particije prirodnih brojeva i primene
DESCRIPTION
PARTICIJE PRIRODNIH BROJEVA I PRIMENE. MARKO Petkov IĆ [email protected]. 1.UVOD. Teorija particija prirodnih brojeva je matemati čka disciplina koja se nalazi izmedju kombinatorike i teorije brojeva i predstavlja lep primer povezanosti ovih širokih oblasti matematike. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
PARTICIJE PRIRODNIH BROJEVA I PRIMENE
MARKO PetkovIĆ[email protected]
Teorija particija prirodnih brojeva je matematička disciplina koja se nalazi izmedju kombinatorike i teorije brojeva i predstavlja lep primer povezanosti ovih širokih oblasti matematike.
Teorija particija ima široku primenu u teoriji polinomnih identiteta [3] (i specijalnih funkcija uopšte).
Mnogi, naizgled nerešivi identiteti se veoma lako rešavaju kada se prevedu na jezik kombinatorike konstrukcijom tzv. kombinatornog modela.
Ne postoji jednostavna formula za efektivno računanje broja particija [1,5] što je jedan od razloga zašto je ova teorija tako bogata i zanimljiva.
1.UVOD
Definicija 2.2. Neka je n, i neka su in prirodni brojevi takvi da važi 1 2 kn n n i
1 kn n n . Tada uredjenu k -torku 1( , , )kn n nazvamo k -točlanom particijom prirodnog broja n . Skup svih particija broja n označavaćemo sa
( )nP a broj elemenata skupa ( )nP sa ( )p n . Po dogovoru je (0) 1p .
Definicija 2.1. Neka je dat neprazan konačan skup X . Pod particijom skupa X podrazumevaćemo familiju njegovih podskupova 1, , ( )kX X P X pri
čemu su svaka dva skupa iX i jX disjunktna i 1
k
ii
X X
2. DEFINICIJE I OSNOVNA SVOJSTVA
Primer 2.1. Neka je 6n . Tada je (6) 11p i
(6) (6),(5,1),(4,2),(3,3),(4,1,1),(3,2,1),(2,2,2),(2,2,1,1),(2,1,1,1,1),(1,1,1,1,1,1)P
Definicija 2.3. Sa ( )nQ označimo skup svih particija 1( , , ) ( )kn n nP čiji su svi članovi različiti, tj i jn n za i j a sa ( )q n broj elemenata skupa ( )nQ . Označimo sa
( )o n odnosno ( )e n brojeve particija broja n čiji su svi članovi parni odnosno neparni brojevi.
Fererovi dijagrami
Definicija 2.4. Fererov dijagram particije 1( , , )kn nn je skup tačaka Gn sa celobrojnim koordinatama odredjen sa
1( , ) | 1 0, 0 1yG x y k y x n n
Slika 2.1. Fererov dijagram za particiju (6,3,3,2,1) broja 15.
Slika 2.2. Fererov dijagram za particiju (5,4,3,1,1,1) broja 15.
Teorema 2.1. Preslikavanjem Fererovog dijagrama bilo koje particije 1( , , )kn n prirodnog broja n simetrijom odnosu na pravu y x , dobija se takodje Fererov dijagram neke particije broja n .
Slika 2.3. Fererov dijagram za samokonjugovanu particiju (9,7,5,3,3,2,2,1,1) broja 33.
Slika 2.4. Fererov dijagram za samokonjugovanu particiju (9,3,2,1,1,1,1,1,1) broja 20.
Teorema 2.2. Broj samokonjugovanih particija broja n jednak je broju particija broja n čiji su svi članovi neparni i različiti.
Posledica 2.1. Broj particija broja n čiji je najveći član jednak m jednak je broju m -točlanih particija broja n .
Slika 2.5. Grupisanje tačaka u Fererovom dijagramu pri dokazu Teoreme 2.2.
Slika 2.6. Fererov dijagram rezultujuće particije.
Definicija 2.4. Uredjena k -točlana particija broja n je svaka k -torka 1( , , )kn n tako da važi
1 kn n n . Sa ( )n označićemo broj uredjenih particija broja n .
Posledica 2.2. 1( ) 2nn
Teorema 2.5.
Broj uredjenih k -točlanih particija broja n jednak je ,
1
1n k
n
k
.
Teorema 2.4. Broj particija broja n čiji su svi članovi neparni brojevi jednak je ( )q n .
Teorema 2.3. Neka su n i r prirodni brojevi. Broj particija broja n u kojima nema više od r delova jednak je broju particija broja n r koje imaju tačno r delova.
Definicija 3.1.
Funkciju 0
( ) nn
n
f x a x
nazivamo funkcijom generatrisom niza na .
3. PARTICIJE I FUNKCIJE GENERATRISE
Teorema 3.1. 1. Ako su f i g funkcije generatrise redom nizova na i nb , tada je f g
funkcija generatrisa niza n na b . 2. Ako je f funkcija generatrisa niza na , tada je cf funkcija generatrisa niza
nca , gde je c bilo koja realna konstanta. 3. Ako su f i g funkcije generatrise redom nizova na i nb tada je f g
funkcija generatrisa niza 0
n
n i n ii
c a b
.
Teorema 3.2.
Funkcija generatrisa niza ( )p n jednaka je 1
1
( ) 1 i
i
P x x
.
Teorema 3.3. Neka je 1 2, ,T t t beskonačan prebrojiv skup. Neka je ( )Tp n broj particija
broja n čiji svi članovi pripadaju skupu T . Tada je funkcija generatrisa niza ( )Tp n
jednaka 1
1
( ) 1 itT
i
P x x
.
Teorema 3.4.
Funkcija generatrisa niza ( )q n jednaka je 1
( ) 1 i
i
Q x x
.
