Počítačová simulace zá ření v dutin ě absolutn ě

černého t ělesa: Stefan ův-Boltzmann ův zákon a frekven ční hustota zá ření

RNDr. Filip Moučka, Ph.D.Přírodovědecká fakulta, Univerzita J. E. Purkyně

Tepl

ota

/ K

Tepelné elektromagnetické záření těles má za jistých podmínek vždy stejné vlastnosti.

Podmínky

(a) Záření musí být v tepelné rovnováze s vyzařujícím tělesem;

a/nebo

(b) vyzařující těleso musí být ideálně neprůsvitné a neodrazivé.

Model absolutn ě černého t ělesa (AČT):

Vlastnosti tepelného záření neprůsvitných neodrazivých těles jsoustejné jako vlastnosti rovnovážného zá ření v dutin ě tělesa .

Model absolutn ě černého t ělesa

Záření v dutiněje v tepelné rovnovázes tělesem.

Záření vycházející z otvoru má vlastnosti

stejné jako rovnovážné záření

v dutině.

Otvor se chová jako povrch ideálně

neprůsvitného a neodrazivého tělesa

(absolutn ě černé t ěleso).

Všechno záření vstupující do dutiny otvorem se pohltí na

stěnách dutiny.

S rostoucí teplotou roste množství vyzařované energie za jednotku času.

Stefanův-Boltzmann ův zákon

Frekvenční hustotu vyzařování popisuje Planck ův zákon.

Vlnová délka, na níž se vyzáří nejvíceenergie, se zkracuje s rostoucí teplotou.

Wienův posunovací zákon

Vlastnosti zá ření AČT

Bλ / (

kW

sr-1

m-2

nm

-1)

λ / µm

UV světelné infra červené

Elektromagnetické vlnění v dutině je součtem všech možných stojatých vln.

V případě krychlové dutiny o hraně L mají módy stojatých vln vlnové vektory k:

, kde nx, ny, nz jsou celá nezáporná čísla,

a každému vlnovému vektoru dále náleží dva nezávislé stavy polarizací (p = 1, 2).

Excitace/dexcitace módů vlnění (fotonových stavů) představuje vznik/zánik fotonů s energií

(energie fotonového stavu )

Mikroskopický stav záření je dán počtem foton ů v každém ze všech fotonových stavů.

Celková energie zá ření E je součtem energií fotonů ve všech fotonových stavech

Předpoklady pro odvození vlastností A ČT

Záření AČT v běžném základním kurzu statistické fyzikyStudent by měl získat schopnost:

● odvodit frekvenční hustotu fotonových stavů (v termodynamické limitě L → ∞);

● odvodit rozdělení pro obsazení fotonových stavů (Boseho-Einsteinova statistika);

● pracovat s velkým kanonickým souborem a určit chemický potenciál fotonů;

● pro odvození Stefanova-Boltzmannova zákona určit integrál z Planckova zákona, Boseho-Einstenův integrál:

● pro odvození Wienova posunovacího zákona nalézt polohu maxima Planckova zákona, vyřešit analyticky neřešitelnou rovnici:

● odvodit další termodynamické vlastnosti AČT pomocí termodynamických vztahů.

Student se soustředí na memorizaci neintuitivních kroků, princip ustupuje do pozadí.

Získané dovednosti jsou málo uplatnitelné pro řešení praktických problémů.

Cíle

Běžný teoretický výklad doplnit počítačovou simulací

● demonstrovat základní princip vedoucí k platnosti Planckova a Stefanova-Boltzmannova zákona, vzniku Boseho-Einsteinovy statistiky;

● použít obecný postup, jímž lze přímočaře řešit i mnohé další problémy statistické fyziky (neřešitelné analyticky);

● přizpůsobit výklad dovednostem požadovaným od studentů oboru Počítačové modelování ve vědě a technice.

Proč výklad fyziky nebývá doplněnpočítačovými experimenty? 1983

Princip po čítačové simulaceVýchozí fyzikální předpoklady umožňují sestavit příslušný statistický soubor stavů záření v dutině.

Mikroskopické stavy mají Boltzmannovo (Gibbsovo) pravd ěpodobnostní rozd ělení

, kde S označuje jistý mikroskopický stav záření v dutině daný konkrétními hodnotami všech

Z je partiční funkce závislá jen na teplotě.

Namísto analytického zpracování statistického souboru vygenerovat dlouhou posloupnost konkrétních mikroskopických stavů Si = 1, 2, 3, ..., M náhodným výběrem.

Obtížný analytický výpočet středních hodnot nahradit výpočtem průměrných hodnot z vygenerovaných stavů.

