p fadintegral e victoria zinyuk seminar zur theoretischen quantenmechanik
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PFADINTEGRALE
Victoria Zinyuk Seminar zur theoretischen Quantenmechanik
INHALTSÜBERSICHT Lagrange Formalismus Überleitung zur Quantenmechanik Idee des Pfadintegrals Berechnung des Pfadintegrals Bsp.: Harmonischer Oszillator Vorteile der Pfadintegralformulierung
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LAGRANGE FORMALISMUS
Man betrachte generalisierte Koordinaten
Wirkung:
Euler Lagrange Gleichung :
in welche die Zwangsbedingungen eingearbeitet sind
Lagrangefunktion:
Aus dem Prinzip der minimalen Wirkung wird mittels Variationsrechnung die Euler-Lagrange-Glg hergeleitet
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BEZUG ZUR QUANTENMECHANIK
Klassische Mechanik: Wirkung extrem
→ ein ausgezeichneter Weg QM: Alle möglichen Wege
tragen zur Gesamtamplitude bei
Jeder Weg trägt gleiche Amplitude bei, aber bei unterschiedlicher Phase
Die Phase ist durch die klassische Wirkung S in Einheiten von ħ gegeben
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DIE IDEE DES PFADINTEGRALS
Übergangsamplitude von y nach x : Integral über alle möglichen Wege (Pfade)
mit
noch zu bestimmendes Funktional
noch zu bestimmender Integrationsmaß 5
BESTIMMUNG: FUNKTIONAL & INTEGRATIONSMAß
Übergangsamplitude: Freies Teilchen
Übergangsamplitude: Teilchen im beliebigen nur ortsabhängigem Potential
Näherung für kleine Zeiten
Erweiterung auf beliebige Zeiten
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FREIES TEILCHEN
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TEILCHEN IM BELIEBIGEN NUR VOM ORT ABHÄNGIGEN POTENTIAL
Näherung für kleine t = ε
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ERWEITERUNG AUF BELIEBIGE ZEITEN
Die Zeit im unendlich viele infinitesimale Zeitabschnitte unterteilt, analog dem Riemannintegral.
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RÜCKSCHLUSS AUF DIE KLASSISCHE WIRKUNG
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DAS PFADINTEGRAL
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BSP.: HARMONISCHER OSZILLATOR
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NACHTRAG ZUR FUNKTIONALABLEITUNG:
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VOR- UND NACHTEILE DER PFADINTEGRALFORMULIERUNG
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