PARAMETRIZACIJA GREŠAKA INERCIJALNE MERNE JEDINICE

"STRAPDOWN" INS

Rade Stančić, Vojna akademija, Beograd

Sadržaj – U radu je dat opis procedura u kojima se vrši procena parametara grešaka inercijalnih senzora i inercijalne merne jedinice (IMU) u celini. Rezultati ispitivanja IMU srednje klase tačnosti predstavljeni su grafički i tabelarno. 1. UVOD

Sistem inercijalne navigacije (engl. "Inertial Navigation system" – INS), predstavlja autonomni sistem navigacije koji obezbeđuje potpunu trodimenzionalnu navigacionu informa-ciju svojim korisnicima. Pored podataka o poziciji i brzini, na izlazu INS dobija se i podatak o ugaonoj orijentaciji objekta u prostoru. Greške u određivanju navigacionih parametara su funkcija vremena trajanja misije i uslovljene su nesavršenošću inercijalnih senzora, greškama početnog postavljanja INS, greškama u procesu navigacionih izračunavanja i uticajem okoline (brzine vetra, temperature, vibracija i sl.). Dominantan uticaj na tačnost rada navigacionog sistema ispoljava prisustvo grešaka inercijalnih senzora. Skup inercijalnih senzora koji je sposoban da izmeri vrednosti ugaonih brzina rotacije i vrednosti linearnog ubrzanja objekta koji se kreće u prostoru, u odnosu na inercijalni koordinatni sistem, naziva se inercijalna merna jedinica (engl. "Inertial Measuring Unit" - IMU). Greške inercijalnih senzora definišu se u zavisnosti od tipa senzora, ali se u osnovi za sve inercijalne senzore definišu: greška konstantnog odstupanja (engl. "bias"), greška faktora skaliranja (engl. "scale factor"), neortogonalnost osa senzorske trijade (engl. "missalignment") i slučajni šum. U opštem slučaju greške inercijalnih senzora sastoje se iz dva dela: determinističkog i slučajnog. Greške konstantnog odstupanja i faktora skaliranja imaju samo deterministički deo i mogu se ukloniti u procesu kalibracije senzora u laboratoriji, dok greška neortogonalnosti može imati i deterministički i slučajni deo od kojih se deterministička komponenta kompenzuje pre uvođenja inercijalnih merenja u navigacijski algoritam ili algoritam orijentacije "strapdown" INS. Prisustvo grešaka inercijalnih senzora koje imaju slučajni karakter zahteva razmatranje i formiranje stohastičkog modela grešaka senzora IMU. Modelovanje grešaka inercijalnih senzora koji čine IMU u "strapdown" INS i korišćenje različitih metoda za procenu parametara grešaka inercijalnih senzora, predmet je istraživanja mnogih autora. Metode za ocenu parametara determinističkog dela grešaka senzora IMU podrazumevaju dodatno angažovanje opreme i primenu specifičnih procedura i postupaka, dok procena parametara stohastičkog modela grešaka senzora podrazumeva primenu različitih statističkih metoda.

U radu su dati postupci za ocenu grešaka inercijalnih senzora i parametara stohastičkog modela grešaka senzora i rezultati procene napred navedenih parametara dobijeni prilikom ispitivanja prototipa INS. Ispitivanja su vršena na IMU sa inercijalnim senzorima srednje klase tačnosti.

Dobijeni rezultati su korišćeni kako za proveru i potvrdu tačnosti senzora koja je specificirana od strane proizvođača, tako i za inicijalizaciju matrica u Kalmanovom filtru za procenu grešaka "strapdown" INS, koji je implementiran u integrisanom INS/GPS navigacijskom sistemu. Predložene procedure mogu se koristiti i za utvrđivanje stanja inercijalnih senzora i celokupne IMU posle isteka određenog perioda eksploatacije.

U narednim odeljcima rada je definisan model grešaka inercijalnih senzora (akcelerometara i brzinskih žiroskopa), opisane su tri vrste kalibracionih procedura korišćenih pri proceni parametara grešaka IMU i priloženi karakteristični rezultati dobiveni pri laboratorijskim ispitivanjima.

2. MODEL GREŠAKA INERCIJALNIH SENZORA

Pojednostavljeni model grešaka inercijalnih senzora može se napisati u obliku[1]:

bzzz

byzy

bxzxz

bz

bzyz

byyy

bxyxy

by

bzxz

byxy

bxxxx

bx

aaaa

aaaa

aaaa

ααααδ

ααααδ

ααααδ

+++=

+++=

+++=

(1)

( )( )

( )( )

( )( ) b

ybzzyz

byzyy

bxzyx

bx

bzzxz

byzxy

bxzxx

bzzz

byzy

bxzxz

bz

bz

bzyzz

byyzy

bxyzx

bx

bzyxz

byyxy

bxyxx

bzyz

byyy

bxyxy

by

bz

bzxzz

byxzy

bxxzx

by

bzxyz

byxyy

bxxyx

bzxz

byxy

bxxxx

bx

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

ωβββ

ωβββ

ωβωβωββδω

ωβββ

ωβββ

ωβωβωββδω

ωβββ

ωβββ

ωβωβωββδω

+++

+++

++++=

+++

+++

++++=

+++

+++

++++=

(2)

gde su: ( )zyxia bi

bi ,,,, =δωδ - greške akcelerometara i

brzinskih žiroskopa date u vezanom koordinatnom sistemu, αi – greške konstantnog odstupanja akcelerometara, αii – faktori skaliranja akcelerometara, αij – faktori neortogonalnosti osa akcelerometara (i≠j), b

ia - izmerena vrednost specifične sile u vezanom koordinatnom sistemu, βi – greške konstantnog odstupanja brzinskih žiroskopa, βii – greške faktora skaliranja brzinskih žiroskopa, βij – greške zbog neortogonalnosti osa brzinskih žiroskopa (i ≠j), βijk – drift žiroskopa usled prisustva linearnog ubrzanja, b

iω - apsolutna ugaona brzina rotacije osa vezanog koordinatnog sistema. Cilj kalibracije IMU "strapdown" INS je procena napred navedenih parametara kao što su pre svega: greške

Zbornik radova 50. Konferencije za ETRAN, Beograd, 6-8. juna 2006, tom I Proc. 50th ETRAN Conference, Belgrade, June 6-8, 2006, Vol. I

219

N

D

E

XB

YB

ZB

θ

φ ψ

konstantnog odstupanja, αi i βi, greške faktora skaliranja, αii i βii, i neortogonalnost osa trijade akcelerometara i trijade brzinskih žiroskopa (drift žiroskopa usled ubrzanja u daljem opisu nije razmatran).

3. KALIBRACIONE PROCEDURE

Procena parametara grešaka IMU realizuje se u postupku koji se sastoji od tri procedure. U prvoj se vrši procena grešaka konstantnog odstupanja i faktora skaliranja inercijalnih senzora, u drugoj se procenjuje neortogonalnost trijada akcelerometara i brzinskih žiroskopa koji čine IMU, dok se u trećoj proceduri vrši procena parametara stohastičkog modela grešaka senzora IMU. Realizacija prve i druge kalibracione procedure podrazumeva formiranje modela merenja za različite orjentacije IMU i merenje korišćenjem rotirajuće ispitne platforme. Rotacija IMU vrši se u donosu na početni položaj (slika 1.), u kojem je izvršeno poklapanje vezanog i lokalnog NED (engl. "North-East-Down") koordinatnog sistema.

Sl.1. Početni položaj IMU

3.1 Prva kalibraciona procedura

U prvoj kalibracionoj proceduri formiranje modela merenja za različite orjentacije IMU u odnosu na lokalni NED koordinatni sistem vrši se na osnovu modela grešaka inercijalnih senzora koji je dat izrazima (1) i (2). Merenjem veličina projekcija vektora gravitacije i projekcija ugaone brzine rotacije Zemlje na ose vezanog koordinatnog sistema, pri različitim orijentacijama IMU i korišćenjem odgovarajućeg modela merenja, procenjuje se vrednost grešaka konstantnog odstupanja i koeficijenata skaliranja pojedinačnih inercijalnih senzora. Merenja se vrše kada je IMU fiksirana u izabranom položaju, a vreme merenja je određeno zahtevom za potrebnu tačnost procenjenih parametara. Kao primer, uzet je postupak procene grešaka konstantnog odstupanja i faktora skaliranja akcelerometra po y osi. Ispitna platforma se zaokrene iz početnog položaja za ugao φ pri kojem se merna osa akcelerometra poklapa sa vektorom gravitacije. Izmerena vrednost specifične sile u datom slučaju može se napisati kao,

( ) ggaz yyyby

I ++= αα (3)

Rotacijom ispitne platforme za ugao φ = 180° u odnosu na prethodni položaj,dobija se nova jednačina merenja,

( ) ggaz yyyby

II −−= αα (4)

gde je: g – vektor gravitacionog ubrzanja za datu lokalnu tačku na kojoj se nalazi ispitna platforma. Korišćenjem ovih merenja mogu se proceniti veličine grešaka konstantnog

odstupanja yα̂ i faktora skaliranja yyα̂ akcelerometra po y-osi korišćenjem sledećih izraza,

( ) ( ) ( ) ( )g

gazazazaz by

IIby

I

yy

by

IIby

I

y 22

ˆ2

ˆ−−

=+

= αα (5)

Na sličan način mogu se proceniti greške konstantnog odstupanja i faktora skaliranja za akcelerometre po x i z osi.

Kada su u pitanju procedure koje se odnose na procenu grešaka konstantnog odstupanja i faktora skaliranja brzinskih žiroskopa potrebno je napomenuti da one zahtevaju što tačnije poklapanje osa vezanog i lokalnog NED koordinatnog sistema. Pored toga potrebno je da osetljivost brzinskih žiroskopa bude dovoljna da može da izmeri veličine projekcija vektora ugaone brzine rotacije Zemlje na ose lokalnog NED koordinatnog sistema. Model merenja se formira na osnovu izraza (2) i projekcija vektora ugaone brzine rotacije Zemlje na ose lokalnog NED koordinatnog sistema. Komponente vektora mogu se napisati kao,

[ ]TNIE sin0cos ϕωϕω ieie −=ω . (6)

Kao primer, uzeta je procena grešaka konstantnog odstupanja i faktora skaliranja brzinskog žiroskopa po x osi, koje se realizuje kroz tri merenja:

IMU se postavi što tačnije u početni položaj. U datom slučaju izmerena vrednost ugaone brzine rotacije x ose žiroskopa je,

( ) ϕωϕωββω coscos ieiexxxbx

Iz ++= (7)

Za drugo merenje potrebno je ispitnu platformu zaokrenuti tako da se x osa žiroskopa poklopi sa E osom NED koordinatnog sistema i pri tome izmerena vrednost ugaone brzine rotacije odgovara veličini "bias"-a x žiroskopa,

( ) xbx

IIz βω = . (8)

Za treće merenje potrebno je izvršiti rotaciju ispitne platforme tako da se merna osa žiroskopa poklopi sa D osom NED koordinatnog sistema. Jednačina merenja za datu orijentaciju IMU može se napisati kao

( ) ϕωϕωββω sinsin ieiexxxbx

IIIz −−= . (9)

Procenjena vrednost konstantnog odstupanja žiroskopa dobijena je na osnovu drugog merenja, a greška faktora skaliranja dobija se iz izraza,

( ) ( ) ( )

( )ϕϕωϕϕωωω

βsincos

sincosˆ+

+−−=

ie

iebx

IIIbx

I

xxzz

(10)

gde su: ωie = 7.292115 × 10-5 rad/sec – ugaona brzina rotacije Zemlje u odnosu na inercijalni koordinatni sistem, ϕ - geografska širina lokalne tačke na kojoj se nalazi ispitna platforma.

Na sličan način odgovarajućim rotacijama mogu se dobiti greške konstantnog odstupanja i faktora skaliranja brzinskih žiroskopa po y i z osi. Problem u realizaciji napred navedene procedure, što se posebno odnosi na procenu parametara βi i βii, postoji zbog malih vrednosti veličina projekcija ugaone brzine rotacije Zemlje na ose lokalnog NED koordinatnog sistema. Zbog navedenog problema procena grešaka konstantnog odstupanja i faktora skaliranja može se dobiti

220

-1

-1/2

0

+1/2

+1

10-2

10-3

10-4

10-5

0.01 0.1 1 10 102 103 104 105

Vreme usrednjavana T [sec]

Beli šum - brzinaŠum kvantizacije -ubrzanje

Slučajni šetajući šum- brzinaBeli šum - ubrzanje

Pulsirajući šum ilinestabilnost bias-a- ubrzanje

Slučajni šetajući šum -ubrzanje

Trend -ubrzanje

korišćenjem poznate i kontrolisane rotacije ispitne platforme. Kako bi se smanjio uticaj asimetričnosti karakteristike žiroskopa vrši se merenje i za pozitivnu i negativnu rotaciju ispitne platforme. U datom slučaju procena grešaka konstantnog odstupanja i faktora skaliranja vrši se na osnovu dva merenja, jednog za pozitivnu, a drugog za negativnu rotaciju. Procenjena vrednost greške faktora skaliranja za žiroskop po x osi, može se napisati kao:

( ) ( ) ( )

( )21

21ˆωω

ωωωωβ

−−−−

=bx

IIbx

I

xxzz

(11)

gde su: ω1 i ω1 – ugaone brzine rotacije ispitne platforme (pozitivna i negativna, respektivno). Vrednost greške konstantnog odstupanja dobija se statistički, na osnovu skupa podataka koji se mere na izlazima brzinskih žiroskopa u toku višečasovnog ili višednevnog perioda, u sistemu u kome nema rotacije.

3.2 Druga kalibraciona procedura

U cilju prevazilaženja problema koji su prisutni u realizaciji prve kalibracione procedure, realizuje se druga kalibraciona procedura koja bazira na vrednostima brzina VN i VE, dobijenim na izlazu "strapdown" INS kada navigacijski sistem radi u režimu "NAVIGACIJA". U ovoj proceduri tačnost početne orjentacije vezanog u odnosu na lokalni NED koordinatni sistem nije kritična (smatra se da je tačnost orjentacije do 3° dovoljna)[1]. Obzirom da se procedura realizuje pri rotaciji ispitne platforme, to su veličine projekcija ugaone brzine rotacije Zemlje zanemarljive u odnosu na apsolutne vrednost ugaonih brzina nastale kao posledica rotacije ispitne platforme. Realizacija druge kalibracione procedure zasniva se na pojednostavljenom jednokanalnom modelu grešaka "strapdown" INS koji se može napisati za severni i istočni kanal kao[1],

NE

ENENE

EE

NENEN

RV

agV

RV

agV

δωδ

δδ

δωδ

δδ

+=Φ+Φ−=

+−=Φ+Φ=

&&

&&

(13)

gde su: EN VV δδ , - greške brzine duž N-ose i E-ose NED koordinatnog sitema, NE ΦΦ , - ugaona nesaošenosti osa "proračunske" platforme i osa NED koordinatnog sistema,

ENEN aa δωδωδδ ,,, - projekcije grešaka akcelerometara i žiroskopa na ose lokalnog NED koordinatnog sistema.

Druga kalibraciona procedura sastoji se od nekoliko sekvenci koje podrazumevaju rotacije IMU za određen ugao i rad navigacijskog sistema na dostignutim uglovima u vremenskom intervalu koji je dovoljno dug da se može izvršiti pravilna procena parametara grešaka datih modelom grešaka (1) i (2). Pri tome, sve vreme navigacijski sistem radi u režimu "NAVIGACIJA". Formirane vrednosti brzina upisuju se u datoteku i kasnije koriste za procenu parametara grešaka inercijalnih senzora korišćenjem metoda najmanjih kvadrata ili pomoću Kalmanovog filtra. Za inicijalizaciju matrica Kalmanovog filtra koriste se podaci za inercijalne senzore dobijeni od strane proizvođača i podaci dobijeni u trećoj proceduri. Kao rezultat druge procedure dobijaju se podaci determinističkih vrednosti grešaka neortogonalnosti osa žiroskopske i akcelerometarske trijade.

3.3 Treća kalibraciona procedura

U trećoj proceduri vrši se ocena parametara stohastičkog modela grešaka inercijalnih senzora IMU. Za ocenu parametara stohastičkog modela grešaka pojedinačnih senzora IMU obično se koriste: grafik Allanova varijanse, grafik spektralne gustine snage i autokorelaciona funkcija. Allanova varijansa predstavlja statistički pokazatelj koristan za identifikaciju i određivanje karaktera izvora grešaka i njihov doprinos ukupnoj statistici šuma. Na osnovu grafika moguće je ne samo odrediti vrednost varijanse pojedinih vrsta šumova već i zaključiti koji od šumova (ukoliko ih se na grafiku pojavljuje više) ima dominantni uticaj na ponašanje inercijalnog sistema. Korišćenjem grafika Allanove varijanse mogu se identifikovati pet izvora šumova koji umanjuju tačnost izlaznih veličina inercijalnih senzora (šum kvantizacije, beli šum, fluktuirajući šum, slučajni "šetajući" (engl. "random walk") šum i eksponencijalno korelisani šum). Tipični nagibi krivih korena Allanove varijanse za akcelerometre u funkciji vremena usrednjavanja u log-log razmeri, za različite izvore šuma, dati su na slici 2.

Sl.2. Tipični nagibi krivih korena Allanove varijanse u funkciji vremena usrednjavanja za akcelerometre.

Kada je u sistemu prisutan eksponencijalno korelisan šum, vreme korelacije se ne može odrediti na osnovu grafika Allanove varijanse. U datom slučaju za određivanje korelacione konstante τc, može se koristiti autokorelaciona funkcija. Korelaciona konstanta očitava se sa apscise u tački u kojoj je normalizovana vrednost autokorelacione funkcije jednaka 36.8% od normalizovane vrednosti autokorelacione funkcije )0( =τxxR . Na osnovu karaktera šuma na izlazima inercijalnih senzora, koji se dobija na osnovu nagiba krive Allanove varijanse, i očitavanjem vrednosti njegove varijanse, moguće je pravilno formirati stohastički model grešaka inercijalnih senzora sa potrebnim parametrima. Rezultati koji su dobijeni u trećoj proceduri koriste se za formiranje odgovarajućih matrica Kalmanovog filtra za procenu parametara grešaka senzora, u drugoj kalibracionoj proceduri, i za rad Kalmanovog filtra za procenu grešaka "strapdown" INS i integrisanom INS/GPS sistemu.

4. REZULTATI ISPITIVANJA INS U LABORATORIJI

Ispitivanja su vršena za IMU koja je formirana od 3 akcelerometra tipa JT21 i 3 mehanička brzinska žiroskopa tipa I14, firme "Sfim". U svojstvu ispitne platforme korišćena je dvoosna ispitna platforma "CARCO" T-922. Rezultati procene "bias"-a i greške faktora skaliranja za akcelerometre, u okviru prve kalibracione procedure dati su u tabeli 1. Prikazane vrednosti grešaka dobijene su usrednjavanjem na

221

vremenskom intervalu od 5 min. za svako merenje. Rezultati procene greške konstantnog odstupanja i faktora skaliranja za brzinske žiroskope, u okviru prve kalibracione procedure dati su u tabeli 2. Procene su vršene pri ugaonoj brzini rotacije ispitne platforme ±1 °/s. Neznatna odstupanja dobijenih podataka, koji su za "bias" reda 2×10-2 m/s2 i 5×10-3 za grešku faktora skaliranja, u odnosu na podatke koji su dati od strane proizvođača, mogu se pripisati promenama parametara senzora u periodu od poslednjeg ispitivanja i kalibracije.

Tabela 1. -Procene "bias-a" i greške faktora skaliranja akcelerometara u prvoj kalibracionoj proceduri

Akcelero-metar "Bias"[m/s2 ] Greška faktora

skaliranja iiα̂ [%]

x -7.17×10-2 -1.03×10-2 0.103 y 7.506×10-3 -4.49×10-3 0.045 z 8.25×10-2 -5.88×10-2 0.294

I u slučaju brzinskih žiroskopa postoje izvesna mala odstupanja, koja su za "bias" reda 1.5×10-3 °/s i 6×10-3 za grešku faktora skaliranja, u odnosu na podatke date od strane proizvođača, koja mogu dodatno da potiču i od činjenice da se u prvoj kalibracionoj proceduri koristi kontrolisana rotacija ispitne platforme, tako da svaka netačnost poznavanja ove brzine direktno utiče na procenjene vrednosti "bias-a" i greške faktora skaliranja brzinskih žiroskopa.

