Čvrstoća i pouzdanost zrakoplovnih konstrukcija Čvrstoća...

Čvrstoća i pouzdanost zrakoplovnih konstrukcija Čvrstoća broda

Proračun i utjecaj smičnih naprezanja uslijed savijanja

Sadržaj

Uvod

Proračun normalnih naprezanja kod savijanja

Proračun smičnih naprezanja kod savijanja

Proračun smičnih naprezanja kod savijanja za složene presjeke

metodom konačnih elemenata

Proračun položaja centra smika (torzije)

Četvrtak 19. ožujak 2010.Čvrstoća broda / Čvrstoća i pouzdanost zrakoplovnih konstrukcija 2


Korekcija normalnih naprezanja u presjeku uslijed utjecaja smičnih

naprezanja (Lockwood-Taylor)

Ponavljanje

Opterećenje krila zrakoplova


Progib (Sagg) / Pregib (Hogg)


Opterećenje broda




Normalna naprezanja vitkih štapova računaju se pod pretpostavkom

čistog savijanja tj. zanemaruje se promjena momenta savijanja

odnosno postojanje poprečne sile i smičnih naprezanjaodnosno postojanje poprečne sile i smičnih naprezanja

Bernulijeva hipoteza:

Kod savijanja pojedini presjeci se ne deformiraju nego se samo

zakreću,

Iz toga proizlazi linearna distribucija deformacija

U linearnom elastičnom području i linearna distribucija naprezanja


Budući da se donja vlakna nosaća rastežu a gornja tlače, mora

postojati jedan sloj u kojem vlakna ne mjenjaju duljinu

To je tzv. neutralni sloj koji se na nacrtu projicira na neutralnu liniju



;

R

z

Rd

RddzR

; E

R

zE


Iz uvijeta ravnoteže:

;0xF xdA 0

;0 MA

A

x MzdA

Iz prvog uvijeta dobije se:

A

zdAR

E;0

A

zdAR

E;0

A

zdA ;0

Neutralna linija

prolazi kroz težište


A

A

MdAzR

E;2

Iz drugog uvijeta dobije se:

A

MdAzR

E;2 MI

R

Ey

Moment inercije

oko osi y


Budući da je

M;

zR

E x

Maksimalna naprezanja nastaju u krajnjim vlaknima kad je z= eg ili z= ed,

pa ako označimo:

MIR

Ey ;z

I

M

yx


;gg

y We

I ;d

d

y We

I

Moment otpora

;g

xg W

M ;

dxd W

M

Distribucija normalnih naprezanja kod savijanja



Ravnoteža promatranog sloja:

gege

0 dTNdNN


;tdzddNNg

z

;tdzNg

z

tdxtdztdzdgg e

z

e

z

tdxdT


Odnosno ako uvrstimo σ:

MdMM gg ee

Iz gornje jednadžbe se dobiva da je smično naprezanje:

tdxztdzI

Mtdzz

I

dMM

z yz y

ge

tzdztIdx

dM 1 Qdx

dM

ge

y tzdzS


zytIdx dx z

tI

QS

y

y

Distribucija smičnih naprezanja po simetričnom presjeku


Proračun smičnih naprezanja kod savijanja za složene presjeke metodom konačnih elemenata

Polje pomaka definirano standardnom teorijom grede ne omogućava

direktan proračun polja smičnih naprezanja iz definicijskih jednadžbi

teorije elastičnostiteorije elastičnosti.

Uvođenjem dodatnog korekcionog polja pomaka (

), moguće je totalnu potencijalnu energiju, prema proširenoj

teoriji grede, izraziti u ovisnosti o osnovnim parametrima primarnog

polja (pomaci i kutovi zaokreta) te parametrima dodatnog polja.

