Раздел 3. Введение в математический анализ (задачник)

Кафедра математики

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

________________________________________________________________________________

РАЗДЕЛ 3 «ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

Контрольно – измерительные материалы

Уфа • 2007

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

УДК 517(07) ББК 22.161 я 7

У90

Ответственный редактор д. ф.-м. наук, проф. Р.Н. Бахтизин

Редколлегия: АкмадиеваТ.Р., Аносова Е.П., Байрамгулова Р.С., Галиуллин М.М., Галиева Л.М.,

Галиакбарова Э.В., Гимаев Р.Г., Гудкова Е.В., Егорова Р.А., Жданова Т.Г., Зарипов Э.М., Зарипов Р.М., Исламгулова Г.Ф., Ковалева Э.А., Майский Р.А., Мухаметзянов И.З., Нагаева З.М., Савлучинская Н.М., Сахарова Л.А., Степанова М.Ф., Сокова И.А., Сулейманов И.Н., Умергалина Т.В., Фаткуллин Н.Ю., Хайбуллин Р.Я., Хаки-мов Д.К., Хакимова З.Р., Чернятьева М.Р., Юлдыбаев Л.Х., Шамшович В.Ф., Якубо-ва Д.Ф., Якупов В.М., Янчушка А.П., Яфаров Ш.А.

Рецензенты: Кафедра программирования и вычислительной математики Башкирского государст-

венного педагогического университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Р.М. Асадуллин. Кафедра вычислительной математики Башкирского государственного университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Н.Д. Морозкин.

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика». Раздел 3 «Введение в математи-ческий анализ». Контрольно-измерительные материалы. – Уфа: Издательство УГНТУ, 2007.– 113с.

Содержит комплект заданий в тестовой форме различной сложности по всем темам раздела 3 «Введение в математический анализ», предназначенный для оценки знаний студентов.

Разработан для студентов, обучающихся по всем формам обучения по направлениям подготовки и специальностям, реализуемым в УГНТУ.

УДК 517(07) ББК 22.161 я 7

© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2007

СОДЕРЖАНИЕ

1. Функция, свойства функции 5 2. Предел числовой последовательности 29 3. Предел функции 38

4. Раскрытие неопределенности 00

60

5. Раскрытие неопределенности ∞∞

72

6. Замечательные пределы. Вычисление пределов с помощью эк-вивалентных функций

78

7. Непрерывность функций 97

4

Разработаны тестовые задания различной сложности (А – легкие; В – средние; С – трудные), которые предназначены для проверки знаний основных положений теории и базовых практических навыков по данному разделу дисциплины математика.

Система нумерации тестовых заданий

Наименование тем заданий контрольно – измерительных материалов (КИМ)

по разделу: «ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

1. Функция, свойства функции 2. Предел числовой последовательности 3. Предел функции



6. Замечательные пределы. Вычисление пределов с помощью эквивалентных функций

7. Непрерывность функций

сложность номер темы порядковый номер

1 2 А

5

1. Функция, свойства функции

Номер: 1.1.А

Задача: Найти область определения функции 1x

1xy 2 −+

=

Ответы: 1).( )∞∞− ; 2).( )∞;1 3).( ) ( )∞−∞− ;11; U 4). ( ) ( ) ( )∞−−∞− ;11;11; UU 5).нет правильного ответа

Номер: 1.2.А Задача: Найти область определения функции 2xx2y −−= Ответы: 1). ( )1;2− 2).[ ]2;1− 3). ]( 2;1− 4).( )1;2 −− 5).нет правильного ответа

Номер: 1.3.А Задача: Найти область определения функции ( )2x1lgy −= Ответы: 1). ( )1;1− 2).[ ]1;1− 3). ( )1;∞− 4). ( )1;−∞− 5).нет правильного ответа

Номер: 1.4.А

Задача: Найти область определения функции 4 2xx5

1y−

=

Ответы: 1).( )∞+;5 2).( )5;0 3). ( )4;∞− 4).[ ]5;0 5).нет правильного ответа

Номер: 1.5.А

Задача: Найти область определения функции

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<<π−

π≤≤

<≤−+

=

−

6x,2x

x

x0,2xtg

0x1,13

y

2

x

Ответы: 1). )[ 6;1− 2). )[ ( )6;;1 ππ− U 3). ( )6;1− 4).[ ]6;1− 5).нет правильного ответа

Номер: 1.6.А Задача: Найти область определения функции ( )x2xlogy 2

x4 −= − Ответы: 1). ( ) ( )4;20; U∞− 2). ( )2;0 3). ( ) ( ) ( )4;33;20; UU∞− 4). ( ) ( )∞∞− ;40; U 5). ( )∞;2

6

Номер: 1.7.А Задача: Найти область определения функции xlog1y 2−=

Ответы: 1). ]( 2;0 2). ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ 2;21

3). )( ∞+;2 4).[ ]1;1− 5). )⎢⎣⎡ ∞;21

Номер: 1.8.А

Задача: Найти область определения функции ( )1xlog2y 2 −−= Ответы: 1). ]( 5;∞− 2). ]( 5;1 3). ( )∞;2 4). )[ ∞;3 5). ( )1;∞−

Номер: 1.9.А

Задача: Найти область определения функции ( )x5,08y −= Ответы: 1). ]( 3;−∞− 2). )[ ∞− ;3 3). ]( 3;∞− 4). )[ ∞;3 5).[ ]3;3−

Номер: 1.10.А

Задача: Найти область определения функции 3x1x

xy ++−

=

Ответы: 1).[ ]0;3− 2). )[ ∞− ;3 3).[ ] ( )∞− ;10;3 U 4). ]( ]( 1;03; U−∞− 5). )[ 1;0

Номер: 1.11.А Задача: Найти область определения функции 4xy 2 −= Ответы: 1).[ ]3;3− 2). 2x ±≤ 3).[ ]2;2− 4). ] )[( ∞−∞− ;22; U 5). 2x ±≥

Номер: 1.12.А Задача: Найти область определения функции 42 xx12y −+= Ответы: 1). 2x ±≤ 2). 2x ±≥ 3). 2x2 ≤≤− 4). 2x ≤ 5). 2x −≥

Номер: 1.13.А Задача: Сумма целых значений аргумента из области определения функции

( )( )2x

8xx10y

−+−

= равна

Ответы: 1).21 2).17 3).19 4).18 5).16

Номер: 1.14.А

Задача: Найти область определения функции x1

6siny −

π=

Ответы: 1). ]( 2;0 2). )[ ∞;2 3). ( ) [ )∞∞− ;20; U 4).[ )0;2− 5). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞;

21

7

Номер: 1.15.А

Задача: Найти область определения функции 5x1xy

−+

=

Ответы: 1). ( )5;∞− 2). ( ) ( )∞∞− ;55; U 3). ( ) ( )∞−∞− ;51; U 4). ( )∞;5 5).нет правильного ответа

Номер: 1.16.А Задача: Найти область значений функции 2xsin3y += Ответы: 1). ( )∞;5 2).[ ]3;3− 3).[ ]5;1− 4).[ ]5;2 5).нет правильного ответа

Номер: 1.17.А Задача: Найти область значений функции 1xcos3y 2 −= Ответы: 1).[ ]2;1− 2).[ ]2;4− 3).[ ]3;3− 4).[ ]0;1− 5).нет правильного ответа

Номер: 1.18.А Задача: Найти наименьшее целое x из области определения функции

( )22 xx215logy −+=

Ответы: 1).-3 2).-2 3).1 4).2 5).4

Номер: 1.19.А Задача: Найти наибольшее целое x из области определения функции

( ) 422 x16x5xy −++−= Ответы: 1).0 2).3 3).5 4).2 5).1

Номер: 1.20.А Задача: Найти наименьший положительный период ( ) 1x3tgy +=

Ответы: 1).3π

2).π 3). π2 4). π3 5).нет правильного ответа

Номер: 1.21.А

Задача: Найти наименьший положительный период 3xsinxcosy +=


2). π2 3).3π

4). π6 5).нет правильного ответа

Номер: 1.22.А Задача: Найти наименьший положительный период x4siny =



8

Номер: 1.23.А Задача: Найти наименьший положительный период 1x2ctgy −=



Номер: 1.24.А

Задача: Найти область значений функции 123y 1x += + Ответы: 1).( )∞,12 2). ( )∞,15 3).[ )∞;12 4). ( )∞,0 5).нет правильного ответа

Номер: 1.25.А Задача: Найти область значений функции 4x3sin2y −= Ответы: 1). ( )4,4− 2).[ ]2,6 −− 3).[ ]10;2 4).[ ]2;2− 5).нет правильного ответа

Номер: 1.26.А Задача: Найти область значений функции 1xtg3y +=

Ответы: 1).[ ]4;2− 2).( )∞∞− , 3).[ ]4;1 4). ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ππ−

23;

23

5).нет правильного

ответа Номер: 1.27.А

Задача: Найти область значений функции 1x1y 2 +=

Ответы: 1). ( )∞,1 2). ( )∞,0 3). ( )∞∞− ; 4).[ )∞;1 5).нет правильного ответа

Номер: 1.28.А Задача: Найти область значений функции 3x2xy 2 +−= Ответы: 1). ( )∞∞− , 2). )[ ∞;2 3).[ )∞;3 4).( )3,2 5).нет правильного ответа

Номер: 1.29.А Задача: Найти область значений функции x2x5y 2 +−= Ответы: 1). ]( 6;∞ 2).( )5;∞− 3).( )∞∞− ; 4).( )∞,5 5).нет правильного ответа

Номер: 1.30.А

Задача: Функция xlglgy = определена при всех x Ответы: 1). ( )∞,0 2).( )∞,1 3). ( )1,0;∞− 4). ( )1;−∞− 5).нет правильного ответа

Номер: 1.31.В Задача: Обратной к функции ( )1xlogy 2 −= является функция

9

Ответы: 1). 12y x += 2). ( )x1logy 2 −= 3). ( )x1log1y

2 −= 4). 1x2y +=

5). 1x2y −=

Номер: 1.32.В Задача: Четной среди приведенных является функция

Ответы: 1).x1x1lgy

+−

= 2).xx

lgy = 3). x2 22y −−= 4). xx 33y −+=

5). ( )2x1lg −

Номер: 1.33.В Задача: Четной среди приведенных является функция Ответы: 1). xx 33y −−= 2). 2xxy −= 3). 53 x3xy +=

4). 4x4x2xy 2 +−++= 5). 32 xxy −=

Номер: 1.34.В Задача: Четной среди приведенных является функция

Ответы: 1). xxy −−= 2). xx1y −= 3). 23 xxy += 4). 3xxx

y −=

5). 1x2x1x2xy 22 +−+−+=

Номер: 1.35.В Задача: Наименьший положительный период функции xsinxcosy 2 −= равен


2).π 3). π23

4). π2 5).4π

Номер: 1.36.В

Задача: Найти область определения функции ( ) π−= 8,0cos25xy 2 Ответы: 1). 5x ±≤ 2). 5x ±≥ 3). 5x5 ≤≤− 4). 5x ≥ 5). ]( )[ ∞−∞−∈ ;55;x U

Номер: 1.37.В Задача: Найти область определения функции

( )4 01a

2 15cosloga5,0x3xy −⋅−−= Ответы: 1).[ ]3;0 2). )[ ∞;3 3). ] )[( ∞∞− ;30; U 4). )[ ∞;0 5).[ ]5;21

10

Номер: 1.38.В

Задача: Область значений функции 6x4x22,0y −+−= равна

Ответы: 1). ]( 25;0 2). ]( 125;0 3). )[ ∞;25 4). )[ ∞;25,1 5). )[ 125;25

Номер: 1.39.В

Задача: Найти область определения функции ( )x3log164y 5,0

x −=

Ответы: 1). ]( )[ ∞∞ ;32; U 2). ]( )[ ∞;32;0 U 3). [ ]( 3;2∞− 4).[ ]3;0 5). )[ ∞;2

Номер: 1.40.В Задача: Функция 4x55xy −−++= определена на множестве Ответы: 1).[ ]5;5− 2).[ ]4;4− 3).[ ] [ ]5;44;5 U−− 4). 0x = 5).∅

Номер: 1.41.В Задача: Наименьший положительный период функции x2ctgxtg + равен

Ответы: 1).π 2). π2 3).2π

4). π23

5). π3

Номер: 1.42.В

Задача: Область значений функции xcos3xsiny += совпадает с множеством Ответы: 1).[ ]1;1− 2).[ ]13;31 −−− 3).[ ]31;31 +−− 4).[ ]2;2− 5).[ ]13;13 +−

Номер: 1.43.В Задача: Нечетной среди приведенных является функция

Ответы: 1). ( )( )1xxxy +−= 2). x21x21y ++−= 3).x1x1y

+−

=

4). xxxx

y −= 5). ( )( )1x1xy +−=

Номер: 1.44.В

Задача: Наименьший положительный период функции xctg2xctgy −=

равен


2).π 3). π23

4). π2 5). π3

11

Номер: 1.45.В Задача: Множество значений функции ( )xfy = равно: 2xx676y −−−= Ответы: 1). )[ ∞,2 2).[ ]12;6 3).[ ]6;2 4).[ ]6;0 5).[ ]2;0

Номер: 1.46.В Задача: Множество значений функции ( )xfy = равно:

( )3x2xlogy 22 +−=

Ответы: 1).[ ]1;1− 2). ]( 1;∞− 3). )[ ∞;1 4). ]( 1;∞− 5). )[ ∞− ;1

Номер: 1.47.В Задача: Наибольшее значение функции ( )29x10xlogy 2

5,0 +−= Ответы: 1). 3log2 2).2 3).3 4).-2 5).нет правильного ответа

Номер: 1.48.В Задача: Если функция ( )xf определена при всех x и имеет наибольшее значение равное 2, то наибольшее значение функции ( ) 61x3f4y −−⋅= равно Ответы: 1).-1 2).2 3).-3 4).4 5).8

Номер: 1.49.В

Задача: Множество значений функции 2xx25,0y −= равно:

Ответы: 1). ]( 5,0;0 2). )[ ∞;5,0 3). ]( 2;0 4). ]( 2;∞− 5). ]( 5;∞−

Номер: 1.50.В

Задача: Найти область определения функции ( )23 2xlog2y −−= Ответы: 1). ]( 5;1− 2). ]( 5;∞− 3). ]( 1;−∞− 4). ) ]([ 5;22;1 U− 5). ]( 5;2

Номер: 1.51.В

Задача: Найти область определения функции ( )22 2xlog2y −−=

Ответы: 1). ]( 3;∞− 2). )[ ]( 3;11;1 U− 3).[ ]3;1− 4). )[ ∞;3 5). )( 1;∞

Номер: 1.52.В Задача: Найти область определения функции

( ) 5x3x21xlogy 23 −−−−= и указать меньшее значение из этой

области Ответы: 1).1 2).2 3).2,5 4).3 5).4

12

]Номер: 1.53.В Задача: Область значений функции x2cos3x2siny −= равна Ответы: 1).[ ]1;1− 2).[ ]13;31 −−− 3).[ ]31;31 +−− 4).[ ]2;2 5).нет правильного ответа

Номер: 1.54.В

Задача: Область значений функции 5x4x23y +−= равна

Ответы: 1).( )3;0 2). )[ ∞;3 3). ( )∞;0 4).( )243;3 5).нет правильного ответа

Номер: 1.55.В

Задача: Область значений функции 6x4x2

101y

−+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= равна

Ответы: 1). ( )∞;0 2). ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ 10;101

3). )[ ∞;100 4). )[ ∞;106 5).нет правильного

ответа

Номер: 1.56.В Задача: Область значений функции xcos4xsin3y += равна Ответы: 1).[ ]4;3− 2).[ ]1;1− 3).[ ]5;5− 4).[ ]4;1− 5).нет правильного ответа

Номер: 1.57.В Задача: Область значений функции x3cosx3siny += равна Ответы: 1).[ ]2;2− 2).[ ]1;1− 3).[ ]3;3− 4).[ ]2;0 5).нет правильного ответа

Номер: 1.58.В Задача: Область значений функции ( )10x6xlogy 2

3 ++= равна Ответы: 1).( )∞∞− ; 2). )[ ∞;0 3). ( )∞;0 4). )[ ∞;2 5).нет правильного ответа

Номер: 1.59.В Задача: Область значений функции ( )x6x7logy 2

2 −−= равна Ответы: 1). ]( 4;∞− 2). ( )∞∞− ; 3). ( )∞;2 4). ( )∞;0 5).нет правильного ответа

Номер: 1.60.В Задача: Область значений функции 2x4tgy −= равна Ответы: 1). ( )∞∞− ; 2).[ ]1;3 −− 3). )[ ∞− ;2 4).[ ]2;6− 5).нет правильного ответа

13

Номер: 1.61.С Задача: Гипербола имеет уравнение

Ответы: 1).x2x1y

−−

= 2).x2x3y

−−

= 3).2xx3y

−−

=

4).2xx1y

−−

= 5). 12x

1y −+

−=

Номер: 1.62.С Задача: Для функции 1x3y += обратной является функция Ответы: 1). 1xlogy 3 −= 2). ( )1xlogy 3 += 3). 3logy 1x+= 4). 1xlogy 3 += 5).нет правильного ответа

Номер: 1.63.С

Задача: Наименьшее значение функции axx2

2y 2 −−= превосходит число

2 при всех следующих значениях a Ответы: 1). 0a > 2). 0a < 3). 1a > 4). 1a0 << 5). 1a <

