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“INTRODUZIONE ALLA FISICA”

PROF. FRANCESCO DE PALMA

Università Telematica Pegaso Introduzione alla Fisica

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Sommario

GRANDEZZE FISICHE .................................................................................................................................................. 3

UNITÀ DI MISURA ............................................................................................................................................................ 3 PREFISSI .......................................................................................................................................................................... 5 ANALISI DIMENSIONALE ................................................................................................................................................. 5 CONVERSIONI DI UNITÀ .................................................................................................................................................. 6

SISTEMI DI COORDINATE .......................................................................................................................................... 7

I VETTORI ....................................................................................................................................................................... 8

DEFINIZIONE DELLE QUANTITÀ VETTORIALI ................................................................................................................... 8 PROPRIETÀ DEI VETTORI ................................................................................................................................................. 8

PRODOTTI TRA VETTORI ........................................................................................................................................ 10

PRODOTTO TRA UNO SCALARE ED UN VETTORE ............................................................................................................ 10 PRODOTTO SCALARE ..................................................................................................................................................... 10 PRODOTTO VETTORIALE ............................................................................................................................................... 11 ESEMPIO 1 .................................................................................................................................................................... 12 ESEMPIO 2 .................................................................................................................................................................... 12

BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................................................ 14




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Grandezze Fisiche Unità di misura

La misura in fisica e ingegneria è la base di ogni descrizione ed analisi della natura, poiché

grazie ad essa è possibile attribuire ad alcune caratteristiche dei corpi, dei valori numerici. In tal

modo è possibile applicare le conoscenze matematiche per risolvere problemi complessi o

semplicemente trasmettere tali informazioni ad altri.

Affinché ciò avvenga è necessario definire delle grandezze di base con delle unità di misura

standard. Dagli anni ‘60 esiste il Sistema Internazionale (SI), nel quale ad alcune grandezze

fondamentali sono associate unità di misura di base e simboli, come quelle elencate nella Tabella 1.

Tabella 1: Alcune grandezze fondamentali nel SI.

Quantità Unità di misura Simbolo

Lunghezza Metro m

Tempo Secondo s

Massa Kilogrammo Kg

Molte altre variabili che vedremo in seguito sono quantità derivate da queste o da altre

grandezze fondamentali. La scelta di quali siano le grandezze fondamentali e quali siano quelle

derivate è arbitraria ed è generalmente motivata da ragioni storiche o di semplicità.

Sebbene storicamente i valori delle unità di misura fossero valutati in modo differenti (ad

esempio la lunghezza era collegata al diametro terrestre) ad ora i loro valori sono:

un kg è pari al peso di un kg campione conservato a Parigi (link del BIPM

ufficiale)

un metro è lo spazio percorso in 1/299 792 458 di secondo dalla luce, (link

del BIPM ufficiale)

un secondo è pari a 9 192 631 770 periodi della radiazione corrispondente

alla transizione tra due livelli iperfini, dello stato fondamentale dell'atomo di

cesio-133 (link del BIPM ufficiale).

http://www.bipm.org/en/si/si_brochure/chapter2/2-1/kilogram.html

http://www.bipm.org/en/si/si_brochure/chapter2/2-1/kilogram.html

http://www.bipm.org/en/si/si_brochure/chapter2/2-1/metre.html

http://www.bipm.org/en/si/si_brochure/chapter2/2-1/metre.html

http://www.bipm.org/en/si/si_brochure/chapter2/2-1/second.html




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Le definizioni ufficiali sono mantenute sul sito dell’agenzia internazionale dei pesi e misure

(BIPM).




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Prefissi

Nel caso in cui si vogliano indicare valori molto distanti dall’unità nel SI esistono prefissi

che consentono di variare notevolmente il valore indicato.

Nella Tabella 2 sono indicati i più comuni.

Tabella 2:Prefissi.

