Opticna fazna konjugacija

Avtor: Mojca Rangus Mentor: doc. dr. Igor Poberaj

1.4.2004

Povzetek

Proces opticne fazne konjugacije so prvic odkrili pred priblizno tridesetimi leti. Faznikonjugator nam laserski zarek obrne in fazno konjugira. Le ta se po odboju siri v smeriiz katere je prisel in proces lahko nekako primerjamo z obratom casa. V praksi je najboljzanimiva aplikacija, ki nam popacene valovne fronte laserskega zarka popravi in jim vrneprvotno obliko.

Kazalo

1 Uvod 2

2 Opticna fazna konjugacija 2

3 Stirivalovno mesanje 43.1 Degenerirano stirivalovno mesanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Nedegenerirano stirivalovno mesanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Stimulirano Brillouinovo sipanje 7

5 Uporaba 9

1

1 Uvod

Pred priblizno stiridesetimi leti so iznasli prve laserje in zaradi njihovih izjemnih lastnostise je njihova uporaba hitro sirila na cedalje vec podrocij. Hkrati pa so se pojavile tudinove zahteve po se boljsih laserjih s cim vecjo izhodno mocjo in cim pravilnejso valovnofronto. Oboje hkrati pa je izjemno tezko zagotoviti, saj sproscena toplota v laserju zveliko povprecno mocjo v opticno aktivni snovi povzroci mocne temperaturne gradiente,kar popaci valovne fronte in depolarizira izhodni zarek [1].

Ena izmed pripravnejsih resitev je, da si pomagamo z opticno fazno konjugacijo.Zarek posljemo skozi aktivno sredstvo, ki ga ojaci (mu poveca moc), vendar s tem tudipopacimo valovne fronte. Snop svetlobe nato vodimo na fazno konjugirano zrcalo, kinam zarek odbije podobno kot navadno zrcalo, le da ima v nasem primeru odbiti zarekkonjugirano fazo. Ko se sedaj nas zarek vraca skozi opticno aktivno snov, se popacenjaravno odstejejo in na izhodni strani dobimo spet pravilen snop z veliko vecjo mocjo [2].

Najpreprosteje opticno fazno konjugacijo dobimo na dva nacina. Prvo metodo, stim-ulirano Brillouinovo sipanje, sta najprej opisala Zeldovich in Nosach. Helwarth je prvipredlagal stirivalovno mesanje kot nacin fazne konjugacije. Yariv in Pepper sta natopokazala, da je s stirivalovno fazno konjugacijo mozno ojacati vpadno elektromagnetnovalovanje in ga hkrati tudi kompleksno konjugirati. Stimulirano Ramanovo sipanje kotse en nacin za opticno fazno konjugacijo pa je prvi opisal Zeldovich s sodelavci.

V seminarju se bomo najprej posvetili opisu pojava opticne fazne konjugacije nasplosno, nato pa bomo se podrobneje opisali nekatere pojave s pomocjo katerih jo na-jveckrat dobimo. Na koncu pa bomo povedali se nekaj o moznostih uporabe opticnefazne konjugacije in napravah, ki ta proces uporabljajo.

2 Opticna fazna konjugacija

Pred nekaj vec kot 30. leti so Zeldovich in sodelavci prvic opisali pojav, ki ga danespoznamo kot Opticno fazno konjugacijo. Opticni val vpada na snov z nelinearnostjotretjega reda χ(3) in se tam ”odbije”, podobno kot na navadnem zrcalu (Sl. 1). Razlikaje, da ima odbiti val lastnosti fazno konjugiranega vpadnega vala [3].