Номер: 1.64.С

Задача: Наименьшее значение функции ( ) 3xcosxcos202

30siny−−

= равно Ответы: 1).0,25 2).2 3).3 4).4 5).1

Номер: 1.65.С Задача: Найти область определения функции 2x3xy 2 −+−= Ответы: 1).[ ]2;2− 2).[ ] [ ]2;12;2 U− 3). ]( 1;−∞− 4). ]( 1;∞− 5). )[ ∞;2

Номер: 1.66.С Задача: Найти область определения функции

1xxlog7x62x4y 3 −

++++−= . В ответе указать сумму наибольшего

и наименьшего значений из этой области Ответы: 1).2 2).9/14 3).3 4).1 5).-1

Номер: 1.67.С

Задача: Найти область определения функции 1xlogxcos 2

33 3x2

1y−−

=

y

1

2 3 x

14

Ответы: 1).( )1;0 2). ( ) ( )5;22;0 U 3). ( ) ( )∞;11;0 U 4). ( )∞;1 5). ( )20;0

Номер: 1.68.С Задача: Найти максимальное значение x из области определения функции

5xx10log3x4y 2 +

−+−−=

Ответы: 1).-8 2).0 3).3 4).5 5).7

Номер: 1.69.С Задача: Область значений функции ( ) 14xlogy 2 ++= Ответы: 1).( )∞+∞− ; 2). )[ ∞;1 3). )[ ∞;2 4). )[ ∞;3 5). )[ ∞;5

Номер: 1.70.С

Задача: Область значений функции ( ) 28xlogy 5,0 −+= Ответы: 1).( )∞+∞− ; 2). ]( 5;−∞− 3). ]( 1;−∞− 4). )[ 0;5− 5). )[ ∞− ;2

Номер: 1.71.С Задача: Область определения функции ( ) 28xlogy 5,0 −+= Ответы: 1). ( )∞+∞− ; 2). ]( 5;−∞− 3). ]( 1;−∞− 4). )[ 0;5− 5). )[ ∞− ;2

Номер: 1.72.С Задача: Область значений функции ( )2

x1 xx2logy −= − Ответы: 1).( )2;0 2). ( ) ( )∞∞− ;10; U 3). ( )∞;0 4). ( )∞;2 5). ( )1;0

Номер: 1.73.С Задача: Наименьший период функции ( )3xsiny +π= равен

Ответы: 1).π 2). π2 3).1 4).π3

5).2

Номер: 1.74.С

Задача: Множество значений функции ( )5x4xarctg1y 2 +−π

=

Ответы: 1). )[ 2;1 2). )[ 2;1− 3). ]( 1;2− 4). ( )2;2− 5). )[ ∞− ;1

Номер: 1.75.С Задача: Найти область значений функции ( ) ( ) 11xcos2xf −−=

15

Ответы: 1). ) ]( 1;00;31

U⎢⎣⎡− 2). ] )⎜

⎝

⎛⎢⎣⎡ ∞∞− ;311; U 3). )[ ⎜

⎝

⎛⎥⎦⎤−

31;00;1 U

4). ) ]([ 1;00;3 U− 5). )[ ∞⎜⎝

⎛⎥⎦⎤−∞− ;1

31; U

Номер: 1.76.С

Задача: Наименьший положительный период функции ( )( )x2ctg2x5,1tgx2siny −−π= равен


2).2π

3).3π

4). π2 5).π

Номер: 1.77.С

Задача: Найти область значений функции ( )1xsinxcos3arcctgy −−=

Ответы: 1). ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −ππ 3arcctg;4

2). ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π−

4;3arcctg 3). ( )[ ]1;32arcctg −

4). ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +π 32arcctg;6

5). ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −π 32arcctg;6

Номер: 1.78.С

Задача: Множество значений функции ax2xy 2 +−−= совпадает с ]( 3;∞− , если

Ответы: 1). 4a −= 2). 2a = 3). 3a = 4). 4a = 5). 2a −=

Номер: 1.79.С Задача: Множество значений функции ax2xy 2 +−−= совпадает с

]( 4;∞− , если Ответы: 1). 4a −= 2). 2a = 3). 3a = 4). 4a = 5). 2a −=

Номер: 1.80.С Задача: Множество значений функции ax2xy 2 ++−= совпадает с

]( 0;∞− , если Ответы: 1). 1a −= 2). 1a = 3). 2a = 4). 2a −= 5). 0a =

Номер: 1.81.С Задача: Наименьшее значение функции 14x2xy 2 +−+= равно Ответы: 1).1 2).2 3).3 4).4 5).5

16

Номер: 1.82.С Задача: Выберите функцию, наиболее точно соответсвующую рисунку

Ответы: 1).x1xy −= 2).

x1xy += 3).

x1xy +−=

4).x1xy −−= 5). xxy 2 +=

Номер: 1.83.С

Задача: ( ) 2x5x3f +=+ . Величина ( )2f равна Ответы: 1).0 2).1 3).2 4).3 5).4

Номер: 1.84.С

Задача: Если ( ) 5x3xf −= , а ( ) −xg есть функция, обратная для ( )xf , то

наибольшее значение ( )( )1xg3f 2 +− равно Ответы: 1).1 2).2 3).3 4).4 5).-2

Номер: 1.85.С

Задача: График функции x1

1y−

= расположен выше прямой 21y = на

множестве Ответы: 1). ( )3;1− 2). ( ) ( )∞∞− ;31; U 3). ( )4;1 4). ( ) ( )3;11;1 U− 5). ( )∞;3

Номер: 1.86.С

Задача: Область значений функции 1x

xy 2 +=


⎢⎣⎡−

21;

21

2).[ ]1;1− 3).[ ]2;2− 4).[ ]4;4− 5). ( )∞∞− ;

Номер: 1.87.С

Задача: Найти область значений функции 1x

xy 2 −=


⎢⎣⎡−

21;

21

2).[ ]1;1− 3).[ ]2;2− 4).[ ]4;4− 5). ( )∞∞− ;

y

x

17

Номер: 1.88.С

Задача: График функции 1x

1y+

= расположен выше прямой 030siny = на

множестве Ответы: 1). ( )1;3− 2). ( ) ( )∞−∞− ;13; U 3).( )3;1 4).( ) ( )1;11;3 −−− U 5). ( ) ( )3;11; U∞−

Номер: 1.89.С Задача: Если функция ( ) 4x2xf −= , а ( ) −xg есть функция, обратная для ( )xf , то наименьшее значение ( )( )1xg2f 2 + равно

Ответы: 1).1 2).2 3).3 4).4 5).-2

Номер: 1.90.С

Задача: Для функции 3x22x3y

++−

= обратной является функция

Ответы: 1).3x22x3y

++−

= 2).3x2

2x3y+−−

= 3).3x22x3y

+−

= 4).2x3

3x2y+−+

=

5).2x33x2y

++−

=

Номер: 1.91.С

Задача: Для каждой пары функций ( ) 5xxf = и ( ) 3x2x −=ϕ , заданных условиями, составить две сложные функции, ( ) ( )( )xfxu ϕ= и ( ) ( )( )xfx ϕ=ϑ

Ответы: 1).( ) ( )

( ) ( ) RD,3x2

RUD,3x2U5

5

=ϑ−=ϑ

=−= 2).

( ) ( )( ) RD,3x2

RUD,5x2U5

5

=ϑ−=ϑ

=−=

3).( )

( ) ( ) RD,33x2

RUD,3x2U5

55

=ϑ−−=ϑ

=−= 4).

( )( ) ( ) RD,3x2

RUD,3x2U5

5

=ϑ−=ϑ

=−= 5).нет

правильного ответа

Номер: 1.92.С Задача: Для каждой пары функций ( ) x2xf = и ( ) 2xx =ϕ , заданных условиями, составить две сложные функции, ( ) ( )( )xfxu ϕ= и ( ) ( )( )xfx ϕ=ϑ

18

Ответы: 1).( )

( ) RD,x4RUD,x2U 2

=ϑ=ϑ==

2).( ) ( )

( ) RD,2

RUD,x2U2x

2

=ϑ=ϑ

==

3).( )( ) RD,2

RUD,x2Ux2

2

=ϑ=ϑ

== 4).

( )( ) ( )+∞=ϑ=ϑ

== +

;0D,x

RUD,2Ux2

xx 2

5).нет правильного ответа

Номер: 1.93.С

Задача: Для каждой пары функций ( ) xlnxf = и ( ) xsinx =ϕ , заданных условиями, составить две сложные функции, ( ) ( )( )xfxu ϕ= и ( ) ( )( )xfx ϕ=ϑ

Ответы: 1).( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )+∞=ϑ=ϑ

π+ππ==∈

;0D,xlnsin

n2,n2UUD,xsinlnUZn

2).( )

( ) ( ) ( )+∞=ϑ=ϑ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∈π+

π−==

;0D,xlnsin

Zn,n22

UD,xsinlnU

2

3).( )( ) )[ ∞=ϑ=ϑ

==

;1D,xlnsin

RUD,xsinlnU

4).( ) ( )( ) ( )+∞=ϑ=ϑ

+∞==

;0D,xlnsin

;0UD,xsinlnU 5).нет правильного ответа

Номер: 1.94.С

Задача: Выразить y как функцию x : .1xz;zy 2 +==

Ответы: 1). 1xy 2 += 2). 1xy +±= 3). ( )21xy += 4). 1xy 2 −=

5). 1xxy 2 ++=

Номер: 1.95.С Задача: Написать в явном виде функцию y , неявно заданную уравнением:

52 yx =

Ответы: 1).x

5logy 2= 2). x2

5y = 3).xlog

5lny2

= 4).2

xlogy 2=

5).5

xlogy 2=

Номер: 1.96.С

Задача: Написать в явном виде функцию y , неявно заданную уравнением:

1by

ax

2

2

2

2=−

19

Ответы: 1). 22 axaby −±= 2). 22 ax

aby −= 3). 22 ax

bay −=

4). 22 axbay −±= 5). ( )ax

aby −=

Номер: 1.97.С

Задача: Написать в явном виде функцию y , неявно заданную уравнением: 333 ayx =+

Ответы: 1). 3 33 xay −= 2). 3 33 xay −±= 3). xay −= 4). 3 3x1ay −=

5). 33 xay −=

Номер: 1.98.С

Задача: Написать в явном виде функцию y , неявно заданную уравнением:

1yx 22 =+

Ответы: 1) . 2x1y −= 2). 2x1y −±= 3). ( )2x1y −±= 4). ( )x1y −±=

5). x1y −=

Номер: 1.99.С Задача: Написать в явном виде функцию y , неявно заданную уравнением:

сyx =⋅

Ответы: 1).xсy ±= 2). xcy = 3). xcy −= 4).

xcy = 5). 2x

cy =

Номер: 1.100.В

Задача: Найти естественную область определения D и множество значений E

x1y −= Ответы: 1). ( ) ( )∞∞−=∞∞−= ;E;;D 2). [ ] [ ]1;0E;1;1D =−= 3). ] ( )( 1;0E;1;0D == 4). ( ) ]( 1;0E;;D =∞∞−= 5). [ ] ( )+∞== ;0E;1;0D

Номер:1.101.В


4x21arccosy −

=

20


⎢⎣⎡ ππ−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−=

2;

2E;

25;

23D 2). [ ] [ ]π=−= ;0E;1;1D

3). [ ]π=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= ;0E,

25;

23D 4). [ ]π=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−= ;0E;

25;

23D

5). ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ππ−=−=

2;

2E;1;1D

Номер:1.102.В


( )x1arccos2y −=

Ответы: 1). [ ] )[ ∞== ;1E;2;0D 2). [ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=−= 2;

21E;1;1D

3). [ ] [ ]π== 2;1E;2;0D 4). ( ) ( )∞∞−=∞∞−= ;E;;D

5). ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−= 2;

21E;1;1D

Номер:1.103.В


( )6xx5lgy 2 −−= Ответы: 1). ( ) ( )∞∞−=∞= ;E;;0D 2). ( ) ( )∞∞−== ;E;3;2D

3). )⎢⎣

⎡⎜⎝

⎛⎥⎦⎤∞−=−=

41lg;E;3;2D 4). ( ) ⎜

⎝

⎛⎥⎦⎤∞−==

41lg;E;3;2D

5). ( ) ( )∞∞−== ;E;3;0D

Номер:1.104.В Задача: Найти естественную область определения D и множество значений E

2x1arcsiny

2−=

Ответы: 1). ( ) ⎜⎝

⎛⎥⎦⎤π=−=

4;0E;1;1D 2). [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ππ−=−=

2;

2E;1;1D

3). ( ) ( )∞∞−=+∞= ;E;;0D 4). [ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

=−=4

;0E;1;1D

5). ]( ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ππ−==

4;

4E;1;0D

21

Номер:1.105.В Задача: Найти естественную область определения D и множество значений E

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= 1

2xarcsinyy

Ответы: 1). [ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ππ−==

2;

2E;4;0D 2). ( ) [ ]1;1E;;D −=∞∞−=

3). ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ππ−=∞=

2;

2E;;0D 4). [ ] ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ππ−=−=

2;

2E;1;1D

5). [ ] [ ]π== ;0E;4;0D

Номер:1.106.В Задача: Выяснить, какие из данных функций является четными и какие нечетными; какие не являются ни четными, ни четными (общего вида)

1) ( )xx aa21 −+ ;2) ;xx1xx1 22 +−−++ 3) 24 x5x +

Ответы: 1).четн., нечет., четн. 2).нечет., нечет., четн. 3).нечет., четн., четн. 4).общего вида, общего вида, четн. 5).общего вида, нечет., четн.

Номер: 1.107.В Задача: Выяснить, какие из данных функций является четными и какие нечетными; какие не являются ни четными, ни четными (общего вида)

1) ;12

xx −

2) ;x1x1lg

−+

3) xx 2 −

Ответы: 1).общего вида, общего вида, общего вида. 2).нечет., общего вида., нечет. 3).общего вида., четн., нечет. 4).общего., нечет., общего вида 5).нечет., общего вида, четн.

Номер: 1.108.В Задача: Выяснить, какие из данных функций является четными и какие нечетными; какие не являются ни четными, ни четными (общего вида) 1) ;xcosxsin − 2) ( );x1xlg 2++ 3) xsin2xx 32 + Ответы: 1).общего вида, общего вида нечет. 2).нечет., нечет., общего вида 3).четн., общего вида; четн. 4).общего вида, нечет., нечет. 5).нечет., нечет, общего вида

Номер: 1.109.В Задача: Выяснить, какие из данных функций является четными и какие нечетными; какие не являются ни четными, ни четными (общего вида)

1) ( ) ( ) ;1x1x 3 23 2 −++ 2) ;1e1e

x

x

−+

3)2xe5x −

22

Ответы: 1).нечет., нечет., четн. 2).четн., четн., четн. 3).четн., нечет., четн. 4).общего вида, общего вида, нечет. 5).нечет., общего вида, общего вида

Номер: 1.110.В Задача: Выяснить, какие из данных функций является четными и какие нечетными; какие не являются ни четными, ни четными (общего вида) 1) x7sinx 4 ⋅ 2) ;xcoslg 3) xx3x 24 −− Ответы: 1).нечет., четн., общего вида 2).четн., нечет., нечет., 3).общего вида, общего вида, четн. 4).нечет., четн., общего вида 5).общего вида, нечет., нечет.

Номер: 1.111.В Задача: Выяснить, какие из заданных функций являются периодическими и определить их наименьший период T . x4cos;x4cosx3tg;xsin +

Ответы: 1).период π=T пер. ;43T π= пер.

2T π= 2).период ;2T π= непер.

; пер. π=T 3).непериод; пер. ;2T π= непер. 4).непериод пер. ;T π=

пер. 2

T π= 5).период ;2T π= непер.; пер. π4


Задача: Выяснить, какие из заданных функций являются периодическими и

определить их наименьший период T . 3xtg2

2xtg;xsinx;x7cos5 −

Ответы: 1).период ;2T π= пер. ;2T π= пер. π=32T 2).непериод; непер.;

пер. π= 6T 3).период ;27T π= ; пер. ;T π= непер. 4).период ;

72T π=

непер. пер. π= 6T 5).период ;14T = пер. π= 2T ; непер

Номер: 1.113.В Задача: Выяснить, какие из заданных функций являются периодическими и

определить их наименьший период T . 2xsinx;1

3xcos2;x2cos2 ⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

Ответы: 1).период ;2

T π= пер. ;6T π= непер. 2).период ;T π= пер.

32T π

=

; пер. π= 4T 3).непериод; пер. ;2T π= пер.2

T π= 4).непериод ; непер.;

непер. 5).период ;2T π= непер.; пер. π= 2T

23

Номер: 1.114.В Задача: Выяснить, какие из заданных функций являются периодическими и определить их наименьший период T .

( )x3sinx4cos;x5sin;x2coslg +

Ответы: 1).период ;T π= пер. ;52T π= непер. 2).период ;

2T π= пер.

π=25T ; пер. π=T 3).непериод; пер. ;2T π= пер.