Minimizacija totalne potencijalne energije sustava omogućuje


Minimizacija totalne potencijalne energije sustava omogućuje

određivanje svih nepoznatih parametara



u2(x,y,z) - dodatno polje pomaka u aksijalnom smjeru

pX i pX+ΔX - opterećenja jednaka naprezanjima uzrokovanim momentima

savijanja M(x) i M(x+Δx)


Dodatno polje pomaka u aksijalnom smjeru

ie

uss1)( TN

j

i

eee

xx ullsuzyxu 1)(,, T

2 0uN

Relativne deformacije ( se svodi na xs):

uu 11

funkcija oblika čvorni pomaci


Naprezanja ( se svodi na xs):

j

i

eee

xs u

u

lls

u 11TuBε

eexs

exs GRSG uBσ T


Opaska:

ee l

s

l

s1TN

ee

TT

lls

11NB


funkcija oblika prva derivacija funkcije oblika


Opterećenje (uz zanemarenje upliva pY , pZ na duljini x) ako su

osi x i y glavne osi inercije xxp :napomena

xRNEMEI

szM

EI

sy

xsF ee

S

yy

c

S

zz

c

ee

22

)()()(

xpxx

ppsxpsxxpsF xx

xxSxSx

,12 ) ,() ,()(


; Y

cSY EI

szF

x

MQ

xRNEQFQFsF eeZSYYSZ )(

z

cSZ EI

syF


yc , zc koordinate točke mjerene u odnosu na koordinatni

sustav s ishodištem u sjecištu neutralnih osi presjeka:

eicc sysy sin)(

eicc szsz cos)(

e kut nagiba elementa prema osi Z :

iy

icz

y

s

i

e

cz


yic , zic koordinate čvora i elementa e.

),( Zse

z

icyj

cy


Totalna potencijalna energija:Totalna potencijalna energija:

V

WVWUΠ d2

1 Tεσ



Rad unutrašnjih sila na elementu:

eV

eeee VGRSU d)(2

1 TTT uBuB

eV

eeee VGRSU d2

1 TT uBBu


V

el

o

eeeeee sGRStxU d2

1 TT uBBu


Rad vanjskih sila na elementu :

eS

e SsusFW d)()(

el

eTeee dssFtW )( Nu


dssFtW0

)( Nu

eeeW Fu T


Totalna potencijalna energija za sustav od n elemenata:

n

e

eeeeen

e

e xΠΠ1

TT

1 2

1FuuKu

ueT = ui uj:ueT čvorni pomaci elementa e:


Ke matrica krutosti elementa e: el

eeee dsGRSt0

TBBK

Fe vektor opterećenja elementa e: el

eee dssFt0

)( NF


Ukoliko se sumiranje provede po svim elementima, a pomaci i opterećenja

se sortiraju u globalne vektore pomaka u i sila F

FuKuu TT

2

1xΠ


K globalna matrica krutosti sustava

F globalni vektor pomaka sustava

u globalni vektor pomaka sustava


Minimizacija totalne potencijalne energije daje onoliko jednadžbi koliko

ima nepoznatih pomaka ui:

FKuu 0Π



el

eeee dGRSt TBBK

Prema već danoj formuli matrica krutosti elementa je definirana kao:

Za predloženu linearnu raspodjelu pomaka po linijskom

elementu, matrica krutosti elementa:

eeee dsGRSt0

TBBK

ee l

s

l

s1TN

ee

TT

lls

11NB


11

11e

eeee

l

RStGK

ee ll lls


Opaska:

ell

ldsds

ee

TTT BBBBBB Jer B sadrži samo

konstantne članove

ee

e

e ll

l

l

11

1

1TBB

22

22

11

11

ee

ee

ll

ll

11

1112el

00konstantne članove


ll

11

111

11

1112

0

Tee

el

lllds

e

BB


Vektor opterećenja elementa e:

el

el

eee dssFt0

)( NF

ee l

s

l

s1TN

sz sy


;)( xRNEQFQFsF eeZSYYSZ

;

Y

cSY EI

szF

;

z

cSZ EI

syF

;sin)( eicc sysy ;cos)( e

icc szsz


i2 eee ll

Vektor opterećenja elementa za savijanje oko osi z:

3

sin

2

6

sin

2)()()()( 2 eee

ic

eeeic

Z

eey

eezy

ez

lly

lly

EI

RNtxQExxQx

FF

Vektor opterećenja elementa za savijanje oko osi y:


3

sin

2

6

sin

2)()()()( 2

2

eeeic

eeeic

Y

eez

eeyz

ey

llz

llz

EI

RNtxQExxQx

FF


Globalni problem za savijanje oko osi z i y, prema tome glasi:

zz FuK

yy FuK

K globalna matrica krutosti sustava


yzy xQ uu )( zyz xQ uu )(

yzy Q FF zyz Q FF

g

F globalni vektor pomaka sustava

u globalni vektor pomaka sustava


Očito je da je dovoljno provesti proračune:

