МАТЕМАТИКА (задания части А и В) · 2014-11-02 ·...

Министерство образования РФ МОУ «Лицей № 1»

Н.П. Веселова Т.И. Рыбкина

МАТЕМАТИКА подготовка к ЕГЭ

(задания части А и В)методическое пособие

г. Братск 2009

Министерство образования РФ МОУ «Лицей № 1»

Н.П. Веселова Т. И. Рыбкина

МАТЕМАТИКАподготовка к ЕГЭ(задания части А и В)

методическое пособие

г. Братск 2009

«Математика. Подготовка к ЕГЭ (задания части А и В). Методическое пособие». Н.П. Веселова, Т.И. Рыбкина - г. Братск:

МОУ «Лицей № 1», 2009 г. - 56 с.

Пособие содержит задания по математике, большинство из

котбрых последние несколько лет были включены в

экзаменационные варианты ЕГЭ. Систематизированный материал

пособия позволяет в полном объеме повторить неполный курс

математики и подготовиться к экзаменам.

Для учащихся старших классов средних школ, лицеев, техникумов, абитуриентов.

Рецензент: Шичкина Ю.А. к.т.н., завкафедрой «Дискретная

математика» ГОУ ВПО «БрГУ».

Рассмотрено и рекомендовано к печати на заседании

методического объединения лицея.

Протокол № 1 от 27 августа 2009 г.

2

Содержание

Предисловие..................................................... .....................................41. Выражения и преобразования.........................................................5

2. Уравнения........................................................................................122.1. Рациональные уравнения........................................................... 122.2. Иррациональные уравнения....................................................... 17

2.3. Показательные уравнения.......................................................... 222.4. Логарифмические уравнения..................................................... 27

2.5. Тригонометрические уравнения................................................ 32

2.6. Исследование функций с помощью производной.................... 342.7. Исследование функции элементарными методами.................. 41

3. Неравенства..................................................... ............................... 483.1. Рациональные неравенства............................................ ............483.2. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.... 48

3.3. Показательные неравенства....................................................... 49

3.4. Логарифмические неравенства.................................................. 49

4. Уравнения и неравенства с параметром.....................................53

з

Предисловие

Предлагаемый систематизированный сборник

охватывает наиболее важные разделы школьного курса

математики.Отличительная особенность пособия состоит в том,

что в нем представлен широкий набор задач - от

простейших, решаемых устно, до более сложных.

Это поможет ученику ликвидировать пробелы, повторить курс школьной математики и подготовиться к

сдаче экзамена.Авторы обращают внимание на то, что предлагаемый

сборник будет полезен как для очень слабых учащихся, так и для сильных учеников, хорошо знающих математику.

В начале каждой главы приводятся основные

формулы и соотношения, позволяющие при определенном усердии справиться с каждым заданием.

Пособие полезно ученикам старших классов школ, лицеев, техникумов.

4

I Выражения и преобразованияФормулы сокращенного умножения

1. (a + b)2 = a2 +2ab + b22. (а - b)2 = а2 - 2аЬ + Ь23. (а + b)3 = а3 + За2b + ЗаЬ2 + Ь34. (а-Ъ)3 = а 3 - За2b + ЗаЬ2 -Ь 35. а2 - Ь2 = (а-Ь)(а + Ь)6. а3 + Ь3 = (а + b)(a2 -ab + b2)7. а3 - Ъ3 = (а - Ь)( а 2 + ab + Ь2 )

Некоторые свойства степеней и действия с корнями

11. а°= 12. а" =

а"3. а" -ат = ап+т . а”

8. У а* =а9. (аЬ)” = а” -Ь"

10.

= ап~та

\а

5. {ап)т =аптп

6. С Г = л [а "

7. л/а* = И

11.12. а-Ф = ̂ Ъ

1. ol0g*b = b2. loga a = ]3. log. 1 = 04. lOg a(bc)

(b \5. l o g j - b\ c )

6. log , b n -.

Основные свойства логарифмов(х > 0, у > 0» а > 0, а ф 1, b > 0, с > 0, с * 1)

7. log „ Ъп = log. Ъа

log съ

f logJк

8. l0ga6:

9. log ab = :

log ca 1

l°g ba10. aloghC = cl08i<J11. alos°b =bXo&ah

1)

5

Некоторые тригонометрические формулы

1 .1 - cos2a = 2sin2a2. 1 + cos2a = 2cos2a

sin 2a 1 - cos 2a3. tga = -----------= ------------1 + cos 2 a sin 2 a

2 tga4. sin 2a =1 + tg2a

, . 1 - tg a5. cos 2a =----1 + tg a

6. tg la = ^ a2\ - t g 2a

_ „ sin(« + B)7. tga + tgP-cos a ■cos p sin(a - /3)

cosar-cos/?9. sin3a = 3sina - 4sin3a10. cos3a = 4cos3a - 3 cosa

8. tga -tg p =

11. a • sinx+6 • cosx = Vo2 +62 sin(x + <p), где tg<p = —

Примеры

1) Упростить:

(sCT)f = (t/V7»J = ( Ш ) ‘ = р ) ‘ (»')‘ = A*2) Вычислить:

"У* Д /п =-л/П-11 VTi-f-Vn)2 л/Гф-ТП) л/П-13) Упростить:

4) Упростить* х - у х - 2 у _ + __ x - y - > i * x - 2 y _ 2 х - 3 у ^2 х - 3 у З у - 2 х 2х-~3у 2 х - 3 у 2 х - 3 у 2 х - 3 у

5) Вычислить:

д/(л/7-г)2 +д/(ч/7-з)2 +V(5V2-7)2 =|л/ 7 - 2 |+ |л/7 -3 |+ |5 л/2 - 7 | =

= V 7 - 2 - V 7 + 3+5л /2-7 = 5л/2-6


log9 ̂ = i°g32 (З_3̂ = Юёзг 3_' = - | 1оё з3 = - ^

7) Вычислить:92

f9l3 Г 931= log3 8--

1 8 J- l°g3 93 = log3 Зб = 6

8) Вычислить:lg7+lg-= lg 7- .10 7 =10 I 7 j=10lg2 =2'■"I — 1


log г ■ log, 4b = log2 • log5 5® = log2 K • log5 5 j = log2 ~ = log2 2~3 =-3


6l°g5 6 = 62.1og6 5 = l̂og6 5 jp = 52 = 25

Примеры для самостоятельного решения

Упростить:

5.' ъВ-г-т+гМ'-, _б.7. e<.V5;9.

11.96-43

(2л/12-ЗлД5)-л/3;( х ^ - х 0-2) '25;

jc4-Vjc2.t/x-n ;

2х-?

274•25’13. (0,00032)“!;

15.17.19.

21.

23.

25.

27.

29.

31.

32.

33.

34.

64х6 ’ (V64x9 ]Г;

х + у ' х + у ' х - у ' У

3 2 7X + х у уу

х -5 х + 5 4хх +5х х -5х х -2 5 '

5 . ̂ 4х2 -12х + 5

(-+6У.а

3 -х а +18а2-36 а2-36

a + b 1

8. а 2-Vo3 ;

10. 1415

213 • 714 ’

12. ( г ' ^ - г -3;

18P-V4

14. --------- ;З3 • 2-3’58л/3 — л/з(л/э + л/б4)+16.

18. (8л/5+2л/з)-л/5=л/б0-40;

20. Гх^-х^У5-х°’3-х0’7;

22. J, 16а9 ?|8а121.3 ’

24. \ J a b c -\fbc;

26. ^(*+.у)2+ |(* - ;к )2;

28. а - х а2 + х2 а + х

30. (х + 4)2 2х + 8 Зх-9 х2 -9 ’

а + Ъа2 + ab а2 - Ь2 (b - о)2

(*+Ь)2 2 Ъ2

8

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.48.

