파트5 적분과미분neslab.daegu.ac.kr/lec/numanalysis-doc/ppt/chap17.pdf · 2017-11-30 · 17.5...

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파트 5 적분과 미분

5.1 소개

5.2 파트의 구성

Applied Numerical Methods 17장 수치적분 공식

5.1 소개 (1/2)

미적분미분 : 독립변수에 대한 종속변수의 변화율

– y(t)= 임의의 물체의 시간에 따른 위치, v(t)= 속도

– 함수의 구배

적분 : 미분의 역, 어떤 구간 내에서 시간/공간에 따라변화하는 정보를 합하여 전체 결과를 구함.

– 0에서 t까지의 구간에서 곡선 v(t) 아래의 면적

( ) ( )dv t y tdt

=

0( ) ( )

ty t v t dt= ò

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5.1 소개 (2/2)

미분과 적분의 비교

미분 적분


5.2 구성

17장 : 수치적분공식

18장 : 함수의 수치적분

19장 : 수치미분

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17장 수치적분 공식

17.1 소개 및 배경17.2 Newton-Cotes 공식17.3 사다리꼴 공식17.4 Simpson 공식17.5 고차 Newton-Cotes 공식17.6 부등간격의 적분17.7 개구간법17.8 다중적분


17장 수치적분 공식

자유 낙하하는 번지 점프하는 사람의 속도는 다음과 같다.

어떤 시간 t동안에 낙하한 거리 z를 구하는 적분식

적분을 해석적으로 구할 수 없는 경우에는 어떻게 처리하나?

속도가 이산 값으로 주어질 경우에는 어떻게 해를 구하나?

÷÷ø

öççè

æ= t

mgc

cgmtv d

dtanh)(

úúû

ù

êêë

é

÷÷ø

öççè

æ=

÷÷ø

öççè

æ=

=

ò

ò

tmgc

cm

dttmgc

cgm

dttvtz

d

d

t d

d

t

coshln

tanh

)()(

0

0

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17.1 소개 및 배경 (1/4)

적분이란 무엇인가?

® 독립변수 x 에 대한 함수 f(x)의구간 x = a에서 x = b까지의 적분

®x = a 와 b 사이의 범위에서곡선 f(x) 아래의 면적

구적법= 수치적으로 정적분을 구하는 방법

도형과 같은 면적을 가지는 사각형을 구축한다는 것을 의미

ò=b

adxxfI )(


17.1 소개 및 배경 (2/4)

공학과 과학에서의 적분

(a) 측량기사는 굽이쳐 흐르는 강과 두 길로 둘러싸인 들판의 면적을 알고자 함(b) 수문학자는 강의 단면적에 관심이 있음(c) 구조공학자는 고층건물 측면에 가해지는 풍력을 구하고자 함

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17.1 소개 및 배경 (3/4)

평균

평균 = 또는

- 불규칙한 형상을 가지는 물체의 무게중심을 계산

- 전기공학에서 평균제곱근 전류를 결정

n

yn

iiå

=1

ab

dxxfb

a

-ò )(


17.1 소개 및 배경 (4/4)

물리변수의 총합 또는 총량을 계산- 반응기 내부의 화학물질의 전체 질량:

- 반응기 내부에서 농도가 위치 별로 다르면국소농도 ci와 해당 부피 DVi로 총합 계산

또는 :체적 적분 (연속함수 c)

총 열에너지 전달률 :면적 적분

수치 적분� 해석적인 방법으로 적분이 어렵거나 불가능할 경우

‚ 이산 점에서의 측정값만으로 적분을 구하고자 할 경우

å=

D=n

iii Vc

1질량 òòò= dxdydzzyxc ),,(질량

òòò=V

dVVc )(질량

òò=A

dAflux 열전달량

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17.2 Newton-Cotes 공식 (1/2)

