opp summering - wiki.math.ntnu.no · opp summering hua zo aksiomatisk oppbygging ceo plan gcometri...
TRANSCRIPT
Opp summeringHua Zo Aksiomatisk oppbygging ceo plan gcometri
Et aksiomatisk system be star aw :
To udefineate begrep20 aksiomerl postulates3. o definisjoner4 ,
teacher og bevis
50 to lknincger og modellereksistens aw
en modell gjorTho is aksiomene
det aksiomatislee → er" rihticge "
i
system et Leonsis tent to Ilan ingen
Ekseempel : insiders geometridTo punht , bigger pie , linie2
.I 61 Giennom to distinbtepunhtgareksaht
en linie .
162 Hoer linie got giennom mint to punht .
163 Det finals Ere ihke - Kohli neceoepunkt.
3. log on er paralleled der som l Am = 0
4.
Huis login ihke er parallelle,sao F
et un int pun ht P s.a.
erm = { P }.
So Tre - peanuts geometries,leant esiske planet ,
men ihke sfaren .
Noytralgeometru-
✓ definite begrep : peanut , linie ,custard
,
halo plan og uinkelmalP - mengden ao alle punkt i planet
Aksiomer
NG I Eksistenspostulatet - Det finaesminstto puhllt
.
No 2 Insiders post - - Giennom to Iistinkkpunht gear eksahten linie .
No 3 brinjal post .- Enver linie hat en
uoordinatfunksjon .
N 64 Plan separations post .
- En hoer linie deterplanet i to
.
N 65 Grad Skive post .
- Ui Kan mile cinder
N 66 SUS - hi k side - oinked - side giruongruente trek center .
N 63 hinialpostulabetGilt P
, QE IP,see fines et melt tall
PQ,
halt au standees Mellon P og Q .
For hoer linie sat eksisteaer Iet en
uoordinatfunk . f : l → IR S.a. f er
en l - I leorvespondanse ogPQ = I f- ( P ) - f ( Q ) ) for P
,Q El
.
Kan normalised : P, QE IP
,F
f : → IR s.a. f- ( P ) = O
,f ( Q ) > O
.
Nao han ui definer og konstruere
• A- * BAC ⇐ AB + BC = AC
• ABT = EA , BYU { Pl Aap - B }• midtpunkbetpa.AT
• ABT = ABT U { PIA * B * p }- P pi ATI i gilt
• APTE CI betyr AB - CDcustard fra A
.
NGU Plansep . post .
D= H,Ulu Mz ,
huo r
• Hit 0 , Hz 7/0• Huis PEH
, , Qetfz ,sci POT nd 't
.
H, og H2 er Cle to silene ao l
,
begge konvelase.
+¥
,
→ ikke - homely
Kan nie defined Winkel B 7
< BAC = AB→u AT ✓#Def . C
Det indie ceo en
winked :
Hgh Hsg #⇒Def .
Motsatte Strater :
B * A - C
ABIog
EE er mots cette Strieter.
Def .
Trek ant :
SABC = ABT OBI UCF ( A , B , C ihke -
holding
Def .
-
Mdlomliggenhet au Strater :
Bo 7
✓ Person D er i Ietindre at a BAC
.
→Pasch 's aksiom ( tectum )A
,B
, C indie pie l.
e
"LESSEN liaryensseaoensiaene ,
de andre.
Tverrliggerteoremet
. . .
' " " ¥.ae?ogNG5Gradskivepost
.
To 0°
EM ( C ABC ) C 1800
Lo MCC ABC ) = ⇒ FB = AT
3. VE lean honstrueoe winkler med giltmoat ro
,OE re 1808
For hier OE re 180 og halo plan H( begensetao FB ) sat F en entydigStrate A¥ see
.
E E H ogMfc BAE ) = ro
.
Yo Vi uan adder uihkler :
uk BAD ) tuk DAL ) = u ( L BAC )noir FB melt om FB og AI
.
Kongruente winkler ( def )< BAC E < DEF betyr UKBAC ) =uk DEF )
.
Konsekuenser :
- nine cat - par - Hornetn
.,
it = 1800 ±¥ .C B
x,B et lineal
par .