49.

50.51.

52.

53.

54.

2ху хку 2- \6 х * у - 4xJ у 2 + 4ху

1 /Х + у г х + у

УЪ + 3 Ь- 12

* - IУ х

2 х - у 1ху у

Л Л

х + у ) Ъ2 +81

х + у

+-Ь -144 6+12

а - 8 а +192 а + 8 а 2 - 64 : а2 -24 а - 8а 2-9 7 -2 а

а - 3’ 7-2(а + Ь)

аЪ-а2 Ъ\г х2 -8

- а 4 -х 4 - х 2 2

чх -2 9а + 359а2-49 ' За+ 7 7а - 5 V - 4 a + 17

+ 4 - х ;

4-За ’

216-9 а2

Vo 24 + За

1л/а +1 а - 1 а - 1

х + 6л/х + 9 Г 7 л/х7л/х

4 + За J

42л/х

V х - 3 х - 9Найдите значение выражения: lg а + lg b, если lg(0,01ab) = 2,5; Найдите значение выражения: log3(9/>), если log , 6 = 5;

Упростите выражение: logs ̂ + logs ̂ ;

Найдите значение выражения: lg 2а + lg 5b, если lg ab = 3; Укажите значение выражения: log5 75 + log5 (25)1;

Укажите значение выражения: 21og2 3 + log2 ^ ;

Укажите значение выражения: log210 - 21og2 5 + log2 40;

Упростите выражение: з'°Е2 4+1063 5;9

55. Вычислите значение выражения: (л/^°8̂ 5 1083 81;1 7 156. Упростите выражение: 2 082 log3- ;

57. Вычислите значение выражения: 51р85 3 log2 8;1 158. Упростите выражение: 7°ё? :log3- ;

59. Вычислите: 61og2125*log52 + 2lg?-5lg7;60. Найдите значение выражения: ((l - log2 7)logl4 2 + log2 7)* 5log5 24;

и « log2 40 log2 561. Наидите значение выражения: ---------——;lg2 log 80 2

62. Найдите значение вьфажения: ((l - log21 l)log33 3 + logj ll)-2l082S;63. Вычислите: log57-log49125;64. Вычислите: logA cos 675°;

4

65. Вычислите: 7°’5108̂ 2;66. Вычислите: 221og46_1;67. Упростите выражение: cos4 x + sin2 x ■ cos2 x ;68. Упростите выражение: -4sin2 a +5-4cos2 a;69. Упростите выражение: 1 - sin a ■ ctga ■ cos a ;

70. Найдите tga, если cos a =

71. Найдите tga , если cos a =zv / j

72. Найдите значение выражения: (tga + ctga)2 - 2 при a = - —;

1 Гл П ̂T 5’a V ’2 /

3 ГП-2 V 7 '“ S J ’

73. Упростите выражение: cos2(яг-a ) + cos' Ъп -a\ 2

a a sin — h cos —2 274. Упростите выражение: ----------------1 + sina

75. Вычислите : sin(-330°);

76. Упростите выражение °°S a1-cos2 a

77. (sina + cosa f + (sina -co sa)2 +19;78. 23-18sin210a-18cos210a;

10

79.80.

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.

90.92.

94.

96.

98.

100.

102

104

cos 19° cos 41° — sin 19° sin 41°;2 sin (a + /?)sin(a 2cos 2 a sin 77°-sin 13°

sin 32° ’(sin a + cos a)2

l + sin2a (sin a + cos a)2 -1 tga -sin a cos a

sin(a + я )+tg{a - я);

sin(2a-ж)+2cos] a + — sin a - Ъп

cos

. u v (2571 \ sm(4?r-a)-fgl —-— a J?

■ctg(l7& - a )4 n■ + a

fg(l3?r - a)- ctg\ + a | - sin(a - 22я-);

„ . a 3 -4cos— + cosa; 2

sinx + cosx;42 cosx-V6sinx;

sin(arcsin0,4);

arcsin(sin6);

arccos(cos 11);

. tgl ̂ arcsin 0,6

89. cos2(4 a-5 * r)-^ ;

91. sinx + V3cosx;1 V3— cos x 4- — sinr;2 2

1r • Acos arcsin- *1V 3 Jfcos arccos- *I 5,(1 .1 2 99. cos -arcsin —U 13

101. sinf iarccos(-0,8)

tg1arctg 0,5 103. sin arccos-

V

arcsin sin nV 8

105. tg(2arctg5);

ll

2. Уравнеция

2.1. Рациональные уравнения

^ > = 0Рациональным уравнением называется уравнение вида б (х) ?

где Р(х) и Q(x) - многочлены.Решение рационального уравнения сводится к решению

уравнения Р(х)=0? при условии что Q(x)^0.

Основными методами решения уравнения Р(х)-0, где Р(х) -

многочлен n-степени (п>2) является метод разложения на множители

и введение новой переменной.

Пример 1.Найти произведение корней уравнения 2х8 + 5х4 - 7 = 0

Решение:

Пусть х4 = у, у > 05 тогда уравнение примет вид: 2у2 + 5у - 7 = 0,

\2уг + 5j>-7 = 0, \ у * 0

У\ = \1

* = - - ; = » = 1

у>0;

Выполним обратную замену: х = 1 <=> х = 1<=>х1 = 1их2 = -1 Таким образом хх ■ х2= - 1

Ответ: -1,

Пример 2.

Найти среднее арифметическое корней уравнения:

(х - l)(x - 2)3 + (1 - х)(х - З)3 = 19(jc -1)

12

Решение:

(х - 1)(х - 2)3 + (1 - х)(х - З)3 - 19(л: -1) = 0

(х -1) • ((х - 2)3 - (х - З)3 -19) = 0

х -1 = 0,(х -2 )3 - ( х - З ) 3 =19;

<=>х = 1,(х - 2)2 - (х - 2)(х - 3) + (х - З)2 = 19;

х = 1,Зх2 -15х = 0:

Ответ: 2

<=>х = 1?

п 1 + 0 + 5X = U, Среднее арифметическое корней: ---= 2

х = 5. 3

Пример 3.

Найти сумму корней уравнения: х(х+2)(х+3)(х+5)=72 Решение

х ■ (х + 5) • (х + 2) • (х + 3) = 72;

(х2 + 5х) • (х2 + 5х + 6) = 72;

Пусть х2+ 5 х = t, тогда уравнение примет вид: t-(t + 6) = 72 t2 + 6t-12 = 0 > ,= 6 t2 = -12 \

Выполним обратную замену:х2 + 5х = 6, Гх2 + 5х - 6 = 0,х2 + 5х = -12; х2 + 5х +12 = 0;

Корни первого уравнения х = 1 и х = -6. Второе уравнение

корней не имеет, следовательно корнями исходного уравнения являются числа 1 и -6, их сумма равна -5.Ответ: -5

13

Найти сумму корней уравнения: х4 - 7х3 + 14х2 - 7х + 1 = 0. Решение:

х = 0 - не является решением данного уравнения.Разделим обе части этого уравнения на х2 и сгруппируем слагаемые

П J 1'

Пример 4.

х + - | + 14 = 0.

1Сделаем замену t = х + —, получим t — 7t +12—0<=> tj = 3 и t2 = 4х

Исходное уравнение равносильно совокупности:

х2 - Зх +1 = 0, Д х Ф 0 х2 - 4х +1 = 0; Д 2 ф0

По теореме Виета сумма корней первого уравнения xi+x2=3, второго уравнения х3+х4=4, тогда сумма корней исходного уравнения равна 7. Ответ: 7

1X + —X1X + —X

Пример 5.

