page 1 of - suwartonog1.files.wordpress.com filefungsi sasarannya adalah karena mengharuskan maka...
TRANSCRIPT
Page 2 of 32
PEMBAHASAN UN SMA IPA
TAHUN AJARAN 2011/2012
OLEH:
SIGIT TRI GUNTORO, M.Si
MARFUAH, S.Si, M.T
REVIEWER:
UNTUNG TRISNA S., M.Si
JAKIM WIYOTO, S.Si
Page 3 of 32
Alternatif penyelesaian:
Misalkan,
p : hari ini hujan
q: saya tidak pergi
r: saya nonton sepak bola
maka
Premis I : p → q
Premis II : q → r
Kesimpulannya adalah p → r .
Jadi jika hari ini hujan maka saya nonton sepak bola
JAWAB : B
Alternatif penyelesaian:
Misalkan,
: ada ujian sekolah
: semua siswa belajar rajin
maka pernyataan “Jika ada ujian sekolah maka semua siswa belajar dengan rajin” dapat ditulis
sebagai . Mengingat ⇔ maka diperoleh
⇔
Page 4 of 32
Jadi negasi dari pernyataan “Jika ada ujian sekolah maka semua siswa belajar dengan rajin” adalah
“Ada ujian sekolah dan beberapa siswa tidak belajar dengan rajin”
JAWAB: B
Alternatif penyelesaian:
JAWAB: C
Page 6 of 32
Alternatif penyelesaian:
Karena dan akar-akar persamaan maka dan
Dengan mengingat hasil diatas perhatikan bahwa
Jadi
JAWAB: B
Alternatif penyelesaian:
Karena persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berbeda maka Diskriminan ( harus
memenuhi Dari sini diperoleh . Kemudian diselesaikan untuk
variabel sebagai berikut:
Didapatkan penyelesaian atau
JAWAB: B
Page 7 of 32
Alternatif penyelesaian:
Misalkan suku banyak tersebut . Berarti dipenuhi
(1)
dan
(2)
dengan dan masing-masing merupakan suku banyak (polinomial) berderajat satu.
Dari (1) diperoleh
(3)
dan
(4)
Misalkan (5)
maka sesuai (1), (2), (3), (4) dan (5) diperoleh
dan
selanjutnya ditulis sebagai sistem persamaan
Page 8 of 32
; (6)
Solusi dari sistem persamaan (6) adalah dan
Mengingat (2) dan (5) maka diperoleh suku banyak
JAWAB: B
Alternatif penyelesaian:
JAWAB: E
Alternatif penyelesaian:
Misalkan,
Page 9 of 32
Dari permasalahan di atas dapat disusun model matematika sebagai berikut
; ; yang ekuivalen dengan
; ; .
Fungsi sasarannya adalah
Karena mengharuskan maka daerah penyelesaiannya adalah (ruas garis AB) seperti
pada gambar berikut.
Selanjutnya dengan membandingkan hasil di titik dan maka diperoleh nilai maksimum
berada pada titik yaitu
JAWAB: A
Page 11 of 32
Alternatif penyelesaian:
Diketahui dan . Karena tegak lurus maka
yang menghasilkan penyelesaian .
Selanjutnya,
JAWAB: C
Page 12 of 32
Alternatif penyelesaian:
Diketahui dan . Proyeksi orthogonal pada adalah dengan
atau ditulis dengan
JAWAB: D
Alternatif penyelesaian:
Karena transformasi yang dilakukan tidak memuat dilatasi (perbesaran/pengecilan) maka yang perlu
diperhatikan hanya titik pusat saja, sedangkan jari-jari tetap 2.
Page 13 of 32
Lingkaran berpusat di (0,0). Oleh pencerminan terhadap garis pusat berpindah ke
titik (4,0). Selanjutnya, oleh translasi itk pusat bergeser ke titik
Jadi persamaan lingkaran yang baru adalah
JAWAB: A
Alternatif penyelesaian:
Misalkan , maka
yang menghasilkan penyelesaian atau . Karena maka penyelesaiannya
atau
Page 14 of 32
JAWAB: D
Alternatif penyelesaian:
Perhatikan gambar terlihat bahwa grafik tersebut menggambarkan hubungan . Dengan
mengganti maka diperoleh
JAWAB: D
Page 15 of 32
Alternatif penyelesaian:
JAWAB: B
20. Suatu pabrik memproduksi barang jenis A pada tahun pertama sebesar 1960 unit. Tiap
tahun produksi turun sebesar 120 unit sampai tahun ke-16. Total seluruh produksi yang
dicapai sampai tahun ke-16 adalah ...
A. 45760
B. 45000
C. 16960
D. 16000
E. 9760
Alternatif penyelesaian:
Soal di atas merupakan contoh soal deret aritmatika dengan:
Suku pertama, U1 = a = 1960 ;
Beda, b = −120
Ditanyakan total produksi pada tahun ke-16, yakni n
S dengan 16n =
( )( )2 12
n
nS a n b= + −
( )( )16
162 1960 15 120 16960
2S = ⋅ + − = unit
Jawab: C
21. Barisan geometri dengan U7 = 384 dan rasio = 2. Suku ke-10 barisan tersebut adalah ...
A. 1920
B. 3072
C. 4052
D. 4608
E. 6144
Page 16 of 32
Alternatif penyelesaian:
Rasio, r = 2
U7 = 6ar = 384
Suku ke-10, U10 = 9 6 3 3384 2 384 8 3072ar ar r= ⋅ = ⋅ = ⋅ =
Jawab: B
22. Suku ketiga dan suku ketujuh suatu deret geometri berturut-turut 16 dan 256. Jumlah
tujuh suku pertama deret tersebut adalah ...
A. 500
B. 504
C. 508
D. 512
E. 516
Alternatif penyelesaian:
Dari U3 = 16 diperoleh 2ar = 16 (1)
Dari U7 = 256 diperoleh 6ar = 256
2 4256ar r⋅ = (2)
Persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2), diperoleh
416 256r⋅ = � r=2 atau r=−2
Karena pilihan yang diberikan semua bernilai positif, maka diambil r=2.
Sehingga berlaku:
2 22 4 16 4ar a a a= ⋅ = = ⇔ =
Jumlah tujuh suku pertama, karena r>1 berlaku:
( ) ( ) ( )7 7
7
1 4 2 1 4 128 1508
1 2 1 1
a rS
r
− − −= = = =
− −
Jawab: C
23. Pada kubus ABCD.EFGH , panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E ke bidang BGD adalah ...
A. 1
33
B. 2
33
Page 17 of 32
C. 4
33
D. 8
33
E. 16
33
Alternatif penyelesaian:
Jarak titik E ke bidang BGD adalah panjang ES.
Perhatikan persegi panjang ACGE
Panjang EG = panjang AC = panjang diagonal sisi = 8 2
Panjang AT = 1
8 2 4 22
⋅ =
Panjang GT = panjang ET = ( )2
2 2 28 4 2 96 4 6CG CT+ = + = =
Luas segitiga ETG = Luas ACGE – luas ATE – luas TCG
C D
E
H
F
G
A B
S
T
A C
E G
T S
8 8
α
4 24 2
4 64 6
Page 18 of 32
= ( ) 1 18.8 2 .4 2.8 .4 2.8 32 2
2 2
− − =
Luas segitiga ETG = 1
2GT tinggi⋅ ⋅
Jadi Jarak titik E ke bidang BGD adalah 16
33
cm.
Jawab: E
24. Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α .
Nilai sin α = .....
A. 1
22
B. 1
32
C. 1
33
D. 2
23
E. 3
34
Alternatif penyelesaian:
132 2 4 6
2
2 32 2
4 6
163
3
ES
ES
= ⋅ ⋅
⋅=
=
α
T
C D
E
H
F
G
A B
Page 19 of 32
Perhatikan segitiga EAT.
Panjang ET = 1
2⋅ panjang diagonal sisi =
1.4 2 2 2
2=
Panjang AT = ( ) ( )222 2
4 2 2 24 2 6AE ET+ = + = =
Jawab: C
25. Keliling suatu segienam beraturan adalah 72 cm. Luas segienam tersebut adalah ...
A. 432 3 cm2
B. 432 cm2
C. 216 3 cm2
D. 216 2 cm2
E. 216 cm2
Alternatif penyelesaian:
Setiap segitiga di dalam segienam beraturan
merupakan segitiga sama sisi karena sudut-sudutnya
sama besar (60˚).
Menggunakan rumus sinus untuk luas segitiga, diperoleh:
luas masing-masing segitiga = ( )1 1 1
12 12 sin 60 12 12 3 36 32 2 2
⋅ ⋅ ⋅ ° = ⋅ ⋅ ⋅ =
A
E T
α
4
2 2
2 6
2 2 1sin( ) 3
32 6
ET
ATα = = =
12 cm
60˚
12 cm
12 cm 12 cm
60˚
60˚ 60˚
Page 20 of 32
Sehingga luas segienam keseluruhan = 6 36 3 216 3⋅ = cm2
Jawab: C
26. Diketahui nilai sin α cos β = 1
5dan ( )
3sin
5α β− = untuk 0 180α° ≤ ≤ ° dan
0 90β° ≤ ≤ ° . Nilai ( )sin ...α β+ =
A. 3
5−
B. 2
5−
C. 1
5−
D. 1
5
E. 3
5
Alternatif penyelesaian:
Karena 0 180α° ≤ ≤ ° dan 0 90β° ≤ ≤ ° maka ( )sin α β+ dapat bernilai negatif.
Jawab: C
27. Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3 sin 2x = −1 untuk 0 180x° ≤ ≤ °
adalah ...
A. {120˚, 150˚}
B. {150˚, 165˚}
C. {30˚, 150˚}
D. {30˚, 165˚}
E. {15˚, 105˚}
( ) ( )sin sin 2sin cosα β α β α β+ + − =
( )3 1
sin 25 5
α β+ + = ⋅
( )1
sin5
α β+ = −
Page 21 of 32
Alternatif penyelesaian:
Misal ( )sin 2y x=
Karena ( )sin 2y x= tidak mungkin bernilai 2, maka akan ditentukan nilai x yang
memenuhi ( )1
sin 22
y x= = −
( )1
sin 22
2 210 105
x
x x
= −
= ° ⇔ = °
Atau 2 330 165x x= ° ⇔ = °
Jadi himpunan penyelesaian untuk persamaan tersebut adalah {110˚, 165˚}. Jawaban
tidak terdapat di pilihan jawaban yang disediakan.
28. Nilai dari sin 75 sin165−o o adalah ...
A. 1
24
B. 1
34
C. 1
64
( ) ( )cos 4 3sin 2 1x x+ = −
( )21 2sin 2 3sin 2 1x x− + = −
( ) ( )22sin 2 3sin 2 2 0x x⇔ − − =
22 3 2 0y y⇔ − − =
( )( )2 2 1 0y y⇔ − + =
12
2y y⇔ = ∨ = −
Page 22 of 32
D. 1
22
E. 1
62
Alternatif penyelesaian:
Dengan menggunakan rumus sin sin ...A B− =
( ) ( )
75 165 75 165sin 75 sin165 2cos sin
2 2
2 cos 120 sin 45
1 12 2
2 2
12
2
° + ° ° − ° − =
= ⋅ ° ⋅ − °
= ⋅ − ⋅ −
=
o o
Jawab: D
29. Nilai 3
2 1lim
3x
x
x→
− +=
−
A. 1
4−
B. 1
2−
C. 1
D. 2
E. 4
Alternatif penyelesaian:
Page 23 of 32
( )( )( )
( )( )
( )
3 3
3
3
3
2 1 2 1 2 1lim lim .
3 3 2 1
4 ( 1)lim
3 2 1
3lim
3 2 1
1lim
2 1
1
4
x x
x
x
x
x x x
x x x
x
x x
x
x x
x
→ →
→
→
→
− + − + + +=
− − + +
− +=
− + +
− −=
− + +
−=
+ +
= −
Jawab: A
30. Nilai 0
cos 4 1lim
tan 2x
x
x x→
−=
⋅
A. 4
B. 2
C. −1
D. −2
E. −4
Alternatif penyelesaian:
( )( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )
2
0 0
2
0
0
1 2sin 2 1cos 4 1lim lim
tan 2 . tan 2
2sin 2lim
.tan 2
sin 2 sin 22 lim
tan 2
22 2
2
4
x x
x
x
xx
x x x x
x
x x
x x
x x
→ →
→
→
− −−=
⋅
−=
= − ⋅ ⋅
= − ⋅ ⋅
= −
Jawab: E
Page 24 of 32
31. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya ( )25 10 30x x− + dalam
ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga
Rp50.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan
tersebut adalah ...
