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Otimalidade de Pareto
Prof. João Manoel Pinho de MelloDepto. de Economia, PUC-Rio
Agosto, 2006
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Referência: capítulo 29, Varian
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O problema Dois agentes 1 e 2, dois bens A e B
(e1A, e1
B) = dotação inicial do agente 1 (e2
A, e2B) = dotação inicial do agente 2
Dotação Agregada da Economia eA = e1A + e2
A, eB = e1B + e2
B
u1(x1A, x1
B) são as preferências do agente 1, u2(x2A, x2
B) são as preferências do agente 1 Impomos que os agentes não se importam com o consumo do
outro agente• Não há altruísmo• Não há externalidades
(x1A, x1
B, x2A, x2
B ) é uma alocação
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A pergunta Um planejador central que fosse
OnipotenteOnisciente
alocaria os bens entre os dois agentes? Pergunta imediata:
Alocaria segundo qual critério? • Ele gosta mais de qual agente? • Ele se incomoda com desigualdade
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Eficiência de ParetoUma alocação (x1
A, x1B, x2
A, x2B ) é dita eficiente do
ponto de vista de Pareto se não existe nenhuma outra alocação (z1
A, z1B, z2
A, z2B ) tal que:
com desigualdade estrita para ao menos um i
2,1 para ,, ixxuzzu Bi
Aii
Bi
Aii
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A caixa de Edgeworth
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Uma representação gráfica (e1
A, e1B), (e2
A, e2B) : dotações iniciais
x1B
x1A
x2A
x2B
e1A
e1B
e2A
e2B
eA = e1A + e2
A
eB =
e1 B +
e2 B
Agente 1
Agente 2
e2B
Dotação inicial
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Eficiência de Pareto, graficamente
x1B
x1A
x2A
x2B
e1A
e1B
e2A
e2B
eA = e1A + e2
A
eB =
e1 B +
e2 B
Agente 1
Agente 2
e2B
Dotação inicial
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Jargão Loteria = distribuição de probabilidade Estados da natureza
Cara Coroa
Consumo contingente Na loteria 1, o consumo é 10,000 contingente a sair cara Na loteria 2, o consumo é 5,000 contingente a sair coroa
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Outro exemplo Você tem R$100.000, sendo que destes K reais estão
na forma de um carro Com probabilidade p (0,1), o carro é roubado Mas você pode fazer um seguro, pagando reais
Loteria 1 (comprando seguro) (100.000 – , 1; 100.000 – , 1)
• Já sei, é uma loteria meio boba, que se chama de degenerada
Loteria 2 (sem seguro) (100.000 – K, p; 100.000 , 1 - p)
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Outro exemplo Estados da natureza
Consumo contingentes
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Seguro e transferência de consumo Suponha agora que você pode comprar unidades de
consumo, por por unidade de seguro comprado O seguro permite transferir consumo do estado da
natureza “não roubo” para o estado da natureza “roubo”
Seja CR o consumo quando há roubo e CNR o consumo quando não há roubo
Seja S a quantidade de seguro comprada Imagine que K = 35.000
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Seguro e transferência de consumo Comprando seguro
(CR = 100.000 – K – S + S ; CNR = 100.000 –S) Sem comprar seguro (dotação inicial)
(CR = 100.000 – K ; CNR = 100.000)CNR
CR
100
65
100 - S
65 + (1 - )S
Dotação inicial
Cesta de compra S de seguro
Vender seguro
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Seguro e transferência de consumo Seja θ a inclinação da linha
Pense em consumo no estado não roubo (CNR) e no estado roubo (CNR) como dois bens quaisquer.