Решить уравнение:

Решение:1 10

1 • + 10 1х2 -10х + 25 2 5 -х 2 х + 5’

-х -30( х - 5 ) 2 ( х - 5 ) ( х + 5) х + 5 ■’ (х

"х = -5 ,

х2 - х ~ 30 = 0,

<оIIн,1

- х - 5 Ф 0, о ^х Ф 5, <=> х = 6

х + 5 ^ 0 ; х ^ 5 .

= 0;

Ответ: 6.

14

х 2 - 7 х + 61. Решите уравнение:-------------= 0;18 - Зх

+ 4х — 52. Решите уравнение:-------------= 2;

х — 1

_ _ , х2+6х + 63. При каких значениях х функция у - ——------- примет значениех +1

равное 2?

1 14. Решите уравнение:


х + 2х + 3 х + 5

5. При каких значениях х совпадают значения функций у = —-— их + 7

у = --------1------- ?х2 + 5х + 2

х2 + 2х “** 16. При каких значениях х график функции у ---------------- 1X +1

пересекает ось абсцисс?

1 4 27. Решите уравнение:----- + ------ = ------ :х +1 х + 3 х - 2

0 Л х х + 8 х2 + х + 728. Решите уравнение:---- - + ----- = — --------- ;х + 8 х -8 х -6 4

1 39. Найти произведение корней уравнения: —-------- + ---------=-2;х -6х+8 х - 6 х + 6

1Л (х +1)2 + 2 (х + 3)2 +3 х 2 ~ 4 х + 5 .10. Решить уравнение: ---------- +----------- =----------- + х + 6 ;х+1 х+З х-2

15

11. Решить уравнение: ——------+ ——-—— = — ----- ;х -2x42 х -2*43 2х ~4х+8

12. При каких значениях х пересекаются графики функций

X2 - Х -6 2 „ „у = ----------- и у - 6х - З х -5 ?х 4- 2

1213. Решите уравнение: (х + 1)(х 4- 2) = —---------- ;х +6x4-6

14. Решите уравнение: (х4~1 )(х+2)(х4-5)(х+4)= 10;

15. Решите уравнение: (2х2 + Зх - 2)(5 - 6х - 4х2)= -5(2х2 + Зх 4- 2);

16. Решите уравнение: х3 - Зх2 + Зх = 9;

9 317. Решите уравнение: х2 4* — + х — = 8;х х

18. Решите уравнение: (6 - х)4 4- (8 - х)4 =16;

19. Найти сумму корней уравнения: (2х2-3х+1)(2х24-5х+1)=9х2;

420. Найти нули функций: у = —------------ х(х + 4) 4-1.х + 4х + 2

16

2.2. Иррациональные уравнения

Решение иррационального уравнения сводится к решению рациональных уравнений. Это можно сделать двумя способами:

1. Формально избавиться от радикалов и решить полученное

рациональное уравнение. При этом возможно появление посторонних корней и, следовательно, необходима проверка,

осуществляемая подстановкой найденных значений переменной

в исходное уравнение.2. Определяется ОДЗ функций, входящих в уравнение, и условие,

при котором знаки обеих частей уравнения совпадают. Затем на полученном множестве переходим к рациональному уравнению

и решаем его.

Пример 1.

Решить уравнение: л/2х + 3 = 6 - х

Решение:Возведем обе части уравнения в квадрат: 2х + 3 = 36 - 12х + х2

х2 - 14х 4-33 = 0

х\ - 3 \х2 =11

Сделав проверку убеждаемся, что х = 11 не является корнем уравнения, так как при этом значении х левая часть уравнения положительна, а правая - отрицательна, следовательно х = 3 - единственный корень уравнения.Ответ: 3

17

Пример 2.

Найдите произведение корней уравнения: л/5 + х ~ л/5*-х = л/х -1

Решение:Возведя обе части уравнения в квадрат, получим:

5 + х + 5-~х-2 л/ 25 - х2 = х - 1;

1 1 -х = 2 ^ 2 5 -х 2;Еще раз возведем в квадрат:121 - 22х + х2 = 4(25- х 2);5х2 - 22х +21=0;

х, = 3 х2 = 1,4

Сделав проверку, убеждаемся, что х = 3 является корнем уравнения. Проверка значения х = 1,4 затруднена, но это значение удовлетворяет ОДЗ: исходного уравнения, следовательно х = 1,4 также является корнем уравнения, произведение корней равно 4,2.

Ответ: 4,2

Пример 3,

Решите уравнение: л/2х-1 = ^4лГ+7

Решение:Возводим обе части уравнения в 6 степень, что является наименьшим

общим кратным показателей корней в заданном уравнении.

(2х-1)3 = (4х + 7)28jc3 - 12х2 + 6х -1 = 16л:2 + 56х + 49;8х3 - 28х2 - 50х - 50 = 0;4х3 - 14х2 - 25х - 25 = 0.

18

По схеме Горнера получаем:

4 ‘ -14 -25 -25 'х = 5 4 6 5 0

Преобразуем последнее уравнение (х - 5)(4х2 + 6х + 5) = 0,

получим х = 5, а дискриминант уравнения (4х2+6х + 5) = 0

отрицателен, и поэтому уравнение действительных корней не имеет.Выполнив проверку, убеждаемся, что х = 5 является корнем

уравнения.Ответ: 5

Пример 4.

Найдите сумму корней уравнения: V8~x + Vx + 1 = 3

Решение:Возведем обе части уравнения в куб, запишем полученное

уравнение в виде: (а + Ь)ъ = а3 + Ь3 4- 3ab(a + Ь)

получаем 8 - х + х + 1 + 3 ( 8 - х)(х + - х + Vx+1) = 27

Воспользуемся условием задачи, что сумма KfS-x + Vx + 1 =3,

тогда 9 + 9^/(8-х)(х 4-1) = 27;

V(8 - *)(х +1) = 2; х2 - 7х = 0;"х, = 0,х2 — 7,

Сделав проверку, убеждаемся, что эти числа являются корнями исходного уравнения. Следовательно сумма корней уравнения равна 7. Ответ: 7.

19

Г2Г |20ГП) ,Решите уравнение: ,. г--------J --------- = 1.V х н~ 1 V х

Решение:

Перепишем заданное уравнение в виде: 42 ■ J - - 42 ■ ̂

Обозначим J — =t;t> 01 тогда Vx + 1

t42t2~ t - 4 2 =0

*i = л/2>

< , =_ A . ^ > t = 42.L2 2 ’/ > 0;

J-—— = 42, — = 2; x = 2x + 2; x = -2.Vx + 1 x + 1

Проверка показывает, что является корнем

уравнения.Ответ: -2

Пример 5,

X +1 X

исходного

20

1. Решите уравнение: 4 2х + 3 = 3;2. Решите уравнение: 18 - Vx + 2 = 12;3. Решите уравнение: 4l + 3x = х +1;4. Решите уравнение: 4 3 + х • 4 Ъ -х = х;5. Решите уравнение: 4 6 - 4х - х2 = х + 4;6. Решите уравнение: л/Зх2 - 2 - Зх = -2;7. Решите уравнение: 4Ъ -2х + 4 х - 3 = 0;8. Решите уравнение: 7 4 - х - 4 х - 6 = 2 ;9. Найдите число корней уравнения: 4 х - 2 • 4 2 х - 7 = 4 - х ;10. Найдите число корней уравнения: л/2х + л/бх2 - 2 = х +1;

11. Пусть S - сумма корней (или корень, если он один) уравнения

4 6х-5 - л/х-1 = л/х + 4 . Тогда величина 3S равна?

12. Решите уравнение: (16 - х2)4 - 2 х -6 = 0;

13. Сумма корней или корень уравнения 2х2 - Зх - 2 = (6х+3)4 х2-4 ,

равна?

