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PROBLEMAS TEMA 1.- TENSIONES
1.- En el estado de tensiones representado en la figura en kg/cm2, determinar las tensiones
normal y cortante siendo ( )8.06.00 −=u .
Las tensiones están en las caras que forman los planos coordenados.
Sol.: σn= -11.2 kg/cm2.
ζ = 38.87 kg/cm2.
2.- En un punto P de un sólido elástico la matriz de tensiones referida a un sistema cartesiano
ortogonal xyz es:
a) Calcular el plano cuyo vector tensión forma ángulos agudos iguales con los semiejes
positivos del triedro xyz.
Sol: ( )53.0105.084.0=u
b) Hallar las componentes intrínsecas del vector tensión correspondiente a un plano cuya
normal exterior tiene la dirección y sentido del vector de componentes (2,2,1) referido a los ejes
xyz.
Sol.: σn = 23/9 MPa
ζ = 1.82 MPa
3.- La ecuación característica deducida de la matriz de tensiones es, en un punto de un sólido
elástico, la siguiente:
0128523
=+−− σσσ
a) Calcular los valores de las tensiones principales
Sol.: σ1=6; σ2=1; σ3=-2
[ ] MPaT
−=
320
211
012
b) Calcular analítica y gráficamente las componentes intrínsecas del vector tensión
correspondiente al plano definido por el vector
=
2
1
2
1
2
1u referido a las
direcciones principales.
Sol.: σn=3/2
ζ=2.87
4.- Las tensiones principales en un punto P de un sólido elástico referidas a un sistema
cartesiano ortogonal xyz y expresadas en MPa son:
σ1 = (50/3) * (2 i + 2 j + k)
σ2 = 20 i – 10 j – 20 k
σ3 = (-20/3) * (i – 2 j + 2 k)
Calcular la tensión, referida a los ejes xyz, correspondiente a un plano cuya normal exterior
forma ángulos agudos iguales con los semiejes positivos del triedro xyz.
Sol.: σ = (460/9√3) i + (490/9√3) j + (350/9√3) k MPa
5.- Sobre las caras de un paralelepípedo elemental que limitan el entorno de un punto P de un
sólido elástico existen las tensiones indicadas en la figura, expresadas en kg / cm2. Calcular:
a) los planos cuyos vectores tensión son ortogonales a ellos.
Sol.: ( )
−=
=
=
5
2
5
10
001
5
1
5
20
3
2
1
u
u
u
b) el lugar geométrico de los extremos de los vectores tensión correspondientes a los infinitos
planos de la radiación de vértice el punto P.
Sol.: 11116
222
=++zyx
Nota.- las tensiones están en las caras paralelas a las caras que forman los planos
coordenados.
6.- La matriz de tensiones del cuerpo de la figura es:
[ ] 2/
600010003000
100080005000
300050006000
cmKgT
−−
−=
Hallar la tensión cortante en la superficie EGC, en la dirección GC y la tensión cortante de la
superficie GDBC en la misma dirección.
Sol.: 2,
2,
1938
7.4481
cm
kg
cm
kg
GCGDBC
GCGEC
−=
=
τ
τ
7.- En un punto P de un sólido elástico, el estado de tensiones según uno de los infinitos
planos que pasan por el mismo viene dado por sus componentes intrínsecas:
2
2
3
6
cm
kg
cm
kgn
=
=
τ
σ
Las tensiones principales en el mismo punto son:
23
22
21
0
6
12
cm
kg
cm
kg
cm
kg
=
=
=
σ
σ
σ
estando orientadas las direcciones principales respecto a los ejes coordenados como se indica
en la figura.
Se pide:
a) Orientación del plano citado respecto a las direcciones principales y respecto a los ejes
coordenados.
b) Matriz de tensiones en el punto P, en la referencia xyz.
c) Tensión cortante máuxima.u
Sol.:
[ ] ( )
[ ] ( )
[ ]
2
123
6)
5.161.20
61.254.40
0012
)
74.058.035.0
69cos30cos69cos)
cm
kgc
Tb
u
ua
mx
xyz
=
=
=
=
τ
8.- Las tensiones principales extremas en un punto de un sólido son: 100 y 50 MPa.
El vector tensión correspondiente a un plano Π cuya normal forma un ángulo de 45º con la
dirección principal 1, tiene un módulo de 85 MPa y forma con la normal al plano un ángulo de
12.5º. Determinar gráficamente el valor de la tensión principal intermedia 2
σ .
Nota.-se sabe que el centro de una circunferencia se encuentra en la mediatriz de dos de sus
puntos AB pertenecientes a la circunferencia.
Sol.: MPa2.732
=σ