oscilaciones 1
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Fisica 1Es material del movimiento oscilatorioTRANSCRIPT
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1
OSCILACIONES
Luis francisco Garca Russi
Universidad industrial de Santander Facultad de Ciencias
Escuela de Fsica
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2
Al Dios vivo y Poderoso. Al Padre Glorioso que todo lo ve, todo lo oye, todo lo sabe, todo lo dirige. Al Incomparable, al Maravilloso, al Prodigioso Ser que nos dio la vida y la sostiene. Al Dios Soberano que nos da el alimento y concilia nuestro sueo. Al Omnipotente que esparce su blsamo amoroso prodigndonos paz, alegra y felicidad. Al Soberano Dios de infinita misericordia, que siempre
escucha nuestro clamor.
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3
Contenido
1 INTRODUCCIN ................................................................................................................................................... 8
1.2 MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE (M.A.S) ................................................................................ 9
1.2.1 ECUACIN DIFERENCIAL: ....................................................................................................... 12
1.2.2 SISTEMAS QUE DESCRIBEN UN MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE. ........ 14
1.2.2-1 PNDULO SIMPLE: .................................................................................................................... 15
1.2.2-2 SISTEMA MASA-RESORTE ................................................................................................... 29
1.2.2-3 PNDULO FSICO O PNDULO COMPUESTO: ......................................................... 35
1.2.2-4 PNDULO DE TORSIN........................................................................................................... 37
1.2.3 ENERGA PROMEDIO DE UN OSCILADOR ARMNICO SIMPLE: .................. 39
1.2.4 POTENCIA PROMEDIO DE UN OSCILADOR ARMNICO SIMPLE: ............... 40
1.2.5 ANALOGA ELCTRICA ............................................................................................................. 41
1.3 ANLISIS DE ROZAMIENTO .......................................................................................................................... 43
1.3.1 FUERZA DE FRICCIN VISCOSA: ............................................................................................. 44
1.3.2 ANALOGA ELCTRICA: ................................................................................................................. 47
1.4 MOVIMIENTO ARMNICO AMORTIGUADO LIBRE (M.A.A.L) ........................................... 49
1.4.1 CASO SOBREAMORTIGUADO: ................................................................................................... 52
1.4.2 CASO SUBAMORTIGUADO............................................................................................................ 54
1.4.3 CASO CRITICAMENTE AMORTIGUADO: ............................................................................. 59
1.4.4 ENERGIA PROMEDIO Y POTENCIA PROMEDIO DISIPADA: ................................... 66
1.4.5 FACTOR DE CALIDAD Q ................................................................................................................ 69
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4
1.4.6 ANALOGA ELCTRICA: ................................................................................................................. 71
1.5 MOVIMIENTO ARMNICO AMORTIGUADO FORZADO (M.A.A.F) .................................. 77
1.5.1 RESONANCIA EN LA AMPLITUD: ............................................................................................. 84
1.5.2 RESONANCIA EN LA ENERGIA: ................................................................................................ 87
1.5.3 POTENCIA PROMEDIO SUMINISTRADA ............................................................................... 89
1.5.4 ANALOGA ELCTRICA: ................................................................................................................ 93
1.6 SUPERPOSICIN DE MOVIMIENTOS ARMNICOS SIMPLES:..................................... 96
1.6.1 DE IGUAL DIRECCION E IGUAL FRECUENCIA: ................................................................ 96
1.6.2 DE IGUAL DIRECCIN Y DIFERENTE FRECUENCIA: ................................................ 101
1.6.3 MUTUAMENTE PERPENDICULARES DE IGUAL FRECUENCIA: ......................... 106
1.6.4 MUTUALMENTE PERPENDICULARES DE DIFERENTE FRECUENCIA: .......... 110
1.7 PROBLEMAS ............................................................................................................................................... 119
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5
OSCILACIONES
MOVIMMIENTOS
ARMNICOS
SUPERPOSICIN DE
MOVIMIENTOS
ARMONICO
De igual direccin
De igual
frecuencia
De diferente
frecuencia
Mutualmente perpendiculares
De igual
frecuencia
De diferente
frecuencia
Simple (M.A.S)
Amortiguador libre
(M.A.A.L)
Amortiguador forzado
(M.A.A.F)
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6
PASOS FUNDAMENTALES PARA EL ESTUDIO DE LOS
OSCILADORES ARMNICOS
A PARTIR DE
SEGUNDA LEY DE NEWTON PRINCIPIO DE CONSERVACIN DE LA
ENERGAECUACIN DINMICA DE ROTACIN OTROS MTODOS
SE OBTIENE LA ECUACIN DIFERENCIAL DE
MOVIMIENTO
SE PLANTEA SU SOLUCIN
SE DETERMINA LA FRECUENCIA NATURAL DE
OSCILACIN
SE REALIZA LA GRFICA DE LA ELONGACIN CONTRA
EL TIEMPO
SE HALLA LA ENERGA PROMEDIO EN UN CICLO
SE DETERMINA LA POTENCIA
PROMEDIO
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7
SISTEMAS OSCILATORIOS
LINEALES NO LINEALES
ARMNICO
VV
ANARMNICO
DESCRIBE UN MOVIMIENTO OSCILACIN
PERIDICO NO PERODO
BALANCIN DE UN RELOJ MOVIMIENTO SSMICO
MOVIMIENTO PERIDICO
OSCILATORIO NO OSCILATORIO
PENDULAR VIBATRORIO
CIRCUNFERENCIAL
UNIFORME
ELONGACIN
ANGULAR
ELONGACIN
LINEAL
PARA GRANDES ELONGACIONES SE
OBTIENE UN MOVIMIENTO ARMNICO
PARA PEQUEAS ELONGACIONES SE
OBTIENE UN MOVIMIENTO ARMNICO
SIMPLE (M.A.S).
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8
OSCILACIONES
1 INTRODUCCIN
Debido a que las estructuras y las mquinas experimentan cierto grado de vibracin, se hace indispensable para su diseo, considerar el comportamiento oscilatorio.
Generalmente los sistemas oscilatorios suelen clasificarse en lineales y no lineales. Cuando la amplitud de la oscilacin crece, los sistemas lineales tienden a volverse no lineales.
Los cuerpos que poseen masa y elasticidad son capaces de vibrar. Sus vibraciones pueden ser libres o forzadas. La vibracin es libre cuando el sistema oscila bajo la accin de fuerzas intrnsecas e inherentes al mismo, las cuales se denominan fuerzas recuperadoras (que pueden ser fuerzas elsticas como el caso de una masa suspendida en un resorte, fuerzas gravitacionales como en el caso de un pndulo).
La vibracin es forzada cuando actan fuerzas externas sobre el sistema. Si la fuerza externa es peridica el sistema vibra de acuerdo a la frecuencia impulsora, tambin llamada frecuencia de excitacin. La frecuencia de la fuerza externa o fuerza impulsora, no debe coincidir con ninguna de las fuerzas naturales del sistema, para evitar que se produzca el fenmeno de resonancia, caracterizado por oscilaciones de gran amplitud, que ordinariamente son las responsables de las fallas que se presentan en edificios, puentes, aeroplanos, vehculos espaciales y otras estructuras.
Los sistemas vibratorios tienen cierto grado de amortiguamiento; pero si este es pequeo, se puede ignorar en el clculo de las frecuencias.
Cuando el movimiento tiene lugar alrededor de una posicin de equilibrio fija en el espacio, hablamos de osciladores. Cuando las oscilaciones peridicas viajan de un lugar a otro, hablamos de ondas.
-
9
Muchos sistemas en la naturaleza se aproximan bastante al movimiento armnico simple (movimiento alrededor de una posicin de equilibrio, en la cual no acta fuerza neta sobre el sistema), el cual no es fsicamente realizable, porque tal movimiento tendra que haber empezado hace un tiempo infinitamente grande y podra continuar en el futuro hasta un tiempo infinito.
La importancia del estudio del movimiento armnico simple, tanto en fsica como en ingeniera, se debe no solamente al hecho de hacer una buena aproximacin a muchos procesos fsicos, sino que procesos ms complicados pueden ser estudiados, como si se tratara de varios movimientos armnicos actuando independientemente.
El movimiento oscilatorio se presenta en muchos sistemas; tal es el caso de las molculas de aire, que oscilan cuando transportan la onda sonora producida por una guitarra, el movimiento del pndulo de un reloj, las molculas del los slidos, que vibran alrededor de sus posiciones de equilibrio, los tomos de una molcula que vibran unos con respecto a otros, la rpida oscilacin de los electrones de una antena radiante o receptora, las corrientes de los circuitos elctricos que pueden cambiar de sentido y oscilar.
El movimiento oscilatorio puede repetirse regularmente como el caso de un balancn de reloj irregularmente como en el caso de los movimientos ssmicos.
Cuando el movimiento oscilatorio se repite a intervalos iguales de tiempo se denomina peridico y debe satisfacer la relacin )()( Ttxtx , donde )(tx , es la
funcin que designa el movimiento, y T es el perodo de oscilacin o tiempo requerido para que le sistema efecte un ciclo completo de movimiento.
