opsummerende matematik - free-learning · download gratis bøger på ventus.dk / bookboon.com 1....

Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com

Nicholas Schultz-Møller

Opsummerende Matematik

- Kompendium


Opsummerende Matematik

© 2005 Nicholas Schultz-Møller og Ventus Publishing ApS

ISBN 87-7681-003-8


Indholdsfortegnelse

1. Grundlæggende regneregler1.1 Brøkregler 1.2 Kvadratsætningerne 1.3 Potenser og kvadratrødder2. Geometri2.1 Beregning i en vilkårlig trekant 2.2 Beregning i en retvinklet trekant 3. Lineære funktioner (skæring af funktioner) 3.1 Skæring mellem lineære funktioner 3.2 Substitutionsmetoden 3.3 Lige store koeffi cienters metode 3.4 Ortogonale linier4. Afstandsformler i koordinatsystemet 4.1 Punkt-punkt-afstandsformel 4.2 Punkt-linie-afstandsformel5. Invers funktion6. Parablen: graf, løsning af ligning og ulighed 7. Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner 7.1 Eksponentialfunktioner 7.2 Potensfunktioner 7.3 Enkelt og dobbeltlogaritmisk papir

666689

121414141515161616171821232424

4

Opsummerende Matematik på HHX - Kompendium Indholdsfortegnelse

NNE Pharmaplan er en af verdens førende rådgivende ingeniørvirksomheder med speciale i konsulent- og ingeniørydelser til den farmaceutiske og bioteknologiske industri. NNE Pharmaplan er et datterselskab til Novo Nordisk. Vi har mere end 1500 ansatte fordelt på 22 kontorer rundt om i verden.

Udfordringer...Bliv elev i NNE Pharmaplan. Du kan blive uddannet som kontorassistent, økonomiassistent og teknisk designer.

www.nnepharmaplan.com

Klik

på

rekl

amen

http://bookboon.com/count/pdf/71719/4


Opsummerende Matematik - Kompendium

5

8. Rentesregning 8.1 Gennemsnitlig rente 8.2 Lån9. Grænseværdier og kontinuerte funktioner 10. Differentialkvotient 11. Asymptoter og polynomiumsbrøker 11.1 Lodrette asymptoter12. Monotoniforhold 12.1 Funktionsundersøgelse13. Trigonometri14. Trigonometriske funktioner og ligninger 14.1 Trigonometriske grundligninger 14.2 Trigonometrisk ulighed15. Harmonisk svingning16. Statistik og sandsynlighedsregning 16.1 Varians 16.2 Stokastisk variabel 16.3 Middelværdien af en stokastisk variabel 16.4 Varians og spredning for en stokastisk variabel17. Betinget sandsynlighed18. Kombinatorik 18.1 Antal kombinationer19. Binomialfordelingen 19.1 Binomialfordeling på TI-83 19.2 Middelværdi og spredning i en binomialfordeling20. Normalfordelingen 20.1 Normalfordelingen på TI-83 20.2 Fraktiler 20.3 Normalfordelingspapir21. Lineær programmering 22. Eksempler på opgaver svarende til tidligere eksamensopgaver samt løsninger

29303033353839414144454548495152525354555656575860616263656773

Indholdsfortegnelse

KOM TIL U-DAYS D. 4., 5. OG 6. MARTS 2010 OG LÆR MERE OM VORES UDDANNELSER

Internationale universitetsuddannelser

med rod i virkeligheden

Praktik

Studiejobs

ASB Alumni

Summer University

Corporate partners

ASB Karrierecenter

Studiemiljø i særklasse

Job- og CompanyDating

Danske og internationale forskere

Læs mere på www.asb.dk

U-DAYS

VIL DU SIKRE DIN FREMTID MED EN MÅLRETTET UNIVERSITETSUDDANNELSE INDEN FOR BUSINESS? LÆS MERE OM VORES UDDANNELSER PÅ WWW.ASB.DK

Klik

på

rekl

amen



1. Grundlæggende regneregler

1.1 Brøkregler

1.1 Kvadratsætningerne

1) (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab 2) (a - b)2 = a2 + b2 - 2ab

Med ord siger formel 1 og 2: Kvadratet på en toleddet størrelse er kvadratet på første led plus kvadratet på andet led plus/minus det dobbelte produkt.

3) (a + b)(a - b) = a2 - b2

Med ord lyder formel 3: To tals sum gange de samme to tals differens er kvadratet på første led minus kvadratet på andet led

1.3 Potenser og kvadratrødder

1) ap·aq = ap+q 2)

3) 4)

5) 6) (a·b)p = ap·bp

7) a0 = 1 8)

9)

qpq

p

aaa −=

21

aa = np

pnn p aaa == )(

baba ⋅=⋅

ba

ba=

6

3) Brøk gange med en brøk.

4) Brøk divideret med brøk.

bac⋅

a bc⋅

b a c a ca abc b bc

⋅= = ⋅ =:

a c a cb d b d

⋅⋅ =

⋅

aa c a d a db

cb d b c b cd

: ⋅= = ⋅ =

⋅

1) = Tal gange en brøk.

2) Tal divideret med en brøk.

Figur 1

p q p q(a ) a ⋅=

Opsummerende Matematik på HHX - Kompendium Grundlæggende regneregler


Eks 1: Forkort brøken .

Løsning: (Først sættes fælles faktor udenfor parentes i såvel tæller som nævner:)

(Dernæst benyttes kvadratsætningerne:)

Eks 2: Udregn .

Løsning: (Ved brug af regel 4, kan summen udregnes således:)

abbaba

4223322

22

++−

)2(2)(3

42233

22

22

22

22

abbaba

abbaba

++−

=++

−

)(2)(3

)(2)()(3

)2(2)(3

222

22

baba

bababa

abbaba

+−

=+

−⋅+=

++−

34

32

827 +

7

Opsummerende Matematik på HHX - Kompendium Grundlæggende regneregler

2 42 4 2 43 33 327 8 ( 27) ( 8) 3 2 9 16 25+ = + = + = + =

www.dfds.com/elever

Klik

på

rekl

amen



2. Geometri

Mange linier og liniestykker i en trekant har specielle navne - her følger de mest gængse:

Midtnormal – en linie, der står vinkelret på midten af et liniestykke. I en trekant går midtnormalerne igennem samme punkt. Dette punkt er centrum for trekantens omskrevne cirkel.

Vinkelhalveringslinie – en linie, der ligger lige langt fra vinklens ben. Vinkelhalveringslinierne i en trekant går gennem samme punkt. Dette punkt er centrum for trekantens indskrevne cirkel.

Højde – en linie, der går fra en vinkelspids og som står vinkelret på den modstående side eller dennes forlængelse. I en trekant går højderne gennem samme punkt.

Median – en linie, der går fra en vinkelspids og til midten af det modstående liniestykke. I en trekant går medianerne gennem samme punkt.

Hvis man kender tre stykker i en trekant (et stykke kan enten være en vinkel eller en sidelængde) kan man beregne de resterende stykker i trekanten. Når man skal løse en trekantopgave, skal man altid starte med at lave en skitse af, hvordan trekanten ser ud. Når man får opgivet tre oplysninger i en trekant kan de tre stykker været givet på fem forskellige måder. Man taler om fem trekants-tilfælde, som illustreres nedenfor.

I De tre sider er kendt.

II En vinkel og de hosliggende sider er kendt.

III En vinkel, en hosliggende side og en modstående side er kendt.

IV En side og de hosliggende vinkler er kendt.

V En side, en hosliggende og en modstående vinkel er kendt.

8

Opsummerende Matematik på HHX - Kompendium Geometri


Tilfælde I

Når alle tre sider er kendte, kan vinklerne beregnes ved hjælp af cosinusrelationerne.

Tilfælde II

Den tredje side beregnes ved hjælp af en cosinusrelation. Nu kendes alle tre sider. De resterende to ukendte vinkler kan beregnes ved hjælp af cosinusrelationerne.

Tilfælde III

I dette trekantstilfælde fi ndes 0, 1 eller 2 trekanter med de givne stykker. Den sidste side beregnes ved hjælp af en cosinusrelation. Man får derved en andengradsligning med den sidste side som ubekendt. Antallet af mulige trekanter afhænger derfor af Determinantens størrelse, D. De to ukendte vinkler beregnes ved hjælp af cosinusrelationerne.

Tilfælde IV og V

I de to sidste tilfælde kendes to vinkler. Man kan derfor beregne den tredje vinkel, da vinkelsummen i en trekant er 180°. Til at beregne de to ukendte sider er det nemmest at anvende sinusrelationerne.

2.1 Beregning i en vilkårlig trekant

Navngivningen i trekanter er således:

For en vilkårlig trekant gælder sinusrelationerne:I en vilkårlig trekant ABC, hvis omskrevne cirkel har radius R, gælder følgende:

For en vilkårlig trekant gælder cosinusrelationerne:

Arealet af en trekant, T, beregnes således:

, hvor h er højden og g er tilhørende grundlinie.BacAbcCabhgT sin21sin

21sin

21

21

====

A

B

C

a

b

c

eller a b c 2R

A B Csin sin sin= = = A B C 1

a b c 2Rsin sin sin

= = =

Figur 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a b c 2bc Ab a c 2ac Bc a b 2ab C

coscoscos

= + − ⋅

= + − ⋅

= + − ⋅Figur 3

9



Bemærk: Man skal altid passe på, når man skal bestemme en vinkel i en trekant vha. af en sinusrelation. Hvis sinusværdien til den kendte vinkel ( sin(v) ) er forskellig fra 1, vil man altid komme frem til to forskellige vinkler. Begge vinkler kan godt være løsninger. Hvis de ikke er det, så skal man afgøre hvilken af de to vinkler, der er løsning. Men sinusrelationerne er sikre til beregning af sider. Dette problem opstår ikke, hvis man bestemmer den samme vinkel ved en cosinusrelation, da der til en given cosinusværdi netop svarer en vinkel i en trekant.

For at en trekant eksisterer, skal trekantsuligheden gælde:a + b > c, (a + c > b og b + c > a)idet trekanten ikke kan dannes, hvis de to korte sider, populært sagt, ikke kan nå enderne af den længste.

Bemærk: Generelt gælder, at hvis a + b < c, så har cosinusrelationerne f.eks. ingen løsning.

F.eks. Trekanten med a = 2, b = 3 og c = 6 eksisterer ikke:

Eks.1: Bestem vinklerne i trekant ABC, når a = 5, b = 7 og c = 10.

Løsning: (Vi er i trekanttilfælde I og vil derfor fi nde vinklerne ved cosinusrelationerne.)Skitse (lav altid sådan én):

6

3 2

A

B

C

5

7

10

10


2 2 2a c bcos B2ac+ −

=

Har du gjort dig tanker om fremtiden ? Vi har !B l i v h a n d e l s e l e v h o s B D / i n f o : w w w . b d . d k / e l e v

Klik

på

rekl

amen



Som kontrol skal vinkelsummen give 180°: 27,66° + 40,54° + 111,80° = 180°

Eks. 2: Om trekant ABC oplyses A = 24°, b = 5 og c = 8. Bestem trekantens ukendte stykker.

Løsning: (Vi er i trekanttilfælde II og vil derfor beregne siden a ved hjælp af en cosinusrelation.)Skitse:

(Kun den positive værdi kan benyttes, da en længde ikke kan være negativ.)

Vinkel B og C beregnes vha. cosinusrelationerne:

Som kontrol skal vinkelsummen give 180°: 24° + 30,75° + 125,10° = 179,85° (afrundingsfejl)

Eks. 3: Om trekant ABC oplyses A = 30°, a = 5 og b = 10. Bestem trekantens ukendte stykker.

Løsning: (Vi har altså at gøre med trekanttilfælde III.) Siden c fi ndes ved hjælp af cosinusrelationen.Skitse:

Først beregnes diskriminanten:

49135,080899135,08089

9135,0808980

89806425

852859135,0)24cos(

)(2

222222

≈⋅−=⇔⋅−=

⇔⋅=−⇔−

=−+

=⋅⋅−+

=≈°

+

−aa

aaaa

°≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇔=

⋅⋅−+

=−+

= − 75,306455cos

6455

842584

2cos 1

222222

acbcaB

°≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⇔

−=

⋅⋅−+

=−+

= − 10,125400799,23cos

4023

542854

2cos 1

222222

abcbaC

07531003107520

7523

102510)30cos( 22

2222

=+−⇔=−+⇔+

=⇔⋅⋅−+

=° ccccc

cc

c

030031007514)310( 2 =−⋅=⋅⋅−−=D

°≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇔==

⋅⋅−+

=−+

= − 66,273531cos

3531

140124

10725107

2cos 1

222222

Abc

acbA

°≈=⇔==⋅⋅−+

=−+

= − 54,40)76,0(cos76,010076

10527105

2cos 1

222222

Bac

bcaB

°≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⇔

−=

−=

⋅⋅−+

=−+

= − 80,1113513cos

3513

7026

7521075

2cos 1

222222

Cab

cbaC

24°

B

C

a

5

8

30°

B

C

5

10

c

11



Det vil sige,

De to ukendte vinkler fi ndes ved cosinusrelationerne.

Kontrol: Vinkelsummen giver 30° + 90° + 60° = 180°.

Eks. 4: Om trekant ABC oplyses A = 44°, C = 55° og b = 10. Bestem trekantens ukendte stykker.

Løsning: (Der er her tale om trekanttilfælde IV.) Skitse:

Da vinkelsummen i en trekant er 180°, kan vinkel B beregnes således: B = 180° - 44° - 55° = 81°Til at beregne de to sidste vinkler anvendes sinusrelationerne (bemærk her er det sikkert, da der udregnes sidelængder):

2.2 Beregninger i en retvinklet trekant:

For en retvinklet trekant gælder Pythagaros sætning: For en retvinklet trekant ABC, hvor med siderne a, b og c gælder a2 + b2 = c2:

Med ord lyder sætningen: I en retvinklet trekant er summen af kateternes kvadrater lig med hypotenusens kvadrat.

Pythagaros omvendte sætning: Hvis det om siderne a, b og c i trekant ABC gælder at a2 + b2 = c2, så er trekant ABC retvinklet med C = 90°.

°=∠ 90C

66,8352

31012

0)310(≈==

⋅±−−

=c

°==⇔==⋅⋅

−+= − 90)0(cos0

3500

355210)35(5cos 1

222

BB

°==⇔==⋅⋅−+

= − 60)21(cos

21

10050

1052)35(105cos 1

222

CC

44°

B

55°

a

10

c

c a

b

B

A C

12


a 10 10sin(44 )a 7,03sin(44 ) sin(81 ) sin(81 )

°= ⇔ = =

° ° °

c 10 10sin(55 )c 8, 29sin(55 ) sin(81 ) sin(81 )

°= ⇔ = =

° ° °


I en retvinklet trekant gælder følgende formler:

Eks. 5: I den retvinklede trekant ABC er C = 90°, a = 15 og b = 22. Beregn trekantens ukendte stykker.

Løsning:Skitse:

Først beregnes vinkel A:

Den ukendte side fi ndes ved Pythagoras sætning:

a2 + b2 = c2 152 + 222 = c2

Vinkel B beregnes således:

Hvis man er sikker på, at man har regnet vinkel A rigtigt, kan vinkel B også beregnes som residualvinklen (restvinklen): B = 180° - 90° - 34,29° = 55,71°(Man skal altid, hvis muligt, kontrollere, at man har regnet rigtigt!)

⇔ ⇔ 63,26709484225)( ==+=+−c

°=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇔= − 71,55

1522tan

1522tan 1BB

°≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇔= − 29,34

2215tan

2215tan 1AA

hosliggende katetevhypotenusen

stående katetevhypotenusen

stående katetevhosliggende katete

cos

modsin

modtan

=

=

=

Figur 4

c 15

22

B

A C

13


Gå efter det bedste tilbud !

Er du på jagt efter en uddannelse, hvor mulighederne for at gøre karriere er rigtig gode? Har du gå-på-mod og evner til at gennemføre et seriøst uddannelsesfor-løb med fokus på kundeserivce, salg og samarbejde?

Så skulle du overveje en uddannelse som salgsassi-stent eller trainee i Dansk Supermarked. Vi søger lige nu elever til føtex, Bilka og Netto over hele landet.

Når Dansk Supermarked søger elever, er det for at uddanne dygtige medarbejdere og ledere til fremti-den. Vores succes afhænger af dig. Derfor gør vi rig-tig meget ud af, at du udnytter dine evner optimalt, har det godt, trives med dine opgaver og udvikler dig personligt.

Du kan læse meget mere om vores uddannel-ser og karrieremuligheder på vores hjemmeside elev.dsg.dk, hvor du også kan se og søge ledige elev-stillinger. Du er også velkommen til at gå ned i dit lokale varehus for at høre mere om dine muligheder.

elev.dsg.dk

Klik

på

rekl

amen



3. Lineære funktioner (skæring af funktioner)

Defi nition: En lineær funktion er en funktion af typen f(x) = ax + b

For linien y = ax + b kaldes koeffi cienten a til x for hældningskoeffi cienten eller stigningstallet. Hvis grafen for y = f(x) går gennem punkterne A = (x1, y1) og B = (x2, y2) kan a beregnes således:

Konstantleddet b angiver grafens skæringspunkt med y-aksen/2.-aksen idet f(0) = b.

Eks 1: Bestem en forskrift for f(x), når det oplyses, at f(x) er en lineær funktion og y = f(5) = 3 og y = f(10) = 18.

Løsning: Hældningskoeffi cienten beregnes ved ovenstående formel

Det vil sige f(x) = 3x + b.Ved at indsætte et af de to givne punkter i f(x) kan b beregnes. Ved indsættelse af f(10) = 18 fås:

Dvs. f(x) = 3x - 12

3.1 Skæring mellem lineære funktioner

Ved bestemmelse af skæringspunktet mellem to lineære funktioner, kan man benytte to metoder. Den ene metode kaldes substitutionsmetoden og den anden kaldes for lige store koeffi cienters metode. Hvis hældningskoeffi cienten (a) for to linier er den samme, er linierne parallelle og skærer derfor ikke hinanden eller den samme linie og giver derfor uendelige mange løsninger (to ligninger er ens). Hvis linierne er parallelle giver de to metoder da to ligninger, som ikke kan løses.

3.2 Substitutionsmetoden

Ved denne metode indsættes funktionsudtrykket for den ene funktion i funktionsudtrykket for den anden funktion. Man får så en ligning med en ubekendt (enten x eller y), som man så løser på sædvanlig vis.

Eks. 2: Bestem skæringspunktet mellem linierne f: y = 3x + 5 og g: y = 7x + 10

Løsning: Ved at indsætte funktionsudtrykket for g på y´s plads i f fås:

7x + 10 = 3x + 5 4x = -5 x =

35

15510318

==−−

=a

1218103 −=⇔=+⋅ bb

⇔ ⇔

2 1

2 1

y ya

x x−

=−

Figur 5

14

54

−

Opsummerende Matematik på HHX - Kompendium Lineære funktioner (skæring af funktioner)


Y-koordinaten til skæringspunktet kan nu fi ndes ved at indsætte x-værdien i enten f eller g. Indsættes i f fås:

y =

Det vil sige, skæringspunktet bliver (x,y) =

3.3 Lige store koeffi cienters metode

Denne metode går ud på at få koeffi cienten til enten x eller y til at blive lige store. Dette gøres ved at gange hele funktionsudtrykket for en af de to funktioner igennem med en faktor (dvs. et tal) – måske skal begge ligninger ganges med hvert sit tal. Ved at trække de to fremkomne ligninger fra hinanden fremkommer en ligning med én ubekendt, som løses på sædvanlig vis.

Eks 3: Funktionerne f og g er givet ved f: 2y = 3x + 5 og g: 4y = 7x + 10 Bestem skæringspunkterne mellem f og g

Løsning: (Da y ikke er isoleret i funktionsudtrykket for f og g, og dermed ikke umiddelbart kan indsættes i hinanden, er det her oplagt at anvende lige store koeffi cienters metode.) Ved at forlænge (det vil sige gange igennem) med 2 i udtrykket for f fås:f: 2y = 3x + 5 4y = 6x + 10Nu er koeffi cienten til y den samme ved både f og g. Ved at trække g fra f fås (venstre side trækkes fra venstre og højre fra højre):4y -4y = 6x + 10 - (7x + 10 ) -x = 0 x = 0Y-koordinaten til skæringspunktet kan nu fi ndes ved indsættelse af x-værdien i fx f:

Dermed bliver skæringspunktet (x, y) = (0; 2,5)

3.4 Ortogonale linier

To linier siges at være ortogonale (dvs. står vinkelret på hinanden) hvis produktet af deres hældningskoeffi cienter er -1.

Eks. 4: Er graferne for f: og g: ortogonale?

Løsning: g omskrives til:

Dermed kan hældningskoeffi cienten for g afl æses.

Altså er f og g ortogonale.

⇔

⇔ ⇔

431

+= xy

5,22555032 ==⇔=+⋅= yy

162 +−= xy

213162 +−=⇔+= xyxy

1)3(31

−=−⋅

15

5 15 53 5 54 4 4−⋅ + = − + =

5 5,4 4−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

Opsummerende Matematik på HHX - Kompendium Lineære funktioner (skæring af funktioner)


4. Afstandsformler i koordinatsystemet

4.1 Punkt-punkt-afstandsformel

Hvis A har koordinatsættet (x1, y1) og B har koordinatsættet (x2, y2), så er afstanden mellem A og B givet ved

Eks. 5: Bestem afstanden mellem A(x1, y1) = (1, 2) og B(x2, y2) = (4, 6).

Løsning:

4.2 Punkt-linie-afstandsformel

Hvis punktet P har koordinatsættet (x1, y1) og linien l er givet ved ligningen y = ax + b, så er afstanden fra

punktet P til linien l givet ved .

Eks. 6: Bestem afstanden mellem P(3, 2) og linien l: .

