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ok332平面向量的座標表示法

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oookkk333333222 平平平面面面向向向量量量的的的坐坐坐標標標表表表示示示法法法

主題一、向量的坐標表示法

1. 對於任意一個向量 a ﹐必有唯一的一點 A使得 a OA ﹒

此時 A點的坐標 ,x y 就是向量 a 的坐標表示﹐

即 ,a x y ﹐其中 x和 y 分別稱為向量 a 的 x 分量

與 y 分量且 2 2a OA x y ﹒

2. 設 r 為實數﹐向量 1 1,a x y ﹐ 2 2,b x y ﹒

(1) 1 2 1 2,a b x x y y ﹒

(2) 1 1,r a rx ry ﹒

(3) 1 2 1 2,a b x x y y ﹒

3. 若 P ﹐ Q兩點的坐標分別為 1 1,x y ﹐ 2 2,x y ﹐

則 2 1 2 1,PQ x x y y ﹒

已知 6, 2P ﹐ 3,2Q ﹐求 PQ及 PQ ﹒

Ans： 3,4PQ ， 5PQ

【詳解】

3 6,2 2 3,4PQ ﹐且 2 23 4 5PQ ﹒



2

【例題 1】

如右圖﹐ A在 x軸上﹐ 2OA OB ﹐ 150AOB ﹐

選出正確的選項﹕

(1) 2,0OA ﹒(2) 1, 3OB ﹒(3) 2OA ﹒

(4) OA OB ﹒

Ans：(1)(3)

【詳解】

(1) 因為 A 的坐標為 2,0 ﹐所以 2,0OA ﹒

(2) 因為 B 的坐標為 2cos150 ,2sin150 3,1 ﹐

所以 3,1OB ﹒

(3) 2OA OA ﹒

(4) 因為 OA 與 OB 的方向不同﹐所以 OA OB ﹒

故選(1)(3)﹒

【類題 1】

如右圖﹐ A在 x軸上﹐ 4OA OB ﹐ 120AOB ﹐

選出正確的選項﹕

(1) 4,0OA ﹒(2) 2, 2 3OB ﹒(3) 4OA ﹒

(4) OA OB ﹒

Ans：(1)(2)(3)

【詳解】

(1) 因為 A 的坐標為 4,0 ﹐所以 4,0OA ﹒



3

(2) 因為 B 的坐標為 4cos240 ,4sin240 2, 2 3 ﹐

所以 2, 2 3OB ﹒

(3) 4OA OA ﹒

(4) 因為 OA 與 OB 的方向不同﹐所以 OA OB ﹒

故選(1)(2)(3)﹒

【例題 2】

已知向量 3, 2a ﹐ 1,3b 及 2, 1c ﹒

(1) 在坐標平面上﹐以原點當始點﹐畫出向量 a ﹐ b 與 c ﹒

(2) 求 2a b 及其長度﹒

(3) 求 2a b c 及其長度﹒

Ans：(2) 1, 8 ， 65 ，(3) 2, 7 ， 53

【詳解】

(1) 如右圖所示﹐令 3, 2A ﹐ 1,3B ﹐ 2, 1C ﹐得

a OA ﹐ b OB ﹐ c OC ﹒

(2) 2 3, 2 2 1,3a b 3, 2 2,6 1, 8 ﹒

222 1 8 65a b ﹒

(3) 2 3, 2 1,3 2 2, 1a b c 2, 7 ﹒

2 2

2 2 7 53a b c ﹒



4

2

-2

-4

-6

-8

-5

a-2b

Show (3)

Hide (2)

C

B

A

2

-2

-4

-6

-8

-5

a-b+2c

Hide (3)

Show (2)