Fattore Prefisso Simbolo Fattore Prefisso Simbolo

109 giga- G 10

-3 milli- m

106 mega- M 10

-6 micro-

103 kilo- k 10

-9 nano- n

10-2

centi- c 10-12

pico- p

Esempio:

Va fatta particolare attenzione nella conversione se stiamo considerando grandezze derivate,

ad esempio per una superfice di area pari a un millimetro quadro, si ha:

Analisi dimensionale

Le dimensioni delle grandezze sono anche molto importanti per verificare se un’equazione è

corretta, tramite l’analisi dimensionale. Entrambi i termini di un equazione devono avere la stessa

unità di misura. Ad esempio, vedremo che la seguente formula esprime uno spostamento ed è

dimensionalmente corretta:

Poiché vedremo che l’accelerazione è una lunghezza divisa un tempo al quadrato




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Conversioni di unità

Può essere necessario variare le unità di misura date in un determinato problema affinché

siano compatibili, ad esempio nel caso si abbiano valori di una stessa quantità (ad esempio un

tempo) in unità di misura di diversi sistemi (ad esempio SI e non). Ciò si può fare moltiplicando il

valore per un fattore di conversione. Per un intervallo di tempo ad esempio, si ha che il fattore di

conversione tra minuti e secondi risulta:

Ovviamente tali rapporti differiscono dai semplici rapporti 1/60 o 60/1 poiché hanno

associate delle unità di misura.

Ad esempio:




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Sistemi di coordinate

Figura 1: Coordinate cartesiane

Per descrivere la posizione di un punto nello spazio è opportuno introdurre il concetto di

sistema di coordinate. In 2 dimensioni il sistema di coordinate cartesiane (x,y) associa

univocamente ad ogni punto del piano una coppia ordinata (quindi in genere il punto di coordinate

) di numeri che lo individuano su due assi perpendicolari x e y, vedi Figura 1.

Le coordinate cartesiane non sono le uniche che è possibile utilizzare per descrivere i punti

in un piano, ad esempio, esistono anche le coordinate polari (Figura 2). In tale sistema di

riferimento a ciascun punto corrisponde una coppia ordinata di valori ; dove r è la distanza dal

polo O e è l’angolo formato dalla congiungente del punto con O e l’asse x. L’angolo è positivo

se misurato in verso antiorario dal semi-asse positivo delle x.

Le relazioni tra le coordinate cartesiane di un punto e le sue coordinate polari sono espresse

nelle equazioni seguenti:

Figura 2: Coordinate polari




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Le coordinate cartesiane possono essere generalizzate al caso in 3 dimensioni, aggiungendo

un ulteriore asse perpendicolare al piano su cui giacciono x e y. In tal caso ciascun punto è

individuato univocamente da una terna ordinata (x,y,z).

Le coordinate polari possono essere generalizzate in 3 dimensioni o aggiungendo la distanza

dal polo lungo un asse z perpendicolare al piano su cui giacciono x e y, in tal modo sono dette

coordinate cilindriche e ogni punto è univocamente determinato dalla terna . Altrimenti

aggiungendo l’angolo formato dalla congiungente del punto con O e l’asse z, in tal modo sono dette

coordinate sferiche e ogni punto è univocamente determinato dalla terna .

I vettori Definizione delle quantità vettoriali

Le quantità osservabili in fisica possono essere distinte in scalari o vettoriali. Una quantità è

scalare se è descritta completamente dalla suo valore e dalla sua unità di misura (esempio

).

Una quantità è, invece, vettoriale se è descritta da un modulo, da una direzione e da un

verso, vedi Figura 3. Le componenti di un vettore lungo gli assi x e y risultano pari a:

dove è il modulo del vettore, pari alla sua lunghezza, ed in alcuni casi può

essere indicato semplicemente con .

Figura 3: Esempio di vettore in un piano e sue componenti lungo gli assi.

Proprietà dei vettori

Abbiamo visto che scalari e vettori sono due tipi di quantità differenti, ora vogliamo vedere

alcune proprietà dei vettori e delle loro operazioni.




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Due vettori si dicono uguali se hanno stessa direzione, verso e modulo.

La somma dei vettori è:

sia commutativa:

che associativa:

Il metodo grafico della somma di due vettori consiste nel posizionare il secondo vettore al

termine del primo, il vettore somma è pari al vettore congiungente l’inizio del primo vettore con la

fine del secondo come illustrato in Figura 4.