Løsning:

1),(

2

11

+

−+=

a

ybaxlPdist

421

+= xy

13,35

752

27

25

27

45

223

121

24321

),(2

≈=⋅⋅

==+

=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+⋅=lPdist

16

Opsummerende Matematik på HHX - Kompendium Afstandsformler i koordinatsystemet

2 22 1 2 1AB (x x ) (y y )= − + −

2 2AB (4 1) (6 2) 9 16 25 5= − + − = + = =

Klik

på

rekl

amen



5. Invers funktion

En funktionsforskrift for en funktion er f.eks. f(x) = y = 3x + 5. Denne forskrift udtrykker y som funktion af x. Man kan i visse tilfælde også godt få et udtryk for den forskrift, som udtrykker x som funktion af y. Dette udtryk fås ved at isolere x i regneforskriften. I ovenstående eksempel fås:

y = 3x + 5 3x = y - 5 x =

Dette udtryk angiver x som funktion af y. Denne funktion kaldes den inverse funktion til f eller den omvendte

funktion til f og betegnes med f-1. Dvs. f-1(y) =

Da man godt vil have et udtryk for y som funktion af x, byttes der om på x og y i f-1(y). Vi får derfor

f-1(x) = . Denne ombytning giver sig udtryk rent grafi sk ved at f(x) og f-1(x) er hinandens spejlbilleder

i linien y = x:

Der gælder, at Dm(f) = Vm(f-1) og Vm(f) = Dm(f-1).

Eks. 1: Bestem den inverse funktion til f(x) =

Løsning: Vi har at

Det vil sige, , Dm(f-1) = Vm(f) = R \ {2}.

(Idet nævneren bliver 0 hvis x = 2.)

35

31

−y⇔ ⇔

35

31

−y

35

31

−x

5,15,25−xx

55,25,1

5,1)55,2(5,155,255,15,25,15,2

5)(f

−=

⇔=−⇔=−⇔=−⇔−

==

yyx

yyxyxxyxyxyx

xxy

55,25,1)(f 1

−=−

xxx

10

5y

y= 3x + 5 y= x

= −1 5

y x3 3

00

-5

-10

-10 -5 105

x

Figur 6

17

Opsummerende Matematik på HHX - Kompendium Invers funktion


6. Parablen: graf, løsning af ligning og ulighed

En parabel er en funktion af typen f(x) = ax2 + bx + c, a

Hvis a > 0 vil parablens grene pege opad – ”parablen er glad.” Hvis a < 0 vil parablens grene pege nedad – ”parablen er sur.”

Hvis ligningen f(x) = 0 ikke har nogle løsninger (løsningsmængden er tom, L = Ø), vil grafen for f(x) ikke skære x-aksen.Hvis ligningen f(x) = 0 har netop en løsning, vil grafen for f(x) skære/tangere x-aksen i ét punkt.Hvis ligningen f(x) = 0 har to løsninger, vil grafen for f(x) skære x-aksen i to punkter.Grafens skæring med y-aksen svarer til konstantleddet i forskriften for f(x), dvs. f(0) = c. Nedenstående er vist eksempler på en ”glad” og en ”sur” parabel.

Den typiske ligning man skal løse i forbindelse med parablen vil være ligningen:f(x) = 0 ax2 + bx + c = 0 Den generelle løsning (dvs. polynomiets rødder) ser således ud.

0≠

⇔

aacbbx

242 −±−

=

10

6

y

00

2

-4 -2 42

Glad parabel

x

8

4

Figur 7

-10

-6

y

00

-2

-4 -2 42

Sur parabel x

-8

-4

Figur 8

18

Opsummerende Matematik på HHX - Kompendium Parablen: graf, løsning af ligning og ulighed


Indmaden under kvadratrodstegnet kaldes for diskriminanten og betegnes med D, det vil sige D = b2 - 4ac. Der er kun reelle løsninger, hvis D ≥ 0.

Parablens toppunkt kan beregnes ved formlen (x,y) = ( . Det er nyttigt at kende koordinatsættet til

toppunktet, når man skal beregne parablens værdimængde.

Eks. 1: f(x) = x2 - 3x - 18. Bestem eventuelle nulpunkter til grafen for f og bestem Vm(f).

Løsning: For at bestemme om grafen for f har nogle nulpunkter skal vi løse ligningen f(x) = 0 x2 - 3x - 18 = 0. Vi kan nu bruge den generelle formel til løsning af en andengradsligning:

Dvs. grafen for f har nulpunkter i (-3, f(-3)) = (-3, (-3)2 - 3·(-3) -18) = (-3, 0) og i (6, f(6)) = (6, (6)2 -3·6 - 18) = (6, 0).

Bemærk: Som kontrol er de to y-værdier til nulpunkterne beregnet. De skal selvfølgelig have værdien 0!For at bestemme Vm(f) er vi nødt til at kende parablens toppunkt. Da a > 0 ved vi, at grafen viser en ”glad” parabel. Derfor vil y-værdien til parablens toppunkt være nedre værdi i intervallet for Vm(f). Y-værdien til en

parabels toppunkt kan beregnes ved formlen y =

Dvs.

)4

,2 a

Dab −−

⇔

⎩⎨⎧−

=±

=±

=⋅

−⋅⋅−−±−−=

36

293

2813

12)18(14)3()3( 2

x

25,2014

814

−=⋅

−=

−aD

[ [∞−= ;25,20Vm(f)

19


Deltag i Børsens Gazellespil 2010 - og vind flotte pengepræmier

Gazellespillet er et spændende og innovativt virksomhedsspil, hvor du kommer til at prøve kræfter som iværksætter.

Spillet udfordrer i 2010 elever og lærere på at tage beslutnin-ger i et marked præget af økonomisk og finansiel krise.

Som leder af en fiktiv virksomhed skal du og dit hold hver uge træffe vigtige beslutninger om produktudvikling, marketing, investeringer m.v.

Spillet starter den 18. januar 2010 og der vil være flotte pengepræmier til de skarpeste beslutningstagere.

Læs alt om spillet og tilmeld jer på gazellespil.borsen.dk KLIK HER

Klik

på

rekl

amen



Ulighed

En ulighed med et andengradspolynomium er af typen: ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c < 0 eller ax2 + bx + c ≤ 0. Ved løsning af uligheden er det nødvendigt at kende rødderne i andengradspolynomiet. Det er også nødvendigt at vide om parablen er ”glad” eller ”sur.”

Eks. 2: Løs uligheden x2 - 2x - 15 ≥ 0.

Løsning: Først løses ligningen x2 - 2x - 15 = 0 vha. den generelle formel:

Da koeffi cienten til x2 er positiv vender parablen grenene opad. Parablen skærer x-aksen ved x = 5 og x = -3. Derfor bliver løsningsmængden, L, til ovenstående ulighed L = R \ ]-3, 5[Man kan også skrive: x2 - 2x - 15 ≥ 0 x , hvor betyder ”forenet med.” (Se evt. illustrationen:)

Eks. 3: Om en parabel f(x) oplyses, at f(0) = 3, f(2) = -1, f(-2) = 15. Bestem forskriften for parablen.

Løsning: f(0) = 3 c = 3. Dvs. f(x) = ax2 + bx + 3. Ved at indsætte de to sidste punkter fås:f(2) = -1 4a + 2b + 3 = -1 ogf(-2) = 15 4a - 2b + 3 = 15 Vi har nu to ligninger med to ubekendte (a og b). Da koeffi cienten til a er 4 i begge ligninger, kan vi trække de to ligninger fra hinanden. Hvis man trækker den øverste ligning fra den nederste fås:4a + 2b + 3 -(4a - 2b + 3) = -1 - 15 4b = -16 b = -4 Ved at indsætte værdien af b i en af de to øverste ligninger, kan værdien af a beregnes. Her vælges at indsætte værdien for b i den øverste ligning: 4a + 2·(-4) + 3 = -1 4a = 4 a = 1. Dvs. parablens forskrift er f(x) = x2 - 4x + 3.

( )⎩⎨⎧−

=±

=−⋅⋅−−±

=3

52

822

)15(1422 2

x

⇔ ] ] [ [∞−∞−∈ ;53; U U

⇔⇔⇔

⇔ ⇔

⇔ ⇔

20

10

0

y

-10

-15

5

-5

0 2-2-4 4 6 8

x

Figur 9



7. Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

• Titalslogaritmen (log) har grundtallet 10. Dm(log) = R+, Vm(log) = R. • Titalslogaritmen fortæller os populært sagt hvilket tal 10 skal opløftes i for at give tallet a. Altså • To funktionsværdier er nyttige at huske: log(1) = 0 og log(10) = 1

• Den naturlige logaritme (ln) har grundtallet e, hvor e = 2,718…. Dm(ln) = R+, Vm(ln) = R. • Den naturlige logaritme fortæller os tilsvarende hvilket tal e skal opløftes i for at give tallet a. Altså • To funktionsværdier er nyttige at huske: ln(1) = 0 og ln(e) = 1.

For titalslogaritmen og den naturlige logaritme gælder der nogle regneregler. Nedenfor er skrevet regnereglerne for titalslogaritmen, men der gælder præcis de samme regneregler for den naturlige logaritme.

Eks. 1: Om en funktion f(x) = b·ax oplyses, at f(-1) = og f(2) = 18.Bestem a og b.

Løsning: Ved at indsætte den første funktionsværdi i forskriften fås:

f(-1) = b·a-1 = (I)

Ved at indsætte den anden funktionsværdi fås: f(2) = b·a2 = 18.Her indsættes det fundne udtryk for b:

Værdien for a indsættes i udtrykket for b (I):

Dvs. f(x) = 2·3x

Eks. 2: Bestem den afl edede til f(x), når f(x) = e5x+2

Løsning: Her benyttes differentiation af sammensat funktion med y = 5x+2 som den inderste funktion og ey som den ydre funktion. Vi får så f’(x) = (5x+2)’e5x+2 = 5e5x+2

aa log10=

aea ln=

32

32 ⇔

32

32 ab

ab

=⇔=

32727932183183218

32 3332 ==⇔=⋅=

⋅=⇔⋅=⇔=⋅ aaaaa

2332=

⋅=b

log(a·b) = loga + logb log(ax) = x·log(a)

= loga - logbab

log ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Figur 10

21

Opsummerende Matematik på HHX - Kompendium Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner


Eks. 3: Bestem skæringspunkterne mellem f(x) = 2·3x og g(x) = 6·3-x.

Løsning: Vi skal altså løse ligningen f(x) = g(x) 2·3x = 6·3-x 3x(3-(-x)) = 3

3x·3x = 3 32x = 3 2xln3 = ln3 2x = x = 0,5

For at beregne y-værdien til skæringspunktet indsættes x = 0,5 i enten f eller g. Her vælges f:f(0,5) = 2·30,5 = 2 Dvs. skæringspunktet bliver (x, y) = .

Eks. 4: Løs ligningen e2x - 7ex + 12 = 0

Løsning: Grundmængden er alle reelle tal, dvs. G = RDer er tale om en ”forklædt” andengradsligning. Sættes t = ex fås:

t2 - 7t + 12 = 0

Dvs:

Da begge løsninger ligger i grundmængden, er de (gyldige) løsninger.

⇔ ⇔ ⇔1

3ln3ln=

326

33

==−x

x

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

3

)32;5,0(

⇔⎩⎨⎧

=±

=−±

=34

217

248497t

3ln3

4ln4

=⇔=

=⇔=

xe

xex

x

22


FÅ HELE VERDEN SOM DIN ARBEJDSPLADS!

Vil du være blandt verdens førende shippingfolk? Det Blå Danmark, eller det danske mari-time erhverv, kan tilbyde dig en shippinguddannelse af høj international standard. Danske rederier og shippingvirksomheder er førende inden for de mest avanacerede segmenter af den globale søfart og flytter dagligt 10 procent af al verdens handel til søs. Hvis du har mod på en international karriere, så gå ind på www.worldcareers.dk og find ud af, hvordan DU kan få hele verden som din arbejdsplads.

Få verden som arbejdsplads: www.worldcareers.dk

Klik

på

rekl

amen



Eks. 5: Løs ligningen log(x - 2) + log(x) = 0

Løsning: (Inden man løser ligningen, skal ligningens grundmængde G bestemmes.) Kravet til funktionen log(x - 2) er, at x - 2 > 0 x > 2 og kravet til log(x) er, at x > 0. Her vælges den ”skrappeste” af ulighederne (dvs. den ulighed som ”indeholder” færrest tal), det vil sige x > 2. Derfor er G: x > 2

Vi kan nu omskrive ligningen: log(x(x-2)) = 0 log(x2-2x) = 0 x2 - 2x = 100 = 1 x2 - 2x - 1 = 0

Diskriminanten D = (-2)2 - 4·1·(-1) = 8 dvs.

Her udgår løsningen x = 1- , da x > 2.

Dvs. det er kun (> 2) som er løsning til ligningen.

Eks. 6: Løs ligningen log2(x) - 2log(x) - 15 = 0

Løsning: Grundmængden er G = R+

Da er her tale om en ”forklædt” andengradsligning. Ved at sætte t = log(x), fås ligningen:

t2 - 2t - 15 = 0, som løses på sædvanlig vis:

Vi kan nu substituere tilbage til log(x): log(x) = 5 x = 105 = 100.000 eller log(x) = -3 x = 10-3 = 0,001Da begge løsninger er indenfor grundmængden, er de (gyldige) løsninger.

7.1 Eksponentialfunktioner

En eksponentialfunktion er en funktion af typen y = ax, x R og a > 0 og a 0, hvor a kaldes for grundtallet eller fremskrivningsfaktoren.

For alle eksponentialfunktioner gælder: • f(0) = a0 = 1 Man siger, at begyndelsesværdien er b = 1. • Dm = R • Vm = R+

Eksponentialfunktionen y = ex med grundtallet e = 2,718…. kaldes den naturlige eksponential-funktion. Dette skyldes, at den naturlige eksponentialfunktion er sig selv afl edet, dvs. f(x) = ex f’(x) = ex.

En eksponentiel udvikling er en funktion af typen f(x) = b·ax, hvor a 0 • Hvis a > 1 er der tale om en voksende eksponentiel udvikling. • Hvis a < 1 er der tale om en aftagende eksponentiel udvikling. • Vm(f) = R+

Grafen for en eksponentiel udvikling er en ret linie på enkelt-logaritmisk papir.

⇔

212

2222

82±=

±=

±=x

⇔=⇔ − 0)2log( 10102 xx

⇔

2

21+=x

⎩⎨⎧−

=±

=+±

=3

52

822

6042t

⇔⇔

∈ ≠

⇒

≠

23

⇔



7.2 Potensfunktioner

En potensfunktion er en funktion af forskriften f(x) = xa En potensudvikling er en funktion af forskriften f(x) = b·xa

Der gælder at f(1) = b·1a = b.

Grafen for en potensudvikling er en ret linie på dobbeltlogaritmisk papir.

Hvis man kender to punkter på grafen for en potensudvikling med koordinatsættene hhv. (x1, y1) og (x2, y2) kan a bestemmes ved formlen:

Når man har bestemt a kan b beregnes ved at indsætte værdien for a og et af de oplyste punkter i funktionsforskriften.

Eks. 7: Om en potensudvikling oplyses f(2) = 112 og f(5) = 4375.Bestem forskriften for f.

Løsning: Forskriften er af formen

Ved hjælp af formlen bestemmes a:

Værdien af b kan nu bestemmes ved at indsætte a = 4 og det første punkt i forskriften:

b·24 = 112 b =

Dvs. f(x) = 7·x4

7.3 Enkelt og dobbeltlogaritmisk papir

Ved enkeltlogaritmisk papir er y-aksen inddelt efter en logaritmisk skala. Papiret kaldes også for semilogaritmisk papir eller lodret logaritmisk papir. På en logaritmisk skala svarer lige store afstande til lige store forhold. Dette princip kaldes forholdsprincippet. Afstandene mellem to potenser af 10 er lige store fx er afstanden mellem 10 (101) og 100 (102) lige så stor som afstanden mellem 1 (100) og 10! Afstanden mellem to potenser af 10 kaldes en dekade. Grafen for en eksponentiel udvikling f(x) = b·xa vil være en ret linie på enkeltlogaritmisk papir.

På dobbeltlogaritmisk papir er både x- og y-aksen inddelt i en logaritmisk skala. Den mest er normale inddeling er med 3 dekader i y-aksens retning og 2 dekader i x-aksens retning.

axb ⋅=f(x)

42log5log112log4375log

loglogloglog

12

12 =−−

=−−

=xxyya

⇔ 716112

=

For den eksponentielt voksende funktion er fordoblingskonstanten:

For den eksponentielt aftagende funktion er halveringskonstanten:

22Ta

lnln

=

12

2Ta

lnln

=−

2 1

2 1

y ya

x xlog loglog log

−=

−Figur 11

24



Eks. 1:

I 1990’erne blev der gjort meget fra regeringens side for at begrænse udledningen af kvælstof (NOX). Der blev blandt andet igangsat fl ere vandmiljøplaner. I nedenstående tabel er vist den samlede udledning af kvælstof fra rensningsanlæg for perioden 1994-1997.

a) Gør rede for, at sammenhængen mellem udledningen (y) og antal år efter 1992 (x) med god tilnærmelse kan beskrives ved en funktion med forskriften f(x) = b·ax. b) Bestem en forskrift for funktionen.c) Afl æs på funktionspapiret halveringskonstanten og giv en fortolkning af hvad denne størrelse udtrykker.

Løsning:

a) Da de indtegnede punkter med god tilnærmelse ligger på en ret linie på enkeltlogaritmisk papir, er forskriften for beskrevne sammenhæng på formen f(x) = b·ax.

År: 1994

Kvælstof(NOx) 10239

1997

4853

Kilde: Statistikbanken, 2005

1995

8939

1996

6386

Enkeltlogaritmisk papir

0 1 2 3 4 5 6 7 8

2

3

4

5

6

7

8910

2

3

4

5

6

7

8910

2

3

Kvæ

lsto

f

104

103

(1994) (1995) (1996) (1997) Antal år efter 1992

Figur 12

T½

25



b) Af funktionspapiret afl æses punkterne f(4) = 6400 og f(5) = 4900. Ved at indsætte disse punkter i funktionsforskriften fås to ligninger med to ubekendte: f(4) = 6400 b·a4 = 6400 og

f(5) = 4900 b·a5 = 4900

Ved at indsætte udtrykket for b i den sidste ligning fås:

Værdien af b fi ndes ved at indsætte værdien af a i udtrykket for b:

Forskriften bliver: f(x) = 18625,83·(0,7656)x

c) Ved afl æsning på funktionspapiret afl æses halveringskonstanten til 2,5 år. Det vil sige, efter hvert 2,5 år halveres udledningen af kvælstof. Beregnes fås:

⇔ ⇔ 4

6400ba

=

⇔

54

6400 49004900 0,76566400

a aa

⋅ = ⇔ = ≈

46400 18625,8349006400

b = ≈⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

12

T

12

ln(2)T 2,6ln(0,7656)−

= ≈

26


Hvad enten du drømmer om at starte virksomhed eller allerede er godt i gang, giver vi dig power til at maksimere dit potentiale. I uge 47 er der springboards, workshops, foredrag og konkret rådgivning til alle – fra iværksætterspirer i grundskolen til direktører med vækstambitioner.

Bag initiativet står Økonomi- og Erhvervsministeriet i samarbejde med en lang række private og offentlige organisationer. Initiativet er en del af "Global Entrepreneurship Week", hvor mere end 100 lande sætter fokus på iværksætteri og vækst.

Global Entrepreneurship Week | Økonomi- og Erhvervsministeriet | Væksthusene | Young Enterprise Danmark | DI – Organisation for erhvervslivet | Kauffmann | Make Your Mark

| Dansk Iværksætter Forening | Undervisningsministeriet | DEF | DJØF | Foreningen af Registrerede Revisorer | Øresund Entrepreneurship Academy | Danske Advokater |

Foreningen af Statsautoriserede Revisorer | IDA | DANA | IDEA | Vækstfonden | Women in Business | Connect Denmark | Ministeriet for Videnskab, Teknologi og Udvikling | FUHU

| Ernst & Young | Dansk Erhverv | Venture Cup | Kulturministeriet | Early Warning | Danmarks Eksportråd

Læs mere på www.uge47.dk

Klik

på

rekl

amen




1993

62,2

1994

83,8

1995

100

1996

110,9

1997

123,5

1998

134,4

1999

143,7

2000

153

Eks 2:Nedenfor er vist udviklingen i ejendomspriserne for enfamilieshuse for hele landet. Tallene er indekserede således, at 1995 er basisåret (1995 = 100).

a) Gør rede for, at sammenhængen mellem ejendomspriserne, y = f(x), hvor x = antal år efter 1992 og de indekserede ejendomspriser, y, med god tilnærmelse kan beskrives ved en potensfunktion med forskriften f(x) = b·xa. b) Bestem en værdi for hver af de to konstanter a og b.c) Antag, at den fundne sammenhæng også gælder de næste 5 år (dvs. 2001-2005). Hvad vil den indekserede pris så være for et enfamilieshus i 2005?

Løsning:

a) Da de indtegnede punkter med god tilnærmelse ligger på en ret linie på dobbeltlogaritmisk papir, kan de indekserede ejendomspriser som funktion af antal år efter 1992 antages at følge en potensfunktion.

Dobbeltlogaritmisk papir

1 2 3 4 5 6 7 8

2

3

4

5

6

7

8910

2

3

4

5

6

7

8910103

102

(93) (94) (95) (96) Antal år efter 1992

Figur 13

9 10 2 3 4 5(97)(98) (00) (02)

(99) (01) (03) (05)(04)

Indek

s

185

Prognose

27



b) For at bestemme funktionsforskriften er man nødt til at afl æse to punkter, som ligger på den netop indtegnede linie. Det ses af funktionspapiret, at to af de opgivne punkter ligger på linien, nemlig: f(1995-1992) = f(3) = 100 og f(1999-1992) = f(5) = 143,7. Ved at indsætte disse punkter i funktionsforskriften fås to ligninger med to ubekendte:

f(3) = 100 og

f(7) = 143,7

Ved at indsætte værdien for b i den sidste ligning fås:

Ved at indsætte værdien for a i udtrykket for b, kan b bestemmes:

Funktionsforskriften er dermed: f(x) = 62,48·x0,428

c) Vi skal nu beregne et estimat for den indekserede ejendomspris i 2005. x = 2005-1992 = 13 indsat giver: f(13) = 62,48·130,428 ≈ 187,29 Dvs. i forhold til basisåret 1995 vil prisen på et enfamilieshus til indeks ca. 187,29 i 2005, hvis prisudviklingen fortsætter. Dette kan også afl æses af grafen, idet man dog ikke kan afl æse helt så præcist.