Nuestro estudio lo limitaremos a los osciladores con un grado de libertad, es decir, aquellos que necesitan solamente una coordenada para describir su estado de movimiento.
1.2 MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE (M.A.S)
DEFINICIN 1: Una partcula que se mueve a lo largo del eje de las x tiene
un movimiento armnico simple cuando su desplazamiento x respecto al origen del
sistema de coordenadas, esta dado en funcin del tiempo por la relacin.
)( tsenAx
siendo:
t = Fase
= Fase inicial
-
10
A = Amplitud o mxima elongacin
x = Elongacin o desplazamiento
= Frecuencia angular (se expresa en rad/s)
= fT
22
T = Periodo (se expresa en s)
f = Frecuencia (se expresa en ciclos/s)
La velocidad de la partcula, se obtiene derivando el desplazamiento respecto al tiempo, as:
)cos(])([ tAtsenAdt
d
dt
dxv
La aceleracin se obtiene derivando la velocidad respecto al tiempo, as:
)(])(cos[ 2 tsenAtAdt
d
dt
dva
Por lo tanto:
xa 2 , lo cual significa que la aceleracin es proporcional y opuesta al
desplazamiento.
DEFINICIN 2: El desplazamiento de una partcula que se mueve con Movimiento Armnico Simple, puede considerarse como la componente x de un
vector PO de magnitud A , que rota alrededor de O en sentido contrario de las
agujas del reloj con velocidad angular y formando a cada instante un ngulo
t + con el eje negativo y , como se ilustra en la fig. (1.2-1).
-
11
Figura (1.2-1): Vector rotante OP de magnitud A que determina el desplazamiento en el M.A.S
Los vectores rotantes AOyOV , cuyas magnitudes son A y 2 A
representan la velocidad y la aceleracin de la partcula, cuyas componentes a lo largo del eje x dan las componentes de la velocidad y la aceleracin, como puede
apreciarse en la figura (1.2-2)
Figura (1.2-2): Vectores rotantes del desplazamiento, la velocidad y la aceleracin en el M.A.S
Los grficos del desplazamiento, la velocidad y la aceleracin en funcin del
Tiempo del movimiento armnico simple, se demuestra en la fig. (1.2-3).
-
12
Figura (1.2-3): Grficas del desplazamiento, la velocidad y la aceleracin
en funcin del tiempo en el M.A.S.
1.2.1 ECUACIN DIFERENCIAL:
La ecuacin diferencial de un movimiento armnico simple es:
0202
2
xdt
xd
Siendo:
x = Desplazamiento
t = Tiempo
0 = Frecuencia angular natural de oscilacin
La solucin general es de la forma:
)( 0 tsenAx
Tambin puede utilizarse la forma armnica:
-
13
)(cos 0 tAx
O la forma exponencial:
][Re)( 0 tieAx
Respecto a la solucin en forma exponencial, tnganse en cuenta que un vector de amplitud A , que rota con velocidad angular , puede representarse como una cantidad compleja z en el diagrama de Argand como se muestra en la siguiente figura (1.2.1-1).
Figura (1.2.1-1)
La cantidad tieAz satisface la ecuacin deferencial de un M.A.S.
Su conjugada compleja es tiAez * la cual rota en sentido horario con
velocidad angular , como se muestra en la siguiente figura (1.2.1-2)
Figura (1.2.1-2)
-
14
Es evidente que al sumar z y *z , se obtiene el grfico mostrado en la figura (1.2.1-3).
Figura (1.2.1-3): Vector z y su complejo conjugado z*
Luego:
tieAeRtAzzx cos*)(2
1
En donde Re representa la parte real de z .
1.2.2 SISTEMAS QUE DESCRIBEN UN MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE.
La fig. (1.2.2) muestra algunos de los sistemas fsicos que describen un
M.A.S.
Pndulo simple Sistema Masa Resorte Pndulo de torsin
Figura (1.2.2): Diferentes clases de Osciladores Armnicos Simples
-
15
Pndulo compuesto pndulo fsico Circuito elctrico L C
Figura (1.2.2): Diferentes clases de Osciladores Armnicos Simples.
1.2.2-1 PNDULO SIMPLE:
DEFINICIN: Es una cuerda de longitud y de masa despreciable, que tiene una masa m atada a un extremo y que puede oscilar libremente respecto del otro
extremo, como lo ilustra la fig. (1.2.2-1.1)
Figura (1.2.2-1.1): Pndulo Simple
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16
OBJETIVO: Determinar la frecuencia de oscilacin.
PROPIEDADES DEL OSCILADOR ARMNICO:
- La frecuencia del movimiento es independiente de la amplitud de oscilacin.
- Los efectos de varias oscilaciones pueden superponerse linealmente.
PROCEDIMIENTO:
A partir de la ecuacin dinmica de translacin (Segunda Ley de Newton), de la ecuacin dinmica de rotacin, del principio de conservacin de la energa de cualquier otro mtodo se obtiene la ecuacin diferencial del movimiento de un pndulo. Estableciendo la restriccin para elongaciones pequeas sen , se obtiene la ecuacin diferencial de movimiento de un oscilador armnico simple.
- PRIMER MTODO:
De la segunda ley de Newton e sabe que
TT amF (1)
De la figura
sengmFT (2)
Igualando las ecuaciones (1) y (2):
sengmam T
Simplificando por m :
sengaT
Por lo tanto
sengaT
Recordando la expresin para la aceleracin tangencial:
dt
d
dt
d
dt
dvaT
)(
Utilizando la definicin de la velocidad angular,
dt
d
-
17
Se obtiene la ecuacin diferencial del movimiento de un pndulo simple:
0
seng
dt
d
dt
d
Entonces:
02
2
sengdt
d
Haciendo la aproximacin: sen
Se obtiene:
02
2
gdt
d
Dividiendo por
02
2
g
dt
d
Haciendo
g20
Se obtiene la ecuacin diferencial de un oscilador armnico simple
0202
2
dt
d
La solucin de la ecuacin diferencial anterior es
= )( 00 tsen
Siendo = Elongacin
0 = Mxima elongacin o amplitud
t0 = Fase
= Fase inicial
La relacin entre la frecuencia angular natural de oscilacin 0 y la
frecuencia de oscilacin es:
-
18
f 20
Luego
gg
f
2
1
22
0
El inverso de la frecuencia, se denomina perodo y esta dado por
T = Periodo del pndulo simple
gfT
2
1 = Longitud del pndulo
g = Aceleracin de gravedad
- SEGUNDO MTODO:
Figura (1.2.2-1.2): Pndulo Simple que oscila en el plano y z
De acuerdo con la fig. (1.1.2-1.2):
-
19
El momento de fuerza respecto al punto del eje de giro es:
sengmfrT xx
)( (4)
El momento angular respecto al punto de giro es:
vmprJ XX
)(
Pero la velocidad tangencial se expresa en funcin de la velocidad angular mediante,
dt
dv
Entonces
dt
dmJ X
2
Utilizando la ecuacin dinmica de rotacin
dt
dJ XX
Se sigue que:
2
222
dt
dm
dt
d
dt
dmTX
(5)
Igualando las expresiones (4) y (5):
sengmdt
dm
22
Significado por m :
02
2
sengdt
d
Dividendo por
02
2
sen
g
dt
d
Haciendo la aproximacin 0sen
-
20
Se obtiene:
02
2
g
dt
d
Usando la definicin:
g20
Se obtiene la ecuacin diferencial de un oscilador armnico simple,
0202
2
dt
d (6)
- TERCER MTODO:
Figura (1.2.2-1.3): Pndulo Simple
A partir del principio de conservacin de la energa
UKE (7)
Donde la energa cintica K est dada por
-
21
2
2222
2
1
2
1
2
1
dt
dmmvmK
La energa potencia U est dada por
hgmU
Pero
)cos1(cos h
Entonces,
)cos1( gmU
Luego la energa total E es:
)cos1(2
1 2
gm
dt
dmE
Teniendo en cuenta el desarrollo en serie
...!4
1
!2
11cos 42
Para pequeo, se hace la siguiente aproximacin:
2
2
11cos
Entonces la ecuacin (7) puede escribirse como:
2
2
2
2
111
2
1
gm
dt
dmE
Simplificado
2
2
2
2
1
2
1
gm
dt
dmE
Transponiendo trminos para despejar dt
d, se tiene:
2
2
2
2
1
2
1
gmE
dt
dm
-
22
Entonces
22
2
2
12
gmE
mdt
d
Luego
2
2
2
g
m
E
dt
d
Factorizando
g
2
2
gm
Eg
dt
d (8)
Para = 0 siendo 0 la mxima amplitud de oscilacin,
La energa potencial es
EgmU 202
1
Por consiguiente,
gm
E220
Reemplazando en (8):
22
0
g
dt
d
Separando variables:
tdgd
220
Integrando:
-
23
tdgd
t
0
22
01
Siendo 1 el valor de para t = 0
La integral elemental de la izquierda, est dada por:
tg
senarc
10
Luego:
tg
senarcsenarc
0
1
0
Transponiendo trminos,
0
1
0
senarct
gsenarc
Haciendo 0
1
senarc
Se obtiene:
t
gsenarc
0
Aplicando la funcin sen a ambos miembros
t
gsensenarcsen
0
Luego,
t
gsen
0
Por tanto, la solucin correspondiente a un oscilador armnico simple es:
tsen 00 (9)
Siendo
-
24
g0
La representacin grfica de la funcin
tsen 00
Puede apreciarse en la fig. (1.2.2-1.4).