가장 널리 사용되는 수치적분 방법

복잡한 함수나 도표화된 데이터를 적분하기 쉬운다항식으로 대체함

여기서òò @=b

a nb

adxxfdxxfI )()( n

nn

nn xaxaxaaxf ++++= --

1110)( L

적분의 근사: (a) 직선 아래 면적, (b)포물선 아래 면적


17.2 Newton-Cotes 공식 (2/2)

데이터를 동일 간격의 소구간으로 나누어일련의 다항식으로 근사값 계산

Newton-Cotes 공식에는 폐구간법과 개구간법이 있음

세 직선 아래의 면적으로 근사 (a) 폐구간 적분 공식과 (b) 개구간 적분 공식

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17.3 사다리꼴 공식 (1/6)

Newton-Cotes 폐구간 적분공식의 첫 번째 방법

1차 다항식

® 사다리꼴 공식

2)()()(

)()()()(

bfafab

dxaxabafbfafI

b

a

+-=

úûù

êëé -

--

+= ò

높이평균높이평균폭 )( ´-=´= abI


17.3 사다리꼴 공식 (2/6)

사다리꼴 공식의 오차

한 개의 구간에 대해 공식을 적용할 때 발생하는

국소절단오차

- 선형 함수에 대해서는 정해 제공

¬ f''(x) = 0

- 2차 이상의 함수인 경우에는

어느 정도의 오차가 발생

3))((121 abξfEt -¢¢-=

함수 f(x)의 x = 0에서 0.8까지의적분의 근사와 발생 오차

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예제 17.1 (1/2)

Q. 주어진 5차 함수의 적분을 a = 0에서 b = 0.8까지의

구간에 대해 사다리꼴 공식을 사용하여 수치적으로 구하라. 참고로 정해는 1.640533이다.

풀이)

® Et = 1.640533 – 0.1728 = 1.467733

® et = 89.5% (상당한 오차 !)

1728.02

232.02.0)08.0( =+

-=I

2 3 4 5( ) 0.2 2.5 200 675 900 400f x x x x x x= + - + - +


예제 17.1 (2/2)

근사적인 오차 추정값:

어떻게 하면 사다리꼴 공식의 정확도를 향상시킬 수 있을까?

32 000,8800,10050,4400)( xxxxf +-+-=¢¢

6008.0

)000,8800,10050,4400()(

8.0

032

-=-

+-+-=¢¢ ò dxxxx

xf

56.2)8.0)(60(121 3 =--=aE

note : Ea는 참 오차와 같은 차수와 부호를 가지지만,

차이가 있다. 이는 2차도함수의 평균≠f"(ξ )이기

때문이며, 따라서 Ea는 근사 오차임.

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17.3 사다리꼴 공식 (3/6)

합성 사다리꼴 공식a에서 b까지의 적분 구간을 다수의 소구간으로 나누고, 사다리꼴 공식을 각 소구간에 적용

® 합성 (또는 다구간) 적분공식


17.3 사다리꼴 공식 (4/6)

(n + 1)개의 등간격 기본점 (x0, x1, x2, ..., xn)

® n개의 등간격 구간 폭;

만약 a = x0와 b = xn로 놓으면,

사다리꼴 공식을 각각 적용하면,

또는

nabh -

=

òòò-

+++= n

n

x

x

x

x

x

xdxxfdxxfdxxfI

1

2

1

1

0)()()( L

2)()(

2)()(

2)()( 12110 nn xfxf

hxfxf

hxfxf

hI+

+++

++

= -L

úû

ùêë

é++= å

-

=

)()(2)(2

1

10 n

n

ii xfxfxfhI

44444 344444 21321

height Average

1

10

Width2

)()(2)()(

n

xfxfxfabI

n

n

ii ++

-=å-

=

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17.3 사다리꼴 공식 (5/6)

여기서 평균 높이는 함수값의 가중 평균값을 나타냄

합성 사다리꼴 공식의 오차(각 구간의 오차의 합)

또는 ¬ 에서

å=

¢¢--=

n

iit ξf

nabE

13

3

)(12

)(

fnabEa ¢¢-

-= 2

3

12)(

n

ξff

n

iiå

=

¢¢@¢¢ 1

)(

fnξfn

ii ¢¢@¢¢å

=1)(


예제 17.2 (1/2)