- konstruksion ceo midtnormalpa AT- uinkelhalveringsstraler- motsatle winkler er
¥ uongruentea =
.
- kontinuitetsaksiometf- :[ 0
,I ] → [ o ,eefccAB )) D= CB
f- G) = MKCADX ) OB
er
kontinuerlig .
.Det er ogsoa °
Aden inverse
.
C
N 66 SVS postulated
Kongruenke trekanter ( def )
, ⇐
SABLES DEF
Svs-
Desson SABC,DDEF er see
.
FB ZDF, L ABC E CDEF 0cg BIZET
,SI SABC DDEF
.
Hush : Winkel en me ligge Mellon deto Silene
.
hikebeint trekant ( FB EAT )a⇒ ( ABC E < ACB ①( wed sus ) t t
B C
Har VVS,
VSV, SSS
.
Vss er feet , men RSS er rihtig .
Kunene by Het at SVS med :
For hoer linie finals en oinked -
beuarencle isometru som bytteromde to Silene og fits everwent punht put linen
.
(Reffgkesionen ,Delkap .
10.5
Ytre - oinked - teoremet
- V s d,¥
( Funner ink piesfceoen )
Teorem
Gilt Poy l SE F ! m s.a
PEM og mtl m
• Pt.
Skalene - ulikhetenC
AB s BCTs ITD. is a
A B
Trekantulikheken•
B
A C L AB t BC°
•
A C
tlengselteooemet F Huis so,
C y
⑥ ⑥ FE S CB
l lA
B D E
€T¥÷pe⇒Eatin
':# rain
DCP ,EE ) =D FEB )
Kontinuitet an custardD= AB
,x = ADX
-×.Bf : Cold ] → [ oooo )f- ( x ) = CDX
er hontinuerlig .
• c
ANT - Alternerencle indre oinked Koren
- e a = ⇒ ell mjetFmKosovar : horvesponderende vintner like store
⇒ elim.
Eksisbens Ceo paralleller :
Gilt PEL ,sie eksisheoer m
S.a.
PEM og mill.
µPTm
mill free ANT.
-
Sacc here - Legendre teoremet
OLD ABC ) E 1800
Firkanter konoeks-
konueks fir hunt DAB CD
Of ABCD ) E 360°
noir D ABCD honueks. A
ihke- horrocks
parallelogramparalldle sider ( disse er alltid
leonuekse )Rektangelalle winkler mailer 900
.
Defekt ( def . )O ( SABC ) = 180 - O ( SABC )d ABCD ) = 360° - O ( DABCD )saccharin - fir Kant
Egensuaper Lteonem )D -
Co AI E BIT
d¥: Gift IsegmenteternormaltA B
PE FB og DT
• er et parallelogramo Kon vets° X
,B S 900
Lambert - firkanta Isen shaper : Cteorem)
parallelograma Uonoeks
-
° A E 900
A B ° BC E AD
Utsagn som er ekuiualente til EPP
EPP-
F ! Linie m S.a.
PEM og• pm Ill
-
• MAIVT
me
this mile ,see a- p
-
M• Transit iuitet aw Il f nmlln ,n Hl ,
sie m Ill f e
• vinkdsumspostulabet /O ABC ) = 1800 foralle trek center
.
• O ( SABC ) = 1800 for en trek cent
• Euklids V
÷÷÷:÷s:sicken noor
At Ps L 1800.
• ell m.
Huis the = { P },
so thin # 0.
ogaqiss.ae?Fa7zEtno#D-
A B D E• Det eksisteoerrekl - angel• Hoer trek ant lean om strives
( det eksi steerer en omsirkel tilhoer trekant ) Teorem 8. 2.3
.
C
Hpp ( hyper bolshie )
⇒ sisteoet mins to a #linger m
,n s .
a-
Pem, B
Penog mill ,
n Ill.
• P
-
Det universal hyper bolshie Rorem
Person F lo,Po
, og minst to tinier
giennom Po som er parallelletil do ,
sci giebler det for alle l og P.