Figura (1.2.2-1.4): Elongacin de un M.A.S en funcin del tiempo
El valor de para 0t se designa por 1 y es igual a sen0 , siendo 0 la
amplitud del movimiento y la fase inicial del mismo.
OBSERVACIONES:
1) Las siguientes expresiones son soluciones de la ecuacin diferencial de un oscilador armnico simple
ti
e
t
tsen
0
0
00
00
cos
2) Para pequeo, cos puede calcularse da la siguiente manera:
-
25
Usando el teorema de Pitgoras
222 cos sen
Como es pequeo, se hace la aproximacin sen .
Entonces:
222 cos
Despejando cos ,
222cos
Factorizando 2
222 11cos
Simplificando
21cos
El desarrollo en serie del binomio de newton es
....
!2
1
!11)1(
2
xn
nxn
x n
Reemplazando x por 2 y n por 2
1 se obtiene
-
26
....!2
12
1
2
1
2
11)1(
2222
12
Despreciando los trminos que contengan potencias de 4 en adelante, se sigue que
221
2
2
111
Por consiguiente:
22
2
111cos
3) Si no es pequeo el movimiento NO es armnico simple y se denomina Movimiento Anarmnico. Para este caso el perodo est dado por
...
264
9
24
112 0402
sensen
gT
Si se toma el primer trmino del desarrollo en serie, el perodo corresponde al de un pndulo simple que se mueve con Movimiento Armnico Simple.
El desarrollo en serie tambin puede escribirse as:
...24
3
2
1
22
11 04
2
3
2
2
02
2
2
sensen
Para situaciones prcticas, es suficiente tomar los dos primeros trminos del desarrollo en serie, as:
24
112 02
sen
gT
No obstante, puede substituirse 02
1sen por 0
2
1 , dando por resultado
20
16
112
gT
4) Puede disearse un pndulo cuyo perodo es independiente de la amplitud y
se denomina pndulo cicloidal, cuyo perodo siempre es g
aT 4 , siendo a el
radio del crculo que genera la cicloide.
-
27
5) Los desarrollos en serie de las funciones seno y coseno,
...!5!3
53 sen
...!4!2
1cos42
Pueden obtenerse fcilmente, con la ayuda del teorema de Taylor, de la siguiente manera:
Segn Taylor ...0!2
002
fx
fxfxf
Para el desarrollo en serie del seno se tiene:
...0cos!3
0!2
0cos032
sensensen
Sustituyendo los valores de sen 0 y cos 0, se sigue que:
...!5!3
53 sen
Anlogamente, para la funcin coseno se tiene:
...0!3
0cos!2
00coscos32
sensen
Sustituyendo los valores de 0sen y 0cos se obtiene:
...!4!2
1cos42
6) El exponente complejo se obtiene de la siguiente forma:
De acuerdo al desarrollo en serie del coseno
...!4!2
1cos42
(1)
Segn el desarrollo en serie del seno
...!5!3
53 sen (2)
Multiplicando la expresin (2) por j se tiene:
-
28
...!5!3
53
jjjsenj (3)
Sumando las expresiones (1) y (3), se sigue que
!4!3!21cos
432
jjsenj (4)
Recordando que (-1) puede expresarse como 2j , la expresin (4) puede
reescribirse del siguiente modo:
...
!...
!3!21cos
32
n
jjjjsenj
n
(5)
Donde, precisamente, el miembro de la derecha de la ecuacin (5) tiene la forma
del desarrollo de la funcin exponencial, por tanto
jesenj cos (6)
La ecuacin (6), proporciona una conexin clara entre la geometra plana (representada por las funciones trigonomtricas) y el algebra (representada por la funcin exponencial) como lo ilustra la fig. (1.2.2-1.5).
Figura (1.2.2-1.5)
Donde,
x0 = Eje real
y0 = Eje imaginario
-
29
A0 = cos
AP = sen
P0 = tiene de longitud la unidad
z multiplicada por je , puede describirse en trminos geomtricos, como una
rotacin positiva de valor del vector representado por z , sin ninguna alteracin de su longitud.
1.2.2-2 SISTEMA MASA-RESORTE
DEFINICIN: Es un sistema fsico que consta de una masa m sujeta al
extremo de un resorte de constante elstica k , el cual se considera que carece de
masa.
Sistema masa resorte
OBJETIVO: Determinar la frecuencia de oscilacin.
PROCEDIMIENTO: A partir de la segunda ley de newton, del principio de conservacin de la energa o de algn otro mtodo, se determina la ecuacin diferencial del movimiento. Su solucin es funcin del tiempo y se expresa en trminos de la frecuencia.
PRIMER MTODO
A partir de la segunda ley de newton
-
30
2
2
dt
xdmamF (1)
La fuerza ejercida por el resorte, apunta hacia la posicin de equilibrio y est dada por la ley de Hooke.
xkF (2)
Igualando (1) y (2)
xkdt
xdm
2
2
Transponiendo trminos
02
2
xkdt
xdm
Dividendo por m
02
2
xm
k
dt
xd
Definiendo
2
0m
k
Se sigue que
0202
2
xdt
xd (3)
Que corresponde a la ecuacin diferencial de un Movimiento Armnico Simple.
Las soluciones de la anterior ecuacin, son armnicas, es decir funciones
senos cosenos de t0 .
En general, su solucin puede escribirse en una de las siguientes formas:
x = tsenA 0
x = tA 0cos (4)
x = t
eA 0
Siendo
-
31
x = Elongacin
A = Mxima elongacin o amplitud
0 = Frecuencia angular natural
t0 = Fase del movimiento
x = Fase inicial
El periodo esta dado por:
k
mT
2
2
0
(5)
SEGUNDO MTODO:
De acuerdo al principio de conservacin de la energa,
UKE (6)
La energa cintica k , se define mediante
2
2
1vmK (7)
La energa potencial U , se define mediante
2
2
1xkU (8)
Reemplazando (7) y (8) en (6):
22
2
1
2
1xkvmE (9)
Para este oscilador la velocidad v est dada por:
dt
dxv
Por lo tanto la ecuacin (9) puede reescribirse as:
2
2
2
1
2
1xk
dt
dxmE
Derivando respecto al tiempo se tiene:
-
32
2
2
2
1
2
1xk
dt
dxm
dt
d
dt
dE
Entonces
dt
dxxk
dt
xd
dt
dxm
2
1.2
2
1.20
2
2
Simplificando y dividiendo por m
xm
k
dt
xd
2
2
0
Usando la denotacin
m
k20
Se obtiene la ecuacin diferencial de un oscilador armnico simple
0202
2
xdt
xd (10)
OBSERVACIONES:
1) Para 0t , se obtiene la elongacin inicial, as:
senAxx t 00 (11)
2) Derivando la expresin de x respecto al tiempo, se obtiene la velocidad v ,
As:
tAtsenAdt
d
dt
dxv 000 cos
Para 0t , se obtiene la velocidad inicial, as:
cos000 Avv t (12)
3) La fase inicial x , puede obtenerse en trminos de la elongacin inicial y para
la velocidad inicial, as:
De la ecuacin (11) A
xsen 0 (13)
-
33
De la ecuacin (12) A
v
0
0cos
(14)
Dividiendo la Ec. (13) por la Ec. (14)
0
00
0
0
0
cos v
x
A
vA
x
sen
Por lo tanto
0
00tanv
x
Entonces,
0
001tanv
x (15)
4) La amplitud puede hallarse en trminos de la elongacin y la velocidad inciales, as:
De la ecuacin (13) y la ecuacin (14), se sigue que
2
0
0
2
022 cos
A
v
A
xsen
Usando el valor de la identidad trigonomtrica:
1cos 22 sen
Se sigue que:
22
0
2
0
2
2
01A
v
A
x
Despejando :2A
2
0
2
02
0
2
vxA
Luego:
-
34
2
0
2
02
0
vxA (16)
5) La ley de Hooke establece que la fuerza es proporcional al desplazamiento, pero va dirigida en sentido contrario a est.
6) Usando la identidad trigonomtrica
2cos
sen
se demuestra que
tsenAx 0
es completamente equivalente a
tAx 0cos
si se escoge como 2
7) Si el desplazamiento x es una funcin coseno, el desplazamiento tiene su
mximo valor para 0t . El desplazamiento es mnimo para 0x (cuando
2/0 t ), en el centro de la trayectoria de la oscilacin.
8) Si la velocidad xv es una funcin seno, su valor es cero pero para 0t . la
velocidad tiene su mxima magnitud A cuando el desplazamiento es A . En otras palabras, la velocidad es mayor cuando el desplazamiento es cero y la velocidad es cero cuando la partcula est ms lejos de su posicin de equilibrio.