Q. 두 개의 구간에 대한 사다리꼴 공식을 이용하여a = 0에서 b = 0.8까지의 범위에서 함수의적분값을 구하라. 참고로 정해는 1.640533.

풀이)

n = 2 (h = 0.4)에 대해서

232.0)8.0( 456.2)4.0( 2.0)0( === fff

0688.14

232.0)456.2(22.08.0 =++

=I

%9.34 57173.00688.1640533.1 ==-= tt εE

64.0)60()2(12

8.02

2=--=aE

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예제 17.2 (2/2)

<함수 f(x) = 0.2 + 25x – 200x2 + 675x3 – 900x4를x = 0에서 0.8까지 적분한 합성 사다리꼴 공식의 결과>

n h I et (%)23456789

10

0.40.2667

0.20.16

0.13330.1143

0.10.0889

0.08

1.06881.36951.48481.53991.57031.58871.60081.60911.6150

34.916.59.56.14.33.22.41.91.6


17.4 Simpson 공식 (1/6)

조밀한 구간에 대한 사다리꼴 공식보다 정확한적분값을 구하는 방법

데이터 점들을 연결하는 고차 다항식을 사용

(a) Simpson 1/3 공식: 세 점을 연결하는 포물선 아래에 있는 면적

(b) Simpson 3/8 공식: 네 점을 연결하는 3차 방정식 아래에 있는 면적

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Simpson 1/3 공식2차 다항식을 사용하는 경우

또는 또는

여기서 h = (b – a)/2, a = x0, b = x2, 그리고 x1 = (a + b)/2

절단오차

또는 ¬ h = (b – a)/2

-기대했던 것(3차 도함수에 비례)보다 더 정확한 4차 도함수에 비례

® 3차 다항식에 대해서도 정확한 결과를 산출

dxxfxxxxxxxx

xfxxxxxxxx

xfxxxxxxxx

Ix

x úû

ù----

+êë

é----

+----

= ò )())((

))(()(

))(())((

)())((

))((2

1202

101

2101

200

2010

212

0

)]()(4)([3 210 xfxfxfhI ++=

6)()(4)()( 210 xfxfxfabI ++

-=

)(901 )4(5 ξfhEt -= )(

2880)( )4(

5

ξfabEt-

-=


예제 17.3 (1/2)

Q. Simpson 1/3 공식을 이용하여 구간 a = 0와

b = 0.8 사이에서 다음 식을 적분하라. 참고로 정해는 1.640533이다.

5432 400900675200252.0)( xxxxxxf +-+-+=

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예제 17.3 (2/2)

풀이)

n = 2 (h = 0.4)에 대해서

® 단일 구간에 적용한 사다리꼴 공식의 결과보다 약 5배 정도 더 정확함

232.0)8.0( 456.2)4.0( 2.0)0( === fff

367467.16

232.0)456.2(42.08.0 =++

=I

%6.16 2730667.0367467.1640533.1 ==-= tt εE

2730667.0)2400(2880

8.0 5

=--=aE



합성 Simpson 1/3 공식주어진 구간을 등간격의 여러 구간으로 나눔으로써개선된 적분 결과를 얻는다.

각각의 적분항에 Simpson 1/3 공식을 대입하면

또는

òòò-

+++= n

n

x

x

x

x

x

xdxxfdxxfdxxfI

2

4

2

2

0)()()( L

6)()(4)(

2 6

)()(4)(2

6)()(4)(

2 12432210 nnn xfxfxfh

xfxfxfh

xfxfxfhI

++++

+++

++= --L

n

xfxfxfxfabI

n

n

jj

n

ii

3

)()(2)(4)()(

2

6,4,2

1

5,3,10 +++

-=åå-

=

-

=

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이 방법을 적용하기 위해서는 "짝수 개"의 구간을 사용

추정오차: )4(4

5

180)( fnabEa

--=

합성 Simpson 1/3 공식에사용되는 상대적 가중치(함수 값 위에 주어진 수치)


예제 17.4 (합성 Simpson 1/3 공식) (1/3)

Q. 합성 Simpson 1/3 공식을 이용하여

구간 a = 0과 b = 0.8 사이에서 n = 4 일 때

다음 식을 적분하라. 참고로 정해는 1.640533이다.

5432 400900675200252.0)( xxxxxxf +-+-+=

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예제 17.4 (합성 Simpson 1/3 공식) (2/3)

풀이)

n = 4 (h = 0.2)에 대해서

추정오차:

232.0)8.0(464.3)6.0( 456.2)4.0(288.1)2.0( 2.0)0(

=====

fffff

623467.112

232.0)456.2(2)464.3288.1(42.08.0 =++++

=I

%04.1 017067.0623467.1640533.1 ==-= tt εE

017067.0)2400()4(180

8.04

5

=--=aE


예제 17.4 (합성 Simpson 1/3 공식) (3/3)

등간격으로 데이터가 분포되어 있는 경우에만 사용

짝수 개의 구간과 홀수 개의 점이 있는 경우에만 사용

홀수 개의 구간과 짝수 개의 점이 있는 경우

® Simpson 3/8 공식

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Simpson 3/8 공식

3차 Newton-Cotes 폐구간 적분 공식

3차 Lagrange 다항식을 이용하여 유도

또는

여기서 h = (b – a)/3

)]()(3)(3)([83

3210 xfxfxfxfhI +++=

8)()(3)(3)(

)( 3210 xfxfxfxfabI

+++-=



오차: 또는

- 네 개의 데이터 점으로 3차의 정확도를 얻음

- Simpson 3/8 공식이 분모가 더 커서 Simpson 1/3 공식보다

조금 더 정확함

- 세 개의 데이터 점으로 3차의 정확도를 얻는 Simpson 1/3 공식이

더 선호됨

구간의 개수가 홀수인 경우에도 적용이 가능

)(803 )4(5 ξfhEt -= )(

6480)( )4(

5

ξfabEt-

-=

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예제 17.5 (합성 Simpson 3/8 공식) (1/3)

Q.

(a)Simpson 3/8 공식을 사용하여 구간 a = 0에서b = 0.8까지 아래의 식을 적분하라.

(b)Simpson 3/8 공식과 Simpson 1/3 공식을 함께사용하여 다섯 개의 구간(구간 a = 0에서 b = 0.8까지)에대해 아래의 식을 적분하라.

5432 400900675200252.0)( xxxxxxf +-+-+=


예제 17.5 (합성 Simpson 3/8 공식) (2/3)

풀이)

(a) n = 3 (h = 0.2667)에 대해서

(b) h = 0.16에 대해서

232.0)8.0( 487177.3)5333.0(432724.1)2667.0( 2.0)0(

====

ffff

51970.18

232.0)487177.3432724.1(32.08.0 =+++

=I

232.0)80.0( 181929.3)64.0(186015.3)48.0( 743393.1)32.0(296919.1)16.0( 2.0)0(

======

ffffff

Simpson 1/3 공식과 3/8 공식을 함께 적용하여

적분을 구하는 예(홀수 개의 구간인 경우)

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예제 17.5 (합성 Simpson 3/8 공식) (3/3)

Simpson 1/3 공식을 처음 두 개의 구간에 적용하면

Simpson 3/8 공식을 나머지 세 개의 구간에 적용하면

두 결과를 합하여 전체 적분값을 다음과 같이 구한다.

3803237.06

743393.1)296919.1(42.032.0 =++

=I

264754.18

232.0)181929.3186015.3(3743393.148.0 =+++

=I

645077.1264754.13803237.0 =+=I


17.5 고차 Newton-Cotes 공식 (1/2)

<Newton-Cotes 폐구간 적분 공식: 간격의 크기는 h = (b – a)/n임>

2)()(

)( 10 xfxfab

+- ( ) )(12/1 3 x¢¢- fh

6)()(4)(

)( 210 xfxfxfab

++- ( ) )(90/1 )4(5 x- fh

8)()(3)(3)(

)( 3210 xfxfxfxfab

+++- ( ) )(80/3 )4(5 x- fh

90)(7)(32)(12)(32)(7

)( 43210 xfxfxfxfxfab ++++- ( ) )(945/8 )6(7 x- fh

288)(19)(75)(50)(50)(75)(19)( 543210 xfxfxfxfxfxfab +++++

- ( ) )(096,12/275 )6(7 x- fh

구간수(n)

점의개수

이름 공 식 절단오차

1 2 사다리꼴공식

2 3 Simpson 1/3 공식

3 4 Simpson 3/8 공식

4 5 Boole 공식

5 6

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17.5 고차 Newton-Cotes 공식 (2/2)

짝수 구간-홀수 점 공식을 통상적으로 선호한다.