HPP = 7 Epp
Den ene eller den andre holder 8
noytralgeometru .
Euklidsk geo metro
Aksiomene NG l - N 66 t EPP
Parallellprojeksionsteoremet
- .
m
-
A = A'
m
my n girn
Fundamental teoremet for form like trekanter
SABC n DDEF ⇒ ¥32 = 13¥
++ -Ned andre ord :
SABC ~ SDEF ⇒ F r - O S.a.
DE = ro AB
DF = to AC
EF = r - BC
sus for form likhet :
¥.
⇐ta¥=i¥ .
⇒ DABCRDDEF
c
F e=II -
-
' II ,DS 0A B D E
SE SABC nDDEf
Pytacgoras Korean
a
:.÷.÷÷:÷←toe form line trekanter
SABC~DCBD.rs ACD
a2tb2= a ⇒ < BCA matter 900
"
"
Elmer insistent ,O
,G og H er
hotline are .
Video, H - 6*0
, ogHG = 260
.
Huis toekanten er likes idek,
er H= 6=0.
Teorem 5.64 ( Cena 's teoreem )hi÷ . ÷
f- elles punkt Dnuiss
Afp - ZI °= I
-
Hyper bolsk geometridNG l - N 66 t MPP up
Det ehsisteoer minsto tinier som er paralleled
- l
til l og gcir giennom P.
HPP = 7 EPP ,so
° 0 ( SABC ) L 1800
• OL d ( SABC ) C 1800
° OLD ABCD ) L 3600 ←
• Det eksisterer indie rektangler.
' Fieri :hYmiaarYa :O
Teorem 6.1.11 VVV
SABC ~ SDEF ⇒ SABC I DDEF
Q #m
Gilt Pee,
PEM,
sie fines Iethoyst et punhtQ # P#g. a
. DCP , e) =d( Qd )l
#mDef . f- elles normal
→
µFB er en feller normalye
Person l og m er parallelle tinierog F P
, Q E M,P # Q , S.a
. DCP , e) =d( All ,sie har m og e en fellers normal .
¥-MAIVT Kim i spesielle til feller
.
-
m mill
*t
auiegnuenedinwdoe-
kongruente dorsum F en feltes normal
( FN ) S.a.
FN skjcerer E E midterm
as FN ( punhhet M ).
Parallellitetsuinkel
¥%;\K -
- { rt NAITO }Den smitten de
- e menschen
K - [ o, ro ) ,
roerdet Kriti she tallet→
for P ogAB ( A )
Det Kriti she tallit ro aohengerbare cw auslander d ( Re )
KH ) = µ ( LAPD )}§a×= ache )e.↳ KG ) er en
A B ihke - cekencle funk gon
Kcb ) Z K (a) .
9) APD S.a. UK APD ) = ro halles
parallellitetsuihkelen.
Hoer parallels itetsuinkelmaler 2900.
Seckler ( i naytralgeometru )N GI - NG 6
( ( O ,r ) = { PI oP=r ]
. Tangent liniefeoremett t er tangent wed P
noises top > It
%f④
sink .TW#onEineuitetjs.a.
+A er pal utsiden se og
l B er poi innsiclen air
se,
SE moi l wore
en sekantlinie .
① • P 0€ Tangents irkler
omsirkelteoremet
Eisen : ' mantil Silene notes
T O ( som ogsie er
sent rum i omsirkelen )
Eksistensenaeomsirkel for alle trek centerer ekuioalent EPP
.
F taekanter som ihre har en omsirkd
i hyperbole geometru .
Men,
en innsirkel eksisteoer foralle trek center i noytral geometrid
*Sirk ler i Euklidsk geometrid
A ,
' " B 900
AM = MC
; T.is#s3iceneaiTmeari r
,so
< ACB = 900
Periferiuinkel CPQR
Q rSentral oinked < pop
•
Sentral uinkelen til R matter 2
ganger mcilet Eel periferiuinkelen= 24
Koro Har i
,
" " " ⇐ spa ,
Kap .
10 og u er det SE wort Eid
sided ve giennomgihk , SE de
ble ihke Galt med i
oppsummeringen .