⇔ 54

6400 49004900 0,76566400

a aa

⋅ = ⇔ = ≈

7 143,7ab ⋅ =⇔

100 7 7 143,77 143,7 100 143,73 3 3 100

aaa

a a⎛ ⎞⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔ = ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠

7 143,7 ln(143,7) ln(100)ln ln 0, 4283 100 ln(7) ln(3)

a a −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ⇔ = ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0,428

100 62,483

b = ≈

28


KarriereplatformenShippingbranchen er en unik mulighed for dig, hvis du sigter mod en fremtid, hvor ikke to dage er ens. Ønsker du samtidig en intensiv uddannelse, der kombinerer praktik og teori på højt plan, vil du få et godt fundament for din fremtidige karriere i international shipping.

Fra vort hovedkontor i København får du hele verden som arbejdsplads. Du kommer hurtigt til at indgå i et team med dygtige og engagerede kolleger i et inspirerende arbejdsmiljø.

Vi kan tilbyde vore kommende trainees forskellige udgangs-punkter for en fremtidig karriere.

Tre spændende uddannelsesprogrammerRederiet søger shipping trainees, en trainee til rederiets bunkers-afdeling samt trainees til økonomiafdelingerne.

Læs mere om alle tre uddannelser og adgangskrav under career opportunities på www.j-lauritzen.com.

Hvorfor vælge J. Lauritzen?Vi arbejder med udgangspunkt i en ambitiøs vision om kontinu-erligt at levere ”world-class” til vore kunder og samarbejdspart-nere, og visionen understøttes af et stærkt værdigrundlag. J. Lauritzen er et af de ældste rederier i Danmark, som har stærk fokus på udvikling og drives efter moderne forretningsprincipper.

Tillid og respekt er i højsædetUd over et intensivt uddannelsesforløb tilbyder vi gode ansæt-telsesvilkår, sundhedsforsikring, god frokostordning samt mange sociale aktiviteter efter arbejdstid. Vi kan eventuelt også hjælpe med en studielejlighed.

Dit udgangspunktDu har som minimum en HHX eller HH-fagpakken efter din STX - med et tilfredsstillende eksamensresultat. International handel og økonomi har din store interesse, og du har disse fag samt matematik på min. B-niveau samt engelsk på A-niveau. Herud-over har du måske nogen erhvervserfaring eller har opholdt dig i udlandet i en periode. Som person er du ambitiøs, udadvendt og ivrig efter at tilegne dig ny viden.

AnsøgningSend din motiverede ansøgning senest den 15. februar 2009 mærket ”Trainee” og bilagt relevante eksamenspapirer til [email protected]. Husk at anføre, om du ønsker at blive ship-ping-, økonomi- eller bunkers-trainee. Har du spørgsmål, er du velkommen til at kontakte HR-konsulent Dorthe Olsen på 3396 8426 eller underdirektør Tove E. Nielsen på 3396 8422 eller send en mail til [email protected].

Lad drømmen blive til virkelighed...Trainees til international shipping

Danske rederier transporterer mere end 10% af verdenshand-len, og J. Lauritzen A/S er blandt de førende med globale aktivite-ter inden for søtransport af tørlast (Lauritzen Bulkers), fl ydende petrokemisk gas (Lauritzen Kosan) samt raffi nerede olieprodukter og kemikalier (Lauritzen Tankers). JL er endvidere beskæftiget inden for offshore-industrien med specialskibe. JL beskæftiger ca. 650 personer og ejer og opererer en samlet fl åde på omkring 240 skibe, inkl. nybyg-ninger, omfattende tørlastskibe, gas- og produkttankskibe samt specialskibe. For yderligere information om JL, se www.j-lauritzen.com

OCEANS OF KNOW-HOW

Klik

på

rekl

amen



8. Rentesregning

Den generelle renteformel ser således ud KN = K(1+R)N , hvorKN er det beløb, som K er blevet forrentet til efter N terminer med renten R, også kaldet slutbeløbet. K er startkapitalen, det beløb som indskydes til tidspunkt 0. R er rentesatsen i perioden.N er antallet af terminer i perioden.

Renteformlen er nyttig i mange sammenhænge. Bemærk, at renteformlen er et specialtilfælde af en eksponentiel udvikling f(x) = b·ax, med f(x) = KN, b = K, a = (1 + R) og x = N.

Eks.1:Lille Peter indsætter 5.000 kr. i dag på en børneopsparing til 3,00 % p.a. (pro anno). Hvor stort et beløb vil Lille Peter have stående på kontoen efter 7 år?

Løsning: Vi skal med andre ord fi nde KN. Ved indsættelse i renteformlen fås:

Eks.2:Jens vil gerne have 10.000 kr. stående på en konto om 12 år. Hvor meget skal Jens indskyde i dag, når hans indskud bliver forrentet med 5 % p.a.?

Løsning: Vi skal nu fi nde K i renteformlen. Ved indsættelse i renteformlen fås:

Eks.3:Hans kan indskyde 3.000 kr. i dag og vil om 5 år gerne have 7.000 kr. Hvilken årlig rente skal Hans have i perioden?

Løsning: Vi indsætter i formlen:

Det vil sige, at Hans skal altså have 18,47% i årlig rente i løbet af de fem år (hvilket nok er svært at få).

Eks.4:Jesper kan indskyde 4.000 kr. i dag og har aftalt med sin bank, at han kan få 2,25% i rente p.a. Jesper vil gerne have 10.000 kr. stående på kontoen. Hvor lang tid skal Jespers indskud stå på kontoen, før det indestående på kontoen udgør 10.000 kr.?

Løsning: Vha. renteformlen fås:

75000kr. (1 0,03) 6.149,37 kr.NK = ⋅ + =

1212

10.00010.000kr. (1 0,05) 5.568,37kr.1,05

K K= + ⇔ = =

5 5 57000 70007000 3000(1 ) (1 ) 1 0,18473000 3000

R R R= + ⇔ + = ⇔ = − =

10000 1010000 4000 (1 0,0225) 1,0225 2,54000 4

N N= ⋅ + ⇔ = = =

29

Opsummerende Matematik på HHX - Kompendium Rentesregning


Den naturlige logaritme tages nu på begge sider af lighedstegnet:

Det vil sige, Jesper vente i ca. 41 år, for at have et indestående på 10.000 kr.

8.1 Gennemsnitlig rente

Hvis man i fl ere perioder får et forskelligt beløb i rente, dvs. renten i termin 1 er R1, renten i termin 2 er R2, renten i termin 3 er R3, o.s.v… renten i termin N er RN kan man beregne en gennemsnitlig rente for hele perioden ved brug af formlen:

hvor R er den gennemsnitlige rente i perioden.

Eks.5:En bank garanterer, at man ved indskydelse af et beløb på minimum 5.000 kr. i tre år, vil få 2% i rente 1. år, 4% i rente 2. år og 4,5% i rente 3. år. Renterne tilskrives ultimo året. Hvilken årlig gennemsnitlig forrentning svarer det til i perioden?

Løsning: Rentesatserne indsættes i ovenstående formel:

8.2 Lån

I forbindelse med lån er der mange begreber at holde styr på. Her følger en liste over de mest anvendte. • Hovedstol: Det beløb, du oprindeligt låner. • Restgæld: Det beløb, du skylder på lånet eller kreditten. • Effektive rente: Den rente, du faktisk betaler, da den medtager renters rente med. • Lånets løbetid: Den tid det tager at tilbagebetale lånet. • Ydelse: Lånets ydelse består af renter og afdrag på lånet. • Låneprovenu: Det beløb du får udbetalt efter stiftelsesomkostninger mv. er betalt.

Et annuitetslån er kendetegnet ved konstante ydelser i lånets løbetid. Et låns ydelser består af renter og afdrag. Annuitetslånet benyttes især ved køb af fast ejendom. Et annuitetslån vil i starten af løbetiden have små afdrag, da renteomkostningerne vil være store i starten af løbetiden. Efterhånden som lånet er ved at udløbe, vil afdragene på lånet udgøre stort set hele ydelsen. Et annuitetslån får derfor nedenstående ydelses- og afdragsprofi l.

ln(2,5)ln(1,0225 ) ln(2,5) ln(1,0225) ln(2,5) 41,2ln(1,0225)

N N N= ⇔ = ⇔ = =

1 2(1 ) (1 ) ..... (1 ) 1NNR R R R= + ⋅ + ⋅ ⋅ + −

3 (1,02)(1,04)(1,045) 1 0,0349 3, 49%R = − = =

00

Renter

Afdrag

Ydelsekr.

tid

Figur 14

30



Til at beregne nutidsværdien af en indbetaling på 1 kr. pr. termin i N terminer benyttes annuitetens

nutidsværdifaktor også kaldet annuitetsdiskonteringsfaktoren. Den skrives således . Den forkortede skrivemåde for brøken er .

Til at beregne hvor meget, der skal betales pr. termin i N terminer for at forrente og afdrage 1 kr., benyttes amortisationsfaktoren også kaldet genindvindingsfaktoren. Den skrives således

. Den forkortede skrivemåde for brøken er .

Til at beregne fremtidsværdien af en indbetaling på 1 kr. pr. termin efter N terminer benyttes

annuitetsfremdiskonteringsfaktoren. Den skrives således .

Den forkortede skrivemåde for brøken er .

Ovenstående formler gælder, når rentebetalingerne sker ultimo hver termin. Hvis rentebetalingerne fi nder sted primo terminen gælder andre formler.For ethvert lån, kan man udarbejde en amortisationsplan, som er et skema, som viser udviklingen i ydelse, rente, afdrag og restgæld i hele lånets løbetid.

Eks.6:En person optager i dag et annuitetslån på nom. 250.000 kr. til en pålydende rente 5% p.a. Løbetiden på lånet er 2 år og der er halvårlig rentetilskrivning. Da der er rentetilskrivning pr. 6. måned, er der 4 terminer i lånets løbetid. Da den pålydende rente er 5% pr. år, er den pålydende rente 2,5% pr. termin. Den pålydende rente kaldes også for en simpel rente. Ydelsen pr. termin kan beregnes således:Ydelse = pr. termin

(1 ) 1(1 )

N

N

RR R

+ −+ ⋅

(1 )(1 ) 1

N

N

R RR

+ ⋅+ −

31

N Rα

14 2,5250000 66.454,47 kr.−⋅α =


N(1 R) 1R

+ −

1N R−α

N Rs

Klik

på

rekl

amen



Amortisationsplanen ser således ud:

Eks.7:Det er i dag d. 1. januar 2005. Jensen vil gerne have sparet så meget op til sin pension, at han i hvert af årene i perioden 2010 til 2020 får udbetalt 20.000 kr. om året (i alt 11 gange). De 20.000 kr. udbetales ultimo hvert år i perioden. Det oplyses, at indestående på kontoen i perioden 2010-2020 forrentes med 3% p.a. Hvilket beløb skal Jensen have stående på sin konto ultimo 2009 for at få udbetalt 20.000 kr. hvert år i perioden?

Løsning: Vi anvender annuitetsnutidsværdifaktoren til at beregne hvilket beløb, der skal stå på kontoen ultimo 2009. Vi benytter formlen . Ved indsættelse fås:

Jensen skal altså have 185.052 kr. stående på kontoen 31. januar 2009.

Eks.8:Per har besluttet sig for at indsætte 10.000 kr. en gang om året de næste 20 år. Han har aftalt med banken, at han vil få 2,5% i rente p.a.Hvilket beløb vil Per have stående på kontoen efter de 20 år?

Løsning: Vi bruger formlen KN = A·

Ved indsættelse fås: K20 = 10.000· = 255.446,58 kr.

Termin Ydelse

0 66.454,47

1 66.454,47

2 66.454,47

3 66.454,47

4 66.454,47

Renter

6.250,00

4.744,89

3.202,15

1.620,84

60.240,47

61.709,58

63.252,32

64.833,63

250.000

189.795,53

128.085,95

64.833,63

0,00

Afdrag Restgæld

32

0 N RK A= ⋅α

20 2,5%s


0 113K 20.000 185.052 kr= ⋅α =

N Rs


9. Grænseværdier og kontinuerte funktioner

Grænseværdi defi neres således:Lad f være en funktion og x0 et tal. Hvis der fi ndes et tal a, så f(x) → a for x → x0, siger man at f(x) har grænseværdien a for x → x0.

Funktionerne f og g er kontinuerte, idet ingen af dem ”springer” eller knækker i et x0, der tilhører defi nitionsmængden. Funktionen h er derimod ikke kontinuert idet h ikke har en grænseværdi i x0! Grænseværdien er forskellig alt afhængig af om x nærmer sig x0 fra højre eller venstre.

33

Figur 15

-5 -3 -1 1 3 5

5

-5

0

-10

-15

10

15

20 f

x0

Figur 16

-5 -3 -1 1 3 5

5

-5

0

-10

-15

10

15

20 g

x0

Opsummerende Matematik på HHX - Kompendium Grænseværdier og kontinuerte funktioner

Figur 17

-5 -3 -1 1 3 5

5

-5

0

-10

-15

10

15

20h

x00


Eks. 1: Er f(x) kontinuert i 1?

Løsning: Først beregnes grænseværdierne når x nærmer sig 1 fra venstre og højre.Grænseværdien når x nærmer sig 1 fra venstre: f(x) → 12+2 = 3 for x → 1- eller

Grænseværdien når x nærmer sig 1 fra højre: f(x) → 2·1+5 = 7 for x → 1+ eller

Da f har to forskellige grænseværdier for x gående mod 1, er f ikke kontinuert i x = 1!

Eks. 2: Bestem grænseværdien

Løsning:

Dvs. grænseværdien for sin(2x) er 0 for x → fra både højre og venstre.

(Både sinus- og cosinusfunktioner er kontinuerte funktioner.)

Eks. 3: Bestem a og b, så f er kontinuert i 2.

Løsning: f er kontinuert i 2 = = f(2)

2·2 + a = 2 3·22 + 4 · 2 + b = 2 a = -2 b = 2 - 12 - 8 = -18

Eks. 4: Bestem .

Løsning: Når man skal bestemme grænseværdier for brøker, skal man først undersøge om brøken kan forkortes (da nævneren umiddelbart giver 0). Det ses, at tælleren er produktet af en toleddet størrelse.

Altså fås ved omskrivning:

⎩⎨⎧

≥+<+

=1,521,2

)(2

xxxx

xf

2

1lim f(x) 1 2 3x −→

= + =

1lim f(x) 2 1 5 7x −→

= ⋅ + =

2

2 , 2( ) 2 , 2

3 4 , 2

x a xf x x

x x b x

⎧ + >⎪= =⎨⎪ + + <⎩

⇔2

lim f(x)x −→ 2

lim f(x)x +→

∧

⇔

⇔ ∧

2

1

x 1lim2 2x x−→−

⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠

12

11lim2

1lim)1(2

)1)(1(lim221xlim

111

2

1−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−−−− −→−→−→−→ xxxx

xx

xxx

34


x2

lim(sin(2x)π

→

x2

lim(sin(2x) sin 2 sin( ) 02π

→

π⎛ ⎞= ⋅ = π =⎜ ⎟⎝ ⎠

2π


10. Differentialkvotient

Forudsætningen for at differentiere en funktion i et punkt er, at funktionen er differentiabel i punktet. Hvis dette er opfyldt, er funktionen samtidig kontinuert i punktet. For en differentiabel funktion f fås for et ethvert x i Dm(f) en differentialkvotient f´(x). Funktionen f´(x) kaldes for den afl edede funktion til f(x). Begrebet differentialkvotient er illustreret i ovenstående graf med f(x) = som eksempel. Differentialkvotienten til f(x) er et udtryk for tangenthældningen til f(x) i et punkt x0. Her er x0 valgt til 13.

Den generelle formel for ligningen for en tangent til f(x) i punktet (x0, f(x0)) er:

x

35

Figur 18

0 x0

0

1

2

3

4

5

5

6

10 15 20 25 30x

y - f(x0) = f’(x)· (x - x0) Figur 19


Få en super god elevuddannelse i Danmarks største detailhan-delsvirksomhed. Du får ansvar, gode kolleger og løn ind på kontoen hver måned. Hør nærmere i butikken eller besøg:

coop.dk/elev

kan du styre vognen?

Klik

på

rekl

amen



For at kunne bestemme tangentligningen til en funktion er det altså nødvendigt at kende funktionens afl edede, f´(x). Her følger et skema over de mest almindelige funktioners afl edte funktioner.

Trick til at huske cos og sin differentieret:

Ideen går ud på, at sin (som jo fortæller y-værdien) er placeret på y-aksen med tilhørende fortegn og cos (der jo fortæller x-værdien) på x-aksen med tilhørende fortegn. Skal man så differentiere en af de fi re muligheder kører man blot en kvart cirkel i urets retning. F.eks. bliver cos differentieret til -sin ved at køre en kvart omgang og -sin differentieret lig -cos (igen ved en kvart omgang). Hvis man senere får brug for at integrere (MAT A) kører man blot mod uret.

Regnereglerne for differentialkvotienter kan illustreres i nedenstående skema.

-cos

-sin

cos

sin Differentation

Figur 20

f(x) f’(x) f(x) f’(x)

a 0 ln x

ax+b a cos(x) -sin(x)

xn xnn-1 sin(x) cos(x)

ax axlna tan x 1+tan2x=

ex ex

1x

2 xcos1

2 x1

x

(f(x) + g(x))´ = f´(x) + g´(x) Differentiation af en sum

(f(x) - g(x))´ = f´(x) - g´(x) Differentiation af en differens

(f(x)·g(x))´ = f´(x)·g(x) + f(x)·g´(x) Differentiation af et produkt

Differentiation af en brøk

(f(g(x)))´ = f´(g(x))·g´(x) Differentiation af sammensat funktion

2

f x f x g x f x g xg x g x( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

′′ ′⎛ ⎞ ⋅ − ⋅

=⎜ ⎟⎝ ⎠

Figur 21

36



Nedenfor følger eksempler på afl edte funktioner og regneregler for differentialkvotienter.

Eks. 1: Bestem f´(x) for

a) f(x) =

b) f(x) = x3 + (differentiation af potensfunktion)

c) f(x) = 2sin(x) + cos(-5x)

d) f(x) = (differentiation af sammensat funktion)

Eks. 2: Bestem en ligning for tangenten til grafen for f(x)=5sin(2x) i P= .

Løsning: Først beregnes den afl edede funktion ved differentiation af sammensat funktion med 2x som den indre funktion og sinx som den ydre funktion.

f´(x) = 5·2·cos(2x) = 10·cos(2x) f´ = 10·cos = 0

Tangentligningen kan nu opskrives: y - (-5) = 0(x - ) y = -5 (altså en vandret tangent.)

Eks. 3: Bestem tangentligningen for f(x) = tanx i P = .

Løsning: Den afl edede funktion fi ndes ved differentiation af et produkt.

f´(x) =

Dernæst udregnes tangenthældningen ved indsættelse af punktet P i f´(x):

Tangentligningen kan nu opskrives: y - = (x - )

y = x - · + ≈ 14,02x - 5,69

x2xx

12

2f´(x) ==⇒

323

12

323

323f´(x)

xxxx +=+=⇒

−13

2

−x

)5sin(5)cos(2f´(x) xx −+=⇒

52 )253( ++ xx )2530()253()56()253(5)´( 4242 +++=+++=⇒ xxxxxxxf

⇒

⇔

x6

⇔

37

32π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

34π

,34π⎛ ⎞π⎜ ⎟

⎝ ⎠

23 2 1f (́ ) tan( ) 6 (1 tan ( )) 3 3 2 6 14,024 4 4 4

4

π π π π ⎛ ⎞= + + = ⋅ + π ⋅ = + π ≈⎜ ⎟π π π⎝ ⎠

3 π16⎛ ⎞+ π⎜ ⎟π⎝ ⎠ 4

π

16⎛ ⎞+ π⎜ ⎟π⎝ ⎠

16⎛ ⎞+ π⎜ ⎟π⎝ ⎠ 4π

3 π


23 tan x 6 x (1 tan x)x

+ +

3 , 54π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

34π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠


11. Asymptoter og polynomiumsbrøker

Hvis funktionen f(x) har formen , dvs. f(x) er en polynomiumsbrøk,

hvor t(x) er tællerpolynomiet og n(x) er nævnerpolynomiet og k og n er graden af hhv. tællerpolynomiet og nævnerpolynomiet, så har grafen for f følgende asymptoter for x → ± ∞:

k < n: Hvis graden af tælleren er mindre end graden af nævneren, så er y = 0 (dvs. x-aksen) vandret asymptote til grafen for f idet f(x) →0 for x → ± ∞.

k = n: Når graden af tælleren og graden af nævneren er lige store, har grafen for f en vandret asymptote med ligningen y = idet f(x) → for x → ± ∞.

k = n + 1: Når graden af tælleren er netop én større end nævnergraden, har grafen en skrå asymptote, som fi ndes ved polynomiers division.

k > n + 1: Når graden af tælleren er mere end 1 større end nævnergraden, har grafen ingen vandrette eller skrå asymptoter hverken for x → ∞ eller for x → -∞.

0,)()(

...

...)( 01

01

≠=++++++

= −

−

baxnxt

fxdxbxexcxaxxf kn

kk

ba

ba

38

Opsummerende Matematik på HHX - Kompendium Asymptoter og polynomiumsbrøker

Hvad er det fede ved at læsepå RUC?

studieguide.ruc.dk

Dit s

tudie

vil b

live

præge

t af b

asiss

tudie

r,

grup

pearbe

jde og

tværfa

gligh

ed.

Klik

på

rekl

amen



11.1 Lodrette asymptoter

Hvis x0 ikke tilhører defi nitionsmængden for f(x), dvs. hvis x0 er rod i nævnerpolynomiet, så er der mulighed for en lodret asymptote med ligningen x = x0 .

n( x0 ) = 0 og t( x0 ) ≠ 0: Hvis x0 er rod i nævnerpolynomiet, men ikke i tællerpolynomiet, er linien med ligningen x = x0 lodret asymptote.

n( x0 ) = 0 og t( x0 ) = 0: Hvis x0 er rod i både tæller- og nævnerpolynomiet, så er der to muligheder: Enten er linien med ligningen x = x0 lodret asymptote eller også har f(x) en grænseværdi for x gående imod x0 . Dette kræver en nærmere undersøgelse.