FK zz FuK

yy FuK

s jediničnom vrijednošću poprečnih sila ( Q=1 ) , te potom za svaku vrijednost

poprečnih sila izvršiti proračun pomaka


yzy xQ uu )(

zyz xQ uu )(


Smična naprezanja, konstantna po elementu, računaju se prema izrazu:

zj

i

e

ye

ezy

ey

kexs u

u

l

QGQG

11T uB


yj

i

ez

eeyz

ez

kexs u

u

l

QGQG

11T uB


Stvarna distribucija smičnih naprezanja po dijelu konstrukcije je parabolična

Smična naprezanja, izračunata ovom metodom su konstantna po elementu,

Povećavanjem broja elemenata može se dobiti točnija distribucija naprezanja po dijelu konstrukcije (no to vodi povećanju stupnjeva slobode)


τ

Iz poznatih srednjih naprezanja po elementu moguće je točnije izračunati distribuciju s obzirom da znamo kako izgleda stvarna distribucija


Želi li se nešto točnije izračunati distribucija naprezanja duž elementa iz

poznatog srednjeg naprezanja , proračun se provodi prema izrazu:

)(sexs

kexs

)()( 11 ss ukeuu

kexsu

exs

xs

eeZ

ez

ey

y RStEI

RNsSEQs

)()(1

el

yekey ssl 0

11 d)(1


eey

ey

ez

z

Z

RStEI

RNsSEQs

)()(1

el

zekez ssl 0

11

0

d)(1

Sz , Sy statički momenti tromosti


Sz , Sy statički momenti se dobiju iz izraza:

1

0

111

0

dd)()( sl

yysyRStsRStsysS

s

e

ijic

eeees

cz

ss


1

0

111

0

dd)()( sl

zzszRStsRStszsS

s

e

ijic

eeees

cy


Sređivanjem izraza na prethodna dva slidea dobije se:

eel ee SQSQe

)()( ee

Z

ez

ey

l

eeZ

ez

ey

eykexsy

exs RStEI

RNsSEQs

RStEI

RNsSEQ

ls

e

)(d

)(1)(

0

ee

Y

ey

ez

l

eeY

ey

ez

ezkexsz

exs RStEI

RNsSEQs

RStEI

RNsSEQ

ls

e

)(d

)(1)(

0

eee lRNE 1 2


eicjcicycic

e

Z

eeez

eyy

exs l

syysyyy

l

EI

RNEGQs

22

1

3)(

2T uB

eicjcicycic

e

Y

eeey

ezz

exs l

szzszzz

l

EI

RNEGQs

22

1

3)(

2T uB

Distribucija smičnih naprezanja za silu koja ne djeluje kroz centar smika



Smična naprezanja drže u ravnoteži poprečnu silu koja djeluje u tom

presjeku (ona ih upravo i uzrokuje)

U ć it l č j č il i lt t ič ih il j kU općenitom slučaju poprečna sila i rezultanta smičnih sila u presjeku

daju spreg sila koji proizvodi torzioni moment pa dolazi do uvijanja

nosača

Samo ako poprečna sila prolazi kroz jednu određenu točku koja se zove

centar smika, postoji samo posmak presjeka, a ne i njegovo zakretanje

Položaj centra smika SC određuje se iz uvjeta jednakosti momenta


Položaj centra smika SC određuje se iz uvjeta jednakosti momenta

poprečne sile i smičnih naprezanja za bilo koju točku presjeka


ye

e

ec

el

exsz RSsdtYQ

e

d)(

0

CT

ecd

e

e

e

ec

el

exsy RSsdtZQ

e

d)(

0

CT

1 ;1 yz QQ

i

j sinz

icy

cosicy

sinsin


zy, z osi koordinatnog sustava

kroz neutralne osi poprečnog presjeka

icz

sinicz

eice

icec zyd sincos

sinsin icic zz

coscos icic yy


Centar smika (torzije) u odnosu na neutralne osi presjeka YCT, ZCT:

eeel

e RSdY

e

d)(

e

e

ec

el

Qexs

e

e

ec

eQ

exs

RSsdtZ

RSsdtY

e

y

z

d)(

d)(

0

1CT

0

1CT


eic

eic

ec yzd cossin

udaljenost elementa od sjecišta neutralnih osi (mjereno po normali na element) ecd

