F. Foce, Dispensa di Cinematica e Statica dei sistemi rigidi IV. Travature isostatiche piane

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Analisi cinematica per le travature piane pluriconnesse, con sconnessioni interne Osserviamo ancora che, come una travatura aperta con sconnessioni interne, anche una travatura

chiusa può essere concepita secondo i due modi già esposti nel Cap.IV.6 e cioè: I) il primo modo concepisce la travatura come formata da a corpi rigidi liberi, e quindi:

- Gradi di libertà (in assenza di vincoli esterni e interni): a3 ; - Gradi di vincolo (esterni e interni): ie NNN += ;

II) il secondo modo concepisce la travatura come formata da un unico corpo rigido libero, e quindi: - Gradi di libertà (incluse le sconnessioni interne): is+3 - Gradi di vincolo (esterni e dovuti alle maglie chiuse): )1(3 −+= mNN e ;

Ciò premesso, affinché sia nullo l’atto di moto occorre e basta che siano soddisfatte le seguenti due condizioni, analoghe a quelle già enunciate per le altre due tipologie di travature. 1) condizione necessaria: il numero di gradi di vincolo semplice deve essere almeno eguale al

numero dei gradi di libertà, cioè aNNN ie 3≥+= (in accordo al modo I) oppure ie smNN +≥−+= 3)1(3 (in accordo al modo II);

2) condizione sufficiente: i gradi di vincolo semplice efficaci devono essere almeno a3 (in accordo al modo I) oppure almeno is+3 (in accordo al modo II). Svolgiamo ora l’analisi cinematica secondo le due metodologie, l’una basata sulla ricerca

geometrica dei centri di rotazione assoluta, l’altra studio algebrico delle equazioni cinematiche.

a) Ricerca geometrica dei centri di rotazione assoluta e relativa Come già si è detto per le travature aperte con sconnessioni interne, anche per le travature chiuse

con sconnessioni interne l’analisi cinematica secondo la metodologia geometrica si basa sulla ricerca dei centri di rotazione assoluta e relativa e sul controllo dell’esistenza delle terne di centri allineati rispettose delle condizioni di Eulero. Distinguiamo i tre seguenti casi a seconda che il numero di gradi di vincolo sia minore, uguale o maggiore del numero di gradi di libertà: 1) aNNN ie 3<+= (modo I) oppure ie smNN +<−+= 3)1(3 (modo II). La condizione

necessaria affinché non ci sia atto di moto non è soddisfatta, quindi esiste certamente almeno un singolo centro di rotazione assoluta o almeno una terna di centri allineati rispettosa delle condizioni di Eulero, per cui la travatura è cinematicamente indeterminata o labile;

2) aNNN ie 3=+= (modo I) oppure ie smNN +=−+= 3)1(3 (modo II). La condizione necessaria affinché non ci sia atto di moto è soddisfatta e si pone la seguente distinzione: • se non esiste nessun singolo centro di rotazione assoluta e nessuna terna di centri allineati

rispettosa delle condizioni di Eulero, cioè se gli N vincoli sono tutti efficaci, allora è soddisfatta anche la condizione sufficiente e la travatura è cinematicamente isodeterminata;

• se esiste almeno un singolo centro di rotazione assoluta o almeno una terna di centri allineati rispettosa delle condizioni di Eulero, cioè se non tutti gli N vincoli sono efficaci, allora non è soddisfatta la condizione sufficiente e la travatura è cinematicamente indeterminata o labile.

3) aNNN ie 3>+= (modo I) oppure ie smNN +>−+= 3)1(3 (modo II). La condizione necessaria affinché non ci sia atto di moto è soddisfatta e si pone la seguente distinzione: • se non esiste nessun singolo centro di rotazione assoluta e nessuna terna di centri allineati

rispettosa delle condizioni di Eulero, cioè se ci sono almeno a3 o is+3 vincoli efficaci, allora è soddisfatta anche la condizione sufficiente e la travatura è cinematicamente iperdeterminata;

• se esiste almeno un singolo centro di rotazione assoluta o almeno una terna di centri allineati rispettosa delle condizioni di Eulero, cioè se non ci sono almeno a3 o is+3 vincoli efficaci, allora non è soddisfatta la condizione sufficiente e la travatura è cinematicamente indeterminata o labile.