Eks. 1: Bestem alle asymptoter til f(x) (dvs. vandrette, lodrette og skrå asymptoter), når

a) f(x) =

Løsning a) x = 0 er rod i nævneren og ikke i tælleren, dvs. x = 0 (y-aksen) er lodret asymptote til grafen for f.

f(x) - (2x + 5) = → 0 for x → ∞

Dvs. y = 2x + 5 er skrå asymptote til grafen for f. (Populært sagt bliver det dominerende led 2x + 5 for x → ∞)

b) f(x) =

Løsning b) Vi er i tilfældet k < n, derfor er y = 0 er vandret asymptote for x → ∞ Grafen for f har ingen lodrette asymptoter, da nævneren ikke har nogen rødder. (x2 ≥ 0 for alle x.)

c) f(x) =

Løsning c) Vi er i tilfældet k = n.

Da for x → ± ∞.

Derfor er vandret asymptote for x → ± ∞

For at bestemme de lodrette asymptoter, sættes nævneren lig med 0: x2 + 2x +5 = 0 D = 4 – 20 < 0 Dvs. nej! (Ingen rødder i nævneren ingen lodrette asymptoter).

5212 ++ x

x

2

1x

253

2 ++

xx

2

2

3 2 22 5

x xx x

+ −+ +

2

2 2 22 2 2

2 2

2 22 2 2

2 2 2 23 3 13 2 2 3 3

2 52 5 12 5 1 11

x x xx x xx x x x

xx x x xx xx x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + − ⋅ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = → =+ + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + +⋅ + + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

3 31

y = =

⇒

⇒

39



d) f(x) =

Løsning d) Da vi er i tilfældet k = n + 1 er der en skrå asymptote, som fi ndes ved polynomiers division:

2x + 8 | x2 + 2x - 2 eller x2 + 2x - 2 : 2x + 8 =

x2 + 4x x2 + 4x -2x - 2 -2x - 2 -2x – 8 -2x – 8 6 6

Dvs. er skrå asymptote.

For at bestemme lodrette asymptoter, sættes nævneren lig med 0: 2x + 8 = 0 x = -4 er lodret asymptote, da –4 ikke er rod i tælleren.

e) f(x) =

Løsning e) Vi er i tilfældet k > n + 1, så grafen har ingen vandrette eller skrå asymptoter!

For at undersøge om der er lodrette asymptoter, sættes nævneren lig med 0: 4x + 5 = 0 x = -

Vi er nødt til at undersøge om x = - også er rod i brøkens tæller:

t =

Derfor er x = - er lodret asymptote.

2 2 22 8

x xx+ −+

1 612 2 8

xx

− ++

1 612 2 8

xx

− ++

1 12

y x= −

⇔

54152 23

++++

xxxx

45

45

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

45 0

642611

425

16252

64125

≠−

=+−⋅+−

45

40


Hanken School of Economics is one of the oldest business schools in the Nordic countries. Today Hanken is a leading internationally accredited business school with campuses in Helsinki and in Vaasa, Finland. Hanken alumni work in more than 40 countries world-wide.

MASTER’S DEGREE PROGRAMMESGet the keys to an international career. Hanken offers eight Master’s degree programmes instructed in English. These include programmes specialized in areas such as International Management or Intellectual Property Law.

HANKEN MBAThe Hanken MBA is an accredited, two-year part-time programme with flexible structure. The areas of speciali-sation are: service and relationship marketing, finance, and international management.

DOCTORAL STUDIESDoctoral studies at Hanken offer research-based educa-tion of internationally high standard, preparing you for a career in academia, the corporate world or the public sector.

VISIT OUR WEBPAGEHANKEN.FI

INVEST IN YOUR FUTURE

Klik

på

rekl

amen



12. Monotoniforhold

Eks. 1: Bestem monotoniforholdene for f(x) = .

Løsning: f´(x) = x4 - 4x2 + 3For at løse ligningen f´(x) = 0 sættes t = x2 da der er tale om en ”forklædt” andengradsligning:

f´(t) = t2 - 4t + 3 = 0 t = 1 t = 3 x2 = 1 x2 = 3 x = ±1 x =

Da

bliver fortegnene for f:

x - -1 + 1 +

f´(x) + 0 - 0 + 0 - 0 +f(x)

f er altså voksende i

f er altså aftagende i

(TI-83: For at kontrollere fortegnene for f´(x) er det en fordel at indtaste Y1 = f´(x) på TI-83 og se hvornår funktionen ligger over hhv. under x-aksen.)

12.1 Funktionsundersøgelse

Når man skal lave en funktionsundersøgelse skal man bestemme:

1) Dm(f). 2) Nulpunkter, dvs. punkter hvor grafen skærer x-aksen. 3) Fortegn for funktionen, dvs. hvor ligger grafen i forhold til x-aksen. 4) Monotoniforhold. 5) Lokale ekstrema. 6) Asymptoter. 7) Værdimængde.

xxx 334

51 35 +−

⇔ ∧ ⇔ ∧ ⇔ ∧3±

03316163)2(4)2()2('f

016153)5,1(4)5,1()5,1('f

03)0('f

016153

436

16813)5,1(4)5,1()5,1('f

03316163)2(4)2()2('f

24

24

24

24

>=+−=+⋅−=

<−=+⋅−=

>=

<−=+−=+−⋅−−=−

>=+−=+−⋅−−=−

3

↑ ↓

[;3] 1;1[] [3;] ∞−−∞− UU

[3;1] [1;3] U−−

↑ ↓

3

↑

41

Opsummerende Matematik på HHX - Kompendium Monotoniforhold


Eks 2: Lav en funktionsundersøgelse af f(x) = .

Løsning:

1) Dm(f) = R\{-2} idet -2 er rod i nævneren.

2) og 3) Nulpunkter og fortegn.f(x) = 0 x = -2 er rod i tælleren (tegn evt. grafen på TI-83)For at f(x) = 0, skal tælleren være 0. Et gæt på en rod er 3 (tegn evt. grafen på TI-83). f(3) er lig 0, så 3 er en rod.Derefter udføres polynomiers division med x - 3 (da 3 jo var rod):x - 3 | x3 - 6x2 - x + 30 | x2 - 3x - 10

x3 - 3x2

-3x2 - x

-3x2 + 9x

-10x +30

-10x +30

0

Dvs. t(x) = (x2 - 3x - 10)(x - 3). Sættes x2 - 3x -10 = 0 x = -2 x = 5. Men da -2 er rod i nævneren er -2 ikke et nulpunkt (det er heller ikke med i Dm(f)). Da tælleren dermed kan skrives som (x - 5)(x + 2)(x - 3) ses, at (x + 2) kan forkortes væk i både tæller og nævner, hvorfor f(x) = x2 - 8x + 15.

Fortegnslinien for f kommer dermed til at se således ud:

x -2 3 5

f(x) + i.d. + 0 - 0 +

idet f(-3) = 48 > 0, f(0) = 15 > 0, f(4) = - 1 < 0 og f(6) = 3 > 0.(Brug evt. TI-83 til at kontrollere: Indtast [Y=] og indtast Y1= x^2-8*x+15 og se fortegn på grafen.)

4) Monotoniforhold f´(x) = 2x - 8 = 0 x = 4

x -2 4f´(x) - i.d. - 0 +f(x)

det f’(-1) = -10 < 0, f’(0) = -8 < 0 og f’(5) = 2 > 0.

f er altså aftagende i ogf er voksende i

2306 23

++−−

xxxx

⇔

⇔ ∧

⇔

↓ ↓ ↑

] [ ] [4;22; −−∞− U

[;4] ∞

42



5) Lokale ekstrema: Da f’(4) = 0 og f går fra at falde til at stige, er der lokalt minimum i (4, f(4)) = (4, -1).

6) AsymptoterIngen asymptoter (da x = -2 er rod i både tæller og nævner).

7) VærdimængdeVm(f) = ]-1; ∞[, da f(x) → ∞ for x → -∞ og f(x) → ∞ for x → ∞.

0

10

0

30

20

y

40

-4 4 8 12

x

Graf for f

Figur 22

43


Få mere ud af dit talent

Læs mere på tdc.dk/job

Giv os dit engagement.Så giver vi dig mulighed for udvikling.

Klar til at kickstarte din karriere? Og lære alt, hvad der er at vide om sms’er, bredbånd og mobiler? Så har du nu chancen. Som elev i TDC får du frihed til at udfolde dine evner og gøre dine karrieredrømme til virkelighed. Du kan kravle op ad karrierestigen og blive leder, specialisere dig inden for et særligt fagområde eller vælge en helt tredje vej. Det er helt op til dig. Klik ind på tdc.dk/job, og læs om dine muligheder. Og sørg for at bookmarke siden. For vi opdaterer den hele tiden med ny info og nye uddannelser.

Klik

på

rekl

amen



13. Trigonometri

En enhedscirkel er en cirkel med radius 1 og centrum i origo – dvs. (0,0). Et vilkårligt punkt på enhedscirklen har koordinatsættet (x, y) = (cosv, sinv).

Tangens defi neres således:

Den vigtigste relation mellem cosinus og sinus er Grundrelationen:

Denne formel kan udledes således:

Cirklens ligning for Enhedscirklen er (x - 0)2 + (y - 0)2 = r2 = 1

Vi ved, at et vilkårligt punkt på enhedscirklen har koordinatsættet (x, y) = (cosv, sinv). Vi kan nu indsætte punktet (x, y) = (cosv, sinv) i cirklens ligning: (cosv - 0)2 + (sinv - 0)2 = 1 cos2v + sin2v = 1.

Der gælder en række overgangsformler for sinus og cosinus (i grader):

sintan ,cos 0cos

vv vv

= ≠

Enhedscirklen

tanv

sinv

0,5

00

v

0,5cosv

x

-0,5

-0,5

Figur 23

Grundrelationen: cos2v + sin2v = 1Figur 24

⇔

44

sin(-v) = -sinv cos(-v) = cosv

sin(180° - v) = sinv cos(180° - v) = -cosv

sin(90° - v) = cosv cos(90° - v) = sinvFigur 25

Opsummerende Matematik på HHX - Kompendium Trigonometri


14. Trigonometriske funktioner og ligninger

Der er tre trigonometriske funktioner, som vil blive behandlet her. I forbindelse med trigonometriske funktioner benyttes et andet vinkelmål end grader, nemlig radianer. Vinkelmålet radianer defi neres som det buestykke vinklen spænder over på enhedscirklen. Da enhedscirklen har centrum i koordinatsystemets begyndelsespunkt (origo) og radius 1, må sammenhængen mellem grader og radianer være 360° = 2· .

Dvs. 1° = og 1 radian = .

Man skelner mellem positiv og negativ omløbsretning på enhedscirklen. Hvis man bevæger sig fra et punkt på enhedscirklen til et andet punkt ”mod urets” retning, bevæger man sig i positiv omløbsretning. Negativ omløbsretning, er så når man bevæger sig ”med uret.” Et vilkårligt punkt på enhedscirklen har koordinatsættet (x, y) = (cosv, sinv), hvor punktet (x, y) er retningspunkt for vinkel v.

De tre vigtigste trigonometriske funktioner er:

f(x) = cosx, Dm(f) = Rf(x) = sinx , Dm(f) = R

f(x) = tanx = , Dm(f) = R\ (Z er mængden af hele tal)

Den begrænsede Dm for tanx skyldes, at der ikke må stå 0 i nævneren i brøken. Hvis p = 0, er tanx ikke defi neret for x = , da = 0. Se selv på enhedscirklen!

Da en omgang på enhedscirklen svarer til 2 π, er funktionen sinx og cosx periodiske med perioden 2 π. Dette kan skrives således cos(x) = cos(x + 2pπ), p Z og sinx = sin(x + 2pπ), p Z

Overgangsformlerne for sinx og cosx (i radianer) er

14.1 Trigonometriske grundligninger

En trigonometrisk grundligning er en ligning af cosx = a, sinx = a eller tanx = a.

Grundligningen cos(x) = a , hvor -1 ≤ a ≤ 1har løsningerne x = arccos(a) + 2pπ = ± cos-1(a) + 2pπ, p Z

sincos

xx

∈ ∈

∈

45

cos( -x) = cosx sin( -x) = -sinx

cos( - x) = -cosx sin( - x) = sinx

cos( = sinx sin( = cosx- x)2π ð x)

2−

Figur 26

π π

π π

r 2 1 2π⋅ = π⋅ = π

180 radianer 0,01745 radianerπ ≈ 180 57,30°π ≈ °

p , p Z2π⎧ ⎫± π ∈⎨ ⎬

⎩ ⎭

2π

cos2π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

Opsummerende Matematik på HHX - Kompendium Trigonometriske funktioner og ligninger


Grundligningen sin(x) = a , hvor -1 ≤ a ≤ 1

har løsningerne x =

Grundligningen tan(x) = a , hvor a Rhar løsningerne x = arctan(a) + pπ = tan-1(a) + pπ, p Z

I alle ovenstående tilfælde er det den fuldstændige løsning, som er angivet til de tre grundligninger. Normalt vil man i opgaven blive bedt om at angive den/de løsning(er) til ligningen i et bestemt interval f.eks. intervallet [0;2π].

Eks.1: Løs ligningen sinx = 0,7 , x [0;2π] .

Løsning: Der er tale om en trigonometrisk grundligning, og vi ved derfor, at løsningerne er x = arcsin(0,7) = 0,7754 og x = π - 0,7754 = 2,3662. Da man kun bliver bedt om at angive løsningerne i intervallet [0;2π], skal man ikke skrive 2pπ, p Z efter hver løsning.

∈∈

∈

∈

46


-1

-1

arcsin(a) + 2pð sin (a) 2p , p Z

ð-arcsin(a) 2pð ð-sin (a) 2p , p Z

⎧ = + π ∈⎪⎨

+ = + π ∈⎪⎩


studieguide.ruc.dk

Dit s

tudie

vil b

live

præge

t af b

asiss

tudie

r,

grup

pearbe

jde og

tværfa

gligh

ed.

Klik

på

rekl

amen



Eks.2: Løs ligningen cosx = 0,5 , x [-π;π].

Løsning: Det er lettest, at beregne den fuldstændige løsning til grundligningen og så beregne de løsninger, som ligger i det angivne interval. Den fuldstændige løsning er:x = ± arccos(0,5) + 2pπ = ± 1,0472 + 2pπ, p Z.De to løsninger x = 1,0472 og x = -1,0472 ligger i det opgivne interval for x – men ligger der fl ere løsninger i intervallet? Hvis vi lægger 2π (svarende til p = 1) til løsningen x = 1,0472 kommer vi udenfor det opgivne interval; så det går ikke. Hvis vi lægger 2π til løsningen x = -1,0472 kommer vi også udenfor det opgivne interval. Hvis vi tilsvarende lægger -2π til en af de to fundne løsninger (svarende til p = -1) vil vi igen få en løsning, som er udenfor det opgivne interval. Det vil sige, at de to løsninger vi fandt til at starte med er de eneste løsninger i Dm for x. Vi kan derfor skrive L = {-1,0472;1,0472}.

Eks.3: Løs ligningen .

Løsning: Denne ligning kan umiddelbart ikke løses. Den skal omskrives først. Bemærk, at når det ikke er opgivet et interval til ligningen skal man altid angive den fuldstændige løsning! Ved at dividere igennem med cosx fås:

, p Z

Det er nødvendigt at sikre sig, cosx da cosx nu står i nævneren (bemærk, at cosx = 0 ikke er løsning til ligningen!)

Vi kan nu udnytte, at tanx = :

Vi har nu fået en trigonometrisk grundligning med tanx, som vi løser på sædvanligvis.

tanx = x = arctan( ) + pπ =

Eks.4: Løs ligningen tan2x - 4tanx - 21 = 0

Løsning: Dette er en forklædt andengradsligning. Man kan benytte substitutionen t = tanx, men man kan også løse ligningen uden substitution. Ved brug af formlen for løsning af en andengradsligning fås:

Dermed er løsningen:

∈

3cosxsinx3 =

∈

0≠

sincos

xx

3 ⇔ 3

74 16 4 21 4 10tan x32 2

⎧± + ⋅ ±= = = ⎨−⎩

x arctan(7) p 1, 4289 p , p Z

x arctan( 3) p 1, 2490 p , p Z

= + π ≈ + π ∈

= − + π ≈ − + π ∈

sin x3 3, x 2pcos x 2

π= ≠ ± π

p , p Z3π+ π ∈

47


∈

33 tan x 3 tan x 33

= ⇔ = =


14.2 Trigonometrisk ulighed

Ved løsning af en trigonometrisk ulighed skal man først løse den tilsvarende ligning. Derefter bruger man enhedscirklen til at afl æse hvilke intervaller, der opfylder uligheden.

Eks. 5: Løs uligheden sinx , x [0;2π]

Først løses ligningen sinx = 0,5 x = , p Z .

Af enhedscirklen ses, at løsningen på uligheden bliver

∈0,5≤

∈⇔

5L 0; ;26 6π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤= π⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

U

Enhedscirklen

sin(pi/6)0,5

00 0,5

x

-0,5

-0,5

sin(5/6pi)

Figur 27

52p x 2p6 6 6π π π+ π∨ = π− = + π

48



15. Harmonisk svingning

En harmonisk svingning er funktionen af typen f(x) = Asin(bx + c) +d, A, b > 0 eller en funktion af typen g(x) = Acos(bx + c) + d, A, b > 0.

Eks. 1: Grafer for to harmoniske svingninger med:

f(x) = 4·sin(3·x) - 2 og g(x) = 2·sin(1·x) + 3

• Perioden, T, for en harmonisk svingning kan beregnes ved

• Konstanten A kaldes for amplituden og angiver den halve afstand mellem top og bund i den

harmoniske svingning. A kan beregnes ved , hvor max er funktionens størsteværdi

og minimum er funktionens mindsteværdi.

• Vm(f) = Vm(g) = [- A + d; A + d]

• Konstanten c angiver hvor meget grafen for f(x) er forskudt i vandret retning (mod venstre) i forhold til grafen for Asin(bx).

• Konstanten d angiver hvor meget grafen for f(x) er forskudt i lodret retning i forhold til grafen for Asin(bx).

• Konstanten b er et udtryk for ”hvor hurtigt” grafen for sinuskurven svinger. Jo større b er, jo hurtigere vil grafen for f(x) svinge. b kaldes også vinkelhastigheden.

Harmonisk svingning

-20,5

-6

-4

00

2

-5-10 5x

10

1

-2

00

5

5 10

4

-10 -5

2

3y

x-1

Figur 28

2Tbπ

=

max minA2−

=

49

Opsummerende Matematik på HHX - Kompendium Harmonisk svingning


Eks.2:En harmonisk svingning er givet ved f(x) = Asin(bx + c) + d, hvor perioden for svingningen er 3π, f(0) = 2, f( = 2 og Vm(f) = [-1;5] . Bestem en forskrift for f(x).

Løsning: Ved at indsætte perioden, T, i ovenstående formel fås:

Da sin(0) = 0 er f(0) = 2 Asin(0) + d = 2 A*0+d = 2 d = 2.

Vi ved, at minimumsværdien for f er -1 og at minimumsværdien for på generel form er -A + d. Vi kan derfor opskrive ligningen -A + d = -1. Vi indsætter nu den beregnede værdi for d:

-A + 2 = -1 A = 3. Værdien af A kan også læses ud fra Vm, idet 5 - (-1) = 6 og der er lig med 2A.

Det vil sige, f(x) = 3sin( . Vi indsætter nu den sidste oplysning fra opgaven, nemlig

f( = 2 3sin( π + c ) + 2 = 2 sin( π + c ) = 0 π + c = 0 + pπ c = - π + pπ

Forskriften for f bliver altså f(x) = (for p = 0)

3 )2π

2 23 bb 3π

π = ⇔ =

⇔ ⇔ ⇔

⇔

2 x c) 23

+ +

3 )2π ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

50

23sin( x ) 23

− π +

Opsummerende Matematik på HHX - Kompendium Harmonisk svingning

På Aarhus Universitet, Handels- og IngeniørHøjskolen findes der et helt unikt studiemiljø, du med garanti ikke finder andre steder. Her har du nærhed til...

FOKUS PÅ STUDIEMILJØETFOKUS PÅ STUDIEMILJØET

... dine medstuderende... erhvervslivet

... dine undervisere

Læs mere på hih.au.dk

HANDELS- OG INGENIØRHØJSKOLENDET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTETAARHUS UNIVERSITET

Birk Centerpark 15 7400 Herning [email protected]

Klik

på

rekl

amen



16. Statistik og sandsynlighedsregning

Statistik handler om observationer. Man har registreret eller målt et eller andet. De enkelte målinger kaldes for observationer og det samlede talmateriale kaldes for et observationssæt. Observationerne betegnes normalt med x1, x2, x3,...., xn . Det vil sige, observationssættets størrelse er n.

Nedenstående tabel viser tilgangen af elever til bachelor uddannelse i matematik fordelt efter alder for hele Danmark for året 2003.

Ovenstående tabel kaldes en hyppighedstabel. Hyppigheden betegnes med h og af tabellen ses, h(23) = 7.

Ud fra hyppighederne kan man beregne frekvenserne også kaldet de relative hyppigheder. Frekvensen er hyppigheden sat i forhold til observationssættets størrelse. Hvis f(x) betegner frekvensen af observation x, så

kan frekvensen beregnes således

Da er 4,3% af de eleverne 23 år ved studiestart.

I tabellen nedenfor er hyppighederne vist sammen med frekvenserne.