Korekcija normalnih naprezanja u presjeku uslijed utjecaja smičnih naprezanja

Kod izvoda formule za normalna naprezanja pretpostavljeno je da se

poprečni presjeci zakreću, ali da ostaju ravni

Ta pretpostavka je ostvarena samo ako nema poprečnih sila

Ako postoji poprečna sila onda se presjeci deformiraju i ne ostaju

ravni

Zbog toga ni normalna naprezanja nisu linearno raspodijeljena po

presjeku


p j




Ukoliko se želi uzeti u obzir aksijalna promjena polja pomaka u(x,s) te

opterećenje po duljini grede py(x), pz(x), model prikazan na

definicijskoj slici postaje nešto složenijidefinicijskoj slici postaje nešto složeniji.

Ukupna promjena polja naprezanja iznosi 10-15% nekorigiranih. Iz

tog razloga približno rješenje prema Lockwood-Tayloru daje za

praksu zadovoljavajuće rješenje.

Aproksimacija implicira 5 koraka:



Koraci:

1. Proračun nekorigiranih smičnih i normalnih naprezanja,

2 Proračun promjene polja pomaka iz relativnih deformacija na bazi2. Proračun promjene polja pomaka iz relativnih deformacija na bazi

koraka 1.,

3. Proračun korekcionih normalnih naprezanja σcx na bazi polja

pomaka iz koraka 2.,

4. Proračun korekcionog momenta savijanja Mc na bazi

neuravnoteženih normalnih naprezanja σcx iz koraka 3.,

5 Proračun ukupne korekcije normalnih naprezanja σcT implicira


5. Proračun ukupne korekcije normalnih naprezanja σ x implicira

sumiranje σcx i linearno promjenjivih naprezanja uzrokovanih

korekcionim momentom savijanja Mc : .

cMx

cx

cTx


1.Nekorigirana raspodjela:

M M;)( ic

e

Y

Yeiyx zE

EI

MRN ic

e

Z

Zeizy yE

EI

MRN )(

;T ez

ey

kexs G uB e

ye

zkexs G uB T


yic , zic koordinate čvora i,

i broj čvorova: i = 1 ... m,

e broj elemenata: e = 1 ...n.


2.Promjena polja pomaka po x za čvor i npr. kod savijanja presjeka

simetričnog oko osi y odnosno z:

lli suii

)( cyiyz

yz

y

uupdss

suxQ

xdss

u

xx

u

00

)()(

czizy

lz

y

li

z

uupdss

suxQ

xdss

u

xx

uii

00

)()(

Q Q


Integral predstavlja relativan pomak čvorova u odnosu na pomak čvora na

neutralnoj osi presjeka kod savijanja oko osi y odnosno z jediničnim

opterećenjem Qz = 1 i Qy = 1.

;yy px

Q

;zz px

Q

cu


3.Korekcija za normalna naprezanja σcx u čvoru i elementa e glasi:

ecy

iyz

ei

y

ei

ycx RNuupE

x

uE

Eε

i

i u


ecz

izy

e

z

ei

zcx RNuupE

x

uE

Eε


4.Korekcijski moment savijanja M c glasi:

l e

e

ecy

cx

cy dstszsM

0

)()(

e

le

czcx

cz

e

dstsysM0

)()(


e

jcx

icx

icx

cx l

ss )(


5.Ukupne korekcije normalnih naprezanja za čvor i glase:

c

yiyz

eecy

Y

icei

y

cTx uupEEM

EI

zRN

za savijanje oko osi y

za savijanje oko osi z


c

zizy

eecz

Z

icei

z

cTx uupEEM

EI

yRN

j j


6.Približna vrijednost normalnih naprezanja, za istovremeno savijanje oko

obje osi za čvor i:obje osi, za čvor i:

i

y

cTxic

e

Y

Yei

z

cTxic

e

Z

Zeix zE

EI

MRNyE

EI

MRN


Čvrstoća i pouzdanost zrakoplovnih konstrukcija Čvrstoća...

Documents