Poglejmo si primer fazno konjugiranega vala bolj podrobno. Zacnemo z navadnimravnim vpadnim elektromagnetnim valom, ki se siri vzporedno z osjo z:

Ei = Ai exp i(ω0t− kiz) . (1)

Ko se le ta na fazno konjugiranem zrcalu odbije, ima odbiti val obliko:

Ec = A∗i exp i(ω0t + kiz) (2)

z amplitudoA∗i , ki je kompleksno konjugirana amplitudi Ai. Iz zgornje enacbe je tudi

razvidno, da se odbiti val siri v smeri −z.Opazimo, da lahko odbiti val Ec dobimo tudi tako, da prostorske komponente ob-

drzimo iste in obrnemo cas. Pravimo tudi, da Ec dobimo tudi z obratom casa.Zeldovich in sodelavci so opticno fazno konjugacijo odkrili v povezavi s stimuliranim

Brillouinovim sipanjem. Tu se vpadni opticni zarek na akusticnem vali v snovi sipain sipanje se v smeri nazaj ojaci. Ven dobimo fazno konjugirani zarek. Proces pa jemogoc le, ce ima vpadni opticni zarek dovolj veliko intenziteto, da povzroci stimuliranoBrillouinovo sipanje [2].

Opticno fazno konjugacijo lahko dobimo na vec razlicnih nacinov. Najenostavnejefazno konjugirani val dobimo s pomocjo stirivalovnega mesanja. Tu imamo vpadni val,

2

ki pa ponavadi nima zelo velike intenzitete, ter dva crpalna zarka z vecjo mocjo. Rezultatje fazno konjugirano valovanje, ki potuje v nasprotni smeri kot vpadni zarek.

Kot se enega izmed nacinov, s pomocjo katerih lahko dobimo fazno konjugiran opticnival naj omenim se stimulirano Ramanovo sipanje.

Opticno fazno konjugacijo uporabljajo predvsem za korekcijo valovnih front [1].Vzemimo ravni val, ki vpada na neko snov, ki valovne fronte vala popaci. Taka snovje lahko kateri koli opticni element, recimo leca ali koscek stekla, ki seveda nikoli nemore biti povsem brez napak. Zato nam le ta pri prehodu zarka skozenj valovno frontovedno malo popaci. Ce torej tak zarek s popaceno valovno fronto vodimo naprej nafazno konjugirano zrcalo, se nam na njem odbije in fazno konjugira ter se vrne po istipoti. Pri vnovicnem prehodu skozi isto snov, se prostorske nepravilnosti ravno odstejejoin ob izstopu imamo spet val z ravno valovno fronto (Sl. 2).

Slika 1: Odboj opticnega zarka na navadnem zrcalu a) in na faznem konjugatorju b).

Druga moznost uporabe je dinamicna holografija [2]. Podobno kot pri obicajnemholografskem postopku, tudi tu dobimo interferencni zapis, ki vsebuje podatke o sliki, leda ga ne posnamemo na fotografski film. Interferencna slika se pojavi v nelinearni snoviin se s spreminjanjem slike, ki jo nosi vpadni opticni val, tudi sama spreminja. Takemuhologramu zato pravimo dinamicni hologram. Izstopni fazno konjugirani zarek pa jeanalogen zarku-sliki, ki jo dobimo, ko na fotografski film posvetimo z lasersko svetlobo(tudi v tem primeru dobimo fazno konjugirani zarek) [3].

Slika 2: Korekcija valovnih front s pomocjo opticne fazne konjugacije. Opticni zarek najprejpotuje skozi snov, ki ga popaci. Zarek nato odbijemo na fazno konjugiranem zrcalu in posljemopo isti poti nazaj. Nepravilnosti v snovi se odstejejo in dobimo opticni zarek z ravnimivalovnimi frontami.

3

3 Stirivalovno mesanje

Kot sem ze zgoraj omenila imamo pri stirivalovnem mesanju stiri zarke (vpadni, dvacrpalna z vecjo intenziteto in konjugirani zarek), ki se ”mesajo”v snovi z nelinearnostjotretjega reda χ(3) [4]. Crpalna opticna zarka sta vzporedna in nasprotno usmerjena zenako frekvenco ω. Vpadni zarek E4, tudi s frekvenco ω, in eden izmed crpalnih zarkov,v nelinearni snovi interferirata. Zaradi interference je intenziteta svetlobe v snovi narazlicnih mestih razlicna, to pa povzroci variacijo lomnega kolicnika nelinearne snovi.Tako dobimo nekaksno dvodimenzionalno opticno uklonsko mrezico, na kateri se uklonidrugi crpalni zarek [5]. Rezultat je fazno konjugirano valovanje E4, ki je vzporednovpadnemu valu E3, vendar ima nasprotno smer (Sl. 3).