32T π

= 4).период

;T π= непер.; непер. 5).непер.; период ;T π= пер. π= 2T

Номер: 1.115.В Задача: Для функции y найти обратную 2x1arcsin4y −=

Ответы: 1).4xcosy ±= 2). x4siny = 3). ( )π∈

−= 2,0x,

x1arcsin4

1y2

4).xarccos

4y = 5). ( )π∈= 2;0x,4xsiny


Задача: Написать в явном виде функцию, неявно заданную следующим уравнением, найти область определения π=− yarccosx 2

Ответы: 1). π≤≤π−= 2x;xcosy 2 2). π≤<π= 2x;xcosy 2

3). ( ) π≤≤−π= 2x0;xcosy 2 4). π≤≤−= 2x0,xcosy 2

5). π≤≤= 2x0,xcosy 2

Номер: 1.117.В Задача: Найти естественную область определения D и множество значений E

( )3xlny += Ответы: 1). ( ) ( )+∞∞−∞−= ;E,;3D 2). ( ) ( )+∞∞−∞= ;E,;0D 3). ( ) ( )+∞∞∞−= ;0E,;D 4). )[ ( )+∞∞−∞− ;E,;3 5). ( ) ( )+∞−∞= ;3E,;0D

Номер: 1.118.В Задача: Найти естественную область определения D и множество значений E

x25y −=

24

Ответы: 1). )[ ∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∞−= ;0E,

25;D 2). )[ ∞=⎜

⎝

⎛⎥⎦⎤∞−= ;0E,

25;D

3). ( ) )[ ∞=∞−= ;5E,0;D 4). ]( ( )∞=∞−= ;5E,0;D 5). ( ) ( )∞∞−=∞∞−= ;E;D

Номер: 1.119.В Задача: Найти естественную область определения D и множество значений

E 2x2ey −=

Ответы: 1). ( ) ( )∞=∞∞−= ;0E;;D 2). ( ) )[ ∞=∞∞−= ;e1E;;D 2

3). ( ) ( )∞=−= ;0E;2;2D 4). ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=−= 1;e1E;2;2D

5). ( ) )[ ∞=∞= ;1E;;2D

Номер: 1.120.В Задача: Найти естественную область определения D и множество значений

E 2x1

1y−

=

Ответы: 1). ( ) )[ ∞=−= ;1E;1;1D 2). [ ] ( )∞∞−=−= ;E;1;1D 3). ( ) ( )∞=∞∞−= ;1E;;D 4). ( ) ( )∞∞−=∞∞−= ;E;;D 5). ( ) ( )∞=−= ;0E;1;1D

Номер: 1.121.В Задача: Вычислить, какие из заданных функций являются периодическими и определить их наименьший период T xsin;xtg;x3sin10 2

Ответы: 1).период, ;32T π= период ;T π= период, π=T 2).период,

;6T π= период ;T π= период, π= 2T 3).период, ;2T π= непериод ;2T π= период, π=T 4).непериод, период ;2T π= период, π=T 5).период, ;2T π= период ;T π= период, π= 2T

Номер: 1.122.В Задача: Для функции y найти обратную: 3x2y +=

Ответы: 1).3x2

1y+

= 2). Rx,2x3y ∈+= 3). Rx,32xy ∈+=

4). 0x,31

x2y ≠+= 5). ( ) Rx,3x

21y ∈−=

25

Номер: 1.123.В Задача: Для функции y найти обратную: 1xy 2 −=

Ответы: 1). [ )∞−∈+−=+= ;1x,1xy,1xy 2). 1x,1x

1y 2 ≠−

=

3). 0x,1x1y 2 ≠−= 4). ] )[( ∞−∞−∉−= ;11;x,1xy 2 U

5). Rx,x1y 2 ∈−=

Номер: 1.124.В.

Задача: Для функции y найти обратную: 2xlgy =

Ответы: 1). Rx,102y x ∈⋅= 2). ( ) ( )∞∈= ;22;0x,

2xlg

1y U

3). Rx,210y x ∈⋅= 4). ( )∞∈= ;0x,x2lgy 5). ( ) Rx,102y x ∈⋅=

Номер: 1.125.В Задача: Для функции y найти обратную: 3 3x1y −=

Ответы: 1). Rx,x1y 3 3 ∈−= 2). 1x,x1

1y3 3

≠−

= 3). ( ) Rx,x1y33 ∈−=

4). Rx,x1y ∈−= 5). Rx,x1y3 ∈−=

Номер: 1.126.В Задача: Для функции y найти обратную: x3arctgy =

Ответы: 1). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ππ−∈=

2;

2x,xtg

31y 2). ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ππ−∈=

6;

6x,x3tgy

3). ( ) ( )∞∞−∈= ;00;x,x3arctg

1y U 4). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ππ−∈=

2;

2x,xtg3y

5). ( )∞∞−∈= ;x,xtg31y


Задача: Для функции y найти обратную x31y −=

Ответы: 1).31x,

x311y −≠−

= 2). 0x,x31y ≠−= 3). Rx,

31xy ∈

−=

4). Rx,3

x1y ∈−

= 5). 1x,1x

3y ≠−

=

26

Номер: 1.128.В Задача: Для функции y найти обратную x3sin2y =

Ответы: 1).2xarcsin

31y = 2).

x3sin21y = 3).

x3sin2y = 4). x3arcsin2y =

5). x3cos2y =

Номер: 1.129.В Задача: Для функции y найти обратную ( )2xlg1y ++=

Ответы: 1). Rx,102y 1x ∈+−= − 2). ( ) 3x,2x,2xlg

1y ≠>+

=

3). 0x,xlg2y >+= 4). ( ) 2x,2xlg1

1y −>++

= 5). Rx,110y 2x ∈+= +


Задача: Для функции y найти обратную 1x10y +=

Ответы: 1). 0x,10xlgy >= 2). 0x,

10xlgy >= 3). 0x,1

10lnxlny >+=

4). 1x101y+

= 5). 0x,10xlgy >+=


Задача: Выразить y как функцию x xtgz,1zy 2=+=

Ответы: 1). 1xtgy += 2). 1xtgy 2 += 3).xcos

1y = 4).xcos

1y ±=

5). ( )21xtgy +=

Номер: 1.132.В Задача: Выразить y как функцию x xlgv,vu,uarctgy ===

Ответы: 1). xlgarctgy = 2). xlgarctg21y = 3). xarctglgy =

4). xarctglgy = 5). xarctgy =

Номер: 1.133.В Задача: Выразить y как функцию t t32 ax,1xz,zy =+==

Ответы: 1). 3 t2 1ay += 2). 3 t 1ay2+= 3). ( )3t 1ay += 4). ( )3

2t2 1ay +=

5). ( )3 2t 1ay +=

27

Номер: 1.134.В Задача: Выразить u как функцию x 2v1u,ylgv,xsiny +===

Ответы: 1). 2x1sinlgu += 2). xlgsin1u += 3). xsinlg1u 2+=

4). xsinlg21u += 5). 2x1lgsinu +=

Номер: 1.135.В Задача: Выразить v как функцию x 2z1v,ycosz,x1y −==+=

Ответы: 1). ( )2x1cos1v +−= 2). ( )2x11cosv +−=

3). ( )x1cos1v 2 +−= 4). ( )x1cosv += 5). 2x1cos1v ++=

Номер: 1.136.В Задача: Выразить u как функцию x 1x3v,1yu,5y 2v +=+==

Ответы: 1). ( ) 15u 1x32 += + 2). ( ) 15u21x3 += + 3). 15u 1x3 += +

4). 15u 1x3 += + 5). ( ) 251x3u 5 ++=

Номер: 1.137.В Задача: Выразить y как функцию x xu,vsinu,ucosy 23 ===

Ответы: 1). xsincosy 6= 2). xsincosy 23= 3). xsincosy 6=

4). xsincosy 3= 5). 26 xsincosy =


Задача: Выразить y как функцию t ( ) t22

eu,u1v,v1

1y =+=−

=

Ответы: 1).( )2te11

1y+−

= 2). te1y−

= 3).( )2te11

1y+−

=

4).( )4te11

1y+−

= 5). ( )t2e11

1y+−

=


Задача: Выразить y как функцию x 2xu,1u3v,2varcsin3y =−==

28

Ответы: 1).2

1x3arcsin3y2 −

= 2). 12x3arcsin3y

2−=

3).( )

21x3arcsin3y

2−= 4).

21xarcsin9y

2 −= 5).

21x9arcsiny

2 −=


Задача: Написать в явном виде функцию, неявно заданную следующим уравнением, найти область определения 101010 yx =+ Ответы: 1). ( ) 0x,1010lny x >−= 2). ( ) 1x,1010lgy x <<∞−−=

3). 0x,1010lgy x >= 4). ( ) Rx,1010lgy x ∈+=

5). ( ) 0x,1010lgy x <<∞−−=

Номер: 1.141.В Задача: Написать в явном виде функцию y , неявно заданную уравнением

( ) 41ylgxlg =++

Ответы: 1). 1x4lgy −= 2). 1

x1000y −= 3). 1

x10lny 4 += 4).

x14lny −

=

5). ( )10xlg4y x ++=

Номер: 1.142.В Задача: Написать в явном виде функцию y , неявно заданную уравнением

( ) 7x2x2 32yx +=−+

Ответы: 1). ( ) ( ) x2xlog7xlogy 22

32 −−−+=

2). ( ) ( ) xlog7xlog2xlogy 23

22

2 −++−=

3). ( ) ( ) x2xlog7xlogy 22

32 +−++=

4). x1xlog27logxlog3y 222 +−++=

5). ( ) ( ) x2xlog7xlogy 22

22 +−++=


Задача: Написать в явном виде функцию y , неявно заданную уравнением ( ) 0xycosx1 2 =−+

Ответы: 1).x1

xarccosy2

+= 2). ( )x1arccosxy 2 += 3). 2x

x1arccosy +=

4). ( )1xarccosxy

2

+= 5). ( )x1xarccosy 2 +−=

29

2. Предел числовой последовательности Номер: 2.1.А

Задача: Найти пятый член последовательности { }nx , если: 1nn 2x +=

Ответы: 1).128 2).32 3). 24 4).256 5).нет правильного ответа

Номер: 2.2.А Задача: Найти пятый член последовательности { }nx , если: ( ) 11x n

n +−= Ответы: 1).128 2).32 3). 24 4).256 5).нет правильного ответа

Номер: 2.3.А

Задача: Найти пятый член последовательности { }nx , если: 2n n1nx +

=

Ответы: 1).6/25 2).25/6 3).6/10 4).32/125 5).нет правильного ответа

Номер: 2.4.А

Задача: Найти пятый член последовательности { }nx , если: 2nsinx n

π=

Ответы: 1).1 2).0 3).1/2 4). 23− 5).нет правильного ответа

Номер: 2.5.А Задача: Найти пятый член последовательности { }nx , если: 3n2nx 2

n ++= Ответы: 1).38 2).-28 3).17 4).25 5).нет правильного ответа

Номер: 2.6.А Задача: Найти пятый член последовательности { }nx , если: !nx n = Ответы: 1).1/120 2).5 3).1/5 4).1/720 5).нет правильного ответа

Номер: 2.7.А

Задача: Найти пятый член последовательности { }nx , если: ( )2n

1n1x+

=


Номер: 2.8.А

Задача: Найти пятый член последовательности { }nx , если: ( )

!n21x

n

n−

=

Ответы: 1).-1/240 2).1/240 3).-1/25 4).21/120 5).нет правильного ответа

30

Номер: 2.9.А

Задача: Найти пятый член последовательности { }nx , если: n3

cosx nπ

=

Ответы: 1).1/2 2).-1/2 3).2

3− 4).0 5).нет правильного ответа

Номер: 2.10.А

Задача: Найти пятый член последовательности { }nx , если: ( )

1n1x 2

1n

n+

−=

+

Ответы: 1).-1/24 2).-1/26 3).1/26 4).6/25 5).нет правильного ответа

Номер: 2.11.А

Задача: Найти пятый член последовательности { }nx , если: ( )3n

1n!nx+

=

Ответы: 1).5/9 2).12/25 3).-5/18 4).5/6 5).нет правильного ответа

Номер: 2.12.А

Задача: Найти третий член последовательности { }nx , если: 1n

nx2

n +=

Ответы: 1).9/4 2).6/5 3).12/5 4).1 5).нет правильного ответа

Номер: 2.13.А

Задача: Найти третий член последовательности { }nx , если: ( )( )2

1n2

n1n2

1x−

−=

−

Ответы: 1).-1/125 2).3/125 3).1/125 4).1/9 5).нет правильного ответа

Номер: 2.14.А

Задача: Найти третий член последовательности { }nx , если: ( )!n21x n =

Ответы: 1).1/720 2).1/12 3).1/36 4).1/12! 5).нет правильного ответа

Номер: 2.15.А

Задача: Найти третий член последовательности { }nx , если: ( )( )1nln1x

1n

n +−

=+

Ответы: 1).2ln2

1 2).

3ln1−

3).2ln1−

5 4).4ln1−


31

Номер: 2.16.А

Задача: Найти третий член последовательности { }nx , если: 3n 5n

1x+

=

Ответы: 1).1/2 2).1/5 3). 3 61 4).1/5 5).нет правильного ответа

Номер: 2.17.А

Задача: Найти третий член последовательности { }nx , если: 2

n

n n5x−

=


Номер: 2.18.А

Задача: Найти третий член последовательности { }nx , если: n

sinx nπ

=

Ответы: 1).1/2 2). 23 3).0 4).01/2 5).нет правильного ответа

Номер: 2.19.А

Задача: Найти третий член последовательности { }nx , если: n4

sinx 2n

π=

Ответы: 1).43

− 2).23

3).2

31+ 4). 1− 5).

432 −

Номер: 2.20.А

Задача: Найти третий член последовательности { }nx , если: n

tgx nπ

=

Ответы: 1).3

1 2). 3 3).

31

− 4).0 5).нет правильного ответа

Номер: 2.21.А

Задача: Найти третий член последовательности { }nx , если: ( )

1n1x

n

n +−

=

Ответы: 1).– 1/4 2).1/4 3).1/2 4).1 5).нет правильного ответа

Номер: 2.22.А

Задача: Найти третий член последовательности { }nx , если: 1n23nx n +

+=


32

Номер: 2.23.А

Задача: Найти третий член последовательности { }nx , если: ( )2

n

n1n

2x+

=


Номер: 2.24.А


1n1x

n3

n +−

=

Ответы: 1).21

− 2).21

3).43

1 4).1 5).нет правильного ответа

Номер: 2.25.А

Задача: Найти третий член последовательности { }nx , если: 1n

3x 3

n

n+

=


Номер: 2.26.А

Задача: Найти третий член последовательности { }nx , если: nn 2!nx =


Номер: 2.27.А


2

n nnnx +

=

Ответы: 1).814

2).913

3).33

91+ 4).

91


Номер: 2.28.А


1n1x

1n

n +−

=+

Ответы: 1).-1 2).1/4 3).-1/4 4).1 5).нет правильного ответа

Номер: 2.29.А Задача: Найти третий член последовательности { }nx , если:

( ) ( )1n2

1n21xn

n +−−

=

Ответы: 1).– 5/7 2).5/7 3).7/15 4).-1 5).нет правильного ответа

33

Номер: 2.30.А


ncosx 2n

π=

Ответы: 1).21

2).1 3).1 4).23

5).43

Номер: 2.31.В

Задача: Вычислить предел числовой последовательности ( )

( )32

32

n 1nn

1nlim++

+∞→

Ответы: 1).∞ 2).1 3).0 4).3 5).нет правильного ответа

Номер: 2.32.В Задача: Вычислить предел числовой последовательности

3 44 4

2

n 1n1n3n2nlim−−+

+−+∞→

Ответы: 1).0 2).∞ 3).-1 4).1 5).нет правильного ответа


n1nn

n61n2lim

4 12

33 2

n −+−

++∞→

Ответы: 1).6 2).0 3). 3 2− 4).∞ 5).нет правильного ответа


nn2nn271n2

lim3

3 3

n −+++

∞→

Ответы: 1).1 2).3 3). 3 4 4).∞ 5).нет правильного ответа


n1n1n1nlim

4 4

5

n −+

−−+∞→

Ответы: 1).1 2).∞ 3).0 4).-1 5).нет правильного ответа

34


( ) ( )4 83

5 10

n 1nnn

1n32nlim

−⋅+

+∞→

Ответы: 1).-2 2).∞ 3).1 4).0 5).нет правильного ответа


1n1n

1n1nlim

23

5 5

n −−+

+−+∞→

Ответы: 1).1 2).-1 3).0 4).∞ 5).нет правильного ответа


1n5n9n641n2

lim 2

6 127 5

n +++−+

∞→

Ответы: 1).8 2).-2 3).1 4).0 5).нет правильного ответа


5 44 3

3 2

n 1n3n1n1n1nlim++++

+−+∞→

Ответы: 1).0 2).∞ 3).1 4).1/2 5).нет правильного ответа


3nnn8

1n1nnlim

3 6

35 1015

n +++

++++∞→

Ответы: 1).-1/2 2).0 3).1 4).∞ 5).нет правильного ответа


8n1n1nnlim 3

35 1015

n ++−++

∞→

Ответы: 1).1/8 2).0 3).∞ 4).1 5).нет правильного ответа

35


54 3

3 2

n 32n16n1n1nnlim

+++

−+++∞→

Ответы: 1).0 2).1/4 3).∞ 4).1 5).нет правильного ответа


1nn8n3nlim 2

3 34 3

n +++−+

∞→

Ответы: 1).1/3 2).0 3).∞ 4).1/2 5).нет правильного ответа

Номер: 2.44.С Задача: Вычислить предел числовой последовательности

( )1n2531n2n2

lim43 3

n −++++−−+

∞→ K

Ответы: 1).-0,25 2).1/2 3).0 4).1 5).нет правильного ответа

Номер: 2.45.С

Задача: Вычислить предел числовой последовательности nn2

1n4nlim 2

23

n +−++

∞→

Ответы: 1).-0,25 2).-4 3).0 4).1 5).нет правильного ответа


1nn321lim

4

3

n +

++++∞→

K

Ответы: 1).1/6 2).1/3 3).0 4).∞ 5).нет правильного ответа


( ) ( )( )!3n

!2n!4nlimn +

+−+∞→

Ответы: 1).0 2).∞ 3).1/3 4).1 5).нет правильного ответа


4nn963lim 2n +

++++∞→

K

36

Ответы: 1).3 2).0 3).∞ 4).9 5).нет правильного ответа


4nn242lim 2n +

+++∞→

K

Ответы: 1).3 2).2 3).0 4).∞ 5).нет правильного ответа

Номер: 2.50.С

Задача: Вычислить предел числовой последовательности 4n

n21lim 2n ++++

∞→

K

Ответы: 1).3 2).2 3).1 4).0 5).∞

Номер: 2.51.С

Задача: Вычислить предел числовой последовательности 1n

n21limn +

+++∞→

K


Номер: 2.52.В Задача: Используя логическую символику, записать следующие высказывания, а также их отрицания: последовательность ограничена; Ответы: 1). ( ) ( )AxNn0A;AxNn0A >∈∃>∀≤∈∃>∃ 2). ( ) ( )AxNn0A;AxNn0A n >∈∃>∀≤∈∀>∃ 3). ( ) ( )AxNn0A;AxNn0A >∈∀>∀≤∈∃>∃ 4). ( ) ( )AxNn0A;AxNn0A <∈∃>∃≤∈∀>∃ 5). ( ) ( )AxNn0A;AxNn0A >∈∀>∀≤∈∃>∃