C

B

A

【類題 2】

已知 2, 3a ﹐ 1,1b ﹐求 3a b 及 3a b ﹒

Ans： 5, 6 ； 61

【詳解】

3 2, 3 3 1,1 5, 6a b ﹐

223 5 6 61a b ﹒

【例題 3】

已知 2,0a ﹐ 1,1b ﹐ c a t b ﹐ t 為實數﹒

(1) 若 10c ﹐則 t 的值為何﹖

(2) 求使得 c 有最小值時的實數 t ﹐又最小值為何﹖

Ans：(1) 1 或3，(2) 1t 時﹐ c 有最小值 2

【詳解】

因為 c a t b ﹐所以 2, 0 1,1 2 ,c t t t ﹐



5

因此﹐ 2 2 22 2 4 4c t t t t ﹒

(1) 因為 2 22 10c t t ﹐

所以 2 22 4 4 10 2 3 0 1t t t t t 或3﹒

(2) 因為 2

2 1 2c t ﹐

所以當 1t 時﹐ c 有最小值 2 ﹒

4

2

-2

5

t = -1.0

Hide LocusAnimate Point

P

A

B

T

【類題 3】

已知 1,1a ﹐ 2, 4b ﹐ c t a b ﹐

求使得 c 有最小值時的實數 t ﹐又最小值為何﹖

Ans：當 1t 時﹐ c 有最小值 3 2

【詳解】

因為 c t a b ﹐所以 1,1 2, 4 2, 4c t t t ﹐因此﹐

2 2 222 4 2 4 20 2 1 18c t t t t t ﹒

故當 1t 時﹐ c 有最小值 18 3 2 ﹒



6

主題二、向量的係數積與平行

1. 兩向量平行的判定﹕設非零向量 1 1,a x y 與 2 2,b x y ﹒

若 //a b ﹐則 1 2 2 1x y x y ﹔反之亦成立﹒

當 2 2 0x y 時﹐常將等式 1 2 2 1x y x y 改寫為比例式 1 1

2 2

x y

x y ﹒

已知 1,2a 與 ,3b t 平行﹐求實數 t 的值﹒

Ans：3

2

【詳解】

因為 //a b ﹐所以1 2

3t ﹐解得

3

2t ﹒

【例題 4】

設 2,1A ﹐ 3,2B 與 1,3C 為坐標平面上的三點﹒

(1) 求向量 AC 與 BC ﹒

(2) 已知 ABCD為平行四邊形﹐求 D點的坐標﹒

Ans：(1) 3,2AC ， 2,1BC ，(2) 4,2

【詳解】

(1) 1 2,3 1 3,2AC ﹐

1 3 ,3 2 2,1BC ﹒

(2) 設 D 點的坐標為 ,x y ﹒

因為 ABCD 為平行四邊形﹐

所以 2, 1 2,1AD BC x y ﹒



7

解得 4x ﹐ 2y ﹐

故 D 點的坐標為 4,2 ﹒

【類題 4】

設 1,2P 及 Q為坐標平面上的兩點﹒已知

1,2a ﹐ 2,3b ﹐ 2 3PQ a b ﹐求 Q點的坐標﹒

Ans： 7, 3

【詳解】

設 Q 點的坐標為 ,x y ﹒因為 2 3PQ a b ﹐所以

1, 2 2 1,2 3 2,3 8, 5x y ﹒

解得 7x ﹐ 3y ﹒故 Q 點的坐標為 7, 3 ﹒

【例題 5】

已知 3,0a ﹐ 1,2b ﹐ 5,4c ﹐且實數 t 滿足

//a t b c

﹐求 t 的值﹒

Ans：2

【詳解】

因為 //a t b c

﹐

且 3,0 1,2 3 ,2a t b t t t ﹐

所以3 2

5 4

t t ﹐

即 12 4 10t t ﹐解得 2t ﹒



8

4

2

5

t = 2.0P

C

B

A

O

T

【類題 5】

已知 1,2a ﹐ 1,3b ﹐ 2, 1c ﹐且

a t b 與 b c 平行﹐求實數 t 的值﹒

Ans：2

【詳解】

因為 a t b 與 b c 平行﹐且