Generování konkrétních stavů záření v dutině = generování realizací náhodné veličiny S s daným pravděpodobnostním rozdělením P(S)

Vygenerovat libovolně počáteční stav Si = 0

Generovat posloupnost dalších stavů Si = 1, 2, 3 ..., M ve stále se opakujícím cyklu:

1)Vygenerovat zkušební stav Sz náhodnou malou změnou posledního aktuálního stavu Si .

Přitom SZ je potřeba generovat tak, aby pravděpodobnost generování Sz z Si byla stejná jako pravděpodobnost generování Si z SZ.

2)S pravděpodobností P = min{1, P(Sz) / P(Si)} rozhodnout, zdaa) přijmout zkušební stav za nový aktuální stav (Si +1 = Sz),nebob) jako nový aktuální stav použít původní stav (Si +1 = Si ).

3)Cyklus 1-3 opakovat s navýšením i o 1, dokud vygenerovaná posloupnost realizací náhodné veličiny S dostatečně dobře nereprezentuje celý uvažovaný statistický soubor.

Výsledkem je posloupnost stavů Si , jejichž rozdělení postupně přechází k požadovanému rozdělení P(S) a dále se jím řídí.

Metropolis ův algoritmus

Vygenerovat libovolně počáteční stav Si = 0

Generovat posloupnost dalších stavů Si = 1, 2, 3 ..., M ve stále se opakujícím cyklu:

1)Vygenerovat zkušební stav Sz náhodnou malou změnou posledního aktuálního stavu Si .

Přitom SZ je potřeba generovat tak, aby pravděpodobnost generování Sz z Si byla stejná jako pravděpodobnost generování Si z SZ.

2)S pravděpodobností P = min{1, P(Sz) / P(Si)} rozhodnout, zdaa) přijmout zkušební stav za nový aktuální stav (Si +1 = Sz),nebob) jako nový aktuální stav použít původní stav (Si +1 = Si ).

3)Cyklus 1-3 opakovat s navýšením i o 1, dokud vygenerovaná posloupnost realizací náhodné veličiny S dostatečně dobře nereprezentuje celý uvažovaný statistický soubor.

Výsledkem je posloupnost stavů Si , jejichž rozdělení postupně přechází k požadovanému rozdělení P(S) a dále se jím řídí.

Metropolis ův algoritmus: zá ření v dutin ě

Náhodná veličina S představuje počet fotonů v každém fotonovém stavu.

Vygenerovat libovolně počáteční stav Si = 0

Generovat posloupnost dalších stavů Si = 1, 2, 3 ..., M ve stále se opakujícím cyklu:

1)Vygenerovat zkušební stav Sz náhodnou malou změnou posledního aktuálního stavu Si .

Přitom SZ je potřeba generovat tak, aby pravděpodobnost generování Sz z Si byla stejná jako pravděpodobnost generování Si z SZ.

2)S pravděpodobností P = min{1, P(Sz) / P(Si)} rozhodnout, zdaa) přijmout zkušební stav za nový aktuální stav (Si +1 = Sz),nebob) jako nový aktuální stav použít původní stav (Si +1 = Si ).

3)Cyklus 1-3 opakovat s navýšením i o 1, dokud vygenerovaná posloupnost realizací náhodné veličiny S dostatečně dobře nereprezentuje celý uvažovaný statistický soubor.

Výsledkem je posloupnost stavů Si , jejichž rozdělení postupně přechází k požadovanému rozdělení P(S) a dále se jím řídí.

Metropolis ův algoritmus: zá ření v dutin ě

Prázdná dutina neobsahující žádné fotony.

Vygenerovat libovolně počáteční stav Si = 0

Generovat posloupnost dalších stavů Si = 1, 2, 3 ..., M ve stále se opakujícím cyklu:

1)Vygenerovat zkušební stav Sz náhodnou malou změnou posledního aktuálního stavu Si .

Přitom SZ je potřeba generovat tak, aby pravděpodobnost generování Sz z Si byla stejná jako pravděpodobnost generování Si z SZ.

2)S pravděpodobností P = min{1, P(Sz) / P(Si)} rozhodnout, zdaa) přijmout zkušební stav za nový aktuální stav (Si +1 = Sz),nebob) jako nový aktuální stav použít původní stav (Si +1 = Si ).

3)Cyklus 1-3 opakovat s navýšením i o 1, dokud vygenerovaná posloupnost realizací náhodné veličiny S dostatečně dobře nereprezentuje celý uvažovaný statistický soubor.

Výsledkem je posloupnost stavů Si , jejichž rozdělení postupně přechází k požadovanému rozdělení P(S) a dále se jím řídí.

Metropolis ův algoritmus: zá ření v dutin ě

Do náhodně vybraného fotonového stavu (nx, ny, nz, p)přidejme jeden foton s pravděpodobností 1/2,nebo naopakjeden foton odeberme se stejnou pravděpodobností.

