Onde 27 dicembre 2012

Principio di HuygensRiflessione e rifrazione, dispersioneIntensita` delle onde riflesse e rifratteBirifrangenza, dicroismoLegge di Malus

Propagazione delle onde• La descrizione del moto delle onde deve render conto

dei fenomeni di propagazione sperimentalmente noti– Riflessione– Rifrazione– Interferenza– Diffrazione

• Il principio di Hyugens-Fresnel permette di spiegare tali fenomeni

• Li dimostreremo nel caso della luce, ma le considerazioni si possono estendere agli altri fenomeni ondulatori

2

t

t+dt

• I punti che stanno su un fronte d’onda ad un istante t sono sorgenti di onde sferiche elementari il cui inviluppo definisce il fronte d’onda all’istante t+dt

Principio di Huygens (PdH)

2

cos1 AAfA

• NOTA: Le onde elementari hanno ampiezza massima nella direzione di propagazione dell'onda primaria e decrescente all’aumentare dell’angolo a tra tale direzione e quella generica dell’onda elementare

• Nelle trattazioni piu` accurate si introduce quindi il fattore di obliquità f per l’ampiezza

3

Riflessione di un’onda piana su una superficie di separazione tra due mezzi

• Definiamo come piano d’incidenza il piano individuato dalla direzione dell’onda (cioe` dei raggi) e dalla normale n alla superficie di separazione tra i due mezzi

• L’onda incidente che si propaga nel mezzo 1 (trasparente) genera un’onda riflessa che si propaga sempre nel mezzo 1

4

• La legge della riflessione stabilisce che anche il raggio riflesso giace sul piano d’incidenza e che l’angolo di incidenza i e quello di riflessione r sono uguali

i r

1

2

ir

n

OO’’ O’

1

S’’

S’

2

Riflessione di un’onda piana su una superficie di separazione tra due mezzi

• Consideriamo un fronte d’onda O’’S’’ al tempo t0. Dopo un periodo T, esso si sarà spostato in O’S’ e così via

• I fronti dell’onda incidente distano 1=v1T ove v1 è la velocità di propagazione dell’onda luminosa nel mezzo 1

• Ciascun punto sulla superficie di separazione (in particolare O, O’, O’’) emette onde sferiche elementari

• L’onda che viene emessa da O al tempo t0+2T è in fase con l’onda emessa da O’ al tempo t0+T e con quella emessa da O’’ al tempo t0

55

Riflessione di un’onda piana su una superficie di separazione tra due mezzi

• L’inviluppo di queste onde sferiche è un fronte dell’onda piana riflessa

• I fronti dell’onda riflessa distano anch’essi =v1T

• Quindi O’R’=OS’= da cui segue l’uguaglianza degli angoli

6

OO’’ O’

1

2

ir

R’’R’

S’’S’

ir

6

Rifrazione di un’onda piana su una superficie di separazione tra due mezzi

• Se anche il mezzo 2 e` trasparente viene generata anche un’onda rifratta (o trasmessa) nel mezzo 2

• La legge della rifrazione (o di Snell) stabilisce che anche il raggio trasmesso giace sul piano d’incidenza e che tra l’angolo di incidenza i e quello di trasmissione t vale la relazione

7

• ove, per ciascun mezzo, n e` una costante caratteristica di valore maggiore di 1, detta indice di rifrazione

• L’angolo t e` minore di i se n2 > n1

intn sinsin 12

iin

nt sinsinsin

2

1

Caso n2 > n1

t

1

2

n

i

Rifrazione di un’onda piana su una superficie di separazione tra due mezzi

• t e` invece maggiore di i se n1 > n2 :

• In tal caso, affinche’ il primo membro sia minore di 1, deve accadere che

8

• Ovvero• Cio` significa che si puo` avere un’onda

trasmessa nel mezzo con indice di rifrazione minore solo se l’angolo i e` minore di un angolo limite (o uguale, in tal caso t = /2)

• Se i supera tale valore non c’e` onda trasmessa e si ha riflessione totale

1sin2

1 in

n

iin

nt sinsinsin

2

1

1

2sinn

ni

i arcsin n2 n1 2

1

n

Caso n1 > n2

Rifrazione di un’onda piana su una superficie di separazione tra due mezzi

• Applichiamo il PdH al mezzo 2• I fronti dell’onda trasmessa distano 2=v2T ove v2 è la velocità di

propagazione dell’onda nel mezzo 2• Valgono le relazioni• Dividendo membro a membro e ricordando la distanza tra i

fronti d’onda

9

OO’’ O’1

S’’

S’

2

it

R’’R’

O'R'O'Osin t

OS'O'Osin i

i

t

sin

sin

1

2

9

Rifrazione di un’onda piana su una superficie di separazione tra due mezzi

• Esprimendo la lunghezza d’onda in termini di velocità

• Il rapporto a primo membro non dipende dagli angoli, ma solo dalla natura dei due mezzi, quindi

• Cioè la teoria ondulatoria della luce prevede che la velocità sia minore nel mezzo relativo al minore dei due angoli i, t cioè nel mezzo con indice di rifrazione maggiore

10

v2v1

sin t

sini

v2v1

sin t

sini

n1n2

const.