Normalt afbildes frekvenserne i et histogram, se nedenfor.


alder 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 sum

antal 4 27 42 38 20 7 7 1 4 5 6 0 161

nxhxf )()( =

043,0161

7)23()23( ===n

hf


x 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 sum

h(x) 4 27 42 38 20 7 7 1 4 5 6 0 161

f(x)% 2,5 17 26 24 12 4,3 4,3 0,6 3,1 2,5 3,7 0 100

0

5

10

15

20

25

30

Alder

f(x) %

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Figur 29

51

Opsummerende Matematik på HHX - Kompendium Statistik og sandsynlighedsregning


Hvis observationerne allerede er grupperet i en hyppighedstabel eller en frekvenstabel, kan gennemsnittet eller middeltallet beregnes således:

eller

I vores tilfælde bliver middeltallet

Elever, der startede på en bachelor uddannelse i matematik i 2003 var altså i gennemsnit 21,3 år.

16.1 Varians

Variansen på et observationssæt er gennemsnittet af kvadratet på de enkelte observationers afvigelse fra middeltallet og er et udtryk for hvor meget målingerne afviger fra middeltallet. Det beregnes således:

Spredningen, s, på et observationssæt er kvadratroden af variansen:

Variansen kan i dette tilfælde beregnes således

Spredningen på observationssættet kan nu beregnes:

Hvis frekvenserne er opgivet, beregnes variansen lettest ved formlen

Hvis resultatet af et eksperiment er givet/kan beregnes på forhånd, kaldes for et deterministisk eksperiment.

Det modsatte er et eksperiment, hvor resultatet er tilfældigt, også kaldet et stokastisk eksperiment.

16.2 Stokastisk variabel

En stokastisk variabel er en variabel, hvis værdi er et resultat af et stokastisk eksperiment.

Stokastiske variable betegnes med store bogstaver, fx X, Y, Z,….

)(1)(....)()(1

2211i

n

ii

nn xhxnn

xhxxhxxhxx ∑

=

=+++

=

)(....)()( 2211 nn xfxxfxxfxx +++=

3,21029.....17,019025,018161

029628....2719418=⋅++⋅+⋅=

⋅+⋅++⋅+⋅=x

2

1

222

21 )(1)(.....)()(

var ∑=

−=−++−+−

=n

ii

n xxnn

xxxxxx

var=s

52


2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

(18 21,3) (19 21,3) (20 21,3) (21 21,3) (22 21,3) (23 21,3)Var161

(24 21,3) (25 21,3) (26 21,3) (27 21,3) (28 21,3) (29 21,3) 1,25161

− + − + − + − + − + −=

− + − + − + − + − + −+ =

s 1, 25 1,12= =

n2 2 2 2

1 1 2 2 n n i ii 1

var (x x) f (x ) (x x) f (x ) (x x) f (x ) (x x) f (x )=

= − + − + − = −∑


Sandsynligheden for hændelsen A defi neres således i et symmetrisk sandsynlighedsfelt:

Ved kast med en terning én gang er der seks mulige udfald (1,2,3,4,5,6). Det vil sige, udfaldsrummet som betegnes U, består af seks mulige udfald, hvilket skrives således:U = {1,2,3,4,5,6} I dette tilfælde er udfaldsrummet endeligt, da der er seks mulige udfald.

På generel form skrives:Et endeligt udfaldsrum, U, består af en endelig mængde af udfald, hvilket skrives såledesU = {u1, u2,...., un} Til hvert udfald ui er der knyttet en sandsynlighed P(ui). Enhver sandsynlighed er et tal mellem 0 og 1. Summen af alle sandsynligheder i udfaldsrummet er 1.

Hvis vi lader den stokastiske variabel X være antallet af seksere ved kast med en terning, dvs. X = antal seksere, kan vi nu beregne sandsynligheden for at få en sekser, hvilket skrives således

P(X=1) =

16.3 Middelværdien af en stokastisk variabel:

Middelværdien, μ, for den stokastiske variabel X beregnes således:

antalgunstige udfaldP(A)antal mulige udfald

=

Figur 30

antalgunstige udfald 1antal mulige udfald 6

=

Lad A og B være to hændelser i udfaldsrummet U, så gælder der:

1)

2) P(A\B)

3) dvs. sandsynligheden for komplementærmængden til hændelsen A

4) Hvis A og B er disjunkte, dvs. = ø (ingen elementer i A ligger i B), så er

Regler for regning med sandsynligheder

P(A B) P(A) P(B) P(A B)= + −U I

P(A) P(A B)= − I

P(A) 1 P(A)= −

A BI

P(A B) P(A) P(B)= +U

n

i ii 1

E(X) x P(X x )=

μ = = ⋅ =∑

53



16.4 Varians og spredning for en stokastisk variabel:

Variansen, V, for den stokastiske variabel X beregnes således:

Spredningen, σ, er kvadratroden af variansen:

Eks.1: Vi har følgende sandsynlighedsfordeling for den stokastiske variabel X

Beregn middelværdien, variansen og spredningen af X.

Løsning: Middelværdien for X kan beregnes til:

Variansen for X kan beregnes til:

Heraf fås spredningen af X:

Eks. 2: Om den stokastiske variabel Y = 3X + 5 oplyses E(Y) = 11 og (Y) = 4. Bestem middelværdi og spredning for X

Løsning: Ved brug af regnereglerne fås: E(Y) = E(3X + 5) = 3E(X) + 5 = 11 3E(X) = 6 E(X) = 2

Nu udnyttes den sidste oplysning fra opgaven:

n2

i ii 1

V Var(X) (x ) P(X x )=

= = −μ ⋅ =∑

(X) Var(X)σ = σ =

t 3

P(X=t) 0,2

6

0,35

4

0,3

5

0,15

E(X) 3 0,2 4 0,3 5 0,15 6 0,35 4,65μ = = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

2 2 2 2Var(X) (3 4,65) 0,2 (4 4,65) 0,3 (5 4,65) 0,15 (6 4,65) 0,35 1,3275= − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ =

(X) 1,3275 1,1522σ = ≈

σ

⇔ ⇔

4(Y) (3X 5) 3 (X) 4 (X)3

σ = σ + = ⋅σ = ⇔ σ =

54

Lad X og Y være to stokastiske variable, da gælder der:

E(aX + b) = aE(X) + b

Var(aX + b) = a2·Var(X)

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

Regneregler for middelværdi, varians og spredning

(aX b) a (x)σ + = ⋅σ



17. Betinget sandsynlighed

Lad A og B være to hændelser, hvor P(B) > 0, så er den betingede sandsynlighed af A givet B defi neret som

Den betingede sandsynlighed for A givet B er sandsynligheden for, at A indtræffer, hvis det på forhånd er givet, at B indtræffer.

Eks.1:Vi antager, at kønsfordelingen blandt optagne til en bachelor uddannelse i matematik i 2003 er som vist nedenfor (jvf. eksempel i starten af dette kapitel).

Idet en af de optagne udvælges tilfældigt, lader vi A og B betegne hændelserneA: Den valgte er en dreng.B: Den valgte er 20 år.

Hvis det vides, at den valgte er 20 år, kan vi beregne sandsynligheden for, at den valgte er en dreng. Det vil

sige, vi vil beregne

Pige Dreng I alt

19 år 4 23 27

20 år 10 32 42

I alt 14 55 69

7619,04232

69426932

)()()( ≈===

BPBAPBAP I

55

Opsummerende Matematik på HHX - Kompendium Betinget sandsynlighed

P(A B)P(A B)P(B)

=I

Danmarks største kundekontaktcenter søger flere dygtige medarbejdere tilat hjælpe os i at yde optimalt salg over telefonen.

Vi er 450 medarbejdere placeret centralt på Frederiksberg, tæt på S-tog og Metro.

RING NU!Linda: 8816 6725 - Bettina: 8816 6736eller send din ansøgning til [email protected]

Aditro Customer Services Denmark A/S • Nimbusparken 24, 3 sal • 2000 Frederiksberg • www.aditro.com

LAD DINE DRØMME GÅ I OPFYLDELSE…Vi har dit nye fritidsjob indenfor salg & kommunikationDu er:

Stærk kommunikator på danskMotiveret af konkurrenceEn engageret kollegaEn ildsjæl med godt humør

Vi tilbyder:2-5 vagter om ugen á 5 timer i tidsrummet man-tor 16-21, lør. 12-17God fast timeløn + bonusGrundig uddannelse + coaching

Klik

på

rekl

amen



18. KombinatorikPermutationerFor ethvert naturligt tal, n N, defi neres n! = 1·2·3·…· (n-2)(n-1)n0! = 1n! kaldes antallet af permutationer, det vil sige antal mulige ombytninger, af elementerne i en mængde med n elementer.

Eks.1:Hvis en mængde består af (n =) 3 elementer kaldet rød, blå og gul kan de kombineres sådan:{rød, blå, gul}, {rød, gul, blå}, {blå, gul, rød}, {blå, rød, gul}, {gul, rød, blå}, { gul, blå, rød} eller 3! = 6 måder.

Hvis der i en mængde af n elementer udtages r elementer, kan det gøres på P(n, r) måder (permutitationer) idet rækkefølgen er af betydning:

P(n, r) = n(n - 1)(n - 2) ·…. · (n - r + 1) =

TI-83: På TI-83 udregnes P(n, r) ved at trykke [MATH] → menuen ’PRB’ → [nPr]: P(n, r) = n nPr r.

Eks.2:Igen betragtes mængden med rød, blå og gul (n = 3). Hvis der udtages (r =) 1 element kan det gøres på

P(3, 1) = måder – nemlig {rød}, {blå} eller {gul}.

Udtages (r =) 2 elementer kan det gøres på P(3, 2) = måder – nemlig:

{rød, blå}, {rød, gul}, {blå, rød}, {blå, gul}, {gul, blå} eller {gul, rød}.

18.1 Antal kombinationer

Antallet af kombinationer/måder man kan udvælge r elementer af en mængde på n elementer, når rækkefølgen er underordnet, er:

K(n, r) =

TI-83: På TI-83 udregnes K(n, r) ved at trykke [MATH] → menuen ’PRB’ → [nCr]: K(n, r) = n nCr r.

Eks.3:På hvor mange måder, kan man udvælge 3 kort ud af et normalt kortspil med 52 kort?

Løsning: Vi skal beregne K(52,3) =

Det vil sige på 22.100 måder!(At vi skal benytte K(n, r) og ikke P(n, r) kan man anskueliggøre, hvis man tænker sig at man trækker de tre kort og sorterer dem i stigende orden. De samme tre kort kan man trække på 6 måder men man er ligeglad med hvilken rækkefølge de kommer i – altså rækkefølgen er underordnet.)

∈

)!(!!

!),(

rnrn

rrnP

rn

−==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

56

Opsummerende Matematik på HHX - Kompendium Kombinatorik

n!(n r)!−

n! 3! 6 3(n r)! (3 1)! 2

= = =− −

n! 3! 6 6(n r)! (3 2)! 1

= = =− −

52! 50 51 52 22.1003!(52 3)! 1 2 3

⋅ ⋅= =

− ⋅ ⋅


19. Binomialfordelingen

Tilfældige (stokastiske) eksperimenter, der kun har to udfald, kaldes binomialforsøg.Hver gang binomialforsøget udføres indtræffer hændelsen A eller B med sandsynlighed P(A) = p og P(B) = 1 - p. Binomialforsøget gentages n gange, og de n forsøg er uafhængige. F.eks. afhænger resultatet af næste kast med en mønt ikke af om det blev plat eller krone i sidste kast...

Hvis X er en binomialfordelt stokastisk variabel, hvor n er samlet antal og r er antal gange hændelsen med sandsynligheden p skal indtræffe, så gælder:

n kaldes antalsparameteren og p kaldes sandsynlighedsparameteren.

Den korte skrivemåde for fordelingen er b(n, p) og hvis X er binomialfordelt skrives kort X~b(n, p).

Eks. 1: En terning kastes 5 gange. Hvad er sandsynligheden for at få 2 seksere? Bestem sandsynligheden for at få højest tre 6’ere.

Løsning: Enten får man en 6’er eller også gør man ikke! Samtidig er to terningekast uafhængige af hinanden,

hvorfor der er tale om et binomialforsøg. Sandsynligheden for at få en 6’er i ét kast er . Antalsparameteren er 5, da forsøget gentages 5 gange. Nu defi neres den stokastiske variabel

X = antallet af 6’ere. Vi ved X~b(5, )

Vi skal nu beregne sandsynligheden for at få (r =) 2 seksere ud af 5 forsøg:

P(X = 2) =

Det vil sige, sandsynligheden for at få to 6’ere ved 5 kast med en terning er ca. 0,1608 = 16,08%.

Sandsynligheden for at få højest tre 6’ere svarer til at beregneP(X 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1 – P(X = 4) – P(X = 5)(Efter det sidste lighedstegn er benyttet formlen for komplementærhændelsen.)Den sidste ligning vælges, da den kræver færrest beregninger!

nrPprnKrXP rnr ,...,1,0,)1(),()( =−⋅⋅== −

61

61

1608,03888625

216125

185)

65(

36110)

611()

61()2,5( 3252 ≈=⋅=⋅⋅=−⋅⋅ −K

57

Opsummerende Matematik på HHX - Kompendium Binominalfordelingen

P(X j) = P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = j)

P(i X j) = P(X j) – P(X i -1)

P(X > j) = P(X j + 1) = 1 – P(X j)

P(X < j) = P(X j - 1)

Regneregler for kumulerede sandsynlighed:

≤

≤ ≤ ≤ ≤

≥ ≤

≤

≤


P(X ≤ 3) = 1 – P(X = 4) – P(X = 5) =

1 -

Sandsynligheden for at få højest tre 6’ere er altså 0,9967 eller 99,67 %.

19.1 Binomialfordeling på TI-83:

Lommeregneren har indbyggede funktioner til at beregne sandsynligheder i binomialfordelingen. For at beregne punktsandsynligheder vælges[2nd] → [DISTR] → [0]: binompdf(Hvis f.eks. X~b(5; 0,7), så er P(X=4) = binompdf(5,0.7,4) .36015Hvis man vil have en liste over hele sandsynlighedsfordelingen i b(5, 0.7) tastes:binompdf(5,0.7) {.00243 .02835 ... [►] → [►] → [►] → … .1323 .3087 .036015 .16807}

Hvis man vil beregne den kumulerede sandsynlighedsfordeling vælges [2nd] → [DISTR] → [ALPHA] → [A]: binomcdf(Igen X~b(5; 0,7):binomcdf(5,0.7) {.00243 .03078 … [►] → [►] → [►] → … .16308 .47178 .83193 1}Hvis fx X~b(9; 0,3) så er P(X 7) = binomcdf(9,0.3,7) .999566974

=⋅⋅−⋅⋅−=−⋅⋅−−⋅⋅ −− 17776

1165

1296151)

611()

61()5,5()

611()

61()4,5( 555454 KK 9967,0

77761

7776251 ≈−−

58



studieguide.ruc.dk

Dit s

tudie

vil b

live

præge

t af b

asiss

tudie

r,

grup

pearbe

jde og

tværfa

gligh

ed.

Klik

på

rekl

amen



Bemærk: TI-83 kan kun beregne kumulerede sandsynligheder for X ≤ en værdi. Hvis man vil f.eks. skal beregne P(X ≥ 5) i forrige binomialfordeling, må man omskrive den kumulerede sandsynlighed således: P(X ≥ 5) = 1- P(X ≤ 4) = 1 – binomcdf(9,0.3,4) .09880866Ovenstående omskrivning af den kumulerede sandsynlighed skyldes, at binomialfordelingen er en diskret fordeling. Det vil sige, at den stokastiske variabel i en binomialfordeling kun kan antage hele værdier (dvs. hele tal).

TI-83 kan også bruges til at løse ligninger i binomialfordelingen. Hvis f.eks. Y~b(9; p) og vi ønsker at bestemme p, således P(Y ≤ 3) = 0,15 kan vi benytte lommeregnerens solver-funktion. Den fi ndes i [MATH] → [0]: Solver

Vi har ligningen P(Y ≤ 3) = 0,15 som omskrevet giver P(Y ≤ 3) – 0,15 = 0:binomcdf(9,x,3)-0.15 Variablen er x (er her p, men man taster x på TI-83)Dette indsættes ved eqn:0=

Dernæst trykkes pil ned [▼]

x= er den startværdi, man vil gætte på. Her indtastes f.eks. 0.3.bound= er søgeområdet og behøves ikke at blive ændret. Skulle gerne stå på {-1E99,1E99}.For at solve (løse ligningen), sættes markøren ved x=0.3 og der trykkes [ALPHA] → [SOLVE]. Når markøren fremkommer igen er x=… resultatet, som er 0,5605.

Eks.2:I en kommune har man indsamlet data for karakterfordelingen ved skriftlig eksamen i matematik niveau B for året 2004. Det viser sig, at der var 15%, som ikke bestod eksamen.a) Hvad er sandsynligheden for, at højest 3 elever i en given klasse på 30 ikke består eksamen?b) Hvad er sandsynligheden for, at der er mellem 2 og 4 elever, som ikke består eksamen?

Løsning:

a) Der er tale om et stokastisk eksperiment med to udfald: Enten består man eksamen eller også gør man ikke. (Om en elev dumper er endvidere uafhængigt af om en anden dumper/består – forhåbentligt!) Nu defi neres en stokastisk variabel X = antal elever, der ikke består eksamen X~b(30; 0,15).

Vi skal altså beregne: P(X ≤ 3) = binomcdf(30,0.15,3) ≈ 0,3217 Der er altså 32,17% sandsynlighed for, at højest 3 elever ikke består eksamen.

b) P(2 ≤ X ≤ 4) = P(X ≤ 4) – P(X ≤ 2 - 1) = P(X ≤ 4) – P(X ≤ 1) = binomcdf(30,0.15,4)-binomcdf(30,0.15,1) = 0,4764 Der er altså 47,64% sandsynlighed for, at mellem 2 og 4 elever i klassen ikke består eksamen.

59



19.2 Middelværdi og spredning i en binomialfordeling

Hvis X er binomialfordelt med b(n, p), så er middelværdien og spredningen givet ved henholdsvis:

μ = E(X) = n·p og

Eks. 3: Middelværdien for antal elever som dumper i eks. 2 er: 0,15·30 = 4,5 elever.

Spredningen er

Eks. 4: X~b(n, p) og det oplyses, at = 1 og

Bestem antalsparameteren og sandsynlighedsparameteren for binomialfordelingen.

Løsning: Vi indsætter i formlerne μ = np = 1 og

Vi ved, at np = 1, som indsættes i udtrykket for spredningen:

Værdien for p indsættes i ligningen for middelværdien: n· = 1 n = 5.

Dvs. X~b(5, ).

956,1)15,01(15,030 ≈−⋅⋅

μ

51

541

521

52)1(1

2

=⇔=−⇔⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−⇔=−⋅ pppp

51 ⇔

51

60

Var(X) np(1 p)σ = = −

25

σ =

2np(1 p)5

σ = − =


Klik

på

rekl

amen



20. Normalfordelingen

Frekvensfunktionen (”lille phi”) for en standard normalfordeling er defi neret således:

, x R

Standardnormalfordelingen er kontinuert, hvilket vil sige, at x kan antage alle værdier. Desuden er sandsynlighedsfunktionen ”klokkeformet”. Standardnormalfordelingen har middelværdi 0 og spredning 1. Desuden gælder der, at arealet mellem grafen for sandsynlighedsfunktionen og x-aksen er 1.Man kan få TI-83 til at tegne sandsynlighedsfordelinger. Hvis man f.eks. vil tegne sandsynlighedsfordelingen for μ = 10 og, σ = 5 taster man [Y=] og indtaster Y1= normalpdf(x,10,5).normalpdf( fi ndes i [2nd] → [DISTR] → [1]

En stokastisk variabel, der følger en normalfordeling, er normalfordelt, hvilket kort skrives X~n( μ, σ )

Fordelingsfunktionen F for den standardiserede normalfordeling betegnes med (”store phi”)

F(t) =

( er fordelingsfunktion for standardnormalfordelingen X~n(0, 1) )

ϕ21 x(x) exp( )

22ϕ = ⋅ −

π∈

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Figur 31

ϕ

φtP(X t) −μ⎛ ⎞≤ = φ⎜ ⎟σ⎝ ⎠

φ

61

Opsummerende Matematik på HHX - Kompendium Normalfordelingen


F(t) beskriver sandsynligheden for, at der er under t hændelser, når middeltallet er 0 og spredningen er 1.(Se næste fi gur.)

Middelværdien og spredningen har afgørende betydning for, hvordan grafen for frekvensfunktionen ser ud. Nedenfor er vist et par eksempler.

Middeltallet bestemmer den højeste værdi (~ mest sandsynlige antal) og spredningen hvor fl ad kurven er (~ hvor meget de enkelte sandsynligheder er spredt ud).

20.1 Normalfordelingen på TI-83

Kumulerede (opsummerede) sandsynligheder beregnes ved funktionen normalcdf, som fi ndes ved at taste [2nd] → [DISTR] → [2]: normalcdf(Syntaksen i funktionen er: normalcdf(fra, til, μ, σ) Hvis middelværdi og spredning ikke indtastes, antager TI-83, at der er tale om den standardiserede normalfordeling med μ = 0 og σ = 1.Hvis der ikke er angivet en nedre grænse for den kumulerede sandsynlighed, man skal bestemme, sættes den nedre grænse til - , hvilket på TI-83 skrives som –E99. E fremkommer ved at taste [2nd] → [EE]. Hvis der tilsvarende ikke er angivet en øvre grænse for den kumulerede sandsynlighed, vælges , som øvre grænse, hvilket skrives E99 på TI-83.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-3 -2 -1 0 1 2 3

φ

Figur 32

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

N(1,2)

N(2,1)

Figur 33

∞∞

62



Eks. 2: Lad X~n(43,8). Vi kan nu beregne nedenstående sandsynligheder:

P(X > 30): Da normalfordelingen er kontinuert, betyder det ikke noget om ulighedstegnet er > eller ≥. Vi kan derfor skrive således P(X > 30) = P(X ≥ 30) = normalcdf(30,E99,43,8) ≈ 0,9479

P(35 < X < 51) = P(35 ≤ X ≤ 51) = normalcdf(35,51,43,8) ≈ 0,6827Den første omskrivning følger igen af, at der er tale om en kontinuert fordeling.

20.2 Fraktiler

En fraktil er det tal x, som opfylder, at P(Y ≤ x) < a%. x kaldes da a%-fraktilen.