1,2 1,3 1 ,2 3a t b t t t ﹐

1,3 2, 1 3,4b c ﹐

所以1 2 3

3 4

t t

﹐

即 4 4 6 9t t ﹐解得 2t ﹒

【例題 6】

設 3,4A ﹐ , 2B k ﹐ 1,1C 三點共線﹐求實數 k 的值﹒

Ans：1

3k

【詳解】

因為 A﹐B﹐C 三點共線﹐所以 //AB AC ﹐



9

又 3, 2AB k ﹐ 4, 3AC ﹐

所以3 2

4 3

k

﹒解得

1

3k ﹒

【類題 6】

設 2,1A ﹐ 4, 3B 與 5,3C 為坐標平面上的三點﹒

(1) 求向量 AB 與 BC ﹒

(2) 問﹕ A﹐ B ﹐ C 三點是否共線﹖

Ans：(1) 6, 4AB ， 9,6BC ，(2) A﹐B﹐C 三點共線

【詳解】

(1) 6, 4AB ﹐ 9,6BC ﹒

(2) 因為6 4

9 6

﹐所以 //AB BC ﹒

又 B 點分別是兩向量的終點與始點﹐

故 A﹐B﹐C 三點共線﹒

主題三、向量的線性組合

1. 當向量以坐標表示時﹐利用代數的運算﹐可以將一向量

表成兩給定不平行非零向量的線性組合﹒

【例題 7】

將向量 1,7c 表成兩不平行向量 3,1a 與

5, 2b 的線性組合﹒

Ans： 3 2c a b



10

【詳解】

設 c x a y b ﹐x﹐y 為實數﹒因此

1,7 3,1 5, 2 3 5 , 2x y x y x y ﹐

即 3 5 1

2 7

x y

x y

﹒

解得 3x ﹐ 2y ﹒故 3 2c a b ﹒

6

4

2

-2

-10 -5 5

s = -2.0

t = 3.0

Show Parallel Lines

B

A

C

O T

S

【類題 7】

已知向量 2, 3a ﹐ 3,2b 與 4,1c ﹐

求實數 x﹐ y 的值使得 c x a y b ﹒

Ans：x＝1，y＝2

【詳解】

因為 c x a y b ﹐所以

4,1 2, 3 3,2 2 3 , 3 2x y x y x y ﹐

即 2 3 4

3 2 1

x y

x y

﹒

解得 x＝1﹐y＝2﹒



11

【例題 8】

已知 0,0O ﹐ 2,1A ﹐ 0,2B 為坐標平面上三點﹒

設 OP xOA yOB ﹐試依下列各指定範圍標出向量

OP 之終點 P 的區域﹕

(1) 1x ﹐ 1y ﹒(2) 1x ﹐ 0 1y ﹒(3) 0 1x ﹐ 0 1y ﹒

Ans：見詳解

【詳解】

根據向量加法的定義﹐得

(1) 當 x＝1﹐y＝1﹐即 OP OA OB 時﹐

終點 P 恰為平行四邊形 OAQB 的頂點 2, 3Q ﹐

如下圖(1)所示﹒

(2) 當 x＝1﹐0≦y≦1 時﹐

終點 P 的範圍為平行四邊形 OAQB 的一邊 AQ ﹐


(3) 當 0≦x≦1﹐0≦y≦1 時﹐

終點 P 的範圍為平行四邊形 OAQB 所圍成的區域（含邊界）﹐


(1) (2) (3)

【類題 8】

已知 0,0O ﹐ 2,1A ﹐ 0,2B 為坐標平面上三點﹒

設 OP xOA yOB ﹐依下列各指定範圍標出向量 OP

之終點 P 的區域﹐並求其面積﹕

(1) 1 1x ﹐ 0 1y ﹒ (2) 1 1x ﹐ 1 1y ﹒



12

Ans：(1) 8，(2) 16

【詳解】

(1) 當1≦1≦1﹐0≦y≦1 時﹐

終點 P 的範圍為平行四邊形 CAQD 所圍成的區域（含邊界）

如下圖(1)所示﹐其面積為 24＝8﹒

(2) 當1≦x≦1﹐1≦y≦1 時﹐

終點 P 的範圍為平行四邊形 EFQD 所圍成的區域（含邊界）﹐

如下圖(2)所示﹐其面積為 44＝16﹒

(1) (2)



