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2005. – 164 с. 6.2. Литература дополнительная

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов (в 2 т.): учеб. пособие для втузов. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1967; 1978; 1985; 1986. – 432 с.

3. Бугров Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я.С. Бугров, С.М. Никольский.– М.: Наука, 1980; 1984; 1988.

4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ Г.Н. Берман. – М.: Наука, 1972; 1975; 1977; 1985.

5. Задачи и упражнения по математическому анализу/ под ред. Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1972; 1978; 1990.

6. Запорожец Г.Н. Руководство к решению задач по математическому анализу / Г.Н. Запорожец. – М.: Высш. шк., 1966.

80

7. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высш. шк., 1980; 1986.

6.3. Учебно-методические пособия 8. Терехина Л.И. Высшая математика. Ч. 2: учеб. пособие /

Л.И. Терехина, И.И. Фикс. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 234 с. 9. Терехина Л.И. Высшая математика. Ч. 3: учеб. пособие /

Л.И. Терехина, И.И. Фикс. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 252 с. 6.4. Internet-ресурсы

10. Сайт ТПУ. – Режим доступа: http://www.tpu.ru, вход свободный.

81

Учебное издание

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1

Методические указания и индивидуальные задания

Составители ХАРЛОВА Александра Николаевна

МОЛДОВАНОВА Евгения Александровна

Рецензент кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры ВМ ФТИ

О.Н. Имас

Редактор С.В. Ульянова

Компьютерная верстка Т.И. Тарасенко

Отпечатано в Издательстве ТПУ в полном соответствии с качеством предоставленного оригинал-макета

Подписано к печати . Формат 60×84/16. Бумага «Снегурочка».

Печать Xerox. Усл.печ.л. 4,71. Уч.-изд.л. 4,26. Заказ . Тираж экз.

Национальный исследовательский Томский политехнический университет Система менеджмента качества

Издательства Томского политехнического университета сертифицирована NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту BS EN ISO 9001:2008

. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30. Тел./факс: 8(3822)56-35-35, www.tpu.ru

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1window.edu.ru/resource/024/76024/files/mu.pdf · 2...

Documents