Eks. 3: Lad Y~n(35, 10). Bestem P(Y ) = 0,65

Vi skal altså bestemme 65% fraktilen i normalfordelingen. Vi kan omskrive udtrykket til

F(x) = . For at løse denne ligning er vi nødt til at anvende den inverse

fordelingsfunktion, (jvf. afsnittet Invers funktion):

For at løse denne ligning anvendes funktionen inversnorm, som på TI-83 betegnes invNorm. For at få funktionen invNorm tastes [2nd] → [DISTR] → [3]. Vi får så:

I stedet for at anvende ovenstående formelle regnemetode, kan man direkte indtaste invNorm(0.65,35,10) = 38,85. Denne metode giver svaret direkte. Syntaksen er invNorm(a%, μ, σ).

Eks. 4: X er normalfordelt med μ = 52 og σ = 5 a) Bestem P(X ≤ 45), P(X ≥ 48), P(41 < X < 54)b) Bestem tallet a, så P(X ≤ a) = 0,54c) Bestem tallet b, så P(X ≥ b) = 0,35

Løsning:

a) P(X ≤ 45) = normalcdf(-E99, 45, 52, 5) ≈ 0,0808 P(X ≥ 48) = 1 - P(X < 48) = 1 - normalcdf(-E99, 48, 52, 5) ≈ 0,7881 P(41 < X < 54) = normalcdf(41, 54, 52, 5) ≈ 0,6415

(Eksempelvis tolkning af det sidste resultat: Det vil sige, at 64,15% af observationerne af den stokastiske variabel ligger i intervallet [41;54] , som vist på nedenstående fi gur. Det er en god idé, hver gang man løser opgaver med en sandsynlighedsfordeling at tegne en skitse af fordelingen. Det giver et overblik.)

65,0)10

35( =−xφ

1−φ

)65,0(10

3565,0)10

35( 1−=−

⇔=− φφ xx

85,3835103853,03853,0)65,0(invNorm)65,0(10

35 1 ≈+⋅=⇒≈==− − xx φ

63



(At ca. 64% af arealet er skraveret ser fornuftigt ud.)

b) P(X ≤ a) = 0,54

Det vil sige, at med 54% sikkerhed ligger observationerne under 52,50.

(Kontrol invNorm(0.54, 52.5) ≈ 52,50)

Figur 34

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

30 40 50 60 70 80

N(52,5)

41 54

⇒==−

⇔=−

⇔ − )54,0()54,0(55254,0)

552( 1 invNormaa φφ

50,52521004,051004,0552

=+⋅=⇔=− aa

64


På Aarhus Universitet, Handels- og IngeniørHøjskolen findes der et helt unikt studiemiljø, du med garanti ikke finder andre steder. Her har du nærhed til...

FOKUS PÅ STUDIEMILJØETFOKUS PÅ STUDIEMILJØET

... dine medstuderende... erhvervslivet

... dine undervisere

Læs mere på hih.au.dk

HANDELS- OG INGENIØRHØJSKOLENDET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTETAARHUS UNIVERSITET

Birk Centerpark 15 7400 Herning [email protected]

Klik

på

rekl

amen



(Som vist på tegningen udgør det skraverede areal 54% af arealet mellem grafen og x-aksen.)

c) P(X ≥ b) = 0,35

Der vil sige, at med 35% sikkerhed ligger observationerne over 53,93.

20.3 Normalfordelingspapir

For at afgøre om et givet talmateriale er normalfordelt, er man nødt til at indtegne observationerne på sandsynlighedspapir også kaldet normalfordelingspapir eller nf-papir. Fordelingsfunktionen, F(x) = P(X ≤ x), for en normalfordelt stokastisk variabel X, har en s-formet graf (se starten af dette afsnit), men indtegnes denne funktion på nf-papir, bliver grafen en ret linie. Dette skyldes y-aksens inddeling. På nf-papir er der tegnet vandrette stiplede liner ud for Ф(μ±σ), Ф(μ±2σ) og Ф(3μ±σ). Middelværdien afl æses som den x-værdi, som svarer til 50%-fraktilen. Efter at have afl æst middelværdien bruges de vandrette stiplede liner til afl æsning af spredningen.

Hvordan man omvendt indtegner et talmateriale på et nf-papir, illustreres i det på følgende eksempel:

Eks.5: I 2003 fordelte antal optagne sig til bachelor uddannelse i matematik således:

a) Beregn de summerede frekvenser og indtegn disse på sandsynlighedspapir (normalfordelingspapir). Gør rede for, at aldersfordelingen tilnærmelsesvis følger en normalfordeling. b) Bestem, ved afl æsning på sandsynlighedspapiret, middelværdien og standardafvigelsen for aldersfordelingen.c) Bestem, ved afl æsning på sandsynlighedspapiret, sandsynligheden for at en tilfældigt udvalgt blandt de optagne i 2003 er under 19,5 år.

=Φ=−

⇔=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Φ⇔=−=≤⇔ − )65,0(55265,0

55265,035,01)( 1bbbXP

93,535253853,03853,0552)65,0(invNorm =+⋅=⇔=

−⇒ bb

Alder 19

Kilde: Statistikbanken

20 21 22 23

Antal 27 42 38 20 7

65

Figur 35

0,09

0,08

0,07

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

0,01

030 40 50 60 70 80

52,5



Løsning:

a) I nedenstående tabel er frekvenserne og de summerede frekvenser beregnede.

Af nf-papiret ses, at aldersfordelingen tilnærmelsesvis følger en normalfordeling, da punkterne næsten ligger på en ret linie.

b) Ved afl æsning på sandsynlighedspapiret fås middelværdien til 20 (dvs. den gennemsnitlige alder blandt de optagne er 20 år). Desuden afl æses μ + σ = 21,2. Ved at indsætte den afl æste middelværdi, kan spredningen beregnes: 20 + σ = 21,2 σ = 1,2 (år).

c) Ved afl æsning på nf-papiret fås, at der er 34% sandsynlighed for, at en tilfældigt udvalgt er under 19,5 år!

x 19 20 21 22 23 sum

h(x) 27 42 38 20 7 134

f(x) % 20 31 28 15 5,2 100

sum. f(x) % 20 51 80 95 100

⇔

66

Normalfordelingspapir

19 19,5 20 21 21,2 22 23alder / år

% P

0,01

0,05

0,1

0,2

0,5

1

2

3

5

10

20

30

40

50

70

60

80

90

95

97

98

99

99,5

99,8

99,9

99,95

99,99

Figur 36

( 2 )φ μ − σ

( )φ μ −σ

( 2 )φ μ + σ

( 3 )φ μ + σ

( 3 )φ μ − σ



21. Lineær programmering

Lineær programmering er en optimeringsteknik til f.eks. at bestemme en produktion, så omkostningerne bliver mindst mulige eller så profi tten bliver størst mulig.

Typiske kendetegn for en LP-opgave:

1) Der er tale om to eller fl ere varer. Hvis der er tale om varer til input i en produktion, skal man minimere omkostningerne. Hvis der er tale om output af en produktion, skal man maksimere dækningsbidraget. 2) Hvis dækningsbidraget pr. stk. er konstant, skal man maksimere dækningsbidraget. Hvis man ikke kender dækningsbidrag pr. vare, eller de har samme salgspris, gælder det om at minimere omkostningerne. 3) I opgaven er der opgivet restriktioner/krav/ begrænsninger.

Begreber der ofte anvendes i en LP-opgave:

SlackSlack er defi neret som overskud af kapacitet for en given vare ved en given proces. Når man skal beregne slack for en vare, kan man bruge formlen: slack = kapacitet – kapacitetstræk

SkyggeprisSkyggeprisen er defi neret som den pris virksomheden er villig til at betale for én ekstra enhed af en knap ressource. Det vil sige, skyggepris = ændringen i det samlede dækningsbidrag, som følge af kapacitetsændringen. Hvis der er slack af en vare, er skyggeprisen 0 kr..

67

Opsummerende Matematik på HHX - Kompendium Lineær programmering

Klik

på

rekl

amen



SensitivitetsanalyseVed en sensitivitetsanalyse også kaldet en følsomhedsanalyse undersøges, hvor meget prisen på en vare eller omkostningen for en vare skal ændre sig, før et nyt optimum opstår. Hvis omkostningen på vare X stiger, vil det alt andet lige blive mere attraktivt at producere fl ere enheder af vare Y. Dette viser sig grafi sk, ved at målfunktionen bliver mindre stejl. Det man er interesseret i er hvor meget hældningen på målfunktionen skal ændre sig, før et nyt optimum opstår.

Fremgangsmåde for at løse et lp-problem Først opskrives restriktionerne og målfunktionen (kriteriefunktionen), som skal optimeres. Hvis der er tale om to varer, kan man afbilde restriktionerne og målfunktionen i et sædvanligt todimensionelt koordinatsystem. Ved løsning af opgaver med tre eller fl ere varer, er det lettest at anvende et computerprogram til udregning af den optimale produktion.Når restriktionerne og målfunktionen er afbildet i et diagram, skal man enten forskyde målfunktio-nen udad eller indad indtil optimum nås. Hvis målfunktionen forskydes indad er optimum første gang målfunktionen berører mulighedsområdet og hvis målfunktionen forskydes udad er optimum sidste gang målfunktionen ”slipper” mulighedsområdet. Forskrifterne for de to begrænsninger, som danner optimum sættes lig med hinanden og den optimale produktion beregnes. Herefter beregnes den samlede fortjeneste eller de samlede omkostninger (alt afhængig af om man skal maksimere fortjenesten eller minimere omkostningerne) ved at indsætte den optimale produktion i kriteriefunk-tionen.

Eksempel: Et forlag producerer opgavehæfter til fagene matematik og tysk for gymnasieelever. Denne produktion kræver to arbejdsgange:

- Opgavehæfterne skal trykkes på forlagets trykkemaskine. Et tyskhæfte tager 20 minutter at trykke mens et matematikhæfte tager 30 minutter. Selvom matematikhæfterne er tyndere er der fl ere fi gurer og specielle tegn der tager længere tid at trykke end ren tekst. - Da tyskhæfterne er tykkere og tungere end matematikhæfterne, tager det 40 minutter at pakke en palle med tyskhæfter, mens det kun tager et kvarter at pakke en palle med matematikhæfter.

Forlaget har hver uge følgende kapacitet til rådighed:

- trykning: 25 timer - pakning af paller: 20 timer

00

målfunktion 2

målfunktion 1

optimum 1

optimum 2

Figur 37

68



Dækningsbidraget ved produktion af matematikhæfter er 10 kr. pr. stk., mens dækningsbidraget ved produktion af et tyskhæfte er 8 kr. pr. stk.

A) Bestem ved hjælp af lineær programmering det antal tysk- og matematikhæfter forlaget skal levere hver uge, for at opnå det største samlede dækningsbidrag.B) Bestem slack for hver af de to processer.C) Hvad er skyggeprisen for én time trykningskapacitet? (Dvs. hvor meget vil forlaget maksimalt betale for en ekstra time til trykningsprocessen?)

A) Først opstilles begrænsningerne på matrixform således:

Vi kan opskrive målfunktion til: 10X + 8Y = maks

Målfunktionen kan opfattes som en lineær funktion i to variable: f(X, Y) = 10X + 8Y

Ved at indtegne begrænsningerne i hvert sit koordinatsystem fås følgende fi gurer:

Målfunktionen skal altså være inden for begge de skraverede områder.

Matematikhæfter Tyskhæfter Timer

Trykning 12

13 25

Parkning 14

23 20

Dækningsbidrag 10 8 maksimeres

Pakning

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 20 40 60 80 100

Matematikhæfter

Tys

khæ

fter

Figur 38

Trykning

Figur 39

Tys

khæ

fter

Matematikhæfter

80

70

60

50

40

30

20

10

00 20 40 60 80

69



For en bestemt funktionsværdi kan man tegne målfunktionen, da man herved får en ret linie i et koordinatsystem. Denne rette linie kaldes for en niveaulinie. Hvis vi fx vælger funktionsværdien 800, kan vi altså tegne funktionen 10X + 8Y = 800. Ved at indtegne begrænsningerne og målfunktionen i samme koordinatsystem fås nedenstående fi gur.

Optimum fi ndes ved at forskyde målfunktionen indad og optimum fi ndes, hvor målfunktionen første gang rører mulighedsområdet. Det vil sige, at optimum fi ndes i skæringen mellem de to begrænsninger. Ved at sætte forskriften for de to begrænsninger lig med hinanden, fi ndes optimum. Ved at isolere Y i forskriften for de to begrænsninger, kan vi fi nde optimum. Vi ved fra matrixtabellen, at forskriften for trykning hhv. pakning er

Trykning og

Pakning:

00

Trykning

Pakning

Målfunktion

Produktionsmulighedsområde

Xopt

Yopt

tyskhæfter

matematikhæfter

Figur 40

1 1X Y 252 3

+ ≤

1 2X Y 204 3

+ ≤

70


NNE Pharmaplan er en af verdens førende rådgivende ingeniørvirksomheder med speciale i konsulent- og ingeniørydelser til den farmaceutiske og bioteknologiske industri. NNE Pharmaplan er et datterselskab til Novo Nordisk. Vi har mere end 1500 ansatte fordelt på 22 kontorer rundt om i verden.

Udfordringer...Bliv elev i NNE Pharmaplan. Du kan blive uddannet som kontorassistent, økonomiassistent og teknisk designer.

www.nnepharmaplan.com

Klik

på

rekl

amen



Vi isolerer nu Y i de tro begrænsninger og får

Trykning: og

Pakning:

For at beregne optimum sættes de to begrænsninger, som danner optimum lig med hinanden:

Vi kan nu fi nde Y ved at indsætte værdien for X i den ene af de to restriktioner (her vælges trykning):

Det er altså optimalt for forlaget at producere 40 matematikhæfter og 15 tyskhæfter. For at beregne det for forlaget optimale dækningsbidrag indsættes den optimale produktion i målfunktionen: f(40, 15) = 10·40 + 8·15 = 520 kr.

B) Først beregnes slack ved trykningen. Vi ved, at Xopt = 40 og Yopt = 15 og kan derfor beregne

kapacitetstrækket ved trykningen: 40· + 15· = 25 timer.

Vi får derfor slacktrykning = 25 - 25 = 0

Kapacitetstrækket ved pakning er 40· + 15· = 20 timer

Dette giver slackpakning = 20 - 20 = 0

Forlaget benytter altså al sin kapacitet i de to processer!

C) Ved at få en ekstra time til at trykke i, ser restriktionen for trykning således ud:

Den nye situation er nu som følger:

3Y X 752

= − +

3Y X 308

= − +

3 3 9X 75 X 30 X 45 X 402 8 8

− + = − + ⇔ = ⇔ =

3Y 40 75 60 75 152

= − ⋅ + = − + =

12

13

14 3

2

782326

31

21

+−=⇒≤+ XYYX

00

Trykning

Pakning

Målfunktion

Produktionsmulighedsområde

Xopt,ny

Figur 41

71



For at fi nde optimum sættes de to restriktioner lig hinanden:

Antallet af Y kan nu fi ndes ved at indsætte værdien for X i den ene af de to restriktioner (her vælges trykning):

Vi antager her, at det ikke er relevant at se på produktion af hæfte, og det vil i praksis sige, at forlaget nu

producerer 42 matematikhæfter og 14 tyskhæfter. Dækningsbidraget ved denne produktion bliver:f(42, 14) = 10·42 + 8·14 = 532 kr. Skyggeprisen for trykning kan nu beregnes:Skyggepristrykning = DBny – DBgl = 532 - 520 = 12 kr.

Bemærk, at det sagtens kan være relevant at se på skyggeprisen for eksempelvis 60 enheder kapacitet. Dette ville for eksempel have været nødvendigt, hvis vi havde regnet med minutter i stedet for timer igennem hele opgaven. Endvidere bemærkes, at det ikke nødvendigvis er umuligt at producere en brøkdel af et hæfte med den kapacitet der er til rådighed. Hvis det ikke fremgår af opgaveteksten, må man lave en passende antagelse.

324230

8378

23

=⇔+−==+− XXYX

14783242

23

=+⋅−=Y

32

72


KOM TIL U-DAYS D. 4., 5. OG 6. MARTS 2010 OG LÆR MERE OM VORES UDDANNELSER

Internationale universitetsuddannelser

med rod i virkeligheden

Praktik

Studiejobs

ASB Alumni

Summer University

Corporate partners

ASB Karrierecenter

Studiemiljø i særklasse

Job- og CompanyDating

Danske og internationale forskere

Læs mere på www.asb.dk

U-DAYS

VIL DU SIKRE DIN FREMTID MED EN MÅLRETTET UNIVERSITETSUDDANNELSE INDEN FOR BUSINESS? LÆS MERE OM VORES UDDANNELSER PÅ WWW.ASB.DK

Klik

på

rekl

amen



22. Eksempler på opgaver svarende til tidligere eksamensopgaver samt løsninger

Opgave 1 (Svarende til 3. marts 2003)

Nedenstående 5 delopgaver besvares uafhængigt af hinanden:

a) Løs uligheden 3(x – 4) < – x + 2

b) Bestem defi nitionsmængden for følgende funktion: f (x) =

c) Bestem perioden for den trigonometriske funktion f , der er givet ved forskriften: f (x) = sin(4x + 1) + 2 , x R

d) En funktion f er givet ved forskriften

f (x) =

Grafen for f har én asymptote. Bestem en ligning for denne asymptote.

e) Om en funktion f oplyses, at f ’(x) = (x – 2)·(x – 3) , x R Bestem monotoniforholdene for f .

Løsning:Opg. 1:

a)

b) f(x) =

c)

d)

Altså er y = 4 vandret asymptote til f.

e) f’(x) = (x – 2)(x – 3) , x R Det ses, at f’(x) = 0 x = 2 x = 3. f’(0) = (–2)( –3) = 6 > 0, f’( ) = og f’(4) = (4 – 2)(4 – 3) = 2 > 0

2−x

164

2

2

+−

xxx

2714421232)4(3 <⇔<⇔+−<−⇔+−<− xxxxxx

∈

∈

2−x [,2[)( ∞=fDm

R x , 2)14sin()( ∈++= xxf

for x 414

14

164)(

216

1

2

2

±∞→=→+−

=+−

=x

x

xxxxf

∈⇔ ∧

25 0))(()3)(2( 4

121

21

25

25 <−=−=−−

73

Opsummerende Matematik på HHX - Kompendium Eks. på opg. svarende til tidl. eksamensopg. samt løsninger

2 2b 4 2T π π π= = =


Dvs. x 2 3 f’(x) ++++++ 0 – – – – – – 0 ++++++++ f(x)

Opgave 1 (Svarende til 23. maj 2003)

Følgende 4 opgaver besvares uafhængigt af hinanden:

a) Bestem løsningerne til ligningen – 4x2 – 6x + 4 = 0

b) Grafen for funktionen f er vist på fi guren.

Bestem ved afl æsning monotoniintervallerne for funktionen f .

c) Et annuitetslån på 70.000 kr. skal tilbagebetales over 16 terminer, idet første ydelse skal betales 1 termin efter lånets oprettelse. Renten er 2 % pr. termin. Beregn den ydelse, der skal betales pr. termin.

d) Funktionen f er givet ved f (x) = ln( x4 ) , x > 0 Bestem f ’(x).

Løsning:Opg. 1:

a)

b) f’(x) > 0 : (f voksende)

f’(x) < 0 : (f aftagende)

f’(x) = 0 :

Figur 42

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

y

-4 -2 2 4

(2; -10)

f

(-1; 3,5)

=−±

=−⋅±−−

=∧=+=⋅−⋅−−=⇔=+−−8106

)4(2100)6(10064364)4(4)6(0464 22 xdxx

⎪⎩

⎪⎨⎧−

21

2

[;2][1;] ∞−∞−∈ Ux

[2;1]−∈x

21 =∨−= xx

74



c) Et annuitetslån på 70.000 kr. tilbagebetales over 16 terminer. Renten pr. termin er 2% pr. termin. Ydelse pr. termin:

d) f(x) = ln(x3), x > 0

f’(x) =

Opgave 1 (Svarende til 15. september 2004)

Nedenstående 4 delopgaver besvares uafhængigt af hinanden:

a) Beregn størrelsen af vinkel B i den viste trekant

b) Beregn fordoblingskonstanten (med 2 decimaler) for den eksponentielle udvikling f (x) = 13·1,4x

c) Ole lånte 30.000 kr. den 1/1-2003. Lånet skulle tilbagebetales med 18 lige store halvårlige ydelser. Første ydelse skulle betales den 1/7-2003. Renten er 2% pr. halvår i hele perioden. Beregn den halvårlige ydelse.

d) Løs ligningen (x + 2) · (x2 – 1) = 0

Løsning:Opg. 1:

a) Skitse:

Benyttes sinusralationerne fås:

(Eneste løsning er ovenstående, da 180º – 68,60º ≈ 111,4º også har sinus-værdi som ovenstående vinkel, men da bliver den samlede vinkelsum over 180º. (alene B og C giver da 195,4º))

xxx 413

44 =⋅

Figur 43

A

B

C84°

4,4

4,7

A

B

84°

4,4

4,7

°≈⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅°=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

=⇔⋅

=⇔= −− 60,687,4

4,484sinsinsinsinsinsinsinsin 11

cbCB

cbCB

cC

bB

75

116|2%70000kr 5155,51kr−⋅α ≈



b) f(x) = 13·1,4x

T2 =

c) 30.000 kr. lånt den 1/1-2003. 18 halvårlige ydelser, 2% pr. halvår i rente. Den halvårlige ydelse bliver da:

d)


En speciel mønt er lavet, så sandsynligheden for plat er 0,35, og sandsynligheden for krone er 0,65. Et eksperiment består i at kaste 25 gange med denne mønt.

a) Beregn sandsynligheden for, at der kommer plat højst 12 gange.

b) Beregn sandsynligheden for, at der kommer krone netop 15 gange.

