ÓÍÈÂÅÐÇÈÒÅÒ Ó ÈÑÒÎ×ÍÎÌ ÑÀÐÀjÅÂÓ ÄÐÓØÒÂÎ ... -...
TRANSCRIPT
ÓÍÈÂÅÐÇÈÒÅÒ Ó ÈÑÒÎ×ÍÎÌ ÑÀÐÀJÅÂÓ
ÄÐÓØÒÂÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÀÐÀ ÐÅÏÓÁËÈÊÅ ÑÐÏÑÊÅ
ÊÈÃÀ ÀÏÑÒÐÀÊÀÒÀ
Òðåáè»å, 12-13. îêòîáàð 2018.
UNIVERSITY OF EAST SARAJEVO
MATHEMATICAL SOCIETY OF THE REPUBLIC OF
SRPSKA
BOOK OF ABSTRACTS
Òðåáè»å, 12-13. October 2018.
CIP - Каталогизација у публикацијиНародна и универзитетска библиотекаРепублике Српске, Бања Лука
51(048)
КОНФЕРЕНЦИЈА посвећена др Миленку Пикули (2018 ; Требиње)Савремени математички проблеми : књига апстраката /
Конференција посвећена др Миленку Пикули, Требиње, 12. и 13. октобар 2018. године ; [главни уредник Душан Јокановић, Владимир Владичић]. - Пале : Филозофски факултет, 2018 ([б.м. : б.и.]). - 42 стр. ; 28 cm
На врху насл. стр.: Универзитет у Источном Сарајеву; Друштво математичара Републике Српске. - На спор. насл. стр.: Contemporary mathematical problems. - Радови на срп. и енгл. језику.
ISBN 978-99938-47-95-3
COBISS.RS ID 7691288
ÀËÃÅÁÐÀ È ÃÅÎÌÅÒÐÈJÀ
ALGEBRA AND GEOMETRY
A NOTE ON McCOY RINGSDusan Jokanovic
University of East Sarajevo, Production and Management Faculty Trebinje
In this paper R is a noncommutative ring with identity, and σ is automorphism ofthe ring. Recall that R is a right(left) McCoy ring if the equation f(x)g(x) = 0holds, where f(x), g(x) ∈ R[x]\0, implies that there exists a nonzero c ∈ R suchthat f(x)c = 0 (cf(x) = 0). We consider Hilbert property in ring, which meanspossibility of transferring property from ring to some of his polynomial or skewpolynomial extension. We deal with a several types of related rings such as reducedrings, Armendariz rings and rigid rings. We will also investigate weak McCoy skewpolynomial rings.
Bibliography
[1] A. Alhevaz, D. Kiani, McCoy Property of skew Laurent Polynomials and powerseries rings, Journal of Algebra and Its Applications, 13(2) (2014)(23 pages).
[2] A. Alhevaz, D. Kiani, On Zero-Divisors in Skew Inverse Laurent Series OverNonCommutative Rings, Journal of Algebra and Its Applications, 42(2),469-487.
[3] Lei, Z., Chen, J. L., Ying, Z. L., A question on McCoy rings. Bull. Austral.Math.Soc. 76(1), (2007)137-141.
[4] Z.Ying, J. Chen and Z. Lei, Extensions of McCoy rings. Northeast. Math. J. 24(1)(2008)85-94.
[5] R. Mohammadi, A. Moussavi and M. Zahiri, Weak McCoy Ore Extensions,International Mathematical Forum, 6(2), 2011, 75-86.
BROJNOST KVAZI STROGO REGULARNIHGRAFOVA SA PARAMETRIMA (n, k, 0; 2, 1), k ≤ 4(n, k, 0; 2, 1), k ≤ 4(n, k, 0; 2, 1), k ≤ 4
DIJAMETRA 2Hermina Alajbegovic
Univerzitet u Zenici, Masinski fakultet
Almir HuskanovicUniverzitet u Zenici, Masinski fakultet
Kvazi strogo regularan graf sa parametrima (n, k, a; c1, c2, ..., cp) je k - regularni grafsa n £vorova takav da bilo koja dva susjedna £vora imaju a zajedni£kih susjeda, a
bilo koja dva nesusjedna £vora imaju ci zajedni£kih susjeda za neko i , 1 ≤ i ≤ p.Za kvazi strogo regularan graf G kaºemo da je pravi ako za svako ci, 1 ≤ i ≤ ppostoje dva nesusjedna £vora koji imaju ci zajedni£kih susjeda, a broj p se zoverazred grafa G. Ova familija grafova je generalizacija strogo regularnih grafova i raz-daljinsko regularnih grafova. Prou£avanje kvazi strogo regularnih grafova je zapo£etozadnjih desetak godina i jo² nisu dovoljno istraºeni. Poznato je da je familija svihkvazi strogo regularnih grafova beskona£na, ali nije poznato da li za date parametre(n, k, a; c1, c2, ..., cp) postoji kona£no ili beskona£no kvazi strogo regularnih grafova.U nekim slu£ajevima ne znamo da li postoji i jedan graf sa datim parametrima.Goldberg F. je postavio hipotezu da za k ≥ 3 i za bilo koje p postoji kona£anbroj kvazi strogo regularnih grafova razreda p. Zbog sloºenosti problema te²ko jeizraziti brojnost kvazi regularnih grafova u zavisnosti od njegovih parametara. Uovom radu mi ¢emo pokazat da skup svih pravih kvazi strogo regularnih grafova saparametrima (n, k, 0; 2, 1), k ≤ 4 dijametra 2 ima samo jedan element. Takoer ¢emoizvesti formulu koja daje broj ivica u kvazi strogo regularnom grafu sa parametrima(n, k, a; c1, c2) , c1 > c2 ukoliko takav graf postoji.
Bibliography
[1] Bannai, E., Ito, T., The study of distance - regular graphs from the algebraic (i.e.character theoretical) viewpoint, Proc. of Symposia Pure Math., 47, 1987, 343 349
[2] Goldberg, F., On quasi-strongly regular graphs, Linear Multilinear Algebra, 54,2006, 437 451
[3] Goldberg, F. Laplacians of Graphs, Quasi - Strongly Regular Graphs and Com-pletely Positive Graphs, Master thesis, Israel Institute of Technology, 2004
[4] Hermina, A., Almir, H., tefko, M., Primoº, ., On the Extendability of Quasi-Strongly Regular Graphs with Diameter 2, Graphs and Combinatorics, 34, 2018,711-726
[5] Koolen, J. H. and Moulton V., On a conjecture of Bannai and Ito: There arenitely many distance - regular graphs with degree 5, 6 or 7, Europ. J. Combina-torics, 23, 2002, 987 - 1006
[6] Taylor, D. E. and Levingston, R., Distance-regular graphs. In CombinatorialMathematics, Edited by: Holton, DA and Seberry, J. Berlin: Springer-Verlag.(Proceedings, Canberra 1977), 686, 1977, 313-323.
A FORMULA FOR THE NUMBER OF GAPS IN THETRIANGULAR GRID
Lidija omi¢University of Novi Sad, Faculty of Technical Sciences
Apart from the square grid, the geometrical and topological properties of the al-ternative hexagonal and triangular grids were also widely investigated. One of suchproperties is the number of gaps in a binary object in the grid. A gap is a location (avertex) at which the boundary of the object is non-manifold. The number of gaps isone of the descriptors of the object topology. We propose a formula for the numberof gaps in an object in the triangular grid (with the double gaps counted twice).
CONVEX LATTICE POLYGONS OF MAXIMUMAREA
Vidan GovedaricaUniversity of East Sarajevo, Faculty of Electrical Engineering
Marko iti¢University of East Sarajevo, Faculty of Philosophy
Let K denote convex lattice polygon with i interior lattice points and area a. In thispaper, we determine the maximum values of functions ai = a(K, i), i > 0.
TEOREME INCIDENCIJE NA MNOGOSTRUKOSTIÐore Barali¢
Matemati£ki institut SANU, Beograd
Zoran Petri¢Matemati£ki institut SANU, Beograd
Marina Mili¢evi¢Fakultet za proizvodnju i menadºment Trebinje
Predmet rada su razli£iti pristupi u dokazivanju teorema incidencije u RP2. Vaºnedokaze teorema incidencije moºemo obezbjediti lijepljenjem vi²e trouglova koji noseevinu ili Menelajevu konguraciju, pri £emu teoreme incidencije posmatramo kaocikli£ne strukture na adekvatno odabranoj, trianguliranoj mnogostrukosti. U radu¢emo pokaziti i kako se binomni dokazi teorema incidencije, koji se zasnivaju na bik-vadratnim izrazima i Grasman-Plikerovim relacijama za ta£ke u projektivnoj ravni,mogu prevesti u dokaze tipa eva/Menelaj.
Bibliography
[1] Jürgen Richter Gebert, Meditations on Ceva's Theorem - In the Coxeter Legacy:Reection and Projections, American Mathematical Society, Fields Institute,2006, 227 254;
[2] Jürgen Richter Gebert, Perspectives on Projective Geometry: A Guided Tourthrough Real and Complex Geometry, Springer Berlin Heidelberg, 2011;
[3] Ðore Barali¢, A Short Proof of the Bradley Theorem, The American Mathe-matical Monthly, Volume 122, 4, 2015, 381 385.
DOKAZI NA POVRIMAÐore Barali¢
Matemati£ki institut SANU, Beograd
Pierre-Louis CurienUniversité Paris 7
Marina Mili¢evi¢Fakultet za proizvodnju i menadºment Trebinje
Jovana Obradovi¢Charles Univesity, Prague
Zoran Petri¢Matematicki institut SANU
Mladen Zeki¢Matemati£ki institut SANU, Beograd
Polaze¢i od postavke Rihter-Geberta da se neke teoreme incidencije u projektivnojgeometriji mogu dokazati lepljenjem Menelajevih i evinih konguracija, krenuli smoda sa dokazno-teoretske ta£ke gledi²ta ispitujemo ²ta bi jedan takav, nestandardni,formalni sistem mogao da predstavlja. Zbog uniformnosti osnovnih tvrenja od ko-jih polazimo eliminisali smo evine konguracije tako ²to smo ih proizveli lepljenjemMenelajevih.Grubo govore¢i, na² sistem bi trebalo da omogu¢i izvoenje jedne Menelajeve kon-guracije iz skupa takvih konguracija. Ovaj projekat je u radnom statusu i on
uklju£uje tri tima od kojih se jedan bavi dokazno-teore-tskim postavkama, drugi sebavi analizom projektivnih rezultata koji bi se mogli dobiti na ovaj na£in, dok setre¢i tim bavi jednim posebnim pogledom koji bi ceo problem stavio u okvir teorijecikli£nih operada.