Номер: 2.53.В Задача: Используя логическую символику, записать следующие высказывания, а также их отрицания: последовательность возрастает; Ответы: 1). ( ) ( )1nn1nn xxNn;xxNn ++ ≥∈∃<∈∀ 2). ( ) ( )1nn1nn xxNn;xxNn ++ ≥∈∀<∈∃ 3). ( ) ( )1nn1nn xxNn;xxNn ++ ≥∈∃≤∈∀ 4). ( ) ( )n1n1nn xxNn;xxNn ≥∈∃<∈∀ ++ 5). ( ) ( )1nn1nn xxNn;xxNn ++ >∈∃<∈∃

Номер: 2.54.В Задача: Используя логическую символику, записать число a есть предел последовательности

37

Ответы: 1). ( )ε<−⇒>∈∀∈∃>ε∀ axNnNnNN0 n 2). ( )ε≥−∧>∃∈∀>ε∃ axNnNN0 n 3). ( )ε<−⇒>∃∈∀>ε∀ axNnNN0 n 4). ( )ε<−⇒<∈∀∈∃>ε∀ axNnNnNN0 n 5). ( )axNnNnNN0 n <ε−⇒>∈∃∈∃>ε∀

Номер: 2.55.В Задача: Используя логическую символику, записать: последовательность ( ) Nnnx ∈ бесконечно большая Ответы: 1). ( )ExNnNnNN0E >⇒>∈∀∈∃>∀ 2). ( )ExNnNnNN0E ≥∧>∈∃∈∀>∃ 3). ( )ExNnNnNN0E >⇒>∈∃∈∀>∀ 4). ( )ExNnNnNN0E <⇒>∈∃∈∀>∀ 5). ( )ExNnNnNN0E ≤⇒<∈∀∈∃>∀

Номер: 2.56.В Задача: Используя логическую символику, записать число a есть предельная точка последовательности Ответы: 1). ( )ε<−∈∃>ε∀ axNn0 n 2). ( )ε<−∈∃>ε∃ axNn0 n 3). ( )ε<−∈∀>ε∀ axNn0 n 4). ( )ε≥−∈∀>ε∀ axNn0 n 5). ( )ε<ε−∈∀>ε∃ nxNn0

38

3. Предел функции

Номер: 3.1.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», то какого

типа) предел: 15x8x6x5xlim 2

2

3x +−+−

→

Ответы: 1).неопределенности нет 2).∞∞

3).00

4). 0∞ 5). ∞1

Номер: 3.2.А

Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», то какого

типа) предел: 15x8x6x5xlim 2

2

3x +++−

→


3).00

4). 0∞ 5). ∞1

Номер: 3.3.А


типа) предел: 3

345

x x211xxxlim

+++

∞→


3).00

4). 0∞ 5). ∞1

Номер: 3.4.А

Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», то какого типа) предел: ( )22

xxx1xx1lim +−−++

∞→

Ответы: 1).∞∞

2).00

3). ∞−∞ 4). 0∞ 5). ∞⋅0

Номер: 3.5.А


типа) предел: x1x1

1x 2x16xlim

+−

→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++


3).00

4). 0∞ 5). ∞1

39

Номер: 3.6.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», то какого типа) предел: ( ) xtg

2xxsinlim

π→


3).00

4). 0∞ 5). ∞1

Номер: 3.7.А

Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», то какого типа) предел: ( )x

0xxsinlim

+→

Ответы: 1). 00 2).∞∞

3).00

4). ∞1 5). ∞⋅0

Номер: 3.8.А

Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа) предел: ( )x210x

xloglim+→

Ответы: 1). 0∞ 2). 00 3). ∞1 4).неопределенности нет 5). ∞⋅0

Номер: 3.9.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа)

предел: 8x

6x5xlim 3

2

2x −+−

→

Ответы: 1). 00 2).∞∞

3).00

4). ∞1 5). ∞⋅0

Номер: 3.10.А

Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа)

предел: 1e12lim x

x

x −−

∞→


3).00

4). 0∞ 5). ∞1

Номер: 3.11.А

Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа) предел: ( )1xxarctglim

x+

∞→


3).00

4). ∞1 5). ∞⋅0

40


предел: 1e

x2arctglim 2x0x −→


3).00

4). 0∞ 5). ∞1

Номер: 3.13.А


предел: x

x 1x21xlim ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∞→


3).00

4). 0∞ 5). ∞1

Номер: 3.14.А


предел: ( ) xcosxsin1

4xxtglim −

π→


2).00

3). ∞1 4). ∞⋅0 5).неопределенности нет

Номер: 3.15.А


предел: 20x xx3cos1lim −

→


3).00

4). 0∞ 5). ∞1

Номер: 3.16.А

Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа) предел: xtgxlnlim

0x⋅

+→


3).00

4). ∞⋅0 5). ∞1

Номер: 3.17.А


предел: ( ) x31

0xx1lim +

→

41


2).00


Номер: 3.18.А


предел: 2xx

1xlim 2

2

x −−−

∞→


2).00

3). ∞1 4). ∞⋅0 5). 00

Номер: 3.19.А

Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа) предел: ( ) xcos

2xxctglim

π→


2).00

3). ∞1 4). ∞⋅0 5). 00

Номер: 3.20.А


предел: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

→ xln1

x1lim

0x


2).00

3). ∞−∞ 4).неопределенности нет 5). 0⋅∞

Номер: 3.21.А


предел: 3 2

4

x 3x

1xxlim+

++∞→

Ответы: 1).00

2).∞∞


Номер: 3.22.А


предел: x4tgx3sinlim

0x→

Ответы: 1).00

2).∞∞


42


предел: x

x 1x1x3lim ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

∞→


3).00

4). 0∞ 5). ∞1

Номер: 3.24.А

Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа) предел: ( ) x3tg

3xx3sinlim

π→

Ответы: 1).00

2). ∞1 3). 00 4).∞∞

5).неопределенности нет

Номер: 3.25.А


предел: x

23cos

x4sinlimx π→

Ответы: 1).00

2). ∞1 3). 00 4). 0⋅∞ 5).неопределенности нет

Номер: 3.26.А


предел: 6x5xx4

2x

2

2

1x3xlim +−

−

→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

Ответы: 1).00

2).∞∞

3). ∞1 4). 00 5).неопределенности нет

Номер: 3.27.А


предел: ( ) 2x1

0xx4coslim

→


2).00

3). ∞1 4). 00 5).неопределенности нет

43


предел: 2x

x x21lim ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∞→


3).00

4). 0∞ 5). ∞1

Номер: 3.29.А


предел: 1e1elim x

x2

0x −−

→


3).00

4). 0∞ 5). ∞1

Номер: 3.30.А


предел: xtgxsinlim

2

0x→


3).00

4). 0∞ 5). ∞1

Номер: 3.31.А


предел: 1e1xlim x1x +

−→


3).00

4). 0∞ 5). ∞1

Номер: 3.32.А


предел: 1e1xlim xx −

−∞→


3).00

4). 0∞ 5). ∞1

Номер: 3.33.В

Задача: Вычислить предел: 4x8xlim 2

3

2x −+

−→

44

Ответы: 1).-3 2).-1 3).0 4).∞ 5).нет правильного ответа

Номер: 3.34.В

Задача: Вычислить предел: 6x5x

8xlim 2

3

x +++

∞→

Ответы: 1).∞ 2).-1 3).0 4).-3 5).нет правильного ответа

Номер: 3.35.В

Задача: Вычислить предел: 1x

1xlim3 2

x +

−∞→

Ответы: 1).∞ 2).-1 3).0 4).-3 5).нет правильного ответа

Номер: 3.36.В


x x21lim ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∞→

Ответы: 1).e 2). 32e 3). 32e− 4).1 5).нет правильного ответа

Номер: 3.37.В

Задача: Вычислить предел: x2

x x31lim

−

∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Ответы: 1).e 2). 32e 3). 32e− 4).1 5).нет правильного ответа

Номер: 3.38.В


1

x x31lim ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→

Ответы: 1).e 2). 32e− 3).1 4). 32e 5).нет правильного ответа

Номер: 3.39.В

Задача: Вычислить предел: ( ) xcos1

0xxsin1lim +

→

Ответы: 1).e 2). 3eπ 3).1 4).∞ 5).нет правильного ответа

Номер: 3.40.В

Задача: Вычислить предел: ( ) x3tg1

0xxsin1lim +

→

Ответы: 1).e 2). 3 e 3). 3e 4).1 5).нет правильного ответа

45

Номер: 3.41.В

Задача: Вычислить предел: 6x2x3xlim 2

2

x −−

∞→

Ответы: 1).0 2).∞ 3).1/2 4).-1/2 5).нет правильного ответа

Номер: 3.42.В

Задача: Вычислить предел: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+−

−→ 2xx1

1x1lim 21x


Номер: 3.43.В Задача: Вычислить предел: ( )x2xlim

x−+

∞→

Ответы: 1).∞ 2).0 3).1 4).1/2 5).нет правильного ответа

Номер: 3.44.В

Задача: Вычислить предел: ( )

1xxsinxlim

23 2

x −⋅

∞→


Номер: 3.45.В

Задача: Вычислить предел: x9x3lim

4

81x −−

→

Ответы: 1).1 2).1/3 3).1/6 4).0 5).нет правильного ответа

Номер: 3.46.В Задача: Вычислить предел: ( )7x7xlim 22

x−−+

∞→

Ответы: 1).0 2).∞ 3).1 4).14 5).нет правильного ответа

Номер: 3.47.В


31xlim10x −

−−→

Ответы: 1).1/6 2).1/3 3).1 4).0 5).нет правильного ответа

Номер: 3.48.В

Задача: Вычислить предел: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

→xctg

xsin1lim

0x

Ответы: 1).1/2 2).∞ 3).1/2 4).0 5).нет правильного ответа

46

Номер: 3.49.В

Задача: Вычислить предел: xtgx2

lim2x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −π

π→

Ответы: 1).0 2).∞ 3).1 4).2π


Номер: 3.50.В

Задача: Вычислить предел: 20x xx2cos1lim −

→

Ответы: 1).1/2 2).2 3).0 4).∞ 5).нет правильного ответа

Номер: 3.51.В Задача: Вычислить предел: xctgxlim

0xπ⋅

→

Ответы: 1).π 2).0 3).π1

4).1 5).нет правильного ответа

Номер: 3.52.В


x x2xlim ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+∞→

Ответы: 1).e 2). 6e− 3).1 4).0 5).нет правильного ответа

Номер: 3.53.В

Задача: Вычислить предел: 1x5x6

1x8lim 2

3

21x +−−

→

Ответы: 1).6 2).1/3 3).1 4).∞ 5).нет правильного ответа

Номер: 3.54.В


⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

−∞→ 1x2x

1x2xlim

2

2

3

x


Номер: 3.55.В

Задача: Вычислить предел: 3 2x 4xx

1x2lim++

+∞→


Номер: 3.56.В Задача: Вычислить предел: ( )xxxlim 2

x−+

∞→

47

Ответы: 1).0 2).1 3).1/2 4).∞ 5).нет правильного ответа

Номер: 3.57.В

Задача: Вычислить предел: 4 463 5

23

x 2x3xx2x

4xxlim++++

−+∞→


Номер: 3.58.В Задача: Вычислить предел: x

0xx51lim +

→

Ответы: 1). 51

e 2). 5e 3).1 4).∞ 5).нет правильного ответа

Номер: 3.59.В


1elimx2

0x

−→

Ответы: 1).7/2 2).2/7 3).0 4).∞ 5).нет правильного ответа

Номер: 3.60.В

Задача: Вычислить предел: x2sinx3sinlim 2

2

0x→

Ответы: 1).5 2).9/4 3).4 4).0 5).нет правильного ответа

Номер: 3.61.В


⎞⎜⎜⎝

⎛−

−∞→x

3xxlim 2

3

x

Ответы: 1).1 2).0 3).∞ 4).1/3 5).нет правильного ответа

Номер: 3.62.С


11xxlim21x −

−−+→

Ответы: 1).22

2). 2 3).1 4).∞ 5).нет правильного ответа

Номер: 3.63.С

Задача: Вычислить предел: 330x x2x2

x2x2lim−−+−++

→

Ответы: 1).2

236 2). 6 23 3).

626

4).∞ 5).нет правильного ответа

48

Номер: 3.64.С


24xlim2

2

0x −+

−+→

Ответы: 1).3/2 2).-2/3 3).0 4).∞ 5).нет правильного ответа

Номер: 3.65.С

Задача: Вычислить предел: ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −++

∞→xxxxlim

x


Номер: 3.66.С


xcos22lim4x −π

−π→

Ответы: 1).42

− 2).1/2 3).2

1 4).0 5).нет правильного ответа

Номер: 3.67.С

Задача: Вычислить предел: ( ) x32

0xxtg1lim +

→

Ответы: 1). 3e 2).e 3). 32e 4).1 5).нет правильного ответа

Номер: 3.68.С

Задача: Вычислить предел: x1x1ln

21lim

0x −+

→

Ответы: 1).e 2).1 3).∞ 4).0 5).нет правильного ответа

Номер: 3.69.С

Задача: Вычислить предел: ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

∞→13xlim x

1

x

Ответы: 1). 3ln 2).1 3).3 4).∞ 5).нет правильного ответа

Номер: 3.70.С

Задача: Вычислить предел: ( ) 2x1

0xxcoslim

→

Ответы: 1).e 2). 2e 3). 21e− 4). 21e 5).нет правильного ответа

49

Номер: 3.71.С

Задача: Вычислить предел: 3 33 3

22

x 2x1x

x2x9xxlim

+−+

+−+∞→


Номер: 3.72.С

Задача: Вычислить предел: 20x xx3cosx5coslim −

→

Ответы: 1).-6 2).-2 3).-8 4).1 5).нет правильного ответа

Номер: 3.73.С

Задача: Вычислить предел: ( ) 2x2

0xxcoslim −

→

Ответы: 1). 4e 2). 4e− 3).1 4).0 5).нет правильного ответа

Номер: 3.74.С

Задача: Вычислить предел: 2

x

0x xx2coselim

2−

→

Ответы: 1).0 2).– 1 3).3/2 4).2/3 5).нет правильного ответа

Номер: 3.75.С Задача: Вычислить предел: ( )( )xln3xlnxlim

x−+

∞→


Номер: 3.76.С

Задача: Вычислить предел: 20x x1xsinx1

lim−+

→

Ответы: 1).1/2 2).2 3).0 4).1 5).нет правильного ответа

Номер: 3.77.С

Задача: Вычислить предел: x

x1x1lim3

0x

+−+→

Ответы: 1).1/2 2).1 3).0 4).1/6 5).нет правильного ответа

Номер: 3.78.С


xarctgxarcsinx2sinlim32

0x

−+→


50

Номер: 3.79.С

Задача: Вычислить предел: 42

3

0x x5xsin2xtgxxsin3lim++

−→


Номер: 3.80.С

Задача: Вычислить предел : ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+

−π→

6xcos

xtg3xtglim3

3x

Ответы: 1).-24 2).1 3).0 4).1/2 5).нет правильного ответа

Номер: 3.81.С

Задача: Вычислить предел: ( )

( ) ( )1exarctg

x31lnxsinlim 3 x52

3

0x −

+→

Ответы: 1).0,6 2).0 3).1/2 4).∞ 5).нет правильного ответа

Номер: 3.82.С

Задача: Вычислить предел: ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

+

− −

∞→

2x

3 3x2

x81

x21lim

Ответы: 1).1 2).-1 3).1/2 4).∞ 5).нет правильного ответа

Номер: 3.83.С

Задача: Вычислить предел: x4sin

1xx1lim2

0x

−++→

Ответы: 1).8 2).1/8 3).1/4 4).0 5).нет правильного ответа

Номер: 3.84.С

Задача: Найти постоянные a и b из условия: 0bxa1x1xlim

2

x=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

++

∞→

Ответы: 1). 1b,1a −== 2). 1b,1a == 3). 1b,1a −=−= 4). 1ba −== 5).нет правильного ответа

Номер: 3.85.С Задача: Найти постоянные a и b из условия:

( ) 0bxa1xxlim 2

x=−−+−

−∞→

51

Ответы: 1).21b,1a == 2).

21b,

21a == 3). 1ba == 4).

21ba −== 5).нет


Номер: 3.86.С

Задача: Вычислить предел: ( )x

x1arccoslim0x

−→

Ответы: 1).1 2).0 3). 2 4).2

1 5).нет правильного ответа

Номер: 3.87.С

Задача: Вычислить предел: xctg1

tgxlnlim4x −π→


Номер: 3.88.С

Задача: Вычислить предел: x1x1

x x32x31lim

−−

∞→ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++


Номер: 3.89.В Задача: Используя логическую символику записать следующие утверждения

( ) +∞=+∞→

xflimx

Ответы: 1). ( )( )ExfAx0A0E <⇒>>∀>∀ 2). ( )( )ExfAx0A0E <⇒<>∃>∀ 3). ( )( )ExfAx0A0E >⇒>>∃>∀ 4). ( )( )ε<⇒>>∀>ε∃ xfAx0A0 5). ( )( )ExfAx0A0 <⇒>>∃>ε∀

Номер: 3.90.В Задача: Используя логическую символику, записать следующие утверждения

( ) 0xflim00x

=+→

Ответы: 1). ( )( )ε<⇒δ<<>δ∃>ε∀ xfx000 2). ( )( )Exfx000E >⇒δ<<>δ∃>∀ 3). ( )( )ε≥⇒>>δ∀>ε∀ xfAx00

52

4). ( )( )ε<⇒<<δ−>δ∃>ε∀ xf0x00 5). ( )( )ε<⇒δ<>δ∀>ε∃ xfx00

Номер: 3.91.В Задача: Используя логическую символику, записать следующие утверждения

( ) 2xflimx

=∞→

Ответы: 1). ( )( )2xfx000 <ε−⇒δ<<>δ∃>ε∀ 2). ( )( )ε<−⇒>>∃>ε∀ 2xfAx0A0 3). ( )( )ε>−⇒>>∀>ε∀ 2xfAx0A0 4). ( )( )ε−<⇒<>∃>ε∀ 2xfAx0A0 5). ( )( )2Axfx0A0 <−⇒ε<>∀>ε∃


( ) 3xflim1x

=→

Ответы: 1). ( )( )ε<−⇒δ<−<>δ∃>ε∀ 3xf1x000 2). ( )( )3xf1x00E <δ−⇒ε<−>δ∃>∀ 3). ( )( )3xf1x00 −ε<⇒δ>−>δ∀>ε∃ 4). ( )( )ε≥−⇒δ<−<>δ∃>ε∀ 3xf1x000 5). ( )( )3xf1x00 +ε<⇒δ>−>δ∀>ε∀


( ) −∞=→

xflim0x

Ответы: 1). ( )( )Exfx00E −<⇒δ<>δ∃>∀ 2). ( )( )Exfx00E −>⇒δ<>δ∃>∀ 3). ( )( )Exfx00E <⇒δ<>δ∀>∀ 4). ( )( )ε>⇒δ><>δ∀>ε∀ xfx000 5). ( )( )Exfx00E <⇒δ>>δ∃>∀


( ) −∞=−∞→

xflimx

Ответы: 1). ( )( )ExfAx0A0E <⇒>>∃>∀ 2). ( )( )ExfAx0A0E −<⇒−<>∃>∀

53

3). ( )( )ε≥⇒>>∃>ε∀ xfAx0A0 4). ( )( )ExfAx0A0E −>⇒<>∀>∀ 5). ( )( )Exf0Ax0A0E ≥⇒>−>∀>∀


( ) ∞=−∞→

xflimx

Ответы: 1). ( )( )ExfAx0A0E >⇒−<>∃>∀ 2). ( )( )ε<⇒<>∃>ε∀ xfAx0A0 3). ( )( )ExfAx0A0 >⇒−>>∀>ε∃ 4). ( )( )ExfAx0A0E <⇒<>∀>∀ 5). ( )( )ExfAx0A0E −>⇒−>>∃>∀

Номер: 3.96.В Задача: Число A называется пределом функции ( )xf при ax → , если Ответы: 1). ( )( )ε<−⇒δ<−<>δ∃>ε∀ Axfax000 2). ( )( )ε>−⇒δ>−>δ∃>ε∀ Axfax00 3). ( )( )Axfax000 +ε<⇒δ<−<>δ∀>ε∀ 4). ( )( )ε<−⇒<δ−>δ∀>ε∀ Axfax00 5). ( )( )δ<−⇒ε<−>δ∃>ε∃ Axfax00

Номер: 3.97.В Задача: Функция ( )xf стремится к пределу b при ∞→x , если Ответы: 1). ( )( )ε<−⇒>>∃>ε∀ bxfNx0N0 2). ( )( );.bxfNx0N0 ε>−⇒>>∃>ε∀ 3). ( )( )ε<−⇒<>∀>ε∃ bxfNx0N0 4). ( )( )Nbxfx0N0 >−⇒ε<>∀>ε∃ 5). ( )( )BxfNx0N0 +ε<⇒<>∃>ε∀

Номер: 3.98.В Задача: Функция ( )xf стремится к бесконечности при ax → , если Ответы: 1). ( )( )Mxfax000M <⇒δ<−<>δ∃>∀ 2). ( )( )δ>⇒>−<>δ∃>∀ xfMax000M 3). ( )( )Mxfax000M <⇒δ<−<>δ∀>∃

54

4). ( )( )Mxfax00M <⇒δ>−>δ∃>∀ 5). ( )( )Mxfax000M >⇒δ<−<>δ∀>∃

Номер: 3.99.В Задача: Функция ( )xfy = называется бесконечно малой при 0xx → , если Ответы: 1). ( )( )ε<⇒δ<−<>δ∃>ε∀ xfxx000 0 2). ( )( )ε>⇒δ>−>δ∃>ε∀ xfxx00 0 3). ( )( )δ<⇒ε<−<>δ∀>ε∀ xfxx000 0 4). ( )( )ε≥ε<−>δ∀>ε∃ xfxx00 0 5). ( )( )δ<ε−⇒δ<−<>δ∃>ε∀ xfxx000 0

Номер: 3.100.В Задача: Для того, чтобы функция ( )xfy = имела предел A в точке 0x , необходимо и достаточно, чтобы функция была представлена в виде: Ответы: 1). ( ) ( )xAxf α+= , где ( )−α x б.м.в. при 0xx → 2). ( ) ( )xAxf β+= , где ( )−β x б.б.в. при 0xx → 3). ( ) ( ) ( )xxxf β+α= , где ( )−α x б.м.в. при ( )−β x б.б.в. 4). ( ) ( )xAxf α⋅= 5). ( ) ( )xAxf β⋅=


Задача: Используя логическую символику записать следующие утверждения ( ) ∞=

→xflim

0x

Ответы: 1). ( )( )Exfx000 <⇒δ<<>δ∃>ε∀ 2). ( )( )Exfx000E >⇒δ<<>δ∃>∀ 3). ( )( )Exfx000E >⇒δ<<>δ∀>∃ 4). ( )( )Exfx000E ≤∧δ<<>δ∀>∀ 5). ( )( )δ<⇒>>δ∃>∀ xfMx00E


( ) −∞=−→

xflim01x

Ответы: 1). ( )( )Exf01x00E −<⇒<−<δ−>δ∃>∀ 2). ( )( )Exf1x00E <⇒δ<−>δ∃>∀ 3). ( )( )Exf1x00E >⇒−<<δ−>δ∃>∃ 4). ( )( )Exf1x00E −>∧−<<δ−>δ∀>∃ 5). ( )( )Exf1x000E ≥⇒δ<−<>δ∀>∃

55


( ) 0xflimx

=+∞→

Ответы: 1). ( )( )ε<⇒<>∃>ε∀ xfAx0A0 2). ( )( )ExfAx0A0E >⇒>>∃>∀ 3). ( )( )δ<⇒>>∃>ε∀ xfAx0A0 4). ( )( )ε<⇒>>∃>ε∀ xfAx0A0 5). ( )( )ε≥⇒<>∀>ε∀ xfAx0A0


Задача: Найти пределы 20x xx5cos1lim −

→

Ответы: 1).0 2).∞ 3).25/2 4).5/2 5).5/4


Задача: Найти пределы 4x3x

2x3lim8

4

x ++

−∞→

Ответы: 1).1 2).3/2 3).3 4).∞ 5).0


Задача: Найти пределы x4

xcosxsinlim4

x −π−

π→

Ответы: 1) .4

2− 2).0 3).∞ 4).1 5).

4π


Задача: Найти пределы 20x x1xsinx1

lim−+

→

Ответа: 1).1/2 2).0 3).∞ 4).1 5).-1


Задача: Найти пределы 30x xxsinxtglim −

→

Ответы: 1).1 2).0 3).1/2 4).∞ 5).22

56


Задача: Найти пределы 1x2

x 2x3xlim

+

∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

Ответы: 1).∞ 2). 10e 3). 3e− 4). 2e 5).0


Задача: Найти пределы ( )2x

1

0xxcoslim

→

Ответы: 1).e 2). 21

e−

3).1 4). 3e 5). 21

e


Задача: Найти пределы

2x

2

2

x 5x5xlim ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

∞→

Ответы: 1). 10e 2).1 3).∞ 4).e1

5). 2e


Задача: Найти пределы ( )x3

2

0xxtg1lim +

→

Ответы: 1).e 2). 3e 3).0 4). ∞e 5).1


Задача: Найти пределы x1x1ln

x1lim

0x −+

→

Ответы: 1).1 2).e 3).2 4). 2e− 5).∞


Задача: Найти пределы ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−→ 22x x83

x21lim

Ответы: 1).0 2).1 3).∞ 4).1/2 5).3


Задача: Найти пределы xx

1x2xlim 3

2

1x −+−

→

Ответы: 1).1 2).0 3).3 4).∞ 5).3/2

57


Задача: Найти пределы 1x5x6

1x8lim 2

3

21x +−

−

→

Ответы: 1).6 2).5 3).4 4).0 5).∞


Задача: Найти пределы ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−∞→ 1x2

x1x2

xlim2

2

3

x

Ответы: 1).∞ 2).1 3).0 4).1/3 5).1/4


Задача: Найти пределы ( )

1xx21xlim 21x −

−−→

Ответы: 1).1 2).1/2 3).0 4).∞ 5).-1



⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−∞→ 1x2

x1x2

xlim2

2

3

x

Ответы: 1).1/4 2).1 3).0 4).∞ 5).-4


Задача: Найти пределы xtg

xsin1xsin1lim

0x

−−+→

Ответы: 1).1 2).2 3).0 4).∞ 5).-1


Задача: Найти пределы 20x xx2cosxcos1

lim−

→

Ответы: 1).3/2 2).- 1 3).0 4).22

5).3


Задача: Найти пределы xtgx2

coslim2

x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −π

π→

Ответы: 1).2 2).1 3).0 4).-1 5).-2

58

Номер: 3.123.В Задача: Найти пределы ( ) xeccos

0xxsin1lim +

→

Ответы: 1).1 2).2 3).e 4).0 5). 2e


Задача: Найти пределы 2

x

0x xxcoselim

2−

→

Ответы: 1).3/2 2).1 3).∞ 4).1/2 5).0


Задача: Найти пределы x3

1elimx2

0x

−→

Ответы: 1).2/3 2).1 3).0 4).∞ 5).32ln



⎞⎜⎜⎝

⎛−

∞→1exlim x

1

x

Ответы: 1).1 2).e 3).0 4).∃ 5).2


Задача: Найти пределы xcosxxsinxlim

x ++

∞→

Ответы: 1).1 2).0 3).∃ 4).∞ 5).1/2


Задача: Найти предел 1xxx1xxxlim 23

23

1x −−++−−

→

Ответы: 1).0 2).1 3).∞ 4).-1 5).2


Задача: Найти предел x100x20x

1000xlim 23

3

10x +−−

→

Ответ: 1).0 2).1 3).∞ 4).100 5).1


Задача: Найти предел x

24xlim0x

−+→

59

Ответ: 1).1 2).2 3).3/4 4).1/4 5).1/2


Задача: Найти предел 1x7x3x6x5x3x2lim 23

24

x −++−++

∞→

Ответы: 1).1 2).2 3).0 4).∞ 5).-2


Задача: Найти предел 1x2

1xlim 2

2

x +−

∞→

Ответы: 1).1 2).1/2 3).1 4).0 5).∞


Задача: Найти предел 1x3x

x5xlim 2

4

x +−−

∞→

Ответы: 1).∞ 2).0 3).1 4).-5/3 5).2


Задача: Найти предел 32

3

x x3x1x3x1lim

++−+

∞→

Ответы: 1).∞ 2).-1 3).1 4).0 5).3


Задача: Найти предел x3

xarcsin2lim0x→

Ответы: 1).0 2).2 3).3/2 4).∞ 5).1


Задача: Найти предел xsin

xcos12lim 20x

+−→

Ответы: 1).42

2).82

3).81

4).0 5).∞

60


Номер: 4.1.В

Задача: Вычислить предел функции 23

2

1x xx1xlim

−−

→


Номер: 4.2.В

Задача: Вычислить предел функции 4x

2x3xlim 2

2

2x −+−

→

Ответы: 1).2 2).∞ 3).1/4 4).0 5).нет правильного ответа

Номер: 4.3.В

Задача: Вычислить предел функции 1xx22x2xlim 2

2

1x −−+−

→


Номер: 4.4.В

Задача: Вычислить предел функции 3x4x1x2xlim 2

2

1x +−+−

→

Ответы: 1).∞ 2).0 3).1/3 4).1 5).нет правильного ответа

Номер: 4.5.В

Задача: Вычислить предел функции 2xx2x3xlim 2

3

1x −−−−

−→


Номер: 4.6.В

Задача: Вычислить предел функции 1xx2

1xlim 24

4

1x −−−

→

Ответы: 1).2/3 2).0 3).1 4).∞ 5).нет правильного ответа

Номер: 4.7.В


2x3xlim3

2x −−−

→


61

Номер: 4.8.В


3

1x xx2x3xlim

+−−

−→

Ответы: 1).1 2).0 3).∞ 4).-2 5).нет правильного ответа

Номер: 4.9.В

Задача: Вычислить предел функции 4x2xlim

4

16x −−

→

Ответы: 1).1/8 2).0 3).– 1/2 4).∞ 5).нет правильного ответа

Номер: 4.10.В


4

9x −−

→

Ответы: 1).0 2).1/6 3).– 1/3 4).∞ 5).нет правильного ответа

Номер: 4.11.В


4

1x −−

→

Ответы: 1).0 2).1 3).∞ 4).1/2 5).нет правильного ответа

Номер: 4.12.В


9xlim9x −

−→

Ответы: 1).0 2).6 3).– 1/3 4).∞ 5).нет правильного ответа

Номер: 4.13.В

Задача: Вычислить предел функции 2x4xlim 416x −

−→


Номер: 4.14.В

Задача: Вычислить предел функции 2x3x

2xlim 32x −−−

→


Номер: 4.15.В

Задача: Вычислить предел функции ( ) ( )x31x1

xxlim 3

52

0x +−++

→

Ответы: 1).1/3 2).1 3).0 4).3 5).∞

62

Номер: 4.16.В

Задача: Вычислить предел функции ( ) ( )

