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Page 1: Olivier Debarre Lauren t Maniv eldebarre/36.pdf · r X whic h parametrizes linear subspaces of dimension r con tained in X Assume for simpli ci t y that X is generic and that n is

SUR LA VARI�ET�E DES ESPACES LIN�EAIRES CONTENUS DANS UNEINTERSECTION COMPL�ETE

Olivier Debarre � �� Laurent Manivel�

� IRMA � Math�ematique � CNRS� Universit�e Louis Pasteur� �� rue Ren�e Descartes� ����� Strasbourg C�edex�France �email debarre�math�ustrasbg�fr � Institut Fourier� Universit�e de Grenoble �� B�P� ��� ����� Saint Martin d�H�eres� France

�email Laurent�Manivel�ujfgrenoble�fr

Mathematics Subject Classi�cation � ��M��� ��G��� ��J��� ��J��� ��J��� ��C��

Abstract � Let X be a subvariety of Pn de�ned by equations of degrees d�� � � � � ds � over an

algebraically closed �eld k of any characteristic� We study the scheme Fr�X which parametrizes linear

subspaces of dimension r contained in X � Assume for simplicity that X is generic and that n is large

enough� We prove that Fr�X is connected and smooth of the expected dimension �this was previously

known in characteristic � or for r � � � When k � C � using Bott�s theorem� we prove a vanishing theorem

for certain bundles on the Grassmannian and use it to determine the cohomology groups of Fr�X in degree

� dimX� �r � and to prove that Fr�X is projectively normal in the Grassmannian� Finally� we prove

that the Chow group A��Fr�X �Q is of rank � � and that Fr�X is unirational� All bounds on n are

e�ective�

Soient k un corps alg�ebriquement clos et X un sous�sch�ema dun espace projectifPnk on note Fr�X� le sous�sch�ema de la grassmannienne G�r�Pn

k � qui param etre les espaceslin�eaires de dimension r contenus dans X � Ces sch�emas ont une longue histoire ��F�� �vW���AK�� �BVV�� �B��� �PS�� �K�� �ELV�� �BV�� mais il ne semble pas exister dans la litt�eratured�enonc�e g�en�eral sur leurs propri�et�es� m�eme les plus simples comme la connexit�e� valable entoute caract�eristique� Un des buts de cet article est de rassembler des faits g�en�eraux sur cessch�emas�

Apr es un paragraphe de notations� on obtient dans le x �� en se basant sur les id�eesde �K�� notre premier r�esultat principal � pour une intersection compl ete g�en�erale X �autrequune quadrique�� le sch�ema Fr�X� est non vide et lisse de la dimension attendue � lorsquecelle�ci est positive� et connexe lorsque � � � � Dans le x �� on applique des r�esultats de �D�� et�S� pour calculer certains groupes dhomotopie de Fr�X� � Par ailleurs� le sch�ema Fr�X� estle lieu des z�eros dune section dun �br�e vectoriel sur la grassmannienne G�r�Pn� lorsquila la dimension attendue � � son id�eal admet une r�esolution par un complexe de Koszul� Unth�eor eme dannulation pour certains �br�es vectoriels sur G�r�Pn� �prop� ���� nous permetde montrer notre second r�esultat principal� a savoir un th�eor�eme de type Lefschetz� qui permet

� Financ�e en partie par le Projet Europ�een HCM hhAlgebraic Geometry in Europe ii �AGE � ContratCHRXCT�������

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d�obtenir� pour k � C � les nombres de Hodge hp�q�Fr�X�� pour p � q assez petit �inf�erieur a dim X� �r � � pour n grand�� Apr es avoir r�edig�e cette partie� nous nous sommes renduscompte que Borcea avait d�ej a utilis�e le th�eor eme dannulation de Bott dans ce cadre �ilobtient entre autres les r�esultats du x� en caract�eristique nulle��

Les m�emes m�ethodes permettent d�etudier dans le x � la restrictionH��G�r�Pn��O�l�� �� H��Fr�X��O�l�� on montre que pour n assez grand� Fr�X� estprojectivement normal dans G�r�Pn� � et que toute �equation de Fr�X� est de degr�e aumoins �egal a une �equation de X dans Pn � On donne aussi une formule explicite pour lecalcul du degr�e des sch�emas Fr�X� � cest le coe�cient dun mon�ome particulier dans unpolyn�ome explicite en r � � variables� On donne quelques exemples de ce calcul pour deshypersurfaces de bas degr�e�

On sint�eresse ensuite aux sous�sch�emas de Fr�X� qui param etrent les r�planscontenant un r��plan �x�e le th�eor eme principal du x� g�en�eralise les r�esultats analoguesdu x � dans ce cadre� On en d�eduit que Fr�X� est s�eparablement unir�egl�e en droites pourn assez grand� ce qui nous permet dans le x � dadapter des id�ees de �K� pour montrer�toujours pour n assez grand� que le groupe de Chow rationnel des ��cycles sur un sch�emaFr�X� est de rang � � Il est tentant de g�en�eraliser une conjecture de Srinivas et Paranjape��P�� de la fa�con suivante � pour n assez grand� les groupes de Chow rationnels de bassedimension de Fr�X� devraient �etre ceux de la grassmannienne ambiante G�r�Pn� �

Dans le x �� on d�emontre� comme conjectur�e dans �BVV�� que le sch�ema Fr�X� estunirationnel pour n assez grand et X g�en�erique� On se ram ene pour cela a un r�esultat dePredonzan ��Pr��� pr�ecis�e dans larticle �PS�� qui fournit un crit ere explicite pour lunirationa�lit�e dune intersection compl ete dans un espace projectif� Les bornes obtenues sont explicites�mais tr es grandes par exemple� on montre que la vari�et�e des droites contenues dans unehypersurface cubique de Pn est unirationnelle pour n � ��� �alors que cest d�ej a une vari�et�ede Fano pour n � � �� Lorsque X est une hypersurface� une version un peu plus g�en�eraledes r�esultats de ce x est d�emontr�ee dans �Ch� la d�emonstration est bas�ee sur des r�esultatsde Harris� Mazur et Pandharipande�

Les r�esultats de cet article ont paru pour la premi ere fois en novembre ���� sur leserveur alg�geom� sous le titre hhSch�emas de Fano ii �

�� Notations

Soient k un corps alg�ebriquement clos et V un k�espace vectoriel de dimen�sion n � � � Pour toute suite �nie d � �d�� � � � � ds� dentiers positifs� et tout entier posi�tif r � on note jdj �

Psi�� di � puis d� r � �d� � r� � � � � ds � r� et

�d

r

��Psi��

�dir

�� On

pose Symd V� �Lsi�� Symdi V� � espace vectoriel que lon notera aussi �PV�d� � En�n�

si f � �f� � � � � fs� est un �el�ement non nul de SymdV� � on note Xf le sous�sch�ema de PVd�equations f� � � � � � fs � � on dira dun tel sch�ema quil est d�e�ni par des �equations dedegr�e d �

On pose ensuite

��n�d� r� � �r � ���n� r� �

�d� rr

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et ���n�d� r� � minf��n�d� r�� n � �r � sg � que lon �ecrira simplement � et �� lorsqueaucune confusion ne sera a craindre�

�� Dimension� lissit�e et connexit�e

On montre dans ce num�ero que les sch�emas Fr�X� associ�es a un sous�sch�ema X dePnk d�e�ni par des �equations de degr�e d � �d�� � � � � ds� sont lisses de la dimension attendue

pour X g�en�erale� et connexes lorsque cette dimension est strictement positive� Divers casparticuliers du th�eor eme suivant �etaient d�ej a connus � citons par exemple �BVV�� qui traitele cas k � C et r � s � � �P�� �Mu� et �PS�� qui d�emontrent b� �B��� qui d�emontre leth�eor eme lorsque k est de caract�eristique nulle et �K�� qui traite le cas r � s � � �th� ����p� ����� et dont nous empruntons les id�ees� Lorsque k � C � une d�emonstration compl etementdi��erente d�ecoule de celle du th�eor eme ��� �cf� rem� �������

Pour appliquer le th�eor eme� il est utile de noter que lorsque d �� ��� � l�entier ��n�d� r�est positif �resp� strictement positif si et seulement si ���n�d� r� l�est�

Th�eor�eme ����� Soient X un sous�sch�ema de Pnk d�e�ni par des �equations de degr�e d � et