OD GRADUIRANIH PRSTENA U KRASNEROVOMSMISLU DO KRASNER-VUKOVIPARAGRADUIRANIH PRSTENA
Mirjana Vukovi¢Akademija Nauka i Umjetnosti Bosne i Hercegovine
U predavanje ¢e biti uklju£ena kratka istorija graduiranih prstena koja se odnosi naKrasnerov pojam korpoida [M.Krasner: Une généralisation de la notion de corps-corpoïde.Un corpoïde remarquable de la théorie des corps valués, C. R. Acad. Sci.,Paris 219 (1944)] i op²ti graduirani prsteni u Krasnerovom smislu [M. Krasner: Levieux qui est noef, Revue Romaine de Math. pure et appliquées, T. XXVII] (vidjetitakoe [M. Vukovi¢, Institut Fourier, Grenoble, 2001]). Zatim ¢e biti prezentiranineki rezultati teorije Krasner-Vukovi¢ paragraduiranih prstena, uklju£uju¢i i primjereparagraduiranih prstena koji nisu graduirani.
References
[1] M.Krasner:Unegénéralisation de la notion de corps-corpoïde. Un corpoïdere-marquable de la théorie des corps valués, C. R. Acad. Sci., Paris 219 (1944),345-347.
[2] M. Krasner,Anneauxgraduésgéneraux,Colloqued'Algèbre Rennes, 1980, 209-308.
[3] M. Krasner, M. Vukovi¢: Structures paragraduées (groupes, anneaux, mod-ules), monograph, 3ueen's Papers in Pure and Applied Mathematics, No. 77,Queen's University, Kingston, Canada, 1987, pp. 163.
[4] M. Krasner, M. Vukovi¢: Structures paragraduées (groupes, anneaux, mod-ules) I, Proc. Japan Acad. 62, Ser. A, No. 9 (1986), 350-352.
[5] M. Krasner, M. Vukovi¢:Structures paragraduées (groupes, anneaux, modules)II, Proc. Japan Acad. 62, Ser. A, No. 10 (1986), 389-391.
[6] M. Krasner, M. Vukovi¢:Structures paragraduées (groupes, anneaux, modules)III, Proc. Japan Acad. 63, Ser. A, No. 1 (1987), 10-12.
[7] M. Vukovi¢:Structures graduéesetparagraduées, Prepublication de l'InstitutFourier, Université de Grenoble I, No. 536 (2001), 1-40.
ÀÍÀËÈÇÀ
MATHEMATICAL ANALYSIS
INVERSE SPECTRAL PROBLEMS FORDIFFERENTIAL OPERATORS WITH DELAY:
UNIQUENESS AND ALGORITHMV.Yurko
Saratov State University, Russia
Non-self-adjoint second-order dierential operators with a constant delay are stud-ied. We establish properties of the spectral characteristics and investigate the inverseproblem of recovering operators from their spectra. For this nonlinear inverse prob-lem the uniqueness theorem is proved and an algorithm for constructing the globalsolution is provided.
References
[1] Marchenko, V. A. Sturm-Liouville Operators and Their Applications, NaukovaDumka, Kiev, 1977; English transl., Birkhäuser, 1986.
[2] Levitan, B. M. Inverse Sturm-Liouville Problems, Nauka, Moscow, 1984; Engl.transl., VNU Sci.Press, Utrecht, 1987.
[3] Freiling, G.; Yurko, V. A. Inverse Sturm-Liouville Problems and Their Appli-cations, NOVA Science Publishers, New York, 2001.
[4] Yurko, V. A. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory,Inverse and Ill-posed Problems Series, VSP, Utrecht, 2002.
[5] Hale, J. Theory of functional-dierential equations, Springer-Verlag, New York,1977.
[6] Myshkis, A. D. Linear dierential equations with a delay argument, Moscow,Nauka, 1972.
[7] Freiling, G.; Yurko, V. A. Inverse problems for Sturm-Liouville dierentialoperators with a constant delay, Appl. Math. Lett. 25 (2012), 19992004.
[8] Yang, C.-F. Trace and inverse problem of a discontinuous Sturm-Liouville op-erator with retarded argument, J. Math. Anal. Appl. 395 (2012), no. 1,3041.
[9] Vladi£i¢, V.; Pikula, M. An inverse problem for Sturm-Liouville-type dieren-tial equation with a constant delay, Sarajevo J. Math. 12(24), no. 1 (2016),8388.
[10] Buterin, S. A.; Yurko, V. A. An inverse spectral problem for Sturm-Liouvilleoperators with a large constant delay, Anal. Math. Phys. (2017), DOI10.1007/s13324-017-0176-6.
[11] Buterin, S. A.; Pikula, M.; Yurko, V. A. Sturm-Liouville dierential operatorswith deviating argument. Tamkang Journal of Mathematics 48, no.1 (2017),61-71.
[12] Bondarenko, N. P.; Yurko, V. A. An inverse problem for Sturm-Liouville dif-ferential operators with deviating argument. Applied Mathematics Letters,vol.83 (2018), 140-144.
JEDAN INVERZNI PROBLEM ZADIFERENCIJALNU JEDNAINU TIPATURM-LIUVILA SA KONSTANTNIM
KANJENJEM, U KOJOJ GRANINI USLOVGRANINOG ZADATKA SADRI SPEKTRALNI
PARAMETARMilica Bo²kovi¢
Univerzitet u Isto£nom Sarajevu, Ma²inski fakultet
Vladimir Vladi£i¢Univerzitet u Isto£nom Sarajevu, Filozofski fakultet
U ovom radu posmatramo diferencijalnu jedna£inu drugog reda sa konstantnim ka²n-jenjem −y′′
(x) + q(x)y(x − τ) = λy(x), gdje je q kompleksno vrijednosna funkcija,q ∈ L2[0, π], a ka²njenje τ ∈ (π2 , π). Rije²i¢emo inverzni problem, tj. konstruisatikarakteristike operatora q i τ , pri £emu grani£ni uslovi zavise od spektralnog parame-tra. Dokazujemo da su ka²njenje τ i potencijal q jedinstveno odreeni iz dva spektra,prvog za y(0) = 0, y(π) = 0 i drugog za y(0) = 0, y
′(π) + λy(π) = 0. Takoe, kon-
strui²emo potencijal q pomo¢u Furijeovih koecijenata ove funkcije.
AN INVERSE PROBLEM FOR A CLASS OFSTURM-LIOUVILLE OPERATOR WITH SPECTRAL
PARAMETER IN BOUNDARY CONDITIONSF. Ayca Cetinkaya
Mersin University, Department of Mathematics
This work aims to examine the direct and inverse problem for a boundary valueproblem which consists a second order dierential equation with a piecewise contin-uous coecient and a spectral parameter in boundary conditions.
Examining the direct problem means, investigating the properties of the spe-cial functions of the boundary value problem, obtaining asymptotic formulas for
the eigenvalues and eigenfunctions, giving the theoretic formulation of the boundaryvalue problem in a special Hilbert space and obtaining the expansion formula withrespect to the eigenfunctions.
Examining the inverse problem suggests, discussing the evolution of the Weylsolution and Weyl function and proving the uniqueness theorems for the solution ofthe inverse problem with Weyl function and spectral data.
The above-mentioned results are obtained by using the methods of [1,2,3].
Bibliography
[1] E. N. Akhmedova and H. M. Huseynov, On Eigenvalues and Eigenfunctions ofOne Class of Sturm-Liouville Operators with Discontinuous Coecients, Trans.Acad. Sci. Azerb. Ser. Phys.-Tech. Math. Sci., XXIII, 2003, 7 18.
[2] G. Freiling and V. Yurko, Inverse Sturm-Liouville Problems and Their Applica-tions, Nova Science Publishers Inc., 2008, 307 pages.
[3] C. T. Fulton, Two-Point Boundary Value Problems with Eigenvalue ParameterContained in the Boundary Conditions, Proc. R. Soc. Edinb., 77, 1997, 293 308.
AN INVERSE SPECTRAL PROBLEM FORSTURM-LIOUVILLE OPERATORS WITH TWO
DELAYS UNDER ROBIN BOUNDARY CONDITIONSBiljana Vojvodic
University of Banja Luka, Faculty of Mechanical Engineering
Milenko PikulaUniversity of East Sarajevo, Faculty of Philosophy
Natasa Pavlovic KomazecUniversity of East Sarajevo, Faculty of Electrical Engineering
This paper deals with non-self-adjoint second-order dierential operators with twoconstant delays τi, i = 1, 2, which are less than half the length of the interval. Weconsider the case when τi ∈ [2π5 ,
π2 ) and potentials qi are real-valued functions from
L2[τi, π], i = 1, 2. The inverse spectral problem of recovering potentials from the
spectra of boundary value problems under Robin boundary conditions, has beenstudied. We consider four boundary value problems
−y′′(x) + q1(x)y(x− τ1)± q2(x)y(x− τ2) = λy(x), x ∈ [0, π]
y′(0)− hy(0) = 0, y′(π) +Hky(π) = 0, k = 1, 2
where λ is the spectral parametar.The spectra of boundary value problems leadto Volterra linear integral equations and then potentials qi i = 1, 2 are uniquelydetermined by those integral equtions.
Bibliography
[1] S. Buterin, M. Pikula, V. Yurko, Sturm-Liouville dierential operators with de-viating argument, Tamkang J. Math 48 (1) (2017)61-71
[2] N. Pavlovic, M. Pikula, B. Vojvodic, First regularized trace of the limit assign-ment of Sturm-Liouville type with two constant delays, Filomat 29:151-62(2015)
[3] V. Vladicic, M. Pikula, An inverse problems for Sturm-Liouville-type dierentialequation with a constanant delay, Sarajevo Journal of mathematics, Vol.12(24),No.1 (2016) 83-88
[4] S. Buterin, V. Yurko, An inverse spectral problem for Sturm-Liouville operatorswith a large constant delay, Anal. Math. Phys. (2017) 1-11
[5] B. Vojvodic, M. Pikula, V. Vladicic, Determining of the solution of the bound-ary value problem for the operator Sturm-Liouville type with two constantdelays, Procidings, Fifth Symposium Mathematics and Aplication, Faculty ofMathematics, University of Belgrade, Vol. V(1),pp 141-151 (2014)
AN INVERSE SPECTRAL PROBLEM FORSTURM-LIOUVILLE OPERATORS WITH N LARGE
DELAYSBiljana Vojvodic
University of Banja Luka, Faculty of Mechanical Engineering
Milenko PikulaUniversity of East Sarajevo, Faculty of Philosophy
This paper deals with non-self-adjoint second-order dierential operators with Nconstant delays τi, i = 1, ...N , which are larger than half the length of the interval.
The inverse spectral problem of recovering potentials from the spectra of boundaryvalue problems under Robin boundary conditions, has been studied. We consider2N boundary value problems:
−y′′(x) +N∑i=1
qi(x)y(x− τi) = λy(x) (1)
y′(0)− hky(0) = 0, y′(π) +Hy(π) = 0, k = 1, 2 (2)
and
−y′′(x)− qm(x)y(x− τm) +N∑i=1i 6=m
qi(x)y(x− τi) = λy(x), m = 2, ..., N
under the same conditions (2), where λ is the spectral parametar and potentialsqi are real-valued functions from L2[τi, π], i = 1, ..., N . We prove that delays andpotentials are uniquely determined by their spectra.