Vygenerovat libovolně počáteční stav Si = 0

Generovat posloupnost dalších stavů Si = 1, 2, 3 ..., M ve stále se opakujícím cyklu:

1)Vygenerovat zkušební stav Sz náhodnou malou změnou posledního aktuálního stavu Si .

Přitom SZ je potřeba generovat tak, aby pravděpodobnost generování Sz z Si byla stejná jako pravděpodobnost generování Si z SZ.

2)S pravděpodobností P = min{1, P(Sz) / P(Si)} rozhodnout, zdaa) přijmout zkušební stav za nový aktuální stav (Si +1 = Sz),nebob) jako nový aktuální stav použít původní stav (Si +1 = Si ).

3)Cyklus 1-3 opakovat s navýšením i o 1, dokud vygenerovaná posloupnost realizací náhodné veličiny S dostatečně dobře nereprezentuje celý uvažovaný statistický soubor.

Výsledkem je posloupnost stavů Si , jejichž rozdělení postupně přechází k požadovanému rozdělení P(S) a dále se jím řídí.

Metropolis ův algoritmus: zá ření v dutin ě

P =

P = , když foton přidáváme

P = 1 , když foton odebíráme.

Vygenerovat libovolně počáteční stav Si = 0

Generovat posloupnost dalších stavů Si = 1, 2, 3 ..., M ve stále se opakujícím cyklu:

1)Vygenerovat zkušební stav Sz náhodnou malou změnou posledního aktuálního stavu Si .

Přitom SZ je potřeba generovat tak, aby pravděpodobnost generování Sz z Si byla stejná jako pravděpodobnost generování Si z SZ.

2)S pravděpodobností P = min{1, P(Sz) / P(Si)} rozhodnout, zdaa) přijmout zkušební stav za nový aktuální stav (Si +1 = Sz),nebob) jako nový aktuální stav použít původní stav (Si +1 = Si ).

3)Cyklus 1-3 opakovat s navýšením i o 1, dokud vygenerovaná posloupnost realizací náhodné veličiny S dostatečně dobře nereprezentuje celý uvažovaný statistický soubor.

Výsledkem je posloupnost stavů Si , jejichž rozdělení postupně přechází k požadovanému rozdělení P(S) a dále se jím řídí.

Metropolis ův algoritmus: zá ření v dutin ě

Opakovat, dokud se veličiny charakterizující zářeníneustálí na svých rovnovážných hodnotách.

Numericky nelze zpracovat počty fotonů v nekonečném počtu fotonových stavů

pro všechna nx= {0, ... ∞}, ny= {0, ... ∞}, nz = {0, ... ∞}, p = {1, 2}

V malé dutině fotonové stavy s velkými nx, ny, nz mají vysoké hodnoty energie

,

a nebudou proto za konečných teplot významně obsazeny fotony.

Budeme proto uvažovat pouze fotonové stavy

pro všechna nx= {0, ... nmax}, ny= {0 ... nmax}, nz = {0 ... nmax}, p = {1, 2}

a malý objem dutiny (například nmax= 200, L = 0.1 mm).

V malém objemu se chování záření může trochu lišit od známých zákonů pro AČT.

Jak, proč?

Technická omezení po čítačové simulace

3) Opakování cyklu

1) generování zkušebního stavu Sz

2) přijetí/zamítnutízkušebního stavu:Si + 1 = Sz nebo Si + 1 = Si

Libovolná volba počátečního stavu S0

Vyhrazení paměti pro proměnné

Průběh celkové objemové hustoty energie b ěhem simulaceT = 400 K; L = 0,1 mm; nx, ny, nz omezeny maximální hodnotou 200

Výsledky simulací

Oka

mži

tá c

elko

vá h

usto

ta e

nerg

ie

Počet cyklů simulace

Průběh celkové objemové hustoty energie b ěhem simulaceT = 400 K; L = 0,1 mm; nx, ny, nz omezeny maximální hodnotou 200

Výsledky simulací

Produkční fáze:rovnovážné rozdělení,průměrování vlastností(E = součet / počet)

Ekvilibrační fáze:nestálé rozdělení,přechod k rovnováze

Oka

mži

tá c

elko

vá h

usto

ta e

nerg

ie

Počet cyklů simulace

Libovolně zvolenýpočáteční stav:prázdná dutina

Průběh celkové objemové hustoty energie b ěhem n ěkolika simulací s r ůznými teplotami T = 400, 600, 800, ... , 3000 K

Výsledky simulací

400

K

3000

K

2000

K

1000

K

Oka

mži

tá c

elko

vá h

usto

ta e

nerg

ie

Počet cyklů simulace

2800

K

2600

K

2400

K

2200

K

1800

K

1600

K

1400

K

1200

K

600

K

800

K

Závislost st řední (pr ůměrné) rovnovážné hustoty energie na teplot ě

Výsledky simulací

SimulaceStefanův-Boltzmannův zákon

Stř

ední

cel

ková

hus

tota

ene

rgie

Dobrý soulad seStefanovým-Boltzmannovým zákonem.