14. Произведение корней уравнения 4л/х2-5 х + 11 =(х-2)(х-3),

равно?

15. Сумма корней или корень уравнения 4х + 4 +6 = л/х + 4 , равна?

16. Решите уравнение: ^/8х + 4 - л/8х-4 = 2;Ч

17. Решите уравнение: l /2 x - l + Vx-1 = 1;

18. Найти сумму абсцисс общих точек графиков функций:

у = л/Зх2 - 2 и .у = 2х-1;

19. Найти наибольший корень уравнения: 7л/х = х +12;

20. Найти среднее арифметическое корней уравнения:

л/8-Зх-л/Зх2 +2х = 0.


21

2.3. Показательные уравнения

Простейшее показательное уравнение вида

ах = 6,а > 0,6 > 0,а Ф1 имеет решение х = loga 6

Аналогично, путем логарифмирования решаются следующие показательные уравнения:

1. af(x) -b<=> /(x ) = loga6,a>0,6 >0,а^1

2. а /(х) = а^(х) <=> /(х ) = q>(x\a > 0,а * 1

3. а /(х) <=> /(х ) = #>(x)loga 6,я> 0,6 > 0 ,а^ 1,6^1

При решении показательных уравнений используют прием приведения к одному основанию, т.е. уравнение путем

преобразований пытаются привести к виду а /(дс) = а9̂ <=> /(х ) = #>(х)

Кроме того, существуют специальные приемы для решения показательных уравнений определенного вида. Так, уравнение вида

аах + (Зах + у = 0, где ос>РУу - числовые коэффициенты, а >0,аФ\ с

помощью подстановки ах = у обращается в обычное квадратное

уравнение осу2 4- (Зу 4- / = 0.

Если корни квадратного уравнения уг и у2 положительны, то

показательное уравнение сводится к решению двух уравнений:

1. ах =уг

2 . а х = у 2

Если >^>0, а у 2 ^ 0, то показательное уравнение сводится к

решению уравнения ах = ух.

Если квадратное уравнение не имеет положительных корней, то

показательное уравнение не имеет решения.

22

Метод подстановки или метод замены переменной позволяет

перейти от решения показательного уравнения к решению рационального или иррационального уравнения от новой переменной.

Применение этого приема определяется видом показательного уравнения.

К уравнениям специального твида относятся так называемые

однородные уравнения аа2х + рахЪх + yb2x = 0, где a,J3,y - числовые

коэффициенты, а > 0,6 > 0,а Ф\Ъ Ф\ .

Методом почленного деления на Ь2х данное уравнение✓ \2х / \хr а \ J а \ п| + /я — + у = 0, котороеприводится к уравнению вида: а , ,\Ь ) \Ь

обращается в квадратное уравнение с помощью подстановки:

а\ Ь /

схеме.

. Дальнейшее решение происходит по рассмотренной ранее

Пример 1.

Найдите сумму корней уравнения: = 27

Решение:Приведем обе части уравнения к основанию 3.

,з х(х -1)3 2 = 3 , следовательно — -— = 3,

х2 - х — 6 = 0Xj = 3, хх 4- х2 = 3 4- (—2) = 1.

l x2 =-2.

Ответ: 123

Решить уравнение: 32ж+2 +32х“1 =28.Решение

Вынесем в правой части уравнения общий множитель

З2*-1 (З3 4-1) = 28;32*“! • 28 = 28;32x_l = 1;32*-i _ 3о.

2jc — 1 = 0;1х = - .2

Ответ: —2

Пример 3.

Решить уравнение: 3 • 22* + З2ж+3 = 6 • 4*+1 - ̂ • 9x+l

РешениеПреобразуем уравнение, проведя группировку слагаемых:

Пример 2.

Решить уравнение: 31+* - З1-* = 8

Решение:

Преобразуем левую часть уравнения 3 • 3* - 3 • 3 х = 8 или3

3 • 3* - — = 8 . Введем новую переменную у - 3х, у > 0.*5 5

Тогда уравнение примет вид: 3 у ~ - = 8 =>3у2 - 8>'-3 = 0 =>у1 -Ъ\уг - —У 3

Так как у > 0 , рассматриваем только = 3. Выполнимобратную замену 3х = 3, => 3х = З1, => х = 1.Ответ: 1.

Пример 5.

Найти сумму корней уравнения: 3-16*+ 2- 81* = 5-36х Решение

3 • 42* + 2 • 92х = 5 • 4* • 9х - однородное уравнение 2ой степени относительно 4х и 9х.3 • 42* + 2 • 92х - 5 • 4* • 9* = 0 Разделим обе части на 92х

Пример 4.

(4 ХВведем новую переменную: ,у = 1 — , где у > 0. Уравнение примет

Ч 2вид: Зу -5 у + 2 = 0;=>у} =1 и у2 = - .

Выполним обратную замену:

-Т=-9) ~ 3

Ответ: - 2

*1=° 1 1 j Сумма г, + х2 = 0 + — =—.

25

Примеры для самостоятельного решения1 2"*+j=8;

3. (г*"7)2 =16;

5 8 _ _ .

2. 123х"6 = 144;

4. 4~х ■ 42х+3 = 14

/ 33->Л6. 3х- 81-

ч '2 7 J7. Найти произведение абсцисс общих точек графиков функций:

7/(x ) = l,4*2+1,g(x) = ( ^ j 3;

28. Найти наибольший корень уравнения: 4х +х = 16;

9. (2 ■ 3* + l)(3x - 9) = 0;

10. При каких значениях д: значение функции f(x ) = 2,758х+2 не

больше и не меньше ?121

11.К $

-3f 3 ° ]

X? 12.

Xг-*+32 = 71/7;

13. 2 3х ■5х Оо40*—4II 14. 62х+4= з3х•2Х+8;

15. 62Х-8 •6х +12 = 0; 16. У̂*~2 + 42= 10.2Л=2;

17. ь ■2х + 22 = 2х? 18. 6 -4х -13- 6х +6-9х = 0;

19. 8х--4х = 2Х?

20.Зх ̂̂ Ч*-1

8= 128:

22. 7б“х = х + 2.

26

2.4. Логарифмические уравнения

К логарифмическим уравнениям относятся уравнения, содержащие неизвестное под знаком логарифма или в основании

логарифма.Простейшее логарифмическое уравнение вида :logax~b, где

a > 0, а Ф1 имеет решение х - а ъ.

Уравнение log af(x ) = b, где а > 0,а Ф1, сводится к решению

эквивалентного ему уравнения / (х) = аъ.

Уравнение вида loga/(x ) = loga^(x) , где а>0,аФ1, методом

[ т > о,потенцирования приводится к равносильной системе:

[f(x) = <p(x);

Этот метод лежит в основе решения многих логарифмических уравнений, приводимых к виду равенства логарифмов.

Простейшее уравнение вида: logxa = 6, где а>0,аф 1,Ьф 0

приводится к равносильному уравнению loga x = ^ с множеством

допустимых значений а > 0, х Ф1.

При решении уравнений второй и выше степени относительно логарифма необходимо обратить внимание на следующие преобразования:

1. log”x* = 0oga дс̂ )” = {к■ Iogaх)п — к" "log" х,а>0,аФ\,х>0

2. log”V x = -^ lo g "x ,a> 0 ,a* l,x > 0/С

3. log"* x = (loga* х)п = (j-\ogax)n = ~ - \o g nax,a>Q,ct*\,x>Q

27

Уравнение второй и более высоких степеней относительно

логарифма решаются по методу замены переменной, а именно полагают у - log а х . В результате замены переменной получают

рациональное (или иррациональное) уравнение относительно у, корни которого подставляют в |простейшее логарифмическое уравнение loga х = у0, где - рассматриваемый корень.