9) La aceleracin xa es, como el desplazamiento, una funcin coseno; Por
consiguiente la aceleracin esta siempre dirigida hacia el centro de la trayectoria de la oscilacin.
10) La aceleracin tiene su mxima magnitud si est lo ms distante de 0x (y, por consiguiente, cuando la velocidad es cero). la aceleracin es
cero, cuando el desplazamiento es cero (y por consiguiente, cuando la velocidad es mxima).
11) La aceleracin es proporcional al desplazamiento pero de sentido opuesto.
12) La solucin general de un Movimiento Armnico simple es
tDtsenBx 00 cos
-
35
Donde B y D son constantes arbitrarias que dependen de las condiciones inciales del movimiento.
Derivando en funcin del tiempo se obtiene la velocidad y la aceleracin, as:
tsenDtBdt
dxv 0000 cos
tDtsenBdt
dva 0
2
00
2
0 cos
En general para 0t : Dxx t 00
0
0
000
v
BBvv t
La eleccin de la forma de la solucin, es normalmente cuestin de conveniencia.
1.2.2-3 PNDULO FSICO O PNDULO COMPUESTO:
DEFINICIN: Es un sistema fsico, compuesto por un cuerpo rgido que puede oscilar libremente alrededor de un eje horizontal bajo la accin de la gravedad, como se muestra en la fig. (1.2.2-3)
Figura (1.2.2-3): Pndulo fsico
-
36
OBJETIVO: Determinar la frecuencia de oscilacin.
PROCEDIMIENTO: A partir de la ecuacin dinmica de rotacin del cuerpo rgido, se obtiene la ecuacin diferencial del movimiento correspondiente a un oscilador armnico simple, as:
La componente z del torque actuante sobre el cuerpo es:
senbgmTz (1)
Siendo b la distancia del centro de masa el eje de oscilacin.
De la ecuacin dinmica de rotacin
2
2
dt
dIITZ
(2)
Siendo I el momento de inercia del cuerpo, alrededor del eje de oscilacin.
Igualando las ecuaciones (1) y (2)
senbgmdt
dI
2
2
Transponiendo trminos
02
2
senbgmdt
dI
Con la aproximacin sen
Se obtiene
02
2
bgmdt
dI
Dividendo por I se obtiene:
02
2
I
bgm
dt
d
Haciendo
I
bgm20
Se obtiene la ecuacin diferencial de un oscilador armnico simple
-
37
0202
2
dt
d
(3)
La frecuencia angular natural de oscilacin est dada por
I
bgm0 (4)
Por tanto, el perodo viene dado por
bgm
IT
2
2
0
(5)
Tngase en cuenta que:
T = Perodo de pndulo compuesto
I = Momento de inercia del cuerpo respecto al eje de oscilacin.
m = Masa total del pndulo
g = Aceleracin de gravedad
b = Distancia del centro de masa al eje de oscilacin.
1.2.2-4 PNDULO DE TORSIN
DEFINICION: Es un sistema fsico que consta de un cuerpo suspendido por un alambre que pasa por el centro de masa del cuerpo, como se muestra en la fig. (1.2.2-4).
Figura (1.2.2-4): Pndulo de torsin. El centro de la masa se encuentra en C.
-
38
OBJETIVO: Determinar la frecuencia de oscilacin.
PROCEDIMIENTO: Usando la ecuacin dinmica de rotacin y teniendo en cuenta que cuando el cuerpo se rota un ngulo a partir de su posicin de equilibrio, el alambre se tuerce, ejerciendo un torque alrededor de 0C, que se opone al desplazamiento y su magnitud es proporcional a este KT , siendo
k el coeficiente de torsin del alambre, se obtiene la ecuacin diferencial del
movimiento, as:
De la ecuacin dinmica de rotacin
2
2
dt
dII
(1)
Pero
K (2)
Entonces, igualando las ecuaciones (1) y (2) se tiene
Kdt
dI
2
2
Luego,
02
2
Kdt
dI
Dividendo por el momento de inercia I , se sigue que:
02
2
I
K
dt
d (3)
La ecuacin (3) corresponde a la ecuacin diferencial del Oscilador Armnico Simple, con
I
K0 ,
Por lo tanto, el perodo de oscilacin es:
K
IT
2
2
0
,
Esta ecuacin es importante porque permite determinar experimentalmente el momento de Inercia de un cuerpo cuando se conoce la constante de torsin K .
-
39
1.2.3 ENERGA PROMEDIO DE UN OSCILADOR ARMNICO SIMPLE:
De acuerdo al principio de conservacin de la energa
UKE (1)
El promedio denotado por:
UKE
Usando las propiedades del valor promedio
UKE (2)
Consideremos que la elongacin del oscilador armnico es
tsenAx 0
Entonces, su velocidad es
tAdt
dxv 00 cos
Por lo tanto la energa cintica est dada por:
200 cos2
1tAmK
Promediando
tAmK 0222
0 cos2
1
Teniendo en cuenta que el valor promedio del t02cos es , se sigue que:
22
04
1AmK (3)
La energa potencial est dada por
tsenAkxkU 0222
2
1
2
1
Promediando la energa potencial se obtiene:
tsenAkU 022
2
1
-
40
Evaluando el valor promedio de tsen 02 , se tiene:
22
0
2
4
1
4
1AmAkU (4)
Reemplazando la ecuacin (3) y la ecuacin (4), en la ecuacin (2), se tiene:
22
0
22
04
1
4
1AmAmE
Efectuando la suma,
EAmE 2202
1 (5)
Obsrvese que como la energa total es una constante, entonces
EE
1.2.4 POTENCIA PROMEDIO DE UN OSCILADOR ARMNICO SIMPLE:
La expresin para la potencia instantnea es:
dt
dEP
Promediando
0dt
dEE
dt
dP
La potencia promedio es nula por cuanto la energa es constante.
OBSERVACION:
El promedio ( media) de una funcin )(tf en el tiempo est dado por:
tdtfT
tf
T
0
1
Donde el parntesis angular indica el promedio en el tiempo y T es el perodo
de la funcin.
Para el caso de la funcin tsen 02 , tenemos:
tdtsenT
tsen
T
0
2
0
0
2 1
-
41
Pero
2
2cos1 00
2 ttsen
Entonces,
td
t
Ttsen
T
2
2cos11 0
0
0
2
Luego
tdtT
tdT
tsen
TT
0
00
0
2 2cos2
11
2
11
Evaluando las integrales
2
1
2
110
2
T
Ttsen
Tngase en cuenta que
TT
tsentdt00
0
0
0
22
12cos
Reemplazando por los lmites de la integral
022
12cos 0
0
0
0
senTsentdt
T
0
Entonces
042
122
2
12cos
00
0
0
sensentdto
o
1.2.5 ANALOGA ELCTRICA
El sistema elctrico anlogo aun oscilador armnico simple mecnico, es un circuito LC , tambin llamado circuito tanque. El circuito consta de un condensador C , un inductor L y un interruptor dispuesto en serie como se muestra
en la fig. (1.2.4)
-
42
Figura (1.2.4): Circuito LC en serie
OBJETIVO: Determinar la frecuencia natural de oscilacin.
PROCEDIMIENTO: A partir de la ley de Kirchhoff de voltaje se obtiene la ecuacin diferencial de un oscilador armnico simple. Su solucin consiste en encontrar la carga sobre el condensador cuando el interruptor se cierra en 0t , teniendo en cuenta que el condensador tiene inicialmente una
carga 0q .
Empleando la ley de Kirchhoff de voltajes se obtiene:
0dt
diL
C
q (1)
Teniendo en cuenta que:
dt
dqi
Reemplazando el valor de i en la ecuacin (1) se sigue que:
02
2
C
q
dt
qdL (2)
Dividendo la ecuacin (2) por L se obtiene:
01
2
2
q
LCdt
qd (3)
Definiendo:
-
43
LC
120
Se llega a la ecuacin diferencial de un oscilador armnico simple:
0202
2
qdt
qd (4)
Siendo LC/10 la frecuencia angular natural del sistema.
La solucin general de la ecuacin (4) es:
tBtsenAtq 00 cos (5)
Teniendo en cuenta que en 0t , 0qq se sigue que:
Bqq t 0)0(
Adems, en 0t , 0 idt
dq por lo tanto,
tsenBtAdt
dqi 0000 cos
000cos 00000
senBAdt
dq
t
Por consiguiente 0A
Entonces
tLC
BtBtq1
coscos 0 (6)
1.3 ANLISIS DE ROZAMIENTO
La mayor parte de sistemas de ingeniera, durante su movimiento oscilatorio, experimental friccin rozamiento que construya una forma de amortiguamiento. Existe la friccin seca de coulomb originada entre superficies deslizantes secas, donde la fuerza de rozamiento es constante NF .
Existe friccin viscosa, ejercida por fluidos, la cual es en muchos casos
proporcional a la velocidad, pero dirigida en sentido opuesto a ella vvbF .
-
44
Si el amortiguamiento es fuerte, el movimiento se denomina sobreamortiguado y no presenta oscilacin. Si el amortiguamiento es pequeo, el movimiento se llama subamortiguado, en cuyo caso la oscilacin es posible.