Bibliography
[1] Á. Âîjâîäè÷, Ì. Ïèêóëà, Êðàåâàÿ çàäà÷à äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðàòèïà Øòóðì-Ëèóâèëëÿ ïðè N ïîñòîÿíûõ çàïàçäûâàíèé è àñèìïòîòèêàñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, Mathematica Montesnigri, XXXV (2016), 5-21
[2] V. Vladicic, M. Pikula, An inverse problems for Sturm-Liouville-type dier-ential equation with a constanant delay, Sarajevo Journal of mathematics,Vol.12(24), No.1 (2016) 83-88
[3] S. Buterin, V. Yurko, An inverse spectral problem for Sturm-Liouville operatorswith a large constant delay, Anal.Math.Phys.(2017) 1-11
[4] N. Pavlovic, M. Pikula, B. Vojvodic, First regularized trace of the limit assign-ment of Sturm-Liouville type with two constant delays, Filomat 29:151-62(2015)
NORMAL FAMILIES, THEOREMS OF LIOUVILLEAND PICARD AND BLOCH PRINCIPLE
arko Pavi¢evi¢Faculty of Natural Sciences and Mathematics, University of Montenegro, Podgorica, MontenegroNational Research Nuclear University MEPhI (Moscow Engineering Physics Institute), Moscow,
Russia
In this article, Liouville's theorems and the rst (little) Picard's theorem for com-plex analytical and meromorphic functions can be obtained as direct consequencesof the Montel theorems on the normality of the family of analytic and meromorphicfunctions.This gives us an illustration of Bloch's principle.
ANALYSIS MEETS TOPOLOGY: CONVERGENCELjubi²a D.R. Ko£inac
University of Ni², [email protected]
Let (X, d) and (Y, ρ) be metric spaces. By Y X and C(X,Y ) we denote the sets of alland all continuous mappings from X to Y . There are several natural topologies onY X and so on C(X,Y ). We consider convergence properties of sequences and netsin Y X and C(X,Y ) equipped with those topologies. In particular, some classicalquestions in mathematical analysis will be discussed.
BILINEARNO KANJENJEIsmet Kal£o
Univerzitet u Zenici, Filozofki fakultet Milenko Pikula
Univerzitet u Isto£nom Sarajevu, Filozofki fakultet Pale
Diferencijalni izraz tipa
−y′′(x) + q(x)y (γ(x)) , x ∈ [0, π]
pri £emu funkcije y, y′′, q, γ pripadaju nekom od funkcionalnih operatora i vaºi γ(x) <x, x ∈ (0, π], generi²e diferencijalni operator tipa turm-Liuvila sa ka²njenjem nasegmentu [0, π]. Funkcija γ je funkcija ka²njenja.Umjesto £etverodimenzionalne funkcije bilinearnog ka²njenja, mi smo prou£avatitrodimenzionalnu familiju funkciju ka²njenja u obliku
γ(x) = x− ax+ b
x+ c, (a, b, c) ∈ R3.
ON RAPIDLY VARYING SEQUENCESValentina Timoti¢
University of East Sarajevo, Faculty of Philosophy Pale, Bosnia and Herzegovina
Dragan Ður£i¢University of Kragujevac, Faculty of Technical Sciences a£ak, Serbia
Ljubi²a D.R. Ko£inacUniversity of Ni², Faculty of Natural Sciences and Mathematics Ni², Serbia
In this paper we investigate the connection between the class R∞,s, of rapidly varyingsequences (in the sense of de Haan) and the rapid equivalence, selection principlesand game theory.
ÊÎÍÑÒÐÓÊÖÈJÀ ÈÍÒÅÃÐÀËÍÅ JÅÄÍÀ×ÈÍÅ ÓÈÍÂÅÐÇÍÎÌ ÏÐÎÁËÅÌÓ ÎÏÅÐÀÒÎÐÀ ÑÀ
ÕÎÌÎÃÅÍÈÌ ÊÀØÅÅÌÄðàãàíà Íåäè£
Ñàîáðà£àjíè ôàêóëòåò Äîáîj, Óíèâåðçèòåò ó Èñòî÷íîì Ñàðàjåâó Ìèëåíêî Ïèêóëà
Ôèëîçîôñêè ôàêóëòåò Ïàëå, Óíèâåðçèòåò ó Èñòî÷íîì Ñàðàjåâó
Ïîñìàòðàí jå îïåðàòîð D2 òèïà Øòóðì-Ëèóâèëà ãåíåðèñàí äèôåðåíöèjàëíèìèçðàçîì
−y′′(x) + q(x)y(αx), q ∈ L2|0, π], α ∈ (0, 1)
ñà ðàçäèjå§åíèì ãðàíè÷íèì óñëîâèìà
y′(0)− hy(0) = 0, y′(π) +Hjy(π) = 0, j = 1, 2 h,Hj ∈ R.
Êîíñòðóèñàíå ñó êàðàêòåðèñòè÷íå ôóíêöèjå ïîñìàòðàíîã îïåðàòîðà,èçâðøåíå äjåëèìè÷íå òðàíñôîðìàöèjå òèõ ôóíêöèjà,íà¢åíå àñèìïòîòèêå»èõîâèõ íóëà êàî è àñèìïòîòèêå ñîïñòâåíèõ âðèjåäíîñòè îïåðàòîðà.Ìåòîäîì êàðàêòåðèñòè÷íèõ ôóíêöèjà êîíñòðóèñàíà jå èíòåãðàëíà jåäíà÷èíàïðèìjåí§èâà çà ðjåøå»å èíâåðçíîã ïðîáëåìà îïåðàòîðà ñà õîìîãåíèìêàø»å»åì.
REGULARIZOVANI TRAGOVI OPERATORA SADVA KONSTANTNA KANJENJA
Natasa Pavlovic KomazecUniverzitet u Istocnom Sarajevu, Elektrotehnicki fakultet
Milica BoskovicUniverzitet u Istocnom Sarajevu, Masinski fakultet
Posmatramo spektralni granicni zadatak
−y′′(x) + q1(x)y(x− τ1) + q2(x)y(x− τ2) = λy(x)
y(x− τ2) ≡ 0, x ∈ (0, τ2],
y(π) = 0, q1(x), q2(x) ∈ L2[0, π], τ2 = 2τ1, τ2 ∈ [π
2, π].
Konstruise se karakteristicna funkcija i asimptotika sopstvenih vrijednosti koja omogucavaizracunavanje prvog i drugog regularizovanog traga.
Bibliography
[1] Ñàäîâíè÷èé Â.À., Òåîðèÿ îïåðàòîðîâ, Èçäàòåëüñòâî ìîñêîñêîãîóíèâåðñèòåòà, 1979.
[2] Ïèêóëà Ì., Î ðåãóëÿðèçîâàííûõ ñëåäàõ äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðàòèïà Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì, Äèôô. óðàâíåíèÿ1(1990)103-109.
[3] Ïèêóëà Ì., Î ðåãóëÿðèçîâàííûõ ñëåäàõ äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðîââûñøèõ ïîðÿäêîâ ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì, Äèôô. óðàâíåíèÿ 6(1985)956-991.
[4] Pikula M., Asimptotika svojstvenih vrijednosti i regularizovani tragovi linearnihdiferencijalnih operatora, doktorska disertacija, Sarajevo 1983.
[5] Lazovic R. and Pikula M., Regularized trace of the operator applied to solvinginverse problems, Radovi Matematicki 11 (2002)
[6] N. Pavlovic, M. Pikula, B. Vojvodic, First regularized trace of the limit assign-ment of Sturm-Liouville type with two constant delays, Filomat 29:151-62(2015)
ÊÀÐÀÊÒÅÐÈÇÀÖÈJÀ ÊÎÍÂÅÊÑÍÈÕ ÏÎÂÐØÈÌèîäðàã Ìàòå§åâè£
Ìàòåìàòè÷êè ôàêóëòåò, Áåîãðàä
Íàñòàâ§àìî èñòðàæèâà»à çàïî÷åòà ó [1].Ñïåöèjàëíî, äàjåìî êàðàêòåðèçàöèjå êîíâåêñíèõ ïîâðøè ïîìî£ó Gauss îâîãïðåñëèêàâà»à.
Ëèòåðàòóðà
[1] Miodrag Mateljevic, Miloljub Albijanic, Lagrange's Theorem, Convex Func-tions and Gauss Map, Filomat 31:2 (2017), 321334.
ON INVERSE SPECTRAL PROBLEM FORFUNCTIONAL-DIFFERENTIAL OPERATORS WITH
FROZEN ARGUMENTSergey Buterin
Saratov State University
We consider the operator `y := −y′′(x) + q(x)y(a), 0 < x < π, y(0) = y(π) = 0,where q(x) ∈ L2(0, π) is a complex-valued function and a/π ∈ [0, 1] is a rationalnumber. The inverse spectral problem is studied of recovering the potential q(x)from the spectrum of `. We describe the sets of isospectral potentials and prove theuniqueness theorem in the class of potentials possessing some symmetry-type prop-erty. Moreover, we obtain a constructive procedure for solving this inverse problemalong with necessary and sucient conditions of its solvability, which, in turn, givethe characterization of the spectrum. In parallel, we establish that the informativityof the spectrum is severely unstable with respect to the parameter a.
ON EBYEV FUNCTIONS ON GENERAL METRICSPACES ENDOWED WITH A FINITE MEASURE
Huse Fatki¢, Slobodan Sekulovi¢, Berina Fatki¢, Jasmina Fatki¢Univerzitet u Sarajevu, Elektrotehni£ki fakultet
In this paper, we investigate metric properties and dispersive eects of strong-mixingmeasure-preserving transformations on general metric spaces endowed with a nitemeasure; in particular, we investigate connections with the theory of generalized(geometric) diameters and with the theory of Cebysev functions (as generalizationsof Cebysev polynomials) on general metric spaces. We prove that the known R. E.Rice's result [Theorem 2,1978] (motivated by some physical phenomena and oersome clarications of these phenomena), which is a substantial improvement of The-orems 1 and 2 in [T. Erber, B. Schweizer, and A. Sklar 1973], can be generalized insuch a way that this result remains valid when "diameter" is replaced by "geometricdiameter of order n (n = 3, 4, ...)". Furthermore, notions of M- radius of Cebysevorder k and M - constant of Cebysev (where M := (Mn) is the power mean) in-troduced by E. Hille in 1961 (and improved in 1965) are used to prove that evenfor these quantities the corresponding analogs for strong-mixing measure-preservingtransformations, proved for generalized (geometric) diameters of order n, hold.
SOLVING SOME CLASSES OF DIFFERENCEEQUATIONS AND THEIR SYSTEMS IN CLOSED
FORMBratislav Iricanin
Univerzitet u Beogradu, Elektrotehnicki fakultet
Tatjana StevicUniverzitet u Beogradu, Elektrotehnicki fakultet
There is a rapidly growing number of papers devoted to the qualitative analysis ofdierence equations solution' behaviour. Unlike this, only a small number of papersdeal with explicit solving of some particular nonlinear dierence equations, i.e., ob-taining their solutions in the so-called closed form. Certainly, this is not an easyproblem, at least not routinely, but in the most cases the problem is, unfortunately,not solvable. Despite, we believe that an unavoidable step, also even in the qualita-tive analysis, still had to be very patiently checked in terms of the solvability of thedierence equation or their systems in a closed form [1]. Thus plausibly obtainedform of solution, of course, does not rule out further need for an additional quali-tative analysis. However, that step naturally can greatly simplify and make moreecient and comprehensive even qualitative analysis.