06,2)4,1log(

)2log(≈

120120)1)(2( 22 ±=∨−=⇔=−∨−=⇔=−+ xxxxxx

76

118|2%25000kr 2001,06kr−⋅α ≈


www.dfds.com/elever

Klik

på

rekl

amen



Løsning:Opg. 2:

En speciel mønt er lavet, så sandsynligheden for plat er 0,35 og 0,65 for krone. Et eksperiment består i 25 kast.

a) X defi neres som en stokastisk variabel, X = antal plat, p = 0,35 og n = 25: X~b(25; 0,35) P(X ≤ 12) = binomcdf(25, 0.35, 12) ≈ 0,9396

b) Y defi neres som en stokastisk variabel, Y = antal krone, p = 0,65 og n = 25: Y~b(25; 0,65) P(Y = 15) = binompdf(25, 0.65, 15) ≈ 0,1409


Om trekant ABC oplyses, at A = 30° og |AB| = 5. Det oplyses endvidere, at arealet af trekanten er 7,75.

a) Beregn længden af højden hAC .

b) Beregn længden af siden AC .

Løsning:Opg. 2:

Om ΔABC oplyses, at A = 30º, |AB| = 5. Det oplyses endvidere, at arealet af ΔABC er 7,75. Skitse:

a)

b) Da

∠

∠

ACAC

h 5A h 30 5AB 2

sin sin( )| |

= ⇔ = ° ⋅ =

A30°

hAC

C

5

B

Figur 44

A30°

hAC

C

5

B

77


1ABC AC2 5

AC 2

7,75 2 15,50h | AC | 7,75 | AC | 6, 2hΔ

⋅Τ = ⋅ ⋅ = ⇔ = = =



I trekant ABC er følgende størrelser givet:

A = 40°, b = 13 og c = 15

Det oplyses desuden, at trekant ABC ikke er retvinklet.

a) Beregn størrelsen af B.

b) Beregn arealet af trekant ABC .

Løsning:Opg. 2:

A = 40º, b = 13 og c = 15. ΔABC er desuden ikke retvinklet. Skitse:

a)

Dermed er:

b) Arealet af trekant ABC: Højden fra B:

Dvs.

∠

∠

∠

2 2 2 2 2a b c 2bc A 13 15 2 13 15 40 394 390 40cos( ) cos( ) cos( )= + − ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° = − ⋅ ° ⇔

a 394 390 40 9 759( ) cos( ) ,+

−= − ⋅ ° ≈2 2 2 2 2a c b 394 390 40 15 13B B 58 90

2ac 2 394 390 40 15cos( )cos ,

cos( )+ − − ⋅ ° + −

= = ⇔ ≈ °⋅ − ⋅ ° ⋅

bh 40 15sin( )= ° ⋅1 1

ABC b2 2h b 40 15 13 62 67sin( ) ,ΔΤ = ⋅ ⋅ = ⋅ ° ⋅ ⋅ ≈

40°

B

C

a

b=13

c=15

A

Figur 45

40°

B

C

a

b=13

c=15

A

78



Opgave 2 (Svarende til 6. januar 2003)

En harmonisk svingning er givet ved: g(x) = a · sin(bx) , hvor a og b er reelle tal. Grafen for funktionen g er vist på fi guren.

a) Bestem perioden T.

b) Bestem tallene a og b .

Løsning:Opg. 2:

g(x) = asin(bx), a og b er reelle tal.

a) T = π

b)

a = 0,5

x 2 2[ ; ]∈ − π π

Figur 46

1

-1

-0,5

0,5

y

-2? -3? 2

? -? 2

?2

? 3? 2

2?

x 2 2[ ; ]∈ − π π

2 2b 2pπ π

= = =π

79


Har du gjort dig tanker om fremtiden ? Vi har !B l i v h a n d e l s e l e v h o s B D / i n f o : w w w . b d . d k / e l e v

Klik

på

rekl

amen




Signe ønsker at spare op til køb af en ny computer. Hun aftaler med forhandleren, at der ved købet skal udbetales 7.000 kr. Signe kan opspare 312 kr. om måneden. Hun betaler beløbet til sin far, der giver hende 1,5% pr. måned i rente.

a) I hvor mange måneder skal Signe spare op, før der står 7.000 kr. på kontoen hos hendes far?

Ved købet mangler Signe 3.000 kr., som hun låner hos forhandleren. Hun skal betale 1,25% i rente pr. måned. Afviklingen af lånet sker ved betaling af 30 lige store månedlige ydelser. Den første ydelse betales en måned efter lånets oprettelse.

b) Hvor stor bliver den månedlige ydelse?

Løsning:Opg. 3:

Signe opsparer 312 kr./måned. Hendes far giver hende 1,5% i rente pr. måned. For at nå op på 7000 kr. skal Signe spare op i:

a)

Signe skal altså spare op i ca. 19 måneder (20 måneder for at have mere end 7000 kr. sparet op.)

b) Ved købet mangler Signe 3000 kr., som hun låner og skal betale 1,25% i rente af pr. måned. Afviklingen sker ved betaling af 30 lige store månedlige ydelser. Den første ydelse betales en måned efter oprettelsen. Den månedlige rente bliver dermed:


Hansen har hængt en hængekøje op mellem to træer i sin have. Der er 4 meter mellem de to træer. Hængekøjen har form som en parabel. Herunder er vist en skitse af hængekøjen. Den er placeret i et almindeligt koordinatsystem, således at det laveste punkt ligger på y- aksen, og således at x-aksen angiver jordoverfl aden. I dette koordinatsystem har parablen ligningen y =

N 1 51 7000S 312 7000 312 7000 0 015 1

312

NN

| , %(1 0,015) kr.kr. kr. kr. kr. (1 0,015) ,

0,015 kr.+ −

⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔ + = ⋅ + =

måneder 48,19)015,1log(

)log(104139log)015,1log(

104139 104

139

≈=⇔⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅⇔ NN

5,0291 +x

80

30

30|1,25% 30

(1 0,0125) 0,01253000kr. 3000kr. 120,54kr.(1 0,0125) 1+ ⋅

α ⋅ = ⋅ ≈+ −



Hængekøjen er gjort fast på træerne i punkterne A og B.

a) Beregn, hvor højt oppe på træerne hængekøjen er gjort fast.

b) Gør rede for, at hængekøjens laveste punkt (C) er 0,5 meter over jordoverfl aden.

Løsning:Opg. 3:

x-aksen angiver jordoverfl aden. Laveste punkt ligger på y-aksen. Hængekøjen er beskrevet ved: y = . Der er 4 meter mellem de to træer.

a) Højde over jorden for punktet A og B: x = 2 eller x = –2: Dvs. A og B er ca. 1 m over jorden.

b) f(x) =

f’(x) = , f’(x) = 0 x = 0

Da f’(–1) = < 0 og f’(1) = > 0.

Altså er x = 0 minimum for grafen. f(0) = Dvs. 0,5 m.

Opgave 4 (Svarende til 17. semptember 2003)

Ved den skriftlige eksamen i Erhvervsøkonomi – B, maj 2001, fordelte karaktererne for hele landet sig således:

5,0291 +x

15,045,0)2( 1817

912

91 ≈=+⋅=+±=y

5,0291 += xy

x92

92−

5,05,0091 =+⋅

⇔

92

Kilde: UVM

Karakter 00 03 5 6 7 8 9 10 11 13

Antal 1 21 167 244 316 468 438 236 19 00

Figur 47

C

A B

x

81



a) Beregn de summerede frekvenser og indtegn disse på sandsynlighedspapir (normalfordelingspapir). Gør rede for, at karaktererne tilnærmelsesvis følger en normalfordeling.

b) Bestem, ved afl æsning på sandsynlighedspapiret, middelværdien og standardafvigelsen for karakterfordelingen. For at bestå skal eleverne opnå karakteren 6 eller derover.

c) Bestem, ved afl æsning på sandsynlighedspapiret, sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt elev ved eksamen i Erhvervsøkonomi – B, maj 2001, ikke bestod.

Løsning:Opg. 4:

a) Sum = 1 + 21 + 167 + 244 + 316 + 468 + 438 + 236 + 19 + 0 = 1910

Karakter Antal Frekvens Summeret frekvens %

00 1 0,05 0,05

03 21 1,1 1,2

5 167 8,7 9,9

6 244 12,8 22,7

7 316 16,5 39,2

8 468 24,5 63,7

9 438 22,9 86,6

10 236 12,4 99,0

11 19 1,0 100,0

13 0 0,0 100,0

82


Gå efter det bedste tilbud !

Er du på jagt efter en uddannelse, hvor mulighederne for at gøre karriere er rigtig gode? Har du gå-på-mod og evner til at gennemføre et seriøst uddannelsesfor-løb med fokus på kundeserivce, salg og samarbejde?

Så skulle du overveje en uddannelse som salgsassi-stent eller trainee i Dansk Supermarked. Vi søger lige nu elever til føtex, Bilka og Netto over hele landet.

Når Dansk Supermarked søger elever, er det for at uddanne dygtige medarbejdere og ledere til fremti-den. Vores succes afhænger af dig. Derfor gør vi rig-tig meget ud af, at du udnytter dine evner optimalt, har det godt, trives med dine opgaver og udvikler dig personligt.

Du kan læse meget mere om vores uddannel-ser og karrieremuligheder på vores hjemmeside elev.dsg.dk, hvor du også kan se og søge ledige elev-stillinger. Du er også velkommen til at gå ned i dit lokale varehus for at høre mere om dine muligheder.

elev.dsg.dk

Klik

på

rekl

amen



Som det ses af normalfordelingspapiret ligger observationerne tilnærmelsesvis på linie, hvorfor karaktererne de tilnærmelsesvis er normalfordelt.

b) Af normalfordelingspapiret er μ = 7,2 og σ = 8,6 – μ = 8,6 – 7,2 = 1,4

c) Der er 19% sandsynlighed for, at en elev ikke bestod.


Funktionen f er givet ved

f (x) = , x 0

a) Gør rede, for at f ’(x) =

Normalfordelingspapir

00 5 8 9 10 11 Karakter

% P

0,01

0,05

0,1

0,2

0,5

1

2

3

5

10

20

30

40

50

70

60

80

90

95

97

98

99

99,5

99,8

99,9

99,95

99,99

Figur 48

03 6 7 137,2 8,6

xx 74 2 − ≠

2

2 74x

x +

83



b) Gør ved hjælp af f ’ rede for, at f ikke har ekstrema.

c) Bestem ligningerne for eventuelle asymptoter til grafen for f .

d) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet ( 3 ; f (3) ).

Løsning:Opg. 4:

f(x) = , x 0

a)

b)

Dermed er der ingen ekstrema, da 4x2 = – 7 aldrig kan have reelle løsninger.

c) x = 0 er lodret asymptote for f.

f(x) =

Dvs. y = 4x er skrå asymptote for f, da

d) f(3) =

f’(3)=

Dvs. y – f(3) = f’(3)(x – 3) y – = (x – 3) y = x – + = x

Dvs. er tangent til f i (3, f(3)).


En andeavler har målt højde og vægt på 11 tilfældigt udvalgte andeæg. Resultaterne er vist i nedenstående tabel, hvor x betegner højden af et æg, og y betegner vægten af ægget.

a) Gør rede for, at sammenhængen mellem æggenes højde x og æggenes vægt y = f (x) med god tilnærmelse kan beskrives ved en potensfunktion med forskriften f (x) = b·xa.

b) Bestem en værdi for hver af de to konstanter a og b. Antag at den fundne sammenhæng f gælder for alle andeavlerens æg. Et bestemt af andeavlerens æg vejer 110 gram.

c) Bestem højden af dette æg.

xx 74 2 − ≠

2

2

2

22

2

2

2

22 74748)74(8)74()'()'74()('x

xx

xxx

xxxx

xxxxxf +=

+−=

−−⋅=

−⋅−⋅−=

740780780)(' 232

3

−=⇔=+⇔=+

⇔= xxx

xxf

xx

xx 7474 2

−=−

∞±→→− for x 07x

329

3734 2

=−⋅

943

2

2

9736

3734

=+

=+⋅

329

943

314−

314

943 −= xy

⇔ ⇔ 943

329

343

943

Æg nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x (højde i cm) 5,5 5,5 6,6 6,0 7,1 4,7 5,5 6,6 5,2 6,2 7,2

y (vægt i gram) 35 37 58 45 73 23 40 68 30 50 58

84



Løsning:Opg. 4:

a) Som det ses af punkterne på det dobbeltlogaritmiske papir, ligger de tilnærmelsesvis på en ret linie, hvorfor æggenes højde x og æggenes vægt y med god tilnærmelse kan beskrives ved en potensfunktion.

b) Afl æst to punkter: f(4,7) = 23 (I) og f(6,2) = 50.

Dvs.

Indsættes a = 2,80 i (I) fås:

c) f(x) = 110

Dvs. ægget som vejer 110 g har højden 8,2 cm.

1 2 3 4 5 6 7 8

2

3

4

5

6

7

8910

2

3

4

5

6

7

8910102

101

4,7 Højde i cm

Figur 49

9 10 2 3 4 56,2

Væ

gt

i gra

m

23

50

80,2

2,67,4log

5023log

5023

2,67,4

5023

2,67,4502,6237,4 ≈

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⇔=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⇔=⇒=⋅∧=⋅ abba

a

aaa

24,830,0

11030,0

11011030,0 80,280,280,2 ≈=⇔=⇔=⋅⇔ xxx

85


2,802,80

23b 4,7 23 b 0,304,7

⋅ = ⇔ = ≈



To nabogrunde har form som henholdsvis fi rkant ABEF og fi rkant BCDE på fi guren herunder.

Følgende mål er opgivet (længderne er i meter): |AC|= 64 |AB|= · |AC| |CD|= 28 FAB = 70° CDE = BEF = AFE = BED = 90°

a) Beregn |DF|

b) Beregn arealet af hver af de to nabogrunde.

Figur 50

A F

B

C D

E

∠

73

∠ ∠ ∠∠

86


Klik

på

rekl

amen



Løsning:Opg. 4:

Skitse:

Følgende mål er opgivet (længderne er i meter): |AC|= 64 |AB|= · |AC| |CD|= 28 FAB = 70° CDE = BEF = AFE = BED = 90°

a) |DF| kan genfi ndes i den retvinklede trekant ACR (|CR|), som angivet på skitsen.

Altså:

b) Det ses at |BP| = |EF|:

Dvs.

Dvs. arealet af den øverste grund er:

Arealet af den nederste grund er:

A F

B

C D

E

RP

Q

∠

73

∠ ∠ ∠∠

mmACFABDFACDFFAB 14,6064)70sin(||)sin(||

||||)sin( ≈⋅°=⋅∠=⇔=∠

mmACABFABEFABBPFAB 77,2564

73)70sin(||

73)70sin(||)sin(||

||||)sin( ≈⋅⋅°=⋅°=⋅∠=⇔=∠

mmmEFDFDE 37,3477,2514,60|||||| =−=−=

mmACACAC

ABACBCCBQBQBCBQCBQ

51,1264)70cos(|)|()70cos(|)||(|)70cos(

|)||(|)70cos(||)cos(||||||)cos(

74

74

73 ≈⋅⋅°=⋅°=−⋅°

=−⋅°=⋅∠=⇔=∠

mmPABACPABABAPABAPPAB 38,9)70cos(64)cos(||)cos(||||

||||)cos( 7

373 ≈°⋅⋅=∠=∠⋅=⇔=∠

221

21

21

34,1177)51,122828(37,34

|))||(||(||||)||(|||

mmmmm

BQCDCDDEBECDDEBCDE

≈++⋅⋅

=++⋅⋅=+⋅⋅=Τ

221

21

21

80,1164)38,951,122851,1228(77,25

|))||||||||(||||)||(|||

mmmmmmm

APBQCDBQCDEFAFBEEFABEF

≈++++⋅⋅

=++++⋅⋅=+⋅⋅=Τ

87



Opgave 4 (Svarende til 6. januar 2003)

Funktionen f er givet ved: f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x – 9 , x R Det oplyses, at x = –3 er nulpunkt for f.

a) Beregn de øvrige nulpunkter for f (3 decimaler).

b) Beregn en ligning for tangenten til grafen for f i punktet med 1. koordinaten x = 1.

Grafen for f har én vendetangent.

c) Beregn en ligning for vendetangenten til grafen for f.

Løsning:Opg. 4:

f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x – 9 , x R x = –3 er nulpunkt for f.

a) Idet x = –3 udføres polynomiers division:

2x3 + 3x2 – 12x – 9 : (x – (–3)) som er det samme som:

2x3 + 3x2 – 12x – 9 : (x + 3) = 2x2 – 3x – 3 2x3 + 6x2

– 3x2 – 12x – 3x2 – 9x – 3x – 9 – 3x – 9 0

Dvs. 2x2 – 3x – 3 = 0

b) f’(x) = 6x2 + 6x – 12 f’(1) = f(1) = Dvs. y – f(1) = f’(1)(x – (1)) y + 16 = 0(x – 1) y = –16 er tangent til f i punktet (–1, f(–1)).

∈

∈

=⋅±−−

=∧=+=−⋅⋅−−=⇔22

33)3(33249)3(24)3( 2 xd

⎩⎨⎧−

=±

686,0186,2

4333

0126612)1(6)1(6 2 =−+=−⋅+⋅

16912329)1(12)1(3)1(2 23 −=−−+=−⋅−⋅+⋅

⇔ ⇔

88



c) Vendetangent i x0 f’’(x0) = 0: f’’(x) = 12x + 6 = 0 x =

f’( ) =

f( ) =

Dvs. y – f( ) = f’( )(x – ( ) y – ( ) = (x – ( ))

er tangent til f og samtidig vendetangent.


Virksomheden PROC-A sælger legetøjsrobotter. Robotterne sælges i Danmark, Sverige og i Mellemamerika. Både i Danmark og i Sverige leveres robotterne til et centrallager, og i øjeblikket kan PROC-A sælge lige så meget, som de kan levere. Leveringen af legetøjsrobotterne til centrallagrene kræver 3 arbejdsgange:

– Robotterne skal pakkes påzpaller og læsses på lastvogne. Pakning og læsning tager 3 timer for en levering til det danske centrallager. Til det svenske centrallager tager pakning og læsning 1 time.

– Der skal udfyldes diverse ordre- og forsendelsespapirer, hvilket tager time for en levering til det danske centrallager og time for en levering til det svenske centrallager.

– Transporttiden ved levering til det danske centrallager er 3 timer og ved levering til det svenske centrallager 6 timer.

⇔⇔ 2

1−

21− 2

2746

212

21 12312)(6)(6 −=−−=−−⋅+−⋅

21− 2

521

43

82

212

213

21 3969)(12)(3)(2 −=−=−++−=−−⋅−−⋅+−⋅

25−2

1− 21− 2

1− ⇔ 227−

437

227 y −−= x

21− ⇔

12

13

12

89


Deltag i Børsens Gazellespil 2010 - og vind flotte pengepræmier

Gazellespillet er et spændende og innovativt virksomhedsspil, hvor du kommer til at prøve kræfter som iværksætter.

Spillet udfordrer i 2010 elever og lærere på at tage beslutnin-ger i et marked præget af økonomisk og finansiel krise.

Som leder af en fiktiv virksomhed skal du og dit hold hver uge træffe vigtige beslutninger om produktudvikling, marketing, investeringer m.v.

Spillet starter den 18. januar 2010 og der vil være flotte pengepræmier til de skarpeste beslutningstagere.

Læs alt om spillet og tilmeld jer på gazellespil.borsen.dk KLIK HER

Klik

på

rekl

amen



PROC-A har hver uge følgende antal arbejdstimer til rådighed til de tre arbejdsgange:

– Pakning og læsning: 30 timer.

– Udfyldelse af papirer: 5 time.

– Transport: 90 timer.

Det er endvidere et krav, at der skal leveres mindst 3 gange pr. uge til det danske centrallager. Dækningsbidraget ved en levering til det danske centrallager er 15.000 kr., og dækningsbidraget ved en levering til det svenske centrallager er 30.000 kr.

a) Beregn ved hjælp af lineær programmering det antal gange om ugen PROC-A skal levere til hvert af de to centrallagre for at opnå det største samlede dækningsbidrag.

b) Hvor mange af de timer, der er til rådighed til transport, bliver ikke udnyttet ved den løsning, du har fundet i spørgsmål a)?

Løsning:Opg. 5:

a) Først opskrives begrænsningerne på matrixform:

X = antal leveringer til dansk centrallager. Y = antal leveringer til svenske centrallager.

Målfunktionen kan opskrives til: 15.000X + 30.000Y = maks. Ved at opfatte målfunktionen som en lineær funktion i to variable fås: f(X, Y) = 15.000X + 30.000Y

Vi kan nu opskrive begrænsningerne: 1) 3X + 1,5Y = 30 Y(X) = –2X + 20 2) X + Y = 5,5 Y(X) = X + 11

3) 3X + 6Y = 90 Y(X) = - X + 15 4) X = 3

12

Proces DK (X) SV (Y) Total

1) pakning mm. 3 1,5 30

2) udfyldelse af papirer 1/3 1/2 5,5

3) transport 3 6 90

4) X>=3

⇔23

−12

13 ⇔

12⇔

90



Vi kan afbilde produktionsmulighedsområdet grafi sk:

På grafen er desuden indtegnet niveaulinien f(X, Y) = 900.000. Ved at forskyde niveaulinien ”indad” mod origopunktet, ses at der er to mulige optimums: Skæring mellem begrænsning 2 og 4 og skæringen mellem begrænsning 1 og 2. Skæringen mellem begrænsning 2 og 4 beregnes ved at sætte ligningerne for de to restriktioner lig med hinanden. X-værdien svarende til x = 3 indsættes i ligningen for begrænsning 2:

Y(3) = ·3 + 11 = 9. Dækningsbidraget ved denne produktion er: f(3, 9) = 15.000·3 + 30.000·9 = 315.000 kr.

Skæringen mellem begrænsning 1 og 2 fi ndes på samme måde: –2X + 20 = X + 11 X = 9 X = = 6,75

0

5

10

15

20

25

30

0 10 20 30 40 50

X

Y

1234f(x,y) = 900.000

Figur 51

23

−

274

⇔23

−43 ⇔

91


FÅ HELE VERDEN SOM DIN ARBEJDSPLADS!