Najprej si poglejmo lastnosti nelinearne snovi. Polarizacijo snovi lahko razvijemo vvrsto:

P(~r, t) = ε0χ(1)E + ε0χ

(2)E2 + ε0χ(3)E3 + . . . , (3)

kjer je χ(n) elektricna susceptibilnost n-tega reda. Polja konjugiranih, vpadnih in crpal-nih opticnih valov so:

E3,4 = A3,4(z) ei(ωt±kz) + c.c. (4)

E1,2 = A1,2(r) ei(ωt±~k·~r) + c.c. (5)

Polarizavcijo nelinearne snovi tretjega reda lahko sedaj zapisemo kot:

P (ω3 = ω1 + ω2 − ω4) = χ(3) A(ω1)1 A

(ω2)2 A

∗(−ω4)4 ei(ω1+ω2−ω4)t e−i[(~k1+~k2)~r+kz] + c.c. (6)

Tu sedaj lahko locimo dva primera. V prvem imajo vsa stiri opticna valovanja enakofrekvenco ω, crpalna zarke sta nasprotno vzporedna in konjugirani opticni zarek je pointenziteti enak vpadnemu. Temu primeru pravimo degenerirano stirivalovno mesanje,ker so vse stiri frekvence enake.

Drug primer je nedegenerirano stirivalovno mesanje [3]. Tu sta frekvenci obeh crpal-nih zarkov se vedno enaki (ω), vendar le ta nista vec vzporedna. Rezultat je ojacanjekonjugiranega zarka, ali pa vpadnega zarka na izstopni strani nelinearne snovi. V temprimeru je tudi reflektivnost konjugiranega zrcala lahko vecja od 1. Za to potrebnoenergijo dobimo iz crpalnih valovanj.

Slika 3: Shematicni prikaz stirivalovnega mesanja. Na nelinearno snov vpadajo laserski zarekin dva crpalna zarka, iz snovi v prostor pa se sirita konjugirani in prepusceni zarek.

4

3.1 Degenerirano stirivalovno mesanje

Zapisimo se enkrat elektricno poljsko jakost obeh crpalnih zarkov ter konjugiranega invpadnega valovanja. Crpalna zarka imata oba enako frekvenco ω in prav tako tudivpadni opticni zarek [6].

E1,2 =12A1,2(r) ei(ωt±~k·~r) + c.c. (7)

E3,4 =12A3,4(z) ei(ωt±kz) + c.c. (8)

Ce sedaj upostevamo, kar nam veleva zakon o ohranitvi energije ω3 = ω1 + ω2 − ω4, daso vse stiri frekvence enake, je polarizacija nelinarne snovi tretjega reda za konjugiraniin vpadni zarek:

P (ω3 = ω + ω − ω) =12χ(3) A1A2A

∗4 ei(ωt+kz) (9)

P (ω4 = ω + ω − ω) =12χ(3) A1A2A

∗3 ei(ωt−kz) (10)

Za konstantni amplitudi crpalnih zarkov A1 in A2 zapisemo valovno enacbo za polji E3

in E4 takole:

∇2Ei = µ0ε∂2Ei

∂t2+ µ0

∂2Pi

∂t2, i = 3, 4 . (11)

V aproksimaciji pocasi spreminjajoce se amplitude: ∂2Ai∂z2 k ∂Ai

∂z , i = 3, 4 iz enacbe(11) dobimo:

∂A3

∂z= i

ω

2

õ0

εχ(3) A1A2A

∗4 e−i(~k1+~k2−~k3−~k4)·~r = iκA∗

4 (12)

∂A∗4

∂z= iκA3 (13)

Od tu sledi pogoj: ~k1 + ~k2 = ~k3 + ~k4. Ker je ~k1 + ~k2 = 0 ze po definiciji sledi, da jetudi ~k3 + ~k4 = 0. Od tod je razvidno, da sta vpadni in konjugirani zarek res nasprotnovzporedna z enako velikima valovnima vektrojema, saj imata po prejsnjem pogoju enakitudi frekvenci (Sl. 4).κ pravimo sklopitvena konstanta in je:

κ =ω

2

õ0

εχ(3) A1A2 . (14)