1.3.1 FUERZA DE FRICCIN VISCOSA:
Forma parte de una de las cuatro principales fuerza de resistencia, a saber:
1) Resistencia de friccin, debida ala resistencia coulomb ordinaria en vas o correderas.
2) Resistencia del medio fluido en que el cuerpo se mueve.
3) Resistencia de estela, debida a la formacin de torbellinos en el medio fluido detrs del mvil.
4) Resistencia de onda, debida a la formacin de ondas radiadas, desde el mvil al medio que la rodea.
La mayora de los sistemas de ingeniera, durante su movimiento vibratorio, encuentran friccin o resistencia en forma de amortiguamiento, tal es el caso de barcos de agua, de aviones y de proyectiles en el aire.
DEFINICIN: Es una fuerza resistente que es funcin de la velocidad relativa del cuerpo respecto al medio fluido y que siempre se opone al movimiento.
En general,
dt
dxbvbvF f
Siendo b una constante positiva denominada coeficiente de amortiguamiento.
La ecuacin de movimiento de una partcula, que se mueve nicamente bajo la accin de una fuerza de friccin viscosa, se obtiene de la siguiente manera:
A partir de la segunda ley de Newton:
2
2
dt
xdmamF (1)
De la ecuacin dinmica de translacin se sigue que
2
2
dt
xdm
dt
dxbFF (2)
Que puede reescribirse como:
-
45
vbdt
dvm (3)
Separando variables
tdm
b
v
dv ,
Integrando se obtiene:
tv
v
tdm
b
v
dv
00
, (4)
En donde 0v es la velocidad para 0t
Evaluando las integrales se sigue que
tm
bvn
v
v
0
Por tanto, teniendo en cuenta los lmites de integracin se obtiene:
tm
bvnvn 0
Usando propiedades logartmicas
tm
b
v
vn
0
Y definiendo la constante T , llamada tiempo de relajacin, por la relacin
b
m ,
Se obtiene
t
v
vn
0
Por consiguiente
// 0 tvvn ee
-
46
Teniendo en cuenta la propiedad de los logaritmos naturales: ,Ne Nn se sigue
que:
/
0
tev
v
Despejando v se obtiene:
/0
tevv (5)
La ecuacin (5) pone de manifiesto que la velocidad disminuye exponencialmente con el tiempo, siendo amortiguada por la constante de tiempo T . La fig. (1.3.1) muestra la grfica de la evolucin en funcin del tiempo, dad por la ecuacin (5).
Figura (1.3.1): Grfica de la expresin funcional
t
evv 0
El tiempo de relajacin efectivo para la energa cintica se obtiene de la siguiente manera:
Teniendo en cuenta que la disminucin de energa cintica de una partcula, viene dada segn la ecuacin (5) por:
-
47
TtevmvmK /2202
2
1
2
1
Definiendo 0K por:
2
002
1vmK
Se puede escribir K , mediante:
/20
teKK
Diferenciando mediante el tiempo:
/20
2 teT
Kdt
dK
Por consiguiente
2
2
KK
dT
dK
Que se muestra claramente que el tiempo de relajacin efectivo es:
2
1.3.2 ANALOGA ELCTRICA:
El circuito elctrico anlogo al sistema mecnico consiste de una masa sometida a una fuerza de friccin viscosa, es un circuito RL , como lo ilustra la figura (1.3.2-1)
Al quitar bruscamente la tensin aplicada al circuito, cambiando el conmutador de A a B , la ecuacin que describe el circuito, se obtiene as:
-
48
Figura (1.3.2-1) Circuito RL en serie
A partir de la ley de Kirchhoff de voltajes:
dt
diLRi 0 (1)
Separando variables
tdL
R
i
di ,
Integrando se sigue que
tdLR
i
di
Estableciendo la condicin inicial que para 0,0 Iit , se obtiene:
ti
I
tdL
R
i
di
00
Efectuando la integral
tL
Rin
i
I
0
Reemplazando por las fronteras indicadas
tL
RInin 0
Usando propiedades de los logaritmos, se encuentran que:
-
49
tL
R
I
in
0
Aplicando antilogaritmo
tL
R
eI
i
0
,
Despejando i :
tLReIi /0 (2)
Haciendo uso de la definicin del tiempo de relajacin:
R
L
Se obtiene
/0
teIi (3)
La grfica correspondiente a la ecuacin 83), est dada la fig. (1.3.2-2).
Figura (1.3.2-2) Grafica de la expresin funcional /
0
ieIi
1.4 MOVIMIENTO ARMNICO AMORTIGUADO LIBRE (M.A.A.L)
DESCRIPCIN: Un sistema fsico que describa este movimiento, est formado por una partcula oscilante de masa m que efecta su movimiento a lo
-
50
largo del eje x , bajo la accin de la fuerza de un resorte de constante k y de una
fuerza amortiguadora que denominaremos fuerza de friccin viscosa, con coeficiente de amortiguamiento , como lo ilustra la figura (1.4).
Figura (1.4-1) Oscilador Armnico Amortiguado Libre.
OBJETIVOS:
1) Determinar la frecuencia angular de amortiguamiento.
2) Diferencial las soluciones y naturaleza del movimiento mediante el
anlisis del discriminante 202 de la ecuacin caracterstica.
3) Distinguir los diferentes casos: Subamortiguado, crticamente amortiguado y sobreamortiguado, que son conocidos con los nombres de: Movimiento oscilatorio amortiguado, movimiento aperidico critico y movimiento aperidico.
4) Reconocer las graficas de las elongaciones contra el tiempo para los diferentes casos
PROCEDIMIENTO: A partir de la Segunda Ley de Newton se obtiene la ecuacin diferencial del movimiento de un Oscilador Armnico Amortiguado Libre (O.A.A.L.). Se toma una solucin de prueba y se sustituye en la ecuacin diferencial obtenida, encontrndose la ecuacin caracterstica que tiene dos soluciones que nos permiten determinar La solucin general de la ecuacin diferencial de un Oscilador Armnico Libre, como puede verse a continuacin.
A partir de la Segunda Ley de Newton:
amF (1)
Por tanto
-
51
amvbxk
Usando las definiciones de velocidad y aceleracin para un movimiento lineal, se sigue que
2
2
dt
xdm
dt
dxbxk
Transponiendo trminos
02
2
xkdt
dxb
dt
xdm (2)
Dividendo por m
02
2
xm
k
dt
dx
m
b
dt
xd
Haciendo uso de las definiciones
m
k20 Y
m
b2
Se obtiene la ecuacin diferencial de un oscilador armnico amortiguado libre
02 202
2
xdt
dx
dt
xd (3)
Tomando como solucin de prueba
treAx
Y reemplazando en la ecuacin (3), se obtiene:
02 202
2
rtrtrt
eAtd
eAd
td
eAd
Efectuando la derivada:
02 202 rtrtrt eAeAreAr
Simplificando por rteA se obtiene la ecuacin caracterstica
02 202 rr (4)
La ecuacin (4), tiene dos soluciones o races, a saber:
-
52
2
422 202
21
r (5)
Es decir,
2
0
2
1 r , y 2
0
2
2 r (6)
Por lo tanto, la ecuacin diferencial de movimiento es:
trtreAeAx 21 21 (7)
Reemplazando los valores de las races se obtiene:
tt
eAeAx
20
220
2
21
(8)
CASOS:
Los tres posibles casos que aparecen, obedecen al valor del discriminante,
es decir, al valor del binomio, 202 que aparece bajo el signo radical en las
races dadas por la ecuacin (6).
Tngase en cuenta que:
1) Si 202 es una cantidad positiva, las races son reales y desiguales.
En tal caso el movimiento se denomina sobreamortiguado.
2) Si 202 es una cantidad negativa, las races son imaginarias y
desiguales. En este caso el movimiento se denomina subamortiguado.
3) Si 202 es cero, las races son reales e iguales. En este caso el
movimiento se denomina crticamente amortiguado.
1.4.1 CASO SOBREAMORTIGUADO:
Se presenta cuando 202 0, es decir 2
2
0 . Haciendo las races
iguales a 1 y 2 , se tiene:
2
0
2
1
2
0
2
2
-
53
Siendo 1 y 2 nmeros reales positivos. Por consiguiente
tteAeA 21 21
(1)
Este caso se conoce como caso de pulso muerto o movimiento aperidico. La amplitud se aproxima exponencialmente a cero conforme crece y no se efecta ninguna oscilacin como puede observarse en el grafico mostrado en la fig. (1.4.1).
Figura (1.4.1) Grafica de x contra el tiempo para el caso sobre amortiguado.