In this talk we will describe the achievement of solutions of some new signicantdierence equations and their systems of higher order in a closed form. There aresome equations the solutions of which in closed form have not appeared in the litera-ture hitherto. It can be said that this talk continues in logic way long-standing eortsof our authors' team from Belgrade (Serbia) and Brno (Czech Republic), which havebeen described in some of the recent work systematized in references [2], [3] , [4],and [5] listed in the bibliography.
Bibliography
[1] J. M. Borwein and R. E. Crandall, Closed Forms: What They Are and WhyWe Care, Notices of the American Mathematical Society, 60(1)(2013) pp.50-65.
[2] B. Iricanin, On explicit solutions of higher-order rational dierence equationsand their systems. In: International Conference 13th Serbian MathematicalCongress, May 22nd-25th, 2014, Vrnja£ka Banja, Serbia, ISBN 978-86-6275-026-6, Nis, p. 50 (2014),
http://tesla.pmf.ni.ac.rs/people/smak/book_-of_-abstracts.
pdf.
[3] S. Stevic, B. Iricanin, On some solvable classes of dier- ence equations andsystems of equations. In: 10th In- national Conference Progress on dierence
equations PODE 2016, May 17th-20th, 2016, Riga, Latvia, Abstracts, ISBN978-9934-18-150-4, Riga, p. 12 (2016),
http://www.lu.lv/fileadmin/user_-upload/lu_-portal/projekti/
pode2016/PODE-2016-iekslaps.pdf.
[4] B. Iricanin, New cases of solving dierence equations and their systems ofrational type of higher order in the closed form. In: The 5th internationalscientic conference Analysis, Topology, Algebra: Theory And Applications(ATA 2016), July 06th-09th, 2016, a£ak, Serbia.
[5] B. Iricanin, More on closed form solvable dierence equations and their sys-tems. In: International Conference 14th Serbian Mathematical CongressSMAK, May 16th-19th, 2018, Kragujevac, Serbia, ISBN 978-86-6009-055-5,Kragujevac, 2018,
https://imi.pmf.kg.ac.rs/kongres/pdf/accepted-finished/
a0121112f9f205bc4e4d5c002870b865_11_0508-2018_020142/ID_218.pdf.
AN INVERSE PROBLEMS FORSTURM-LIOUVILLE-TYPE DIFFERENTIALEQUATION WITH A CONSTANT DELAY
Nebojsa DuricUniversity Banja Luka, Faculty of Architecture, Civil Engineering and Geodesy
Vladimir VladicicUniversity East Sarajevo, Department of Mathematics, Informatics and Physics
We study two type non-self-adjoint second order dierential operators with constantdelay generated by
Ly = −y′′(x) + q(x)y(x− τ);y(x− τ) = 1, x ∈ (0, τ ]
y′(0) = y(π) = 0
y′(0) = y′(π) = 0
and
My = −y′′(x) + q(x)y(x− τ);y(x− τ) = f(x), x ∈ (0, τ ]
f(τ) = 1
y′(0) = y(π) = 0
y′(0) = y′(π) = 0
where potential q(x), f(x) is complex-valued function q(x) ∈ L2[0, π], f(x) ∈ L2[0, τ ].We establish proparties of the spectral charactristics and investigate the inverseproblem of recovering operators from their spectra when τ ∈ (π2 , π).
Bibliography
[1] Vladimir Vladicic, Milenko Pikula An inverse problems for Sturm-Liouville-type
dierential equation with a constant delay, Vol. 12.(24), Sarajevo journal of math-ematics, Year 2016., pp 83-88
[2] Bayramov A., Ozturk Uslub S., Kizilbudak Caliskan S., Computation of eigenval-
ues and eigenfunction of a discountinuous boundary value problem with retarded
argument, Appl. Math. Comput.191, (2007), pp. 592600.
[3] Freiling G. and Yurko V., Inverse Sturm-Liouville problems and their applica-
tions, Nova Sciene Publisher, Inc. Huntington, New York, (2008)
[4] Freiling G. and Yurko V., Inverse problems for Sturm-Liouville diferential oper-
ators with a constant delay, Appl. Math. Lett. 25, No. 11, (2012), pp. 19992004
On rapidly varying sequences: part II
Valentina TimoticUniversity of East Sarajevo, Faculty of Philosophy Pale, Bosnia and Herzegovina
Dragan DjurcicUniversity of Kragujevac, Faculty of Technical Sciences Cacak, Serbia
Malisa R. ZizovicUniversity of Kragujevac, Faculty of Technical Sciences Cacak, Serbia
In this paper we will prove some properties of the rapid equivalence and considersome selection principles with regard to rapidly varying sequences.
Spektralni problem sa konstantnim ka²njenjem ipreticanjem
Elmir CatrnjaKoledz Ujedinjenog Svijeta u Mostaru
Sanja Tipuric-SpuzevicSveuciliste u Mostaru, Fakultet prirodoslovno-matematickih i odgojnih znanosti
Ivana ZubacSveuciliste u Mostaru, Fakultet strojarstva, racunarstva i elektrotehnike
Fatima MandzukaDruga osnovna skola Konjic
U ovom radu posmatramo diferencijalnu jednacinu tipa Sturm-Liouvillea sa kon-stantnim kasnjenjem i konstantnim preticanjem oblika.
ÏÐÈÌÈJÅÅÍÀ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
APPLIED MATHEMATICS
PRIMJENA SPEKTRALNIH OSOBINA POZITIVNIHMATRICA NA KONSTRUKCIJU DEAHP MODELA
Rade LazovicUniverzitet u Beogradu, Fakultet organizacionih nauka
U radu se predlaºe nov model za generisanje lokalnih teºina u AHP (Analytic Hi-erarchy Process) metodi. S obzirom da se za dobijanje teºina koristi DEA (DataEnvelopment Analysis) metodologija, predloºeni model pripada kategoriji DEAHP(Data Envelopment Analytic Hierarchy Process) modela. Prvi DEAHP model pred-loºio je R. Ramanathan u radu [1] iz 2006. godine. Dvije godine kasnije, u radu [3]prezentovan je DEAHP model sa regionom sigurnosti (assurance region), DEA/ARmodel, koji je otklonio neke uo£ene nedostatke Ramanathanovog modela. U ovomradu predlaºe se model sa restriktivnim regionom sigurnosti, DEA/RAR model. Re-striktivni region sigurnosti odreen je sa dva parametra koji uokviruju spektralniradijus matrice poreenja. Za dobijanje tih parametara razvijene su dvije heuristikekoje se zasnivaju na procedurama minimizacije maksimuma, odnosno maksimizacijeminimuma odreenog broja realnih funkcija. Softverska implementacija tih proce-dura realizovana je u MATLAB okruºenju. Dokazano je da DEA/RAR model gener-i²e ta£ne teºine kada se primeni na matrice poreenja koje imaju osobinu savr²enekonzistentnosti. Neke od prednosti DEA/RAR modela u odnosu na DEA/AR modelilustrovane su sa nekoliko numeri£kih primera. Pored toga, pokazano je da vektorlokalnih teºina DEA/RAR modela moºe biti veoma blizak vektoru lokalnih teºinakoji generi²e poznata Satijeva metoda sopstvenog vektora [2]. To se de²ava kada suvrednosti parametara modela bliske spektralnom radijusu matrice poreenja.
References
[1] R.Ramanathan, Data Envelopment Analysis for Weight Derivation and Aggre-gation in the Analytic Hierarchy Process, Computers & Operations Research33 (2006) 1289-1307.
[2] T.L. Saaty, The Analytic Hierarchy Process, McGraw-Hill Company, New York,1980.
[3] Y.M.Wang, K.S.Chin, G.K.Poon, A Data Envelopment Analysis with Assur-ance Region for Weight Generation in the Analytic Hierarchy Process, DecisionSupport Systems 45 (2008) 913-921.
ON THE MAXIMAL VALUE OF RRR INDEXAMONG TREES WITH MANY LEAVES
Lazar Obradovi¢University of Montenegro
Riste krekovskiUniversity of Ljubljana
Vladimir Bozovi¢University of Montenegro
Zana Kovijani¢ Vukicevi¢University of Montenegro
Goran PopivodaUniversity of Montenegro
The reduced reciprocal Randi¢ (RRR) index of the graph G = (V,E) is dened as
RRR(T ) =∑uv∈E
√(du − 1)(dv − 1).
We characterize the trees of order n with p pendent vertices that maximize RRRindex for every p ≥ bn/2c, which has been identied as an open problem in [3].
References
[1] I. Gutman, B. Furtula, C. Elphick, Three new/old vertexdegreebased topo-logical indices, MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 72 (2014) 617632.
[2] ] F. C. G. Manso, H. S. Júnior, R. E. Bruns, A. F. Rubira, E. C. Muniz,Development of a new topological index for the prediction of normal boilingpoint temperatures of hydrocarbons: The Fi index, J. Mol. Liquids 165 (2012)125132.
[3] X. Ren, X. Hu, B. Zhao, Proving a conjecture concerning trees with maximalreduced reciprocal Randi¢ index, MATCH Commun. Math. Comput. Chem.76 (2016) 171184.
PRIMENA DIFERENCIJALNE GEOMETRIJE KODTRASIRANJA ELEZNIKE PRUGE
Aleksandar Gruji¢[email protected]
Prirodno matemati£ki fakultet u Kragujevcu
Kretanje voza karakterisano je nizom slede¢ih problema kao ²to su: obezbeivanjeda voz "ne isko£i" iz ²ina i uslovi koji se odnose na voºnju putnika. Ve¢ina ovakvihproblema re²ava se dobrom konstrukcijom ºelezni£ke pruge. Promena pravca kre-tanja voza se vr²i krivinama. Krivina se sastoji od jednog kruºnog luka i dve sopjnicepomo¢u koga se kruºni deo pruge spaja sa pravolinijskim delovima. Kada voz ulaziu krivinu, on preko spojnog dela prelazi u kruºni tok a kada iz krivine izlazi prekodruge spojnice prelazi u pravolinijsko kretanje. Krivina treba da je takva da obezbedineometano kretanje voza, da se elimini²u uticaji inercije, centrifugalnih sila i da nedoe do ru²enja pruge. Ta£ke spajanja pojedinih delova pruge moraju biti glatketa£ke putanje. To zna£i da u tim ta£kakma postoji glatka tangenta putanje kako bise voz kretao u pravcu tangente na putanju. U ovom radu se bavimo konstrukocijompruge.