Sklopljeni valovni enacbi (12) in (13) lahko resimo za A3 in A∗4 ce izberemo primerne

robne pogoje. Za E3(L) = 0 so resitve:

A3(z) =iκ∗ sin [| κ | (z − L)]A∗

4(0)| κ | cos (| κ | L)

(15)

A∗4(z) =

cos [| κ | (z − L)]A∗4(0)

cos (| κ | L)(16)

Tako dobimo tudi izraza za reflektivnost in transmisivnost:

R =| A3(0)A∗

4(0)|2= tan2 (| κ | L) (17)

5

T =| A∗4(L)

A∗4(0)

|2= 1cos2 (| κ | L)

(18)

Slika 4: Valovni vektorji vseh stirih opticnih zarkov v degeneriranem primeru.

3.2 Nedegenerirano stirivalovno mesanje

Nedegenerirano stirivalovno mesanje se od degeneriranega razlikuje po tem, da v temprimeru crpalna valova nista vec vzporedna, ampak imata vsoto gibalne kolicine, kije v smeri z zazlicna od nic [3]. Se vedno pa imata enako frekvenco ω. Nenicelnagibalna kolicina crpalnih valov ustreza ravno razliki frekvenc vpadnega in konjugiranegavalovanja ω4 in ω3. Energija se iz crpalnih valov tako prenasa v konjugirani val alivpadni val na izstopni strani nelinearne snovi (Sl. 5). Se vedno namrec valja enacba:

2ω = ω3 + ω4 , (19)

le da sedaj ω3 in ω4 nista vec enaki.Vse skupaj povzroci, da dobimo fazno ujemanje samo v eni smeri sirjenja vpadnega

zarka skozi nelinearno snov. To pa nam predstavlja dodaten pogoj.V nedegeneriranem primeru stirivalovnega mesanja lahko dosezemo reflektivnosti in

transmisivnosti, ki so vecje od 1. Na primer za

π/4 <| κ | L < 3π/4 dobimo | A3(0) |>| A∗4(0) | in

R > 1 .

6

Slika 5: Valovni vektorji vseh stirih opticnih zarkov v nedegeneriranem primeru stirivalovnegamesanja.

4 Stimulirano Brillouinovo sipanje

Stimulirano Brillouinovo sipanje je pravzaprav sipanje vpadnega laserskega zarka sfrekvenco ωL na modulacijah dielektricne konstante nelinearne snovi, ki nastanejo zaradiakusticnega vala [7]. Akusticni val ima frekvenco ΩB in se premika s hitrostjo zvoka vsnovi v isto smer kot vpadno lasersko valovanje. Sipano vpadno valovanje ali Stokesovval se na akusticnem valu se ojaci v smeri nazaj. Zaradi Dopplerjevega premika imanekoliko nizjo frekvenco, ki ji pravimo tudi Stokesova frekvenca ωS = ωL − ΩB (Sl. 6).

Slika 6: Vpadno lasersko valovanje se v snovi sipa na akusticnem valu. Sipani Stokesov val,pa je fazno konjugiran vpadnemu.

Proces stimuliranega Brillouinovega sipanja se najprej zacne s spontanim sipanjemvpadnega laserskega zarka v snovi. Vpadno in sipano opticno valovanje zacneta interferi-rati, kar zaradi razlik v intenziteti svetlobe v snovi sprozi nastanek akusticnega vala [8].Vpadni laserski zarek se na nastalem zvocnem valovanju (modulacijah lomnega kolicnikasnovi) mocneje sipa in amplituda sipanega vala vedno hitreje narasca. Tako postane tudiintenziteta svetlobe v interferenci laserskega in Stokesovega valovanja vedno mocnejsa.

7

Material se na to odzove tako, da ojaci akusticno valovanje. Imamo princip vzajemnegaojacevanja dveh opticnih in akusticnega vala, ki povzroci eksponentno rast amplitudeStokesovega vala. Akusticni val so ojacuje, dokler se njegova amplituda ne ustali pridoloceni vrednosti, ki je nekoliko nizja od amplitude vpadnega vala [7].