El desplazamiento inicial 0 se obtiene para 0t , as:
210
2
0
100 AAeAeAxx t (2)
Para obtener los valores de 1A y 2A se produce de la siguiente manera:
Derivando la expresin (1) se obtiene la expresin para la velocidad, as:
tteAeA
dt
dxv 21 2211
(3)
Denotando por 0v el valor de la velocidad para 0t se tiene:
0
22
0
110)0( eAeAvv t
Pero 10 e , entonces:
22110 AAv (4)
Despejando 2A de la ecuacin (2) se sigue que
102 AxA
-
54
Reemplazando en la ecuacin (4)
102110 AxAv
Factorizando 1A se tiene:
021210 xAv
Despejando 1A , se sigue que:
12
020
1
xvA (5)
Anlogamente, despejando 1A de la ecuacin (2), se tiene:
201 AxA
Reemplazando en la ecuacin (4)
222010 AAxv
Factorizando 2A se sigue que:
012120 xAv
Despejando 2A se obtiene:
21
010
2
xvA (6)
1.4.2 CASO SUBAMORTIGUADO
Se presenta cuando el discriminante 0202 , es decir 20
2 .
Para este caso tngase en cuenta que:
220220202 11 220202 j
Por tanto la ecuacin (1) puede escribirse como:
tjtj
eAeAx
22
022
0 '
2
'
1
Factorizando te :
-
55
tjtjt eAeAex22
022
0 '
2
'
1
Usando un teorema de Euler:
tsenjtAtsenjtAex t 220220'2220220'1 coscos Factorizando se sigue que:
tsenAAjtAAex t 220'2'1220'2'1 cos
Para que el desplazamiento de un problema fsico resulte real '2'
1 AA y '2'1 AAj deben ser reales, por tanto '1A y
'
2A deben ser nmeros complejos conjugados.
Haciendo
'
2
'
11 AAA
'2'12 AAjA ,
En donde 1A y 2A son reales, se obtiene la siguiente solucin:
tsenAtAex t 22022201 cos (7) Que pueden escribirse mediante
teAx t 220cos (8)
tseneAx t 220 (9) Dnde 2/ .
En la expresin anterior A y quedan determinador por las condiciones inciales
0x y 0v as:
Para 0t senAxx t 00 (10)
Derivando la ecuacin (9):
tt etsenteAdt
dxv 220
22
0
22
0 cos
Por tanto, para 0t :
-
56
senAvv t cos22000 (11) De la ecuacin (10):
A
xsen 0 (12)
De la ecuacin (11):
22
0
00cos
A
xv (13)
Dividiendo la ecuacin (12) por la ecuacin (13) se sigue que:
00
22
00tan
xv
x
Elevando las ecuaciones (12) y (13) al cuadro se obtiene:
2
2
02
A
xsen (14)
2202
2
002cos
A
xv (15)
Sumando las ecuaciones (14) y (15) se llega a:
2202
2
0
2
21
A
xv
A
x
Despejando 2A :
22
0
2
02
0
2
xvxA
Sacando la raz cuadrada a ambos miembros, se tiene:
22
0
2
002
0
xvxA (16)
La representacin grafica de la solucin general dada por la ecuacin (9), se muestra en la fig. (1.4.2).
-
57
Figura (1.4.2) Grfica de x contra t para el caso subamortiguado.
El momento no es peridico, ya que las amplitudes de ciclos sucesivos decrecen. Sin embargo, como los periodos de ciclo sucesivos son iguales, este movimiento se denomina movimiento con tiempo peridico o movimiento oscilatorio amortiguado, siendo el periodo:
22
0
2
T (17)
Este periodo es tambin llamado seudoperodo y suele expresarse como:
2/12020 /12
T (18)
Como el periodo propio del sistema est dado por:
0
0
2
T (19)
La ecuacin (18), se expresa en funcin del periodo propio mediante:
2/12020
/1
TT
-
58
DECREMENTO LOGARTMICO:
El decremento logartmico, se define como el logaritmo natural de la razn entre dos amplitudes sucesivas.
La razn entre dos amplitudes sucesivas, pueden expresarse mediante:
Tt
t
m
m
eA
eA
x
x
Simplificando por A y reemplazando el valor de T dado por la ecuacin (17), se sigue que:
22/21
ee
e
x
x
t
t
m
m
Simplificando por te , se obtiene:
eex
x
m
m
220/2
1
Donde el decremento logartmico esta dado por:
22
01
2
m
m
x
xn (22)
Para el caso en el cual la disminucin de la amplitud es pequea
x
xn
x
xxn 1
Utilizando el desarrollo en serie
....,3
1
2
11
32
x
x
x
x
x
x
x
xn
En donde, teniendo en cuenta que: xx , y que los trminos de orden superior
a xx / se desprecian, se obtiene:
x
x (23)
-
59
1.4.3 CASO CRITICAMENTE AMORTIGUADO:
Se presenta cuando 0220 , es decir 2
0
2 , o sea 0
0
2
T
.
La solucin de la ecuacin diferencial de movimiento est dada por:
teAtAx 21 (24)
La velocidad est dada por:
teAtAdt
d
dt
dxv 21
Luego:
121 AeAtAvt
teAtAAv 211
Teniendo en cuenta que para 0t :
210 AAvv (25)
20 Axx (26)
Entonces, reemplazando (26) en (25) se sigue que:
010 xAv
Despejando 1A , se obtiene:
001 xvA (27)
Reemplazando (26) y (27) en (24), se obtiene:
textxvx 000
La expresin anterior significa que x es siempre positivo y tiende hacia cero
cuando t aumenta indefinidamente, como se puede apreciar en la figura (1.4.3).
-
60
Figura (1.4.3) Grfica de la elongacin contra el tiempo correspondiente a un oscilador crticamente
amortiguado.
CASOS PARTICULARES:
Si consideramos dos grupos, de condiciones inciales, dada por:
GRUPO (1): 0xx ; 0v
GRUPO (2): 0x ; 0vv
Las soluciones para los diferentes casos del movimiento armnico amortiguado libre se pueden escribir de la manera, que a continuacin se deduce:
- Para el CASO SOBREAMORTIGUADO la solucin general est dada por:
tteAeAx 20 21
(1)
Si aplicamos el grupo (1) se condiciones inciales, se tiene:
2100 AAxx t (2)
Adems, tt
eAeAdt
dxv 21 2211
22110 0 AAv t (3)
De las ecuaciones (2) y (3) podemos encontrar los valores 1A y 2A de la
siguiente forma:
Multiplicando la ecuacin (2) por 1 , se obtiene:
-
61
211101 AAx (4)
Sumando la ecuacin (3) con la ecuacin (4), se sigue que:
22101 Ax
021
12 xA
(5)
Multiplicando la ecuacin (2) por 2 se obtiene:
221202 AA (6)
Sumando la ecuacin (6) con la ecuacin (3) se sigue que:
11202 Ax
012
21
A (7)
Reemplazando las ecuaciones (5) y (7) en la ecuacin (1) se obtiene:
tt
exexx 21 021
10
12
2
tt eexx 21 1212
0
(8)
Para el grupo (2) de condiciones inciales, se tiene:
210 0 AAx t (9)
221100 AAvv t (10)
Multiplicando la ecuacin (9) por 1 , se sigue que:
21110 AA (11)
Sumando la ecuacin (10) con la ecuacin (11) se obtiene:
2210 Av (12)
21
0
2
v
A (13)
-
62
Multiplicando la ecuacin (9) por 2 , se sigue que:
22120 AA (14)
Sumando la ecuacin (10) con la ecuacin (14) se obtiene:
1120 Av (15)
12
0
2
v
A (16)
Reemplazando la ecuacin (13) y la ecuacin (16), en la ecuacin (1) se obtiene:
tt ev
ev
x 21
21
0
12
0
(17)
tt eevx 2112
0
(18)
- Para el caso SUBAMORTIGUADO, la solucin general est dada por:
tseneAx t 220 (1) Haciendo la siguiente denotacin:
22
0 d
Se obtiene:
tseneAx dt (2)
Usando el grupo (1) de condiciones inciales, se sigue que:
senAxx t 00 (3)
Derivando la ecuacin (2) respecto al tiempo se obtiene:
tseneteAtd
xdv d
t
dd
t cos
senAv dt cos00
cosdsen (4)
-
63
dsen cos
dtan (5)
La ecuacin (2) puede escribirse mediante:
senttseneAx ddt coscos (6)
Reemplazando las ecuaciones (3) y (4) en La ecuacin (6) se sigue que:
A
xt
sentseneAx d
d
d
t 0cos
A
xt
A
xtseneAx d
d
d
t 00 cos
ttsenexx dd
d
t
cos0 (7)
Usando el grupo (2) de condiciones inciales, se sigue que:
0
0 000 sensenAx t
Adems:
senAvv dt cos00
Pero, 1cos0 sen
Por tanto:
dd AAv cos0
d
vA
0
Luego:
tsenev
x dt
d
0 (8)
-
64
- Para el caso CRITICAMENTE AMORTIGUANDO, la solucin general est dada por:
teAtAx 21 (9)
Usando el grupo (1) de condiciones inciales se tiene:
20 Axx (10)
Derivando la ecuacin (9) respecto al tiempo se tiene:
121 AeeAtAtd
xdv tt
120 0 AAv t (11)
021 xAA (12)
Reemplazar las ecuaciones (12) y (10) en la ecuacin (9) se llega a:
textxx 00 (13)
tetxx 10 (14)
Usando el grupo (2) de condiciones inciales se tiene:
20 0 Ax t (15)
Adems
11200 AAAvv t (16)
Luego
tetvx 0
Los casos particulares anteriormente descritos, se presenta grficamente en la figura (1.4.2).