Pense em
como o preço relativo
1SS
S
1
NR
R
C
C
PP
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Seguro e transferência de consumo Aí temos uma restrição orçamentária igual ao
que tínhamos na Teoria do Consumidor normal
Nos falta Uma teoria razoável de preferência a respeito de
diferentes teorias• Colocar as curvas de indiferença
Dizer algo sobre como este preço relativo aparece
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Teoria da Utilidade Esperada
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Preferência a respeito de loterias Missão: “colocar as curvas de indiferença” Em Teoria do Consumidor normal, geralmente
pensávamos que preferências razoáveis seriam: Crescentes nas quantidades de cada bem Mas à taxas decrescentes
Agora vamos impor mais estrutura Quer dizer: exigir mais coisas de uma preferência razoável
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Utilidade esperada: idéias gerais A cesta de bens é o consumo contingente em cada estado da
natureza: (C1, C2) Probabilidades dos estados da natureza: π1 e π2, que somam 1
Gostaríamos que nossa teoria (modelo) para escolha sob incerteza tivesse as seguintes características: Eu valorizo mais consumo em estados mais prováveis
• Eu gostaria de muito consumo em um estado improvável para abrir mão de um pouco de consumo em um estado provável
Minha atitude frente ao risco seja facilmente caracterizável a partir de minhas preferências
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Preferências sobre loterias: o modelo geral Dois estados da natureza, mutuamente exclusivos e
exaustivos: 1 e 2 Consumo contingente: (C1, C2) Probabilidades: π1 e π2, π1 + π2 = 1 Utilidade, formato geral:
2121 ,;, ccU
Consumo contingente, os bens
probabilidades, os parâmetros
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Exemplos de preferências
21212121 ,;, Douglas-Cobb ccccU
22112121 ,;,Linear ccccU
22112121 lnln,;,linear -Log ccccU
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Utilidade esperada Preferências sobre loterias estão na forma de utilidade
esperada se são a soma ponderada (pelas probabilidades) da utilidade do consumo contingente, que é dada pela função u(•)
Também chamada de utilidade de von Neumann-Morgenstern
A função u(•) é chamada de utilidade de Bernoulli
22112121 ,;, cucuccU
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Utilidade esperada: forma versus representação Preferências representam preferências de utilidade
esperada se podem ser transformadas para a forma de utilidade esperada através de transformações monótonas
22112121 lnln,;,linear -Log ccccU
está na forma de utilidade esperada
21212121 ,;, Douglas-Cobb ccccU
não está na forma de utilidade esperada
Mas representa preferências de utilidade esperada porque pode ser transformada na forma de utilidade esperada por transformações monótonas (em realidade só uma é necessária)
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Utilidade esperada: forma versus representação Exemplos:
652
19812121 ,;, ccccU 212121 )exp(,;, ccccU Está na forma de utilidade esperada?Representa utilidade esperada?Está na forma de utilidade esperada?Representa utilidade esperada?
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Utilidade esperada: bom modelo? Para estar na forma de utilidade esperada é crucial que
Seja separável nos consumos nos estados da natureza• Utilidade do consumo se chove não depende da quantidade de consumo
se faz sol• O que não ocorreu não importa
• Chove, faz sol ou vai para SP no fim de semana• Café, açúcar e água• Chama-se isto de suposição de independência
Que a função u seja a mesma• Suponha eventos equiprováveis
• A utilidade de consumir se faz sol é igual à utilidade de consumir se chove Utilidade dependente do estado
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Atitude frente ao risco
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Você gosta de risco? Alguém tem uma moeda justa que:
Se sai cara, você ganha 10.000 Se sai coroa: você não ganha nada Quanto você estaria disposto a pagar pelo direito de jogar
esta moeda? O que você prefere?
