Teoria do Equilíbrio Geral

Prof. João Manoel Pinho de MelloDepto. de Economia, PUC-Rio

jmpm@econ.puc-rio.br

Outubro, 2006

Referência: capítulo 29, Varian

Aparece o mercado... Até agora não os preços não apareceram Tudo o que fizemos foi:

Definir alocação factível Descrever uma alocação graficamente Dizer se esta alocação tinha uma certa característica, qual

seja:• Se ela é eficiente do ponto de vista de Pareto• Em outras palavras, se ela pertence ao conjunto de Pareto

Os agentes eram totalmente passivos até agora Na realidade, não importava quem tinha o que na dotação

inicial da economia ω1

A, ω2A, ω1

B e ω2B não importavam, mas sim ωA e ωB

A pergunta Agora queremos fazer uma previsão sobre o mundo

Queremos prever a alocação que sairá como resultado do processo de troca no mercado

E depois dizer algo sobre as propriedades desta alocação que sai como resultado de troca

A partir de ω1A, ω2

A, ω1B e ω2

B vamos prever quanto de cada bem fica com cada pessoa

Economia de trocas Dois agentes, 1 e 2, e dois bens, A e B,

completamente divisíveis Os dois têm dotações

• (ω1A, ω1

B) e (ω2A, ω2

B) E preferências representadas por

• u1(x1A,x1

B) e u2(x2A,x2

B) É uma economia de trocas, ou seja, não há produção

Mas não é escambo. Há um sistema de preços para realizar as trocas

Os preços aparecem a partir de um processo de troca que será descrito a seguir

O leiloeiro Walrasiano Eles se comportam como tomadores de preço

O que isto significa?• Strictu sensu, eles não percebem que são duopolistas e

duopsonistas nos dois produtos• Não percebem que suas decisões afetam preço• Não se comportam estrategicamente

É preciso pensar nisto como um modelo, como se houvesse muitos agentes do tipo A e muitos agentes do tipo B

O leiloeiro Walrasiano Uma terceira parte, o leiloeiro Walrasiano, diz um

par de preços relativos pA e pB

A estes preços, os agentes (i = 1,2) resolvem o seguinte problema de maximização de utilidade:

Bi

BAi

ABi

BAi

A

Bi

Aii

xx

ppxpxp

xxuBi

Ai

a sujeito ,max,

Restrição orçamentária

O leiloeiro Walrasiano Como soluções deste problema saem as demandas:

Agente 1

Agente 2

Aí o leiloeiro “vê” se estas demandas fazem com que o mercado esteja em equilíbrio, ou seja, demanda = oferta Se sim, então pA e pB são preços de equilíbrio Se não tenta outros preços, e assim por diante

BABBAA ppxppx , e , 11

BABBAA ppxppx , e , 22

O leiloeiro Walrasiano

BAB ppx ,2

B

A

pp

BAB ppx ,1

x1B

x1A

x2A

x2B

Agente 1

Agente 2

Dotação inicial

Leiloeiro Walrasiano cota estes preços

BAA ppx ,2

BAA ppx ,1

Uma representação gráfica

BAB ppx ,2

B

A

pp

BAB ppx ,1

x1B

x1A

x2A

x2B

Agente 1

Agente 2

Dotação inicial

BAA ppx ,2

BAA ppx ,1

excesso de demanda de 2 por A

excesso de demanda de 1 por A

Excesso de demanda de 2 por B Excesso de

demanda de 2 por B

O leiloeiro Walrasiano Demanda líquida, bem j agente i:

Um mercado j está em equilíbrio se a soma das demadas líquidas dos agentes é zero

BAji

ji

BAji ppxppe ,,

0,, 21 BAjBAj ppeppe

O leiloeiro Walrasiano Outra maneira de ver

0,, 21 BAjBAj ppeppe

BAjj ppx ,22 BAjj ppx ,11 + = 0

jj21 = BAjBAj ppxppx ,, 21

Oferta Demanda

O leiloeiro Walrasiano Os mercados estão em equilíbrio no exemplo

anterior?

Mercado A?

Mercado B?

Qual preço está muito alto?

O leiloeiro Walrasiano

BAB ppx ,2

B

A

pp

BAB ppx ,1

x1B

x1A

x2A

x2B

Agente 1

Agente 2

Dotação inicial

BAA ppx ,2

BAA ppx ,1

excesso de demanda de 2 por A

excesso de demanda de 1 por A

Excesso de demanda de 2 por B Excesso de

demanda de 2 por B

B

A

pp~~

Equilíbrio: Definição Definição: Um equilíbrio Walrasiano é uma

alocação e um par de preços (pA, pB) tais que

1.