-
65
-
66
1.4.4 ENERGIA PROMEDIO Y POTENCIA PROMEDIO DISIPADA:
La energa promedio correspondiente a un oscilador Armnico Amortiguado
Libre, para el caso limite de amortiguamiento dbil es decir, cuando 10 T , de
manera que ;0 d est dada por:
UKUKE (1)
UKE (2)
22
2
1
2
1xkvmE (3)
Para el caso subamortiguado la solucin o respuesta est dada por:
tseneAx t 220 Usando la siguiente denotacin
2
0
2
02
0
22
0
22
0 11
d
Y teniendo en cuenta que por definicin
2
1
Entonces
Si 10 T , se obtiene el caso dbilmente amortiguado, para el cual 0 d ,
entonces la solucin es:
tseneAx t 0 (4)
Derivando respecto al tiempo se obtiene:
tseneteAdt
dxv tt 000 cos
2/12
0
02
11
d
-
67
2000222 cos tsenteAv t
Luego la energa cintica promedio a lo largo del tiempo en un ciclo es:
tsent
tsenteAmK t
000
0
22
0
22
0
22
cos2
cos2
1
])()(cos2
)()(cos[2
1
000
0
22
0
22
0
22
tsent
tsenteAmK t
2
1
2
1
2
1 220
22 teAmK
220224
1 teAmK
Pero:
2
0
2
2
0
22
02
1
En donde se ha supuesto que 22/1 es despreciable respecto a 20 , entonces:
teAmK 22204
1 (5)
El promedio de la energa potencial energa potencial media es:
tseneAkU t 0222
2
1 (6)
Pero 20mk
Entonces
tseneAmU t 02222
02
1
Obsrvese que el factor te 2 se ha sacado del parntesis angular, por cuanto teA 22 no cambia mucho en un ciclo del movimiento, por tanto,
-
68
teAmU 22204
1 (7)
Reemplazando la ecuacin (5) y la ecuacin (7) en la ecuacin (1), se sigue que
tt eAmeAmE 2220222
04
1
4
1 (8)
teAmE 22202
1 (9)
La potencia media disipada est dada por la variacin de energa por unidad de tiempo con signo negativo:
teAm
dt
dE
dt
dP 2220
2
1
EeAmP t 2
2
12 2220
La potencia media disipada, tambin puede obtenerse hallando la media del trabajo realizado por la fuerza de rozamiento por unidad de tiempo, con signo menos:
2vbvFP f
200022 cos tsenteAbP t
tsent
tsenteAbP t
000
0
22
0
22
0
22
cos2
cos
22
22
022 teAbP ;
Pero mb 2 y 20220 , entonces
EeA
mPt
22
222
2
0 ,
Como
1
2 , se obtiene:
EP
1
-
69
1.4.5 FACTOR DE CALIDAD Q
El factor de calidad Q de un sistema oscilatorio se define como 2 veces la
razn entre la energa promedio almacenada en un ciclo y la prdida media de
energa en un periodo.
periodounenenergiadePrdida
akmacenadaEnergiaQ 2
P
Ef
Pf
E
TP
EQ 2
122
P
EQ
La Q (Calidad cualidad caracterstica) de un oscilador es un parmetro sin
dimensiones.
Para un oscilador dbilmente amortiguado, es decir para el caso de bajas
perdidas de energa, puede hacerse la aproximacin 0 : Por tanto
00
P
EQ
En donde se ha hecho uso de la demostracin presentada en la seccin (1.4.4),
en la que se muestra que
P
E
Siendo T el tiempo de vida ( constante de tiempo) del decaimiento del oscilador.
Teniendo en cuenta que 2/1T , para fines prcticos se usa la definicin
2/1
00
22
Q
Siendo,
0 = Frecuencia angular de resonancia.
-
70
2/12 = Anchura completa de frecuencia angular a la mitad de potencia
mxima.
Q mide la agudeza del ajuste o sinfona.
Los valores de Q de algunos sistemas interesantes se muestran en la tabla
(1.4.5).
Tabla 1.4.5
Orden de magnitud de los valores de Q de algunos sistemas importantes 0f
es la frecuencia de resonancia aproximada del oscilador.
Sistema )(0 zHf Q
El sismgrafo 0.1 1
La tierra, para ondas ssmicas. 250 1400
Cuerda de piano o de violn. 103
La luna [ obtenido del impacto
del mdulo lunar Apolo 12]. 1 a 6 104
Resonador de microondas de
cavidad de cobre. 104
Cavidad de resonancia de microondas
hecha de material superconductor. 109 a 10
10 10
6 a 10
7
Lnea ptica tpica omitida por
osciladores atmicos de un tubo de
-
71
descarga a baja presin. 5 X 1014
107
Cavidad laser formada por dos
espejos uno al frente del otro. 1014
a 1015
108 a 10
9
1.4.6 ANALOGA ELCTRICA:
El oscilador elctrico anlogo a un oscilador mecnico armnico
amortiguado libre, est formado por una resistencia R , una autoinduccin L y un
condensador c , conectados en serie como se muestra en la fig. (1.4.6-1)
Usando la ley de Kirchhoff de voltajes se tiene:
0c
q
dt
diLiR (1)
Figura (1.4.6-1) circuito RLC en serie
Pero dt
dqi , entonces reemplazando en (1) se sigue que:
01
2
2
qctd
qdR
td
qdL (2)
Que tiene idntica k a la ecuacin del O.A.A.L. mecnico, dada por:
02
2
xktd
xdb
td
xdm (3)
Dividendo por L , se sigue que:
-
72
01
2
2
qLCtd
qd
L
R
td
qd (4)
Pero la ecuacin de un O.A.A.L. mecnico se puede escribir mediante:
02 202
2
xtd
xd
td
xd (5)
Entonces, comparando la ecuacin (4) con la ecuacin (5) se concluye que:
LC
120 y
L
R2 (6)
La tabla (1.4.6) muestra la analoga fuerza tensin, la cual se obtiene de
comparar la ecuacin (2) con La ecuacin (3).
TABLA 1.4.6
SISTEMA MECNICO
SISTEMA ELCTRICO
(ANALOGA FUERZA TENSIN)
m Masa (kg) L Autoinduccin (henrio)
x Desplazamiento (m) q Carga (culombio)
v Velocidad (m/s) i Corriente (A)
Coeficiente de amortiguamiento
(N-s/m)
R Resistencia (ohmio)
Constante elstica (N/m)
C
1 Inverso de la capacitancia ( 1F )
Usando la analoga se puede establecer que la solucin de la ecuacin (4)
es:
-
73
tL
R
LCseneqq
tL
R 2
20
2
1 (7)
La derivada de la ecuacin (1) con respecto al tiempo es:
01
2
2
ictd
idR
td
idL (8)
Dividendo por L se sigue que:
01
2
2
iCLtd
id
L
R
td
id (9)
Teniendo en cuenta que 2/10 /1 LC y que L
R2 , la ecuacin (9) se
puede escribir en forma ms concisa mediante
02 202
2
itd
id
td
id (10)
Para resolver esta ecuacin usaremos la funcin de prueba
tjeIi 0 (11)
Donde 0I es la amplitud y es la fase, las cuales deben ser cantidades reales.
Derivando la ecuacin (11) respecto al tiempo se obtiene:
tjeIjdt
di0 (12)
Derivando nuevamente respecto al tiempo se sigue que:
tjeIdt
id0
2
2
2
(13)
Reemplazando las ecuaciones (11), (12) y (13) en la ecuacin (10), se obtiene:
02 020002 tjtjtj eIeIjeI
-
74
02 0202 tjeIj (14)
Que se satisface para la solucin trivial 00 I
Si la amplitud es finita, necesariamente se requiere que:
02 202 j (15)
Multiplicando por (-1) se sigue que:
02 202 j (16)
La solucin de la ecuacin (16) es:
2
442 202
j (17)
22
0
j (18)
De este resultado surgen dos casos importantes, dando un comportamiento fsico
totalmente diferente. Uno es cuando es complejo, que ocurre cuando ,220 o
equivalente
2
2
1
L
R
LC, que corresponde al caso subamortiguado. El otro es
cuando 220 , en el que es puramente imaginario y se denomina caso
sobreamortiguado.