Do stimuliranega sipanja pravzaprav pride, ker interferenca laserskega in Stokesovegavala vsebuje frekvencno komponento, ki je enaka razliki ωL −ωs, kar je ravno frekvencazvocnega vala ΩB.

Stimulirano Brillouinovo sipanje lahko temelji na dveh razlicnih procesih: elek-trostrikciji ali pa absorpciji svetlobe v snov.Pri pojavu elektrostrikcije se na mestih povecane intenzitete svetlobe zaradi interfer-ence pojavijo zgoscenine. Gostota se na teh mestih poveca, kar lokalno spremeni lomnikolicnik nelinearne snovi.Pri absorpciji svetlobe je ravno nasprotno. Na mestih povecane intenzitete se zaradiabsorpcije svetlobe v snovi poveca sprosceva toplota in snov se na teh mestih razteza,kar spet vodi do variacij lomnega kolicnika.

Jakost elektricnega polja laserskega in Stokesovega vala sta oblike:

E = E0 e−iωt + c.c. (20)

Zaradi interference v nelinearni snovi, imamo na nekaterih mestih intenziteta svetlobevecja kot na drugih, kar zaradi elektrostrikcije vodi do variacij v gostoti. Na mestih zvecjo intenziteto svetlobe se gostota nelinearne snovi poveca:

∆ρ = ρ CT γe〈E2〉8π

(21)

CT = 1ρ

[∂ρ∂p

]je stisljivost snovi, γe = ρ

[∂ε∂ρ

]pa elektrostrikcijska konstanta.

Kot posledica variacij gostote se spremenijo tudi opticne lastnosti snovi kot na primerelektricna susceptibilnost:

∆χ =∆ε

4π=

116π2

CT γ2eE ·E∗ , (22)

kjer je ∆ε =[

∂ε∂ρ

]∆ρ.

Ce sedaj zgornjo enacbo primerjamo s formulo za polarizacijo snovi z nelinearnostjotretjega reda:

P = χ(3) | E |2 E = ∆χE =1

16π2CT γ2

e | E |2 E , (23)

ugotovimo, da je susceptibilnost tretjega reda ravno:

χ(3) =1

16π2CT γ2

e . (24)

Medsebojne interakcije vseh treh valov lahko opisemo z ustreznimi valovnimi enacbami.S pomocjo aproksimacije pocasi spreminjajoce se amplitude dobimo sistem diferencialnihenacb za inteziteti obeh opticnih valov:

dI1

dz= −gI1I2 (25)

dI2

dz= −gI1I2 (26)

8

g v enacbah predstavlja ojacevalni faktor in ga opisemo z enacbo:

g = g0(ΓB)2

(ΩB − Ω)2 + (ΓB)2, (27)

kjer je ΓB koeficient dusenja akusticnega vala, Ω pa njegova frekvenca. Reciprocnavrednost ΓB pa je enaka zivljenskemu casu fonona τB. g0 je stacionarni ojacitvenifaktor in ga zapisemo kot:

g0 =γ2

eω2

nνc3ρ0ΓB. (28)

Pri konstantni intenziteti vpadnega valovanja I1 dobimo resitev:

I2(z) = I2(L)egI1(L−z) (29)

V nelinearni snovi imamo ob zacetku samo spontano sipanje. Intenziteti spontanosipanega vala in vpadnega laserskega valovanja sta pri z = L linearno odvisni:

I2(L) = fI1(L) .

Potem pa se s casom akusticni in sipani Stokesov val medsebojno ojacita.Reflekktivnost stimuliranega Brillouinovega sipanja zapisemo kot:

R ≡ I2(0)I1(0)

= fgG (30)

kjer je G = gI1(0)L in mu pravimo stacionarni ojacitveni koeficient sibkega signala.Empiricni rezultati nam povedo, da mora biti to ojacenje vecje od ojacenja praga Gth,kjer je R = 0.001, ce hocemo v nelinearni snovi dobiti stimulirano Brillouinovo sipanje.Za vecino snovi je ojacenje praga priblizno enako Gth = 25.Enacba za relativni stacionarni ojacitveni koeficient sibkega signala je:

G

Gth=

G−1th ln (R + 1)

1−R. (31)

Pri G < Gth sipane Stokesove svetlobe ne dobimo, ko pa dosezemo prag, zacne reflek-tivnost hitro narascati. Za G Gth se R asimptotsko pribliza 1.