13

主題四、向量的分點坐標公式

1. 分點坐標公式﹕

設 1 1,A x y 與 2 2,B x y 為坐標平面上的兩點﹒

若點 ,P x y 在線段 AB 上﹐且 : :AP PB m n ﹐

則 P 點的坐標為 1 2 1 2,nx mx ny my

m n m n

﹒

2. 三角形的重心坐標﹕

若△ ABC三頂點的坐標分別為

1 1,A x y ﹐ 2 2,B x y ﹐ 3 3,C x y ﹐則△ ABC 的

重心之坐標為 1 2 3 1 2 3,3 3

x x x y y y

﹒

【例題 9】

設 6,7A ﹐ 1,12B 為坐標平面上的兩點﹐ P 點為

直線 AB 上一點﹐且 : 3: 2AP PB ﹒

(1) P 在線段 AB 上﹐求 P 點坐標﹒

(2) P 不在線段 AB 上﹐求 P 點坐標﹒

Ans：(1) 3,10 ，(2) 9,22

【詳解】

(1) 當 P 點在線段 AB 上時﹐利用分點坐標公式﹐得

2 6 3 1 2 7 3 12

, 3,103 2 3 2

P

﹒

【另解】

AP ＝3

5AB ＝

3

5(5，5)＝(3，3)，

故 P＝(6－3，7＋3)＝(3，10)。

(2) 當 P 點不在線段 AB 上時﹐因為 : 3: 2AP PB ﹐

所以 : 1 : 2AB BP ﹒

設 P 點的坐標為 ,x y ﹒利用分點坐標公式﹐得



14

2 6 1 2 7 1 12 14

1,12 , ,1 2 1 2 3 3

x y x yB

﹐

即12

13

x 且

1412

3

y ﹒

解得 x＝9﹐y＝22﹐故 P 點的坐標為 9,22 ﹒

【另解】

AP ＝3 AB ＝3(5，5)＝(15，15)，

故 P＝(6－15，7＋15)＝(9，22)。

【類題 9】

已知 5,2A ﹐ 3,1B 為坐標平面上的兩點﹐

P 點在線段 AB 上﹐且 : 2 :3AP PB ﹐

求 P 點的坐標﹒

Ans：9 8

,5 5

P

【詳解】

利用分點坐標公式﹐得

3 5 2 3 3 2 2 1 9 8, ,

2 3 2 3 5 5P

﹒

【另解】

AP ＝2

5AB ＝

2

5(8，1)＝(

16

5 ，

2

5 )

故 P＝(516

5 ，2

2

5 )＝(

9

5，

8

5)。

【例題 10】

已知 4,3A ﹐ 1,2B 和 6,7C 為坐標平面上的三點﹐

求△ ABC的重心坐標﹒

Ans： 3,4

【詳解】

利用重心坐標公式﹐得△ABC 的重心坐標為



15

4 1 6 3 2 7, 3,4

3 3

﹒

【類題 10】

已知△ ABC的重心坐標 2,1G ﹐且頂點 1,4A ﹐ 3,5B ﹐

求頂點 C 的坐標﹒

Ans： 4, 6

【詳解】

設 ,C x y ﹒利用重心坐標公式﹐得

1 3 4 5, 2,1

3 3

x y

﹒

解得 x＝4﹐y＝6﹒故 C 的坐標為 4, 6 ﹒

【例題 11】

設 D點在△ ABC的 BC 上﹐且△ ABD的面積2

5 △ ABC 的面積﹐

若 B 的坐標為 0,2 ﹐ D的坐標為 4,0 ﹐求 C 的坐標﹒

Ans： 10, 3

【詳解】

如右圖﹒

因為△ABD 與△ADC 同高﹐

所以面積比與底邊比相等﹒

又因為△ABD 的面積＝2

5△ABC 的面積﹐

所以△ABD 的面積：△ADC 的面積＝2：3﹐

即 : 2 : 3BD DC ﹒

設 C 的坐標為 ,x y ﹒

因為 : 2 : 3BD DC ﹐

所以利用分點公式可列得 D 坐標為

3 0 2 3 2 2

4,0 ,2 3 2 3

x y

﹐

解得 x＝10﹐y＝3﹒故 C 坐標為 10, 3 ﹒



16

2

-2

-4

5 10

C: (10.0, -3.0)

D: (4.0, 0.0)

B: (0.0, 2.0)