Методом логарифмирования решаются уравнения вида

/ * х)00 = g{x). При условии, что /(х ) > 0 и g(x)> 0 это уравнение

приводится к виду: <р(х) loga / (х) = loga g(x). Основание «а»

выбирается по виду конкретного уравнения.

Пример 1.

Решите уравнение: log7(2x + 5) = 2

Решение:

f2x + 5 >0, I х > -2,5, Г х > -2,5,, т I —• i => х = 22.}2х + 5 = 7 : [2х = 44; [х = 22;

Ответ: 22.

Пример 2.Решите уравнение: log5 log2 log7 х = 0

Решение:1)ОДЗ: х> 0

2) log2 log7 х = 5°,=> log2 log7 х = 1? => log7 х = 2,=> х = 49

Ответ: 49.

28

Решите уравнение: log 4(х - 2) + log г (х - 2) = —2 2

Решение

1) ОДЗ:х — 2 > 0?=> х> 2

2) log22 (х - 2) + log 2_, (х - 2) = ̂ ;

| log2(x - 2) - log2(x - 2) = | ;

- | l o g 2(x -2 ) = i ;

log2(x-2) = - l;

x - 2 = —;2

x = 2—.2

Ответ: 2,5.

Пример 3.

Пример 4.

Найдите произведение корней уравнения: 2 log \ х + log 4 х -1 = 0

Решение:1) ОДЗ: х > 02) Введем новую переменную у = log4 х, тогда уравнение примет вид:

2y2+ 2 y - l = 0,=>y = ± , y f - l .

Выполним обратную замену log4 х = ^ и log4 х = -1,

29

следовательно хх = 2, х2 = ~ . Произведение х, • х2 = 2 • ̂ = ~

Ответ:2

Пример 5.

Найдите абсциссу точек пересечения графиков У\ =1og3(x -l) и у2 = 2-1о13(х + 1).

Решение:

Лт_ Г2дс — 1 > О,1)ОДЗ: , п ’ =I х +1 > 0; Н ’ = > *> !.

х > - 1; 2

2) log3(2x -1) = 2 - log3(х +1);

log3(2x -1) + log3 (х +1) = 2;

log 3 ((2х - 1) • (х + 1)) = 2;

(2х -1) • (х +1) = 9;

2х2 + х-1 = 9;

2х2 + х-10 = 0;

xi = 2’ .=> х = 2.х2 — -2,5; £ ОДЗ

Ответ: 2.

функций:

30

1. log5(x + 6) = l;2. log2(x + l) = 3;3. log ж(2х + 1) = -2;


sin— 34. log5 (2x + 3) = log5 (x + 5);5. log2(x + l) = l + log2x;6. Найдите наименьший корень уравнения: lg(10x — X2 ) = lg(12 — 4x + X 2);7 3 1рвз(Ж+3) = 5 jc _ 2 ;

8. 0,llo8o-l(3x_1) = 2;9. Найдите среднее арифметическое корней уравнения: 7lt>B4 * • 2log4 * = 196;10. Найдите произведение абсцисс общих точек графиков

функций: /(х ) = 1п(х2 - Зх), g(x) = 1п(3х + 7);11.При каких значенияхх значение функции /(х ) = log6(x2 + х) не

больше и не меньше 1?3

12.Найдите сумму корней уравнения: — log2 2х - log4 х = 1;

13.Пусть Хо - наибольший корень уравнения lg(3x2 +12) = lg(x2 — 10х),

тогда 4 + “ Х0 равно?

14.Найдите сумму абсцисс общих точек графиков функций: f(x ) = 13loei3(*"7),g(x) = х2 -14х + 49;

. . . 1 16. log* 9 = 2;15. log4log2logV5x = - ;

18. Iogx+1 (x2 - Зх +1) = 1;

19 lg(35-xj) 20.1g(x(x + 9) + l g ^ - = 0;lg(5-x) x

21. log6(x + l) + log6(2x + l) = 1; 22 lg5_ 1 = lg(x_ 3 ) _ i lg(3jc + 1)

23. 21og7x -lo g 249 = 3; 24. log3x+log3x + log1 x = 6;3

25. lg2 x3 - lOlgx +1 = 0.

31

Решение простейших тригонометрических уравнений

1. sin х = а

если |а| < 1,то sin х = а <=>

2,5. Тригонометрические уравнения

х = arcsina + 2жк, k s Z х = п -arcsina + 2як, k<=Z

илиsinx = a<=> x = (-l) arcsina + nk,keZ; n narcsm a e2 2

sin(arcsin a) = a; arcsin(-a) = - arcsm a

2. cosx~ a ^3!если |aj < 1, то cos x = a<=> ±arccosa + 2як,к e Zarccos a e [О; л\ ^cos(arccosa) = a; arQjift{-a) = ж — arccos a

3. tgx = atgx = a <» arctga + ̂ ,k e Z

;r яг~2’I

tg(arctga) = a; arctg{-a) = -arctga

4. ctgx = anесли а = 0, то cfgx = a <=> x = - + ̂ c,keZ

если а 0, то cfgx = a » tgx: = - <=> х = arc/g — + як, к е Zа a

32


1. sin3x = 0;

3. ctgx-2\

2 я5. cos х =3 ’ 1_ . х7. sm—=

9 2

9. erg

2. cos —= 0;4

Л • n 4. smx = —;

6. tg(4ях) = л/3;

O f X ЯГ |8. cos —+ — =1;U 4 )

10. c o s ^ 2 x - |j = ^ ;

sin X - 112cosx

/COS x -f* -2ж

tgx- 1/

sm13.

( < _! i D 14.2sinx + l

15. sin2 x -sin x = 0; 16.

17. 2cos x • cos 4x + cos x - 2 cos 4x -1 == 0;18. (sinX-l^fgx-Ssinx + S = 0;19. cos2 x -sinx + l = 0;20. 2sin2 x -co sx -1 = 0;21. tgx = ctgx;22. 4cos2x + sinx = l;

23. 8cos2 — + 6sin - - 3 = 0; 2 v 2

24. 8sin2 5x + 6cos5x-3 = 0;25. sinx-8cosx = 0;26. 3sin2 x-4sinx-cosx; + cos2 x = 0;27. 8sin2 x + 3sinx-cosx + cos2 x = 3;28. 2sinx + 3cosx = 3;29. 5sinx-cosx = l;30. 5 sin 2x + 12cos 2x = -12;

31. sin — + cos — = 1; 2 3

32. 3 sin 5x - 2 cos 5 x = 3.

fgx + 1

= 0 :

= 0 ;

33

2.6. Исследование функций с помощью производной

Определение 1. Функция у = f(x ) называется возрастающей

(убывающей) на некотором множестве, если для любой пары значений аргумента из указанного множества большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

Теорема 1, Если для всех х е Х имеет место неравенство

Р (х) > 0, то в промежутке X функция у - f{x) возрастает. Если же

для всех х е Х имеет место неравенство f '(x) <0, то в промежутке X! - функция у = /(х ) убывает, j

Теорема 2. (необходимое условие экстремума). Если функция y = f(x ) , х е X имеет экстремум в точке х0 е Х , то в этой точке

производная данной функции либо равна нулю, либо не существует.Чтобы отыскать наибольшее и наименьшее значение функции

/(х ), непрерывной на некотором замкнутом промежутке, нужно

вычислить значение функции в точках промежутка, где /*(х) равна

нулю или не существует, и на концах промежутка, а затем из полученных таким образом значений выбрать наибольшее и наименьшее значения.

34

'% 2Найти ординаты точек экстремума функции у = х - 2х - 9

Решение

1) Находим производную функции У = 4х3 -4 х

2) Приравняв производную к нулю, находи корни. 4х(х2 -1) = О,

Х\ = 0,х23 = ±1.