Ocenimo se moc laserja, ki jo potrebujemo, da v snovi z nelinearnostjo tretjega redavzpodbudimo stimulirano Brillouinovo sipanje. Privzamemo, da je laserski snop Gaussovz intenziteto I = P

πw20, kjer je w2

0 sirina grla. Interakcijska dolzina je enaka karakteristicni

dolzini popacenja zarka b = 2πw20

λ . Najmanjza moc, potrebna za stimulirano Brillouinovosipanje je torej:

Pth =Gthλ

2g. (32)

5 Uporaba

Kot je bilo omenjeno ze zgoraj, je najpogostejsi nacin uporabe opticne fazne konjugacijekorekcija valovnih front laserja, ki se popacijo pri prehodu zarka skozi snov [3].Najpogosteje zelimo povecati moc laserja, hkrati pa se nam zaradi nestalih temper-aturnih razlik v aktivni snovi spremeni lomni kolicnik in valovne fronte se popacijo. Spomocjo opticne fazne konjugacije lahko opticnemu zarku, ki ima sedaj mnogo vecjomoc, povrnemo prvotno obliko.

9

Slika 7: Laser z veliko izhodno mocjo in enim konjugiranim zrcalom nanesto obicajnega a)inojacevalni sistem navadnega laserskega zarka s pomocjo opticne fazne konjugacije b).

Eden izmed nacinov je, da pri navadnem laserju namesto enega obicajnega zrcalauporabimo fazno konjugirano zrcalo. Izhodna moc laserja je velika zaradi mocnegacrpanja, hkrati pa se nam v aktivni snovi zaradi mocnih temperaturnih gradientov val-ovna fronta zarka popaci. Pri odboju na konjugiranem zrcalu in ponovnem prehoduskozi snov, se nam oblika valovne fronte popravi. Na ta nacin lahko izdelamo laser zveliko izhodno mocjo in dokaj pravilnimi valovnimi frontami. Shematski prikaz takegalaserja vidimo na sliki (Sl. 7a)).

Slika 8: Na levo vidimo obliko prvotnega laserskega zarka, ki se pri prehodu skozi snovpopaci (sredina). Skrajno desno je laserski zarek, ki je bil popravljen z metodo opticne faznekonjugacije.

Druga moznost je, da za izvor opticnega zarka uporabimo navadni laser z nizkoizhodno mocjo. Zarek nato ojacimo v aktivnem sredstvu, ki pa ga tudi popaci. Zdvojnim prehodom skozi aktivno snov in odbojem na fazno konjugiranem zrcalu sezarek ojaci in hkrati ohrani prvotno obliko (Sl. 7b)).

Obliko opticnega zarka lahko s fazno konjugacijo dokaj dobro popravimo. O temdobro prica slika (Sl. 8), ki prikazuje zacetno, popaceni in regenerirano obliko laserskegazarka.

10

Literatura

[1] D.A. Rockwell, IEEE J. Quantum Electron. 24 (1988); 1124

[2] A. Yariv, IEEE J. Quantum Electron. 14 (1978); 650

[3] J.-P. Huignard, A. Brignon, Phase Conjugate Laser Optics, John Wiley and Sons,Inc. (2004)

[4] A. Yariv, D.M. Pepper, Opt. Lett. 1 (1977); 16

[5] A.E. Neeves, M.H. Birnboim, J. Opt. Soc. Am. B 5 (1988); 701

[6] M.H. Farzad, M.T. Tavassoly, J. Opt. Soc. Am. B 14 (1997); 1707

[7] I. Poberaj, C. Medrano, M. Zgonik, P. Guenter, Study and Development of Wavefront Reversing Mirrors (1996)

[8] A.M. Scott, K.D. Ridley, IEEE J. Quantum Electron. 25 (1989); 438

[9] M. Bose, P. Aghamkar, P.K. Sen, Phys. Rev. B 46 (1992); 1395

[10] A. Yariv, D. Fekete, D.M. Pepper, Opt. Lett. 4 (1979); 52

11