- CASO SUBAMORTIGUADO:
Tomando la solucin positiva de la ecuacin (18) (igualmente podra servir
la solucin negativa sin cambio en la respuesta), substituyndola en la ecuacin
(11) y tomando la parte real (puesto que solamente la parte real tiene significado
fsico para nosotros) llegamos al resultado siguiente:
teIi t cos0 (19)
Donde por brevedad hemos escrito
2
222
04
1
L
R
LC
-
75
La ecuacin (19) se obtiene de la siguiente manera:
De la ecuacin (11) se sabe que:
tjeIi 0
La solucin positiva de la ecuacin (18) es:
22
0 j
Reemplazando este valor de en la solucin anterior es obtener:
tjj
eIi22
0
0
Que puede volverse a escribir mediante:
tj
t eeIi22
0
0
Tomando la parte real se obtiene:
teIi t 2200 cos
La forma esencial de este resultado indica que la amplitud de la corriente decrece
exponencialmente. Adems, la frecuencia angular de oscilacin diferente de
0 , la frecuencia angular natural de oscilacin o frecuencia angular sin
amortiguamiento. Sin embargo, cuando R no es demasiado grande, no se
aparta en forma significante de 0 . La figura (1.4.6-2), ilustra la variacin de la
corriente con el tiempo: 0t es el tiempo para el cual el interruptor se cierra para
completar el circuito.
La lnea punteada muestra el decrecimiento de la amplitud en funcin del
tiempo.
La energa total almacenada en el sistema en un tiempo cualquiera es:
).(2
1)(
2
1)( 22 tvCtiLtu
-
76
Figura (1.4.6-2) Osciladores amortiguadas de la corriente en un circuito RLC en serie. La fase de la
ecuacin (19) se tomo igual a 2/ , as que para 0t 0i .
- CASO SOBREAMORTIGUADO:
El movimiento oscilatorio de un oscilador armnico cesa cuando la
frecuencia angular , dada por la ecuacin (18) es puramente imaginaria, as
que en tal caso la parte real del exponencial complejo je se convierte en una
funcin mono tnicamente decreciente.
A primera vista la ecuacin (18), muestra que el principio del movimiento no
oscilatorio ocurre cuando el amortiguamiento ha aumentado al punto en donde.
2
22
02
1
L
R
LC
2C
LR
Cuando esta situacin prevalece se dice que el sistema esta crticamente
amortiguado. La solucin de la ecuacin (10) viene a ser ahora
tetBAi
-
77
Donde A y B son constantes que estn determinadas por las condiciones
inciales.
1.5 MOVIMIENTO ARMNICO AMORTIGUADO FORZADO (M.A.A.F)
Cuando sobre un sistema est actuando una fuerza externa de la forma
tsenFtF 0 o tFF cos0 , durante su movimiento vibratorio, la vibracin se denomina forzada. La respuesta de vibracin tiene lugar al a misma
frecuencia de excitacin, aunque el sistema tambin tiende a vibrar en su propia
frecuencia natural.
Las excitaciones armnicas generalmente son producidas por el
desbalance en las maquinas rotatorias o por el movimiento de la maquina misma.
Consideramos un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento
viscoso, excitado por una fuerza armnica tsenF 0 , como se indica en la figura
(1.5-1).
Figura (1.5-1) Oscilador Armnico Amortiguado forzado
Su ecuacin de movimiento es:
2
2
:dt
xdmFFFamF toraamortiguadresorte (1)
En donde
dt
dxbF
xkF
oraamortiguad
resorte
-
78
tsenFtF 0aplicadaexterior Fuerza
Por lo tanto,
22
td
xdmtF
td
xdbxk
tsenFxkdt
dxb
dt
xdm 02
2
(2)
Dividendo por m se obtiene:
tsenm
Fx
m
k
dt
dx
m
b
dt
xd0
2
2
(3)
tsenm
Fx
dt
dx
dt
xd 0202
2
2 (4)
La solucin de esta ecuacin consta de dos partes, la solucin complementaria y
la solucin particular, por lo tanto,
pc xxx (5)
La solucin complementaria es la correspondiente al caso de la vibracin libre
amortiguada y la solucin de prueba para la solucin particular es
tsenAxp 0 (6)
En donde 0A y se determinan de manera que se satisfaga la ecuacin
diferencial, teniendo en cuenta que 0A es la amplitud de la oscilacin y , es la fase del desplazamiento con respecto a la fuerza excitatriz.
Derivando la ecuacin (6) respecto al tiempo se obtiene:
tAdt
dxpcos0 (7)
Derivando la ecuacin (7) respecto al tiempo se obtiene:
tsenAdt
xd p0
2
2
2
(8)
Reemplazando las ecuaciones (6), (7) y (8) en la ecuacin (4) se sigue que
-
79
tsenm
F
tsenAtAtsenA
0
0
2
000
2 cos2
(9)
Factorizando la amplitud 0A y expandiendo las funciones tsen y tcos se obtiene:
tsenm
Fsentsent
senttsenA
0
22
00
]coscos2
coscos[
(10)
Factorizando tsen y tcos se sigue que:
tsenm
Ftsen
tsensenA
022
0
22
00
}cos]
cos2[]2cos[{
(11)
La ecuacin (11) se satisface si el coeficiente de tcos es cero, por tanto
0]cos2[ 2200 senA (12)
Pero 0A no es cero, luego:
0]cos2[ 220 sen (13)
cos2220 sen (14)
20
222
0
22
cos
sen (15)
2
0
2
1
2
0
2
2tan
2tan
(16)
Igualando los coeficientes de tsen se sigue que:
m
FsenA 02200 ]2cos[ (17)
senmF
A2cos
/22
0
00
(18)
-
80
Pero de la ecuacin (15) se puede construir el triangulo mostrado en la fig. (1.5-2),
que permite obtener las funciones sen y cos , as:
Figura (1.5-2) Triangulo rectngulo que permite determinar las funciones sen y cos
22220 2
2
sen (19)
22220
22
0
2
cos
(20)
Reemplazando las ecuaciones (19) y (20) en la ecuacin (18) se obtiene:
222202222
0
22
022
0
0
0
2
22
2
m
F
A (21)
22220
222
0
00
2
2
/
mFA (22)
222200
0
2
/
mFA (23)
Siendo 0A la amplitud del movimiento.
La respuesta ( desplazamiento px ) del sistema es:
-
81
22
02222
0
0 2tan
2
/
arctsen
mFxp (24)
Otra forma de obtener la amplitud 0A y la fase de la solucin particular o solucin de estado estacionario, es la siguiente:
Tomando la ecuacin (9) y haciendo )( t sucesivamente igual a 0 y a 2/ tenemos:
senm
FA 002 (25)
cos2
000
22
0m
Fsen
m
FA
(26)
Tngase en cuenta que en la ecuacin (25) se hizo uso de la relacin:
tt 0 (27)
Anlogamente en la ecuacin (26) se empleo la relacin
22
tt (28)
Elevando al cuadrado las ecuaciones (25) y (26) se obtiene:
2
2
02
02 senm
FA
(29)
22
02
0
222
0 cos
m
FA (30)
Sumando las ecuaciones (29) y (30) miembro se sigue que:
2
02
0
2222
0 ]2[
m
FA (31)
Despejando 0A de la ecuacin (31) se obtiene:
222200
0
2
/
mFA (32)
Dividiendo miembro a miembro la ecuacin (25) y la ecuacin (26) se sigue que:
-
82
220
2tan
(33)
22
0
2tan
arc (34)
Por tanto, la solucin particular px o solucin de estado estacionario de la
ecuacin diferencial de un oscilador armnico forzado (O.A.A.F) es:
]
2tan[
222
02222
0
0
arctsenm
F
xp (35)
La solucin completa de la ecuacin diferencial de un (O.A.A.F) es:
tsenmF
tseneAx t
2222
0
0
22
0
2
/ (36)
La solucin complementaria, suponiendo sub-amortiguamiento, depende de las condiciones inciales y se disipa exponencialmente. La solucin particular
representa efectos para un tiempo grande comparando con /1 .
El primer trmino, llamado transitorio, se disipa exponencialmente, quedando solamente el segundo termino llamado de estado permanente.
La figura (1.5-3) muestra la grafica de la elongacin en funcin del tiempo para un O.A.A.F., dada por la ecuacin (36).
Figura (1.5-3) Elongacin en funcin del tiempo de un Oscilador Armnico Amortiguado Forzado.
-
83
Definiendo el factor de frecuencia r ,
naturalfrecuencia
impulsorafrecuencia
f
fr
00
(37)
y el factor de amortiguamiento ,
naturalangularFrecuencia
ntoortiguamieante de amCons
t
0
(38)
La ecuacin (36) puede escribirse mediante:
tsen
rr
m
F
tseneAxt
22222
0
0
0
2
41
10
La amplitud de la solucin particular puede escribirse como:
stx
rr
m
F
A
22222
0
0
0
41
En donde
2222 4)1(
1
rr
es el factor de amplificacin, y
k
F
m
Fxst
0
2
0
0
es la deformacin esttica.
La figura (1.5-4) seala la grafica del factor de amplificacin contra el
factor de frecuencia r , usando el factor de amortiguamiento como parmetro.
-
84
Figura (1.5-4) factor de ampliacin contra el factor de frecuencia r .
1.5.1 RESONANCIA EN LA AMPLITUD:
La amplitud oA de la solucin particular de la ecuacin deferencial de un
O.A.A.F., es funcin de la frecuencia impulsora . Con el fin de encontrar la
frecuencia angular R a la cual la amplitud 0A es mxima, hacemos
00
d
dA (1)
Por lo tanto,
0
2
)(
2222
0
0
0
m
F
d
d
d
dA (2)