고차 (³ 네 점) 공식은 실제 공학과 과학 문제에서

잘 사용되지 않는다.

Simpson 공식이면 대부분의 경우에 만족할 만한

결과를 얻는다.

실험 결과와 같이 부등간격으로 분포된 데이터에

대한 수치적분을 어떻게 수행하나?


17.6 부등간격의 적분 (1/4)

사다리꼴 공식을 각각의 구간에 적용하고

그 결과를 합한다.

여기서 hi = 구간 i 의 폭

- 합성 사다리꼴 공식에서는 h가 일정하였다.

2)()(

2)()(

2)()( 121

210

1nn

nxfxf

hxfxfhxfxf

hI+

+++

++

= -L

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예제 17.6 (부등간격에 대한 사다리꼴 공식 )

Q. 주어진 데이터에 대한 적분값을 구하라. 참고로 정해는 1.640533이다.

풀이)

® et = 2.8%

x f(x) x f(x)0.000.120.220.320.360.40

0.2000001.3097291.3052411.7433932.0749032.456000

0.440.540.640.700.80

2.8429853.5072973.1819292.3630000.232000

594801.12

232.0363.210.02

305241.1309729.110.02309729.12.012.0 =

+++

++

+= LI


17.7 개구간법

<Newton-Cotes 개구간 적분 공식: 간격의 크기는 h = (b – a)/n임>

짝수 구간-홀수 점 공식이 보통 선호됨

정적분의 계산에는 잘 사용 않으며 이상적분을 수행하는데 유용함

)()( 1xfab - ( ) )(3/1 3 x¢¢fh

2)()()( 21 xfxfab +

- ( ) )(4/3 3 x¢¢fh

3)(2)(1)(2)( 321 xfxfxfab +-

- ( ) )(45/14 )4(5 xfh

24)(11)()()(11)( 4321 xfxfxfxfab +++

- ( ) )(144/95 )4(5 xfh

20)(11)(14)(26)(14)(11)( 04321 xfxfxfxfxfab +-+-

- ( ) )(140/41 )6(7 xfh

구간의수(n)

점의수

이름 공식 절단오차

2 1 중점법

3 2

4 3

5 4

6 5

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17.8 다중적분

2차원 함수의 평균값

이중 적분:

- 적분의 순서가 중요하지 않다.

))((

),(

abcd

dydxyxff

d

c

b

a

--

÷øöç

èæ

=ò ò

ò òò ò ÷øöç

èæ=÷

øöç

èæ b

a

d

c

d

c

b

adxdyyxfdydxyxf ),(),(

함수 표면 아래의 면적을 구하는 이중 적분


예제 17.8 (이중적분의 사용) (1/2)

Q. 직사각형 가열판의 온도가 다음의 함수로 표현될 수 있을 때, 판의 길이(x 차원)가 8 m이고 폭(y 차원)이 6 m인 경우에평균온도를 계산하라.

풀이)

먼저 각각의 y의 값에 대해 x 차원을 따라 사다리꼴 공식을 수행

y 차원을 따라 적분

최종결과 2688과 평균온도 2688/(6x8)=56

단일구간 Simpson 1/3 공식을 먼저 각각의 y의 값에 대해

x 차원을 따라 수행 y 차원을 따라 적분

정확한 값인 2816과 평균온도가 58.66667

72222),( 22 +--+= yxxxyyxT

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예제 17.8 (이중적분의 사용) (2/2)

2구간 사다리꼴 공식을 이용한 이중적분의 수치 계산

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