Bibliography
[1] I. Lazarevi¢, Vi²edimenziona matemati£ka analiza 2, Beograd, 2004, str 494-500;
[2] M. Kosijer, Optimizacija trase ºelezni£ke pruge, Beograd, 2013, str 40-50;
PRIMENA GENERALIZOVANE LOGISTIKEJEDNAINE U JEDNOM MODELU PONUDE I
TRANJEJelena Stanojevi¢, Katarina Kuki¢
Univerzitet u Beogradu, Ekonomski fakultet
Linearne jedna£ine, kao i S-oblik jedna£ina ponude i traºnje imaju ²iroku primenuu ekonomiji, zbog jednostavnosti modela, ali takvo pojednostavljenje modela ga £inimanje primenljivim. U ovom radu su predloºene odgovaraju¢e stepene funkcije zamodeliranje ponude i traºnje, kao i jedna£ina relativne promene cene kao linearnefunkcije vi²ka potro²a£a, kako bi se dobila realnija slika stvarnosti. Sistem jedna£inase svodi na uop²tenu logisti£ku jedna£inu, a ovde je za konkretno izabrane vrednostiparametra dat i odgovaraju¢i bifurkacioni dijagram kao i analiza stabilnosti dobi-jenog modela.
KONSTRUKCIJA MANDELBROTOVOG SKUPA UMATLAB-ULjubica Dikovi¢
Visoka strukovna ²kola Uºice
Fraktal je geometrijska gura koja se moºe rastaviti na beskona£no mnogo delovakoji su na razli£itim skalama veli£ine matemati£ki sli£ni celini. Priroda Univerzuma
je fraktalna. Fraktali opisuju brojne kompleksne obilike koji su svuda oko nas za-hvaljuju¢i speci£nim osobinama, a to su: rekurzivnost, samosli£nost i dimenzijakoja nije celobrojna.U ovom radu su predstavljeni fraktali Mandelbrotovog skupa iprikazana njihova ekasna konstrukcija putem rekurzivnih petlji u MATLAB-u.
PROCESI U TEORIJI NEIZVESNOSTIMarija Paunovic, Nebojsa RalevicFakultet tehnickih nauka Novi Sad
U ovom radu je predstavljen koncept procesa neizvesnosti, kao pro²irenje teorijeneizvesnosti (uncertainty theory). Proces neizvesnosti, zasnovan na Liovom inte-gralu, predstavlja niz promenljivih indeksiranih kroz vreme. U cilju prou£avanjaintegrala (denisanih u ovoj teoriji) u razli£itim procesima neizvesnosti, uvedeni suosnovni pojmovi i razmatrane neke osobine i tvrenja.
METOD ODABIRA VARIJABLI ZA OPISKLIJENATA BANKE
Ivana Dolga, Bratislav Iri£anin, Neboj²a M. Ralevi¢Fakultet tehni£kih nauka Novi Sad
U radu su prikazane odreene statisti£ke metode pomo¢u kojih se za parametrijskepodatke vr²i izbor adekvatnih varijabli za dalji razvoj modela. Konkretna primenaje na varijablama koje opisuju klijente banke, a posmatraju se dve grupe klijenata uodnosu na status default-a. Kori²¢ene statisti£ke metode su ANOVA i Pearson-ovakorelacija, a izvr²eno je testiranje razlike izmeu varijabli u odnosu na dve grupe,kao i meusobni odnos varijabli u smislu korelacije. Na osnovu dobijenih rezultataizvr²ena je redukcija polaznih varijabli, a sa ciljem dobijanja optimalnijeg modela saminimalnim gubitkom informacija.
ANALYSIS OF STABILITY OF LTI SYSTEMS INCOMPLEX S-PLANE WITH RESPECT TO
MAPPING S → 1/STomislav B. ekara
University of Belgrade, School of Electrical Engineering
Milan R. Rapai¢University of Novi Sad, Faculty of Technical Sciences
Vidan GovedaricaUniversity of East Sarajevo, Faculty of Electrical Engineering
Marko Bo²kovi¢University of East Sarajevo, Faculty of Electrical Engineering
This paper analyzes the character of stability of linear time-invariant (LTI) systemswith respect to a mapping s → 1/s. The mapping s → 1/s retains left-half andright-half plane of splane, so the character of stability is preserved in terms of BIBO(bounded-input/bounded-output) stability. It turns out if there is at least one polein right half-plane of s-plane then the character of stability changes with respect tothe mapping s → 1/s. If the system is critically stable (having nite number ofpoles and zeros of system transfer function) then the character of stability remainsthe same. The subject of this study is primarily focused to the case of "critical"stability of LTI systems with innite number of poles and zeros with respect to themapping s→ 1/s.
JEDAN ZADATAK IZ TEORIJE REALNIHFUNKCIJA REEN PRIMENOM METODA
KLASINE ANALIZETihomir S. Marjanovi¢[email protected]
U£iteljski fakultet Uºice
U ovom radu iskoristili smo £injenicu da se racionalni brojevi mogu poreati u niz(rk), k = 0, 1, 2, 3, . . . . Dalje, koriste¢i taj niz denisali smo funkciju
f(x) =+∞∑k=0
1
2k· |x− rk|1 + |rk|
= limn→∞
n∑k=0
1
2k· |x− rk|1 + |rk|
.
Pokazali smo da ovako denisana funkcija ima smisla i da je neprekidna za svako re-alno x; da je ravnomerno neprekidna na segmentu; da ima izvod u svakoj iracionalnojta£ki; da postoji levi i desni izvod u racionalnim ta£kama i da se oni ne poklapaju.Na kraju, pokazali smo da je ovako denisana funkcija konveksna na skupu real-nih brojeva. Pomenute £injenice pokazali smo koriste¢i poznate teoreme iz klasi£neanalize: Causchyev kriterijum konvergencije nizova i Cantorov stav o ravnomernojneprekidnosti funkcije na segmentu.
ÈÑÒÎÐÈJÀ È ÍÀÑÒÀÂÀ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ
HISTORY AND DIDACTICS OF MATHEMATICS
MATEMATIKA NA AHOVSKOJ TABLIMilan ivanovi¢
Visoka ²kola strukovnih studija za vaspita£e, Kru²evac
Izmeu matematike i ²aha postoji velika bliskost, te stoga nije slu£ajno ²to se matem-ati£ke i ²ahovske sposobnosti u praksi £esto realizuju komplementarno. Re²avanjem£uvenih kombinatornih problema rasporeda ²ahovskih gura na tabli su se baviliOjler i Gaus. Neki od najuspe²nijih vrhunskih velemajstora su bili profesionalnimatemati£ari: Emanuel Lasker, Maks Eve, Dºonatan Nan. Visoke matemati£kesposobnosti i rezultate u mladosti su postizali Mihail Talj i Anatolij Karpov. a-hovske probleme moºemo sresti u kibernetici, teoriji igara, teoriji grafova, teorijibrojeva, ali i u razvijanju savremenih metoda programiranja. Skoro u svakoj zbircisa olimpijskih matemati£kih takmi£enja zadaci inspirisani ²ahovskom tablom i gu-rama zauzimaju zna£ajno mesto.Bliskost ove dve delatnosti pruºa nesicrpne mogu¢nosti popularizacije matematikei njene nastave. Matemati£ki problem inspirisani ²ahom su veoma raznovrsni. Tomogu biti razni geometrijski i aritmeti£ki problemi tablama razli£itih dimenzija,problemi rasporeda i kretanja gura, re²avanje neobi£nih igara, satavljanje turnirskihrasporeda, odredjivanje rejtinga takmi£ara i sli£no.Savremene informativne tehnologije omogu¢uju lak²i, neposredniji i interaktivnijipristup i ovoj problematici. Autor ovog teksta je modelovao matemati£ke problemena ²ahovskoj tabli u programu Geogebra. Ti problemi su sabrani u elektroskoj zbirci"ah i matematika" koja ¢e biti predstavljena u ovom radu.
Bibliography
[1] Gardner M., Mathematics, Magic and Mistery, Dover Publications Inc, NewYork, 1956.
[2] Gik I. J., ahmati i matematika, Nauka, Moskva, 1983.
[3] Nov£i¢ S., ah i matematika, ZUNS, Beograd, 1988.
[4] Petkovi¢ M., Mathematics and Chess, Dover Publications Inc, New York, 2011.
KVIZ "BIOGRAFIJE VELIKIH MATEMATIARA"Milan ivanovi¢
Visoka ²kola strukovnih studija za vaspita£e, Kru²evac [email protected]
Jelena Stojkanovi¢Gimnazija Bajina Ba²ta
U programima matemati£kog obrazovanja u osnovnim i srednjim ²kolama u Srbijine postoje planski predvidjene teme iz istorije matematike. Ta oblast je i u praksiprili£no zapostavljena. Pojedini nastavnici samoinicijativno sa ciljem pove¢avanjamotivacije za u£enje u svoja predavanja uklju£uju neke elemente iz istorije matem-atike. Mora se re¢i da kvalitet znanja koja u£enici treba da usvoje u dobroj merizavisi i od na£ina prezentovanja istorijskih podataka iz razvoja matematike. Tu sene misli samo na motivacijsku ulogu, koja se naj£e²¢e isti£e, a koju istorijske temesvakako imaju. Pored toga, moºe se re¢i, da elementi istorije matematike u nastavimatematike imaju i slede¢e funkcije:- metodolo²ka funkcija (razvojnost metoda re²avanja problema u zavisnosti od us-loºnjavnja prakti£nih potreba; ograni£enja i mogu¢nosti njihove primene)- integrativna funkcija (mogu¢nost re²avanja istih problema kroz razli£ite pristupe ipovezanost razli£itih matemati£kih disciplina)- razvojna funkcija (istorijsko-genetski pristup matemati£kim teorijama obezbedjujesveobuhvatnost i logi£ku utemeljenost)- vaspitna funkcija (glorikovanje pozitivnih osobina kroz primere iz biograja ve-likih matemati£ara)- op²teobrazovna funkcija (stvaranje potpunije slike o raznim dru²tvenim epohamai njihovim protivre£nostima kroz poznavanje mogu¢nosti re²avanja za njih karakter-isti£nih problema)U gimnaziji Josif Pan£i¢ u Bajinoj Ba²ti se sadrºaji iz istorije matematike uvodekroz kviz Biograje velikih matemati£ara. U ovom radu ¢e biti predstavljeno ovood 2015. godine tradicionalno takmi£enje i analiza njegovog uticaja na nastavumatematike.
Bibliography
[1] Bell, E. T., Veliki matemati£ari , Znanje, Zagreb, 1972.
[2] Boºi¢, M., Pregled istorije i lozoje matematike , ZUINS, Beograd, 2002.
[3] Struik, D., Kratak pregled istorije matematike, ZUINS, Beograd,1991.
[4] Znam, ., Pogled u povijest matematike ,Tehni£ka knjiga, Zagreb, 1989.
PRIMJENA RAUNARA U RJEAVANJUMATEMATIKIH PROBLEMA
Dragica Milinkovi¢Univerzitet u Isto£nom Sarajevu, Pedago²ki fakultet, Bijeljina
Slaana Mitrovi¢Univerzitet u Novom Sadu
Jedan od glavnih zadataka primarnog matemati£kog obrazovanja je sticanje i prim-jena matemati£kih koncepata i vje²tina i razvijanje kognitivnih sposobnosti. Uzi-maju¢i u obzir napredak nau£no-tehnolo²ke revolucije i sve ²iru upotrebu ra£unarau nastavnom procesu, kako u najnaprednijim evropskim zemljama, tako i kod nas,name¢e se potreba za utvrivanjem efekata primjene ra£unara u rje²avanju matem-ati£kih zadataka. Istraºivanje je bilo transverzalnog karaktera i sprovedeno je saciljem da se ispitaju razlike izmeu dje£aka i djevoj£ica pri rje²vanju matemati£kihproblema uz upotrebu ra£unara u nastavi matematike. Uzorak ispitanika izveden jeiz populacije u£enika mlaeg ²kolskog uzrasta iz Bijeljine. Svi ispitanici su u trenutkutestiranja pohaali peti razred osnovne ²kole. Statisti£ka obrada podataka podrazu-mijevala je izra£unavanje procenta uspje²nosti u realizaciji matemati£kih problemai razlike u uspjehu izmeu dje£aka i djevoj£ica primjenom Hi kvadrat testa (χ2
test). Rezultati istraºivanja pokazuju da djevoj£ice ostvaruju statisti£ki zna£ajnobolje rezultate prilikom realizacije matemati£kih problema u odnosu na dje£ake.
PROBLEMI RAZUMEVANJAHIPOTETIKO-KATEGORIKIH SILOGIZAMA U
NASTAVI MATEMATIKEOlivera Markovi¢
Univerzitet u Kragujevcu, Pedago²ki fakultet u Uºicu
Milomir Eri¢Univerzitet u Kragujevcu, Pedago²ki fakultet u Uºicu
Brojne gre²ke koje u£enici prave u poku²aju da re²e zadatke iz razli£itih oblastimatematike £esto su direktna posledica prethodno napravljenih logi£kih gre²aka inepravilno izvedenih zaklju£aka. U radu smo se bavili pitanjem koliko na nepravilnoizvodjenje zaklju£aka uti£e nerazumevanje hipoteti£ko-kategori£kih silogizama: modusponensa i modus tollensa. Tokom duºeg niza godina autori ovog rada sprovodili sutestiranje medju u£enicima zavr²nog razreda srednjih ²kola. Od u£enika se o£ekivaloda u svakom od zadataka testa, od kojih su neki dati na prirodnom jeziku a neki
na matemati£kom jeziku, odgovore da li se iz navedenih premisa u okviru silogizmamoºe ili ne moºe izvesti dati zaklju£ak. Rezultati istraºivanja ukazali su nam naneke propuste u matemati£kom i logi£kom obrazovanju na²ih u£enika.
Bibliography
[1] Barwell R. The role of language in mathematics, Naldic, University of Edinburgh,2014.
[2] Gika M Filozoja i mistika broja, Novi Sad: Knjiºevna zajednica Novog Sada1987.
[3] Inglis M, Attridge N Does Mathematical Study Develop Logical Thinking? WorldScientic Publishing Europe Ltd New Jersy, 2016.
[4] Petrovi¢ G. Logika Zavod za udºbenike Beograd 2011.
[5] Romano D. Jedno istraºivanje o studentskim konstrukcijama formule sa logi£komimplikacijom i njenom kontrapozicijom, Zbornik radova U£iteljskog fakulteta, 9,2015, str. 217-224
[6] Walton D. Are some Modus Ponens Arguments Deductively Invalid? InformalLogic Vol 22, No 1 2002, pp. 19-46
PROCJENA NIVOA MATEMATIKE SPOSOBNOSTIUENIKA OSNOVNIH KOLA
Almir Huskanovi¢Univerzitet u Zenici
Naida Biki¢Univerzitet u Zenici
PISA (Programme for International Student Assesment) je projekat testiranja pet-naestogodi²njih i ²esnaesto-godi²nih u£enika osnovnih i srednjih ²kola iz oblastiprirodnih nauka, £itanja, tj. razumijevanja pro£itanog teksta i matematike. PISAtestovima provjerava se kako se u£enici snalaze u rje²avanju ºivotnih, prakti£nihproblema, onih koji se naj£e£¢e ne mogu na¢i u udºbenicima i zbirkama zadatakapredvienih po nastavnom planu i programu. Time se nagla²ava da u£enik nakonzavr²ene osnovne ²kole sa sobom nosi, ne samo konkretna znanja iz raznih nauka,nego i sposobnost da ta znanja primjeni u svakodnevnom ºivotu. U£enici osnovnih²kola iz Bosne i Hercegovine su, po£ev²i od aprila 2018. godine, takoe u£esniciovog velikog meunarodnog projekta. Upravo to je bio motiv da testiramo jednu
grupu u£enika osnovnih ²kola u Srednjobosanskom kantonu, nastoje¢i ispo²tovative¢inu propozicija predvienih po PISA sistemu. Dobijeni rezultati tog testiranja suvrlo lo²i, ²to pokazuje da su na²i u£enici na jednom o po£etnih nivoa matemati£kepismenosti, a ²to je karakteristi£no za u£enike iz skoro svih drºava u na²oj regiji.
Bibliography
[1] Baucal, A., Pavlovi¢ Babi¢ D., Nau£i me da mislim, nau£i me da u£im: PISA2009 u Srbiji, prvi rezultati, Institut za psihologiju Filozofskog fakulteta Uni-verziteta u Beogradu, Centar za primijenjenu psihologiju, Beograd, 2010.;
[2] Biki¢ N., Burgi¢ Dº., Huskanovi¢ A., Matemati£ka pismenost i primjeri PISAtestova, 10th Research/Expert Conference with International Participation Qual-ity 2017, ISSN 1512-9268, Neum 2017., str. 343. - 348.;
[3] Mili¢ D., Matemati£ka pismenost u£enika osnovnih ²kola Srednjobosanskog kan-tona, Filozofski fakultet u Zenici, Zenica, 2018.;
[4] OECD (2016), PISA 2015 Results (Volume I): Excellence and Equity in Educa-tion, OECD Publishing, Paris.
KONTEKSTUALNI ZADACI U NASTAVIMATEMATIKE MEDICINSKIH KOLA
Karmelita Pjani¢[email protected]
Univerzitet u Biha¢u, Pedago²ki fakultet
Kao ciljevi nastave matematike u srednjim strukovnim ²kolama isti£u se sticanjeznanja i vje²tina potrebnih za obavljanje budu¢eg zanimanja. Meutim, udºbenicimatematike u Bosni i Hercegovini i, u velikoj mjeri nastava matematike u strukovnim²kolama, usmjereni su ka rje²avanju standardnih zadataka s utvrenim postupkomrje²avanja u matemati£kom kontekstu. Upitno je da li takav pristup pou£avanjumatematike u strukovnim ²kolama zaista ispunjava deklarisane ciljeve nastave, tj.da li u£enici strukovnih ²kola znaju i umiju da rije²e matemati£ke zadatke u kontek-stu njihove struke.Cilj ovog rada je ukazati na mogu¢nosti unapreenja procesa pou£avanja i u£enjamatematike u ²kolama medicinskog usmjerenja, prvenstveno oboga¢ivanjem matem-ati£kih sadrºaja zadacima modelovanja i zadacima zadanim u kontekstu medicinskestruke.
Bibliography
[1] Blum, W., Niss, M., Applied mathematical problem solving, modeling, applica-tions and links to other subjects, Educational Studies in Mathematics, 22 (1),1991, 36 38;
[2] Doosti, A., Ashtiani, A.M. Mathematical Modeling: a new approach for mathe-matics teaching in dierent levels, 2010;
[3] Greer, B. Modelling reality in mathematics classrooms: the case of wordproblems, Learning and Instruction, 7 (4), 1997, 36 38;
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÊÈ ÑÈÌÁÎËÈ ÍÀ ÍÅÊÈÌÑÐÏÑÊÈÌ ÑÏÎÌÅÍÈÖÈÌÀ
Ðàäîñëàâ Ìèëîøåâè£Ôèëîçîôñêè ôàêóëòåò Ïàëå
Ó îâîì ðàäó áè£å ðèjå÷è î åëåìåíòèìà íåáåñêå ìàòåìàòèêå íà íåêèì ñðïñêèìñïîìåíèöèìà è óòèöàjèìà äðóãèõ íàðîäà íà òó ïîjàâó. ×îâjåê êàî ñâåìèð £åáèòè óâîäíè ïðèëàç ó îâîj òåìè êîðèñòå£è çëàòíè ïðåñjåê èç ìàòåìàòèêå. Çàòèì£åìî îáðàäèòè ½áîæàíñêó ïðîïîðöèjó êðñòà è ÷îâjåêà îáðàäè£åìî ñèìáîëåâàñèîíå íà ñðïñêèì êàìåíèì ê»èãàìà (ñòå£öèìà) ñïåöèjàëíî £åìî èëóñòðîâàòèêîíóñíå ñïèðàëå íà íåêèì ñðïñêèì ñïîìåíèöèìà. Íà êðàjó £åìî íàâåñòè ñðïñêóñâåìèðñêó òîïîíèìèjó äàíàñ.ʧó÷íå ðèjå÷è: Ìàòåìàòè÷êè ñèìáîëè, âàñèîíå, êîñìè÷êå ñïèðàëå, ñðïñêèñïîìåíèöè, ñâåìèðñêà òîïîíèìèjà ñðïñêà.
Ó×ÅØÅ Ó×ÅÍÈÊÀ ÍÀ ÒÀÊÌÈ×ÅÈÌÀ ÈÇÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ Ó ÌËÀÈÌ ÐÀÇÐÅÄÈÌÀÎÑÍÎÂÍÅ ØÊÎËÅ ÈÇ ÓÃËÀ Ó×ÈÒÅÀÑà»à Ìàðè÷è£, Êðñòèâîjå Øïèjóíîâè£, Íåíàä Ìèëèíêîâè£
Óíèâåðçèòåò ó Êðàãójåâöó, Ïåäàãîøêè ôàêóëòåò ó Óæèöó
Èäåjà ìàòåìàòè÷êèõ òàêìè÷å»à ðàçâèjàëà ñå óïîðåäî ñà ðàçâîjåì äðóøòâàè øêîëå, à äàíàñ ñó âåîìà ðàñïðîñòà»åíà è ïðèñòóòíà íà ñâèì íèâîèìàìàòåìàòè÷êîã îáðàçîâà»à. Ó ðàäó àóòîðè óêàçójó íà êàðàêòåðèñòèêåìàòåìàòè÷êèõ òàêìè÷å»à ó÷åíèêà ìëà¢èõ ðàçðåäà îñíîâíå øêîëå, »èõîâåâðåäíîñòè ó óëîãó ó÷èòå§à è ó÷åíèêà ó òîì ïðîöåñó. Ïîñåáíó ïàæ»ó ñêðå£ó íàïèòà»à ïîëîæàjà è óëîãå ó÷åíèêà ó òàêìè÷å»ó. Ó òîì êîíòåêñòó îðãàíèçîâàëèñó èñòðàæèâà»å ñ öè§åì äà ñàãëåäàjó ìèø§å»à ó÷èòå§à î ìàòåìàòè÷êèìòàêìè÷å»èìà ó ìëà¢èì ðàçðåäèìà îñíîâíå øêîëå. Íà óçîðêó ó÷èòå§à êîjèðàäå ó îñíîâíèì øêîëàìà íà òåðèòîðèjè Ðåïóáëèêå Ñðáèjå îðãàíèçîâàëè ñó
èñòðàæèâà»å ñ öè§åì äà èñïèòàjó íà êîjè íà÷èí ó÷èòå§è âðøå èçáîð ó÷åíèêàçà ìàòåìàòè÷êà òàêìè÷å»à, êàêî ñòðàõ îä íåóñïåõà íà òàêìè÷å»ó äåëójå íàó÷åíèêå, çáîã ÷åãà ó÷åíèöè îäëàçå íà ìàòåìàòè÷êà òàêìè÷å»à è êàêî íåñóïåõíà òàêìè÷å»ó äåëójå íà ó÷åíèêå. Äîáèjåíè ðåçóëòàòè ïîêàçójó äà ó÷èòå§è çàòàêìè÷å»à áèðàjó ó÷åíèêå êîjè ïîñåäójó ïîñåáíå ñïîñîáíîñòè çà ìàòåìàòèêóè ó÷åíèêå êîjè ñó çà »èõ çàèíòåðåñîâàíè; äà çíàòàí áðîj ó÷åíèêà îäóñòàjå óòîêó ïðèïðåìà îä òàêìè÷å»à çáîã ñòðàõà îä íåóñïåõà; ñïî§àø»è ôàêòîðèó âèäó íàãðàäà, ïîõâàëà, ïðèçíà»à è ïîëîæàjà ó äðóøòâó, ïðåìà ìèø§å»óó÷èòå§à, ïðåäñòàâ§àjó íàjçíà÷àjíèjè ìîòèâàöèîíè ïîäñòðåê çà ó÷åñòâîâà»å óìàòåìàòè÷êèì òàêìè÷å»èìà; íåóñïåõ ó÷åíèêà íà ìàòåìàòè÷êèì òàêìè÷å»èìà,ïðåìà ìèø§å»ó ó÷èòå§à, íå ïðåäñòàâ§à îêîëíîñò êîjà ó âåëèêîj ìåðè óòè÷åíà îäëóêó ó÷åíèêà äà ïîíîâî íå ó÷åñòâójå ó òàêìè÷å»ó.ʧó÷íå ðå÷è: ìàòåìàòè÷êî òàêìè÷å»å, ïî÷åòíà íàñòàâà ìàòåìàòèêå,ìàòåìàòèêà, ó÷åíèöè.
ÏÐÈÑÒÓÏ ÍÀÑÒÀÂÈ ÀËÃÅÁÐÅ Ó ÌËÀÈÌÐÀÇÐÅÄÈÌÀ ÎÑÍÎÂÍÅ ØÊÎËÅ ÇÀÑÍÎÂÀÍ ÍÀ
ÐÅÀËÍÎÌ ÊÎÍÒÅÊÑÒÓÍåíàä Ìèëèíêîâè£, Ñà»à Ìàðè÷è£
Óíèâåðçèòåò ó Êðàãójåâöó, Ïåäàãîøêè ôàêóëòåò ó Óæèöó
Ñàäðæàjè àëãåáðå ïðåäñòàâ§àjó âàæàí äåî íàñòàâíîã ïðîãðàìà ìàòåìàòèêåó ìëà¢èì ðàçðåäèìà îñíîâíå øêîëå, àëè ñà äðóãå ñòðàíå âåëèêè áðîj àóòîðàóêàçójå íà òåøêî£å êîjå ïîñòîjå ïðèëèêîì ó÷å»à è ðàçóìåâà»à îâèõ ñàäðæàjà îäñòðàíå ó÷åíèêà. Ñóøòèíà íàñòàâå àëãåáðå íà ìëà¢åì øêîëñêîì óçðàñòó îãëåäàñå ó ïîâåçèâà»ó àðèòìåòè÷êèõ è àëãåáàðñêèõ ñàäðæàjàè ñìåðó ó÷å»à êîjèïî÷èâà íà ó÷å»ó ó ðåàëíîì êîíòåêñòó,ó ñìåðó îä êîíêðåòíîã êà àïñòðàêòíîì,îäíîñíî îä àïñòðàêöèjå êà ãåíåðàëèçàöèjè. Íèjå äîâî§íî ñàìî äà ó÷åíèê îâëàäàîäðå¢åíèì àëãåáàðñêèì òåõíèêàìà, âå£ jå ïîòðåáíî äà ðàçâèjå òàêàâ íà÷èíðàçìèø§à»à, ó êîìå £å àíàëèçèðàòè è óî÷àâàòè âåçå èçìå¢ó ïðîìåí§èâèõ èóìåòè äà èõ ãåíåðàëèçójå ó øèðå àëãåáàðñêå êîíöåïòå. Ñàìà êîìïëåêñíîñòñàäðæàjà àëãåáðå, ïîòåøêî£å êîjå íàñòàjó íà ïóòó óñâàjà»à îâèõ ñàäðæàjà,»èõîâîì ðàçóìåâà»ó è êîðèø£å»ó óñëîâ§àâà è ñïåöèôè÷àí èçáîð ìåòîäà,ïðèñòóïà, ñòðàòåãèjà ðàäà íà ïóòó ìåòîäè÷êå òðàíñôîðìàöèjå îâèõ ñàäðæàjà óðàäó ñà ó÷åíèöèìà. Ó òîì êîíòåêñòó àóòîðè ñêðå£ó ïàæ»ó íà êîíòåêñòóàëíèïðèñòóï ó÷å»ó îâèõ ñàäðæàjà è êðîç ìîäåëîâà»å ïðîáëåìñêèõ ñèòóàöèjàóêàçójó íà ìîãó£å íà÷èíå ìåòîäè÷êå òðàíñôîðìàöèjå îâèõ ñàäðæàjà.ʧó÷íå ðå÷è: àëãåáðà, àëãåáàðñêî ìèø§å»å, êîíòåêñòóàëíè ïðèñòóï íàñòàâè èó÷å»ó, ïî÷åòíà íàñòàâà ìàòåìàòèêå, ìàòåìàòèêà.
MOTIVACIJA UCENIKA EKONOMSKE SKOLE ZAUCENJE MATEMATIKE
Marina ZubacFakultet prirodoslovnih i odgojnih znanosti Mostar
U ovom radu smo istraºivali utjecaj motivacije u£enika ekonomske ²kole na uspjehiz matematike. Istraºivanje je provedeno u Srednjoj ²koli u itluku, a obuhva¢aloje 150 u£enika ekonoskog usmjerenja. U£enici su bili podijeljeni po stupnju moti-vacije u tri skupine: iznadprosje£ni, prosje£ni I ispodprosje£ni u£enici. Podijela jeizvr²ena na osnovu upitnika motivacije, koji su ispunjavali svi u£enici. Osim togasvi su u£enici rje²avali test iz matematike na po£etku I na kraju istraºivanja. Rezul-tati istraºivanja pokazuju da postoji statisti£ki zna£ajna razlika izmeu inicijalnog Inalnog mjerenja kod u£enika s visokokom motivacijom za u£enje matematike.Klju£ne rije£i : motivacija, matematika, nastava matematike.
PITANJA, NALOZI I ZADACI U UDBENICIMAMATEMATIKE ZA OSNOVNU KOLU
Sanja Anelkovi¢[email protected]
Univerzitet u Ni²u, Pedago²ki fakultet u Vranju
Nela Malinovi¢-Jovanovi¢[email protected]
Univerzitet u Ni²u, Pedago²ki fakultet u Vranju
Pitanja, nalozi i zadaci predstavljaju osnovno sredstvo misaonog aktiviranja u£enikau nastavi matematike. S tim u vezi, i zadaci u udºbenicima trebaju biti logi£kipovezani sa sadrºajem, jasno formulisani, precizni, realno izvodljivi. U radu jeizvr²ena analiza udºbeni£kih kompleta matematike za drugi razred osnovne ²kole,sa ciljem da se ispita zastupljenost besmislenih, nerealnih i neodreenih pitanja,naloga za aktivnosti i zadataka u njima. Analiza se odnosila na zastupljenost ovihtipova zadataka u odnosu na: udºbeni£ke jedinice (udºbenik, radna sveska), tematskeceline i postavljene kriterijume smislenosti. Rezultati analize ukazuju na to da je sed-mina zadataka u razmatranim udºbeni£kim kompletima besmislena po nekom od ²estpostavljenih kriterijuma. Pritom, najvi²e su zastupljeni oni koji se odnose na slede¢ekriterijume: teºinu zadataka ispod o£ekivanog nivoa, nepostojanje prostornih uslovaza re²avanje zadataka i nepostojanje odgovaraju¢ih elemenata za njihovo re²avanje.Takoe, rezultati ukazuju i na to da je znatno ve¢i broj zadataka sa nedostatkom uodnosu na smislenost zastupljen u udºbeniku u odnosu na radnu svesku, dok je, uodnosu na tematsku celinu, procentualno najve¢i broj zadataka ovog tipa zastupljenu tematskoj celini Prirodni brojevi do 100. Od zadataka koji su okarakterisani kaobesmisleni, najzastupljeniji su kvaziaktiviraju¢i i nerealni zadaci, dok su najmanjezastupljeni zadaci koji podsti£u na bubanje. Dobijeni rezultati, izmeu ostalog,
mogu uticati na pobolj²anje kvaliteta udºbenika, pre svega u pogledu usloºnjavanjazahteva za u£enike i obezbeivanja neophodnih uslova i elemenata za njihovo re²a-vanje.
Literatura
[1] Zakon o udºbenicima i drugim nastavnim sredstvima Republike Srbije (2009).Ministarstvo prosvete i nauke Republike Srbije
[2] Ivi¢, I. i sar. (2008). Vodi£ za dobar udºbenik op²ti standardi kvalitetaudºbenika. Novi Sad: Platoneum.
[3] Ivi¢, I. i sar. (2004). Osnovni standardi kvaliteta ²kolskih udºbenika. Beograd:Obrazovni forum.
[4] Matovi¢, N. (2009). Vrste zadataka i njihove karakteristike u udºbeniku matem-atike. Nastava i vaspitanje, 58(2), 185-200.
[5] Pe²ikan, A. i Jankovi¢. S. (1998). Analiza udºbenika i radne sveske za predmetpoznavanje dru²tva za IV razred osnovne ²kole. Psihologija, 31(1-2), 137-152.
[6] Pingel, F. (2005). Priru£nik UNESKA za prou£avanje i reviziju udºbenika.Novi Sad: Platoneum.
[7] Plut, D. (ur.) (2007). Kvalitet udºbenika za mlai ²kolski uzrast. Beograd:Institut za psihologiju; Filozofski fakultet.
[8] Potkonjak, N. i Pijanovi¢, P. (prir.) (1996). Pedago²ki leksikon. Beograd:Zavod za udºbenike i nastavna sredstva.
[9] Pravilnik o standardima kvaliteta udºbenika i uputstvo o njihovoj primeni(2010). Nacionalni prosvetni savet.