3) Полученные точки разбивают числовую ось на четыре промежутка. Исследуем знак производной и поведение функции на

каждом из промежутков:

Знак производной у 9 + - +----------------,----------- 1------------1------------------- ►

- 1 0 1 х

Поведение функции у

Точки х = ±1 - точки минимума, х = 0 - точка максимума. Найдем значения функции в указанных точках: у(-1) = -9,.у(1) = -9,д>(0) = -8. Сумма полученных значений равна -26

Ответ: -26.

Пример 2.

Производная функции / (х) имеет вид / ’ (х) = (х - 2)2 (х2 - 2)(х2 - 4).

найти число точек экстремума функции.

Решение:Перепишем производную функции в виде:

f ( x) = (x- 2)3(x-V2)(x + V2)(x + 2). j

35

Пример 1.

Число точек, в которых производная обращается в ноль, равно 4.

Нетрудно убедиться, что, переходя через каждую из них слева на право, производная меняет свой знак, следовательно, каждая из них является точкой экстремума.

+ + - +----------- 1—------- ----1------------1---------- |---:----------- ►

^ -2 ^ - 4 1 ^ л/2 ^ 2 ^Ответ; 4.

Пример 3.

Найти сумму наибольшего и наименьшего значений функции

У = ~ х3 - 4х на отрезке [0;2].

Решение:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке, нужно найти значение функции в точках промежутка, где у ’= 0, на концах промежутка, и выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее значения.

У=4х2-4 ; 4 х 2 - 4 = 0 ; х = ±1. Заметим, что х = -7 не принадлежитI32 8 4 8указанному промежутку. у(0) = 0; у{2) = — - 8 = - . j(l) = — - 4 = - - .

Среди полученных значений функции наименьшее у = - - ;

8наибольшее у = - . Их сумма равна 0.

Ответ: 0.

36

1. Найти сумму наибольшего и наименьшего значений функции /(х ) = -х 3 +3х2 + 5 на отрезке [1;3];

2. Найти сумму абсцисс точек, в которых функция у = х2 (2х - 3) - 12(3х - 2) принимает наибольшее и наименьшее значения на отрезке [-3;6];

3. Пусть m и М - значения функции f ( x) = —— , в точках минимума их +1

максимума соответственно. Тогда значение 2т-М равно?4. Найти количество целых значений л: на интервале убывания

функции /(х ) = 16х3-24х2+9х-1;5. Количество целых значений л: на интервале убывания функции

f ( x ) = 4х3 -18х2 - 21х - 9, равно?6. Найти точку, в которой выполняется необходимое условие

существования экстремума функции у - Зх4-4 х 3, но экстремума нет;

7. Найти наименьшее значение функции /(х ) = 18х2 +8х3 - Зх4 на отрезке [0;4];

8. Производная функции имеет /(х ) вид / '(х ) = (х2-1)(х2-9)(х2-16). Найти сумму длин промежутков убывания функции /(х );

9. Найти число точек экстремума функции у = ( х - 1)2 (х - 2)2;10. Найти точку максимума функции у = -х 3 + 9х2 - 24;11. Найти количество целых чисел, принадлежащих промежутку

возрастания функции у = 5 + 243х - 4х3;12. Производная функции имеет /(х ) вид

/ '(х ) = х2 (х2 - 1)(7 - х2) . Найти число промежутков возрастания функции;

13. Функция у = /(х ) определена на промежутке (-3;2). График ее производной изображен на рисунке. Укажите число промежутков убывания функции.


37

14. Функция у = J(x) определена на промежутке (-2;2). График ее производной * изображен на * рисунке. Укажите число промежутков возрастания функции.

15. Функция у = /(х ) определена на промежутке (-4;2). График ее производной изображе н на рисунке. Найдите точку х 0, в которой функция у = /(х ) принимает наибольшее значение.

16. Функция у = f (x ) определена на промежутке (-1;4). График ее производной изображен на рисунке. Найдите точку х 0у в которой функция у = f(x ) принимает наименьшее значение.

38

17. Функция у = /(х ) определена на промежутке (-4;3). График ее йроизводной изобраяеен на рисунке. Сколько точек экстремуша имеет функция / (х) на этом промежутке?

18. Функция у = f (x ) определена на промежутке (-4;2). График ее производной изображен на рисунке. Укажите длину промежутка возрастания функции у - /(х ).

19. Функция у = f{x) определена на промежутке [0;5]. График ее

производной изображен на рисунке. Укажите длину промежутка

убывания функции у = / ( х ) .

39

Исследовать на четность (20-40):

20. v = x5 -3x + l 2 sinx24. у = ----—21. у= |х |+ х 5х

1 25. .y = sinx-fgxУ ~ * Т/; 12 сX 26. у = х -cos5x

23. y = 2x + tgx 27. у - х 3 -sin5x

28. y = sin3x + cfg8x 35 у = cosx+sin2x29. у = sin 2x • cos 5x 36. у = cos x + sin 2x30. у = sin3(2x) - tgs(4x) 37 _у_ 5**+*431. у = x-sin4x ' ^

x 38. у = х - — -3-32. у - — x

*8* 39. у = x3arctg(2x)33. ,y = 5x3— ~ 40. у = xsin2x -rg 3x

9x34. у = 5x - 2 • \[x

Найти основной период функций (41-54)л\ ( ЖЛ 42. V = sin 1х41. у = cos 2х — 1 ^

43. v = sin4

3^ 44. у = fg(V3 • х)

45 у - tg{ - з! У = cos5x+cosl0x3

лп „• т , • ж 48. v = sinx-sin6x47. j ^ s r n ----hsm— ^3 4

49. = cos2 6х 50. у = 3sinx-5cos®c«1 т х , о* х 7СХ ИХ51. >> = 2cos- + 3*g- 52. у = cos—- - ctg—~

3 о 9 24^ „ г * * , * ̂ 54. у = 7tg2x + tg3x + 4sin5x53. у = 5ctg~ + sm2nx J ъ

8

40

2.7. Исследование функции элементарными методами

1. Найдите область определения функции у - л/х2 -1

2. Найдите область определения функции j = л/х^чн!

3. Найдите область определения функции у - л/х2 - 4х + 3

4. Найдите область определения функции = 21°ё2Х

5. Найдите область определения функции у = / 4 - х

6. Найдите область определения функции у - Jx2 - х + 1

х — 97. Найдите область определения функции у = -т=----

Vx - 4

8. Найдите область определения функции у - log2 (1 - х).

9. Найдите область определения функции у - log 2 (~х).

10. Найдите область определения функции у - log2(2 - х)2

11. Найдите область определения функции у = tg ( x - яг)12

|3~sinx

13. Найдите область определения функции / (х) = (х + 5)2 + (х - 1 ) 2х - 714. Найдите область определения функции j; - - 7===========

л/х2 + Х- 6V

Найдите множество значений функции (15 - 23)

16. у - (х -3 ) 2 - 2 ;

17. д; = sin4x-cos4x;

18. у = sin 25° cos х - cos 25° sin х;

41

12. Найдите область определения функции у = | ~

19. у = (x + 1)2 + (х -3 )2;

20. _y = 5 + sinx;

x2+x21. 7 = -------;x

22. у = cos x на отрезке [30°;60°];

23. у = sin x на отрезке [30°; 120°];

24. Найдите наибольшее целое значение функции у = Зх2 - х + 5 на

отрезке [1;2];

25. Найдите наибольшее значение функции .у = 9 cos х +12 sin х ;

26. Найдите наибольшее значение функции у = — —— ;cosx + 4

27. Найдите наименьшее значение функции у = log, (4 - х2);

28. Найдите наибольшее значение функции у ■■V-

1-5 sin 2х

29. Найдите множество значений функции /(х ) = 2 2 ;1

30. Найдите множество значений функции у = З2*4 ;

31. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений2

функции у = — arccos(3x - 5); ж

32. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений

функции g(x) = f f50 Г 7 ^ 2 — arcsm 4х v , я- ,

33. Найдите множество значений функции

У = ~ arctS^~ (sin х + 43 cos х - 2)1;

42

34. Сколько целых значений принимает функция.. . вшх^л/Зсовх-б

/(х ) = 21og 1 — ---------- •■Л -242

35. График какой из перечисленных функций изображен на рисунке?