Figura 4: rappresentazione grafica della somma di due vettori

Se i vettori sono espressi nelle loro componenti lungo gli assi x e y avremo la seguente

relazione tra le componenti dei vettori sommati ed il vettore somma:

L’opposto di un vettore è un vettore con lo stesso modulo e direzione ma verso opposto, che

verifica ovviamente la relazione , come espresso in Figura 5.

Figura 5:Vettore opposto

I vettori di modulo uguale a uno sono anche detti versori o vettori unitari, e spesso sono

indicati con un , pertanto si ha

La differenza tra due vettori è pari alla somma tra un vettore e l’inverso del secondo, ovvero

. Graficamente si può ottenere il vettore differenza ponendo l’origine di

entrambi i vettori nello stesso punto ed unendo la fine del secondo vettore con il primo, come

evidenziato in Figura 6.




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Figura 6: rappresentazione grafica della differenza di due vettori

Prodotti tra vettori Prodotto tra uno scalare ed un vettore

Oltre alle operazioni di somma e sottrazione tra vettori è possibile avere un prodotto misto

tra un vettore ed uno scalare. Moltiplicando uno scalare per un vettore, il vettore risultante avrà la

direzione del vettore e il modulo dato dal prodotto del modulo del vettore per lo scalare. Il verso

sarà concorde al vettore se lo scalare è positivo, altrimenti sarà discorde. Si ha quindi:

In Figura 7 ci sono alcuni esempi grafici, per diversi valori dello scalare .

Figura 7: Rappresentazione del prodotto tra un vettore e uno scalare

Prodotto scalare

Esistono due tipi di prodotto tra due vettori:

Il prodotto scalare: il cui risultato è uno scalare

Il prodotto vettoriale: il cui risultato è un vettore

Il prodotto scalare di due vettori risulta pari a

dove è l’angolo compreso trai i due vettori come indicato in Figura 8.




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Il prodotto scalare rappresenta il prodotto del modulo di un vettore per la proiezione

dell’altro vettore sulla sua direzione; se l’angolo è zero la proiezione è massima poiché

, altrimenti se l’angolo è di 90° la proiezione e zero poiché . In modo analogo varia il

prodotto scalare.

Chiamando , rispettivamente i versori degli assi x e y, le componenti di un vettore

possono essere espresse tramite dei prodotti scalari:

Figura 8: rappresentazione grafica di due vettori e dell’angolo tra loro compreo

Prodotto vettoriale

Dati due vettori e il vettore ottenuto dal prodotto vettoriale si indica:

Il modulo del vettore risulta pari a:

con angolo pari all’angolo minore tra i due vettori (a differenza del prodotto scalare in tal

caso è importante quale angolo si considera, poiché ). Tale modulo è

massimo per =90° e nullo per =0°.

La direzione del vettore ottenuto dal prodotto vettoriale è perpendicolare al piano che

contiene i vettori (pertanto risulterà ortogonale ad entrambi), il verso lo si ottiene con la

regola della mano destra. Allineate l’indice con il vettore ed il medio con il pollice vi

indicherà il verso di .




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Va prestata attenzione all’ordine dei vettori, nel valutare il verso del vettore finale, poiché, il

prodotto vettoriale non è commutativo. Infatti si ha:

Esempio 1

Dati i vettori e di moduli e tra cui vi è l’angolo valutare i

vettori e

In entrambi i casi il modulo del vettore risultante sarà:

Assumendo che i due vettori e giacciano sul piano x-y possiamo rappresentare i vettori

prodotto come rappresentato nella Figura 9.

Figura 9: rappresentazione grafica dei vettori dell’esercizio 1

Esempio 2

Dati due vettori di modulo 3 e 5 per quali angoli il prodotto scalare risulta 7,5 e 12,99?

Per quali angoli tali valori sono pari al modulo del prodotto vettoriale?




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Il prodotto scalare risulta pari al valore dato per i seguenti valori di :

Il modulo del prodotto vettoriale risulta pari al valore dato per i seguenti valori di :




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Bibliografia

P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci, Fisica Vol I, Edises

D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fondamenti di fisica. Meccanica, termologia, CEA

Agenzia internazionale dei pesi e delle misure, http://www.bipm.org/

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