52

3

0x xxx31x1lim

++−+

→

Ответы: 1).1/3 2).1 3).3 4).0 5).∞

Номер: 4.17.В


5x2x9lim

3 28x −

−+→

Ответы: 1).3/5 2).5/3 3).1 4).0 5).∞

Номер: 4.18.В

Задача: Вычислить предел функции 5x29

4xlim

3 2

8x −+−

→


Номер: 4.19.В

Задача: Вычислить предел функции 2x5x4x3x7x5xlim 23

23

1x ++++++

−→


Номер: 4.20.В


23

1x ++++++

−→


Номер: 4.21.В

Задача: Вычислить предел функции x2x1

1xlim

3

1x −+−

→


Номер: 4.22.В


x2x1lim

31x −−+

→


Номер: 4.23.В

Задача: Вычислить предел функции 70x x

x1x1lim

−−+→

63

Ответы: 1).7 2).0 3).1 4).∞ 5).1/7

Номер: 4.24.В


xlim

7

0x −−+→

Ответы: 1).1/7 2).7 3).1 4).1 5).∞

Номер: 4.25.В


2x5x4x2lim 23

23

1x −−+++

→

Ответы: 1).1 2).2 3).0 4).-1 5).∞

Номер: 4.26.В

Задача: Вычислить предел функции 1x3x2

1xlim 2

2

1x +−−

→

Ответы: 1).2 2).1 3).0 4).-1 5).нет правильного ответа Номер: 4.27.В


8x12x6xlim 23

23

2x +−−+−

→


Номер: 4.28.В

Задача: Вычислить предел функции 8x12x6x

4x3xlim 23

23

2x −+−+−

→


Номер: 4.29.В

Задача: Вычислить предел функции ( )

x3x4x3x2xlim 23

22

3x ++−+

−→


Номер: 4.30.В


x3x4xlim 2

23

3x −−++

−→


Номер: 4.31.В


2x5lim 21x +−−−

→

64


Номер: 4.32.В

Задача: Вычислить предел функции 2x54x5xlim

2

1x −−+−

→


Номер: 4.33.В

Задача: Вычислить предел функции 37x25x6xlim

2

1x −++−

→

Ответы: 1).–12 2).0 3).1 4).12 5).– 1/2

Номер: 4.34.В

Задача: Вычислить предел функции 5x6x37x2

lim 21x +−−+

→

Ответы: 1).–12 2).0 3).1 4).12 5).– 1/2

Номер: 4.35.В


lim2x −+

−−→

Ответы: 1).3 2).2/9 3).0 4).1 5).-4,5

Номер: 4.36.В


2x −−−+

→

Ответы: 1).3 2).2/9 3).0 4).1 5).-4,5

Номер: 4.37.В


xxlim5

1x −−

→

Ответы: 1).9/2 2).-4,5 3).2/9 4).0 5).-2/9

Номер: 4.38.В

Задача: Вычислить предел функции xx

1xlim 51x −−

→

Ответы: 1).9/2 2).-4,5 3).2/9 4).∞ 5).-2/9 Номер: 4.39.В

Задача: Вычислить предел функции 1xx

1xlim7

1x −−

→

65

Ответы: 1).1 2).3/14 3).1/7 4).14/3 5).0

Номер: 4.40.В

Задача: Вычислить предел функции 1x1xxlim 71x −

−→

Ответы: 1).1 2).3/14 3).1/7 4).14/3 5).0

Номер: 4.41.В

Задача: Вычислить предел функции 1xx1xxlim 31x −

−→

Ответы: 1).8/9 2).-8 3).9/8 4).8/3 5).– 3/8

Номер: 4.42.В

Задача: Вычислить предел функции 1xx1xxlim

3

1x −−

→

Ответы: 1).8/9 2).-8 3).9/8 4).3/8 5).8/3

Номер: 4.43.В

Задача: Вычислить предел функции x24

1x3lim3

2x −−−

→

Ответы: 1).1/6 2).6 3).1 4).0 5).– 3

Номер: 4.44.В


x24lim 32x −−−

→

Ответы: 1).1/6 2).6 3).3 4).1/3 5).0

Номер: 4.45.В


217xlim4

1x +−+

−→

Ответы: 1).-32 2).1/32 3).1 4).∞ 5).1/8

Номер: 4.46.В


1xlim 41x −++

−→

Ответы: 1).32 2).-1/32 3).1 4).0 5).8

66

Номер: 4.47.В


211xlim4

5x −−+

→

Ответы: 1).0 2).∞ 3).1/32 4).1 5).32

Номер: 4.48.В


5xlim 45x −+−

→

Ответы: 1).0 2).∞ 3).1/32 4).1 5).32

Номер: 4.49.В


22x4xlim 4

3

5x −++−+

→

Ответы: 1).0 2).1 3).112/27 4).27/112 5).9/10

Номер: 4.50.В


4

5x 22x4x211xlim+−+

−+→

Ответы: 1).27/112 2).0 3).1 4).10/9 5).∞

Номер: 4.51.В


22x3lim3

5x −+−

→

Ответы: 1).-1/27 2).-27 3).1/3 4).0 5).∞

Номер: 4.52.В

Задача: Вычислить предел функции 35x 22x35xlim+−

−→

Ответы: 1).-1/27 2).-27 3).3 4).0 5).∞

Номер: 4.53.В


34xlim5x −

−+→

Ответы: 1).1/6 2).6 3).-1/9 4).9 5).0

Номер: 4.54.В


5xlim5x −+

−→

Ответы: 1).6 2).1/6 3).-1/9 4).9 5).0

67

Номер: 4.55.В


3

3x x927xlim

−−

→

Ответы: 1).-4,5 2).2/9 3).-9 4).0 5).нет правильного ответа

Номер: 4.56.В


x9lim 3

2

3x −−

→

Ответы: 1).-4,5 2).-2/9 3).2/9 4).4,5 5).нет правильного ответа

Номер: 4.57.С

Задача: Вычислить предел функции 5x6x7x2

1x32lim 23

5

21x ++−

+

−→

Ответы: 1).-27/16 2).16/27 3).-8/27 4).27/8 5).0

Номер: 4.58.С


5x6x7x2lim 5

23

21x +

++−

−→

Ответы: 1).27/16 2).16/27 3).-16/27 4).8/27 5).нет правильного ответа

Номер: 4.59.С


27x9x3xlim 24

23

3x +−+−−

→

Ответы: 1).1 2).-6 3).1/6 4).0 5).6

Номер: 4.60.С

Задача: Вычислить предел функции 27x9x3x

81x18xlim 23

24

3x +−−+−

→

Ответы: 1).6 2).1/6 3).-1/6 4).1 5).-6

Номер: 4.61.С


132730

1x ++−−+−

→

Ответы: 1).-15/4 2).-4/15 3).-7,5 4).0 5).∞

Номер: 4.62.С


31037

1x −+−++−

→

68

Ответы: 1).-15/4 2).-4/15 3).7,5 4).0 5).1

Номер: 4.63.С

Задача: Вычислить предел функции ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−+−→ 2x

12x3x3x

3lim 232x

Ответы: 1).-1 2).1 3).0 4).2 5).– 2

Номер: 4.64.С


32xlim 3

5

2x −−−

→

Ответы: 1).9/80 2).80/9 3).0 4).∞ 5).– 11

Номер: 4.65.С


2x3xlim 5

3

2x −−−

→

Ответы: 1).9/80 2).80/9 3).0 4).∞ 5).1/11

Номер: 4.66.С


3x4xlim 23

4

1x +−+−

→

Ответы: 1).1/2 2).2 3).0 4).1 5).∞

Номер: 4.67.С

Задача: Вычислить предел функции 3x4x1x3x2lim 4

23

1x +−+−

→

Ответы: 1).1/2 2).2 3).-2 4).1 5).нет правильного ответа

Номер: 4.68.С

Задача: Вычислить предел функции 2xx31x4x3lim 3

34

1x −−+−

→

Ответы: 1).-2 2).2 3).1/2 4).-1/2 5).0

Номер: 4.69.С


2xx3lim 34

3

1x +−−−

→

Ответы: 1).- 2 2).2 3).1/2 4).-1/2 5).0

69

Номер: 4.70.В


⎞⎜⎜⎝

⎛−

++−→ 9x

63x

1lim 23x

Ответы: 1).1 2).-6 3).-1/6 4).2/9 5).0

Номер: 4.71.В

Задача: Вычислить предел функции 1xxx

6x13x7xxlim 23

234

1x −−+−−−+

−→

Ответы: 1).-2 2).2 3).1/2 4).-1 5).0

Номер: 4.72.В

Задача: Вычислить предел функции 6x13x7xx

1xxxlim 234

23

1x −−−+−−+

−→

Ответы: 1).-2 2).2 3).1/2 4).1 5).∞

Номер: 4.73.В

Задача: Вычислить предел функции 2x5x2x4x4x

2x5x3xxlim 2345

234

1x +−++−−+−−

→

Ответы: 1).-3/2 2).2 3).2/3 4).-1 5).0

Номер: 4.74.С

Задача: Вычислить предел функции ( )( )1002

5023

2x 2x3x

4x3xlim+−

+−→

Ответы: 1). 503 2). 3ln350 3). 5031

4).1 5).0

Номер: 4.75.С


1002

2x 4x3x

2x3xlim+−

+−→

Ответы: 1). 5031

2). 503 3). 3ln350 4).1 5).∞

Номер: 4.76.С


nxxxlimn2

1x −−+++

→

K

Ответы: 1).( )

21nn +

2).2

1n2 − 3).

1n2

2 + 4).1 5).нет правильного ответа

70

Номер: 4.77.С

Задача: Вычислить предел функции nxxx

1xlim n21x −+++−

→ K

Ответы: 1).2

1n 2− 2). ( )1nn

2+

3).1n

22 −

4).∞ 5). ( )1nn +

Номер: 4.78.С

Задача: Вычислить предел функции 2x5x3xx

2x5x2x4x4xlim 234

2345

1x −+−−+−++−

→

Ответы: 1).-2/3 2).-3/2 3).0 4).-3 5).1/2

Номер: 4.79.С


( )1034

302

1x 1x2x2x

2xxlim−+−

−+→

Ответы: 1).1 2).10

227

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 3).

10

21⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 4). 102 5).

10

272⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Номер: 4.80.С


( )302

1034

1x 2xx

1x2x2xlim−+

−+−→

Ответы: 1).1 2).10

227

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 3).

10

21⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 4). 102 5).

10

272⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Номер: 4.81.С


72

4

0x xxx41x1lim

++−+

→

Ответы: 1).1/6 2).6 3).0 4).∞ 5).1

Номер: 4.82.С

Задача: Вычислить предел функции ( ) ( )x41x1

xxlim 4

72

0x +−++

→

Ответы: 1).1/6 2).6 3).0 4).∞ 5).1

Номер: 4.83.С


x3x2x2xlim 3

33

0x +−++

→

71

Ответы: 1).1/8 2).1 3).8 4).4 5).1/4

Номер: 4.84.С

Задача: Вычислить предел функции ( ) ( )33

3

0x 2x2xx3xlim−++

+→

Ответы: 1).1/8 2).1 3).8 4).4 5).1/4

Номер: 4.85.С Задача: Вычислить предел функции

( ) ( ) ( ) ( ) ( )20x x

x61x71x51x31x1lim +−+⋅+⋅+⋅+→

Ответы: 1).92 2).32 3).86 4).0 5).нет правильного ответа

Номер: 4.86.С


7x3xlim3

1x −+−+

→

Ответы: 1).6 2).1/6 3).1/4 4).-4 5).0

Номер: 4.87.С

Задача: Вычислить предел функции 31x 7x3x1xlim

+−+−

→

Ответы: 1).6 2).1/6 3).1/4 4).4 5).∞

Номер: 4.88.С


3 x232xlim 41x −−

+−+−→

Ответы: 1).21/8 2).8/21 3).-23/8 4).0 5).23/6

Номер: 4.89.С


4

1x x232x2x42

lim+−+−−

−→

Ответы: 1).21/8 2).-8/21 3).-23/8 4).∞ 5).6/23

Номер: 4.90.С Задача: Вычислить предел функции

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+−+−

−++−

→ 1xx8xx4x5

2x33x4xlim

34322

1x

Ответы: 1).-6 2).-3 3).1 4).0 5).∞

72


Номер: 5.1.В


1xxlim 3

2

x −++

∞→

Ответы: 1).0 2).2 3).1 4).-1 5).нет правильного ответа

Номер: 5.2.В


1x3lim 4

2

x +++

∞→

Ответы: 1).∞ 2).0 3).1 4).-1 5).нет правильного ответа

Номер: 5.3.В


1xlim 2

5

x −++

∞→


Номер: 5.4.В


2

x x71xx2lim

−+−

∞→

Ответы: 1).0 2).2 3).-2 4).∞ 5).1

Номер: 5.5.В

Задача: Вычислить предел функции 1x12lim 2

x

x ++

∞→

Ответы: 1).0 2).2 3).-2 4).∞ 5).1

Номер: 5.6.В

Задача: Вычислить предел функции 1e1xlim x

2

x ++

∞→


Номер: 5.7.В


1x3lim 2x +−

∞→


73

Номер: 5.8.В

Задача: Вычислить предел функции 1x31x2lim

2

x −−

∞→


Номер: 5.9.В

Задача: Вычислить предел функции xx412xxlim

3

x −+

++∞→


Номер: 5.10.В


1xxlim 3

2

x −++

∞→

Ответы: 1).0 2).2 3).1 4).-1 5).нет правильного ответа

Номер: 5.11.В


x

x ++

∞→

Ответы: 1).– 2 2).1/2 3).1 4).0 5).∞

Номер: 5.12.В


1x3lim 4

2

x +++

∞→

Ответы: 1).∞ 2).0 3).1 4).-1 5).нет правильного ответа

Номер: 5.13.В


1xlim 2

5

x −++

∞→


Номер: 5.14.В


2

x x71xx2lim

−+−

∞→

Ответы: 1).0 2).2 3).-2 4).∞ 5).1

Номер: 5.15.В


x

x ++

∞→

Ответы: 1).0 2).2 3).-2 4).∞ 5).1

74

Номер: 5.16.В

Задача: Вычислить предел функции 1e1xlim x

2

x ++

∞→


Номер: 5.17.В


1x3lim 2x +−

∞→


Номер: 5.18.В

Задача: Вычислить предел функции 1x31x2lim

2

x −−

∞→


Номер: 5.19.В

Задача: Вычислить предел функции xx412xxlim

3

x −+

++∞→


Номер: 5.20.В

Задача: Вычислить предел функции 1xxx

4x5x7x5lim 24

24

x +++−+−

∞→

Ответы: 1).1 2).2 3).∞ 4).0 5).5

Номер: 5.21.В


11xx2x3x2lim 4

3

x −++⋅+

∞→

Ответы: 1).1 2).2 3).∞ 4).0 5).5

Номер: 5.22.В

Задача: Вычислить предел функции 32x 8x1x

1x2lim+++

−∞→

Ответы: 1).1 2).2 3).∞ 4).0 5).5

Номер: 5.23.В

Задача: Вычислить предел функции x3x

1x1xlim7 2

32

x ++

+−+∞→

75

Ответы: 1).1 2).2 3).∞ 4).0 5).5

Номер: 5.24.В


1x1xlim 2

3 2

x −+−+

∞→

Ответы: 1).1 2).2 3).∞ 4).0 5).5

Номер: 5.25.В


1xx4x1xlim 2

3

x +++⋅−

∞→

Ответы: 1).1 2).2 3).∞ 4).0 5).5

Номер: 5.26.В


⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+∞→ 1x15x3

1x5xlim

2

2

3

x

Ответы: 1).1/75 2).1/25 3).1 4).0 5).∞

Номер: 5.27.В


2

2

x 1xx21xxlim ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−−+

∞→

Ответы: 1).8 2).1/8 3).1 4).0 5).1/25

Номер: 5.28.В


27

2

x 1xxxx1lim ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++−

∞→

Ответы: 1).8 2).1/8 3).1 4).0 5).1/25

Номер: 5.29.В


2x 1x3x41x2lim ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−−

∞→

Ответы: 1).8 2).1/8 3).1 4).0 5).∞

Номер: 5.30.В


⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+∞→ 1xx3

1xxlim 3

2

2x

Ответы: 1).– 2 2).1/2 3).1 4).0 5).∞

76

Номер: 5.31.В


⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

+∞→ 1xx

1xx3lim 5

3

3x

Ответы: 1).– 2 2).1/2 3).1 4).0 5).∞

Номер: 5.32.В


⎞⎜⎜⎝

⎛

+−−

−∞→ 4xxx2

x31lim 2x

Ответы: 1).– 2 2).1/2 3).1 4).0 5).∞

Номер: 5.33.В

Задача: Вычислить предел функции 4 3

33 4

x 1x

1x1xlim+

+−+∞→

Ответы: 1).– 2 2).1/2 3).1 4).0 5).∞

Номер: 5.34.В


1x1xlim23

x +−−+

∞→

Ответы: 1).– 2 2).1/2 3).1 4).0 5).∞

Номер: 5.35.В


1xlim23x −−+

+∞→

Ответы: 1).– 2 2).1/2 3).1 4).0 5).∞

Номер: 5.36.В


1x1xlim52

5 25

x ++

+++∞→

Ответы: 1).– 2 2).1/2 3).1 4).0 5).∞

Номер: 5.37.В


3 3

x xx34x81x3

lim−

+++∞→

Ответы: 1).– 2 2).1/2 3).1 4).0 5).∞

77

Номер: 5.38.В


( )32

32

x 1xx

1xlim+−

−∞→

Ответы: 1).– 2 2).1/2 3).1 4).0 5).∞

Номер: 5.39.В


32

x 1x

1xxlim+

++∞→

Ответы: 1).– 2 2).1/2 3).1 4).0 5).∞

78

6. Замечательные пределы. Вычисление пределов с помощью эквивалентных функций

Номер: 6.1.В

Задача: Вычислить предел функции x3tgx2sinlim

0x→

Ответы: 1).2/3 2).0 3).3/2 4).1 5).4/9

Номер: 6.2.В

Задача: Вычислить предел функции x3arctg

x4sinlim0x→


Номер: 6.3.В

Задача: Вычислить предел функции x4cos1

xtglim2

0x −→


Номер: 6.4.В

Задача: Вычислить предел функции ( )x41lnx4arcsinlim

2

0x +→


Номер: 6.5.В


3

0x x4xcos1lim −

→

Ответы: 1).3/2 2).1 3).0 4).1/4 5).∞

Номер: 6.6.В


3

0x xx2cos1lim −

→

Ответы: 1).2 2).1/2 3).6 4).3 5).0

Номер: 6.7.В

Задача: Вычислить предел функции ( )x41ln22lim

1x

0x +−+

→

Ответы: 1).22ln

2). 2ln 3).1/2 4).1 5).∞

79

Номер: 6.8.В


22x21lnlim 1x0x −

++→

Ответы: 1).2ln

1 2). 2ln 3).1/2 4).2 5).1

Номер: 6.9.В


x9cosx5coslim0x −

−→

Ответы: 1).1 2).3,5 3).0 4).∞ 5).2/7

Номер: 6.10.В

Задача: Вычислить предел функции x9cosx5cos

x4cosllim0x −

−→

Ответы: 1).1 2).3,5 3).0 4).∞ 5).2/7

Номер: 6.11.В

Задача: Вычислить предел функции x4tgx2sinxlim 20x→

Ответы: 1).1/8 2).8 3).– 4 4).0 5).1/4

Номер: 6.12.В

Задача: Вычислить предел функции x4sinx2tgxlim 20x→

Ответы: 1).1/8 2).8 3).– 4 4).0 5).1/4

Номер: 6.13.В


x2tgx4cos1xlim 20x

−→

Ответы: 1).1/8 2).8 3).– 4 4).0 5).1/4

Номер: 6.14.В


2xtgx

lim0x −→

Ответы: 1).1/8 2).8 3).– 4 4).0 5).1/4

80

Номер: 6.15.В

Задача: Вычислить предел функции xsinx

xcosx3coslim0x ⋅

−→

Ответы: 1).1/8 2).8 3).– 4 4).0 5).1/4

Номер: 6.16.В


x3sinxx5cosx4coslim

0x

−→

Ответы: 1).1/8 2).8 3).– 4 4).0 5).1/4

Номер: 6.17.В

Задача: Вычислить предел функции x6tgx3tg

x6cos1lim0x ⋅

−→

Ответы: 1).1 2).2 3).3 4).5).∞

Номер: 6.18.В


x4sinxsin1lnlim

0x

+→

Ответы: 1).1 2).4 3).0 4).1/4 5).∞

Номер: 6.19.В

Задача: Вычислить предел функции x3sin

x5x3lim2

0x

−→

Ответы: 1).-5/3 2).1 3).0 4).∞ 5).3

Номер: 6.20.В

Задача: Вычислить предел функции ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +π