Uma moeda justa que paga 0 com probabilidade ½, e 20.000 reais com probabilidade ½
Uma moeda justa que paga 8.000 com probabilidade ½, e 10.000 reais com probabilidade ½
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Utilidade da média versus média das utilidades Loteria: 0 com probabilidade ½, 10.000 com
probabilidade ½ Suponha que:
Então o agente é dito avessa ao risco 021000.10
210
21000.10
21 uuu
Utilidade da média, ou utilidade esperada de uma loteria que paga 5.000 com
certeza
Utilidade média (ou esperada)
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Aversão ao riscoUtils
$0 10.0005.000
u(·)
½u(0) + ½u(10.000)
Utilidade média
u(5.000) = utilidade da
média Função de Bernoulli
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Amor ao riscoUtils
$0 10.0005.000
u(·)
½u(0) + ½u(10.000)
Utilidade média
u(5.000) = utilidade da
média
Função de Bernoulli
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Neutralidade ao riscoUtils
$0 10.0005.000
u(·)
½u(0) + ½u(10.000)
u(5.000) =
Função de Bernoulli
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Resumo Se a utilidade de Bernoulli u(·) é côncava (u’’ < 0),
então o agente é avesso ao risco Exemplo u(c) = ln(c), u(c) = c½
Se a utilidade de Bernoulli u(·) é convexa (u’’ > 0), então o agente é avesso ao risco Exemplo u(c) = exp(c), u(c) = c2
Se a utilidade de Bernoulli u(·) é linear (u’’ = 0), então o agente é avesso ao risco Exemplo u(c) = c, u(c) = 10+34c
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Exemplo: demanda por seguro Exemplo anterior:
100.000 patrimônio, 35.000 em um carro, que é roubado com probabilidade p
Pode comprar seguro por γ por unidade segurada Problema: quanto segurar (S)
( ) ( ) ( )Sγ-up -Sγ -+SpuS
1001+65max
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Exemplo: demanda por seguro CPO
Suponha que o seguro seja “atuarialmente” justo, ou seja, p = γ. Isto implica que a CPO se reduz a
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
( )( )( )γ-p
p-γSγ-'u
Sγ-'uSγ-'up-γ-Sγ-'uγ-p
11
=100
1+65↔0=10011+651
( )( )( ) ( )( ) ( )Sγ-'uSγ-'u
Sγ-'uSγ-'u
100=1+65→1=100
1+65
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Exemplo: demanda por seguro Suponha que u’’ < 0 (agente avesso ao risco) Então u’ é decrescente Para que
é preciso que 65 + (1 – γ)S = 100 – γS Ou seja, S = 35 O que isto significa?
( )( ) ( )Sγ-'uSγ-'u 100=1+65
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Exemplo: demanda por seguro Checando a condição de 2ª ordem
O que ocorreria se u´´ > 0, ou seja, se o agente é amante do risco?
0'' que dado035100''1
|100''1165''1 35
uuSuSu S
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Mensuração da aversão ao risco
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Aversão ao risco Na maioria esmagadora das situações
imaginamos que os agentes não gostam de risco
Geralmente os agentes “neutros” ao risco o são porque em realidade não enfrentam risco Seguradoras e a Lei dos Grandes Números
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Quanto? u’’ nos diz que o agente é avesso ao risco
Mas quanto? Curvatura de u
Os coeficientes de aversão relativa e absoluta ao risco
Equivalente em certeza Prêmio de probabilidade
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Equivalente em certeza Suponha que você tem uma loteria que paga:
K1 com probabilidade p K2 com probabilidade 1 – p K1 > K2 > 0
O equivalente em certeza é
11 1 KupKpuECu
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Equivalente em certeza Se EC < pK1 + (1 – p)K2, então o agente é
avesso ao risco Se dois agentes i e j têm equivalentes em certeza
tais que ECi < ECj diz-se que i é mais avesso ao risco que j
O equivalente em certeza é quanto você está disposto a abrir mão de média para evitar o risco
A idéia pode ser generalizada para qualquer loteria L
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Equivalente em certezaUtils
$0 10.0005.000
u(·)
½u(0) + ½u(10.000)
Função de Bernoulli
Equivalente em certeza
EC
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CurvaturaUtils
$0 10.0005.000
u(·)
½u(0) + ½u(10.000)
Equivalente em certeza
ECEC
Equivalente em certeza
u(·)
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O coeficiente de aversão absoluta ao risco Defina:
ρa é chamado de coeficiente de aversão absoluta ao risco
A primeira derivada no denominador serve para tornar o índice insensível a unidades
wuwuwa '
''
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O coeficiente de aversão absoluta ao risco Se u é tal que ρr(w) é constante em w então,
diz-se que o agente tem aversão absoluta ao risco constante
Sua atitude frente ao risco de uma loteria que ele perde 100 da riqueza (w) com probabilidade e ganha 100 com probabilidade ½ não muda com w
Exemplo: u(w) = exp(-ηw)
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O coeficiente de aversão relativa ao risco Defina:
ρr é chamado de coeficiente de aversão relativa ao risco
Como no caso de ρa, a divisão pela primeira derivada faz com que o índice seja insensível à unidade de mensuração de w
wwu
wuwr '''
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O coeficiente de aversão relativa ao risco Se u é tal que ρr(w) é constante em w então,
diz-se que o agente tem aversão relativa ao risco constante
Sua atitude frente ao risco de uma loteria que ele perde 10% da riqueza (w) com probabilidade e ganha 10% com probabilidade ½ não muda com w
Exemplo: