1. Paralaxe

Contrariamente a outras ciências, a Astronomia é inteiramente observacional. Não podemos fazer experimentos em Astronomia. Não podemos manipular os objetos astronômicos e ver como se comportam. O primeiro passo para poder entender os astros é o de determinar suas distâncias a nós. Obviamente, não possível usar uma fita métrica ou enviar uma sonda espacial e determinar o quão longe ela viaja até atingir uma estrela. Métodos como enviar sinais de radar e esperar pelo seu eco por reflexão também não funcionam pois:

(1) estrelas são bolas de gás quente e não possuem uma superfície refletora eficiente; (2) elas estão tão longe que um sinal de radar levaria vários anos para chegar e ser refletido de volta, mesmo para a estrela mais próxima.

Um método eficaz de se medir grandes distâncias vem sendo usado há milênios: observar um objeto a partir de dois pontos diferentes, determinando a distância ao objeto através do uso da trigonometria. O objeto, ao ser visto de pontos diferentes, parecerá mudar de posição com relação às coisas que estão ainda mais distantes e que compõem o fundo sobre o qual o objeto está projetado. O deslocamento angular, chamado de paralaxe, é um ângulo de um triângulo e a distância entre os dois pontos de observação, bem como a distância ao objeto, são lados do mesmo triângulo. Relações trigonométricas básicas entre os lados de um triângulo e os seus ângulos são então usadas para calcular todos os elementos do triângulo. Este é o método da paralaxe trigonométrica. O cálculo das paralaxes é utilizado para a determinação das distâncias de estrelas próximas (até 650 anos-luz do Sol).

O lado do triângulo entre os pontos de observação, designado por B na figura acima, é chamado de linha de base. O ângulo p é a paralaxe da árvore e é proporcional à linha de base. Se a paralaxe p é muito pequena para poder ser medida, devido à grande distância à árvore, então é necessário aumentar a distância entre os dois pontos de observação, ou seja, aumentar a linha de base. Normalmente, seria necessário usar funções trigonométricas como a tangente ou o seno, mas se o ângulo p é muito pequeno, há uma relação mais simples entre a paralaxe p, a linha de base B e a distância d:

Na determinação das distâncias estelares os ângulos envolvidos são muito pequenos, tipicamente menos de 1 segundo de arco! (lembre que 1 segundo de arco = 1/3600 de um grau). Então, uma aproximação válida para pequenos ângulos. Para (p) entre 0 e 0,5 radiano ou então, , temos que:

O valor obtido para (p)está em radianos e para convertê-lo a graus ou segundos de arco precisamos lembrar que 180o = radianos. À medida que tentamos ver objetos mais distantes, a paralaxe diminui vertiginosamente. Quanto mais distante o objeto, menor sua paralaxe. Como os valores de p das estrelas são muito pequenos, o segundo de arco é a unidade mais conveniente

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ASTRONOMIA AULA – 2

Determinação de distâncias para estrelas próximas

d

=

tg p = B/d

tg p ≈ p≈ B/d

Uma estrela mais distante do Sol terá uma paralaxe menor que a de uma estrela mais próxima. E também quanto mais distante a estrela, mais difícil será de se observar sua paralaxe, pois o ângulo ficará cada vez menor.

Detalhando mais

Pela trigonometria, sabemos que tg p = D/d. Como p é conhecido, e D também é conhecido, podemos medir a distância d. Para ângulos pequenos, a tangente do ângulo é aproximadamente igual ao próprio ângulo medido em radianos. Então: d = D/p (rad). Como p é medido em radianos, d terá a mesma unidade de D. Para um triângulo de base D, altura d, diagonal B,

para ângulos p menores que 4 graus.

Transformação de graus em radianos

Em radianos, um ângulo é medido pelo arco que ele encerra, dividido pelo raio. Na figura abaixo, o arco de circunferência a corresponde ao ângulo . Logo o valor de em radianos é

O valor, em graus, de 1 radiano, será:

tg p

para exprimi-los. A ponta de uma caneta esferográfica, se vista de uma distância igual ao comprimento de um campo de futebol, cobre aproximadamente 1" (um segundo de arco). Atualmente as melhores medidas de paralaxe foram obtidas com o satélite Hiparcos (http://astro.estec.esa.nl/Hipparcos/) e têm uma precisão de 1 mili-segundo de arco para estrelas mais brilhantes.

2. Como usar a paralaxe trigonométrica para medir distâncias às estrelas?

Em 1838, o astrônomo alemão Friedrich W. Bessel observou e mediu o movimento aparente de uma estrela, a estrela Cygni 61, em relação às estrelas vizinhas e mais distantes, obtendo assim um valor da distância dessa estrela em relação a nós. O método empregado consiste numa simples aplicação de Trigonometria.

Nós podemos observar a posição de uma estrela com relação as suas vizinhas de um determinado conjunto de estrelas. Ao observá-la em intervalos de seis meses, ou seja, quando a Terra estiver na direção oposta a anterior, com respeito ao Sol no espaço, nós podemos vê-la na direção de outro agrupamento. Nós temos assim um deslocamento aparente da estrela, que ocorre com objetos próximos observados com respeito a objetos distantes, de posições diferentes.

As estrelas estão tão longe que se as observássemos de dois pontos opostos sobre a superfície da Terra, sua paralaxe ainda seria pequena demais para ser medida. Como esses objetos estão muito distantes, é necessário escolher uma linha de base muito grande. Para medir a distância da Lua ou dos planetas mais próximos, por exemplo, pode-se usar o diâmetro da Terra como linha de base.

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Para se medir a distância de estrelas próximas, usa-se o diâmetro da órbita da Terra como linha de base.Precisamos de uma linha de base ainda maior. A maior linha de base que pode ser facilmente usada é o raio da órbita da Terra, que é também a distância da Terra ao Sol (uma unidade astronômica – UA- ou 149,6 milhões de quilômetros). A posição de uma estrela próxima com relação às mais distantes ao fundo é anotada duas vezes, usando dois pontos opostos na órbita da Terra (ou seja, em dias separados por seis meses). A paralaxe p será então a metade do ângulo total de deslocamento da estrela com relação aos objetos ao fundo (ver figuras abaixo).

As distâncias às estrelas são enormes, muito maiores do que a unidade astronômica. Assim sendo, faz-se necessária a utilização de uma unidade de distância maior. Definimos o parsec (abreviatura: pc), como sendo a distância a uma estrela cuja paralaxe é de 1" (usando-se uma linha de base B = 1 UA).

Onde o ângulo p na fórmula acima é medido em segundos de arco (1° = 60´ = 3600 ", a última unidade usada nesta igualdade é o segundo de arco). Usando a fórmula acima, vemos que 1 parsec = 206.265 unidades astronômicas. A estrela mais próxima de nosso sistema solar está a 1.3 parsec. Para convertermos parsecs em unidades convencionais como quilômetros ou metros, basta lembrarmos o valor da unidade astronômica nessas unidades. Como 1 UA = 149.6 milhões de quilômetros. Logo, 1 pc = 3.1 trilhões de km! Um parsec é igual a 206 265 UA ou 3,26 AL.

Que unidade deveríamos usar para expressar as distâncias estelares: o ano-luz ou o parsec? Ambas são adequadas e comumente usadas pelos astrônomos. Entretanto, vale notar que se usarmos o parsec como unidade de distância e o segundo de arco como unidade de ângulo, nossa fórmula que relaciona as duas coisas se torna extremamente simples:

Paralaxes da ordem de 1/50 = 0,02" podem ser medidas da superfície da Terra. Isso significa que podemos determinar as distâncias de estrelas situadas a até 50 parsecs do sistema solar. Se uma estrela está além deste limite, sua paralaxe é muito pequena para ser medida, o que nos obriga a usar métodos mais indiretos de determinação de distâncias. A distância média entre duas estrelas vizinhas é de 1 pc aproximadamente, o que faz com que possamos determinar as distâncias de alguns milhares estrelas próximas através da medida de suas paralaxes.

Recentemente, a missão espacial Hipparcos completou seu trabalho de estender a base de dados de distâncias paraláticas. Instrumentos fantasticamente precisos foram instalados a bordo de um satélite em órbita da Terra, evitando assim os efeitos degradantes da atmosfera terrestre sobre as imagens astronômicas. Foi então possível medir paralaxes para 118.000 estrelas com uma precisão de 1/1000 = 0,001" (em torno de 20 vezes melhor do que do solo)! Hipparcos mediu paralaxes para 1 milhão de outras estrelas com uma precisão de 1/20".

Os triângulos que contêm a Terra, o Sol e uma estrela como vértices são muito mais alongados e finos do que os geralmente esquematizados nos livros de Astronomia. São tão finos que não precisamos nos preocupar com que distância estamos na verdade medindo com a paralaxe: a distância do Sol à estrela ou a distância da Terra à estrela. Observe o longo e fino triângulo mostrado acima. Levando em conta que este triângulo deveria ser mais

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p(") = (206265 × B)/d

p

d

B

p(") = 1/d (pc)

de 4.500 vezes mais longo, mesmo para a estrela mais próxima, podemos ver que não faz diferença de que distâncias estamos falando. Sim, há de fato uma diferença ínfima entre as distâncias acima, mas em primeira aproximação, podemos dizer com segurança que as três são iguais. Há uma leve diferença, mas ninguém reclamaria se você ignorasse a diferença.

3. Paralaxe geocêntrica e heliocêntrica

Paralaxe geocêntrica - Atualmente a determinação de distâncias de planetas é feita por radar, e não mais por triangulação, mas antes da invenção do radar os astrônomos mediam as distâncias da Lua e de alguns

planetas usando o diâmetro da Terra como linha de base. A figura abaixo ilustra o problema para a determinação da distância da Lua.

A posição da Lua em relação às estrelas distantes é medida duas vezes, em posições opostas na Terra, e a paralaxe corresponde à metade da variação total na direção observada dos dois

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Técnicas utilizadas para o cálculo das distâncias astronômicas.

Unidades de Distância

As distâncias estelares tornam-se mais significativas quando duas unidades de distância são introduzidas: o ano-luz, e o parsec.

O ano-luz é padronizado como a distância que a luz (c = 299.792.458 m/s) percorre em um ano terrestre (365,256363 dias): 1 ano-luz = 9.460.569.299m

O parsec é definido como a distância na qual uma estrela apresenta uma paralaxe de um segundo de arco. A palavra parsec é derivada da fusão de duas palavras inglesas "parallax'' e "second''. Um segundo de arco (1”) corresponde a 3.26 anos-luz; portanto: 1 parsec = 3.26 anos-luz.

Um ângulo de 1”, expresso em radianos, vale:

Logo:

A distância de um objeto, expressa em parsecs, é dada por:

Um parsec, portanto, é igual a 206 265 UA, e é igual a 3,26 AL.

Resumindo as três unidades, para uma estrela com paralaxe heliocêntrica qualquer, sua distância será:

A estrela mais próxima da Terra, Próxima Centauri, está a uma distância de 4,3 AL, que é maior do que 1 pc (1,32 pc). Logo mesmo para a estrela mais próxima a paralaxe é menor do que 1 (na verdade é 0,76”). Até poucos anos, com os telescópios disponíveis na Terra, a maior distância de estrelas que se podia medir com precisão melhor do que 10% era 20 pc, que corresponde a paralaxes 0,05”. O uso de CCD e telescópios dedicados baixou a incerteza das observações na Terra para até 1 mili-segundo de arco, similar à incerteza das medidas do satélite HIPPARCOS (High-Precision Parallax Collecting Satellite), construído para medir com alta precisão a posição e a paralaxe de 120 000 estrelas.

lados opostos da Terra. Essa paralaxe é chamada paralaxe geocêntrica, e é expressa por:

para p sendo a paralaxe geocêntrica.

Paralaxe heliocêntrica - A paralaxe heliocêntrica é usada para medir a distância das estrelas mais próximas. À medida que a Terra gira em torno do Sol, podemos medir a direção de uma estrela em relação às estrelas de fundo quando a Terra está de um lado do Sol, e tornamos a fazer a medida seis meses mais tarde, quando a Terra está do outro lado do Sol.

A metade do desvio total na posição da estrela corresponde à paralaxe heliocêntrica, que é expressa por:

para p sendo a paralaxe helioccêntrica.

4. Aristarco de Samos - os Tamanhos e as Distâncias do Sol e da Lua

Aristarco nasceu em 310 a.C. em Samos, na Grécia. Tendo sido aluno de Strato de Lampsacus, que encabeçava o Liceu Aristotélico. Considerado por muitos o Copérnico da Época Clássica, este astrônomo revolucionou de tal modo a astronomia que seu nome foi atribuído a uma cratera lunar.

Por volta de 290 a.C., o astrônomo grego Aristarco de Samos (c.320-c.250) formulou pela primeira vez um modelo heliocêntrico. No entanto, para defender seu modelo, teve de fazer duas suposições. A primeira delas era no sentido de justificar por que as estrelas pareciam fixas, isto é, por que suas posições aparentes não mudavam em conseqüência do movimento da Terra em torno do Sol. Essa imobilidade, afirmou Aristarco, decorria da imensa distância em que se encontravam as estrelas em relação à Terra. A sua segunda suposição não era original, já que havia sido considerada por Heráclides de Pontos, qual seja, a rotação da Terra em torno de seu eixo.

Aristarco afirmou que os movimentos dos corpos celestes poderiam ser mais facilmente descritos caso se admitisse que todos os planetas, incluindo a Terra, giravam em torno do Sol. Esse modelo heliocêntrico do universo foi, no entanto, considerado ousado demais e seu autor chegou a ser acusado de insulto religioso. Mesmo assim, a reação contra ele não chegou a ser tão agressiva quanto a que atemorizaria, quase 2000 anos mais tarde, Copérnico, Kepler e Galileu.

Os escritos de Aristarco sobre esse tema se perderam e só pudemos conhecer suas idéias porque foram mencionadas por Arquimedes.

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Outros trabalhos de sua autoria, porém, chegaram até nós. Em sua obra "Sobre os tamanhos e as distâncias do Sol e da Lua" Aristarco procurou determinar a distância Terra-Lua em relação à Distância Terra-Sol, considerando o triângulo formado por esses três astros no início do quarto crescente.

Aristarco concluiu que o Sol estaria 20 vezes mais distante da Terra que da lua. (A proporção verdadeira é de cerca de 400 vezes, mas o procedimento estava correto. Os instrumentos de medição de ângulos então disponíveis é que não permitiam obter valores mais precisos.)

Aristarco também procurou calcular o diâmetro da Lua em relação ao da Terra, baseando-se na sombra projetada pelo nosso planeta durante um eclipse lunar. Concluiu que a Lua tinha um diâmetro três vezes menor que o da Terra (o valor correto é 3,7). Com esse dado, deduziu que o diâmetro solar era 20 vezes maior que o da Lua e cerca de 7 vezes maior que o da Terra.

Aperfeiçoando as medições ao longo dos últimos séculos, sabemos hoje que o diâmetro terrestre não alcança um centésimo do solar. Embora os seus resultados tivessem erros de uma ordem de grandeza, o problema residia mais na falta de precisão dos seus instrumentos do que no seu método de trabalho, que era adequado. Além disso Aristarco também calculou, com mais precisão do que a dos antigos sábios, a duração de um ano solar.

A partir da sombra da Terra na lua, durante um eclipse lunar, foi possível determinar o tamanho da Lua. Esta medida foi feita a partir da duração do eclipse e da velocidade angular aparente da lua.

Conhecido o tamanho da Lua e seu tamanho aparente (em unidades de ângulo), foi possível calcular a distância da Terra à Lua.

Um triângulo retângulo é construído, ficando a Lua, à época do quarto crescente, no vértice com o ângulo reto. A partir da distância da Terra à Lua, e dos demais ângulos do triângulo, pode-se estimar a distância da Terra ao Sol.

A partir dos resultados já obtidos, pode-se construir o seguinte triângulo para o cone de sombra:

O triângulo ao lado constitui-se em uma aproximação, válida se o ângulo do cone de sombra for pequeno.

Em seus estudos sobre Astronomia, Aristarco preocupou-se também em determinar as distâncias Terra-Sol e

Terra-Lua, bem como a relação entre os diâmetros desses três astros; tais medidas foram apresentadas em seu livro Sobre os Tamanhos e as Distâncias do Sol e da Lua. Para fazer essas medidas, Aristarco usou os conhecimentos geométricos de Tales de Mileto e do matemático grego Euclides de Alexandria (f.c.300 a.C.) pois, ao observar que quando a metade da Lua está iluminada pelo Sol, este, a Terra e seu satélite Lua, formam um triângulo retângulo, sendo a hipotenusa a distância Terra-Sol. Assim, medindo a distância angular entre a Lua e o Sol, tendo a Terra como vértice, Aristarco encontrou 87o (valor atual: 89o51').

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Figura: Ilustração do método de Aristarco para determinação de grandezas astronômicas.

De posse desse resultado e por meio de uma construção geométrica simples, estimou em 8.000.000 km a distância Terra-Sol (hoje: 149.600.000), bem como observou que a relação entre as distâncias Terra-Lua e Terra-Sol era de 1/20 (a relação correta é 1/400). Por outro lado, das observações dos eclipses da Lua e lançando mão, também, de construções geométricas simples, Aristarco concluiu que as relações entre os diâmetros da Lua e da Terra e da Terra e do Sol valiam, respectivamente, 1/3 e 1/7. (Hoje, os valores corretos são: 1/3,67 e 1/109.)

O diâmetro da Terra, unidade básica dos cálculos de Aristarco, foi medido por Erastótenes (275-195), usando a diferença de inclinação do sol no solstício de verão ao meio dia, em duas cidades de diferentes latitudes cuja distância era conhecida. Temos assim uma distância (5000 estádios, medida antiga de distância) e um ângulo de 7,2 graus. O diâmetro da Terra seria de 250.000 estádios.

Esta medida difere em menos de 1% do tamanho real da Terra, de modo que as demais dimensões astronômicas dela derivadas forneceram uma razoável estimativa de sua ordem de grandeza. De qualquer modo, o método empregado é essencialmente correto, e indica o grau de refinamento atingido pela astronomia alexandrina. Embora a distância Terra-Sol estivesse subestimada por um fator 20, permaneceu como melhor medida durante os 1500 anos seguintes.

5. Eratóstenes de Cirena - diâmetro da Terra

O método para medir a circunferência da Terra que será descrito foi realizado por Eratóstenes, no século III a.C. Um dia, quando lia um papiro da grande biblioteca de Alexandria, da qual era diretor, uma informação chamou a atenção dele.

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O que levou Aristarco, e dois mil anos depois Copérnico, Kepler e Galileu, a colocarem o Sol no centro do universo ao invés da Terra?

Eles tinham razões metafísicas para colocarem o Sol no centro pois eram pitagóricos e/ou platônicos. Consideravam o sol como o astro mais importante. Como ele é o astro mais importante, deve ser o centro.Ou seja, uma concepção metafísica é o ponto de partida para o heliocentrismo.

As Hipóteses de Aristarco

1. A Lua recebe a sua luz do Sol.

2. A Terra está no centro da órbita circular da Lua.

3. Quando a Lua está em Quarto Crescente ou Minguante, o círculo que divide a Lua na sua parte brilhante e escura é paralelo ao raio Terra-Lua.

4. Quando a Lua está em Quarto Crescente ou Quarto Minguante, o ângulo Lua-Sol-Terra é 3 graus.

5. O diâmetro angular da Lua e o do Sol em relação a Terra é meio grau.

6. O diâmetro do cone de sombra da Terra é duas vezes o diâmetro da Lua.

Na cidade de Siene, localizada no Egito, no dia mais longo do ano (chamado solstício de verão), ao meio-dia, uma estaca em posição vertical não projetava sombra e o reflexo do Sol podia ser visto na água, no fundo de um poço. Eratóstenes, então, fez o seguinte experimento: verificou se em Alexandria, no solstício de verão, próximo ao meio-dia, estacas verticais projetavam sombra.

O Sol está tão distante que seus raios são paralelos quando chegam à Terra.Pelo comprimento da sombra em Alexandria, o ângulo foi medido, encontrando-se aproximadamente 7°12'.

Observando que as retas r e s eram paralelas interceptadas pela transversal t, Eratóstenes concluiu que os ângulos e eram congruentes (ângulos alternos internos).

O ângulo tem o vértice no centro da Terra e determina na circunferência da Terra o arco compreendido entre Siene e Alexandria (o arco SA). Logo, esse arco também mede 7°12'.

Como ,

O referido arco é igual a 1/50 da circunferência da Terra. Eratóstenes sabia que a distância entre Alexandria e Siene era de aproximadamente 800 quilômetros, porque tinha contratado um homem para medi-la em passos. Então, fazendo 50 × 800 encontrou 40.000 quilômetros, que deveria ser o comprimento da circunferência da Terra.

6. Hiparco de Nicéia

O astrônomo grego Hiparco de Nicéia (c.190-c.120) usou o conceito de excentricidade para explicar as variações das velocidades dos planetas em torno da Terra. Por exemplo, admitiu que o círculo descrito pelo Sol (considerado como um planeta) é excêntrico em relação ao centro da Terra, em torno da qual gira. Com essa hipótese, demonstrou que essa excentricidade é equivalente ao sistema epiciclo-deferente utilizado por Apolônio, porém às avessas. Hiparco foi também um astrônomo experimental, já que preparou um catálogo de estrelas, a partir de 134 a.C., ano em que observou uma nova estrela na constelação de Escorpião. Ao concluir esse catálogo, em 129 a.C., havia registrado cerca de 1.080 estrelas, adotando a classificação por grandezas, indo até a sexta. De posse desse mapa celeste, redescobriu a precessão dos equinócios, ao comparar a diferença de tempo entre os anos sideral (tempo gasto para voltar à mesma estrela) e tropical (tempo gasto para chegar ao mesmo equinócio) do Sol. Desse modo, calculou o valor desse lento movimento circular dos equinócios, como sendo de 1o por século (valor atual: 1,38o), correspondendo a uma volta completa em cerca de 26.000 anos. Usando o método geométrico do eclipse lunar de Aristarco, Hiparco determinou as distâncias entre a Terra, o Sol e a Lua, bem como mediu seus tamanhos.

Com efeito, observando esse eclipse, mediu o tempo de entrada e saída dos cones de penumbra e de sombra da Terra, usando uma tabela de cordas (ligando dois pontos localizados em um círculo de raio unitário) que havia construído, e a divisão do círculo de 360o (com as subdivisões do grau (o) em 60 minutos (') e estes em 60 segundos ("), como haviam considerado os babilônios), Hiparco encontrou os seguintes valores em função do raio terrestre RT : distância Terra-Sol , aproximadamente 2.500 RT; distância Terra-Lua cerca de 60 RT; raio do Sol em torno de 12 RT e raio da Lua aproximadamente 0,29 RT. Hiparco utilizou ainda suas observações sobre os eclipses lunares e solares para calcular as latitudes e as longitudes geográficas. Enquanto a latitude de um determinado lugar era calculada medindo a relação entre o dia mais longo e o dia mais curto que acontecia nesse lugar, a longitude entre dois locais era determinada comparando-se os tempos ocorridos entre o mesmo eclipse que ocorria naqueles locais. Como esse método dependia da ocorrência de eclipses, Hiparco estabeleceu uma lista de futuros eclipses por um período de 600 anos. A observação dos eclipses lunares levou Hiparco a ser considerado o primeiro a medir a paralaxe de um astro, já que em 150 a.C., mediu a paralaxe da Lua: cerca de

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58' (valor atual: mais ou menos 57'2,6"). Por fim, suas observações dos eclipses solares levaram-no a medir o ano solar com ótima precisão: 365,2467 dias (valor atual: 365,2422 dias).

7. Questões para revisão

1. Descreva o método usado para determinar distâncias a estrelas próximas.

2. Quão distante, em pc, está um objeto que tem uma paralaxe (p) de 1 segundo de arco? Quão distante é, em anoluz?

3. Quão distante, em pc, está um objeto que tem uma paralaxe (p) de 0,1 segundos de arco?

4. Se a distância de uma estrela ao Sol é 30 pc, qual sua distância à Terra?

5. Se conseguirmos medir ângulos maiores ou iguais a 1/20 = 0,05" utilizando o método da paralaxe trigonométrica, qual a máxima distância que podemos obter desta forma? Quanto tempo deveremos esperar entre uma observação e outra?

6. Como a observação de paralaxes estelares pode ser usada como evidência contrária a uma visão geocêntrica do cosmos?

7. Quanto tempo você tem que esperar para que uma estrela sofra seu máximo deslocamento paralático?

8. A paralaxe de Sírius é 0,4”. Determine a distância de Sírius em parsecs, em UA e em AL.

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