Teorema 3.6. Broj ( )a n particija broja n čiji su delovi kongruentni sa 1 (mod 6) jednak je broju
( )b n particija čiji su delovi različiti i kongruentni sa 1 (mod 3).
6 2 6 4
3 1 3 2
3 1 3 2 6 1 6 51 1 1
1 1 1( ) 1 1 ( )
1 1 1 1
k k
k k
k k k ki i i
x xB x x x A x
x x x x
Teorema 3.5. Neka je 1 2, ,T t t beskonačan skup. Neka je ( )iq n broj particija broja n čiji
su svi članovi različiti i pripadaju skupu T . Tada je funkcija generatrisa niza ( )iq n
jednaka 1
( ) 1 itT
i
Q x x
.
4. DOKAZIVANJE POLINOMNIH IDENTITETA
Lema 4.1. Razlika brojeva particija broja n na neparan i paran broj različitih delova jednaka je nuli
osim za (3 1)2
k kn , k. Ako je (3 1)2
k kn onda je razlika jednaka ( 1)k .
Slika 4.1. Fererov dijagram za particiju (7,6,5,3,2) broja 23.
Slika 4.2. Fererov dijagram za particiju (8,7,5,3) broja 23.
Slika 4.3. Fererovi dijagrami za particije kod kojih je kl k n odnosno 1kl k n .
“Loši Momci”
Teorema 4.1. (Ojler-Ležandrov identitet)
(3 1) 2
1
1 ( 1)i k k k
ki
x x
NEKI POLINOMNI IDENTITETI
Teorema 4.2. (Gausov identitet, 1886)
1 22
2 11 1
11
1
i m
mi m
xx
x
Teorema 4.3. (Jacobijev identitet trostrukog proizvoda)
( 1)
1 12
1
1 1 1m m
m n n n
m n
x t x tx t x
.
Teorema 4.4. (1. Rogers-Ramanujanov identitet)
2
5 4 5 10 1
1
1
1 11
n
n n nin n
i
x
x xx
5. REKURZIVNE FORMULE ZA ( )p n I ( )q n
Za ( ; )p n k važe sledeće rekurentne formule:
1
( ; ) ( , ) ( ; )k
i
p n k p n k i p n k k
( ; ) ( ; 1) ( ; ) ( ; 1) ( ; )p n k p n k p n k p n k p n k k
Početni uslovi su: (1; ) 1p k i (0; ) : 1p k (po dogovoru), gde je 1,2,k .
U slučaju da je k n važi: ( ) ( ; ) ( ; 1) ( ; 2)p n p n n p n n p n n
Za ( ; )q n k i ( ; )q n k važe slične relacije:
1
1
( ; ) ( , ) ( ; )k
i
q n k q n k i q n k k
( ; ) ( ; 1) ( ; 1) ( ; 1) ( 1; 1)q n k q n k q n k q n k q n k k
sa početnim uslovima: (1; ) 1q k i (0; ) : 1q k (po dogovoru), gde je 1,2,k .
Takodje u slučaju da je k n važi: ( ) ( ; ) ( ;1) ( ; ) 1q n q n n q n q n n
ASIMPTOTSKA FORMULA
• Ovo su aproksimativne formule koje približno opisuju ponašanje komplikovane funkcije za odredjeni interval vrednosti argumenta.
• Koristimo ih kad ne znamo tačnu formulu ili kad hoćemo da je uprostimo.
• Primer: Za funkciju važi sledeća aproksimativna formula
2! ( )nnn en g n
( ) !f n n
2 4 6 8 10
100000
200000
300000
400000
0.5 1 1.5 2 2.5 3
1
2
3
4
5
6
Aproksimativna i tačna formula za faktorijelnu funkciju
Za manje vrednosti argumenta
2 3 4 5 6 7
10
20
30
40
50
60
5 10 15 20 25 30
1.02
1.04
1.06
1.08
1.1
Apsolutna i relativna greška aproksimacije
! ( )n g n
( )
!
g n
n
A šta ćemo sa našom funkcijom ?
• Pokušajmo da “naslutimo” asimptotsku formulu za • Koristićemo program Table Curve, koji za zadati skup
tačaka odredjuje aproksimativnu krivu
( )p n
( )p n
5 10 15 20 25 30
1000
2000
3000
4000
5000
Grafik funkcije( )p n
Rank 1 Eqn 1376 lny=a+bx0.5+clnx
r2=1 DF Adj r2=1 FitStdErr=212323.449 Fstat=9.33903003e+14
a=-2.1091242 b=2.5626092
c=-0.96655212
50 92.8571 135.714 178.5710
5e+11
1e+12
1.5e+12
2e+12
2.5e+12
3e+12
3.5e+12
4e+12
Slika 5.1. Grafik zavisnosti zajedno sa asimptotskom formulom.( )p n
( ) b nAp n e
n aA e
2
31( )
4 3
n
p n en
Na ovaj način smo dobili formulu:
Pri čemu su konstante redom jednake:
Hardy i Ramanujan su (naravno ne pomoću računara ) odredili (i dokazali) sledeću formulu
koja ima isti oblik kao i naša!
2.5626b2.109a
Još nekoliko lepih tvrdjenja vezanih za particije
• MacMahonov-a formula:
Sumiranje ide po svim generalisanim pentagonalnim brojevima
• Nejednakost:
• Nejednakost slična MacMahonovoj formuli:
( 1) ( 1)( )
2
p n p np n
( ) ( 1) ( 2) ( 5) ( 7) ( 12) ( 15) 0p n p n p n p n p n p n p n
(3 1)( 1) 0
2
nm
m n
m mp n
(9 1)( 1) 0
2
nm
m n
m mp n
I za kraj, tačna formula za )(np
Hehe, što bi rek’o Billy: AJDEEEE!