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Teoria Microeconômica II: Introdução à Teoria dos Jogos
Agosto, 2006
Prof. João Manoel Pinho de [email protected]
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Revisão
Principais conceitos e definições
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Revisão Jogo estático
“Common knowledge” Eliminação de estratégias estritamente dominadas Equilíbrio de Nash Estratégias mistas
Jogo Dinâmico Estratégia Subjogo Equilíbrio de Nash Perfeito em Subjogos
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HOJE: Jogos RepetidosHorizonte finito e infinitoReputação e credibilidade
Punições
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Dilema dos Prisioneiros Considere a seguinte versão do dilema dos
prisioneiros.
Pergunta: há meios de implementar cooperação em relações duradouras?
2
1
C NC
C 1,1 5,0
NC 0,5 4,4
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Horizonte Finito
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Dilema dos prisioneiros em 2 períodos Taxa de desconto: = 1
Expansão da árvore é exponencial: 1o período: 4 resultados possíveis 2o período: 16 resultados possíveis
Estratégia: deve estabelecer o que será feito por cada jogador, em cada história possível do jogo.
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Indução retroativa
Menor subjogo: é o próprio jogo constituinte; independente da história pregressa.
EN do menor subjogo: (C,C).
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1o período Considerando que no segundo período será jogado
(C,C), o primeiro período é representado por:
2
1
C NC
C 2,2 6,1
NC 1,6 5,5
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Equilíbrio de Nash Perfeito em Subjogos Jogador i =1,2: (C; C,C,C,C)
O ENPS é único.
Não há como implementar cooperação.
Caso houvesse N períodos, o resultado seria análogo.
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Proposição
Caso o jogo constituinte tenha um único equilíbrio de Nash, o jogo repetido N vezes também terá um único equilíbrio de Nash perfeito em subjogos.
Esse ENPS corresponde à repetição dos equilíbrios do jogo constituinte.
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Cooperação em jogos com horizonte finito Suponha que, por alguma razão, haja uma nova
possibilidade no jogo constituinte, representada por X.
2
1
C NC X
C 1,1 5,0 0,0
NC 0,5 4,4 0,0
X 0,0 0,0 3,3
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Sustentando cooperação Considere o seguinte par de estratégias (s1, s2) :
Primeiro período: NC Segundo período: X caso tenha ocorrido (NC,NC); C caso
contrário.
Objetivo: ao invés de caracterizar o conjunto de todos os equilíbrios, iremos mostrar que as estratégias acima constituem um ENPS.
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Dá para implementar NC no 1º período? Considere a decisão do jogador 2 dado o que
o jogador 1 joga s1:
5
1o estágio
+ 1
2o estágio
Se ele joga C no primeiro período, dado o que o jogador 1 joga s1, seu payoff é:
4
1o estágio
+ 3
2o estágio
Se ele joga NC no primeiro período, dado o que o jogador 1 joga s1, seu payoff é:
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Características Só é possível implementar cooperação em jogos repetidos
com horizonte finito se o jogo constituinte apresentar equilíbrios múltiplos.
apenas as ameaças críveis de punições futuras podem afetar o comportamento corrente.
Caso haja um único EN no jogo constituinte, será jogado em cada repetição.
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Horizonte Infinito
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Estrutura Jogo constituinte é o mesmo que antes
Infinitas repetições – se aplica para relações duradouras que não possuem prazo de validade.
Taxa de desconto: 0 < < 1. Impaciência. Probabilidade do jogo se repetir por mais 1 período.
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Dilema dos prisioneiros
Estratégia do gatilho: Joga NC no 1o período; Joga NC se observou (NC,NC) em todos os períodos
anteriores e C caso contrário.
2
1
C NC
C 1,1 5,0
NC 0,5 4,4
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Teste A estratégia do gatilho constitui um equilíbrio de
Nash perfeito em subjogos?
2 tipos relevantes de subjogos: subjogos de “cooperação”; subjogos de “não-cooperação”.
Naqueles subjogos de não-cooperação, a estratégia prevê um equilíbrio de Nash do jogo constituinte.
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Subjogos de cooperação Nos subjogos de cooperação, as estratégias
constituem equilíbrio se:
4+4+42+... ≥ 5++2...
4/(1-) ≥ 5+/(1-)
≥ 1/4.
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Implementando o que é possível O que acontece se <1/4 ?
C não é implementável Considere uma versão modificada do dilema dos
prisioneiros, em que:
2
1
C NC
C 1,1 5,0
NC 0,5 M,M
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Continuação Estratégia do gatilho:
Joga NC no 1o período; Joga NC se observou (NC,NC) em todos os períodos anteriores e C
caso contrário. Nos subjogos de cooperação, as estratégias constituem
equilíbrio se:M+M+M2+... ≥ 5++2...
M/(1-) ≥ 5+/(1-)
M ≥ 5-4.
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Lição
Como os jogadores descontam muito o futuro, torna-se necessária uma compensação maior para que a cooperação ocorra.
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Implementando cooperação com punições mais brandas A estratégia do gatilho envolve punições muito
agressivas que, diante de um desvio, penaliza os jogadores indefinidamente.
Considere o seguinte par de estratégias (“stick and carrot”): Joga NC no 1o período; Joga NC se observou (NC,NC) ou (C,C) no período anterior; Joga C caso contrário.
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Estratégia
Diante de um desvio em k+1, a punição tem duração de apenas 1 período.
t ação de 1 ação de 2
k NC NC
k+1 NC C
k+2 C C
k+3 NC NC
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Equilíbrio de Nash Perfeito em Subjogos Nos subjogos de punição, a análise é a mesma da estratégia
do gatilho.
Nos subjogos de cooperação, as estratégias constituem equilíbrio se:
4+4+42+... ≥ 5++42...
4+4 ≥ 5+
≥ 1/3.
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Lição
Punições mais brandas requerem uma taxa de desconto mínima maior para a implementação da cooperação.
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DefiniçõesGanhos factíveis:
(0,5)(4,4)
(1,1) (5,0)
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Teorema Folk Friedman, 1971
Seja G um jogo estratégico com informação completa e (e1,...,eN) os ganhos de um equilíbrio de Nash de G. Seja (x1,...,xN) um vetor de ganhos factíveis de G.
Se xi > ei para todo i e for suficientemente próximo de 1, existe um ENPS do jogo repetido com horizonte infinito que atinge (x1,...,xN) como ganho médio.
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Teorema Folk
(0,5)
(4,4)
(1,1) (5,0)
Ganhos atingíveis em ENPS