1 )У = ~1

2 )у = гх3 )j = log«x

4)у = ~X

36. Укажите рисунок, на котором изображен график функции 7 = log, х

3)

Ш

щ L.

i f~fl 11..11 II 1

37. Укажите рисунок, на котором изображен график функции

•У = 4*_ _ , , _ ' ‘ 4)1) \

LЛ10 x \

2)1—[

... j ..

Ii,J o •*

3) Щ

I1 \H r

6 N 5

VJ1 s\***4i° A■+1 r

38. Укажите рисунок, на котором изображен график функции j = log4x

J 2) ГТТ1УА t 4)I щt 1 1t г? 1 .1 i4 i ч1 1 ! |1 ■

Щ(0 l i j

У)1 -1

i г “10

VJ 11

.......1̂ ,

.,0 /fl rj

• 1 ;

43

39. Укажите рисунок на котором изображен график функцииу = л/дг + 2

1- /У

0 1с

| i1j!

и -- - Н -

г Т ^1:

3)//\

—■■бI ■je

40. Функция задана графиком. Укажите область определения этой функции.

1)(- со;-кю)2)[2;4]3)[— 2;+оо]4)(-°°;2)и(4;+со)


1)(-оо;+оо)

2)(0;+оо)3)(0;1]4)(i;+co)


1)[2;5]2)(1;3)3)(-1;8)4)[0;8)

44

43. Функция задана графиком. Укажите множество значений этой функции.

1)(- оо;+со)2)[2;4]3)[- 2;+оо]4> (-оо;2)и (4;+ оо)


1)(-оо;+со)2)(0;+оо)3)(0;1]4)[i;+°o)


1)[-2;5]2)(3;1)3)(—1;8)4)[0;8)


1)(-оо;3)и(3;+оо)

2)(-оо;2)о(2;-ню)3)(- оо;+оо)4)(0;+оо)

45

47. Укажите промежуток возрастания функции у = f(x ) заданной

графиком на отрезке [-3; 8].

1)[-3;5]2)[5;8]3)[0;5]4)[-1;4]

48. Укажите график четной функции.3)1) i

II!\

0 : *\

2) У)Л

К

1*7S

ч //

- в49. Укажите график нечетной функции.

2 2) ~Т 'М Т~П 3)1)

8

ш

ч

! j Vi \ 1

|1 0!

Vi

L У 5А

4) ViV ■..]и}6 5

50. Укажите график четной функции.1) Mii

-2 ! О

T i 2)

3ж

3) х \ 1\ /\

0 Iх

! ч U I !' 1 1

V ..X*

_ ± 2 i ь ц г

51. У кажите график нечетной функции,

i n 1 М If i 1 2) Щ Т П 3)\ \ 1/ '!Л

ft1 Г i—-L. ±.„.

Vi*

б *

!

- 3 U V

Р - Л *- {

1" 1

4) JLv

т

46

52. На рисунке изображены графики функций у = f (x ) ,y = g(x),

заданных на промежутке [-3; 4] .Укажите те значения х, для

которых выполняется неравенство /(х ) > g(x).

- l)[-3;-2]U[l;4]2) [0:4]3)[-2;1]4)[-3;0]

53. На рисунке изображены графики функций у = f (x ) ,y = g(x),

заданных на промежутке [-3; 4] .Укажите те значения х, для

которых выполняется неравенство /(х ) < g(x).

1)[-3;1]U[3;4]2) [0,4]3)[1;4]4)[1;3]

47

3. Неравенства

f{x) >0<=>

3.1. Рациональные неравенства

f i x ) > ОЛ *) = 0;

f(x) <0 <=> f(x)< О ,f(x) = 0;

Pjx)Q(x)

<0<=>

P(x)Q(x)

> 0 <=>

Pix) = o,

Q{x)*o,

P{x) = 0,

\Q (x )* o ,

P(x)Q(x)

<0

mQ(x)

>0

Задания на решение рациональных неравенств формулируются

по-разному: «Решите неравенство», «Укажите множество решений

неравенства», «Вычислите сумму всех натуральных решений неравенства».

Пример. Укажите множество решений неравенства ——— —— > 0х + 5

Необходимо обратить внимание на разность (1-х); затем используя

метод интегралов, получим ответ: х е (-°о;-5) [1;4]

3.2. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.

{fix) < g{x)|/(х)| <£(*)<»'

48

|/ (x ) |> g (* )«f(x )> gix) f i x ) < -gix)

Пример. Решите неравенство |2х-5|<3 Используя основные эквивалентности, получаем:

2х - 5 < 3 2х - 5 > -3

2х<82х>2

х<8х>1

• х е [1;4]

3.3. Показательные неравенства

af(x) < ag(x) <=> f i x ) < gix) при a> 1 a/0) < flsW ^ f i x ) > gix) при 0 < a < 1

af(x) <bs(x) <=> /(x)<g(x)-logab при a> 1 a/(*) < ijgM ^ f i x)> gix) • loga b при 0 < a < 1

3.4. Логарифмические неравенства

Элементарные эквивалентности

а>1 0 < a < l

1. loga f (x) >£><=> f {x) > ab2. loga f (x) <b <=> 0 < f (x) й ab

\f{x) < e(x) 3.1oga/(x )< lo g (lg W « | / w > 0

4. b < loga f {x) S c o a ‘ < f (x) < ac

1. log„/(jc) >/><=> 0 < f i x) < ah

2. loga/ 0 ) < b <» f (x) > abf f ( x ) > g(x)

3. log „ f i x ) < log ag(x)<=> ^ o

4. b й log af(x) f(x) < a*

49

При решении показательных и логарифмических неравенств

особое внимание следует обращать на основание этих функций, так

как оно определяет характер монотонности функций: если основание

больше 1, то функция возрастает на всей области определения, если

основание положительно и меньше 1, то функция убывает на всей

области определения. А от характера монотонности функций зависит решение неравенств.

Пример 1

Решить неравенство:Iog0,8(0 ,2 5 -O ,lx )> -1

logo,8 (0,25 - 0,lac) > log08 0,8-1

logo,g (°>25 - °»Ьс) > logo,8 !>250,8 е (0;1) =>[0,25-0,1* >1,25 { => ж е (—10; 2,5) |0 ,25 -0 ,1х> 0 v 7

Пример 2

Решить неравенство:Л \2 -5*

’ - 1<0v3^iV _Sx f i^°

1 ( 2 - € (0;1) = > 2 -5 х > 0 = > х € I-о о ;-

50

1. Зх2<8; 24. (х-1)2(х + 3)б(х-5)9 >0;2. (7х + 3)2 >0; х2(х + 3)53. (6х - 5)2 < - 7 ; ‘ ( х - 1 ) ( х - 2 ) 44. 2х2 +7х + 3 < 0; 26. log6(x + 2)>log6(-x);5. - х 2 + 2х + 8<0; 27. log2(x -2 )^ log2(3x);6. х2 + х > 0; 28. log7(x2 + 7х-8)< 0 ;I f Xt 5 j 4X^ 3̂ ° ; 29- log0,2(3x-l)>log0,2(9 -x 2)8. (х -2 д 4 -х )> 0 ;