Závislost st řední (pr ůměrné) rovnovážné hustoty energie na teplot ě

Výsledky simulací

Dobrý soulad seStefanovým-Boltzmannovým zákonem.

Malé odchylky rostou s rostoucí teplotou.

SimulaceStefanův-Boltzmannův zákon

Stř

ední

cel

ková

hus

tota

ene

rgie

Závislost st řední (pr ůměrné) rovnovážné frekven ční hustoty energie na teplot ě

Výsledky simulací

S

třed

ní fr

ekve

nční

hus

tota

ene

rgie

SimulacePlanckův zákon

Dobrý soulad s Planckovým zákonem.

Tepl

ota

/ K

Závislost st řední (pr ůměrné) rovnovážné frekven ční hustoty energie na teplot ě

Výsledky simulací

Dobrý soulad s Planckovým zákonem.

Malé rozdíly způsobené(a) zanedbáním vysokých frekvencí nx, ny, nz > 200

(b) nespojitostí hustoty fotonových stavů(c) neexistencí dlouhých vln v malé dutině

(b)

(a)(c)

SimulacePlanckův zákon

Stř

ední

frek

venč

ní h

usto

ta e

nerg

ie

Tepl

ota

/ K

Závislost st řední rovnovážné frekven ční hustoty energie na velikosti dutiny,T = 2000 K, L = 0.1 a 0.2 mm

Výsledky simulací

Výsledky simulace s rostoucí velikostídutiny konvergují k Planckovu zákonu.

Stř

ední

frek

venč

ní h

usto

ta e

nerg

ie

Planckův zákon

Představen jednoduchý počítačový experiment simulující mikroskopické stavy záření v krychlové dutině absolutně černého tělesa

● výsledky simulace se dobře shodují s analyticky odvozenými zákony;

● popsány a objasněny drobné odchylky od zákonů platných pro nekonečně velkou dutinu.

Učiněn pokus o doplnění/zlepšení výuky statistické fyziky

● jiný přístup k objasnění fyzikálních zákonů a vlivu aproximací;

● aplikován postup použitelný pro řešení mnoha praktických problémů fyziky;

● přizpůsobení oboru Počítačové modelování ve vědě a technice.

Postup možno snadno rozšířit

● Debyeův model krystalu, elektronový plyn v kovech, jednoduchá kapalina, ...

● úkoly pro studenty: ukažte, že simulované počty fotonů ve fotonových stavech se řídí Boseho-Einsteinovou statistikou; porovnejte celkový počet fotonů v dutině s analytickým výpočtem; upravte program pro simulaci klasického modelu záření; studujte přechod diskrétní hustoty stavů ke spojité při zvětšování dutiny; navrhněte efektivnější generátor stavů záření ...

Závěr

Metropolis ův algoritmus:nejjednodušší p říkladNáhodná veličina nabývající jen dvou možných stavů:

S=A nebo S=B, kde S=A nastává 3x častěji než S=B, tedy P(A) = 3 P(B). Příklad náhodného výběru: A, A, B, A, A, A, B, A, A, B, A, A, A, B, A, A, A, A,...

Počáteční stav vygenerujeme libovolně, například S0=A.

Posloupnost dalších konfigurací generujeme v cyklu:

1)Zkušební hodnotu veličiny vygenerujme změnou: Sz = B když Si=A, jinak Sz = A.

2)Zkušební konfiguraci přijmeme s pravděpodobností P = min{1, P(Sz) / P(Si)}, P = min{1, P(A)/P(B)} = min{1, 3/1} = 1 v případě, že Si = B a Sz = A, nebo P = min{1, P(B)/P(A)} = min{1, 1/3} = 1/3 v případě, že Si = A a Sz = B.

3)Cyklus 1-3 opakujeme, dokud vygenerovaná posloupnost není dostatečně dlouhá.

Průměrně v posloupnosti stav A setrvává 3x po sobě nezměněn, stav B se změní vždy (A, A, A, B, A, A, A, B, A, ...), posloupnost obsahuje 3x častěji A než B.

Příklad lze zobecnit pro veličiny nabývající libovolného počtu stavů, kde algoritmus zajistí správný pom ěr pravd ěpodobností mezi všemi dvojicemi možných stav ů.

4) Měření okamžitých (mechanických) vlastností záření pro výpočet průměrných hodnot.

4) Měření okamžitých vlastností

Konečné zpracovánínaměřených okamžitých vlastností

Uložení výsledků na disk počítačepro pozdější vykreslení grafů