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Parte 4 – Modellazione a Parametri Concentrati

Meccanica delle Vibrazioni – II modulo 4 – 1



Modello di un azionamento con controllo di posizione e velocità Nel seguito viene mostrato un esempio di modello di una trasmissione meccanica e del relativo azionamento. L’azionamento, mostrato in Fig. E.1, è costituito da un motore elettrico a corrente continua con controllo in loop di corrente (vedi Fig. E.4) che applica una coppia motrice ad un mandrino che, a sua volta, trasmette il moto ad una pinza terminale attraverso un albero intermedio. Il moto viene controllato in posizione ed in velocità confrontando le letture di posizione e velocità fornite da due encoder montati in prossimità del mandrino. In Fig. E.4 è mostrato uno schema del sistema di controllo.

PINZAMANDRINO

θ3

MOTORE

1θ

ENCODER

2θ

Fig. E.1 – Schema della trasmissione.



Fig. E.2 – Schema dell’intero azionamento.

Fig. E.3 – Legge di moto, regolatore di posizione e di velocità.

Fig. E.4 – Modello Motore Elettrico con controllo in loop di corrente



Modello Motore Elettrico a Corrente Continua

Fig. E.5 – Schema del motore elettrico Equazione del circuito d’armatura (iq corrente di armatura, vq forza contro-elettromotrice, eq tensione ai capi del circuito di armatura, R resistenza di armatura, L induttanza di armatura):

( ) ( ) ( ) ( )te tvtti

LtiR qqq

q =+⋅+⋅ d

d

( ) ( ) ( ) ( )sE sVsIsLsIR qqqq =+⋅⋅+⋅

La forza contro-elettromotrice si può esprimere in funzione della velocità del rotore (Kb costante di forza contro-elettromotrice):

( ) ( )tKtv mbq ϑ⋅=

( ) ( )ssKsV mbq Θ⋅⋅=

La coppia motrice Cm è proporzionale alla corrente (Kc costante di coppia):

( ) ( )tiKtC qcm ⋅= ( ) ( )sIKsC qcm ⋅= Le due precedenti, sostituite nell’equazione del circuito di armatura, forniscono:

( ) ( ) ( ) )( ssKsEK

sCsLR mbqc

m Θ⋅⋅−=⋅+

( ) ( )

sLRssKsE

KsC mbqcm ⋅+

Θ⋅⋅−=)(

Infine, ricordiamo che è: Kc = Kb.

Campo fisso

R L

eq(t)

iq

vq(t)

θθθθm(t )

Cm(t )



Modello Meccanico Il modello meccanico ha tre gradi di libertà. La prima coordinata è associata all’inerzia del motore elettrico. La seconda e la terza sono associate a due inerzie della trasmissione meccanica a valle del motore elettrico. Le equazioni del moto sono le seguenti:

( ) ( )mmmmm ckCJ ϑϑϑϑϑ �� −+−+= 2121

( ) ( ) ( ) ( )232232212122 ϑϑϑϑϑϑϑϑϑ �� −+−+−−−−= ckckJ mm

( ) ( )23223233 ϑϑϑϑϑ �� −−−−= ckJ I trasduttori di posizione e velocità sono montati in corrispondenza dell’inerzia J2 per cui si ha:

2ϑϑ =E e 2ϑϑ �� =E

Fig. E.6 – Schema del modello meccanico

Dati numerici Dati del motore elettrico: L = 0.003 [Vs/A] R = 0.4 [Ohm] Jm = 0.6 kgm2 Kc = 5 [Nm/A] Kb = 5 [Vs/rad]

Parametri dei controllori ad azione Proporzionale – Integrale

+=

sTKsG

ip

11)(

Anello di corrente Kpc = 8 [V/A] Tic = 0.002 [s]

Anello di velocità Kpv = 95 [Nm/(rad/s)] Tiv = 0.1 [s]

Anello di posizione Kpp = 72 [1/s] Tip = 1000 [s] (di fatto è un controllo ad azione Proporzionale)

Parametri del modello meccanico (Velocità di rotazione = 20 rpm) J2 = 0.085 kgm2 J3 = 0.085 kgm2

k1 = 1.15 106 Nm/rad k2 = 1.15 105 Nm/rad

c1 = q k1 c2 = q k2

q = 10–5 s



Fig. E.7 – Schema dell’intero modello Risultati

0 100 200 3000

10

20

30

40

50Legge teorica - spostamento [deg]

[deg]

Fig. E.8 – Legge teorica (spostamento).

0 100 200 300-50

0

50Legge teorica - velocita' [deg/s]

[deg]

Fig. E.9 – Legge teorica (velocità).

0 100 200 300-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4x 10-5 Errore meccanico X2-X1 [deg]

[deg]

Fig. E.10 – Errore meccanico (differenza tra la coordinata 2 e la posizione del motore).



0 100 200 300-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10-4 Errore meccanico X3-X2 [deg]

[deg]

Fig. E.11 – Errore meccanico (differenza tra la coordinata 3 e la coordinata 2).

Osservazione Il regolatore di posizione è ad azione proporzionale. Ne consegue un moto effettivo ritardato rispetto a quello imposto. Sarebbe improprio considerare come errore la semplice differenza tra la coordinata 2 e il moto imposto (vedi Fig. E.12). E’ più opportuno considerare l’errore a meno del ritardo (Fig. E.13).

0 100 200 300-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Errore del controllo X2-Xrif [deg]

[deg]

Fig. E.12 – Errore del controllo (differenza tra la coordinata 2 e il moto di riferimento).

0 100 200 300-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02Errore del controllo X2-Xrif senza ritardo [deg]

[deg]

Fig. E.13 – Errore del controllo (differenza tra la coordinata 2 e il moto di riferimento) a meno del ritardo.



Meccanica delle Vibrazioni – Modulo IIModellazione a Parametri Concentrati di Meccanismi 107

Ø Indicazioni Bibliograficheq M. P. Koster, 1974, Vibrations in Cam Mechanisms. London: McMillan Press.q S. Levy and J. P. Wilkinson, 1976, The Component Element Method in Dynamics. New York: McGraw-Hill.q K.L. Johnson, 1985, Contact Mechanics. Cambridge University Press.q A. O. Andrisano and G. Dalpiaz, 1990, Atti X Congresso Nazionale AIMETA, Pisa, Italy, 633-638. Un

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