C

D

B

A

【類題 11】

設 D點在△ ABC的 BC 上﹐且△ ABD的面積2

3 △ ADC的面積﹐

若 B 的坐標為 0,5 ﹐ C 的坐標為 7,0 ﹐求 D的坐標﹒

Ans：14

,35

【詳解】

因為△ABD 的面積：△ADC 的面積＝2：3﹐

所以 : 2 : 3BD DC ﹒

利用分點公式﹐得 D 點坐標為

3 0 2 7 3 5 2 0 14, ,3

2 3 2 3 5

﹒

lt99ok332.gsp



17

主題五、直線的參數式

設直線 L通過點 0 0,A x y ﹐且與非零向量 ,v a b 平行﹒

若 ,P x y 為直線 L上任一點﹐則 x 與 y 會滿足

0

0

x x at

y y bt

（ t 為實數）﹒

反之﹐平面上坐標滿足上式的點都在直線 L上﹒

我們稱此式為直線 L的參數式﹐ t 為參數﹐而向量

v 稱為直線 L的方向向量﹒

已知直線 L通過點 2,3A ﹐且方向向量為 4, 5v ﹐

求 L的參數式﹒

Ans：2 4

:3 5

x tL

y t

【詳解】

由參數式﹐得2 4

:3 5

x tL

y t




18

【例題 12】

設 L為通過 1,2A ﹐ 3, 1B 兩點的直線﹒

(1) 求直線 L的參數式﹒

(2) 在 L上找出異於 A﹐ B 的第三個點﹒

Ans：(1) 1 2

2 3

x t

y t

（t 為實數），(2) 5, 4

【詳解】

(1) 因為 L 通過點 1,2A ﹐

且與向量 2, 3v AB 平行﹐

所以 L 的參數式為 1 2

2 3

x t

y t

（t 為實數）﹒

(2) 因為 L 上任一點的坐標﹐都可表示成

1 2 ,2 3t t ﹐

所以當 2t 時﹐對應的點 5, 4 在 L 上﹒

【類題 12】

已知直線 L的參數式為3

5 2

x at

y t

（ t 為實數）﹐

且點 1,7A 在 L上﹐求 a的值﹒

Ans：2

【詳解】

依題意﹐可列得 1 3

7 5 2

at

t

解得 1t ﹐ 2a ﹒

【例題 13】

將直線參數式1 2

4 3

x t

y t

（ t 為實數）化成直線的一般式﹒

Ans： 3 2 11x y

【詳解】



19

令1 2

4 3

x t

y t

由3－2﹐消去 t﹐

得直線的方程式為 3 2 11x y ﹒

【類題 13】

已知二直線 1 : 5 0L x y ﹐ 2

1 2:

2

x tL

y t


求 1L 與 2L 的交點坐標﹒

Ans： 7, 2

【詳解】

將直線 2L 化成直線的一般式﹐得 2 : 2 3L x y ﹒

又由5

2 3

x y

x y

﹐解得 7x ﹐ 2y ﹒

故 1L 與 2L 的交點坐標為 7, 2 ﹒

【例題 14】

已知直線 : 2 3 1L x y ﹐求 L的一個參數式﹒

Ans：1 3

1 2

x t

y t

（t 為實數）

【詳解】

在直線 L 上取 1, 1A ﹐ 2,1B 兩點﹒

因為 L 過點 1, 1A ﹐且與 3,2AB 平行﹐

所以 L 的參數式為

1 3

1 2

x t

y t


【類題 14】

設直線 :3 2 5 0L x y 的一個參數式為3

3

x at

y b t


求實數 a﹐ b 的值﹒

Ans： 2a ﹐ 2b



20

【詳解】

在直線 L 上取 1,1A ﹐ 3, 2B 兩點﹒

因為 L 過點 1,1A ﹐

且與 AB 2, 3 平行﹐所以

1 3

1 3

at

b t

﹐且3

2 3

a

﹒

解得 2a ﹐ 1t ﹐ 2b ﹒

故 2a ﹐ 2b ﹒

【另解】

(3，b)在 L 上 33＋2b－5＝0 b＝2。

L 的斜率為3 3

2a a＝2。

【例題 15】

已知 1,2A 與 3,4B 為兩定點﹐ ,P x y 為直線 2x y 3 上一點﹐

求當 PA PB 時﹐ P 的坐標﹒

Ans： 7, 2

【詳解】

直線 2 3x y 的參數式為3 2x t

y t


因為 ,P x y 為直線上一點﹐所以可設 3 2 ,P t t ﹒

又因為 PA PB ﹐所以

2 2 2 2

2 2 2 2 4t t t t

2 2 2 24 8 4 4 4 4 8 16t t t t t t t

4 8 16t

2t ﹒

故 P 的坐標為 7, 2 ﹒



21

【類題 15】

已知 3,4A 與 1,1B 為坐標平面上兩點﹐ ,P x y 為

直線 AB 上一點﹐求 2 8x y 的最小值﹐及此時 P 的坐標﹒

Ans：1

3,2

P

時﹐2 8x y 有最小值 5

【詳解】

因為直線 AB 平行 4, 3AB ﹐且過點 3,4A ﹐

所以直線 AB 的參數式為3 4

4 3

x t

y t


因為 ,P x y 為直線 AB 上一點﹐

所以可設 3 4 ,4 3P t t ﹒因此

22 8 3 4 8 4 3x y t t

216 48 41t t

23

16 52

t

﹒

故當3

2t ﹐即

13,

2P

時﹐ 2 8x y 有最小值 5﹒

【例題 16】

已知射線1 3

:3 4

x tAB

y t

（ 1t ）﹐若點 C 在射線 AB 上﹐

且 10AC ﹐求 C 點的坐標﹒

要注意點 C 是在射線 AB （ 1t ）上﹐

不是在直線 AB （ t R ）上﹒

Ans： 4, 7

【詳解】

當 t＝1 時﹐得 2,1A ﹒

因為點 C 在射線 AB 上﹐



22

所以可設 1 3 , 3 4C t t ﹒

因為 10AC ﹐所以

2 2

3 3 4 4 10t t

225 50 25 100t t

2 2 3 0t t ﹒

解得 t＝3 或1﹒因為 t≦1﹐所以 t＝3 不合﹐

故 C 點的坐標為 4, 7 ﹒

【類題 16】

已知 13,17A ﹐ 19,5B ﹐求在線段 AB 上的格子點

（ x與 y 坐標均為整數）共有多少個﹖

先寫出線段 AB 的參數式﹐再找哪些參數 t 的值會

使得 x與 y 均為整數﹒

Ans：7

【詳解】

因為 6, 12AB ﹐所以 AB 的參數式

13 6:

17 12

x tAB

y t

（ 0 1t ）﹒

因為 6 與 12 的最大公因數為 6﹐所以當

lt99ok332.gsp



23

0t ﹐1

6﹐

2

6﹐

3

6﹐

4

6﹐

5

6﹐1

時﹐線段 AB 上的點之 x 與 y 坐標均為整數﹐

故線段 AB 上的格子點共有 7 個﹒



24

oookkk333333222eeexxx

1. 已知 2,1P ﹐ 4,3Q ﹐ 3,1R 為坐標平面上三點﹐

向量 2a PQ QR ﹒

(1) 求 a 及 a ﹒

(2) 設 2,3A ﹐且 2a AB ﹐求 B 點的坐標﹒

Ans：(1) 8,6a ﹐ 10a ，(2) 6,6

【詳解】

PQ＝(6，2)， QR ＝(1，2)，

(1) 2a PQ QR

＝(6，2)－2(1，2)＝(8，6)，

︱ a ︱＝ 2 28 6 100 ＝10。

(2) 設 B(x，y)

a ＝2(x－2，y－3)＝(8，6)

x－2＝4，y－3＝3

x＝6，y＝6

B(6，6)。

2. 已知向量 4,3a ﹐若向量 u 與 a 方向相反﹐

且 2u ﹐求 u ﹒

Ans：8 6

,5 5

6

4

2

5

B

A

R

Q

P



25

【詳解】

︱ a ︱＝ 2 24 3 ＝5，

u ＝2

5 ･ a ＝

2

5 (4，3)＝(

8

5 ，

6

5 )。

3. 已知 2, 1a ﹐ 1,2b ﹐ 1,4c ﹒

(1) 若 c x a y b ﹐則 x ﹐ y 的值為何﹖

(2) 若 a 與 b t c 平行﹐則 t 的值為何﹖

Ans：(1) 2x ﹐ 3y ，(2) 1

3t

【詳解】

(1) (1，4)＝ c x a y b ＝x(2，1)＋y(1，2)