Vil du være blandt verdens førende shippingfolk? Det Blå Danmark, eller det danske mari-time erhverv, kan tilbyde dig en shippinguddannelse af høj international standard. Danske rederier og shippingvirksomheder er førende inden for de mest avanacerede segmenter af den globale søfart og flytter dagligt 10 procent af al verdens handel til søs. Hvis du har mod på en international karriere, så gå ind på www.worldcareers.dk og find ud af, hvordan DU kan få hele verden som din arbejdsplads.

Få verden som arbejdsplads: www.worldcareers.dk

Klik

på

rekl

amen



Y kan nu beregnes ved, at x-værdien i begrænsning 1: Y = –2·6,75 + 20 = 6,5 Dækningsbidraget ved denne produktion bliver f(6,75; 6,5) = 15.000·6,75 + 30.000·6,5 = 296250 kr.

Her er man nødt til at bruge sin sunde fornuft. Virksomheden kan af gode grunde ikke levere 5,5 gange til det danske marked – desuden tjener man også mest på den første løsning. Derfor er det optimalt at producere og levere 3 gange til danske marked og 9 gange til det svenske marked.

b) Det antal timer vi bruger på transport ved optimal produktion er 3·3 timer + 9·6 timer = 63 timer. Da virksomheden har 90 timer til rådighed til transport, er der altså 90 timer – 63 timer = 27 timer, som ikke bliver brugt.


Funktionen f er givet ved forskriften

a) Beregn eventuelle nulpunkter for f og bestem fortegnsvariationen for f .

Grafen for f har én asymptote.

b) Bestem en ligning for asymptoten til grafen for f . Det oplyses, at f har to ekstrema: Lokalt maksimum i (–1,87 ; 1,73) og lokalt minimum i (0,48 ; – 0,20). Alle koordinater er afrundet til 2 decimaler.

c) Skitsér grafen for f og asymptoten til grafen for f i samme koordinatsystem.

Løsning:Opg. 5:

a) f(x) = 0

f(–5) =

f(–1) =

f( ) =

f(2) =

3 2

2

x 3x 4xf x x Rx x 5

( ) , + −= ∈

+ +

3 2

2

x 3x 4xf x x Rx x 5

( ) , + −= ∈

+ +

3 23 2 2

2

x 3x 4x x 3x 4x 0 x x 3x 4 0 x 0x x 5

0 ( )+ −⇔ = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ = ∨

+ +

2 2 13 25 3 5x 3x 4 0 x 0 d 3 4 1 4 25 x42 1 2

( ) ⎧− ± − ±+ − = ⇔ = ∨ = − ⋅ ⋅ − = ∧ = = = ⎨−⋅ ⎩

3 2

2

5 3 5 4 5 125 75 20 30 025 255 5 5

( ) ( ) ( )( ) ( )

− + ⋅ − − ⋅ − − + += = − <

− + − +3 2

2

1 3 1 4 1 1 3 4 6 01 1 5 51 1 5

( ) ( ) ( )( ) ( )

− + ⋅ − − ⋅ − − + += = >

− +− + − +3 2 3 911 1 1

8 4 82 2 22 231 11 1

4 2 42 2

23 40

55( ) ( ) ( )

( ) ( )+ −+ ⋅ − ⋅

= = − <+ ++ +

01112

5248128

5)2()2()2(4)2(3)2(

2

23

>=++−+

=++

⋅−⋅+

12

92



Dvs.: x –4 0 1 f(x) – – – 0 + + + + + 0 – – – – – – 0 + + + + + +

b) Polynomiers division:

x3 + 3x2 – 4x : (x2 + x + 5) = x + 2 +

x3 + x2 + 5x 2x2 – 9x + 0 2x2 + 2x + 10 –11x – 10

Dvs. y = x + 2 er skrå asymptote til f, da

c) Skitse:


Funktionen f er givet ved forskriften

f (x) = , x 0

a) Gør rede for, at f ’ har forskriften

f ’(x) =

b) Bestem monotoniintervallerne for f ved hjælp af f ’ og beregn ekstrema for f.

Grafen for f har to asymptoter.

c) Bestem en ligning for hver af de to asymptoter.

51011

2 ++−−

xxx

±∞→→++−− for x 0

51011

2 xxx

6

y

0

-2

-4

-6 -4 42-20

x

3

4 1x

x +≠

4

4 3x

x −

93



Løsning:Opg. 6:

f (x) = , x 0

a)

b)

Da ,

,

og

.

Dvs. x 0 f’(x) + + + + 0 – – – – – – i. d. – – – – – 0 + + + + f(x)

3

4 1x

x +≠

4

4

6

266

6

24233

23

4334 3334334)(

)1()'()()'1()('x

xx

xxxx

xxxxxx

xxxxxf −=

−−=

−⋅−⋅=

+−+=

0303030)(' 444

4

≠∧±=⇔≠∧=⇔=−

⇔= xxxxx

xxf

01613

)2(3)2()2(' 4

4

>=−

−−=−f

02)1(

3)1()1(' 4

4

<−=−

−−=−f

02)1(

3)1()1(' 4

4

<−=−

=f

01613

)2(3)2()1(' 4

4

>=−

=f

4 34 3−

94


Hvad enten du drømmer om at starte virksomhed eller allerede er godt i gang, giver vi dig power til at maksimere dit potentiale. I uge 47 er der springboards, workshops, foredrag og konkret rådgivning til alle – fra iværksætterspirer i grundskolen til direktører med vækstambitioner.

Bag initiativet står Økonomi- og Erhvervsministeriet i samarbejde med en lang række private og offentlige organisationer. Initiativet er en del af "Global Entrepreneurship Week", hvor mere end 100 lande sætter fokus på iværksætteri og vækst.

Global Entrepreneurship Week | Økonomi- og Erhvervsministeriet | Væksthusene | Young Enterprise Danmark | DI – Organisation for erhvervslivet | Kauffmann | Make Your Mark

| Dansk Iværksætter Forening | Undervisningsministeriet | DEF | DJØF | Foreningen af Registrerede Revisorer | Øresund Entrepreneurship Academy | Danske Advokater |

Foreningen af Statsautoriserede Revisorer | IDA | DANA | IDEA | Vækstfonden | Women in Business | Connect Denmark | Ministeriet for Videnskab, Teknologi og Udvikling | FUHU

| Ernst & Young | Dansk Erhverv | Venture Cup | Kulturministeriet | Early Warning | Danmarks Eksportråd

Læs mere på www.uge47.dk

Klik

på

rekl

amen



Dvs. f har ekstrema i x = og x = .

Dermed har f altså lokalt minimum i ( , ) og lokalt maximum i ( , ).

c) Asymptoter for f: Da Dm(f) = R\{0} og 0 ikke er rod i tæller, er x = 0 lodret asymptote. Skrå asymptote for f: (Polynomiers division) x4 + 1 : x3 = x + x4 + 0 1

Altså er y = x skrå asymptote for f, da


I en kommune viser en undersøgelse, at 23% af eleverne i 1. klasse kan læse, inden de starter i skolen. I forbindelse med et projekt i starten af skoleåret har man tilfældigt udvalgt en stikprøve på 30 elever fra kommunens 1. klasser. I stikprøven kan antallet af elever, der kan læse, beskrives ved en binomialfordelt stokastisk variabel X ~ b( 30 ; 0,23 ).

a) Bestem sandsynligheden for, at netop 5 af de udvalgte elever kan læse.

b) Bestem sandsynligheden for, at fl ere end 5 af de udvalgte elever kan læse.

Løsning:Opg. 6:

23% af eleverne i 1. klasse kan læse, når de starter. 30 elever er tilfældigt udvalgt. X~b(30; 0,23) er antal elever, der kan læse.

a) P(X = 5) = binompdf(30, 0.23, 5) ≈ 0,1333 = 13,33% Dvs. Sandsynligheden for at netop 5 elever kan læse er 13,33%.

b) P(X > 5) = 1 – P(X ≤ 5) = 1 – binomcdf(30, 0.23, 5) ≈ 0,7192 = 71,92% Altså er sandsynligheden for at fl ere end 5 elever kan læse 71,92%.

7547,134

34

)3(1)3()3(

43

4334

444 −≈−=

−=

−+−

=−f

7547,134

34

)3(1)3()3(

43

4334

444 ≈==

+=f

43

34

−43

34

31x

±∞→→ for x 031x

4 34 3−

4 3− 4 3

95



Opgave 7A (Svarende til 23. maj 2003)

En cricketklub ønsker at nedlægge drænrør i en bane over en strækning på 45 m. Drænrøret skal kobles på en brønd 0,8 m under jorden, som vist på fi guren. Det oplyses, at banen falder ned mod brønden, således at vinklen ved brønden bliver 97° – svarende til vinkel C på fi guren. På fi guren svarer faldet på drænrøret til størrelsen af vinkel A.

a) Beregn faldet på drænrøret.

For at kunne bestemme hvor meget jord, der skal graves væk, ønsker cricketklubben at beregne arealet af trekanten ABC på fi guren.

b) Beregn arealet af trekant ABC.

Cricketklubben overvejer at dræne en længere strækning end de oprindelige 45 m. Vinklen ved brønden vil stadig være 97°.

c) Hvor lang en strækning kan cricketklubben dræne, hvis faldet på drænrøret skal være på 2° ?

Løsning:Opg. 7A:

Skitse:

a) Faldet på drænrøret (b = 45 m og a = 0,80 m)

Dvs.

Altså er faldet på drænrøret ca. 1,01º.

220,80 cm

Figuren er ikke målfast

Drænrør

97°

Cricketbane = Jordoverflade

45 mBrønd

C

B

A

Figur 52

220,80 cmDrænrør

97°

Cricketbane = Jordoverflade

45 mBrønd

C

B

A

2 2 2 2 2

2 2

c a b 2ab C c a b 2ab C

0 80m 45m 2 0 80m 45m 97 45 10449

( )cos( ) cos( )

( , ) ( ) , cos( ) ,

+

−= + − ⋅ ⇔ = + − ⋅ =

+ − ⋅ ⋅ ⋅ ° ≈2 2 2 2 2 2b c a 45m 45 10449m 0 80mA

2bc 2 45m 45 10449m( ) ( , ) ( , )cos( )

,+ − + −

= = ⇔⋅ ⋅

2 2 21 45m 45 07677m 0 80mA 1 009

2 45m 45 07677m( ) ( , ) ( , )cos ,

,− ⎛ ⎞+ −

= ≈ °⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

96



b) Arealet af ΔABC er:

c) Hvis A = 2º, a = 0,80m og C = 97º: Skitse:

Benyttes sinusrelationerne fås:

Altså kan Klubben kun dræne en strækning på 22,64 m, hvis faldet bliver 2º.

Opgave 7A (Svarende til 3. marts 2003)

Til beregning af indkomstskat i staten Mikroput benyttes den stykkevis lineære funktion f . Beregningen af skatten sker på grundlag af indkomsten x.

Om f oplyses:

1. Af indkomsten op til 40.000 kr. betales 10% i skat.2. Af den del af indkomsten, der ligger mellem 40.000 kr. og 150.000 kr. betales 50% i skat.3. Af den del af indkomsten, der ligger over 150.000 kr. betales 60% i skat.

21ABC 2 97 0 80m 45m 17 87msin( ) , ,ΔΤ = ⋅ ° ⋅ ⋅ ≈

C

B

Ab = ?

B 180 A C 180 97 2 81( ) ( )∠ = °− + = ° − ° + ° = °

B A B a 81 0 80mb 22 64mb a A 2

sin sin sin sin( ) , ,sin sin( )

⋅ ° ⋅= ⇔ = = ≈

°

97


KarriereplatformenShippingbranchen er en unik mulighed for dig, hvis du sigter mod en fremtid, hvor ikke to dage er ens. Ønsker du samtidig en intensiv uddannelse, der kombinerer praktik og teori på højt plan, vil du få et godt fundament for din fremtidige karriere i international shipping.

Fra vort hovedkontor i København får du hele verden som arbejdsplads. Du kommer hurtigt til at indgå i et team med dygtige og engagerede kolleger i et inspirerende arbejdsmiljø.

Vi kan tilbyde vore kommende trainees forskellige udgangs-punkter for en fremtidig karriere.

Tre spændende uddannelsesprogrammerRederiet søger shipping trainees, en trainee til rederiets bunkers-afdeling samt trainees til økonomiafdelingerne.

Læs mere om alle tre uddannelser og adgangskrav under career opportunities på www.j-lauritzen.com.

Hvorfor vælge J. Lauritzen?Vi arbejder med udgangspunkt i en ambitiøs vision om kontinu-erligt at levere ”world-class” til vore kunder og samarbejdspart-nere, og visionen understøttes af et stærkt værdigrundlag. J. Lauritzen er et af de ældste rederier i Danmark, som har stærk fokus på udvikling og drives efter moderne forretningsprincipper.

Tillid og respekt er i højsædetUd over et intensivt uddannelsesforløb tilbyder vi gode ansæt-telsesvilkår, sundhedsforsikring, god frokostordning samt mange sociale aktiviteter efter arbejdstid. Vi kan eventuelt også hjælpe med en studielejlighed.

Dit udgangspunktDu har som minimum en HHX eller HH-fagpakken efter din STX - med et tilfredsstillende eksamensresultat. International handel og økonomi har din store interesse, og du har disse fag samt matematik på min. B-niveau samt engelsk på A-niveau. Herud-over har du måske nogen erhvervserfaring eller har opholdt dig i udlandet i en periode. Som person er du ambitiøs, udadvendt og ivrig efter at tilegne dig ny viden.

AnsøgningSend din motiverede ansøgning senest den 15. februar 2009 mærket ”Trainee” og bilagt relevante eksamenspapirer til [email protected]. Husk at anføre, om du ønsker at blive ship-ping-, økonomi- eller bunkers-trainee. Har du spørgsmål, er du velkommen til at kontakte HR-konsulent Dorthe Olsen på 3396 8426 eller underdirektør Tove E. Nielsen på 3396 8422 eller send en mail til [email protected].

Lad drømmen blive til virkelighed...Trainees til international shipping

Danske rederier transporterer mere end 10% af verdenshand-len, og J. Lauritzen A/S er blandt de førende med globale aktivite-ter inden for søtransport af tørlast (Lauritzen Bulkers), fl ydende petrokemisk gas (Lauritzen Kosan) samt raffi nerede olieprodukter og kemikalier (Lauritzen Tankers). JL er endvidere beskæftiget inden for offshore-industrien med specialskibe. JL beskæftiger ca. 650 personer og ejer og opererer en samlet fl åde på omkring 240 skibe, inkl. nybyg-ninger, omfattende tørlastskibe, gas- og produkttankskibe samt specialskibe. For yderligere information om JL, se www.j-lauritzen.com

OCEANS OF KNOW-HOW

Klik

på

rekl

amen



a) Beregn skatten f (x) ved en indkomst x på henholdsvis 40.000 kr., 150.000 kr. og 200.000 kr.

b) Bestem en forskrift for f .

Skatten for en bestemt person var 50.000 kr., altså f (x) = 50.000.

c) Beregn denne persons indkomst x.

Løsning:Opg. 7A:

f er stykkevis lineær og benyttes til beregning af indkomstskat. Om f oplyses: 1. Af indkomsten indtil 40.000 kr. Betales 10% i skat. 2. Indkomst mellem 40.000 kr. og 150.000 kr. betales 50% i skat. 3. Indkomst over 150.000 kr. betales 60% i skat.

a) f(40000) = 40000 kr. ·10% = 4000 kr. f(150000) = 4000 kr. + (150000 kr. – 40000 kr.) ·50% = 59000 kr. f(200000) = 4000 kr. + 59000 kr. + (200000 kr. – 150000 kr.) ·60% = 93000 kr.

b)

c) Skatten for en person var f(x) = 50000. Personens indkomst var. x antages : f(x) = 50000

(Heraf ses at x tilhører det rigtige interval.)

Opgave 7B (Svarende til 17. marts 2003)

En harmonisk svingning h med perioden er givet ved forskriften h(x) = a · sin(bx) + d , x [0 ; 2π]

a) Bestem tallet b .

Det oplyses, at a > 0 og at Vm(h) = [–4 ; 2].

b) Bestem tallene a og d .

x 0 10f x 4000 x 40000 0 50

63000 x 150000 0 60

, for x [0; 40000]( ) ( ) , for x ]40000; 150000]

( ) , for x ]150000; [

⋅ ∈⎧⎪= + − ⋅ ∈⎨⎪ + − ⋅ ∈ ∞⎩

]40000; 150000]∈

4000 x 40000 0 5 50000 0 5x 20000 46000 0 5x 66000( ) , , ,⇔ + − ⋅ = ⇔ − = ⇔ =

x 132000⇔ =

∈

98

2π



Løsning:Opg. 7B:

En harmonisk sving h med perioden er givet ved: h(x) = a·sin(bx) + d, x [0 ; 2π]

a) Da

a > 0 og Vm(h) = [–4; 2]

d

a = | -4 - d | = | 2 - d | = 3

Opgave 7A (Svarende til 19. maj 2004)

Et polygonområde er fastlagt ved følgende uligheder:

1. x ≤ 60 2. y ≤ x + 80 3. y ≤ – x + 110 4. y ≥ 40 5. y ≥ – x + 50

a) Indtegn polygonområdet i et almindeligt koordinatsystem.

En lineær funktion f i to variable er givet ved f (x, y) = 6x + 3y , x R og y R

b) Indtegn niveaulinjerne svarende til f (x, y) = 210 og f (x, y) = 360, koordinatsystem som polygonområdet.

c) Bestem størsteværdien af f inden for polygonområdet.

Løsning:Opg. 7a:

Et polygonområde er fastlagt ved følgende uligheder:

1. x ≤ 60 2. y ≤ x + 80 3. y ≤ – x + 110 4. y ≥ 40 5. y ≥ – x + 50

∈

122

224

−=−

=+−

=

∈ ∈

2T b 42 bπ π

= = ⇔ =

99

2π



a) og b) Nedenfor er polygonområdet og niveaulinierne svarende til f(x, y) = 210 og f(x, y) = 360 indtegnet i samme koordinatsystem.

c) Af diagrammet ses, at funktionen f antager større værdier jo længere grafen for f forskydes i NØ- retning. Optimum vil derfor være på randen af polygonområdet. Man er derfor nødt til at undersøge de tre mulige optimums. - Det ene mulige optimum er skæringen mellem begrænsning 2 og 3. Disse sættes derfor lig med hinanden: x + 80 = –0,5x + 110 x = 20 indsættes i begrænsning 2: y = 20 + 80 = 100. Funktionsværdien er f(20, 100) = 6·20 + 3·100 = 420 - Det andet mulige optimum er mellem begrænsning 1 og 3. x = 60 (begrænsning 1) indsættes i begrænsning 3: y = –0,5·60 + 110 = 80. Funktionsværdien er f(60, 80) = 6·60 + 3·80 = 600. - Det tredje mulige optimum er mellem begrænsning 1 og 4, svarende til x = 60 og y = 40, med funktionsværdien f(60, 40) = 6·60 + 3·40 = 480.

Altså er af størsteværdien f indenfor polygonområdet 600.

0

20

40

60

80

100

120

140

-40 -20 0 20 40 60 80

1

2

3

4

5

210

360

Figur 53

⇔

100


Klik

på

rekl

amen



Opgave 7A (Svarende til 6. januar 2003)

En virksomhed producerer varen IRL. Omkostningerne afhænger af antallet af producerede enheder og kan beskrives ved funktionen f :

f(x) = 0,04x3 – 0,61x2 + 7x + 50 , x [0 ; 25] hvor x angiver antal producerede enheder.

Alle de producerede enheder kan sælges. Salgsprisen pr. enhed IRL er afhængig af det solgte antal enheder og kan beskrives ved funktionen g: g(x) = –x + 26 , x [0 ; 25] hvor x angiver antal solgte (= antal producerede) enheder.

Omsætningen h(x) kan bestemmes som “antal solgte enheder” gange “salgspris pr. enhed”.

a) Bestem en forskrift for omsætningen h. Overskuddet k(x) kan bestemmes som “omsætning” minus “omkostninger”.

b) Bestem en forskrift for overskuddet k.

c) Beregn det antal enheder af IRL, der giver det største overskud.

Løsning:Opg. 7A:

f(x) = 0,04x3 – 0,61x2 + 7x + 50, x [0 ; 25] g(x) = –x + 25, x [0 ; 25]

a) h(x) = x·g(x) = –x2 + 25x

b) k(x) = h(x) – f(x) = –x2 + 25x – (0,04x3 – 0,61x2 + 7x + 50) = –x2 + 25x – 0,04x3 + 0,61x2 – 7x – 50 = –0,04x3 – 0,39x2 + 18x – 50

c) k’(x) = –0,12x2 – 0,78x + 18 = 0

Da x [0 ; 25] er kun x = 9 en løsning. f’(9) = –0,12·(9)2 – 0,78·9 + 18 = 1,26 > 0 f’(15) = –0,12·(15)2 – 0,78·15 + 18 = –20,7 < 0 Altså har k(x) maximum i ca. x = 9. Dermed giver 9 enheder det største overskud.

∈

∈

∈∈

∧=⋅−⋅−−=⇔ 2484,918)12,0(4)78,0( 2d

⎩⎨⎧−

≈−±

=−⋅±−−

=916

24,0041,378,0

)12,0(22484,9)78,0(x

∈

101



Opgave 8A (Svarende til 15. september 2004)

Funktionen f er givet ved f (x) = x3 + x2 + ax + b

Det oplyses, at f ’(–2) = 8 og f (–2) = –3

a) Bestem tallene a og b .

b) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet (–2 ; f (–2)).

Løsning:Opg. 8A:

f (x) = x3 + x2 + ax + b f’(–2) = 8 og f(–2) = –2

a) f’(x) = 3x2 + 2x + a f’(–2) = 3·(–2)2 + 2·(–2) + a = 8 a = 8 – 12 + 4 = 0 f(–2) = (–2)3 +(–2)2 + (–1) ·(–2) + b = –3 –8 + 4 + 2 + b = –3 b = –1

b) y – f(–2) = f’(–2)(x – (–2)) y + 3 = 8 (x – (–2)) y + 3 = 8x + 16 y = 8x + 13 er tangent til f i (–2, f(–2)).

⇔⇔

⇔ ⇔

102


opsummerende matematik - free-learning · download gratis bøger på ventus.dk / bookboon.com 1....

Documents