→

21x2tg

x2lim0x

Ответы: 1). π1 2).π 3).0 4).1 5). π2

Номер: 6.21.В

Задача: Вычислить предел функции ( )20x x2arcsin25xcosxtg

lim⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+

→

Ответы: 1).5 2).1 3).0 4).∞ 5).– 1/2

81

Номер: 6.22.В


x3arctg4x21lnlim

0x

−→

Ответы: 1).1/4 2).-1/6 3).2/3 4).0 5).– 1/2

Номер: 6.23.В

Задача: Вычислить предел функции xx

x7sinlim 20x π+→

Ответы: 1). 7π 2).0 3).1 4).∞ 5).7

Номер: 6.24.В


( )x21ln1xsin2lim

0x ++π

→

Ответы: 1).π 2). 2π 3).0 4). π− 5). π2

Номер: 6.25.В

Задача: Вычислить предел функции xcos1

xcosx2coslim0x −

−→

Ответы: 1).– 3 2).1 3).0 4).– 1/3 5).2

Номер: 6.26.В

Задача: Вычислить предел функции xcosx2cos

xcos1lim0x −

−→

Ответы: 1).– 3 2).1 3).0 4).– 1/3 5).2

Номер: 6.27.В


( )1xsin2x21lnlim

0x +π+

→

Ответы: 1). π− 2). π−1 3).0 4).1 5).нет правильного ответа

Номер: 6.28.В


x3sinlim 20x −→

Ответы: 1).– 0,6 2).0 3).6/10 4).1 5).нет правильного ответа

Номер: 6.29.В

Задача: Вычислить предел функции ( )x31lnx2arctg4lim

0x −→

Ответы: 1).0,6 2).– 8/3 3).1 4).0 5).нет правильного ответа

82

Номер: 6.30.В


x2sinx3sin1lnlim

0x

+→

Ответы: 1).2/3 2).3/2 3).1 4).0 5).– 2

Номер: 6.31.С

Задача: Вычислить предел функции ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+

π−→

4xcos

4xsin

lim4

x

Ответы: 1).1 2).-1/2 3).0 4).2 5).-1

Номер: 6.32.С


⎜⎝⎛ π

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−

π−→

4xsin

4xcos

lim4

x

Ответы: 1).1 2).-2 3).∞ 4).1/2 5).-1

Номер: 6.33.С

Задача: Вычислить предел функции 1xsin2

x2coslim4

x −π→

Ответы: 1).-1/2 2).-2 3).1 4).-1 5).0

Номер: 6.34.С

Задача: Вычислить предел функции x2cos

1xsin2lim4

x

−π

→

Ответы: 1).-1/2 2).-2 3).-1 4).1 5).∞

Номер: 6.35.С

Задача: Вычислить предел функции 2xtgxtg

xcosxsinlim 2

4x −+

−π

→

Ответы: 1).62

2).43

3).3

34− 4). 23 5).0

83

Номер: 6.36.С

Задача: Вычислить предел функции xcosxsin2xtgxtglim

2

4x −

−+π

→

Ответы: 1).62

2).43

3).3

34 4). 23 5).∞

Номер: 6.37.С


⎜⎝⎛ π

+

−π

→

6xcos

xtg3xtglim2

3x

Ответы: 1). 34− 2).43

3).3

34 4). 23 5).∞

Номер: 6.38.С

Задача: Вычислить предел функции xtg3xtg

6xcos

lim 2

3x −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+

π→

Ответы: 1). 34− 2).43

3).3

34 4).5).

123

−

Номер: 6.39.С

Задача: Вычислить предел функции 3xtg

x3sinlim3

x −π→

Ответы: 1).-12 2).1/3 3).-3 4).0 5).нет правильного ответа

Номер: 6.40.С

Задача: Вычислить предел функции x3sin

3xtglim3

x

−π

→

Ответы: 1).-1/12 2).-3 3).1/3 4).∞ 5).1

Номер: 6.41.С

Задача: Вычислить предел ( ) xcos11

x2

0xex1lim −

→+

Ответы: 1).e 2). 2e 3). 2e− 4).0 5).1

84

Номер: 6.42.С

Задача: Вычислить предел ( ) xctgx

0xxsin2lim +

→

Ответы: 1).1 2). 2e 3). e2 4).0 5).∞

Номер: 6.43.С

Задача: Вычислить предел ( ) xcosln1

2

0xxtg1lim +

→

Ответы: 1). 2e− 2). 2e 3).0 4).e 5).не существует

Номер: 6.44.С

Задача: Вычислить предел ( ) xln1

22

1xxsinxlim π+

→

Ответы: 1).1 2). 2e 3).0 4).e 5).не существует

Номер: 6.45.С

Задача: Вычислить предел ( )( ) xctg1x2

0xexlnlim +

→+

Ответы: 1).1 2).∞ 3).0 4). 21e 5).e

Номер: 6.46.С

Задача: Вычислить предел 2x

tg

x

x

1x 3x12xlim

π

→ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅+⋅

Ответы: 1).1 2).2/3 3). 2eπ 4).∞ 5).π

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

32

e1

274

Номер: 6.47.С

Задача: Вычислить предел ( ) xctgx

0xe2lim −

→−

Ответы: 1).e 2).1 3). 1e− 4).∞ 5).не существует

Номер: 6.48.С


tg

1xxlim

π

→

Ответы: 1).1 2). π−

2

e 3).0 4).∞ 5). 2eπ

85

Номер: 6.49.С

Задача: Вычислить предел ( )[ ] xarctg1

x

0xexlnlim +

→

Ответы: 1).∞ 2).1 3).e 4).0 5). π2

e

Номер: 6.50.С

Задача: Вычислить предел ( ) xsin1

x

0xx3lim +

→

Ответы: 1).0 2).1 3). e3 4). 1e− 5).не существует

Номер: 6.51.С Задача: Вычислить предел x

xxlim

∞→

Ответы: 1).1 2).∞ 3).0 4).e 5).не существует

Номер: 6.52.С

Задача: Вычислить предел ( ) ( )2x2xln1

1x2x2coslim +−

→π

Ответы: 1).1 2).22e π− 3).0 4).∞ 5).не существует

Номер: 6.53.С

Задача: Вычислить предел 1x1

1xxlim −

→

Ответы: 1).1 2).0 3).∞ 4).e 5). 1e−

Номер: 6.54.С

Задача: Вычислить предел ( )x1

x2

x3x3lim +

+∞→

Ответы: 1).3 2).∞ 3).1 4).0 5). e

Номер: 6.55.С Задача: Вычислить предел x2

0xxlnlim

+→

Ответы: 1).∞ 2).0 3).1 4). 1e− 5).не существует

Номер: 6.56.С

Задача: Вычислить предел xsin

0x x1lim ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+→

86

Ответы: 1).∞ 2).1 3).0 4). e 5). 1e−

Номер: 6.57.С

Задача: Вычислить предел x

xxarctg2lim ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛π+∞→

Ответы: 1).π2

2).1 3).0 4). π−

2

e 5).∞

Номер: 6.58.С


0x

xxlim −

+→

Ответы: 1).1 2).0 3).e 4).-1 5).∞

Номер: 6.59.С Задача: Вычислить предел ( ) xln

0xx1lim +

+→

Ответы: 1).1 2).0 3).1/2 4).1 5). 1e−

Номер: 6.60.С

Задача: Вычислить предел x1

0xxarccos2lim ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛π→

Ответы: 1).1 2). π−

2

e 3). π2

e 4).0 5).e

Номер: 6.61.С Задача: Вычислить предел ( ) xtg

0xxarcsinlim

+→

Ответы: 1).e 2).0 3).1 4). 1e− 5).-1

Номер: 6.62.С

Задача: Вычислить предел ( ) 2x2

0xxcoslim −

→

Ответы: 1).e 2).1 3).∞ 4). 1e− 5).0

Номер: 6.63.С

Задача: Вычислить предел ( )x3ln1

2x xx4lim

−

→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Ответы: 1).1 2).e 3).-1 4). 1e− 5).∞

87

Номер: 6.64.С

Задача: Вычислить предел ( )x4ln

1

3x x3lim

−

→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Ответы: 1).1 2).∞ 3). 31

e 4).0 5). 3e

Номер: 6.65.С

Задача: Вычислить предел ( ) 2x

tg

1xx2lim

π

→−

Ответы: 1). π2

e 2).1 3).∞ 4).0 5). 2eπ

Номер: 6.66.С


1

3x 3cosxcoslim

−

→ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Ответы: 1).0 2). 3tge− 3).∞ 4).e 5).не существует

Номер: 6.67.С


1

1x 1sinxsinlim

−

→ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Ответы: 1).1 2).e 3). 1ctge 4).0 5).не существует

Номер: 6.68.С

Задача: Вычислить предел ( ) 1xx

1x

1x2e3lim −−

→−

Ответы: 1).3 2).e 3). 1e− 4). 3e 5).1

Номер: 6.69.С

Задача: Вычислить предел ( ) xsin1

2x2xcoslim

π→

Ответы: 1).1 2). 21

e 3).0 4).∞ 5).не существует

Номер: 6.70.С

Задача: Вычислить предел xsin

1

x2

x2

0x

3

5x12x1lim ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

→

88

Ответы: 1).2/5 2).∞ 3).0 4).2 5).1

Номер: 6.71.С Задача: Используя эквивалентность бесконечно малых найти простейшую функцию вида mxA , эквивалентную функции xcos1y −= .

Ответы: 1).21m,

31A == 2). 2m,

21A == 3). 4m,

25A ==

4). 1m,21A == 5).нет правильного ответа

Номер: 6.72.С

Задача: Используя эквивалентность бесконечно малых найти простейшую

функцию вида mxA , эквивалентную функции 2

3

x

3xxarcsin

y⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= .


31A == 2). 2m,

21A == 3). 4m,

25A ==


Номер: 6.73.С

Задача: Используя эквивалентность бесконечно малых найти простейшую

функцию вида mxA , эквивалентную функции ( )

xtg2x51lny

4−= .


31A == 2).

27m,

25A =−= 3). 4m,

25A ==


Номер: 6.74.С

Задача: Используя эквивалентность бесконечно малых найти простейшую функцию вида mxA , эквивалентную функции ( ) ( )22 x3cosx2cosy −= .


31A == 2).

27m,

25A =−= 3). 4m,

25A ==


89

Номер: 6.75.С Задача: Используя эквивалентность бесконечно малых найти простейшую

функцию вида mxA , эквивалентную функции ( ) 25

x3

xsin61ey

7−

= .


31A == 2).

27m,

25A =−= 3). 4m,

25A ==


Номер: 6.76.С

Задача: Используя эквивалентность бесконечно малых найти простейшую функцию вида mxA , эквивалентную функции x2x5 77y −= .

Ответы: 1). 4m,25A == 2). 2m,

21A == 3). 1m,7ln3A ==


Номер: 6.77.С

Задача: Используя замечательные пределы, найти те значения a , при которых

справедливы приведенные равенства 1x

xsinlimax

=→

Ответы: 1). ea = 2). 0a = 3). 1a −= 4). π=a 5).нет правильного ответа

Номер: 6.78.С Задача: Используя замечательные пределы, найти те значения a , при которых

справедливы приведенные равенства 1xa

xtglim0x

=π

→


Номер: 6.79.С Задача: Используя замечательные пределы, найти те значения a , при которых справедливы приведенные равенства ( ) ex1lim xa

0x=−

→



справедливы приведенные равенства 1x

1alimx

0x=

−→


90


справедливы приведенные равенства ( )

3ln1

xax21loglim 3

ax=

−→

Ответы: 1). ea = 2). 2a −= 3). 0a = 4). 1a −= 5).нет правильного ответа

Номер: 6.82.С Задача: В указанном множестве найти бесконечно малые при 0x → функции

12y,2y,xy,3x2y x4

1x3

221 +===+= −

Ответы: 1). 1y 2). 2y 3). 3y 4). 4y 5).нет правильного ответа

Номер: 6.83.С Задача: В указанном множестве найти бесконечно малые при 0x → функции

1x432

x1 2y,xcosy,4xy,12y −==+=−=

Ответы: 1). 1y 2). 2y 3). 3y 4). 4y 5).нет правильного ответа

Номер: 6.84.С Задача: Используя определения и свойства бесконечно малых в точке функций, вычислите предел ( ) ( )( )5x3x2lim

0xx−β+α

→ (через ( ) ( )x,x βα обозначены

бесконечно малые в точке 0x функции). Ответы: 1).∞ 2).0 3).2 4).-5 5).нет правильного ответа

Номер: 6.85.С Задача: Используя определения и свойства бесконечно малых в точке функций, вычислите предел ( )( ) ( ) ( )xx42xlim 2

xx 0βα−+β

→ (через ( ) ( )x,x βα обозначены


Номер: 6.86.С Задача: Используя определения и свойства бесконечно малых в точке функций, вычислите предел ( ) ( )( )xcosx7xsinx6lim

0xxβ+α

→ (через ( ) ( )x,x βα

обозначены бесконечно малые в точке 0x функции). Ответы: 1).∞ 2).0 3).11 4).2 5).нет правильного ответа

Номер: 6.87.С Задача: Используя определения и свойства бесконечно малых в точке функций,

вычислите предел ( )( )( )x2x3lim

3

xx 0 αβ−

→ (через ( ) ( )x,x βα обозначены бесконечно

91

малые в точке 0x функции). Ответы: 1).∞ 2).0 3).9/2 4).2 5).нет правильного ответа

Номер: 6.88.С Задача: Используя определения и свойства бесконечно малых в точке функций,

вычислите предел ( ) ( )

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+β+α

−

→23lim xx

1

xx

22

0 (через ( ) ( )x,x βα обозначены


Номер: 6.89.В


( )2

22

0x x3arctgx4arcsinx5tg1xx1lim

⋅−−+

→

Ответы: 1).25/24 2).25 3).5/12 4).1 5).нет правильного ответа

Номер: 6.90.В

Задача: Вычислить предел функции ( )xtg5x31lnx3tgarc2x2sinlim 2

2

0x +++

→

Ответы: 1).2/3 2).1,5 3).4 4).0 5).нет правильного ответа

Номер: 6.91.В

Задача: Вычислить предел функции xsinln

12limxcos

2x

2−

π→

Ответы: 1). 2ln2− 2). 2ln 3).∞ 4).1 5). 4ln

Номер: 6.92.В

Задача: Вычислить предел функции x7tg4x3arctgx2

57lim 2

x3x2

0x +−−

→

Ответы: 1). 7ln25ln3 − 2).75ln

23

3). 35ln6 4).e 5).нет правильного ответа

Номер: 6.93.В


( )1xsin2xsin

3x2xlnlim3

2x−π−

π−−

→

Ответы: 1).π3

2 2). π3 3).

32π

4).0 5).∞

92

Номер: 6.94.В

Задача: Вычислить предел функции 3 4

x2x2

0x xarctg5x2x3sin

76lim+−

− −

→

Ответы: 1). 6ln2 2). 7ln2 3). 42ln2 4).0 5).e

Номер: 6.95.В

Задача: Вычислить предел функции ( )26x x6

x3sinlnlimπ−π→

Ответы: 1).-1/8 2).8 3).1 4).– 1/4 5).1/2

Номер: 6.96.В

Задача: Вычислить предел функции ( )xx1ln7xxarctgeelim 2

x3x2

0x +−−−

→

Ответы: 1).2 2).– 1 3).0 4). e 5).нет правильного ответа

Номер: 6.97.В


822xlog

lim x4

3x −

−→

Ответы: 1).2ln16

12 2).