2.

2,1 ,maxarg~,~ ixxuxx ji

ji

ji

ji

BABA xxxx 2211~,~,~,~

BAjxx jjjj , ~~2121

A álgebra do equilíbrio: Lei de Walras

A lei de Walras Nós vamos mostrar um resultado surpreendente:

Se um par de preços equilibra um mercado (digamos o A) então ele necessariamente equilibra o outro mercado (B)

Este resultado é conhecido como lei de Walras

BA pp ~,~

A lei de Walras Suponha que seja um par de preços de

equilíbrio, ou seja, que equilibra os dois mercados A e B. Da restrição orçamentária dos dois agentes, temos

BA pp ~,~

BBAABABBBAAA

BBAABABBBAAA

ppppxpppxp

ppppxpppxp

2222

1111

~~~,~~~,~~

~~~,~~~,~~

0~,~~~,~~0~,~~~,~~

~,~

22

~,~

22

~,~

11

~,~

11

22

11

BABBAA

BABBAA

ppe

BBABB

ppe

ABAAA

ppe

BBABB

ppe

ABAAA

ppxpppxp

ppxpppxp

A lei de Walras Somando as duas equações temos:

Se o mercado A está em equilíbrio, então

(*) 0~,~~,~~~,~~,~~por agregada líquida Demanda

21

por agregada líquida Demanda

21 B

BABBABB

A

BAABAAA ppeppepppeppep

0~,~~,~21 BAABAA ppeppe 0~,~~,~~

21 BABBABB ppeppep

A lei de Walras O que isto significa?

O MERCADO B TAMBÉM ESTÁ EM EQUILÍBRIO

A lei de Walras

Numa economia com N bens, se os preços pA, pB,..., pN equilibriam os N – 1 primeiros mercados, então ele também equilibra o enésimo mercado

A lei de Walras: intuição Temos N condições de equilíbrio, uma para cada

mercado:

A lei de Walras diz que uma destas equações é redundante O sistema é sub-identificado Um preço não está determinado

• Podemos normalizá-lo para 1, e todos os outros preços ficam em função deste preço (o numerário, pode ser a moeda)

SOMENTE PREÇOS RELATIVOS IMPORTAM

0,...,,,...,,

0,...,,,...,,

0,...,,,...,,

21

21

21

NBANNBAN

NBABNBAB

NBAANBAA

pppxpppx

pppxpppx

pppxpppx

Um exemplo Cobb-Douglas Preferências

Dotações iniciais

(ω1A, ω1

B) e (ω2A, ω2

B)

1

22222

111111

,

,BABAA

BABAA

xxxxu

xxxxu

Um exemplo Cobb-Douglas1º passo: achar as demandas como função das dotações iniciais e dos preços

BBAABBAA

BA

xx

ppxpxp

xxBA

1111

111

,

a sujeito

max11

B

BBAABAB

A

BBAABAA

pppppx

pppppx 11

111

11, e ,

B

BBAABAB

A

BBAABAA

pppppx

pppppx 22

222

21, e ,

A solução deste problema éAnalogamente para o agente 2

Um exemplo Cobb-Douglas 2º passo: achar a demanda agregada de um dos bens

3º passo: normalize um dos preços para 1 Por exemplo pA = 1

A

BBAA

A

BBAABAABAABA

ppp

pppppxppxppD 2211

21 ,,,

BBABBABAABAABA ppppxppxppD 221121 ,,,

Um exemplo Cobb-Douglas 4º passo: construa a condição de equilíbrio no

mercado A

(*) 212211AABBABBA pp

DEMANDA OFERTA

Um exemplo Cobb-Douglas 5º passo: resolva (*) para o preço relativo de

BB

AA

A

B

pp

21

21 11

Um exemplo Cobb-Douglas 6º passo: substituir nas demandas e achar as

quantidades de equilíbrio

BAAA

BBB

BBB

AAAA

BAAA

BBB

BBB

AAAA

x

x

x

x

2221

212

221

2122

1121

211

121

2111

111

11

111

11

Equilíbrio Walrasiano e Eficiência: os dois teoremas do

bem-estar

Pareto e Walras

Pareto

Alocações eficientes do

ponto de Pareto

Walras

Alocações que são equilíbrios

Walrasinos

?

?

1º teorema do bem-estar

2º teorema do bem-estar

1º Teorema do Bem-Estar: a mão invisível de Adam Smith Equilíbrio → eficiência?