A. Rp10.000,00
B. Rp20.000,00
C. Rp30.000,00
D. Rp40.000,00
E. Rp50.000,00
Alternatif penyelesaian:
Total penjualan = 50000x
Total biaya produksi = ( )25 10 30x x x− + dalam ribuan rupiah
3 25000 10000 30000x x x= − +
Keuntungan = total penjualan – total biaya produksi
( )3 250000 5000 10000 30000x x x x= − − +
Apabila F(x) merupakan fungsi yang menyatakan keuntungan, maka
3 2( ) 5000 10000 20000F x x x x= − + +
F(x) mencapai maksimal untuk '( ) 0F x =
215000 20000 20000 0x x⇔ − + + =
23 4 4 0x x⇔ − + + =
( )( )3 2 2 0x x⇔ − − − =
2
3x⇔ = atau 2x =
Karena x menyatakan unit barang, maka x tidak mungkin berupa pecahan. Sehingga
keuntungan maksimal diperoleh untuk x = 2.
3 2 3 2( ) 5000 10000 20000 5000.2 10000.2 20000.2 40000F x x x x= − + + = − + + =
Jadi keuntungan maksimal perusahaan tersebut adalah Rp40.000,00.
Jawab: D
Page 25 of 32
32. Nilai ( )3
2
1
2 4 3 ...x x dx+ − =∫
A. 1
273
B. 1
272
C. 1
373
D. 1
372
E. 1
273
Alternatif penyelesaian:
( )33
2 3 2
11
2 2 2 12 4 3 2 3 27 2 9 9 2 3 27
3 3 3 3x x dx x x x
+ − = + − = ⋅ + ⋅ − − + − =
∫
Jawab: A
33. Nilai ( )( )3
1
sin 2 3cos ...x x dx+ =∫
A. 3
2 34
+
B. 3
3 34
+
C. ( )11 2 3
4+
D. ( )21 2 3
4+
E. ( )31 2 3
4+
Alternatif penyelesaian:
Page 26 of 32
( )( )
( )
13
3
01
1sin 2 3cos cos 2 3sin
2
1 2 1cos 3sin cos0 3sin 0
2 3 3 2
1 1 1 1. 3. 3
2 2 2 2
3 33
4 2
31 2 3
4
x x dx x x
π
ππ
+ = − +
= − + − − +
= − − + − −
= +
= +
∫
Jawab: E
34. Hasil dari 23 3 1 ...x x dx+ =∫
A. ( )2 223 1 3 1
3x x C− + + +
B. ( )2 213 1 3 1
2x x C− + + +
C. ( )2 213 1 3 1
3x x C+ + +
D. ( )2 213 1 3 1
2x x C+ + +
E. ( )2 223 1 3 1
3x x C+ + +
Alternatif penyelesaian:
Misal
23 1t x= + maka
6
1
6
dt xdx
dx dtx
=
=
Sehingga berlaku:
Page 27 of 32
23 3 1 3x x dx x+ =∫
1
6t
x⋅ ⋅∫
( )
1
2
3
2
2 2
1
2
1 2
2 3
13 1 3 1
3
dt
t dt
t C
x x C
⋅
=
= ⋅ ⋅ +
= + + +
∫
Jawab: C
35. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 23 4y x x= + + dan 1y x= − adalah ...