2ln82 3).1/8 4).0 5).нет правильного ответа

Номер: 6.98.В

Задача: Вычислить предел функции ( )2x1

0xxcos2lim −

→

Ответы: 1).e 2). e 3). 3 e 4).1 5).0

Номер: 6.99.В


x1

x2coslnlim

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−

π→

Ответы: 1). 22π− 2).π 3). 2ln 2 4).1 5).нет правильного ответа


Задача: Вычислить предел функции xarctg11x3xarcsin

eelim 22

xx5

0x −+−

→

Ответы: 1).1 2).2 3).3 4).4 5).0

93


Задача: Вычислить предел функции ( )( )

1x3x2x 2ee

5x3lntglim++→ −

−

Ответы: 1). 5e3

− 2). 4e 3).1 4).e 5).∞


Задача: Вычислить предел функции x4arctg2xx3tg

24lim 3

x7x

0x +−−

→

Ответы: 1). 2ln5,2− 2). 2ln 3).e 4).2ln

1 5).0


Задача: Определить порядок относительно x функции, бесконечно малой при 0x → ( ) 1x1x 3 3 −+=α .

Ответы: 1).эквивалентные 2).бесконечно малая высшего порядка 3).бесконечно малая более низкого порядка 4).одного порядка, малая ( )xα имеет порядок 3 5).одного порядка, малая ( )xα имеет порядок 1/3

Номер: 6.104.В Задача: Определить порядок относительно x функции, бесконечно малой при

0x → ( ) x1x21x −−+=α . Ответы: 1).эквивалентные 2).бесконечно малая высшего порядка 3).бесконечно малая более низкого порядка 4).одного порядка, ( )xα имеет порядок 2 5).одного порядка, ( )xα имеет порядок 1/2


0x → ( ) 1ex xsin −=α . Ответы: 1).эквивалентные 2).бесконечно малая более высокого порядка 3).бесконечно малая более низкого порядка 4).нет правильного ответа 5).бесконечно малая одного порядка, порядок ( )xα равен 1/2


0x → ( ) ( )2x4arcsinx 2 −+=α . Ответы: 1).эквивалентные 2).бесконечно малая более высокого порядка 3).бесконечно малая более низкого порядка 4).бесконечно малая одного

94

порядка, порядок ( )xα равен 2 5).бесконечно малая одного порядка, ( )xα имеет порядок 1/2


0x → ( ) ( ) ( )3 2x2 1e2x1lnx −−+=α . Ответы: 1).эквивалентные 2).бесконечно малая более высокого порядка 3).бесконечно малая более низкого порядка 4).бесконечно малая одного порядка, порядок ( )xα равен 2 5).бесконечно малая одного порядка, порядок ( )xα имеет 2/3

Номер: 6.108.А

Задача: Свойства бесконечно малых (ненужное выделить): 1) алгебраическая сумма конечного числа б.м.в. – б.м.в.

( ) ( ) ( )( ) 0xxxlim0xx

=γ++β+α→

K ;

2) произведение б.м.в. на ограниченную функцию – б.м.в. ( ) ( ) 0xzxlim0xx

=⋅α→

( )−xz огран.; 3) произведение конечного числа б.м.в. – б.м.в. ( ) ( ) ( )( ) 0xxxlim

0xx=γβ⋅α

→K ;

4) произведение конечной величины на б.м.в. – б.м.в. ( ) 0xClim0xx

=α→

;

5) частное ( )( ) −

αxzx

б.м.в., ( ) 0Axzlim0xx

≠=→

;

6) частное ( )( ) −β

αxx

б.м.в.

Ответы: 1).3 2).3;5 3).3 4).5;6 5).6


Задача: Если ( )−α x б.м.в., то ( ) −α x1

есть функция:

Ответы: 1).бесконечно большая 2).бесконечно малая 3).ограниченная 4).эквивалентная бесконечно малая 5).бесконечно малая более низкого порядка, чем ( )xα


Задача: Если ( )−xf бесконечно большая, то ( )xf1

есть функция:

Ответы: 1).бесконечно малая 2).бесконечно большая 3).неограниченная 4).не существует 5).нет правильного ответа

95

Номер: 6.111.А Задача: Первый замечательный предел:

1). 0x,1x

xsinlim 0xx 0≠=

→ 2). 1

xxsinlim

0x=

→ 3). 0

xxsinlim

x=

±∞→

4). 0x,0x

xsinlim 0xx 0≠=

→ 5). 0

xxsinlim

0x=

→

Ответы: 1).1 2).2 3).3 4).4 5).5

Номер: 6.112.А Задача: Второй замечательный предел:

1). ex11lim

x

x=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→ 2). ( )x

1

xx1lim +

∞→ 3). ( ) ex1lim x

0x=+

→ 4). 1

x11lim

x

0x=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

→

5). ( ) 1x1lim x1

0x=+

→

Ответы: 1).1 2).2 3).3 4).4 5).5

Номер: 6.113.А Задача: Среди следующих определений неверные выделить: 1) б.м.в. ( )xα и ( )xβ называются б.м.в. одного порядка при 0xx → , если

отношение ( )( )xx

βα

имеет при 0xx → , отличный от нуля предел;

2) б.м.в. одного порядка ( )xα и ( )xβ называются эквивалентными при

0xx → , если ( )( ) 1xxlim

0xx=

βα

→;

3) ( )xα называется б.м.в. более высокого порядка, чем ( )xβ , если ( )( ) ∞=βα

→ xxlim

0xx;

4) если ( )( ) 0xxlim

0xx=

βα

→, то ( )xα называется б.м.в. более высокого порядка, чем

( )xβ ;

5) Если ( )( ) −β

α→ x

xlim0xx

не существует, то ( )xα называется б.м.в. более низкого

порядка, чем ( )xβ . Ответы: 1).4 2).3 3).4;5 4).все верные 5).5;3


Задача: Среди эквивалентностей неверные выделить:

96

1). xcos1− ~ ( )0x2

x 2→ 2). 1a x − ~ ( )0xalnx → 3). xsin ~ ( );0xx →

4). xcos ~ ( );0xx → 5). xarcsin ~ ( ).0xx1 2 →− Ответы: 1).1;2 2).4 3).5;4 4).2;4 5).5

97

7. Непрерывность функций

Номер: 7.1.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка 3x 0 = точкой разрыва данной функции

( )23xy −= (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва). Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа


3x1y−

= (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва).

Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа


( )3xlny −= (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва). Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа


( )3x

3xy2

−−




3xx1xsiny 2 −+

+= (в случае утвердительного ответа определить тип

разрыва). Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа

98


⎩⎨⎧

≥+

<−=

3xесли,1x

3xесли,x3y 2 (в случае утвердительного ответа определить тип


Номер: 7.7.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка 1x 0 −= точкой разрыва данной функции

( )21xy += (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва). Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа


2xx1x3y 2 −−

+= (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва).



( )1xlogy 2 += (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва). Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа


1x2xxy

2

+−−



99


2xx1xtgy 2 +−




⎩⎨⎧

>−

≤+=

1x,x1

1x,1x2y 2 (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва).


Номер: 7.13.А

Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка 0x 0 = точкой разрыва данной функции

1xxy 2 +




x4sinx2y = (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва).



x1

2y = (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва). Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа

100


1xxxarcsiny 2 ++



Номер: 7.17.А

Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка 0x 0 = точкой разрыва данной функции

⎩⎨⎧

>

≤+=

0x,3

0x,2xy x (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва).



1x1y+




⎩⎨⎧

>+

<+=

2x,1x

2x,1x2y 2 (в случае утвердительного ответа определить тип



⎩⎨⎧

>+

≤−=

− 2x,12

2x,1xy 4x3 (в случае утвердительного ответа определить тип

разрыва).

101



4x

1xcosy2 −




2x6x5xy

2

−+−




5x2xy 2 +−= (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва). Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа


131y 2x +

=−

(в случае утвердительного ответа определить тип разрыва).



13

1y2x

1

+

=−

(в случае утвердительного ответа определить тип разрыва).

102



⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤π

=2x,x

2x,x

siny (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва).



⎩⎨⎧

≥<+

=0x,xcos0x,4x

y (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва).



6x5x1y 2 +−




( )2xlogy 3 −= (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва). Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа


( )2x

4x2siny+−


103


Номер: 7.31.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие

значения a , при которых функция ⎩⎨⎧

>+≤

=1x,xlna

1x,xy будет непрерывна в

указанной точке 1x0 = :

Ответы: 1).21a = 2). 0a = 3).таких значений нет 4). 1a −= 5). 1a =

Номер: 7.32.В

Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие

значения a , при которых функция ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

<=

−

2x,xa

2x,3y

2x1

будет непрерывна в



Номер: 7.33.В


значения a , при которых функция

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>+

=

<

=

0x,xx2

x0x,a

0x,x2xsin

y

2






⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

π≥+

π<

=

4x,axcos4

4x,xtg

y2


указанной точке 4

x0π

= :

104




( )

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

>+

<−

=

0x,e

0x,x41

0x,x21

ya

x21

x1




Номер: 7.36.В



>+≤

=1x,xloga

1x,x3y

21 будет непрерывна в

указанной точке 1x0 = : Ответы: 1). 3a = 2). 2a π= 3). 1a = 4). 2a = 5).нет таких значений


значения a , при которых функция ( )

⎩⎨⎧

>

≤+=

0x,e

0x,axsiny x будет непрерывна в




⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>+

≤−

=0x,

2xa

0x,x

xcos1

y2



105


значения a , при которых функция ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

<+=0x,e

0x,x21ya

x1





⎪⎨⎧

+

π≥

=4xa

6x,xcos

y2



x0π

= :

Ответы: 1). 3a = 2). 2a π= 3). 1a = 4). 2a = 5).нет таких значений



( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>+

=<−

=

− 0x,x41

0x,a0x,x31

y

x23

x.2


указанной точке 0x0 = : Ответы: 1). 6a −= 2). 3a = 3). 5,2a = 4).нет таких значений 5). 1a =



>−

≤+=

2x,x5,2xa

2x,1x2y 2 будет непрерывна в

указанной точке 2x0 = : Ответы: 1). 6a −= 2). 3a = 3). 5,2a = 4).нет таких значений 5). 1a =

106



⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

π≥−

π<

=

4x,axsin4

4x,xtg

y2



x0π

= :

Ответы: 1). 6a −= 2). 3a = 3). 5,2a = 4).нет таких значений 5). 1a =



⎪⎨⎧

≤+

>=

0x,a2x

0x,x2x4tg

y будет непрерывна в

указанной точке 0x0 = : Ответы: 1). 1a = 2). 3a −= 3). 0a = 4). 2a −= 5).таких значений нет


значения a , при которых функция ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≥+=−

0x,e

0x,x31ya

x.1





⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−≥+

−<

+= +

4x,1x

a

4x,12

1

y 4x1


указанной точке 4x0 −= : Ответы: 1). 1a = 2). 3a −= 3). 0a = 4). 2a −= 5).таких значений нет

107



⎪⎨

⎧

−≥+

−<=

+

1x,1x

a1x,3

y

2

1x1


указанной точке 1x0 −= : Ответы: 1). 1a = 2). 3a −= 3). 0a = 4). 2a −= 5).таких значений нет

Номер: 7.48.В



( )

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

>+

<−

= −

0x,e

0x,x21

0x,x1

ya

x4

x2





⎪⎩

⎪⎨⎧

≥+

<+

=0x,ax

0x,x2

x31lny будет непрерывна в




⎪⎨⎧

≥−

>=

0x,x12a

0x,x

x4siny 2

2


указанной точке 0x0 = : Ответы: 1). 4a = 2). 3a = 3). 5,1a = 4). 1a = 5).таких значений нет

108



⎪⎨⎧

−≥+

−<=+

3x,axx

3x,ey2

3x1


указанной точке 3x0 −= : Ответы: 1). 4a = 2). 3a = 3). 5,1a = 4). 1a = 5).таких значений нет



⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−≥

−<+=

+

21x,alog

21x,35

y

2

1x21


указанной точке 21x0 −= :

Ответы: 1). 4a = 2). 3a = 3). 5,1a = 4). 1a = 5).таких значений нет



⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

π>−

π≤

=

6x,

41xatg

6x,x2sin

y

2



x0π

= :



109


⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

π>

π=

π<

π−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−

=

4x,xtg

4x,a

4x,

4x

4xsin

y будет непрерывна

в указанной точке 4

x0π

= :




≤+>+

=1x,xloga

1x,1x2y

31 будет непрерывна в

указанной точке 1x0 = : Ответы: 1). 4a = 2). 3a = 3). 5,1a = 4). 1a = 5).таких значений нет



⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−

>+

=

0x,axcos4

0x,x2tg

x41lny

2



Ответы: 1). 2a = 2). 6a −= 3). 25,1a −= 4).31a = 5).таких значений нет

Номер: 7.57.В



⎪⎨⎧

≥+<= −

2x,ax30x,2y 2x

1




110



( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−≥+

−<+

+

=

21x,ax

21x,

x2x41x2arctg

y2

2 будет

непрерывна в указанной точке 21x0 −= :


Номер: 7.59.В



⎪⎨⎧

≥+

<=

0x,a2x

0x,x3

x2siny будет непрерывна в



Номер: 7.60.В



⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=>+

<−

=0x,a0x,x1

0x,xtg

x2cos1

y x2

2

будет непрерывна

в указанной точке 0x0 = :


Номер: 7.61.А

Задача: Среди перечисленных утверждений выделить не относящиеся к свойствам функции, непрерывных на отрезке 1) всякая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке как наибольшее, так и наименьшее значение. 2) всякая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке отрицательные и положительные значения.

111

3) непрерывная на отрезке функция, принимающая на концах непрерывные значения, принимает и любое промежуточное. 4) непрерывная на отрезке функция, принимающая на концах неравные значения, принимает нулевое значение. 5) если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разного знака, то на этом отрезке существует точка, в которой функция обращается в нуль. Ответы: 1).2 2).3 3).4 4).2;4 5).5;3

Номер: 7.62.В Задача: Используя логическую символику, записать утверждение: функция

( )xfy = с областью определения D непрерывна в точке :Dx 0 ∈ Ответы: 1). ( ) ( )( )ε<−⇒δ<−<∈∀>δ∃>ε∀ 00 xfxfxx0Dx00 2). ( )( )ε<⇒δ<−<∈∀>δ∃>ε∀ xfxx0Dx00 0 3). ( )( )ε>⇒δ<−<∈∀>δ∃>ε∀ xfxx0Dx00 0 4). ( ) ( )( )δ<−⇒ε<−∈∀>δ∀>ε∀ 00 xfxfxxDx00 5). ( ) ( )( )ε≥−⇒δ<−<∈∃>δ∃>ε∃ 00 xfxfxx0Dx00

Номер: 7.63.В

Задача: Найти точки разрыва, исследовать их характер ( )5x35x3

xf−−

=

Ответы: 1).функция непрерывна 2). −=35x точка разрыва II рода

3). −=35x точка разрыва I рода 4). −=

35x точка устранимого разрыва 5).нет


Номер: 7.64.В

Задача: Найти точки разрыва, исследовать их характер ( ) xsinx1xf =

Ответы: 1).функция непрерывна 2). −= 0x точка разрыва II рода 3). −= 0x точка разрыва I рода 4). −= 0x точка устранимого разрыва 5).нет правильного ответа

Номер: 7.65.В

Задача: Найти точки разрыва, исследовать их характер ( )12

1xfx1

1

+

=−

112

Ответы: 1). −=1x точка разрыва I рода 2). −=1x точка разрыва II рода

3). −=1x точка устранимого разрыва 4). −−=21x точка разрыва II рода

5). −−= 1x точка разрыва II рода

Номер: 7.66.В

Задача: Найти точки разрыва, исследовать их характер x1arctgy =

Ответы: 1).функция непрерывна 2). −π

=2

x точка разрыва II рода

3). −π

=2

x точка разрыва I рода 4). −= 0x точка разрыва I рода

5). −= 0x точка разрыва II рода

Номер: 7.67.В

Задача: Найти точки разрыва, исследовать их характер x5

4

72

5y−+

=

Ответы: 1).функция непрерывна 2). −= 5x точка разрыва II рода 3). −= 5x точка разрыва I рода 4). −−= 5x точка разрыва устранимого 5). −−= 5x точка разрыва II рода

Номер: 7.68.В

Задача: Найти точки разрыва, исследовать их характер 4x

3x7y 2 −−+

=

Ответы: 1). −−= 2x точка разрыва II рода, −= 2x точка устранимого разрыва 2). −= 2x точка разрыва II рода; −−= 2x точка разрыва I рода 3). −= 2x точка разрыва I рода; −−= 2x точка устранимого разрыва 4). −= 2x точка разрыва II рода; −−= 2x точка 5). −−= 2x точка разрыва II рода, −= 2x функция непрерывна

Номер: 7.69.В

Задача: Найти точки разрыва, исследовать их характер xxy =

Ответы: 1).функция непрерывна 2). −= 0x устранимого разрыва 3). −= 0x точка разрыва I рода 4). −= 0x точка разрыва II рода 5).нет правильного ответа

Номер: 7. 70.В

Задача: Найти точки разрыва, исследовать их характер x1x1y

3

++

=

113

Ответы: 1).функция непрерывна 2). −−= 1x точка устранимого разрыва 3). −−= 1x точка разрыва I рода 4). −−= 1x точка разрыва II рода 5). −±= 1x точка разрыва II рода

Раздел 3. Введение в математический анализ (задачник)

Documents