Vamos mostrar que, sob algumas condições, todo equilíbrio Walrasiano é eficiente do ponto de vista de Pareto

É a mão invisível de Adam Smith• O funcionamento descentralizado, desorganizado do mercado leva

a um resultado social que possui algo de desejável• É o mesmo que dizer que todas as oportunidades de troca são

exauridas pelo mercado O resultado é completamente silencioso quanto às

considerações de igualdade

1º Teorema do Bem-Estar As condições são

Os agentes são tomadores de preço• Porque são muito pequenos em relação ao mercado• Porque não reconhecem que seu comportamento afeta preços,

potencialmente. Ou seja, não se comportam estrategicamente• Oligopólio, monopólio

O comportamento dos agentes não afeta a utilidade dos outros diretamente

• xj2 não pertence a u1

• Não há poluição neste mundo• Externalidade, bens públicos

1º Teorema do Bem-Estar, graficamente

BAB ppx ,2

B

A

pp

BAB ppx ,1

x1B

x1A

x2A

x2B

Agente 1

Agente 2

Dotação inicial

BAA ppx ,2

BAA ppx ,1

excesso de demanda de 2 por A

excesso de demanda de 1 por A

Excesso de demanda de 2 por B

B

A

pp~~

1º teorema do bem-estar, a demonstração

1º teorema do bem-estar, formulação algébrica Se as funções utilidade são bem comportadas

Crescentes e diferenciáveis nos bens Côncavas nos bens

• Bom exemplo é Cobb-Douglas Então as soluções dos problemas de

maximização de utilidade dos agentes são “interiores”

1º teorema do bem-estar, formulação algébrica Isto é

Bi

BAi

ABi

BAi

A

Bi

Aii

xx

ppxpxp

xxuBi

Ai

a sujeito ,max,

2,1

e

CPOs

ipp

xu

xu

pxup

xu

B

A

Bi

i

Ai

i

BBi

iAAi

i B

A

B

A

B

A

pp

xuxu

xuxu

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1 TMgTMg

Onde vimos isto?

O monopolista na caixa de Edgeworth Suponha agora que já não há leiloeiro

Walrasiano, mas o agente 1 cota preços para o agente 2 Ele se comporta de forma estratégica

O agente 2 aceita ou rejeita a oferta O agente 1 sabe as preferências (u2(.)) e a

dotação inicial de 2 (x2A, x2

B)

O monopolista na caixa de Edgeworth Relembrar o conceito de curva de preço-

oferta de micro I

É o locus (a curva) das alocações escolhidas pelo agente como função dos preços

O monopolista na caixa de Edgeworth

x1B

x1A

x2A

x2B

Agente 1

Agente 2

Dotação inicial

Curva de preço-oferta de 2

Curva de utilidade de 1

Curva de utilidade de 2

O monopolista discriminador perfeito na caixa de Edgeworth

x1B

x1A

x2A

x2B

Agente 1

Agente 2

Dotação inicial

Curva de utilidade de 1

Curva de indiferença de 2

Discussão do 1º teorema O primeiro teorema diz uma coisa muito

profunda Se os agentes são tomadores de preço e

enfrentam todos os preços de suas ações Então o resultado da interação de mercado será

“eficiente” no sentido de Pareto Solução centralizada?

• Duas pessoas, 1.000.000 pesssoas• Hayek e os requerimentos informacionais

2º teorema do bem-estar Pergunta reversa: eficiência → equilíbrio? Será que podemos implementar uma alocação

eficiente do ponto de vista de Pareto como um equilíbrio Walrasiano?

Se pudermos redistribuir as dotações iniciais, há como achar um vetor de preços tal que o equilíbrio Walrasiano é exatamente esta alocação eficiente do ponto de vista de Pareto? É o sonho socialista!!

A resposta é: sob algumas condições (mais fortes que para o 1º teorema do bem-estar) sim

2º teorema do bem-estar: motivação gráfica

x1B

x1A

x2A

x2B

Agente 1

Agente 2

Dotação inicial

Dotação inicial

2º teorema do bem-estar: motivação gráfica

x1B

x1A

x2A

x2B

Agente 1

Agente 2

Curva de indiferença de B

Discussão do 2º teorema O segundo teorema do bem-estar diz que os

problemas de distribuição e eficiência podem ser resolvidos separadamente Eficiência alocativa é alcançada através do sistema de

preços Objetivos distributivos são alcançados via tributação de

“dotação” ou “riqueza” Não é eficiente tributar consumo. Tudo o que distorce

decisões é ineficiente “Igualdade de dotação”: tributo sobre herança, provisão de

bens como educação e saúde