[10] Todorovi¢, O. i Ognjanovi¢, S. (2011). Matematika 2 udºbenik za drugirazred osnovne ²kole. Beograd: Zavod za udºbenike.
[11] Todorovi¢, O. i Ognjanovi¢, S. (2013). Matematika 2 veºbanka za drugirazred osnovne ²kole. Beograd: Zavod za udºbenike.
ÏÐÈÊÀÇ ÓÁÅÍÈÊÀ: ÊÎÌÏÅÒÅÍÖÈJÅÍÀÑÒÀÂÍÈÊÀ ÇÀ ÏÎ×ÅÒÍÓ ÍÀÑÒÀÂÓ
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅÂàèò Ä. Èáðî, Åóãåí àjêî
Ó÷èòå§ñêè ôàêóëòåò, Óíèâåðçèòeò ó Ïðèøòèíè-Ê.Ìèòðîâèöà
Êàêî áè êîä ó÷åíèêà ïîñïåøèëè ó÷å»å, îëàêøàëè óñâàjà»å íîâèõçíà»à è ïîáî§øàëè ðåçóëòàòå ó÷åíèêà ó äàíàø»åì (è áóäó£åì) âåîìàêîìëåêñíîì îêðóæå»ó, íàñòàâíèöè ìîðàjó ïîñåäîâàòè è ðàçâèjàòè øèðîêñïåêòàð êîìïåòåíöèjà: ïñèõîëîøêèõ, ëîãè÷êèõ, äèäàêòè÷êèõ, ìåòîäè÷êèõ,òåõíè÷êèõ. Íàñòàâíè÷êå êîìïåòåíöèjå ñó êàïàöèòåòè êîjè ñå èñêàçójó óâðøå»ó ñëîæåíèõ àêòèâíîñòè ó âàñïèòíî-îáðàçîâíîì ðàäó. Êîìïåòåíöèjåïðåäñòàâ§àjó ñêóï ïîòðåáíèõ çíà»à, âåøòèíà è âðåäíîñíèõ ñòàâîâà íàñòàâíèêà.Îíå ñå îäðå¢ójó ó îäíîñó íà öè§åâå, çàäàòêå, èñõîäå ó÷å»à è îáðàçîâíåñòàíäàðäå ïîñòèãíó£à. Ó¶áåíèê jå íàñòàî êàî ïëîä âèøåãîäèø»åã èñêóñòâààóòîðà, êàî è ïðà£å»à òðåíäîâà ó ñàâðåìðåíîj ìåòîäèöè íàñòàâå ìàòåìàòèêå.Áîãàò ìàòåðèjàëîì, îáè§å ïðèìåðà, èëóñòðàöèjà è ïðèëîãà óìíîãîìå ìîæåïîìî£è ó÷èòå§èìà è íàñòàâíèöèìà ìàòåìàòèêå ïðè îñìèø§àâà»ó,ïëàíèðà»ó,îðãàíèçîâà»ó è èçâî¢å»ó íàñòàâå.ʧó÷íå ðå÷è: êîìïåòåíöèjå, ïî÷åòíà íàñòàâà ìàòåìàòèêå, ìàòåìàòèêå,ìåòîäè÷êî îáëèêîâà»å
ÏÐÀÊÒÈ×ÍÀ ÏÐÈÌÅÍÀ ÕÅÓÐÈÑÒÈ×ÊÈÕÌÅÒÎÄÀ Ó ÍÀÑÒÀÂÈ
Ìèðêî Äåjè£, Âå§êî Áàí¢óð, Äðàãàí Ìàðòèíîâè£Óíèâåðçèòåò ó Áåîãðàäó, Ó÷èòå§ñêè ôàêóëòåò
Áåç îáçèðà íà ðàçëè÷èòå äåôèíèöèjå ïîjìà õåóðèñòèêà, ñâå îíå óêàçójó äàjå »åíà îñíîâíà êàðàêòðåðèñòèêà ïðîíàëàçàøòâî, íà øòî óïó£ójå è ñàìîçíà÷å»å ðå÷è (ãð÷. õåóðèñòèêà = íà¢åì, ïðîíà¢åì). Õåóðèñòè÷êà ìåòîäàîòêðèâà»à íîâèõ ÷è»åíèöà èìà ñìèñëà ó íàñòàâè, jåð òðåáà èìàòè ó âèäó äàîíî øòî jå ïîçíàòî íàñòàâíèêó çà ó÷åíèêå jå íîâî è òåê òðåáà äà ñå îòêðèjå.Öè§ íàøåã ðàäà jåñòå äà íà íåêîëèêî ïðàêòè÷íèõ ïðèìåðà ïîêàæåìî êàêîõåóðèñòè÷êà ìåòîäà ìîæå äà ñå êîðèñòè ó íàñòàâè. Ó ðàäó ñå äàjå äåôèíèöèjàõåóðèñòèêå, êîíêðåòèçójå õåóðèñòè÷êà ìåòîäà íà ôîðìèðà»ó íåêèõ ïîjìîâàèç îáëàñòè ìàòåìàòèêå è ôèçè÷êîã âàñïèòà»à è ïîêàçójå êàêî ñå ïîñòàâ§àjóõåóðèñòè÷êà ïèòà»à.ʧó÷íå ðå÷è: Õåóðèñòèêà, õåóðèñòè÷êà ìåòîäà, õåóðèñòè÷êà íàñòàâà,ôîðìèðà»å ïîjìîâà, õåóðèñòè÷êà ïèòà»à.
UTICAJ PROSTORNIH SPOSOBNOSTI NASAVLADAVANJE GRADIVA IZ NACRTNE
GEOMETRIJE KOD STUDENATA INENJERSTVASandra Kosi¢-Jeremi¢
[email protected] u Banjoj Luci, Arhitektonsko-graevinsko geodetski fakultet
Maja Ili¢[email protected]
Univerzitet u Banjoj Luci, Arhitektonsko-graevinsko geodetski fakultet
Nacrtna geometrija je obavezan predmet koji se izu£ava na prvoj godini studijaarhitekture, graevinarstva i geodezije na Arhitektonsko-graevinsko-geodetskomfakultetu Univerziteta u Banjoj Luci. Tokom izvoenja nastave na ovom predmetu,uo£ene su odreene razlike u brzini savladavanja gradiva, kao i u uspje²nosti stude-nata u odnosu na prol struke. Da bi procijenili prostorne sposobnosti kod stude-nata, odnosno njihove sposobnosti percepcije i prezentacije prostora koje su bitneza razumijevanje nacrtne geometrije, studenti su testirani na po£etku semestra i nakraju semestra (nakon odslu²anog gradiva iz predmeta Nacrtna geometrija) pomo¢utestova prostornih sposobnosti koji su se sastojali od osam zadataka za provjerusposobnosti mentalne rotacije, razvoja povr²i tijela i mentalnog presjeka zadanih ti-jela. Ovi testovi procjenjuju uroene sposobnosti kod kandidata, ali se odreenimiskustvom u rje²avanju zadataka ove vje²tine mogu pobolj²ati. Uporeen je usp-jeh na oba testa i izra£unata je korelacija izmeu uspjeha na testovima prostornihsposobnosti i kona£nog uspjeha iz predmeta Nacrtna geometrija, kao i razlike u usp-jehu izmeu studenata razli£itih usmjerenja. Testirano je ukupno 104 studenta prvegodine Arhitektonsko-graevinsko-geodetskog fakulteta Univerziteta u Banjoj Luci,²kolske 2017/18 godine. U analizi rezultata kori²ten je analiti£ko-statisti£ki paketSPSS v.20.
NEDOUMICE NASTALE NAKON POGRENOPOSTAVLJENOG ZADATKA
efket Arslanagi¢[email protected]
Prirodno-matemati£ki fakultet, Sarajevo
Sada kao umirovljenik Prirodno-matemati£kog fakulteta Univerziteta u Sarajevuprisje¢am se nekoh zgoda i nezgoda nastalih na po£etku moje profesorske karijere uGimnaziji u Trebinju. Sje¢am se jednog zadatka iz geometrije £ije je rje²enje izaz-valo mnogo nedoumica kod mojih vrijednih u£enika, a bogami u po£etku i kod mene.Radi se o sljede¢em zadatku:U jednakokra£nom trokutu 4ABC je [AB] = [AC] = 20, ^BAC = 36 i
[BC] = 13 Neka to£ka D /∈ AC tako da je [BD] = [BC]. Izra£unati duljinu
duºine DC.
Literatura
[1] Arslanagi¢, ., Matematika za nadarene, Bosanska rije£, Sarajevo, 2005.
[2] Arslanagi¢, ., Metodi£ka zbirka zadataka sa osnovama teorije iz elementarnematema-tike, Gra£ar promet d.o.o., Sarajevo, 2006.
[3] Mattler, M., Von Charme der verblassten Geometrie, Verlag Eurobit, Temeswar,2000.
INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAICINEQUALITIES
efket Arslanagi¢[email protected] of Sarajevo
Faruk [email protected]
University of Sarajevo
The paper considers the well interesting proofs of two algebraic inequalities.First, we will give the proof of the next algebraic inequality with the radicals:√
x2 + 3 +√y2 + 3 +
√xy + 3 ≥ 6; (x, y ≥ 0, x+ y = 2).
We will give now one new inequality:√x2 + 15 +
√y2 + 15 +
√xy + 15 ≥ 12; (x, y ≥ 0, x+ y = 2).
Keywords: inequality, radicals, generalisation.
References
[1] Arslanagi¢, . (2004). Matematika za nadarene, Bosanska rije£, Sarajevo(BiH).
[2] Cirtoaje, V. (2006). Algebraic Inequalities-Old and New Methods, Gil Pub-lishing House, Zalau (Romania).
[3] Cvetkovski, Z. (2012). Inequalities-Theorems, Techniques and Selected Prob-lems, Springer Verlag Berlin Heidelberg.
[4] AOPS-Art of Problem Solving (web page).
ÑÒÓÄÅÍÒÑÊÀ ÑÅÊÖÈJÀ
STUDENT SECTION
NEDOKAZIVOST U INTUICIONISTICKOJ LOGICIejla Dautovic
[email protected]£ki institut SANU, Beograd
Mladen Zeki¢[email protected]
Matemati£ki institut SANU, Beograd
Klini je 1952. godine osmislio formalni sistem G3 koji predstavlja varijantu sekventnogra£una originalno uvedenog od strane Gerharda Gencena. Sistem G3 je zadat tako daminimizira broj razli£itih premisa za dati zakljucak, pa stoga u njemu postoji manjemogu¢nosti za dokaz odreenog sekventa nego u klasi£nom sekventnom ra£unu. Zatoje sistem G3 naro£ito pogodan da se u njemu pokaºe nedokazivost nekog sekventa. Uovom radu bi¢e pokazano da neke konkretne formule nisu dokazive u intuicionistickojlogici koriste¢i sistem G3 i neka svojstva sekvenata koja ostaju invarijantna tokomizvoenja u ovom sistemu. Ovo je zajedni£ki radni projekat sa ejlom Dautovi¢.