9 . !Lz2l <0; 30. 1п(-8х) < 1п(х2) ;Хх + \ 31. log0>1(x2-5x + l)>0;

I®- т Z >®’ . (6х + 4Л


2 - х 32. юё2р ^ <1;2х U - 1 0 ;

3 - х < ’ 33. logi (log5x)>0;1 3

12. - >2; 34. log7log,log6x> 0; х 4

2х 35. log3log2log, х<0;13. — £1; 2

V 3 J ч 36. log l(8 -x 2) >0;14. x(x-2Vx + 2)> 0; 615 (х2 _ 3)(х2+ з)< 0 . 37. 4х -6-2* + 8 <0;!* „ V x,V iV ,W „ 38. 9х-10-3х + 9<0;16. (х + 4Хх + 1Хх-1Х^~2)>0

39. 28 -7-14 >8-7 ;

17. -^-—^ < 0 ;Х+ 1 2,о х(х - 4) 41 -------< -------- ;

(х + 8Хх-б) ’ 5* ~ 5 5* + 152 42. log3x-31og3x + 2 < 0;

19' " 7 7 7 й 0 '’ « • 1о8з(91- “ -з '+ з)< 1; , n

l “ +5 3 45 log (8~х) < q.Л X -5х + 6 х -3

х2 + 2х - 8 ~ ’ 46. Зх+3 - х3 • 3х > 108 - 4х3;22. (х + 4)5(х-1)4(х -2 )7 <0; 47. xlg7 +7lgx <98;23. x(x + l)7(x + 3)3 <0; 48. 5‘°s°-2* + xlog°-2X >5,2;

51

49.50.51.

52. sinx>

53. sinx>

cosx> 0; cos 2 x <0; tg3x<0;

12 ’I5 ’л /254. cosx>2

« 355. co sx > -:8

56. cosx>l;57. ctg2x>3;58. /g x < 8 ;

59. |3x-7 |>2;60. |3x-8|<4;61. |2 — 3xj < x +1;62. jl + 2x |> 3-x ;63. |3-2x)<4x + 5;64. |7 + 2x| > 5 - 4x;65. |x2-2 x -3 | <3x-3;

66. x2-x -2 < (5 x -3 |;67. |x2 + 6x| < 0;68. x2 - |x |-2 > 0 ;69. x + 3|>|x|;70. x2- x + l|>|x3-3x + 4|71. 2x -5 |< x ;72. |x + l |> -x ;

73.75.75.

x + 2j > x + 3; x2 + x - 6 < x :-3x| < 0;

76. |2x — 9| < —1;77. V--x <2;78. V 3-2x>5;79. л/^х >4;80. л/2 x -4 < -2 ;81. л/х +л/х — 1 ^ 0;■82. л/х + 5 >л/х-5;83. л/2х>х;84. л /-х> х ;85. (x-3)Vx>0;86. (x-5)V x-2 > 0;87. (х + \y j9 - х < 0;88. л/х <2х-1;89. л /х -Т < 3-х ;90. л/х + 5 < х-1 ;91. л/2х-1 < х -2 ;92. л/Зх-х2 < 4 - х;93. л/х2 + 2х-8 > х -1 ;94. л/х2 -1 > х;95. л/х2 -7 х > х -4 ;96. л/х-2 > х -3 ;97. л/—х2 -Зх + 4 >х + 1;98. (х + 4)\/х2 + х -6 >0.

52

4. Уравнения и неравенства с параметром

К задачам с параметрами можно отнести, например, поиск решений линейных и квадратичных уравнения в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений

параметров.Деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня

четной степени из подобных выражений требуют предварительных

исследований. Как правило, результат этих исследование влияет и на

решение и на ответ.

Пример 1 Сравнить: -а и За

Решение:если а < 0, то -а > За; если а = 0, то -а = За; если а > 0, то -а < За.

Пример 2 Решить уравнение: ах = 1

Решение: если а = 0, то решений нет;

если а Ф 0, то х = —.а

Пример 3 Решить уравнение: (а2-1)х = а +1

Решение:если а = 1, тогда уравнение принимает вид Ох = 2 и не имеет решений;

53

1если а Ф ± 1, тогда х = —— .о -1

Пример 4

Решить неравенство: (а - 1)%/х < О

Решение:

Очевидно, что ответ зависит от знака двучлена (а - 1). При а< 1

данному неравенству удовлетворяет любое значение х из области определения, то есть х>0. При а > 1 левая часть неравенства неотрицательна, поэтому в рассматриваемом случае х = 0 -

единственное решение.

Пример 5

При каких а уравнение ах2 - х + 3 = 0 имеет единственное решение?

Решение:

Если а = 0, то решение единственное. Если а^О, то это

квадратное уравнение. Его дискриминант 1 - 12а принимает значение

1равное нулю при а = — .

Ответ: а = 0 или а = — .12

если а = -1, тогда Ох = 0 и тогда х - любое;

54

1. При каких значениях п каждое из следующих уравнений не имеет действительных корней?

а) х2 - 8х + 2п = О

б) 4х2 + Зпх + 36 = О

4 ,в) —пх - х + 5п = О5

г) (п- 1)х2 + пх + п + 1 = 0

2. При каких значениях а уравнение (а - 1)х2 - 2(а +1)х + а - 2 = О имеет один корень?

3. При каких значениях т только один из корней уравнения равен нулю?

а) 2х2 - тх + 2 т 2 - Зш = О

б) х2 + (т + 3)х + т - 3 = О

4. При каких значениях к каждое из следующих уравнений имеет два различных действительных корня?

а) х2 + (1 - к)х + 1 = 0б) кх2 + 2(к + 1)х + к + 3 = О

в) (kV 41)х2 + 2(к - 2)х + к = О

5. Найти все значения а, при которых корни xi, х2 уравнения х2 + (а + 3)х + а2 + 1 = 0 удовлетворяют условию xj = Зх2.

6. При каких значениях а, корни xi, х2 уравнениях2 + (2а - 1)х + а2 + 2 = 0 удовлетворяют условию хх = 2х2

7. При каких значениях а, неравенство ах2 + 2ах + 0,5 > О выполняется при всех действительных х?


55

8. Найти все значения а, при которых неравенство(2а - 6)х2 + (2а + 4)х + 13а - 34 > (^выполняется при всех действительных дс?

9. Найти значения а, при которых уравнения имеют общий корень:

а) х2 - (а + 3)х + 2а + 2 = О, х2 + (а + 3)х + 4а - 4 = 0.б) х2 - (а + 5)х + а + 4 = 0, х2 + (а - 2)х + За - 15 = 0.в) х2 + (а - 2)х - 2 = 0, х2 + (5 - а)х + 3 = 0.г) х2 + (а - 10)х - 5 = 0, х2 + (3 - а)х - 10 = 0.д)2х2 + 4 х -2 + а = 0, х2-12х + 7 - а = 0.е) х2 + 2х + 5 - а = 0, 5х2 - х + 4 - а = 0.

10. При каких значениях а уравнение х2 - (4а - 6)|х| + За2 - 6а = 0 имеет четыре различных решения?

11. При каких значениях а уравнение |х + 3|(х - 3) + а = 0 имеет три решения?

12. Найти все значения Ъ, при которых уравнение |х — 1| — |х — 2| = х + b имеет два решения.

13. Найти все значения Ъ, при которых уравнение|х - 1| — |х + 2| = -х + Ь имеет не менее двух решений.

14. Найти все значения к, при которых уравнение имеет единственное решение:

а) |х| + |х — 1| = к(х + 3) — 1-.б) |х + 1| + |х - 1| = к(х - 3) + 4.

56

МАТЕМАТИКА (задания части А и В) · 2014-11-02 ·...

Documents