10

Rifrazione

• Nel caso in cui il mezzo 1 sia il vuoto, l’indice di rifrazione vale 1 e la velocità vale c

• quindi da cui

• Anche nel caso in cui il mezzo sia aria (o un gas) l’indice di rifrazione vale circa 1

• Introducendo l’indice di rifrazione relativo tra due mezzi, la legge di Snell si può anche scrivere

n2n1sin t n sin t sin i

c

v

n

1

v c

n c

11

Dispersione• Sperimentalmente si constata che, a parità di angolo i,

l’angolo t dipende dalla frequenza (o equivalentemente dalla lunghezza d’onda) della luce

• Ciò equivale ad affermare che l’indice di rifrazione dipende dalla frequenza dell’onda

• Questo è il ben noto esperimento della scomposizione della luce bianca con un prisma: le diverse componenti colorate della luce bianca vengono deviate ad angoli diversi, cioè vengono ‘disperse’

• Questo fenomeno non è limitato alla luce, ma è comune a tutte le onde

in

t sin1

sin

12

Dipendenza di n da • Normalmente per la luce visibile, n

e` una funzione decrescente di • Ne segue che l’angolo di

trasmissione t aumenta con e quindi per il rosso e` maggiore che per il viola

• Ovvero il raggio rosso e` deviato meno di quello viola rispetto al raggio incidente

13

VR tt

Ampiezza delle onde riflesse e rifratte

• Usando le eqq. di Maxwell si possono trovare le relazioni tra le ampiezze delle onde incidente, riflessa e trasmessa

• Tali relazioni sono diverse nel caso in cui l’onda sia polarizzata nel piano di incidenza o nel piano perpendicolare

i r

t

Ei Er

Et

E

E

i r

t

Ei Er

Et

14

Ampiezza delle onde riflesse

• Il rapporto tra l’ampiezza del campo elettrico riflesso e quello incidente è, nei due casi

i r

t

Ei Er

Et

E

E

i r

t

Ei Er

Et

titg

titg

E

E

i

r

E r

E i

sin i t sin i t

15

Intensità delle onde riflesse e rifratte

• Il rapporto delle intensità è dato dai coefficenti di riflessione di Fresnel

• Nel caso in cui il mezzo non sia assorbente, l’energia si distribuisce tra l’onda riflessa e quella trasmessa, per cui i coefficienti di trasmissione sono

R Ir

Ii

E r

E i

2

tg2 i t tg2 i t

R Ir

Ii

E r

E i

2

sin2 i t sin2 i t

T 1 R

T 1 R

16

Angolo di Brewsterpolarizzazione per riflessione

• È un caso limite che si presenta quando il campo è polarizzato nel piano di incidenza e gli angoli soddisfano la condizione i+t=/2 che comporta la divergenza del denominatore di R e l’annullamento dell’onda riflessa

• L’angolo i=B corrispondente è detto angolo di Brewster

• Se l’onda incidente non è polarizzata, essa può comunque essere pensata come sovrapposizione di due onde, una con polarizzazione nel piano d’incidenza e l’altra in un piano perpendicolare

• All’angolo di Brewster la prima componente è solo trasmessa e l’altra è sia riflessa che trasmessa, ciò significa che l’onda riflessa è polarizzata perpendicolarmente al piano d’incidenza

n sini

sin tsinB

sin t

sinB

sin /2 B tgB

17

Riflessione di luce non polarizzata• Per luce non polarizzata a ciascuna polarizzazione e`

associata meta` della potenza dell’onda• Per il fascio riflesso abbiamo

• Ove R e` il coefficiente di riflessione per luce non polarizzata

PRRR

PPRPRPPP rrr

22

1

2

1

18

Incidenza normale• Cioè i=0, in tal caso r=t=0 e i rapporti delle ampiezze di

riflessione diventano (*)

• e i coefficienti di riflessione

• (*) per dimostrarlo

1

1

1

1

n

n

ini

ini

ti

tir 1

1

n

n

ti

tir

R R n 1n 1

2

1

1

sin/1sin

sin/1sin

sinsin

sinsin

sinsin

sinsin

sinsin

sinsin

lim

limlimlim

0

000

n

n

ini

ini

ti

ti

tt

ti

ii

tt

ti

ii

ti

ti

titg

ti

ti

ti

ti

titg

titg

titgr

i

iii

19

Coefficienti di Fresnel• In figura sono riportati i coefficienti in funzione dell’angolo di incidenza per I due casi

n1<n2 e n1>n2

• Figura tratta da http://it.wikipedia.org/wiki/Leggi_di_Fresnel

Polarizzazione • Per un campo trasversale f, i gradi di libertà

trasversali sono due e corrispondono alle componenti fy , fz

• Supponiamo che abbia la forma

• Nel piano trasversale il vettore f oscilla di moto armonico lungo un segmento la cui proiezione lungo y va da -fy0 a fy0 e lungo z da -fz0 a fz0

• Un’onda siffatta le cui componenti oscillano in fase, è detta polarizzata linearmente

ktkxfjtkxftxf zyˆsinˆsin),( 00

y

z

f

21

Polarizzazione • Supponiamo che il campo f abbia forma

• Nel piano trasversale il vettore f descrive un cerchio di raggio f0

• Un’onda siffatta le cui componenti oscillano sfasate di /2, è detta polarizzata circolarmente

ktkxfjtkxftxf ˆcosˆsin),( 00

y

z

f

22

Birifrangenza • Esistono sostanze, come la calcite e il quarzo, che sono

otticamente anisotrope, cioè si comportano in modo diverso a seconda della direzione in cui si propaga la luce

• Se un raggio di luce incide su una sostanza birifrangente, esso può separarsi in due raggi, il raggio ordinario e quello straordinario

• I due raggi, polarizzati linearmente in direzioni mutuamente perpendicolari, si propagano a velocità diverse e possono anche propagarsi in direzioni diverse, a seconda dell’orientamento relativo tra il materiale e l’onda incidente

2323

Birifrangenza • Si possono introdurre due indici di rifrazione, uno per

ciascun raggio: no e ns, tenendo conto che l’indice di rifrazione del raggio straordinario dipende dall’angolo tra un asse caratteristico del cristallo e il campo E

• Nota:• Per l’onda straordinaria bisogna estendere il principio di Huygens,

ammettendo che le onde elementari non siano più sferiche ma ellissoidali

• L’inviluppo di queste onde fornisce ancora il fronte d’onda e la direzione di propagazione, che però non è più perpendicolare al fronte d’onda

• La legge di Snell, in entrambe le sue parti, non è applicabile al raggio straordinario

2424

Birifrangenza • In un cristallo birifrangente esiste una direzione particolare in cui i

due raggi si propagano alla stessa velocità; questa direzione è detta asse ottico della sostanza

• Se la luce incide parallelamente all’asse ottico, non accade nulla di insolito

• Se la luce incide con un certo angolo rispetto all’asse ottico, ma perpendicolarmente alla faccia del cristallo, i raggi si propagano in direzioni diverse

• Se si ruota il cristallo attorno alla direzione dell’onda, il raggio straordinario ruota nello spazio

25asse ottico

raggio ordinario

raggio straordinario

25

Birifrangenza • Se la luce incide perpendicolarmente alla faccia del cristallo e

all’asse ottico, i due raggi si propagano nella stessa direzione ma a velocità diversa

• Per conseguenza escono dal cristallo con una differenza di fase che dipende dallo spessore della lamina e dalla lunghezza d’onda della luce incidente

• In una lamina a quarto d’onda, lo spessore è tale che, all’uscita dal cristallo, lo sfasamento tra le onde (della particolare ) è /2

• Una lamina a quarto d’onda permette di creare un fascio polarizzato circolarmente partendo da uno polarizzato linearmente

26asse ottico

raggio ordinario

raggio straordinario

26

Assorbimento selettivo• E` il fenomeno per cui in alcune

sostanze (tormalina, erapatite) l’assorbimento della luce dipende dalla sua polarizzazione

• Le molecole che formano tali sostanze sono allungate e permettono agli elettroni di muoversi preferenzialmente in tale direzione, assorbendo l’onda incidente polarizzata parallelamente

27

• La componente perpendicolare non e` invece assorbita (gli elettroni non possono muoversi in questa direzione)

• Ne segue che se il materiale e` abbastanza spesso la componente parallela all’asse ottico viene eliminata e rimane solo quella perpendicolare

• Rimane cosi’ definito un asse preferenziale del materiale, ortogonale all’asse ottico, detto asse di trasmissione

asse ottico

||E

E

onda incidente

asse di trasmissione

Polarizzazione• Un polarizzatore a birifrangenza separa le due

componenti di polarizzazione, mentre uno ad assorbimento ne elimina una delle due

• In entrambi i casi è possibile selezionare una delle due polarizzazioni e poi studiarla con un secondo polarizzatore, detto analizzatore

28

Legge di Malus• Consideriamo un’onda di intensità I0,

incidente su un polarizzatore• Supponiamo che sia polarizzata

linearmente col campo E in un piano parallelo al polarizzatore, ma inclinato di un’angolo rispetto al suo asse

29

E

• Possiamo immaginare l’onda incidente come composta da un’onda polarizzata lungo l’asse con ampiezza Ecos e un’onda polarizzata in direzione perpendicolare con ampiezza Esin

• La componente parallela passa indisturbata, mentre quella perpendicolare viene assorbita

• L’intensità dell’onda che passa il polarizzatore è quindi ovvero

E cos

I E 2 cos2

I I0 cos2

analizzatore

29

Legge di Malus• Se l’onda incidente non è polarizzata, oltre il polarizzatore avremo

– un’onda polarizzata parallelamente all’asse del polarizzatore– con intensità uguale a metà di quella incidente

• Infatti in ogni istante vale la relazione e poichè varia casualmente nel tempo, il valore medio dell’intensità è proporzionale al valore medio

30

I 1

2I0

I I0 cos2

polarizzatore

2

1

2

1coscoscoscos

2

0

22

0

2

0

22

*

ddgdttftt