Tabela 2. - Procene "bias-a" i greške faktora skaliranja žiroskopa u prvoj kalibracionoj proceduri

Brzinski žiroskop "Bias"[°/s] greška faktora

skaliranja iiβ̂ [%]

x 9×10-3 -6.493×10-2 0.811625 y 5.075×10-3 -4.99×10-3 0.06237 z 6.515×10-3 1.72×10-2 0.215

Analiza parametara stohastičkog modela senzora IMU, vršena je po podacima koji su izmereni na izlazima inercijalnih senzora, pri radu INS u stacionarnom režimu rada. Grafik korena Allanove varijanse dat je na slici 3.

Sl.3. Grafik korena Allanove varijanse za akcelerometre

Na osnovu sl.3. može se zaključiti da grafik korena Allanove varijanse za akcelerometre ima nagib -½, za sva tri akcelerometra, odakle sledi da je dominantni šum koji se pojavljuje na izlazima akcelerometara, beli šum. Za dati šum očitavanjem vrednosti korena Allanove varijanse za tačku usrednjavanja t =1sec., može se odrediti vrednost koeficijenta

šuma Q, koji za je za ispitivane akcelerometre reda 5×10-2 ssm // . Na sličan način određeni su karakter i parametri

šuma brzinskih žiroskopa (sl.4.). Na osnovu sl.4. može se zaključiti da grafik korena Allanove varijanse za brzinske žiroskope ima različit nagib.

Sl.4. Grafik korena Allanove varijanse za brzinske žiroskope

Za brzinske žiroskope po x i z osi grafik ima nagib -½, dok za brzinski žiroskop po y osi grafik Allanove varijanse ima nagib +½ i – ½. Sledi da je dominantni šum koji se pojavljuje na izlazima x i z brzinskih žiroskopa, beli šum, a šum koji se pojavljuje na izlazu y brzinskog žiroskopa predstavlja eksponencijalno korelisani šum. Pojava eksponencijalno korelisanog šuma na izlazu y žiroskopa može biti posledica istrošenosti ležajeva brzinskog žiroskopa.

5. ZAKLJUČAK

U procesu projektovanja INS, posle pažljivog formiranja IMU, u fazi laboratorijskih ispitivanja inercijalnih senzora i IMU u celini, vrši se ocena parametara grešaka inercijalnih senzora, formiranje stohastičkog modela grešaka senzora i određivanje parametara stohastičkog modela. Dobijene vrednosti parametara grešaka koriste se u procesu kalibracije inercijalnih senzora u laboratoriji, za kompenzaciju u bloku kompenzacije pre uvođenja u navigacijski algoritam i za inicijalizaciju odgovarajućih matrica Kalmanovog filtra za procenu grešaka "strapdown" INS u integrisanom INS/GPS navigacijskom sistemu. Napred navedene procedure mogu se koristiti kako za potvrdu kvaliteta senzora, shodno podacima koji su dobijeni od proizvođača, to i za periodičnu proveru stanja senzora i IMU, koji su u eksploataciji.

LITERATURA [1] Oleg S. Salychev, Applied Inertial Navigation: Problems

and Solutions. BMSTU Press, Moscow Russia, 2004. [2] Robert M. Rogers, Applied Mathematics in Integrated

Navigation Systems. AIAA, Reston USA, 2000. [3] Haiying Hou, Modeling Inertial sensors errors using

Allan variance, Master's thesis University of Calgary, September 2004

Abstract – Estimation procedures for parameters of inertial sensor errors and the whole IMU are presented in this paper. Results of tests are presented in forms of graphs and tables.

ERROR PARAMETRIZATION OF AN INERTIAL

MEASUREMENT UNIT IN STRAPDOWN INS Rade Stančić

222