A. 2
3satuan luas
B. 4
3satuan luas
C. 7
4satuan luas
D. 8
3satuan luas
E. 15
3 satuan luas
Alternatif penyelesaian:
23 4y x x= + +
1y x= −
Page 28 of 32
Misal 2
( ) 3 4f x x x= + + dan ( ) 1g x x= −
Batas daerah yang dibatasi kedua kurva ditentukan sebagai berikut:
( ) ( )f x g x=
Diperoleh luas=
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
1 1
2
3 3
1
2
3
1
2 3
3
( ) ( ) 1 3 4
3 4
13 2
3
13 2 9 18 9
3
4
3
g x f x dx x x x dx
x x dx
x x x
− −
− −
−
−
−
−
− = − − + +
= − − −
= − − −
= − + − − +
=
∫ ∫
∫
Jawab: B
36. Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh kurva 2y x= dengan
2y x= diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360˚ adalah ...
A. 2π satuan volume
B. 1
315
π satuan volume
C. 4
415
π satuan volume
D. 4
1215
π satuan volume
E. 2
1415
π satuan volume
Alternatif penyelesaian:
23 4 1x x x+ + = −
( ) ( )24 3 0 3 1 0 3 1x x x x x x+ + = ⇔ + + = ⇔ = − ∨ = −
Page 29 of 32
Untuk menentukan volume benda putar antara dua kurva, ditentukan terlebih dahulu titik potong
dua kurva.
Titik potong antara 2
1y x= dan
22y x= diperoleh untuk:
1 2y y= ( )2
2 2 0x x x x⇔ = ⇔ − = � x = 0 dan x=2
Sehingga:
( )2
22
1 2
0
( )V y y dxπ
= − ∫
2
2 4
0
4x x dxπ
= − ∫
2
3 5
0
4 1
3 5x xπ
= −
4 1(8) (32) 0
3 5π
= − −
44
15π= satuan volume
Jawab: C
37. Data yang diberikan dalam tabel frekuensi sebagai berikut:
Ukuran f
20 − 29 3
30 − 39 7
40 − 49 8
50 − 59 12
60 − 69 9
70 − 79 6
80 − 89 5
Nilai modus dari data pada tabel adalah ...
A. 40
49,57
−
Page 30 of 32
B. 36
49,57
−
C. 36
49,57
+
D. 40
49,57
+
E. 48
49,57
+
Alternatif penyelesaian:
Modus = .a
a b
fTb I
f f+
+ dengan:
Tb = tepi bawah kelas dengan frekuensi terbesar ( f=25) , yakni 49,5
fa = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelumnya, yakni 12−8 = 4
fb = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sesudahnya, yakni 12− 9 = 3
I = interval kelas = 10
Jadi:
Modus = 4 40
49,5 .10 49,54 3 7
+ = ++
Jawab: D
38. Banyak susunan kata yang dapat dibentuk dari kata “WIYATA” adalah ...
A. 360 kata
B. 180 kata
C. 90 kata
D. 60 kata
E. 30 kata
Alternatif penyelesaian:
Permutasi n objek dari n objek yang terdiri dari sejumlah n1 objek q1, sejumlah n2 objek
q2, … nk objek qk, dengan n1+n2+…+nk = n adalah
1 2( , ,........... )
1 2
!
! !... !kn n n n
k
nP
n n n=
Page 31 of 32
Pada kata “WIYATA” terdapat 6 huruf, yang terdiri dari 1 huruf “W”, 1 huruf “I”, satu
huruf “Y”, 1 huruf “T” dan 2 huruf “A”.
Sehingga banyaknya susunan kata yang dapat dibentuk adalah ...
Jawab: A
39. Dalam kotak terdapat 3 kelereng merah dan 4 kelereng putih, kemudian diambil 3
kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil paling sedikit 2 kelereng putih adalah
....
A. 3
35
B. 4
35
C. 7
35
D. 12
35
E. 22
35
Alternatif penyelesaian:
Misal:
A = kejadian terambil paling sedikit 2 kelereng putih. Maka ada dua kemungkinan kejadian, yakni
terambil 2 kelereng putih dan satu kelereng merah, atau terambil 3 kelereng putih.
S = ruang sampel, yaitu kejadian terambilnya 3 kelereng dari 7 kelereng
Maka peluang terambil paling sedikit 2 kelereng putih adalah
( ) ( )
( )
n AP A
n S=
dengan n(A) kombinasi terambilnya paling sedikit 2 kelereng putih.
Jadi:
6 (1,1,1,1,2)
6! 6 5 4 3360
1!1!1!1!2! 2P
× × ×= = =