(1，4)＝(2x－y，x＋2y)

2x－y＝1，x＋2y＝4

x＝2，y＝3。

(2) a ∥ b ＋t c

(2，1)∥(1，2)＋t(1，4)＝(t－1，4t＋2)

1 4 2

2 1

t t

8t＋4＝t＋1

t＝1

3 。

3. 已知 3,4A ﹐ , 2B k ﹐ 1,5C 三點共線﹐求 k 的值﹒

Ans：11

【詳解】

3,4A ﹐ , 2B k ﹐ 1,5C 三點共線﹐



26

AB ∥ AC

(k－3，2－4)∥(－1－3，5－4)

3 2

4 1

k

k－3＝8

k＝11。

6

4

2

5 10 15 20

C

A

B

5. 在△ ABC中﹐ 3,7A ﹐ 5,1B ﹐ 0,3C ﹒

(1) 求△ ABC的重心坐標﹒

(2) 設 A 的內角平分線交 BC 於 D﹐求 D的坐標﹒

Ans：(1) 2 11

,3 3

，(2) 5 7

,3 3

【詳解】

(1) △ ABC的重心坐標為

(3 5 0 7 1 3

,3 3

)＝(

2 11,

3 3 )。

(2) AB ＝ 2 2(3 5) (7 1) 100 10 ，

AC ＝ 2 2(3 0) (7 3) 5 ，

由分角線性質知

BD： CD＝ AB ： AC ＝10：5＝2：1，

BD＝2

3BC ＝

2

3(5，2)＝(

10 4,

3 3)，

故 D(5＋10

3，1＋

4

3)＝(

5 7,

3 3 )。



27

6. 已知直線 1

5 4 ,:

1 .

x tL

y at

（ t 為實數）與

2

1 2 ,:

.

x sL

y b s

（ s 為實數）表同一直線﹐求 a﹐ b 的值﹒

Ans： 2a ﹐ 2b

【詳解】

化為一般式：

L1：ax－4y＝5a＋4，

L2：x＋2y＝1＋2b

L1＝L2，

4 5 4

1 2 2 1

a a

b

a＝2，5a＋4＝2(2b－1)

a＝2，b＝2。

7. 求直線 1

1 2 ,:

1 3 .

x tL

y t

（ t 為實數）與

2

3 3 ,:

7 .

x sL

y s

（ s 為實數）的交點坐標﹒

Ans： 3, 7

【詳解】

1

1 2 ,:

1 3 .

x tL

y t

3x－2y＝5……(1)，

2

3 3 ,:

7 .

x sL

y s

x＋3y＝24……(2)，，

(1)3＋(2)2 11x＝33 x＝3，

代入(1) 9－2y＝5 y＝7，

故交點為(3，7)。



28

8. 已知向量 1,1a ﹐ 1, 2b ﹒

(1) 求滿足 2b a c 的向量 c 的坐標表示﹒

(2) 求與 c 同方向且長度為 1 的向量 u ﹒

Ans：(1) 3, 4 ，(2) 3 4

,5 5

【詳解】

(1) c ＝ b －2 a ＝(1，2)－2(1，1)＝(3，4)。

(2) u ＝2 2

(3, 4) 3 4( , )5 53 ( 4)

c

c

。

9. 給定平面上三點 6, 2 ﹐ 2, 1 ﹐ 1,2 ﹒若有第四點和

此三點形成一菱形（四邊長皆相等）﹐則第四點的坐標

為何﹖ 【95 學測】

Ans： 9,3

【詳解】

如下圖，

AB＝ 2 2(2+6) +( 1+2) = 65 ， AC＝ 2 2(1+6) +(2+2) = 65 ，

故 AB與 AC為兩鄰邊。

CD=AB＝(8，1)，故 D(9，3)。

4

2

-2

-5 5 10

m DC = 8.06 cm

m DB = 8.06 cm

m AB = 8.06 cm

m CA = 8.06 cmD: (9.00, 3.00)