Fr�X� le sch�ema des r�plans contenus dans X �

a� Lorsque ���n�d� r� � � � le sch�ema Fr�X� est vide pour X g�en�erale�

b� Lorsque ���n�d� r� � � � le sch�ema Fr�X� est non vide il est lisse de dimension��n�d� r� pour X g�en�erale�

c� Lorsque ���n�d� r� � � � le sch�ema Fr�X� est connexe�

Consid�erons la vari�et�e dincidence

Ir � f�f � ���� � Symd V� �G�r�Pn� j � � Xfg �

et les projections pr � Ir � Symd V� �dont la �bre au�dessus de f sidenti�e a Fr�Xf � � etq � Ir � G�r�Pn� � Etant donn�e un r�plan � � PW � la �bre q������� est le noyau du mor�phisme surjectif SymdV� � Symd W� � Elle est donc de codimension

�d�rr

�dans Symd V� �

de sorte que Ir est irr�eductible lisse de codimension�d�rr

�dans Symd V� �G�r�Pn� �

On note Zr le ferm�e des points de Ir o u pr nest pas lisse� et �r limage de Zr

par pr �avec la convention ���� � �� Soit � un r�plan� d�equations xr�� � � � � � xn � �dans PV pour tout entier m � � � on note Bm la base fxJ j J � f�� � � � � rg � Card�J� � mgde lespace vectoriel ���m� on note aussi Bd la base ���Bd�� � � � � � �s�Bds� de lespacevectoriel ���d� �o u �i est linjection canonique de ���di� dans ���d� ��

Lemme ����� Pour qu�un point �f � ���� de Ir soit dans Zr � il faut et il su�t que lemorphisme � � �����n�r � ���d� d�e�ni par

��hr��� � � � � hn� �� nXj�r��

hj

� �f��xj

�j�� � � � �

nXj�r��

hj

� �fs�xj

�j�

ne soit pas surjectif�

Cela r�esulte dun calcul explicite fait dans �BVV� dans le cas r � s � � �

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Lorsque X est lisse de dimension n� s le long de �� on a une suite exacte

� �� N��X �� O����n�ru��

sMi��

O��di� �� � �

et le morphisme � nest autre que H��u� �cf� �BVV�� prop� � et �K�� p� ��� dans le casr � s � � �� La condition du lemme est donc �equivalente dans ce cas a lannulation deH����N��X� �

Soit � � ����� � ���d � �� � ���d� le morphisme de multiplication� d�e�ni par��h� g�� � � � � gs� � �hg�� � � � � hgs� � Si H est un hyperplan de ���d� � on note ����H�lensemble f g � ���d� �� j ������� � fgg� � H g �

On peut r�e�enoncer le lemme ��� de la fa�con suivante � soit Z le sous�ensemble deq��������P���d�� form�e des couples �f � ��� tels que

�� �f��xj

�j�� � � � �

� �fs�xj

�j�

soit dans ����Ker��� pour tout j � r � �� � � � � n alors Zr q������� sidenti�e a lapremi ere projection de Z � Pour tout entier h � notons Lh lensemble des formes lin�eaires sur ���d� v�eri�ant codim����Ker��� � h � et Zh lensemble des �el�ements �f � ��� de Zavec � Lh � On peut �ecrire fi �

Pnj�r�� xjfij � avec fij j� �

��fi�xj

�j�

� de sorte que

����� codimq������ pr��Zh� � h�n � r� � dimPLh

et

����� codimIr Zr � codimq������ pr��Z� � min��h�r��

�h�n� r� � dimPLh� �

����� Soit une forme lin�eaire sur ���d� � Soit M la matrice a coe�cients dans ���d�de la forme bilin�eaire � dans les bases B� et B � Bd�� � Pour quun �el�ement g �

Pb�B gbb

de ���d � �� soit dans ����Ker��� � il faut et il su�t queP

b gb�xjb� soit nul pour toutj � �� � � � � r � de sorte que la codimension de ����Ker��� dans ���d � �� est le rang de lamatrice �M� �

Lemme ����� Soient �f � ���� un �el�ement de Zr p��r ��r��� et une forme lin�eaire nonnulle sur ���d� � qui s�annule sur l�image de � � Alors ����Ker��� est de codimensionr � � dans ���d� �� �

Proc�edons par labsurde en supposant que la matrice �M� d�e�nie ci�dessus ne soit pasde rang maximal� Quitte a e�ectuer un changement lin�eaire de coordonn�ees� on peut supposer�xrb� � � pour tout b dans B � de sorte que si �� est lhyperplan de � d�e�ni par xr � � � laforme lin�eaire provient dune forme lin�eaire � sur ��� �d� � Si �� � ������n�r�� � ��� �d�est le morphisme associ�e au point �f � ����� de Ir�� d�e�ni dans le lemme ���� � sannulesur ���f�g � ������n�r� � Comme la restriction de �fi

�xr a �� est nulle pour tout i � la forme

lin�eaire � sannule sur toute limage de �� � ce qui contredit lhypoth ese f ��r�� �

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En dautres termes� q������� �

Zr p��r ��r����

est contenu dans pr��Zr��� � et����� entra� ne

dim�Zr p��r ��r���� � dim Ir � codimIr �Zr p��r ��r����

dimSymdV� � dim G�r�Pn��

�d� rr

�� �r � ���n� r� � dimP���d�� � dimSymd V� �

����� Il en r�esulte �r �r�� �� Symd V� � do u �r �� Symd V� par r�ecurrence sur r �

On remarquera que nous avons en fait d�emontr�e que �r a au plus une composanteirr�eductible de plus que �r�� � cest� a�dire au plus r � � composantes irr�eductibles�

Lemme ����� Pour � h r � � � la dimension de Lh est au plus h�r � h � �� ��d�h��h��

��

On garde les notations de ������ Supposons les h premi eres lignes de la matrice �M�lin�eairement ind�ependantes on peut �ecrire �xjb� �

Ph��i�� aij�xib� � pour tous j � h� � � � � r

et b � B � de sorte que les �bi� � pour bi � xI dans Bdi � peuvent sexprimer en fonction deceux pour lesquels I � f�� � � � � h� �g � et des h�r � h � �� coe�cients aij �

Lin�egalit�e ����� donne

codimIr Zr � min��h�r��

�h�n� �r � h� ���

�d� h� �h� �

��� � �

����� Lorsque d �� ��� � on v�eri�e que lexpression entre crochets est une fonction concave� de h sur ������ lorsque d � ��� et �� � � � cest une fonction croissante� On a danschacun de ces cas

codimIr Zr � minf����� ��r � ��g� � � �� � � �

Supposons �� � � � Si d � ��� � cela signi�e �r � n si une quadrique X contient unr�plan � � �ecrivons en gardant les m�emes notations f � xr��r�� � � � �� xnn � o u les isont des formes lin�eaires� Comme n� r r � celles�ci ont un z�ero commun sur � � qui estun point singulier de X � ce qui ne peut se produire pour X g�en�erale� Lorsque d �� ��� � ona � � � � do u dimIr � dimSymd V� � et pr nest pas surjective ceci montre a� dans tousles cas�

Supposons �� � � il existe dapr es ����� un point de Ir en lequel pr est lisse� Celaentra� ne que pr est surjective� et que Fr�X� est de dimension � pour X g�en�erale� Par ������pr est lisse au�dessus dun ouvert dense de Symd V� � ce qui montre b��

Supposons maintenant �� � � � et consid�erons comme dans �BVV� la factorisation deStein pr � Ir �� S

��� Symd V� du morphisme propre pr � Si le morphisme � est rami��e�

le th�eor eme de puret�e entra� ne que Zr contient limage inverse dun diviseur de S � ce quicontredit lestimation de ������ Il sensuit que � est �etale� donc que cest un isomorphismepuisque Symd V� est simplement connexe� La vari�et�e Fr�X� est donc connexe pour touteX � ce qui montre c��

Remarques ���� �� Soit S le sous��br�e tautologique sur G�r�PV� � Tout �el�ement f deSymdV� induit une section du �br�e Symd S� � dont le lieu des z�eros est le sch�ema Fr�Xf � � La

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partie b� du th�eor eme montre que lorsque ���n�d� r� � � � la classe de Chern cmax�Symd S��nest pas nulle� On verra dans le x � comment expliciter cette classe de Chern dans lanneaude Chow de la grassmannienne� On remarque que lorsque d � ��� et que �� � � � � lerang de Sym� S� est plus petit que la dimension de G�r�Pn� � mais sa classe de Cherndordre maximal �r�� r���r������ est nulle �cf� �Fu�� ex� ���������

�� Toute quadrique lisse X dans Pn est projectivement �equivalente a la quadriqued�equation x�x� � x�x � � � �� xn��xn � � si n est impair� a la quadrique d�equationx�x� � x�x � � � �� xn��xn�� � x�n � � si n est pair� Le sch�ema Fr�X� est donc lisseconnexe d es que �� � � � cest� a�dire n � �r � � on sait quil a deux composantes connexessi n � �r � � �

� Groupes d�homotopie� groupes de cohomologie et groupe de Picard

Les r�esultats de �D�� et �S� permettent de calculer les groupes dhomotopie des sch�emasFr�X� pour n assez grand�

Proposition ���� Soit X un sous�sch�ema de Pnk d�e�ni par des �equations de degr�e d �On suppose Fr�X� irr�eductible de dimension � �

a� Si n � �r��

�d�rr

�� r � � � le sch�ema Fr�X� est alg�ebriquement simplement con�

nexe� topologiquement simplement connexe lorsque k � C �

b� Lorsque k � C et que Fr�X� est lisse� on a �i�

G�r�Pn��Fr�X��

� � pourn � �

�d�rr

�� i� � � En particulier� si n � �

�d�rr

�� � � le groupe de Picard de Fr�X� est

isomorphe �a Z� engendr�e par la classe de O��� �

Le point b� est cons�equence directe de �S�� Pour a�� il su�t par �D��� cor� ��� demontrer que �Fr�X�� � �Fr�X�� � �G�r�Pn���� est non nul dans A�G�r�Pn�� � Par la remarque����� cette intersection est la classe de Chern de degr�e maximal de Symd S� � Symd S� � S� �et celle�ci est non nulle d es que ��n � �� �d�d�� r� est positif� condition qui d�ecoule delhypoth ese�

Remarques ��� �� On rappelle que �i�G�r�Pn�� �i���U�r � ��� pour i ��n� r� ��H��chap� �� si lon suppose aussi i ��r � �� � le th�eor eme de p�eriodicit�e de Bott impliquedonc �i�G�r�Pn�� � Z ou � selon que i est pair ou impair� En g�en�eral� il peut cependantappara� tre de la torsion �par exemple� ����G���Pn�� � Z� � Z��� si n � � ��

�� La remarque ���� montre que lorsque Fr�X� est de dimension � � on a

�Fr�X �G�r�Pn �

max�Symd S�jFr�X OFr�X�

�d� rr � �

�� n� �� �

En particulier� Fr�X� est une vari�et�e de Fano lorsque n ��d�rr��

�� donc simplement

connexe lorsque k � C ��C��� �KMM���� Cette borne est n�eanmoins moins bonne que cellede la prop� ����a� d es que lun des di est � � �

�� Les bornes de la proposition ne sont pas optimales� comme le montre lexemple ci�dessous�Le th�eor eme suivant laisse a penser que lon devrait avoir �i�G�r�Pn��Fr�X�� � � pouri ���n�d� r� �

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Exemple �� Soit X une hypersurface cubique lisse dans Pnk par �BVV�� prop� �� F��X�

est une vari�et�e lisse connexe de dimension �n� � � La proposition entra� ne que F��X� estsimplement connexe pour n � � � Lorsque k � C � cela reste vrai pour n � � ��BD�� prop���� mais pas pour n � � puisque b��F��X�� � �� ��AK�� prop� ������

Passons maintenant au r�esultat principal de ce num�ero� On a vu en ���� que Fr�X�est le lieu des z�eros dune section dun �br�e vectoriel sur la grassmannienne lorsquil a lacodimension attendue� son id�eal admet une r�esolution par un complexe de Koszul� Lorsquek � C � on montre a laide du th�eor eme de Borel�Weil�Bott ��Bo�� �De�� et des r�esultatsde �Ma�� et �Ma�� un th�eor eme dannulation �prop� ���� qui nous permettra de d�eterminercertains groupes de cohomologie des sch�emas Fr�X� �

Th�eor�eme ���� Soit X un sous�sch�ema de PnC d�e�ni par des �equations de degr�e d � tel que

Fr�X� soit lisse de dimension ��n�d� r� � Le morphisme de restrictionHi�G�r�Pn��Q� � Hi�Fr�X��Q� est bijectif pour i � ���n�d� r� �

En particulier� les nombres de Hodge hp�q�Fr�X�� et hp�q�G�r�Pn�� sont �egaux sip � q � �� � Rappelons que ces derniers sont nuls pour p �� q � et quils sont �egaux si p � qau nombre de partitions de p inscrites dans un rectangle de c�ot�es r � � et n� r � Onretrouve aussi un r�esultat de �BV� �

Corollaire � �� Si de plus �� � � � le groupe de Picard de Fr�X� est de rang � �

Remarques ��� �� La borne du th�eor eme est souvent la meilleure possible � pour unehypersurface cubique lisse X dans P� � on a �� � � et b�

�F��X�

�� �� ��BD�� prop�

��� Supposons d � ��� �� et n � �g � � la vari�et�e Fg���X� est isomorphe a lespace demodules des �br�es stables de rang � et de d�eterminant �x�e de degr�e impair sur une courbehyperelliptique C de genre g ��DR�� th� �� on a �� � � et b

�Fg���X�

�� �g ��D���

ex� ������� p� ����� La vari�et�e Fg���X� est isomorphe a la jacobienne de C ��DR�� th��� on a �� � � et b�

�Fg���X�

�� g � En�n� pour d � ��� �� et n � � � on a �� � � et

b��

F��X��

� � ��B��� th� �����

�� Le th�eor eme permet de retrouver� lorsque k � C � les points b� et c� du th�eor eme ��� cest la m�ethode suivie dans �B���

�� Il r�esulte du corollaire ��� et de �K�� cor� ����� p� ��� et cor� ���� p� ���� que pourn �

�d�rr��

�� r � � � les groupes H��Fr�X��!m

Fr�X� et H��Fr�X�� �!�

Fr�X��m� sont nuls pour

tout m � � � Lorsque k est de caract�eristique nulle� lannulation de ces groupes peut sed�eduire de la remarque ������ et du th�eor eme ���� de �K�� p� ��� �cf� �C�� et �KMM���� souslhypoth ese plus faible n �

�d�rr��

��

�� On montrera en ����� que pour n ��d�rr��

�� r � � et n �

�d�r��r��

�� on a H��q�Fr�X�� � �

pour tout q � � � un r�esultat qui nest pas couvert par le th�eor eme�

�� Lorsque n ��d�rr��

�� Fr�X� est une vari�et�e de Fano �remarque ������� Lorsque k est

de caract�eristique nulle� le th�eor eme dannulation de Kodaira entra� ne que son groupe dePicard est sans torsion �cf� �K�� ��������� p� ����� Vue lhypoth ese sur n � et sauf dans le casd � ��� �� et n � �r � � � on a �� � � � do u Pic�Fr�X�� Z par le corollaire �comparer avec

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la prop� ����b�� Lorsque d � ��� �� et n � �g � � � lisomorphisme Pic�Fg���X�� Z�O�����on a �� � � � est d�emontr�e dans �DR�� ������ �II�� p� ��� �cf� aussi �R���

D�emonstration du th�eor�eme �� � Sous les hypoth eses du th�eor eme� Fr�X� est le lieu desz�eros dune section du �br�e Symd S� � et sa codimension dans la grassmannienne est le rangde ce �br�e� Il existe donc une suite exacte �complexe de Koszul� �

����� � �max�

�Symd S� � � � � �

���Symd S� � Symd S � IFr�X � � �

Notre outil essentiel sera le th�eor eme dannulation suivant �

Proposition ���� Soient a� b� i� j�� � � � � js des entiers tels que b � a � d�j� � � � �� dsjs etb � i � �� � Alors

Hj������js�i�G�r�PnC��

j���Symd� S�� � � ��

js��Symds S�� S�a� S��b� � � �

Soit Sym� S une composante deVj��Symd� S�� � � ��

Vjs�Symds S�� S�a� S��b � o u� � ���� � � � � �r� est une suite d�ecroissante dentiers relatifs� Dapr es le th�eor eme de Bott��De�� �Ma���� Hj�i�G�Sym� S� ne peut �etre non nul que sil existe un entier h � avec� h r � � � tel que j � i � h�n� r� et �h h � ce qui implique en particulier que lasomme des composantes de � dindice sup�erieur ou �egal a h v�eri�e j�j�h h�r � �� h� �

Comme j�j � j�j��� d�j� � � � �� dsjs � a� b � � � le cas h � � est exclu� De plus�

j�j�h � j� � � � �� js �

�d� h� �h� �

�� b �

En e�et� supposons tout dabord a � b � � � Admettons provisoirement le cass � � le cas o u s est quelconque sensuit� puisque si Sym� S est un facteur di�rect de Sym�� S� � � ��Sym�s S � la r egle de Littlewood et Richardson implique j�j�h �j��j�h� � � �� j�sj�h � En�n� tensoriser par S�a ne peut quaugmenter j�j�h � tandis quetensoriser par S��b fait diminuer j�j�h au plus de b �

Pour conclure a une contradiction� il su�t donc de v�eri�er que pour � h r � � �

h�n� �r � h� �� �

�d� h� �h� �

�� b � i �

On retrouve au membre de gauche la fonction � de ����� comme �� est positif� lelemme r�esulte de lhypoth ese �� � b � i comme en ������ Il reste a traiter le cas a � b � �et s � � � qui r�esulte du lemme suivant�

Lemme ���� Soient V un espace vectoriel complexe� m et d des entiers� et e ladimension de Symd Vm � Pour toute composante irr�eductible Sym� V de

Vj �Symd V� � ona j�j�m � j � e �

Soit X la grassmannienne des sous�espaces de codimension m de V � soit Y celledes sous�espaces de codimension e de Symd V � On notera SX et QX les �br�es tautologique

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et quotient sur X � de m�eme que SY et QY sur Y � On plonge X dans Y en associant aunoyau du quotient V � Q celui du quotient induit Symd V � Symd Q �

Dapr es le th�eor eme de Borel�Weil�Vj �Symd V� est lespace des sections globales du

�br�e E � det QY �Vj�e SY � Notons ��l�l�� la �ltration de cet espace de sections selon

leur ordre dannulation l sur X � On dispose dapplications injectives

�l�l�� �� H��X�EjX � Syml N�� �

o u N est le �br�e normal de X dans Y �

Le membre de droite ne se d�eduit pas directement du th�eor eme de Borel�Weil�Cependant� tout �br�e homog ene F sur X admet une �ltration homog ene dont les quotientssuccessifs dont irr�eductibles� cest� a�dire produits de puissances de Schur de QX et SX � Lasomme grF de ces quotients ne d�epend pas de la �ltration choisie� et le lemme de Schurimplique lexistence dune injection H��X�F� �� H��X� grF� � le th�eor eme de Borel�Weilexplicite ce dernier espace de sections� Par exemple� QYjX � Symd QX est irr�eductible� et

gr SYjX �

dMi��

Symd�i QX � Symi SX

a tous ses termes de degr�e sup�erieur ou �egal a � en SX � Cela implique que EjX est sommede �br�es de la forme Sym� QX � Sym� SX � avec j�j � j � e � Lespace des sections globalesdun tel �br�e est une puissance de Schur Sym� V � o u � � ��� �� est la partition �si cen estune� obtenue en concat�enant � et � � En particulier� j�j�m � j�j � j � e � ce qui d�emontrele lemme pour les composantes de

Vj �Symd V� qui proviennent de ���� �

Pour �etendre ce r�esultat a celles qui proviennent de �l�l�� pour tout l � � � ilsu�t de sassurer que toute composante irr�eductible de grN� est de degr�e positif ou nul enSX � Mais cest une cons�equence imm�ediate du fait que N� est un sous��br�e homog ene de!�YjX � Q�

YjX � SYjX � puisque QYjX est de degr�e z�ero� et chaque composante de SYjX dedegr�e positif en SX �

Revenons a la d�emonstration du th�eor eme ��� posons G � G�r�PV� et F � Fr�X� �Il su�t de le v�eri�er pour la cohomologie complexe� donc� via la d�ecomposition de Hodge�de d�emontrer que les morphismes Hq�G�!p

G� � Hq�F�!pF� sont bijectifs pour p � q � �� �

et injectifs pour p � q � �� � On va montrer que les morphismes Hq�G�!pG� � Hq�F�!p

GjF�et Hq�F�!p

GjF� � Hq�F�!pF� ont les m�emes propri�et�es�

Pour les premiers� il sagit de v�eri�er que Hq�G�IF � !pG� � � pour p � q �� � donc�

via le complexe de Koszul� que

Hq�j���G�!pG �

j��Symd S�� � � pour tout j � � �

Rappelons que si Q est le �br�e quotient sur G � on dispose dun isomorphisme!�G Q� � S � do u la suite exacte � � !�

G � V� � S � S� � S � � � Sa puissance ext�erieurep�i eme montre que lannulation pr�ec�edente est cons�equence de

Hq�j�i���G�

j��Symd S��

p�i��V� � S�� Symi�S� � S�� � � pour tout j � � � i � � �

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ce quassure la proposition ��� d es que q �� �

Pour les seconds� la suite exacte normale montre quil su�t de sassurer que

Hq�i�F�!p�i��G jF � Symi�Symd S�� � � pour tout i � � �

donc� a cause encore une fois du complexe de Koszul� que

Hq�i�j�G�!p�i��G � Symi�Symd S��

j��Symd S�� � � pour tout i � � � j � � �

En raisonnant comme on vient de le faire� on constate que cette annulation a lieu d esque i � q � �� � ce qui conclut cette d�emonstration puisque i � p �

�� Normalit�e projective� �equations et degr�e

Th�eor�eme ����� Soit X un sous�sch�ema de PnC d�e�ni par des �equations de degr�e d � telque Fr�X� soit de dimension � � Supposons n � r �

�d�rr

�� Alors Fr�X� est projectivement

normale� autrement dit les morphismes de restriction

�l � H��G�r�Pn��O�l�� �� H��Fr�X��O�l��

sont surjectifs pour tout l � � � Par ailleurs� �l est injectif pour l � d� � minfd�� � � � � dsg �

Posons G � G�r�Pn� dapr es le th�eor eme de Bott�

Hj�G�

j��Symd S��l�� � � pour tout j � � et tout l � � �

En e�et� si lon raisonne comme dans la d�emonstration de la proposition ���� cet espacene peut �etre non nul que si j est multiple de n� r vue lhypoth ese n� r � codim Fr�X� � laseule possibilit�e est j � n� r � codim Fr�X� � auquel cas

Vj �Symd S��l� est une puissancede O��� � et na donc pas non plus de cohomologie en degr�e n� r � La normalit�e projectivesensuit� via le complexe de Koszul ����� tordu par O�l� �

En fait� les arguments pr�ec�edents impliquent plus pr�ecis�ement que la suite spectraleassoci�ee a ce complexe de Koszul tordu d�eg�en ere en E� � ce dont on d�eduit que le complexedes sections globales

� � � �� H��G�

���Symd S��l�� �� H��G�Symd S�l�� �� H��G�IFr�X�l�� �� �

est exact� Mais pour l � d� � on a H��G�Symd S�l�� � � dapr es le th�eor eme de Bott� do ulinexistence d�equations de Fr�X� de degr�e l �

Remarques ���� �� Ce dernier complexe implique au passage que H��G�IFr�X�d��� nestpas nul� et lon peut calculer explicitement sa dimension�

�� Les sch�emas Fr�X� ne sont en g�en�eral pas projectivement normaux si lon revientau cas d � ��� �� et n � �g � � �cf� rem� ������� la dimension des espaces vectoriels

��

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H��Fg���X��O�l�� est donn�ee par la formule de Verlinde ��Sz��� et aucun �l � l � � � nestsurjectif�

�� Le th�eor eme dannulation de Kodaira entra� ne que les groupes Hi�Fr�X��O�l�� sont nulspour i � � et l � �n �

�d�rr��

�� Si lon raisonne comme dans la preuve de la proposition

���� on montre facilement la m�eme annulation lorsque � � i � min��� n � �l � ��r � s� � Alext�erieur du domaine d�e�ni par ces in�egalit�es� il peut ne pas y avoir annulation � pourune sextique X dans P� � on peut montrer que H��F��X��O���� est de dimension � ������alors que F��X� est de dimension � ��

Introduisons des polyn�omes a r � � variables� e�x� � x� � � � �� xr � et

Qr�d�x� �Y

a������ar�d

�a�x� � � � �� arxr� �

puis Qr�d�x� � Qr�d��x� � � �Qr�ds�x� �

Th�eor�eme ���� Soit X un sous�sch�ema de Pnk d�e�ni par des �equations de degr�e d �

tel que Fr�X� soit de dimension � � Le degr�e de Fr�X� pour le plongement de Pl�ucker deG�r�Pn� est �egal au coe�cient du mon�ome xn�x

n��� � � � xn�rr dans le produit du polyn�ome

Qr�d� e et du Vandermonde�

Ce degr�e est

deg�F� �

ZG�r�Pn

cmax�Symd S��c��O���� �

Rappelons que lanneau de Chow de G�r�Pn� est un quotient de lanneau despolyn�omes sym�etriques a r � � variables x�� � � � � xr � e�x� relevant c��O���� � et Q�x�relevant cmax�Symd S�� ��Fu�� ������ De plus� int�egrer sur G revient� au niveau despolyn�omes� a d�ecomposer sur les polyn�omes de Schur ��M��� et ne retenir que le coe�cientde celui qui est associ�e a la partition rectangle ayant r � � parts �egales a n� r � a savoir�x� � � � xr�n�r �

Il su�t donc de montrer que si P est un polyn�ome sym�etrique� que lon d�ecomposesur les polyn�omes de Schur� le coe�cient du pr�ec�edent est �egal a celui du mon�omexn�x

n��� � � �xn�rr dans le produit de P et du Vandermonde� Mais par lin�earit�e� il su�t de

le v�eri�er lorsque P est lui�m�eme un polyn�ome de Schur� auquel cas cest une cons�equenceimm�ediate de lexpression de Jacobi de ces polyn�omes ��FH�� �A����� p� �����

Donnons quelques exemples num�eriques� dabord pour le cas des droites dunehypersurface� qui est d�u a Van der Waerden ��vW��� puis pour r � � � toujours dans lecas dune hypersurface�

��

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d n dimF deg F d n dimF deg F

� � � �� � � � � ���

� � � �� � � � �� ���

� � � ��� � � � �� ���

� � � ��� � � � �� ���

� � � ��� � � � ��� ���

� � � � ��� � � � ��� ���

� � � � ��� � � � � ��� ���

� � � � ��� � � � ��� ��� ���

�� Degr�es de sch�emas F��X �

r d n dimF deg F r d n dimF deg F

� � � � � ��� � � � � � ��� ��� ��� ���

� � � � �� ��� � � � � ��� ���

� � � � ��� ��� � � � � �� ��� ���

� � � � � ��� ��� � � �� � � ��� ��� ���

�� Degr�es de sch�emas Fr�X pour r � ���� � �

La m�eme m�ethode permet en fait de d�eterminer la d�ecomposition

�Fr�X�� �X

j�j�codimFr�X

f� �

de la classe fondamentale de Fr�X� sur les classes des cycles de Schubert de la grass�mannienne� o u lon note � la classe du cycle de codimension j�j associ�e a la partition� � ���� � � � � �r� �

Proposition ����� Si l�on �ecrit Qr�d�x� �P� q�x

� � et si � d�esigne la suite �r� � � � � �� �� �alors

f� �X

�Sr��

�� �q������ �

Notons que si lon adopte pour les cycles de Schubert la m�eme convention que pourles polyn�omes de Schur� a savoir que pour chaque suite dentiers � � on pose � � ��� � �sil existe une partition � et une permutation � � Sr�� telles que � � � � � �� � �� � et � � � sinon� la proposition pr�ec�edente se traduit par la simple �egalit�e

�Fr�X�� �X�

q� ��

��

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Donnons par exemple les classes de quelques vari�et�es Fr�X� en bas degr�e�

Si d � ��� � �Fr� � �r�� r���r������ �

Si d � ��� � �F�� � ��� ��� � ���� �

�F�� � ���� ���� � �� ����� � �� �� �� � �� ���� � �� � �� � �� ��� �

Si d � ��� � �F�� � ���� ��� �� ��� �

�F�� � ������ ��� �� � ��� ����� � ��� ����� � ���� �� �� � ���� ���

� ��� ����� � ���� ����� � ���� �� � � ��� ����� � ���� �����

� ����� ���� � ����� �� � � ����� ���� � ����� ���� � ���� ������ �

Si d � ��� � �F�� � ����� ���� ��� ��� �� �� �

Si d � ��� �� � �F�� � ��� ��� �� �

�F�� � ��� �� �� � ��� � ����� � � �� � � � � � �

� Espaces lin�eaires sur les sch�emas Fr�X�

Le but de ce paragraphe est de montrer que les sch�emas Fr�X� sont s�eparablementunir�egl�es en droites pour n assez grand �corollaire ����� Pour cela� nous commen�cons parg�en�eraliser les r�esultats du x � aux sous�sch�emas de Fr�X� form�es des r�plans contenant unsous�espace lin�eaire �xe de dimension r� � r � Pour de tels entiers� on pose

��n�d� r� r�� � �r � r���n� r� �

�d� r�r�

��

�d� rr

et

���n�d� r� r�� � minf��n�d� r� r��� n� �r � r� � ��

�d� r�r� � �

�g �

de sorte que ��n�d� r� � ��n�d� r���� et ���n�d� r� � ���n�d� r���� � De nouveau� il estutile de noter que lorsque d �� ��� � lentier ��n�d� r� r�� est positif �resp� strictementpositif� si et seulement si ���n�d� r� r�� lest cela r�esulte de la convexit�e de la fonc�tion � � r ��

�d�rr

�� r� � qui entra� ne lin�egalit�e ��r� � ��r�� � �r � r�����r� � ��� ��r���

�puisque r � r� �� Le th�eor eme suivant g�en�eralise le th�eor eme ����

Th�eor�eme ���� Soit X un sous�sch�ema de Pnk d�e�ni par des �equations de degr�e d � soit

�� un r��plan contenu dans X � et soit Fr�X���� � avec r � r� � le sch�ema de Hilbert desr�plans contenus dans X et contenant �� �

a� Lorsque ���n�d� r� r�� � � � le sch�ema Fr�X���� est vide pour X g�en�erale et ��

g�en�eral contenu dans X �

b� Lorsque ���n�d� r� r�� � � � le sch�ema Fr�X���� est non vide il est lisse de dimension��n�d� r� r�� pour X g�en�erale et �� g�en�eral contenu dans X �

c� Lorsque ���n�d� r� r�� � � � le sch�ema Fr�X���� est connexe�

En gardant les notations de la d�emonstration du th�eor eme ���� on consid ereG� � f��� � G�r�Pn� j � � ��g � La dimension de I� � q���G�� est �egale a

dimSymd V� �

�d� rr

�� �r � r���n� r� �

��

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Le c�one S� dans Symd V� correspondant aux sous�sch�emas contenant �� est decodimension

�d�r�r�

�� de sorte que dim I� � dim S� � � � Supposons �� � � si d � ��� � cela

signi�e �r � n � et on a d�ej a vu quune quadrique lisse dans Pn ne contenait pas de r�plan si d �� ��� � on a � � � � et le morphisme p�r � I� � S� induit par pr nest pas surjectif�

Cela montre a�� On suppose maintenant �� � � �xons un r�plan � contenant �� � etchoisissons des coordonn�ees de fa�con que �� soit d�e�ni par les �equations xr��� � � � � � xn � � �et � par xr�� � � � � � xn � � � Pour tout entier positif m � on note ���m� le noyau du mor�phisme ���m� � ����m� �

La d�emarche est enti erement analogue a celle de la d�emonstration du th�eor eme ����Soit f un �el�ement de S� pour que p�r soit lisse en un point �Xf ��� de I� � il faut et ilsu�t que le morphisme �� � �����n�r � ���d� induit par le morphisme � du lemme ���soit surjectif�

Soit Z� le lieu des points de I� o u p�r nest pas lisse on montre comme en ���"���� parr�ecurrence sur r � r� � que p�r�Z�� est distinct de S� � Soit �� � ����� � ���d � �� � ���d�le morphisme induit par la multiplication � � On montre de la m�eme fa�con que si h est unentier compris entre � et r � r� � lensemble des formes lin�eaires � sur ���d� telles quecodim���� ��� � h est de dimension

h�r � r� � h� �

�d� r� � hr� � h

��

�d� r�r�

��

On en d�eduit que la codimension de Z� dans I� est

� min��h�r�r�

�h�n� r� � h�r � r� � h��

�d� r� � hr� � h

��

�d� r�r�

�� � �

� minfn� �r � r� � ��

�d� r�r� � �

�� �g� � � �� � � �

puisque la fonction entre crochets est une fonction concave de h lorsque d �� ��� � etcroissante lorsque d � ��� puisque �� est positif �cf� ������� La �n de la d�emonstrationest la m�eme que celle du th�eor eme ����

Soient X un sous�sch�ema de Pnk d�e�ni par des �equations de degr�e d � et � un �r � ���

plan contenu dans X � Les r �plans contenus dans � d�e�nissent une inclusion de �� dansFr�X�� dont limage par le plongement de Pl#ucker est un �r � ���plan�

Corollaire ���� Soit X un sous�sch�ema de Pnk d�e�ni par des �equations de degr�e d �

a� Si d �� ��� et n � �r

�d�r

r

�� r � s

r � ou si d � ��� et n � �r � � � la vari�et�e X estrecouverte par des r�plans�

b� Si n ��d�rr��

�� r � � � la sous�vari�et�e Fr�X� de G�r�Pn� est unir�egl�ee en droites�

Le point a� r�esulte du th�eor eme avec r� � � � Soit �� un r�plan contenu dans X sousles hypoth eses de b�� le th�eor eme ����b� entra� ne quil existe un �r � ���plan �� contenudans X et contenant �� � Le �r � ���plan ��

� � contenu dans Fr�X� � passe par ���� � Enparticulier� il passe une droite par tout point de Fr�X� �

��

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Th�eor�eme ��� Soit X un sous�sch�ema g�en�eral de Pnk d�e�ni par des �equations de degr�e

d on suppose n ��d�rr��

�� r � � � Soit � un �r � ���plan g�en�eral contenu dans X � La

restriction �a une droite g�en�erale de �� du �br�e normal �a �� dans Fr�X� est isomorphe �a

Or�n�r����d�rr�����d�rr � �O���n�r����d�rr��� �

Soit N le �br�e normal a �� dans Fr�X� on a la suite exacte

� �� N �� N���G ���

NFr�X�G

�j�� �� �

jj jj

�S�j���n�r�� Symd S�j��

dont la restriction a une droite contenue dans �� est

����� � �� Nj� �� �S�j��n�r�� u

�� Symd S�j� �� � �

Comme S�j� est isomorphe a Or �O��� � cela entra� ne que Nj� est isomorphe a unesomme directe

Lj O�aj � avec aj � pour tout j � On v�eri�e que H���S�j�� sidenti�e a

H����O���� � cest� a�dire a lespace vectoriel not�e ����� dans la d�emonstration du th�eor eme��� et H���Symd S�j�� a ���d� � Soient x� un point de � et �� lhyperplan de � associ�e�On a un diagramme commutatif

�����n�r�� ���� �����n�r�� ���� ������n�r

��

y �y

y���d� ���� ���d� ���� ��� �d�

o u les notations sont celles de la d�emonstration du th�eor eme ���� On v�eri�e que � sidenti�e a H��u� � et �� a H��u��x��� � H��� �S�j����x��n�r��� � H���Symd S�j���x��� � Comme

���n�d� r � �� r� � n� r � ��

�d� rr � �

est positif par hypoth ese� la d�emonstration du th�eor eme ��� entra� ne que H��u��x��� estsurjectif il en r�esulte que H���Nj���x��� est nul� donc que les aj sont tous positifs� Lerang et le degr�e de N� �etant donn�es par ������ cela d�emontre le th�eor eme�

Il nest pas vrai en g�en�eral que le �br�e normal a �� dans Fr�X� soit somme de �br�esen droites cependant� cest le cas lorsque ��n�d� r � �� est nul ��BV�� prop� ���

��

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Corollaire � �� Soit X un sous�sch�ema g�en�eral de Pnk d�e�ni par des �equations de degr�e

d on suppose n ��d�rr��

�� r � � � La vari�et�e Fr�X� est s�eparablement unir�egl�ee en droites�

Lhypoth ese sur n entra� ne que ���n�d� r � �� est positif soient �� un �r � ���plang�en�eral contenu dans X � et une droite g�en�erale contenue dans ��

� � Le th�eor eme pr�ec�edententra� ne que le �br�e normal a dans Fr�X� est somme de copies de O� et O���� � doncque est libre au sens de �K�� p� ���� Le corollaire r�esulte alors de loc�cit�� p� ����

�� Cycles alg�ebriques

On voudrait montrer que pour n assez grand� les groupes de Chow rationnels deFr�X� sont les m�emes que ceux de la grassmannienne ambiante G�r�Pn� � g�en�eralisant ainsides r�esultats de �P�� �K� p� ���� et �ELV�� qui traitent le cas r � � � On nobtient malheureuse�ment de r�esultats nouveaux que pour les groupes A��Fr�X��Q � en caract�eristique nulle� Lesid�ees sont celles de �K��

Proposition ����� Soit X un sous�sch�ema de Pnk d�e�ni par des �equations de degr�e d on

suppose n ��d�rr��

�� Le sch�ema Fr�X� est connexe par cha��nes rationnelles en particulier�

A��Fr�X�� Z �

Lorsque X est g�en�erale� il r�esulte du th�eor eme ��� et de la remarque ������ que Fr�X�est une vari�et�e de Fano lisse connexe� donc est connexe par cha� nes rationnelles ��K�� �����p� ����� Le cas g�en�eral sen d�eduit comme dans �K�� ���� p� ����

On suppose maintenant k � C �pour g�en�eraliser les r�esultats qui suivent en toutecaract�eristique� il su�rait de montrer que le groupe de N�eron�Severi dun sch�ema Fr�X�g�en�eral est de rang � ��

Proposition ����� Soit X un sous�sch�ema de PnC d�e�ni par des �equations de degr�e d on suppose n �

�d�rr��

�� r � � � Deux points quelconques de Fr�X� peuvent �etre joints par

une courbe connexe de degr�e ��n�d� r� � dont toutes les composantes sont des droites�

On peut supposer X g�en�erale� de sorte que Fr�X� est une vari�et�e de Fano lisseunir�egl�ee en droites �cor� ����b��� de groupe de N�eron�Severi de rang � �cor� ����� sauf dansle cas trivial n � � � r � � et d � ��� � Le corollaire r�esulte de �K�� p� ����

Soient X un k�sch�ema et m un entier positif on note Am�X� �resp� Bm�X� � legroupe des classes d�equivalence rationnelle �resp� alg�ebrique� de m�cycles sur X �cf� �K�� p������ Pour lapplication du th�eor eme suivant� on notera que lin�egalit�e n �

�d�r��r��

�entra� ne

n ��d�rr��

�� r � � sauf si d � ��� � � � � �� et r s �

Th�eor�eme ���� Soit X un sous�sch�ema de PnC d�e�ni par des �equations de degr�e d on

suppose n ��d�rr��

�� r � � �

a� L�espace vectoriel B��Fr�X��Q est de rang � �

b� Si de plus n ��d�r��r��

�� l�espace vectoriel A��Fr�X��Q est de rang � �

En raisonnant comme dans �K�� p� ���� on voit que la proposition ��� entra� ne queA��Fr�X��Q est engendr�e par les classes des droites� Ces droites sont param�etr�ees par

��

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un �br�e en G�r � ��Pr��� au�dessus de Fr���X� � de sorte quil existe un morphismesurjectif A��Fr���X��Q � A��Fr�X��Q � Sous lhypoth ese de a�� Fr���X� est connexe� Souslhypoth ese de b�� il r�esulte du cor� ��� que A��Fr���X��Q est de dimension � �

����� Supposons Fr�X� lisse� La conclusion de la partie a� du th�eor eme pr�ec�edent restevalable sous lhypoth ese plus faible n �

�d�rr��

� cela r�esulte du corollaire ��� et de �BS� �cf�

aussi �K�� th� ����� p� ����� Dautre part� le th�eor eme �����b� de �J� entra� ne que sous leshypoth eses de b�� on a H��q�Fr�X�� � � pour tout q � � � un r�esultat qui nest pas couvertpar le th�eor eme ����

Lorsque X contient un �r � l��plan � � le plongement G�r��� � Fr�X� � G�r�Pn�induit un isomorphisme Ai�G�r���� Ai�G�r�Pn�� pour i l ��Fu�� p� ����� de sorte quona une surjection Ai�Fr�X��� Ai�G�r�Pn�� �

Conjecture �� �� Soit X un sous�sch�ema de Pnk d�e�ni par des �equations de degr�e d � Si

n ��d�r�lr�l��

�� le morphisme Al�Fr�X��Q � Al�G�r�Pn��Q induit par l�inclusion est bijectif�

Lorsque l � � et k � C � cest le th�eor eme pr�ec�edent pour r � � cest le th�eor emeprincipal de �ELV��

�� Unirationalit�e

Nous allons maintenant d�emontrer lunirationalit�e des sch�emas Fr�X� pour n assezgrand en nous ramenant a un r�esultat de �PS�� qui fournit un crit ere explicite pourlunirationalit�e dune intersection compl ete dans un espace projectif�

Ce crit ere est le suivant� On d�e�nit tout dabord� pour toute suite d � �d�� � � � � ds�dentiers strictement positifs� des entiers n�d� et r�d� de la fa�con suivante � on posen��� � r��� � � �dans �PS�� on trouve n��� � � � mais n��� � � su�t� si lun des di vaut� � on note d� la suite d priv�ee de di � et on pose n�d� � n�d�� � � et r�d� � r�d�� en�n�si tous les di sont � � � on pose r�d� � n�d� �� et n�d� � r�d� �

�d�r�d��

r�d

�� On a par

exemple

r��� � � � � �� � s � � r��� � � � � �� � s� � s� �

r��� � � � � �� � s� � s � � �s��s � ���s� � s � ��

��

Les bornes donn�ees dans �Ra� sont un peu meilleures� mais nous navons pas su extrairede cet article un crit ere e�ectif�

Th�eor�eme ��Pr�� �PS�� ����� Soit F une intersection compl�ete dans PNk d�e�nie par

des �equations g � �g�� � � � � gS� de degr�e D et contenant un r�D��plan � � On supposeN � n�D� � que F est irr�eductible de codimension S et lisse le long de � � et que l�application� � kN�� � ���D� �� d�e�nie par

��a�� � � � � aN� �� NXj��

aj

� �g��xj

�j�� � � � �

NXj��

aj

� �gS�xj

�j�

est surjective� Alors F est unirationnelle�

On remarquera que la surjectivit�e de � entra� ne celle de lapplication � d�e�nie en���� donc la lissit�e de Fr�D�F� en � �

��

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Th�eor�eme ����� Il existe une constante explicite n�d� r� telle que� pour n � n�d� r� �le sch�ema des r�plans contenus dans un sous�sch�ema g�en�erique X de Pnk d�e�ni par des�equations de degr�e d � est unirationnel�

Remarques ��� �� La borne n�d� r� que lon obtient est tr es grande� Elle est d�e�nie dela fa�con suivante � soit D la suite dentiers o u chaque di est r�ep�et�e

�di�rr

�fois on pose

r� � �r�D� � ���r � ��� � et

n�d� r� � r� �

�d� r� � �

r�

��

Pour le cas le plus simple r � � et d � ��� � cest� a�dire pour le sch�ema desdroites contenues dans une hypersurface cubique� on a D � ��� �� �� �� � r��� �� �� �� � ��et n����� �� � ��� � Dans ce cas pr�ecis� il est facile dam�eliorer la borne de �PS� enr��� �� �� �� � �� �il su�t de remarquer quune intersection de � quadriques est rationnelled es quelle contient un ��plan dans son lieu lisse� en proc�edant par exemple comme dans�CTSSD�� on obtient alors n����� �� � ��� �

On obtient aussi n���� � � � � ��� r� � s�s � ���r���

��r � ��� � � Rappelons que pour

d � ��� �� et n � �g � � � la vari�et�e Fr�X� est une vari�et�e ab�elienne pour r � g � � �cf� rem�������� et quelle est rationnelle pour r � g � � ��N��� donc unirationnelle pour r g � � �

�� Ladjectif hhg�en�erique ii de l�enonc�e du th�eor eme peut �etre pr�ecis�e � si n � n�d� r� � lesch�ema Fr�X� est unirationnel sil est irr�eductible de dimension ��n�d� r� et si X contientun r��plan �� pour lequel lapplication � du th�eor eme ��� est surjective�

D�emonstration du th�eor�eme� Soit V lespace vectoriel kn�� � On note �x��� � � � � x�r� �avec x�j� �x

�j� � � � � � x

�jn � � les coordonn�ees homog enes dun point de lespace projectif

P � P�Vr��� � P�r���n���� � Soit $ la sous�vari�et�e de P d�e�nie comme le lieu despoints �x��� � � � � x�r� tels que les points �x���� � � � � �x�r� de PV ne soient pas lin�eairementind�ependants� Lapplication

� � P $ �� G�r�PV�

qui a �x��� � � � � x�r� associe le r�plan engendr�e par les points �x���� � � � � �x�r� de PV estune �bration lisse connexe localement triviale�

Soient f � �f� � � � � fs� les �equations d�e�nissant X � On note F ladh�erence dans Pde ����Fr�X�� lorsque ��n�d� r� � � � il ressort du th�eor eme ��� que la vari�et�e F estirr�eductible de codimension

�d�rr

�dans P et lisse en dehors de $ pour f g�en�erique�

Pour tout entier d � on note Id le sous ensemble de Nr�� form�e des �i�� � � � � ir�tels que

Pi� � d il a

�d�rr

��el�ements� Pour tout �el�ement f de Symd V� et tout �el�ement

I � �i�� � � � � ir� de Id � on d�e�nit un polyn�ome fI multihomog ene de mutidegr�e �i�� � � � � ir�sur P en posant

����� f���x�� � � � �� �rx

�r� �XI�Id

�IfI�x��� � � � � x�r� �

o u �I � �i�� � � � �irr on convient aussi que fI est nul si lun des i� est strictement n�egatif�

En dehors de $ � la vari�et�e F est d�e�nie par les �equations

fi���x�� � � � �� �rx

�r� � � pour i � �� � � � � s et pour tout ���� � � � � �r� � Pr �

��

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cest� a�dire par les�d�rr

��equations fi�I � pour i � �� � � � � s et I � Idi � En fait� comme

$ est de codimension n � �� r dans P � si on suppose n� r ��d�rr

�� ces �equations

d�e�nissent F dans P la vari�et�e F est alors une intersection compl ete irr�eductible� lisseen dehors de $ � Son degr�e est la suite D o u chaque di est r�ep�et�e

�di�rr

�fois� Posons

r� � �r�D� � ���r � ��� � on suppose ��n�d� r�� � � � de sorte quil existe un r��plan�� � PW� contenu dans X on le suppose d�e�ni par les �equations xr��� � � � � � xn � � �On note �r��

� le ��r� � ���r � �� � ���plan P�Wr��� � dans P �

Soit � un r�D��plan contenu dans �r��� et disjoint de $ �on pr�ecisera plus bas

notre choix de ��� En vue dappliquer le th�eor eme ���� on veut v�eri�er que lapplication� � k�r���n�� � ���D � �� d�e�nie par

��a��� � � � � a�r� ��Xj�l

a�jl

� �fi�I

�z�jl

�j�

���i�s� I�Idi

est surjective� D�erivons l�egalit�e ����� par rapport a x�jl on obtient

�j�f

�zl���x

�� � � � �� �rx�r� �

XI�Id

�I�fI

�z�jl

�x��� � � � � x�r� �

de sorte que si �j est l�el�ement de I� dont toutes les composantes sauf la j i eme sont nulles�on a � �f

�zl

�I f jg

��fI

�z�jl

pour tout I dans Id et tout j � �� � � � � r � On peut donc �ecrire

��a��� � � � � a�r� ��Xj�l

a�jl

� �fi�zl

�I f jgj�

���i�s� I�Idi

ou encore� en posant �af �Pl al

� �f

�zl

�j��

pour tout f dans Sym� V� �

��a��� � � � � a�r� ��X

j

��a�j�fi�I f jg j�

���i�s� I�Idi

Lemme �� �� Pour n � r� ��d�r���

r�

�et f g�en�erique dans Symd V� nul sur �� �

l�application�� � kn�� �� ��� �d� ��

a ��� ��af�� � � � � �afs�

est surjective�

Il su�t de trouver un f pour lequel les� �f��zl

� � � � ��fs�zl

���l�n

engendrent ��� �d� �� �

Soient J�� � � � � Js des sous�ensembles disjoints de fr� � �� � � � � ng tels que Card Ji ��di�r���

r�

��

et soit fgjgj�Ji une base de ����di � �� � Il su�t de prendre fi �Pj�Ji

xjgj �

��

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Puisque � est contenu dans �r��� � lapplication � se factorise par ����r�� � et il

su�t de d�emontrer que les applications

�d ��

����d� ��� r��

�� ���d� ��Id

�g��� � � � � g�r� ����X

j

g�jI f jgj�

�I�Id

sont surjectives pour d � d�� � � � � ds � Nous allons montrer quelles sont surjectives pour toutd � pour un choix convenable de � � Posons x��� x��r�D���� � de sorte que les x�� � pour� � r et � � r�D� � forment des coordonn�ees sur �� � Prenons pour � le r�D��plande �r��

� d�e�ni par les �equationsx�j��� x

���� ���j

il est bien disjoint de $ � et param�etr�e par les y� � x���� � pour � � �� � � � � r�D� �

Lemme ����� Pour tout entier d � l�application

��d�q� ����d� �� �� ���d � ��Id��

g ����gIj�

�I�Id��

est surjective�

Soit g �Y���

xn���� on a

g���x�� � � � � � �rx

�r�j��Y���

���x���� � � � � � �rx

�r���

n��

j��Y���

���y��n�� �

de sorte que gIj�est le mon�ome

Q� y

P�n��

� siP

� n��� i� pour tout � � et est nul

sinon� Il reste a montrer que si I � �i�� � � � � ir� est �x�e dans Id�� � et si n�� � � � � nr�D sontdes entiers positifs de somme d� � � il existe des entiers positifs n�� avec

P� n��� n�

etP

� n��� i� pour tous � et � � ce pour quoi il su�t de se donner deux partitions dunensemble a n �el�ements en parties �A������r et �B������r�D de cardinaux respectifs i�et n� � et de prendre pour n�� le cardinal de A� B� �

Pour montrer la surjectivit�e de �d� il su�t donc de montrer celle de lapplication

�EId��

�r���� EId

��g��I �I� � � � � �g

�rI �I� ���

�g��J f �g

� � � �� g�rJ f rg

�J�Id

o u E est lespace vectoriel ����d � �� cela se fait sans di�cult�e pour nimporte quel espacevectoriel E par r�ecurrence sur r �

On a montr�e que toutes les applications �di� donc aussi lapplication � � sontsurjectives� Si �r � ���n � ��� � � n�D� � on peut appliquer le th�eor eme ��� pour conclureque F est unirationnelle� donc aussi Fr�X� ceci termine la d�emonstration du th�eor eme�

��

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R�EF�ERENCES

�AK� A� Altman� S� Kleiman � Foundations of the theory of Fano schemes� Comp� Math� �������� �"���

�BVV� W� Barth� A� Van de Ven � Fano varieties of lines on hypersurfaces� Arch� Math� �������� �������

�BD� A� Beauville� R� Donagi � La vari�et�e des droites d�une hypersurface cubique dedimension � � C�R�A�S�� t� ���� S�erie I ������� ���"����

�BS� S� Bloch� V� Srinivas � Remarks on correspondences and algebraic cycles� Am� J� ofMath� � ������� ����"�����

�BV� L� Bonavero� C� Voisin � Sch�emas de Fano et vari�et�es de Moishezon� C�R�A�S�� t� ����S�erie I ������� ����"�����

�B�� C� Borcea � Deforming varieties of k�planes of projective complete intersections� Paci�cJ� Math� �� ������� ��"���

�B�� C� Borcea � Homogeneous Vector Bundles and Families of Calabi�Yau Threefolds� II� inSeveral Complex Variables and Complex Geometry �Santa Cruz ������ Part �� Proc�Symp� Pure Math� � ������� ��"���

�Bo� R� Bott � Homogeneous vector bundles� Ann� Math� �� ������� ���"����

�C�� F� Campana � Remarques sur le rev�etement universel des vari�et�es k�ahleriennes com�pactes� Bull� S�M�F� ��� ������� ���"����

�C�� F� Campana � Connexit�e rationnelle des vari�et�es de Fano� Ann� Sci� E�N�S� � ����������"����

�Ch� X� Chen � Unirationality of Fano Varieties� Duke Math� J� � ������� ��"���

�CTSSD� J��L� Colliot�Th�el ene� J��J� Sansuc� P� Swinnerton�Dyer � Intersection of twoquadrics and Ch�atelet surfaces� I� J� reine angew� Math� � ������� ��"����

�D� O� Debarre � Th�eor�emes de connexit�e pour les produits d�espaces projectifs et lesgrassmanniennes� Am� J� of Math� ��� ������� ����"�����

�D�� O� Debarre � Sur la cohomologie de N�r� d� � in Modules des Fibr�es Stables sur lesCourbes Alg�ebriques� �editeurs J��L� Verdier et J� Le Potier� Progress in Mathematics��� Birkh#auser ������� ���"����

�De� M� Demazure � A very simple proof of Bott�s theorem� Invent� Math� ������� ���"����

�DR� U� Desale� S� Ramanan � Classi�cation of Vector Bundles of Rank � on HyperellipticCurves� Invent� Math� � ������� ���"����

�ELV� H� Esnault� M� Levine� E� Viehweg � Chow groups of projective varieties of very smalldegrees� Duke Math� J� �� ������� ��"���

�F� G� Fano � Sul sistema �� di rette contenuto in una variet�a cubica generale dello spazioa quattro dimensioni� Atti Reale Accad� Sci� Torino � ������� ���"����

�Fu� W� Fulton � Intersection theory� Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete ��Springer Verlag� Berlin� �����

��

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�FH� W� Fulton� J� Harris � Representation theory� Graduate Text in Mathematics ����Springer Verlag� Berlin� �����

�H� D� Husemoller � Fibre bundles� �nd ed�� Graduate Text in Mathematics �� SpringerVerlag� Berlin� �����

�J� U� Jannsen � Motivic Sheaves and Filtrations on Chow Groups� in Motives �Seattle� ������Part �� Proc� Symp� Pure Math� ������� ���"����

�K� J� Koll�ar � Rational Curves on Algebraic Varieties� Ergebnisse der Mathematik und ihrerGrenzgebiete �� Springer Verlag� Berlin� �����

�KMM�� J� Koll�ar� Y� Miyaoka� S� Mori � Rationally Connected Varieties� J� Alg� Geom� �������� ���"����

�KMM�� J� Koll�ar� Y� Miyaoka� S� Mori � Rational Connectedness and Boundedness of FanoManifolds� J� Di�� Geom� � ������� ���"����

�M� I�G� Macdonald � Symmetric functions and Hall polynomials� Clarendon Press� Oxford������

�Ma�� L� Manivel � Th�eor�emes d�annulation pour les �br�es associ�es �a un �br�e ample� Ann�Scuola Norm� Sup� Pisa �� ������� ���"����

�Ma�� L� Manivel � Applications de Gauss et pl�ethysme� Ann� Inst� Fourier ��� � ���������������

�Mu� J� Murre � Discussion of a theorem of Morin� notes de s�eminaire hhArgomenti diGeometrica Algebrica ii � Povo� Trento� �����

�N� P�E� Newstead � Rationality of moduli spaces of stable bundles� Math� Ann� �� ����������"����

�P� K� Paranjape � Cohomological and cycle�theoretic connectivity� Ann� Math� �� ����������"����

�PS� K� Paranjape� V� Srinivas � Unirationality of the general Complete Intersection ofsmall multidegree� in Flips and Abundance for Algebraic Threefolds� ed� J� Koll�ar�Ast�erisque ��� ������� ���"����

�Pr� A� Predonzan � Intorno agli Sk giacenti sulla variet�a intersezione completa di pi�u forme�Atti Accad� Naz� Lincei Rend� Cl� Sci� Fis� Mat� Natur� ������� ���"����

�R� S� Ramanan � The moduli spaces of vector bundles over an algebraic curve� Math� Ann�� ������� ��"���

�Ra� L� Ramero � E�ective bounds for unirationality of complete intersections� Manuscr�Math� �� ������� ���"����

�Sz� A� Szenes � Veri�cation of Verlinde�s formulas for SU��� � Internat� Math� Res� Notices� ������� ��"���

�S� A� Sommese � Complex Subspaces of Homogeneous Complex Manifolds IIHomotopyResults� Nagoya J� Math� �� ������� ���"����

�vW� B�L� van der Waerden � Zur algebraischen Geometrie � Die geraden Linien auf denHyper��achen des Pn � Math� Ann� �� ������� ���"����

��