C: (1.00, 2.00)

B: (2.00, -1.00)

A: (-6.00, -2.00)

D

C

B

A



29

10. 已知 1,1A ﹐ 5,3B ﹐ 1, 1C ﹐ 2,0D 為坐標平面上四點﹐

求使得 AB t CD 有最小值時的實數 t ﹐又最小值為何﹖

Ans： 3t 時﹐有最小值 2

【詳解】

AB t CD

＝︱(4，2)＋ t(1，1)︱

＝ 2 2(4 ) (2 )t t

＝ 22 12 20t t

＝ 22( 3) 2t ，

當 t＝3 時得最小值為 2 。

11. 已知兩定點 2,1A ﹐ 1,3B 與直線2 ,

:1 .

x tL

y t


若點 P 在 L上移動﹐則當 P 點的坐標為何時﹐2 2

PA PB 有

最小值﹐又最小值為何﹖

Ans： P坐標為3 1

,4 4

﹐最小值91

4

【詳解】

2 2

PA PB

＝(t－2－2)2＋(1－t－1)2＋(t－2－1)2＋(1－t－3)2

＝(t－4)2＋t2＋(t－3)2＋(t＋2)2

＝4t2－10t＋29

＝4(t－5

4)2＋

91

4

當 t＝5

4時，得最小值

91

4，

6

4

2

5

t = -3.0

Hide Locus

Show CD

B

A



30

此時 P(2＋5

4，1－

5

4)＝(

3

4 ，

1

4 )。

12. 在坐標平面上的△ ABC中﹐ P 為 BC 邊的中點﹐

Q在 AC 邊上且 2AQ QC ﹒已知 4,3PA ﹐ 1,5PQ ﹐

求 BC 的坐標表示﹒【96 學測】

Ans： 1,12

【詳解】

BC ＝2 PC ＝2( PA AC )，

AC＝3 3

( )2 2

AQ PQ PA

＝3

2[(1，5)－(4，3)]＝(

9

2 ，3)，

故 BC＝2(4，3)＋2(9

2 ，3)＝(1，12)。

【備註】

座標化：設 P(0，0)，則 A(4，3)，Q(1，5)，

您是否可算得 C(1

2，6)，B(

1

2，6)，

故 BC ＝(1，12)。

13. 坐標平面上有四點 0,0O ﹐ 3, 5A ﹐ 6,0B ﹐ ,C x y ﹒

今有一質點在 O點沿 AO方向前進 AO距離後停在 P ﹐再沿

BP方向前進 2BP距離後停在 Q﹒假設此質點繼續沿 CQ方向

前進 3CQ距離後回到原點 O﹐求實數 x﹐ y 的值﹒【98 學測】

Ans： 4x ﹐ 20y

【詳解】

6

4

2

-2

-4

-6

5

C: (-0.5, 6.0)

B: (0.5, -6.0)

1

2

P: (0.0, 0.0)

Q: (1.0, 5.0)

A: (4.0, 3.0)

B

C

Q

A

P



31

OP ＝ AO＝(3，5)，即 P(3，5)。

OQ＝ 2OP BP ＝(3，5)＋2(3，5)＝(3，15)，

即 Q(3，15)。

3OQ CQ ＝(3，15)＋3(3－x，15－y)

＝(12－3x，60－3y)＝(0，0)，

得 12－3x＝0，60－3y＝0，

故 x＝4，y＝20。

14. 小明在天文網站上看到以下的資訊「可利用北斗七星斗杓的

天璇與天樞這兩顆星來尋找北極星：由天璇起始向天樞的方向

延伸便可找到北極星，其中天樞與北極星的距離為天樞與天璇

距離的 5 倍。」今小明將所見的星空想像成一個坐標平面，

其中天璇的坐標為(9,8)及天樞的坐標為(7,11)。依上述資訊可以

推得北極星的坐標為( )。 [學測 101]

Ans：(19) ，(20) 3，(21) 2，(22) 6

【詳解】

令北極星坐標為 ,x y

5樞北璇樞

7, 11 5 7 9,11 8x y

7 10x 得 3x

11 15y 得 26y

∴ 北極星坐標為 3,26

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